SZÉCHNYI ISTVÁN GYTM ALKALMAZOTT MCHANIKA TANSZÉK 1. MCHANIKA-VÉGSLM MÓDSZR LŐADÁS (kidogozta: Szüe Veronika, eg. ts.) Bevezető: A számítógépes mérnöki tervező rendszerek szinte mindegike tartamaz végeseem módszeren aapuó anaízis moduokat, ameek sziárdságtani, dinamikai, áramástani, hőtani, eektromágneses, stb. eadatok mérnöki szempontok szerinti megodását teszik ehetővé. zen programrendszerek hatékon ehasznáásához szükség van azonban a módszer evi aapjainak, numerikus technikáinak ismeretére. zen ismeretek hiána modeezési tévedésekhez vezet, vaamint gátoja az anaízis eredmének megértését. Végeseem módszer: numerikus ejárás mérnöki, izikai eadatok közeítő megodására. Az ejárás aapgondoata: A keresett (ismereten) mezőket résztartománonként közeítjük. Az egész tartománra (testre, akatrészre) érvénes mezőt résztartománokra evett mezők összekapcsoásáva áítjuk eő. A kitűzött rugamasságtani eadat megodását vaamien energiaev akamazásáva áítjuk eő. Leginkább a Lagrange-ée variációs ev akamazása eterjedt, aho az emozduás mező az esődeges ismereten. Az emozduás mezőn aapuó végeseem módszer eépítése: A testet (akatrészt) tetszőeges aakú, véges számú résztartománra, ún. véges eemre bontjuk. Az emozduás mezőt eemenként küön-küön közeítjük. A közeítő üggvének átaában poinomok. zt okáis közeítésnek nevezzük. Az eemeken nevezetes, kitüntetett pontokat, ún. csomópontokat veszünk e. Az eemenként evett közeítő üggvéneket a csomóponti (emozduás) paraméterek segítségéve összeiesztjük. A Lagrange-ée variációs ev akamazásáva a csomóponti paraméterekre ineáris agebrai egenetrendszert kapunk, A ineáris agebrai egenetrendszerbő meghatározzuk a csomóponti (emozduás) paramétereket. A csomóponti paraméterek ismeretében a test (akatrész) bárme pontjában meghatározhatók a sziárdságtani (emozduási, aakvátozási, eszütségi) áapotok. 1. gdimenziós, rugamas, peremérték eadat: gdimenziós: eg darab vátozó (üggvén) meghatározása a cé, azaz 1 darab koordinátátó vaó üggést jeent. Jeen esetben húzott-nomott rúd egensúi egenetének származtatása a eadat (rácsos tartóban csak ienek vannak).
Rugamas: a test visszaneri áapotát, a terheés megszűntetése után. Peremérték eadat: dierenciá-egenet megodását jeenti, adott peremetéteek meett. Adott: hosszúságú, A keresztmetszetű, homogén, prizmatikus rúd. A rúd anaga homogén, izotróp és ineárisan rugamas, rugamassági moduusa. A u A p gv d A p 1. ábra: Húzott-nomott prizmatikus rúdeadat Prizmatikus rúd: minden keresztmetszete egorma. A rúd rúdiránú önsúáva és a végapján megoszó erőve terhet. A rúd térogatán egenetesen megoszó önsú sűrűségvektora: g. A rúd jobbodai végapján megoszó, rúdiránú erőrendszer sűrűségvektora: p pe További jeöések: Au - beogásná eheezkedő keresztmetszet, kinematikai perem, Ap - terheésné eheezkedő keresztmetszet, dinamikai perem, Rúd középvonaa: rúd S ponti száa, a keresztmetszetek S pontjai áta akotott vona. A középvona a rúd mechanikai modeje. u - emozduás vektor, jeen esetben üggvéne ( u üggvént ke meghatározni), p - eüeten megoszó terheés. Ag F e. ábra: Húzott-nomott prizmatikus rúdeadat eg dimenziós modeje
Terheések redukáása a rúd középvonaába: Térogaton megoszó terheés: gv ga ga /: Vona mentén megoszó terheés: g V ga gae kg N s m Végapot terheő megoszó erő eredője F p A e p Ae F e N p F Azaz összeogava, ismert a rúd terheése, geometriai adatai, anagáandói, terheése. 3 db egenetet ke eírni a rúd emozduásának megáapításához, ameek a következő ejezetben kerünek tárgaásra. 1.1. A rúd rugamas peremérték eadatának egenetei A húzott-nomott prizmatikus rúd rugamas peremérték eadatának egeneteit a statikában és sziárdságtanban tanut ismeretek aapján áítjuk eő. Az adott eadat esetén keressük az iránú, u emozduást, mint a he üggvénét. Az emozduás üggvén a rúd összes pontjának emozduását magában ogaja, ezért szokás emozduás mezőnek is nevezni. Kinematikai vag geometriai egenet: d du 3. ábra: emi hosszúságú rúdeem hosszvátozása A rúd eg eemi hosszúságú szakaszát, d -t vizsgájuk. -sze jeöt távoságra heezkedik e az origótó. du Kapcsoatot teremt az emozduások és aakvátozások között. d Az aakvátozás azt ejezi ki, hog az eredeti hosszhoz képest mennive vátozik a rúd hossza (aránszámot jeent)., aho tuajdonképpen a du -k összessége megadja -t.
(Kinematikai egenet származtatása: ', aho u u 4. ábra: emi rúdszakasz emozduása he ' u u u -t emozdu ' egenetbe beheettesítve, és határértékét véve: u u u u du im im 0 0 d ) gensúi egenet: a rúd egensúban van, ha F 0. d N d N d d 5. ábra: Az eemi hosszúságú rúdeem egensúa d hosszúságú eemi rúdszakaszt vizsgájuk, ami az origótó egen távoságra. A rúdon beü a két evágott rúdszakaszt beső erők heettesítik. Mindkét rúderő pozitív, azaz húzásró beszéünk, középen hat d. Ha tehát a rúd egensúban van, az erők összegének nuának ke ennie.
Azaz: 0 / / : N N N N / im 0 N N dn dn im Húzott-nomott rúd egensúi egenete, 0 d d ami kapcsoatot teremt a terheések és beső erők között, aho a kapcsoat eg derivát. 1. Megjegzés: Az üggvén derivátján az h : im h0 h határértéket értjük (etéteezve, hog étezik és véges).. Megjegzés: dm dt hz T,. d d Nomatéki egenet dierenciáis aakja. Rúdra merőeges terheés. Anagegenet: Hooke-törvén: ineárisan rugamas anagró van szó. (egdimenziós eset), aho N N A - normá eszütség, A - rugamassági moduus, - ajagos núás. / A A N A anag egenet: kapcsoatot teremt a beső erők és az aakvátozás között. Kinematikai peremetéte: az emozduásra vonatkozó etétet jeenti. (z ebben az esetben a beogásra vonatkozik, aho a rúd vízszintesen biztos, hog nem tud emozduni). Az 1. ábrán átható A u eüetné adott az emozduás értéke: u u 0 0 0. Dinamikai peremetéte: a terheésekre vonatkozó etétet jeenti. Jeen esetben csak a test eüetére, peremére vonatkozó terheéseket vesszük igeembe. A. ábrán átható eüetné adott a terheés értéke: N F.(Amenniben a rúderő beeé mutat, negatív eőjeet ke kitenni, mert nomásró van szó). A p
A rugamas peremérték eadatban tehát az u emozduás, ajagos núás,, N rúderő három ismereten üggvén ordu eő. Összeogava: a rugamas peremérték eadat megodásához pedig rendekezésünkre á a rugamasságtan egenet-rendszere húzott-nomott rúdra, vaamint a kinematikai és dinamikai peremetéte. du Kinematikai egenet : d dn gensúi egenet : 3 db skaár egenet, 3 db skaár üggvént jeent d Anag egenet : N A Tehát ezen 3 egenette és a két peremetétee adott peremérték eadat anaitikus megodását szokás téneges megodásnak vag egzakt megodásnak nevezni.
1.. A rúd rugamas peremérték eadatának anaitikus megodása: du A kinematikai egenetet ( ) beheettesítjük az anag egenetbe: d N A N du A zen kiejezést pedig az egensúi egenetbe d heettesítjük: d du A d d d u dn d A A rúd homogén, prizmatikus, íg az A szorzat kiemehető a záróje d eé, íg a eadathoz megkapjuk az emozduásra vonatkozó aapegenetet. Vaamint A és konstansok, íg oszthatunk veük. d u A /: A d d u Másodrendű dierenciá egenet, amit kétszer ke integránunk. (Konstans d A integrája: konstans-szor +konstans, aho konstans megoszó terheés.) du / A d d du C1 / d d A u C1 C, aho a konstansok meghatározása a peremetéteek, mindig az A adott eadatra vonatkozó peremetéteek meghatározásáva történik. Tehát a peremetéteek ( N F, u u kapjuk: a dinamikai peremetéte szogátatja az eső konstanst: du du N A A d d, aho du C d A A C1 A 1, íg az egenet: N F 0 0 0 ) ehasznáásáva a következőket du A A C1 F d A F AC1 F C1. A Vaamint a kinematikai peremetéte segítségéve kapjuk a második konstanst:
u C1 C A Azaz a peremetéte igeembevéteéve: u 0 0 0 C1 0 C C 0. A zek után az anaitikus vag téneges megodás zárt aakban írható e: u C C A 1 (beheettesítve) F 0, A A u vaamint: du N A A C d A 1 (beheettesítve) du F N A A F d A A Az anaitikus megodás ábrázoása: a b b b a b u 6. ábra: Paraboa ábrázoása F 0 ábrázoása (nevezetes pontokná történő A A beheettesítésse): u 0 0 F u 0 A A u u 1. tábázat: mozduás üggvén ábrázoása du F N A A F ábrázoása (nevezetes d A A pontokná történő beheettesítésse): Megjegzés: a b genes egenete. meredekség tengee vett metszéspont
N F 0 N F N F. tábázat: Rúderő üggvén ábrázoása F g mechanikai peremérték eadat megodása többnire csak egszerű esetekben ismert, mint a ent vázot eadat is mutatja. Összetett térbei eadat esetén az anaitikus megodását nem tudjuk eőáítani, csak közeítő megodássa tudunk szogáni. A továbbiakban ezen egszerű egdimenziós eadat közeítő megodásának bemutatására kerü sor. 1..1. Pédák kinematikai és dinamikai peremetéteek megadására: F Kinematikai peremetéte: u0 0 Dinamikai peremetéte: N F F F Kinematikai peremetéte: u 0 Dinamikai peremetéte: N 0 F Kinematikai peremetéte: u 0 Dinamikai peremetéte: N F 0 F Kinematikai peremetéte: u0 0 Dinamikai peremetéte: N F
Kinematikai peremetéte: u0 0 Dinamikai peremetéte: N F F Kinematikai peremetéte: u0 0 Dinamikai peremetéte: N F F Kinematikai peremetéte: u 0 Dinamikai peremetéte: N F F F Kinematikai peremetéte: u 0 Dinamikai peremetéte: N 0 F 1... Pédák perem érték eadat megodására: 1. péda: F Kinematikai peremetéte: u0 0 Dinamikai peremetéte: N F du Kinematikai egenet : dn gensúi egenet : d Anag egenet : N A d Megodás: du A kinematikai egenetet ( ) beheettesítjük az anag egenetbe: d N A
N du A zen kiejezést pedig az egensúi egenetbe d heettesítjük: d du A d d d u dn d A A rúd homogén, prizmatikus, íg az A szorzat kiemehető a záróje eé, d íg a eadathoz megkapjuk az emozduásra vonatkozó aapegenetet. Vaamint A és konstansok, íg oszthatunk veük. d u A /: A d d u Másodrendű dierenciá egenet, amit kétszer ke integránunk. (Konstans d A integrája: konstans-szor +konstans, aho konstans megoszó terheés.) du / A d d du C1 / d d A u C1 C, aho a konstansok meghatározása a peremetéteek, mindig az A adott eadatra vonatkozó peremetéteek meghatározásáva történik. Tehát a peremetéteek ( N F, a dinamikai peremetéte szogátatja az eső konstanst: du du N A A d d, aho du C d A A C1 F A 1, íg az egenet: N u 0 0) ehasznáásáva a következőket kapjuk: du A A C1 F d A F AC1 F C 1. A Vaamint a kinematikai peremetéte segítségéve kapjuk a második konstanst: u C1 C A Azaz a peremetéte igeembevéteéve: u 0 0 0 C1 0 C C 0. A zek után az anaitikus vag téneges megodás zárt aakban írható e:
u C C A 1 (beheettesítve) F 0, A A u vaamint: du N A A C d A 1 (beheettesítve) du F N A A F d A A. péda: F Kinematikai peremetéte: u 0 Dinamikai peremetéte: N0 F du Kinematikai egenet : dn gensúi egenet : d Anag egenet : N A d Megodás: du A kinematikai egenetet ( ) beheettesítjük az anag egenetbe: d N A N du A zen kiejezést pedig az egensúi egenetbe d heettesítjük: d du A d d d u dn d A A rúd homogén, prizmatikus, íg az A szorzat kiemehető a záróje d eé, íg a eadathoz megkapjuk az emozduásra vonatkozó aapegenetet. Vaamint A és konstansok, íg oszthatunk veük. d u A /: A d d u Másodrendű dierenciá egenet, amit kétszer ke integránunk. (Konstans d A integrája: konstans-szor +konstans, aho konstans megoszó terheés.)
du / A d d du C1 / d d A u C1 C, aho a konstansok meghatározása a peremetéteek, mindig az A adott eadatra vonatkozó peremetéteek meghatározásáva történik. Tehát a peremetéteek ( N F, 0 a dinamikai peremetéte szogátatja az eső konstanst: du du N A A d, aho d 0 u 0) ehasznáásáva a következőket kapjuk: du C1, íg az egenet: d A du N 0 A A C1 F d A A C1 F A 0 F AC1 F C 1. A Vaamint a kinematikai peremetéte segítségéve kapjuk a második konstanst: u C1 C A Azaz a peremetéte igeembevéteéve: F F u 0 4 C C A A A A zek után az anaitikus vag téneges megodás zárt aakban írható e: 0 u C1 C (beheettesítve) A F F u, A A A A vaamint: du N A A C1 d A (beheettesítve) du F d A A A 1 N A A C A F