értni helek 89 III. értni helek 3.. Lineáris feltételekkel dott mértni helek Gkrn tlálkoztok oln feldttl, melekben eg közös tuljdonsággl rendelkező pontok hlmzát kell meghtározni. ár z áltlános iskolából tudjátok, hog z ilen hlmzt z illető pontok mértni helének nevezzük. Áltlábn eg mértni hel meghtározásánál pontok közös tuljdonságából következtetünk eg oln tuljdonságr, melből zonnl kiolvshtó, hog mértni hel milen hlmznk része. Ilenkor, h nem ekvivlens átlkításokkl jutottunk ehhez tuljdonsághoz, kkor be kell bizonítni, hog z áltlunk megsejtett ponthlmz minden pontj eleme mértni helnek vg ki kell zárni zon pontokt, melek nem rendelkeznek z dott tuljdonsággl.. feldt. Htározzuk meg zon pontok mértni helét, melek egenlő távolságr vnnk z A és B rögzített pontoktól. ) z α síkbn (A, B α ) b) térben. (,) egoldás. ) Vegünk fel eg derékszögű koordinátrendszert, melnek origój z A pont és z O tengel z AB egenes. A pontok koordinátái A(, ) és Bb (,). Eg (, ) pont pontosn kkor teljesíti feldtbeli feltételt, h + = ( b) +, vgis h b =. Tehát mértni hel eg egenes. Ez z AB szksz felezőmerőlegese. b) A derékszögű koordinátrendszert z előzőhöz hsonló módon vegük fel. A pontok koordinátái A(,,) és Bb (,,). Az (,, z) pont pontosn kkor vn egenlő távolságr z A és B pontoktól, h b + + = + +, vgis h =. mértni hel eg sík. (Az ekvivlens átlkítások z ( b) z B(b,,) A B(b, ) = b/ 9. ábr Tehát mitt nem szükséges egik esetben sem külön bebizonítni, hog vlóbn minden pont hozzátrtozik mértni helhez.) Ez z AB szksz felezőmerőleges síkj. egjegzés. H feldt nem dott koordinátákkl vn megfoglmzv, célszerű A = b/. ábr (,,z) számolások egszerűsítése végett lehető legmegfelelőbb koordinátrendszert válsztni. Lássuk mi történt voln, h tetszőlegesen válsztunk koordinátrendszert: ) H z dott pontok A (, ) és Bb (, b ), kkor z (, ) pont pontosn kkor vn egenlő távolságr z A és B pontoktól, h ( ) + ( ) = ( b ) + ( b ), vgis h ( b ) + ( b ) + b + b =, ez pedig eg egenes egenlete. Az első megoldás esetén látszott, hog mértni hel merőleges AB -re és felezi zt, z előbbi egenlet lpján ennek bizonítás további számolásokt igénelne.
9 értni helek b) H z dott pontok A (,, ) és Bb (, b, b ), kkor z (, ) pont pontosn 3 3 kkor vn egenlő távolságr z A és B pontoktól, h innen ( ) + ( ) + ( z ) = ( b ) + ( b ) + ( z b ), 3 3 ( b ) ( b ) ( b ) z + + + b + b + b = 3 3 3 3 pedig eg sík egenlete. Akárcsk z ) pontnál z utóbbi egenletből nem derül ki zonnl, mint z előző koordinátrendszer válsztásánál, hog ez sík merőleges AB -re és felezi zt.. feldt. Htározzuk meg zon pontok mértni helét, meleknek két dott e és e egenestől mért távolságik rán dott pozitív állndó. egoldás. Két esetet kell tárglnunk: h z egenesek párhuzmosk, illetv e h metszik egmást. I. eset. e e. Vegük fel koordinátrendszert úg, hog z O tengel legen z * e egenes. Az egenesek egenletei: e : = és e : =. k= e = e k + k (,) k = k -. ábr. ábr E g (, ) távolsági z egenesektől: d = és d =. Tehát k= e = e (,) = k összefüggés kell teljesüljön. (A feldt feltételeiből világos, hog nincs rjt egik egenesen sem.) Innen két esetünk vn: k = k( ) =, h k k k = k( ) = ( k >, tehát ez mindig lehetséges) + k Tehát, h k, kkor z ekvivlens átlkítások mitt mértni hel két egenes: k k = és =, h pedig k =, kkor csk eg egenes: =. k + k (Ez utóbbi esetben tuljdonképpen két egenestől mért távolság egenlő) II. eset. e e = { O}. Legen derékszögű koordinátrendszer középpontj z O pont és z O tengel z e egenes. Az egenesek egenletei: e : = és e : = m ( m ) h e e és e : = illetve e : =, h e e., ez
értni helek 9 k = + m e e k = + m e km k m = - + (,) = km + + k m e = (,) m O. H e A d e, kkor z (, ) pont távolsági z egenesektől: d = m, tehát 3. ábr 4. ábr = + m = k feltételnek kell teljesülnie. (Láthtó, hog z m + m = m -et tejesítő pont nincs rjt mértni helen) Ismét két eset tárglás szükséges: m km = k =, h k + m m + k + m m = k + km =. m + k + + m Tehát h k + m, kkor mértni hel z e km km = és = egenletű k + m k + + m egenesekből áll (, ) pont kivételével, h pedig (,) m k = + m e, kkor z = és = egenletű egenesekből (, ) pont kivételével. B. H e e, kkor két egenest tekinthetjük 5. ábr derékszög ű koordinátrendszer tengeleinek. Az (, ) pont távolsági z egene- sektől: d = és d =, tehát mértni hel z = k és = k k egenesekből áll (, ) pont kivételével. (H z () és () egenletekben m, kkor éppen fenti egenleteket kpjuk.) egjegzés. A második esetben, h k = -et helettesítünk, kkor két egenes áltl meghtározott szög belső és külső szögfelezőjének egenletéhez jutunk. * 3. feldt. A P (, b ) ( b, ) rögzített ponton át húzunk két változó egmásr merőleges d és d egenest. A d egenes z O tengelt A -bn, míg d egenes z O tengelt B -ben metszi. Htározzuk me g P pont AB egenesre eső = - = k és
9 értni helek vetületének mértni helét. egoldás * H d O, jelöljük m -gl d egenes iránténezőjét ( m, mert ellenkező P esetben nem metszi z O tengelt). A d P iránténezője, d és d egenesek m egenletei: d : = b + m( ) és A P d : = b ( ). Tehát z A és B m m b koordinátái: A, m és B, + B m. 6. ábr m b Az AB egenes egenlete: AB : m ( + mb) + m ( m b) ( m b)( + mb) =, A P ponton áthldó AB -re merőleges egenes egenlete: d : m ( m b) m ( + mb) m ( m b) + m ( + mb) b =, tehát két ( m b) b ( + mb) egenes metszéspontjánk koordinátái:, m( + b) m ( + b). ( m b) Az = egenlőségből kifejezve z m -et és behelettesítve z m + b ( ) b ( + mb) = egenlőségbe z + b = b összefüggéshez jutunk. m ( + b) Ez eg egenes egenlete, tehát mértni hel része eg egenesnek. eg kellene vizsgálnunk, hog z egenes minden pontj hozzátrtozik-e mértni helhez. Ehhez ( m b) szükséges megvizsgálni, hog m esetén z = és m + b b ( + mb) = m + b ( ) ( ) milen értékeket vehet fel. Ez utóbbi egenlőségek lpján b b m = =. Ebből következik, hog bármel 3 3 + b + b b ( ) ( ) 3 \ + b értéket felvehet z bszcisszáj. 3 3 b d O esetén vetület éppen z, b b pont, tehát mértni hel + + z + b = b egenletű egenes. Ez tuljdonképpen P (,) és P (, b ) pontokon átmenő egenes. * egjegzés. Kereshettük voln mértni helet bbn z esetben is, h b, + és csk zokt és d egeneseket tekintjük, melek pozitív féltengeleket met- d
értni helek 93 szik. Ebben z esetben z m kell teljesítse z lábbi egenlőtlenségeket: m < b b vg m > és < < m, b < vg, innen, + m m b. 3 b H m,, kko r () és (3) összefüggésekből +, b és b 3, + b, e z pe d ig z ( ) ( ) b P nílt szkszt htározz meg. m, + esetén P nílt szkszhoz ju tunk. H pedig tengelekkel párhuzmos egeneseket tekintjük, kkor ebben z esetben is vetület z pont lesz. Tehát itt mértni hel ( PP ) nílt szksz. 4. feldt. Htározzuk meg zon pontok mértni helét, melek (, ) koordinátáir + <. egoldás. Rögzített -re + < pontosn kkor, h <, de z, d pont d d : + = egenesen vn, tehát zokr z (, ) O párokr teljesül z + < egenlőtlenség, meleknek megfelelő pontok d : = egenesen z pont ltt helezke dnek el. Az -et változtv különböző félegeneseket kpunk, meleknek egesí- z + = egenletű 7. ábr tése d eg enes áltl meghtározott lsó nílt félsík. Íg z + < egenlőtlenséget teljesítő pontok egenes áltl meghtározott felső nílt félsíkot lkotják ( 7. ábrán bevonlkázott rész). 5. feldt. Htározzuk meg zon pontok = mértni helét, melek (, ) koordinátáir = +, + és + 5. C egoldás. Az előző feldthoz hsonlón B okosko dv kpjuk, hog mértni hel három A félsík metszete, éspedig z = egenes áltl = 5 htárolt lsó zárt félsík, z = + egenes áltl htárolt felső zárt félsík és z = 5 O 5 egenes áltl htárolt lsó zárt félsík metszete. Ez 8. ábr z ABC belső D trtomán z oldlivl egütt. (8. ábr) 6. feldt. Htározzuk meg z + kifejezés minimumát, h, + és + 5.
94 értni helek egoldás. Tuljdonképpen z 5. feldtbn kpott D trtomán pontji között kell keresni olt, mel koordinátáir + minimális. Tudjuk, hog e g (, ) pont távolság z O ponttól +, tehát z O -hoz legközelebb eső keressü k. Ez éppen z A csúcs, tehát in ( m + ) = + = 5. (, ) D D -beli pontot 3.. Lineáris progrmozás Vlmenni szervezetnek döntéseket kell hozni erőforrásink llokálásáról és felhsználásáról. ivel ezek z erőforrások csk korlátozottn állnk rendelkezésre, menedzsmentnek folmtosn döntéseket kell hozni felhsználásukról nnk érdekében, hog válllkozás céljit minél hmrbb elérhesse. Lehetséges célok például forglom vg nereség növelése, vlmint költségek minimlizálás. Ilen strtégii döntések hoztl lineáris vg nem-lineáris progrmozás segítségével érhető el. A lineáris és nem-lineáris progrmozás oln mtemtiki technikák, melek felhsználhtók rr, hog eg válllt z erőforrásit céliránosn hsználj fel. Tnkönvünkben csk lineáris progrmozássl fogllkozunk. Ahhoz, hog eg döntési problémát optimlizálási problémává lehessen lkítni, különböző feltételeknek kell teljesülniük: Különböző döntési lterntíváknk kell létezniük, melek válllt célját ngmértékben befolásolják és ezek mtemtiki változók formájábn kifejezhetőknek kell lenniük. Az erőforrásoknk korlátozottn kell rendelkezésre állniuk. Világosn meg kell tudni foglmzni zt válllti célt, mel döntési lterntíváktól függ és ezt is ki kell tudni fejezni döntési változók mtemtiki függvéneként. A fentieknek megfelelő optimlizálási modellek három lpvető komponensből állnk: A döntési változók oln értékek, meleket döntéshozó befolásolni tud. Ezek számár keressük z optimális értékeket. A célfüggvén döntési változók eg függvéne, melet mimlizálni vg minimlizálni kell. (Pl. költségek minimlizálás, nereség mimlizálás) A korlátok oln feltételek, melek megengedett változókombinációk hlmzát behtárolják. Feld t. Eg háziállt táplálékánk trtlmzni kell négféle tápngból leglább, kg,,4 kg, kg és 4, kg menniséget. Két tkrmánféleség áll rendelkezésünkre: A és B. kg A tkrmánbn rendre,; ;,;,7 kg vn z eges tápngokból, kg B tkrmán ezekből ;,;,;,6 kg-ot trtlmz. Az A tkrmá n egségár millió lej/kg, B tkrmáné 3 millió lej/kg. Htározzuk meg gzdságos tkrmánkeverék összetételét! egoldás. indenekelőtt feldtot át kell írni mtemtiki változók segítségével: A döntési változók z A és B tkrmánokból rendelt menniségek kg-bn. Legen ez és. Ekkor célfüggvén z összár: f (, ) = + 3, mit minimlizálni kell következő korlátozási feltételek mellett:
értni helek 95,, ;,, 4 ;, +, ;, 7 +, 6 4, ;, A korlátozási feltételek egenértékűek következőkkel: + 7 + 6 4 Ábrázoljuk z előbbi feltételeket teljesítő pontokt z O derékszögű koordinátrendszerben. (9. ábr) 7 6 = + = 4 A = + = d B C 9. ábr. ábr A 9. ábrán bevonlkázott rész korlátozási feltételeket teljesítő pontok hlmz. Ezt lehetséges megoldások hlmzánk nevezzük. Ezek közül kell kiválsztnunk zt, melre + 3 értéke minimális. Vezessünk be eg prmétert és legen 3 + 3 = eg d 3 egenes egenlete. Az előbbi egenescslád egenesei pár- huzmosk egmássl és metszéspontjuk z O tengell el (, ) pont. Ezen ege- nesek közül zt kell kiválsztnunk, mel metszi lehetséges megoldások trtománát és minimális. Azz d = d egenest ddig toljuk párhuzmosn felfele, meddig lesz közös pontj trtománnl. Könnű belátni, hog ez közös pont tr- h trtománt htároló egenesek egikével sem párhuz- tomán htárán vn, sőt mos d egenes, kkor vlmel csúcsbn tlálhtó. H párhuzmos vlmel htáregenessel és ezt z egenest érinti először párhuzmos eltolás során, kkor ezen egenes minden pontjábn minimális célfüggvén értéke, íg végpontokbn is. Következésképpen elégséges kiszámolni célfüggvén értékét végpontokbn és ezek közül legkisebb lesz minimális. Htározzuk meg trtomán csúcsink koordinátáit. Az egenesek egenleteiből lkotott rendszereket megoldv kpjuk, hog z A, B és C metszéspontok 4 koordinátái: A, 3, B 7 3, és C ( 6, ). A célfüggvén értékei ezekben 4 4 pontokbn: f, 3 3 = + 3 = 7 7 33 8, f 3, = + 3 = = 6, 5 és 3
96 értni helek f ( 6, ) = 6 + 3 = 8. Azonnli, hog B pont esetében vn minimum. Tehát z optimális, h 3 kg-ot vásárolunk z A tkrmánból é s 3,5 kg-ot B tkrmánból, ez 6, 5 millió lejbe kerül és trtlmz,3 kg-ot z I. tápngból,,7 kg-ot II. tápngból, kg-ot III. tápngból és 4, kg-ot IV. tápngból. Feldtok. Eg üzem kétféle oln árut készít, melekhez z A, B és C gépsorok is kellenek. Az első áru eg egségének elkészítéséhez z A gépsoron 5 ór, B gépsoron ór, C gépsoron ór kell; második áru eg egségének elkészítéséhez z A gépsoron 3 ór, B gépsoron 3 ór, C gépsoron 7 ór kell. Az A gépnek 8 ór, B gépnek 45 ór és C gépnek 89 ór szbd idej e vn. ) Hán egség árut készíthetnek rendelkezésre álló idő ltt, h z cél, hog lehető legtöbbet készítsenek. b) H z első árunál egségenként 5 pénzegség, míg másodiknál 9 pénzegség nereség, htározd meg mimális nereséget biztosító gártási strtégiát! enni ekkor ez mimális nereség?. A XI. E. osztál tedélutánr készül. A lánok elhtározzák, hog szendvicseket készítenek. A szendvicsek elkészítéséhez következő nersng gűlt össze: dkg vj, dkg sonk, dkg sjt, db kemén tojás. Keneret bármikor vásárolhtnk szomszéd boltbn. Kétféle szendvicset készítenek: sonkást é s sjtost. Eg sonkás szendvicshez 3dkg vjt, 3dkg sonkát, dkg sjtot, /4 tojást és eg szelet keneret hsználnk fel. A sjtos szendvicshez dkg vjr, dkg sonkár, 5dkg sjtr és / tojásr és eg szelet kenérre vn szükség. A rendelkezésre álló nersngból hán drb sonkás és hán drb sjtos szendvicset készítsenek úg, hog lehető legtöbben jóllkjnk ( szendvicsek szám lehető legngobb legen)? 3. Az A és B típusú ruhák elkészítéséhez következő munkműveletek szükségesek: unkművelet A B Szbás 3perc 3perc Vrrás perc 4perc Hegesztés perc Eg műszkon belül szbásr összesen 4 perc, vrrásr összesen 44 perc, hegesztésre összesen 8 perc fordíthtó. Az A típusú ruh 6 Pe (pénzegség) hszonnl, B típusú 3 Pe hszonn l jár. Az A típusú ruh termelési értéke drbonként 45 Pe, B típusú ruh termelési értéke drbonként 5 Pe. Hán drbot termeljen gár eg műszkbn, h ) mimális hszonr, b) mimális termelési értékre, c) mimális hszon mellett mimális drbszám elérésére töreks zik? Létezik-e oln termelési progrm, mel mindhárom követelmént egszerre kielégíti?
értni helek 97 3.3. ásodrendű görbék Az eddig tnulmánozott mértni helek egenletei elsőfokúk voltk mindkét változóbn. Azz egenesek, szkszok vg ezek áltl htárolt trtománok voltk. A továbbikbn oln mértni heleket tnulmánozunk, melek egenletében másodfokú tgok (, és ) is megjelennek. Az ilen görbéket nevezzük másodrendű görbéknek. 3.3.. A kör ár z áltlános iskolából tudjátok, hog kör zon pontok mértni hele síkbn, melek eg dott ponttól egenlő távolságr vnnk. A kör egenletei Htározzuk meg kör egenletét. Először z origó középpontú kör egenletét htároz kör sugr r. Ekkor z (, ) pont pontosn kkor vn rjt zuk meg. Legen körön, h origótól mért távolság r, zz + = r innen z origó középpontú r sugrú kör egenlete: C : + = r (), (Az ekvivlens átlkításokból következik, hog minden () egenletet teljesítő koordinátájú pont rjt vn körön) O r (,) O O r (,) O O. ábr. ábr 3. ábr Írjuk fel most eg tetszőleges O (, ) középpontú r sugrú kör egenletét. Az (, ) pont pontosn kkor vn rjt körön, h pedig egenértékű C :( ) + ( ) = r (), ( ) + ( ) = r, ez egenlettel, ez utóbbi egenlet z O (, ) középpontú r sugrú kör egenlete egjegzés. Tuljdonképpen C ( O, r) kör C ( Or, ) kör (, ) vektorrl vló párhuzm os eltolás áltli képe (3. ábr), innen pedig z () összefüggésből zonnl következik, hog ( O, r) egenlete () egenlet. C H () összefüggésben elvégezzük négzetre emeléseket és rendezzük, kkor z + + + r = lkú másodfokú kétismeretlenes ( )
98 értni helek egenletet kpjuk. Ezt z egenletet z áltlános másodfokú kétismeretlenes A + B + C + D + E + F = egenlettel összevetve megállpíthtjuk, hog z áltlános kétismeretlenes egenlet csk kkor lehet kör egenlete, h A= C és B =. Ebben z esetben A -vl vló végigosztás után kpjuk, hog z egenlet C : + + + b + c = (3) lkú. Ezt z egenletet nevezzük kör áltlános (descrtesi) vg normálegenletének. Vizsgáljuk meg, hog z, b, c számok befolásolják-e kör létezését. Egészítsük ki teljes négzetekre (3) összefüggést. (3) ( + ) + ( + b) ( + b c) =. Láthtó, hog: h + b < c, kkor nem léteznek (3) összefüggés, zt is szoktuk mondni, hog ekkor képzetes körünk vn; h + b = c, kkor z egenletet csk P(, b) pont elégíti ki, ilenkor nullkörről vg elfjult körről beszélünk; 3 h + b > c, kkor (3) egenlet P(, b) középpontú r = + b c sugrú vlódi kör egenlete. A kör prméteres egenletei H z ( ) egenletben végigosztunk r -tel, kkor z = + egenlethez r r jutunk. ivel! ϕ [, π) úg, hog = cos ϕ és = sin ϕ (ez éppen z ( r r, ) pontot z origóvl összeköt ő egenes O tengellel bezárt szöge), fennállnk = r cosϕ C : (4) = r sin ϕ összefüggések, miket kör prméteres egenleteinek nevezünk. H kör középpontj z O (, ), kkor prméteres egenletek: = + r cos ϕ C : (5) = + r sin ϕ egjegzés. H eg pont z ( + r, ) pontból indulv egenletes szögsebességgel mozog C ( O, r) körön, kkor ϕ > idő múlv z ( + r cos ϕ, + r sin ϕ) pontbn lesz. A kör belső illetve külső trtomán (, ) párok, melekre teljesül A kör síkot két diszjunkt trtománr bontj fel. A belső pontok hlmzát (z ellipszis belsejét vg belső trtománát) Int( C )-vel és külső pontok hlmzát (z
értni helek 99 ellipszis külső trtománát) { f } { f } Et( C ) = (, ) (, ) > Et( C ) -vel jelöljük (4. ábr). H tekintjük z f :, f (, ) = ( ) + ( ) r kétváltozós függvént, kkor: C = {(, ) f(, ) = } Et( C ) Int( C ) = (, ) (, ) < C Int( C ) Egenes és kör kölcsönös helzetei 4. ábr Eg egenes és eg kör három különböző kölcsönös helzetben lehet: nincs közös pontjuk (5. ábr), eg közös pontjuk vn, zz érinti (6. ábr) vg két különböző közös pontjuk vn, zz metszi (7. ábr) (A metszéspontokt megkphtjuk kör egenletéből és z egenes egenletéből álló rendszer megoldásából, mi tuljdonképpen eg másodfokú egenlet megoldásához vezet vissz, tehát innen is következtethetünk metszéspontok lehetséges számár.) 5. ábr 6. ábr 7. ábr A dott pontbn húzott érintő és normális egenletei ielőtt körhöz húzott érintő egenletét felírnánk, tekintsünk eg A + B + C + D + E + F = egenletű görbét és htározzuk meg z (, ) pontjábn húzott érintő egenletét. Az egenletből kifejezhető függvéneként. Íg, h z egenlet bl oldlát, mint függvénét tekintjük és deriváljuk, kpjuk: A + B + C + C + D + E =, honn n A + c + D = tő iránténezője B + C + E, tehát z (, ) pontbn húzott érin A + c + D m = egenlete: B + C + E, tehát z érintő A + c + D = B + C + E A + B + C + + D + E A + B + C ( 6) Tehát A ( ) ( ) ( ) ( ) ivel (, ) görbe pontj, következik, hog teljesíti z () összefüggést. + B + C = D E F
3 értni helek ( ) ( ) ( ) Innen (6) A + B + C + + D + + E + + F = + + + A + B + C + D + E + F = (7) Ez utóbbi összefüggést nevezzük z érintő duplázott egenletének, mert görbe + + + egenletéből z,,, és helettesítésekkel kpjuk. e Íg z () egenletű körhöz z (, ) C pontbn húzott érintő n egenlete: + = r (8) Értelmezés. Eg görbe dott pontjábn húzott érintőre merőleges egenest görbe ezen pontjához trtozó normálisánk nevezzük. (8. ábr) A (8) egenletből zonnl írhtjuk, hog z () egenletű körhöz z (, ) C pontbn húzott normális egenlete = (9) Pont körre vontkozó htván 8. ábr Feldt. Eg dott kört metszünk eg dott ponton át húzott egenessel. Számítsuk ki z pont és metszéspontok áltl meghtározott szkszok hosszánk szorztát. A B A B T O 9. ábr 3. ábr egoldás. Vegünk fel eg koordinátrendszert úg, hog z origój kör O középpontjáb kerüljön. Jelöljük z és z A vlmint B metszéspontok koordin,, B,. átáit következőképpen: ( ), A ( ) és ( ) ivel z, A és B pontok kollineárisk, írhtjuk, hog A B, h Et( C ) A B A B = = A B,h Int( C )., h C A B = + ( )( ) ( )( ) = + + + = =
értni helek 3 + + + + + = ( )( ) ( )( ) + + + + + = A OA + OB + + r = + r. Ez utóbbi egenlőségnél hsználtuk, hog z OA + OB vektor átmeg z AB húr felező pontján, tehát merőleges rr,, A és B kollineárisk, íg A ( OA + OB) A ( OA + OB) = vlmint mivel A C + =. Tehát bebizonítottuk, hog A B = + r, ez pedig nem r ( ) függ z egenes megválsztásától, csk z pont helzetétől és kör sugrától. H érintőt húzunk z pontból körhöz, kkor ez z érintő szksz hosszánk négzete. Ezt z állndót z pont C körre vontkozó htvánánk nevezzük. O r, h Et( C ) Tehát ρ = r O, h Int( C )., h C Feldt. Htározzuk meg zon pontok mért ni helét, meleknek két dott körre vontko zó htván egenlő. (Tekintsük csk zt z esetet, h mindkét körre nézve külső pont, vg mindkét körre nézve belső pontról vn szó.) egoldás. Vegünk fel eg koordinátrendszert úg, hog z O tengel két kör középpontját összekötő egenes legen. Ekkor körök középpontjink koordinátái: O o. Azon (, ) pontokt keressük, melekre O ( o, ) és (, ) ( ) ( ) o + r = o + r, hol r és r körök sugri. Az előbbi összefüggésből pedig kpjuk, hog z pont koordinátáir o o r + r ( o o) + r r o + o = = (h o o o o, zz h ( ) nem koncentrikusk körök.) Tehát mértni hel eg O -nl párhuzmos egenes, zz eg oln egenes, mel merőleges z OO egenesre. Ezt z egenest két kör htvántengelének nevezzük. T T T T O O O O 3. ábr 3. ábr
3 értni helek egjegzések.. H körök nem metszik egmást, kkor htvántengel zon pontok mértni hele, melekből két körhöz húzhtó érintő szkszok hossz egenlő.. H körök két különböző pontbn metszik egmást, kkor htvántengel metszéspontok áltl meghtározott egenes. (3. ábr) 3. H körök érintik egmást, kkor htvántengel közös érintő. (33. ábr) 4. H körök sugri egenlők, kkor htvántengel középpontok áltl meghtározott szksz felezőmerőlegese. (34. ábr) 5. H körök koncentrikusk, kkor nincs htvántengelük. T T T T O O O O 33. ábr 34. ábr Gkorltok és feldtok. A kör következő egenleteiből htározd meg kör középpontját és sugrát: ) + 4 = b) + + 6 7 = c) + + + = d) 3 + 3 4 6 5 =. Írd fel z ( 3, ) középpontú és d = 8 átmérőjű kör egenletét! Írd fel z = bszcisszájú pontjibn húzhtó érintőinek egenletét! 3. Htározd meg z + 4 = egenletű kör középpontjánk koor- és sugrát! Í rd fel körhöz z ( 3, 7) pontból húzhtó érintők egenletét! dinátáit 4. Htározd meg z ABC köré írt kör egenletét, h csúcsok koordinátái: A(, ), B (, 5) és C ( 6, 3). 5. Htározd meg zon kör egenletét, melnek középpontj ( 6, 7) és érintője z 5 4 = egenletű egenes! 6. Írd fel z + 4 + 5 = kör + = egenesre merőleges normálisánk egenletét. 7. Eg ( 3, ) középpontú kör 5 + 8 = egenletű egenesen eg 6 hosszúságú húrt htároz meg. Írd fel kör egenletét!
értni helek 33 8. Eg O középpontú kör AB átmérőjének hossz 4 ( > ). kör eg változó pontj. ) Írd fel z AO és BO háromszög ek köré írt P illetve Q középpontú körök egenletét; b) Bizonítsd be, hog P és Q pontok AB egenestől mért távolságink szorzt állndó és AP BQ. c) Htározd meg z AP és BQ egenesek metszéspontjánk mértni helét! 9. Htározd meg d : cosα + = és d : cosα = ( α ) egenesek metszéspontjánk mértni helét. 3.3.. Az ellipszis Htározzuk meg zon pontok mértni helét, meleknek két dott ponttól mért távolságink összege állndó és ngobb, mint ez távolság. ielőtt számolni kezdenénk, próbáljuk elképzelni ezt m értni helet. Rögzítsük le ezt z összeget és vágjunk eg ilen hosszúságú mdzgot. H lerögzítjük két végét z dott pontokb és kifeszítjük mdzgot, kkor kifeszítési pont távolságink összege z dott pontoktól egenlő mdzg 35. ábr hosszávl, zz ez eg pontj mértni helnek. Íg h eg ceruzávl feszítjük ki és minden ilen ponton végighúzzuk, kkor kirjzolódik mértni hel. (35. és 36. ábrák) Az íg kpott lkztot nevezzük ellipszisnek. Értelmezés. Azon pontok mértni helét, meleknek két dott ponttól mért távolságink összege állndó és ngobb, mint pontok közti távolság ellipszisnek nevezzük. Az dott pontokt pedig z ellipszis fókuszink vg gújtópontjink. 36.ábr A fókuszok áltl meghtározott egenest fokális tengelnek, fókuszok és z ellipszis eg tetszőleges pontj áltl meghtározott szkszokt pedig vezérsugrknk nevezzük. egjegzés. H fókuszok egbeesnek, kkor tuljdonképpen eg pont körül forgtjuk ceruzát és ekkor mértni hel eg kör lesz, tehát kör eg sjátos ellipszis. Htározzuk meg z ellipszis egenletét. Az ellipszis egenletei Az ellipszis knonikus egenlete Először eg oln ellipszis egenletét htározzuk meg, melnek fókuszi z O tengelen helezkednek el szimmetrikusn z origór. Tehát legenek F (,) c és F ( c, ) fókuszok és z állndó összeg (37. ábr). Ekkor eg (, ) pont pontosn kkor vn rjt z ellipszisen, h
34 értni helek ( ) ( ) c + + + c + = ( c) ( c) 4 + = 4 + ( + c) + + + < ()) ( + c) + = + c (( + c) + ) = ( + c) (menniben + c ()) ( c ) ( c ) + = ( c) + = ( + c) + 4 ( c) + + (menniben -b B + = (3). c Können ellenőrizhető, hog h és 37. ábr teljesítik z előbbi feltételt, kkor fennállnk z () és () egenlőtlenségek is, tehát (3) összefüggés z ellipszis egenlete. Azonnl láthtó, hog z ellipszis O tengelen levő B és B pontji eg enlő távolságr vnnk fókuszoktól és ez távolság. Íg h b B pont ordinátáj, kkor z OBF -ből b = c, innen z ellipszis egenlete következővé lkul: E : + = (4) b Ez z ellipszis implicit vg knonikus egenlete. Sőt z is beláthtó, hog h (, ) E, kkor (, ),(, ),(, ) E, tehát z ellipszis szimmetrikus tengelekre és z origór nézve. Az O tengelen fekvő A és A pontjir = AF + AF = A F + AF = AA, tehát z A illetve A - -c c A F O F bszcisszáj illetve. Azt mondjuk, hog AA z ellipszis ngtengele és BB z ellipszis kistengele. Íg fél ngtengel hossz, míg b fél kistengel hossz. O z ellipszis középpontj és fókuszok középponttól mért c távolságát nevezzük z ellipszis lineáris ecentricitásánk, lineáris ecentricitás és fél ngtengel hándosát pedig numerikus ecentricitásnk nevezzük és e -v el jelöljük, tehát c b e = =. Az ellipszis fókuszán átmenő és ngtengelre merőleges húr félhosszúságát z ellipszis prméterének szokás nevezni. A p prmétert z ellipszis b (3) egenletéből =± c helettesítéssel kpjuk: p =. Az ellipszis csúcsegenlete H z ellipszist párhuzmosn eltoljuk z (,) vektorrl, kkor z egenlete követ- ( ) b b p kezővé lkul: + = = E : = p (5). b Ezt nevezzük z ellipszis csúcsegenletének. b B A
értni helek 35 b - A -c F r B b O -b B c p r c F A 38.ábr: Az ellipszis dti F, F fókuszok O szimmetri-középpont FF fokális tengel FF = c fókusztávolság c lineáris ecentricitás AA = ngtengel fél ngtengel BB = b kistengel b fél kistengel r, r vezérsugrk ( r + r = ) p prméter Az O (, ) középpontú koordinát- tengelekkel párhuzmos tengelű ellipszis knonikus egenlete H z ellipszist páthuzmosn eltoljuk z (, ) vektorrl (39. ábr), kkor z ellipszis egenlete E ( ) ( ) : + = (6) lkú lesz b F O O c A 39. ábr F Az origó középpontú α Nézzük csk meg, mit jelent koordináták szempontjából, h elforgtunk vlmit α szöggel. A legegszerűbb, h felírjuk pontok ffiumit. Ekkor X. osztálból tudjuk, hog z + i ffiumú pont α szöggel vló pozitív trigonometrikus iránb történő origó körüli forgtás esetén z ( + i)(cosα+ isin α) ffiumú pontb kerül. Tehát z (, ) pont forgtás utáni koordinátái ( cos α sin α, sin α + cos α). Tehát szöggel elforgtott ellipszis egenlete ellipszisünket visszforgtjuk z eredetibe, kkor z ( ) cos( α) sin( α), sin( α) + cos( α ) = ( cos α+ sin α, sin α+ cos α) pontb kerül és erre felírv knonikus egenletet, kpjuk: ( cos α + sin α) ( sin α + cos α + ) b h z F O 4. ábr (, ) pontj z = (7), F α
36 értni helek ez utóbbi pedig z origó körül α szöggel elforgtott ellipszis egenlete Áltlános helzetű ellipszis egenlete Beláthtó, hog eg tetszőleges ellipszist megkphtunk eg origó középpontú koordináttengeleken fekvő kis- és ngtengelű ellipszisből eg forgtássl és eg párhuzmos eltolássl (lásd 4. ábrát). Legen forgtás szöge α és z eltolás- vektor z (, ). Ekkor z ellipszis egenlete: (( ) cos α+ ( ) sin α) ( ( ) sin α+ ( ) cos α) Az ellipszis prméteres egenletei H megfigeljük (4) egenletet, kijelenthetjük, hog = cos ϕ és = sin ϕ, innen b = cos ϕ, ϕ [, π ) (9) = bsin ϕ z ellipszis prméteres egenletei Ekkor z O (, ) O α F F 4. ábr + = (8) b! ϕ [, π) úg, hog középpontú koordináttengelekkel párhuzmos tengelű ellipszis prméteres egenletei: = + cos ϕ, ϕ [, π ) () = + bsin ϕ Az origó középpontú α szöggel elforgtott ellipszis prméteres egenletei: cos α+ sin α = cos ϕ sin α cos α sin ϕ = cos αcos ϕ bsin αsin ϕ + = = sin αcos ϕ + bcos αsin ϕ () Áltlános helzetű ( szöggel elforgtott és (, ) vektorrl párhuzmosn eltolt) α ellipszis prméteres egenletei: = + cos αcos ϕ bsin αsin ϕ () = + sin αcos ϕ + bcos αsin ϕ Felvetődik kérdés, hog z (, ) E pont ismeretében megszerkeszthető-e ϕ szög?
értni helek 37 Tekintsük (4) egenletű ellipszist. Ekkor eg oln ϕ szöget keresünk, melre = cos ϕ és = sin ϕ. b Egelőre z első negedben vizsgálódunk. Ehhez kellene eg befogójú és befogójú és b átfogójú illetve eg átfogójú háromszög. Szerkesszük meg z origó középpontú és kis illetve ng féltengel sugrú köröket (ld. 4. ábrát). Vetítsük z pontot tengelekre ( és - O A F vetületek tlppontji). Legenek D illetve E z O -re húzott merőleges és ng kör vlmint z O -r húzott merőleges és kis kör 4. ábr metszéspontji. Beláthtó, hog ekkor z O D és OE derékszögű háromszögekből cos( OD ) = és cos( OE ) =. ivel mindkét szög z első negedben b vn és + =, következik, hog m ( OE ) = m( OD ) = ϕ. Tehát b megszerkesztettük ϕ szöget. Hsonlón járunk el többi negedben is. Az ellipszis belső illetve külső trtomán Az ellipszis síkot két diszjunkt trtománr bontj fel. A belső pontok hlmzát (z ellipszis belsejét vg belső trtománát) Int( E )-vel és külső pontok hlmzát (z ellipszis külső trtománát) f :, E Et(E ) -vel F f (, ) = + kétváltozós függvént. Ekkor felírhtjuk, hog: b = {(, ) f(, ) = } {, f } { f } Int( E ) = ( ) (, ) < Et( E ) = (, ) (, ) > Egenes és ellipszis kölcsönös helzetei Int( E ) E b -b B B ϕ E D A jelöljük (43. ábr). Tekintsük z Et( E ) 43. ábr Eg egenes és eg ellipszis három különböző kölcsönös helzetben lehet: nincs közös pontjuk (44. ábr), eg közös pontjuk vn, zz érinti (45. ábr) vg két különböző közös pontjuk vn, zz metszi (46. ábr) (A metszéspontokt megkphtjuk z ellipszis egenletéből és z egenes egenletéből álló rendszer
38 értni helek megoldásából, mi tuljdonképpen eg másodfokú egenlet megoldásához vezet vissz, tehát innen is következtethetünk metszéspontok lehetséges számár.) 44. ábr 45. ábr 46. ábr Adott pontbn húzott érintő és normális egenlete Duplázássl zonnl írhtjuk, hog (4) egenletű ellipszishez z (, ) pontbn húzott érintő egenlete: + = (4) b (47. ábr). A (3) egenlet lpján normális egenlete: b = b (5.) 47. ábr Gkorltok és feldtok. Írd fel z ellipszis egenletét z lábbi esetekben, mjd ábrázold is: ) fókuszok F (, ) és F (, ), ng féltengel = 5 ; b) z egik fókusz F (, ), középpont C (, 4) és ng féltengel = ; c) középpontj z origó, tengelei koordináttengelek és átmeg z 9 A 4, 5 és A 3, pontokon; 5 d) ngtengele 6, fókuszi F ( 4, ) és F (, ).. Írd fel 6 + 5 + 3 84 = ellipszis knoniku s egenletét. 3. Htározd meg 4 + 9 = 676 egenletű ellipszis = 5 bszcisszájú pontjához húzott érintő egenletét. 4. Bizonítsd be, hog h eg O középpontú, F és F fókuszú ellipszis tetszőleges pontj, kkor F F + O = + b, hol illetve b ng illetve kis féltengel hossz. 5. Bizonítsd be, hog z összes oln háromszög közül, meleknek z egik oldl rögzített és kerületük állndó, z egenlőszárú háromszög területe legngobb. 6. Bizonítsd be, hog z ellipszishez dott pontbn húzott érintő és normális vezérsugrk áltl meghtározott szög külső illetve belső szögfelezői. (Ezt z ellipszis optiki tuljdonságánk is szokták nevezni, mert ennek következtében z ellipszis egik fókuszábn elhelezett fénforrásból kiinduló tetszőleges fénsugár z ellipszisről (elliptikus tükörről) történő visszverődés után másik fókuszon fog átmenni)