Végeselem analízis. 1. el adás

Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7.

Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek) közelít megoldására szolgálló numerikus módszer.

Mi az a VégesElem Analízis (VEA)?

Rugalmasságtani alapok Dinamika Anyagtörvények Rugalmasságtani peremérték feladat megfogalmazása (er s alak) Rugalmasságtani peremérték feladat közelít megoldása Virtuális munka elve Virtuális elmozdulás elve (gyenge alak) Potenciális energia minimuma elv Lagrange-féle variációs elv Ritz-módszer

A végeselem módszer felépítése 3D-s feladatra Tetraéder, pentaéder és hexaéder végeselemek Elmozdulások, alakváltozások és feszültségek közelítése egy végeselemen A gyenge alak végeselemes diszkretizálása Teljes szerkezet merevségi mátrixa és tehervektora i peremfeltételek gyelembevétele Megoldás: elmozdulás-, alakváltozás- és feszültségmez el állítása Speciális terhelések i terhelés Rugalmas ágyazás Kiegészítések a végeselem módszerhez Numerikus integrálás: Gauss kvadratúra

Mechanikai modellek a végeselem módszerben Rúd-modellek Bernoulli-féle rúdelmélet Timoshenko-féle rúdelmélet 2D-s feladatok Általánosított síkfeszültség feladat Síkalakváltozási feladat Forgásszimmetrikus feladat Lemez- és héj-modellek Mebrán elmélet Kirchho-Love elmélet Reissner-Mindlin elmélet

: A kinematika a testek mozgását, alakváltozását írja le, és nem keresi a mozgást vagy alakváltozást létrehozó okokat.

: A kinematika a testek mozgását, alakváltozását írja le, és nem keresi a mozgást vagy alakváltozást létrehozó okokat. A kinematika szó eredete: κινε ιν (kinein), jelentése: mozogni.

Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r r e z e x O e y

Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r r e z e x O e y r a deformálatlan test pontjaiba mutató vektor r = x e x + y e y + z e z

Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r r e z e x O e y r a deformált test pontjaiba mutató vektor r = x e x + ỹ e y + z e z ahol x = x (x, y, z) ỹ = ỹ (x, y, z) z = z (x, y, z)

Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r e z r e x O e y u = r r = ( x x) e x + (ỹ y) e y + ( z z) e z = u e x + v e y + w e z ahol u = u (x, y, z) v = v (x, y, z) w = w (x, y, z)

Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r e z r e x O e y χ ( r) egy vektor-vektor függvény, amely megadja a deformálatlan test pontjainak leképezését a deformált test pontjaira. Ez a függvény nem feltétlenül lineáris! χ ( r) = χ (x, y, z) = r

Elmozdulások

χ( r) P Q r u + u u Q P r r e z r e x O e y vagy ugyan ez másként χ ( r P ) = r P χ ( r Q + r) = r Q + r

χ( r) P Q r u + u u Q P r r e z r e x O e y Kérdés: Mekkora a u, ha r és r tetsz leges?

χ( r) P Q r u + u u Q P r r e z r e x O e y r + r + ( u + u) = r + r

χ( r) P Q r u + u u Q P r r ez r r + r + ( u + u) = r + r ex O ey

χ( r) P Q r u + u u Q P r r ez r r + r + ( u + u) = r + r ex O ey r + r + ( u + u) = χ ( r) + [ χ ( r + r) χ ( r)] }{{}}{{} r r

χ( r) P Q r u + u u Q P r r ez r r + r + ( u + u) = r + r ex O ey r + r + ( u + u) = χ ( r) + [ χ ( r + r) χ ( r)] }{{}}{{} r r r }{{ + u } + r + u = χ ( r + r) r

Sorfejtés a lineáris tagokig bezárólag χ ( r + r) χ ( r) }{{} r + χ x χ χ x + y + y z z +

Sorfejtés a lineáris tagokig bezárólag χ ( r + r) χ ( r) }{{} r + χ x χ χ x + y + y z z + r + r + u = r + χ χ χ x + y + x y z z

Sorfejtés a lineáris tagokig bezárólag χ ( r + r) χ ( r) }{{} r + χ x χ χ x + y + y z z + r + r + u = r + χ χ χ x + y + x y z z r + u = χ χ χ x + y + x y z z

r + u = χ χ χ x + y + x y z z =

r + u = χ χ χ x + y + x y z z = = χ x ( e x e x ) x + χ y ( e y e y ) y + χ z ( e z e z ) z =

Azonosság ( ) ( a b c = a ) b c

= r + u = χ χ χ x + y + x y z z = = χ x ( e x e x ) x + χ y ( e y e y ) y + χ z ( e z e z ) z = ( ) ( ) ( ) χ χ χ x e x e x x + y e y e y y + z e z e z z

( ) ( ) ( ) χ χ χ x e x e x x + y e y e y y + z e z e z z =

( ) ( ) ( ) χ χ χ x e x e x x + y e y e y y + z e z e z z = ( ) χ = x e x ( χ + y e y ( χ + z e z ( ) ( ) χ χ e x x + x e x e y y + x e x e z z+ ) e x x + ) e x x + ( χ y e y ( χ z e z ) e y y + ) e y y + ( χ y e y ( χ z e z ) e z z+ ) e z z =

( ) χ = x e x ( e x x + e y y + e z z) + ( ) χ + y e y ( e x x + e y y + e z z) + ( ) χ + z e z ( e x x + e y y + e z z) =

= ( ) χ = x e x ( e x x + e y y + e z z) + ( ) χ + y e y ( e x x + e y y + e z z) + ( ) χ + z e z ( e x x + e y y + e z z) = ( χ x e x + χ y e y + χ ) z e z ( x e x + y e y + z e z )

= r + u = ( χ x e x + χ y e y + χ ) z e z ( x e x + y e y + z e z ) =

= r + u = ( χ x e x + χ y e y + χ ) z e z ( x e x + y e y + z e z ) = = χ ( ) x e x + y e y + z e z }{{} ( x e x + y e y + z e z ) = }{{} r

= r + u = ( χ x e x + χ y e y + χ ) z e z ( x e x + y e y + z e z ) = = χ ( ) x e x + y e y + z e z }{{} ( x e x + y e y + z e z ) = }{{} r = χ r

Mivel χ ( r) = r és r = r + u

Mivel χ ( r) = r és r = r + u r + u = r r = r r r = ( r + u) r = r

Mivel χ ( r) = r és r = r + u = r + u = ( r r + u ) r r r = r r r = ( r + u) r = r r = r r }{{} I r + u u r = r + r r r

r + u = r + u r r u = u r r

Deníció Az elmozdulás függvény gradiensét deriválttenzornak nevezzük. u r = u = D

Deníció Az elmozdulás függvény gradiensét deriválttenzornak nevezzük. u r = u = D D = u x e x + u y e y + u z e z

Deníció Az elmozdulás függvény gradiensét deriválttenzornak nevezzük. u r = u = D D = u x e x + u y e y + u z e z (xyz) [ ] D = u x v x w x u y v y w y u z v z w z

A deriválttenzor felbontása szimmetrikus és ferdén szimmetrikus részekre D = 1 ( D + D T ) + 1 ( D D T ) } 2 {{}} 2 {{} A Ψ

Tétel Ha az u, v és w deriváltjai sokkal kisebbek mint egy, akkor az A jó közelítéssel az alakváltozást írja le, a Ψ pedig a tengely körüli szögelfordulást. A az alakváltozási tenzor, Ψ a forgató tenzor.

Tétel Ha az u, v és w deriváltjai sokkal kisebbek mint egy, akkor az A jó közelítéssel az alakváltozást írja le, a Ψ pedig a tengely körüli szögelfordulást. A az alakváltozási tenzor, Ψ a forgató tenzor. Ezzel feltételeztük, hogy a vizsgált alakváltozások kicsik.

Deníció Az A = 1 ( D + D T ) = 1 ( u + u) 2 2 egyenletet kinematikai egyenletnek nevezzük.

Deníció Az A = 1 ( D + D T ) = 1 ( u + u) 2 2 egyenletet kinematikai egyenletnek nevezzük. A kinematikai egyenlet kapcsolatot teremt az elmozdulások és az alakváltozások között.

Elemi triéder e z Q e x e y

A deriválttenzor szemléltetése u = D r = A r + Ψ r Ha r = e x u x = A e x + Ψ e x = α x + β x r = e y u y = A e y + Ψ e y = α y + β y r = e z u z = A e z + Ψ e z = α z + β z

Deriválttenzor szemléltetése α z βz u z e z β x e y α y Q u x u y β y e x α x

szemléltetése u [ ] ( x ) A 1 = v 2 x + u y (xyz) ( 1 w 2 x + u ) z ( 1 u 2 y + v 1 2 v y ( w y + v z 1 ( u x) 2 z + w x ) 1 2 ( v z + w y w z ) ) vagy tömörebben A = 1 ( u + u) 2

Alakváltozás szemléltetése w z ( 1 u + ) w 2 z x α z ( 1 v + ) w 2 z y e z ( 1 w + ) u 2 x z Q ( 1 w + ) v 2 y z α x ( 1 v + ) u u x 2 x y e x e y v y α y ( 1 u + ) v 2 y x

Ha a kezdetben egységnyi hosszúságú szakaszok hossza csak kis mértékben változik meg és a koordináta-tengelyek kezdetben kilencven fokos szöge csak kis mértékben csökken vagy növekszik, azaz u x 1 v y 1 w z 1 és 1 2 ( u y + v ) 1 x ( 1 v 2 z + w ) 1 y ( 1 w 2 x + u ) 1 z

akkor a fajlagos nyúlások az ε x u x ε y v y ε z w z összefüggésekkel, a szögtorzulások pedig a 1 2 γ xy = 1 ( ( 1 u 2 γ yx = arc tg 2 y + v )) 1 ( u x 2 y + v ) x 1 2 γ yz = 1 ( ( 1 v 2 γ zy = arc tg 2 z + w )) 1 ( v y 2 z + w ) y 1 2 γ zx = 1 ( ( 1 w 2 γ xz = arc tg 2 x + u )) 1 ( w z 2 x + u ) z összefüggésekkel kaphatók.

[ ] A = (xyz) 1 2 1 2 u ( x v x + u y ( w x + u z ) ) ( 1 u 2 y + v 1 2 v y ( w y + v z 1 ε x 2 γ xy 1 1 ( u x) 2 z + w x ) 1 2 γ xz 2 γ 1 yx ε y 1 2 γ 1 zx 2 γ zy ε z 2 γ yz 1 2 ( v z + w y w z ) )

Alakváltozás szemléltetése ε y 1 2 γ xz α z 1 2 γ yz e z α x 1 2 γ zx e x Q e y 1 2 γ zy α y 1 2 γ xy 1 2 γ yx ε x ε y

i egyenlet Skalár egyenletek ε x = u x, ε y = v y, γ xy = u y + v x γ yz = v z + w y γ zx = w x + u z ε z = w z

/ A = 1 ( u + u) / 2

/ A = 1 ( u + u) / 2 ( ) 1 A = ( u + u) = 2

/ A = 1 ( u + u) / 2 ( ) 1 A = ( u + u) = 2 = 1 u 2( }{{} + }{{ } u ) = 0 0 0

i egyenlet Az A = 0 egyenletet kompatibilitási egyenletnek nevezzük.

Ellen rz kérdések Mit nevezünk deriválttenzornak? Hogy számítható ki a deriválttenzor az u elmozdulásmez ismeretében? (Írja fel a képletet!) Írja fel a deriválttenzor mátrixát az xyz koordináta-rendszerben! Hogyan bontható fel a deriválttenzor szimmetrikus és ferdén szimmetrikus részekre? A deriválttenzor additív felbontása esetén mi a szimmetrikus és a ferdén szimmetrikus rész jelentése? Milyen további feltételezésekkel kell még élnünk? Írja fel a kinematikai egyenletet tenzor egyenlet formájában! Írja fel a kinematikai egyenletet skalár egyenletek formájában! Írja fel az alakváltozási tenzorra vonatkozó kompatibilitási egyenletet!