Gyakolatok és feladatok. Hatáozd eg a kvetkező, ekuzíva ételezett soozatok általáos tagját: a), = = " ³, ; (felvételi feladat,99., Teesvá), b),, =, = " ³ ; (felvételi feladat, 99., Teesvá) c) =, = 4 = - " ³ ;, - d), - =, = =, 6 " ³ ; =, =, = " ³. e),. Hatáozd eg a kvetkező soozatok általáos tagjáak képletét: a) 5 6 = -, =, = ; + + 5 b) 6 5 5 = -, =, = ; + + 6 6 c) = 4-4, = 6, = ; + + d) = - + +, =, =.. Bizoyítsd be, hogy az ( ) soozat tagjai teljesítik az ³ = a + b ekuziót, + + báely Î eseté, akko a b + b - a b - - = - - -. + + 4. Hatáozd eg az ( ) ³ soozat általáos tagjáak képletét, ha 5 = +, " ³. + - 5. Bizoyítsd be, hogy végtele sok olya egész szá létezik, aelyből kiidulva az = ± + + ekuziót teljesítő soozat tagjai egész száok sszes (az előjeleket ide lépésbe tetszőlegese egválaszthatjuk)! (Radó Feec Elékvesey.) 6. Hatáozd eg az sszes olya egész szásoozatot, aely teljesíti az + = " Î sszefüggéseket! + + 7. Bizoyítsd be, hogy az =,, - ³ soozat peiodikus (ha ételezett)!, ( ) k -, k -, 8. Bizoyítsd be, hogy az, Î( - kk, (, =, " ³ ekuziót teljesítő soozat peiodikus! 9. Hatáozd eg az = -, " ³, Î- [, ] soozat általáos tagját! - -. Hatáozd eg =,,, =, " ³ soozat általáos tagját. (Becze Mihály) az,
- -. Hatáozd eg az =-,, = " ³ soozat általáos tagját! - 4. Az Î N - soozat teljesíti az =, = - (- ) " ³ sszefüggéseket. Bizoyítsd be, hogy, =,-, " ³! (éettségi,998, Izael). Bizoyítsd be, hogy az ( ) =, = 4 =, 8, " ³,, sszefüggésekkel ételezett soozat ide tagja teészetes szá! 4. Egy eeletes házat háy külbző ódo szíezhetük ki fehée és feketée, ha két feketée szíezett eelet e keülhet egyás flé, és ide eeletek vagy fehéek, vagy feketéek kell leie? 5. Vizsgáld eg az, = a,, Î soozat kovegeciáját! (előbb vizsgáljátok eg, i lehet az első tag ahhoz, hogy a soozat jól-ételezett legye) 6. Vizsgáld eg az, = l(, ), Î soozat kovegeciáját!.. Másodedű lieáis ekuziók Ételezés. Másodedű lieáis ekuzióak evezzük az = a + b + +, " Î ekuziót, ahol abî, (vagy abî, ). Vizsgáljuk eg egy sajátos esetet. Feladat. Hatáozzuk eg az = -, =, = 5 soozat általáos tagját. + + Megoldás. A soozat további tagjai = 9, = 7, =, = 65. Látható, hogy a soozat 4 5 6 ide tagja -gyel agyobb it egy kettőhatváy, potosabba az = + sszefüggés sejthető. Ez igazolható a ateatikai idukció segítségével is, i azoba egpóbáluk olya ódszet adi, aely lehetővé teszi az általáos eset egoldását is. E célból átedezzük az adott ekuziót a kvetkező ódo: - = - + + + Így az y = - + jelléssel az adott ekuzió y = y alakba íható, tehát az + y soozat ³ - egy étai haladváy. Eszeit y = y =, tehát az - + = ekuzióból kellee eghatáozi az ( ) ³ soozat általáos tagját. Ha felíjuk ezt a ekuziót ede az.,.,...,, étékeke, ajd tagokét sszeadjuk a kapott egyelőségeket, akko az.. = + + + egyelőséghez jutuk. Ebből kvetkezik, hogy... = +. Eek a godolateetek az előye, hogy tetszőleges kezdőétékek eseté is haszálható (a egsejtés lehet, hogy ás kezdőétékek eseté e hozzáféhető). Tetszőleges és eseté y ( ) - = - és így... 4. = (. )( + + +... + + ), tehát ( ) ( ) - = - + -, " Î. Vizsgáljuk eg, hogy y = - + alakú helyettesítéssel (akácsak az előbb) ilye feltételek ellett tudjuk átalakítai az adott = a + b + + () ekuziót y = y alakú + ekuzióvá. Az y y = ekuzió + - = ( - ) + + +
alakba íható, ahoa = + -, tehát a egfelelő és egválasztása az + + ìï + = a ï í egyeletedsze egoldásáa vezetődik vissza. Így az és az - a - b = ï b =- ïî egyelet gykei. Ezt az egyeletet a () ekuzió kaakteisztikus egyeletéek evezzük. Mivel a kaakteisztikus egyeletek idig va két egoldása (esetleg egybeesők vagy kopleek), az előbbi feladat egoldása a kvetkezőképpe általáosítható: - = - -, - tehát ha ezt a ekuziót ede az,.,.,..., étékeke felíjuk, a k -adikat szoozzuk el és tagokét sszeadjuk a kapott egyelőségeket, akko az æ- - k -- k - = ( - ) å çè ø sszefüggéshez jutuk, it ez az alábbiakból kitűik. - = - - Ha - -4 - - = - - - - = - - -... - = ( - ) - + æ- - k -- k - = ( - ) å çè ø æ- - - -- k k ¹, akko az - = ( - ) å azoosság alapjá çè ø - - - - = c + c, ahol c = és c =. - - - -- k k - å, tehát ( k k ) Ha = =, akko = ( -) = + alakú. k - - Ha a kaakteisztikus egyelet együtthatói valósak de a gykei e valós száok, akko a soozat általáos tagjáak alakja egyszeűsíthető hisz = s( cos j± i si j), tehát, ( cos si ) = s k k+ k k. Az előbbi eseteket sszefoglalva kijelethetjük a kvetkező tételt: Tétel.. Ha az - a - b = kaakteisztikus egyelet gykei ¹ Î, akko az a b = + + + ekuzió általáos tagja = c + c alakú.. Ha az - a - b = kaakteisztikus egyelet gykei =, akko az = a + b + + ekuzió általáos tagja = ( k + k ) alakú.. Ha az - a - b = kaakteisztikus egyelet gykei = Ï, akko az a b = + + + ekuzió általáos tagja = ( k cos k+ k si k ) alakú, ahol j az edukált aguetua. A kostasokat idháo esetbe egadott tagokból hatáozzuk eg.
Eedéyek, útutatások. A soozat első éháy tagját kiszáoljuk kokéta és egpóbáljuk észevei a egfelelő képletet. a) =, ³ ; b), c) =,, ³ d) =, ³ ;,,,,...,. 4.. = =, ³, e) =, ³.. Másodedű, álladó együtthatójú ekuziók. Ha e tudják, akko igazoli lehet az általáos tag előállításáa voatkozó tételt.. Elégséges igazoli, hogy az y = - a - b soozata teljesül, hogy y b y =-. + 4. Az y = soozata lieáis a ekuzió. 5. Midkét előjel eseté + + + + + + + + - 4 =. A -as feladat alapjá látható, hogy az u = 4u - u soozat tagjai teljesítik ezt az sszefüggést, ha u + u - 4uu =. Tejesszük ki ezt a soozatot egatív ideeke is az u = 4u - u sszefüggést haszálva ( + + eseté). Másészt az + - 4 = sszefüggés szietikus + + és + -e ézve, ezét = ± +. + + u soozatot ( = és u = Î Ez azt jeleti, hogy ha tekitjük a gzített, -ből iduló u ), akko az ( ) soozat tagjai az előjelek egválasztásától függetleül az Î u Î soozat tagjai kzül keülek ki (ebbe a soozatba előe lépük, ha + előjelet választottuk és hátafele ha előjelet választottuk). Eiatt elégséges igazoli, hogy végtele sok olya és egész szá va, aelye 4 + - =. Ez ekvivales az - - = (Pell típusú) egyelettel és eek végtele sok egoldása előállítható az a b = b és = a + b ). = eseté Î{ - } 6., + = +, a, b Î kifejtésből (. Ez alapjá a páos ideű tagok észsoozata kostas vagy kostas -. = -e = és így + =, ha ³. Az étéke tetszőleges lehet (csak e - ). 7-8. Lehet kokét étékekkel is póbálkozi az elejé és aztá a ekuzió alapjá kiszáoli,, -at az függvéyébe.,, 4, 8 9. Az = y soozat eseté a ekuzió y = 4y - y, " ³, y Î- [, ] alakú, vagyis ha y cos a =, akko y cos ( a ) =. - -
p u. = ta. A ekuzió alapjá, ha = tau, akko ta 4 + =, tehát 6 -. =, ³.. Mateatikai idukcióval. 6,. A gykt kiküszblve, szeit átedezve és felíva a ásodfokú egoldását az,,, p = ta. + =, = 4 = - 8, " ³ sszefüggéshez jutuk. Ez alapjá = + -, tehát ide tagja egész szá (et = 9 is az). + + + 4. Ha az eelet lehetséges szíezéseiek száa, akko =, = és = + et ha az első szit fehé, akko a tbbit ódo lehet kiszíezi és ha az első + - szit fekete, akko a ásodik fehé és a tbbit - ódo lehet szíezi. 5-6. A gafikus képe kellee ábázoli a soozat tagjait pókháló ódszeel (cobweb ethod) és oa leolvasható a soozat viselkedése.