Dr. Beszeda Imre 2008

D. Beszeda Ime 008

t a t a l o m j e gy z é k a fizika tágya, helye a tem.tudományok köében, a fizikai megismeés folyamata és módszeei, a fizikai mennyiségek jellege, métékendszeek, alapmennyiségek mechanika kinematika dinamika, alapvető fizikai kölcsönhatások munka, enegia meev testek, defomálható testek ezgések, hullámok hőtani alapok gázok állapotváltozásai, temodinamika főtételei, elektomosságtan és mágnesség nyugvó és mozgó elektomos töltés, egyen- és váltakozó áam, ellenállás, kondenzátook, RLC köök, optika fénytejedés, geometiai optika, fizikai optika, adioaktivitás, atomenegia, + gyakolati alkalmazásaik

kötelező iodalom :. Dezső Gegely: Fizika (003, főiskolai jegyzet). Dezső Gegely: Fizika példatá és feladatgyűjtemény (007, főiskolai jegyzet) ajánlott iodalom :. Holics L.: Fizika I-II.. Hadházy T., Szabó T., Szabó Á.: A fizika alapjai 3. Elichné, Hadházy, Hagitainé, Kiss, Nyilas, Sinkovicsné, Vallne, Iszály: Temészettudományi alapismeetek 4. középiskolás fizika tankönyvek 5. Öveges könyvek 6. Tasnádi-Béces-Skapits-Litz:Mechanika I-II + Hőtan

tantágyfelelős: D. Dezső Gegely, Műszaki Alapozó és Gépgyátástechnológia Tanszék előadás: heti óa hetente óa, D. Beszeda I. gyakolat: heti óa, D. Beszeda Ime, D. Vaga Kláa, Elichné D. Bogdán Katalin, Taján Péte db. ZH: a 44. és 50 naptái héten félév elfogadható mindkét ZH megíása esetén vizsgáa bocsátás feltétele: TVSZ 8. Részvétel a foglalkozásokon Az előadások a képzés szeves észét képezik, így a Főiskola a hallgatóktól elvája a észvételt az előadásokon. A gyakolati foglalkozásokon, összefüggő gyakolatokon a észvétel kötelező. A félévi hiányzás megengedhető météke a tantágy heti kontakt óaszámának háomszoosa. össz. 00 pont 5 + 5 + 50 ( Zh + vizsga) + plussz pontok!

vizsgán: minimumkédések A és B tétel Pontszám: 86-00 (5) jeles 76-85 (4) jó 6-75 (3) közepes 5-60 () elégséges 5 pont alatt () elégtelen ha a ZH-n min. 45 pont jeles megajánlása 40 pont jó

a fizika helye a temészet- tudományok köében élettelen temészet vizsgálata cél: a temészeti jelenségek tanulmányozása, objektív tövények megismeése, ezek évényességi hatáainak vizsgálata, és a tövények gyakolati alkalmazása de : kémia, földtudomány, csillagászat is, valamint intediszciplináis alkalmazások (pl. kistályok vizsgálata)

a fizikai megismeés folyamata konkét általános általános konkét induktív deduktív megfigyelés spontán tapasztalás (alma leesik a fáól) tudatos kíséletezés méés a fizikai jelenségek vizsgálata mesteséges köülmények között kezdeti feltételek egyszee csak egy fizikai mennyiséget változtatunk miközben egy másik változását egisztáljuk (ejtegetős kíséleteket végzünk)

megfigyelés következtetés : a Föld vonzza a többi testet modell / elmélet alkotás : Newton-féle gavitációs tövény hipotézis / jóslás : vajon bámelyik két test vonzza egymást? (fizikai mennyiségek közötti összefüggések) újabb kísélet, megfigyelés igen

a fizikai mennyiségek jellege skalá szám : csak nagysága van pl. tömeg vekto szám + iány : nagyság + iány is pl. eő de más jellegű mennyiség is van még (pl. mechanikai feszültség) tenzo + métékegység a különböző egységek nem hasonlíthatók össze!!! műveletek vektookkal (+, -, skaláal szozás, skaláis szozás, vektoi szozás) összeadódó (extenzív) kiegyenlítődő (intenzív) mennyiségek pl. tömeg pl. hőméséklet

métékendszeek, alapmennyiségek általában SI : alapegységek: hosszúság, méte [m] tömeg, kilogamm [kg] idő, másodpec [s] elektomos áameősség, ampe [A] hőméséklet, kelvin [K] anyagmennyiség, mól [mol] fényeősség, kandela [cd] kiegészítő egységek: síkszög, adián [ad] tészög, szteadián [s] számaztatott egységek: az alap- és kiegészítő egységekből algebai műveletekkel pl : sebesség [ m / ], eő [kg.m / ],

nem SI-egységendszeek (pl USA): inch, coll, hüvelyk, láb, méföld, gallon, Fahenheit, stb előtétszavak: exa E 0 8 peta P 0 5 tea T 0 giga G 0 9 mega M 0 6 kilo k 0 3 hekto h 0 deka da 0 deci d 0 - centi c 0 - milli m 0-3 miko µ 0-6 nano n 0-9 piko p 0 - femto f 0-5 atto a 0-8

pl : gigawatt, megawatt eőművek teljesítménye kilowattóa háztatások enegiafogyasztása kilogamm pl, alma, kenyé, stb tömege kilométe távolság de pl. a számítástechnikában kilo 0 04! hektolite hodók űtatalma decilite kisebb edények űtatalma centilite még kisebb űtatalom deciméte, cm, mm, nm távolságok cg, mg, µg kis tömegek az ezektől kisebb ill. nagyobb egységek az atomi és még kisebb méettatományban előfoduló távolságok és enegiák jellemzésée használatos

egyéb, nem SI, de használt métékegységek: fok, pec, másodpec (szögméés) π ad 80 o angstöm (Å) 0-0 m fényév (távolság!!!) 9.46. 0 km hektá (ha) 00 m 00 m lite (l) dm 3 mázsa (q) 00 kg tonna (t) 000 kg óa, pec, másodpec (időméés; és év, nap, hónap, stb ) km/h 3.6 km/h m/s atmoszféa (atm) 035 Pa ba, mba 0 5 Pa kalóia (cal) 4.868 J kilowattóa (kwh) Wh 3600 J lóeő (LE) 736 W celsius fok 0 C o 73 K stb.

MECHANIKA kinematika a mozgás leíása a szemlélő szemszögéből. nem kees okokat. pálya elmozdulás, elfodulás sebesség, szögsebesség gyosulás, szöggyosulás mozgások vizsgálata ( helyváltoztatás) dinamika a mozgásfajták, a változások okait vizsgálja. tömeg, tehetetlenségi nyomaték eő, fogatónyomaték lendület, pedület enegia vonatkoztatási endsze : koodinátaendsze

koodinátaendsze : háom, nem egy egyenesen levő ponthoz lehet viszonyítani vagy az ezeke illesztett tengelyekhez : z y C A B x x-y-z jobbsodású endsze legyen pl. egy meev testen kijelölhetjük ezeket a pontokat

földajzi hely megadása: oigó a Föld kp.-ja z-tengely a Sakcsillag felé mutat, az yz sík átmegy a Geenwich angol falu csillagvizsgálóján munkadaabon fuandó lyuk helyének megadása: a munkadaab élei a koodináta-tengelyek (tevajz) épületek, stb deékszögű koodinátaendsze: pont helyzete az yz, zx és xy síktól mét távolságok (vagyis az x-, y- és z-tengelyeke vett meőleges vetületek)

z vagy pedig polákoodináták: z ϑ polászög φ azimutszög (földajzban ez a hosszúsági fok, a szélességi fok pedig a ϑ pótszöge) x ϑ φ y y x x sinϑ cosφ y sinϑ sinφ z cosϑ

sok, ehhez képest nem mozgó újabb kood.dsz. is megadható vonatkoztatási endsze nem kell anyaghoz hozzáendelni pontszeű testek pl. Föld a Nap köül, v. vonat BP és NyH között pontendszeek pl. felobbanó bomba epeszei, tüzijáték, meev testek pl. fogó pögettyű, falhoz támasztott léta, hétköznapi életünk soán a vonatkoztatási endsze a Föld (eltekintünk a fogástól)

kinematika mozgás jellemzése : milyen pályán mozog mennyi idő alatt mennyi utat tett meg, vagy : mekkoa elmozdulása van idő, időtatam, időpillanat, esemény idő két esemény közötti időtatam időméés : peiodikus folyamatok alapján ( óák ) pl. csillagok jáása, homokóa fodítgatása, stb Galilei (583) : ingalengések egyenlő időtatamúak első ingaóa (kevésbé pontos óák má előtte is voltak)

a legégebbi mechanikai időméő szekezet 386, Anglia legpontosabb óa atomóa (Cs) idő egysége : másodpec s 9963,770 Cs-ezgés

távolságméés : a méte-etalonnal való összehasonlítás alapján ( vonalzók ) végpontok összeillesztése, 0 jelzés ha nem lehet egymás mellé tenni: leolvasás páhuzamos fénysugaakkal (tüköskála) szem

leolvasás pontosságának növelése : optikai eszközök finommechanika (csavamikométe), nóniusz méési pontatlanságok pl : l (3,46 ± 0,07) cm

mozgás jellemzése : z A (x A, y A, z A ) t AB elmozdulás B út (s) (x B, y B, z B ) t > t pálya A B O y x vonatkoztatási endsze : Descates-féle jobbsodású koodináta endsze

y f(x) (pl. a hely az idő fgv.-ben) f(x) f(x 0 ) α m tgα f(x) x f(x x 0 0 ) O x 0 x x diffeenciahányados

y f(x) (pl. a hely az idő fgv.-ben) f(x) f(x) f(x 0 ) α O x 0 éintő x diffeenciálhányados (deivált) x x m (tgα) lim x x0 f(x) x f(x x 0 0 ) df (x) dx f ' (x) ha időfüggés van (x t) : df (t). f(t) dt

z A (x 0, y 0, z 0 ) t 0 AB elmozdulás sebesség vekto v B út (s) (x, y, z) t > t 0 v 3 pálya A v B pillanatnyi sebesség O y x v lim t t 0 B t t 0 A lim t 0 AB t d dt.

sebességvekto időben változhat a lim t 0 v d v t dt. v d dt.. gyosulásvekto v (t) v (t) v ( t) v(t + t) v(t + t) v(t + t) gyosulásvekto tangenciális, a t centipetális, a cp v v

v (t) v(t + t) ha t << : v v t kinagyítva : v (t) v n v(t + t) φ( t) nagyon messze aa összeé a két vekto (közös pontból indulnak) v t v(t + t) v(t) / t és a t dv d s.... s ϕ β dt dt v n v(t) ϕ v t 0 a n v(t) ϕ lim t t 0 v ω v

mozgásfajták haladó mozgás egyenletes változó (időben) egyenletesen nem egyenletesen kömozgás, fogó mozgás egyenletes változó ezgőmozgás, hullámmozgás hamonikus anhamonikus pl. : haladó mozgás : pl. vonat a sinen, gyalogos a jádán, stb

legegyszeűbb mozgás : egyenesvonalú egyenletes mozgás: pálya : egyenes sebesség : időben állandó (vekto!) a 0 pl. : vonat a nyílt egyenes pályán mozgólépcső, ellenőzés kísélettel : Mikola-cső (gimnáziumi taná volt a múlt század első felében) tapasztalat : a buboék által megtett utak az idők függvényében egyenest adnak :

tapasztalat : út (m) a buboék által megtett utak az idők függvényében egyenest adnak : út ~ idő út v. idő más szavakkal : az egyfoma idők alatt megtett utak egyfomák megtett út s v közben eltelt idő t idő (s) sebesség

a megtett út meghatáozása a v-t gafikonól : sebesség sebesség sebesség v v v 0 s v t t v 0 idő 0 v v0 s v t + 0 t t idő s v i 0 n t idő s0 + vi(ti ) t i v i. ti t i i út göbe alatti teület s t s0 + v(t) dt t

sebesség pillanatnyi sebesség átlagsebesség pl. : autó v. vonat NyH és BP között, időnként megáll feladat : egy gépkocsi egy utat odafele 60 km/h sebességgel, visszafele 80 km/h sebességgel tesz meg. Mekkoa a teljes (oda-vissza) úta számított átlagsebessége? (68.5 km/h) átlagsebesség sebességek átlaga!!! v összes út összes idő (met lassabban hosszabb ideig megy)

hasonlóan egyszeű mozgás még : egyenesvonalú egyenletesen gyosuló mozgás: pálya : egyenes sebességvekto : időben nem állandó : iánya állandó nagysága időben egyenletesen nő a > 0 ( a t ) pl. : vonat az állomásól elindul és gyosít (egyenes pályán) ellenőzés kísélettel : lejtőn leguuló golyó (különböző hajlásszögeknél) tapasztalat : s ~ t paabola

s ~ t konkétan : s a t és v a t út v gyosulás t t

matematika: egyenletesen gyosuló mozgásnál v a t s t t t t a vdt 0 ( ) a t dt a tdt a + C t + C 0 0 0 t 0 a s t

lassulásnál : a v nem nulla kezdősebességől induló mozgás : a s v0 t + t és v v0 + a t t szabadesés : elejtett test mozgását csak a Föld vonzása befolyásolja első kíséleti vizsgálata : Galilei

Galilei : az eső, nehéz test szabad mozgása állandóan gyosul amennyie én tudom, még senki sem állapította meg, hogy a távolságok, melyeket egy nyugvó állapotból induló test egyenlő intevallumok alatt befut, úgy aánylanak egymáshoz, mint a páatlan egész számok, kezdve az egységgel kísélet : ejtőzsinó v 7 az egyes golyók által megtett utak 5 3 3 5 7 azaz itt is v ~ t t

v ~ t a szabadesés is egyenesvonalú, egyenletesen gyosuló mozgás kísélet : papídaab és vasgolyó ejtése levegőben ejtőcső nem egyszee ékeznek le kísélet : papídaab és vasgolyó ejtése (vákuumban) egyszee ékeznek le minden szabadon eső test gyosulása ugyanakkoa!!! v g t nehézségi gyosulás, g g 9.8 m / s h t függ a helytől!!! pl. : kút mélységének méése beledobott kővel 5t

függőleges hajítás lefelé, felfelé : nem nulla kezdősebességű szabadesés h h v v0 ± g t g 0 ± v0 t ± t fede hajítás (vízszintes hajítás) : függőleges és vsz. komponenseke bontva : függ. hajítás felfele y max. emelkedési magasság + egyenesvonalú egyenletes mozg. vsz.-en : ameddig mozog föl-le, addig megy jobba nulla kezdeti magasságól t emelkedési t esési x hajítás max. távolsága

feladat : egy 50 m magasan szálló epülőgépől csomagot dobnak ki. Mennyivel a cél előtt kell a csomagot kidobni, ha a gép sebessége 00 km/h? (304 m) ( vsz. hajítás adott magasságból) v 0 0 g x v,x v 0 v,y g. t v,x v 0 v,y g. t v v y

y feladat : egy 30 m magas sziklapeemől 30 o -os szögben lőnek ágyúval az ékező kalózhajóa. A lövedék kezdősebessége 00 m/s. Milyen messze legyen a kalózhajó, hogy eltalálják? v 0 00 m / s 30 o v 0 00 m / s 30 m y(t) g y0 + v0y t t, és v0x áll. x

mozgások összetevése : folyón egy csónak megy keesztül, hol é patot? v vektook összeadása!

kömozgás : egyenletes egyenletesen gyosuló (lassuló) + egyenletes kömozgás : pálya út ívhossz ω áll. O ϕ szögelfodulás φ t ϕ! jobbkéz-szabály ω ϕ t m peiódusidő : T fodulatszám : f π /T szögsebesség : ω π/t πf φ ω. t s. φ v. ω

a t 0, de a cp 0 : ϕ! t v ω szögsebesség a cp v v ω ω v ω dϕ ω dt ϕ t! s

egyenletesen változó kömozgás : ω β t áll. a t β ω β t v ω ϕ β t s ϕ a t áll. v a t v a t s a t áll. mozgás tetszőleges pályagöbén : a pályagöbét minden pillanatban egy-egy köpályával helyettesíthetünk egyenletes mozgás egyenletesen változó mozgás szabályai évényesek

fogó mozgás : meev testek egy tengely köüli fogása : a test egyes pontjai nem mozdulnak fogástengely ögzített tengely, legalább pont ögz. (keék, moto, ) kísélet : pögettyű ω áll. és v áll. minden ponta szabad tengely pont köül foog (pögettyű, labda, ) a többi pontjai a tengely köüli köpályákon mozognak visszavezettük kömozgása

gödülő mozgás : fogás ögzített tengely köül + haladó mozgás kísélet : gödülések gödülés tiszta gödülés csúszásmentes (autó egyenletesen halad) csúszva gödülés (hitelen indulás, vagy fékezés)

vonatkeék : + v k ω v k ω v t v t v k v t v t ω az a pont annyit halad előe, mint amennyit visszafele fodul : v t azaz a sinhez képest áll!!! pillanatnyi fogástengely ω ez a pont hátafele mozog!

ezgőmozgás : hamonikus anhamonikus hamonikus ezgőmozgás : x(t) π Asin t T amplitúdó A -A x ( ωt) Asin T peiódusidő ezgésidő f /T fekvencia köfekvencia kísélet : úgón ezgő test, megpendített hú, hangvilla végén tű, megütjük, majd t komozott üveglaphoz éintve egyenletesen húzzuk T

x(t) x Asin( ωt) v(t) A ω cos( ω t) a(t) A ω sin( ω t) v x T t t a x t

a hamonikus ezgőmozgás és egyenletes kömozgás kapcsolata : kitéés β 0 +A 0 R φ t idő -A

csillapodó ezgés : β 0 hamonikus β 0.4 ampl. eősebben csökken β 0. csillapítási tényező ampl. csökken fékezés β 5 apeiodikus hatáeset páhuzamos ezgések összeadása meőleges kísélet : ezgések összeadása Fizdemo.exe

dinamika mozgások, mozgásállapotváltozások okainak vizsgálata, leíása égen : a mozgás fenntatásához egy másik test állandó hatása ( eő ) kell, pl. egy kocsi csak akko mozog, ha húzzuk Galilei : elindított és magáa hagyott test annál hosszabb utakat tesz meg, minél simább/csúszósabb a felület gondolatban folytatta : az egysze elindított test megtataná mozgásállapotát, ha a felület akadályozó hatását (súlódás) ki lehetne küszöbölni tehetetlenség tövénye

a tehetetlenség tövénye axióma alaptövény Newton megfogalmazásában : valószínűleg igaz minden test megtatja mozgási állapotát ( sebességének nagyságát és iányát), amíg más test/testek hatása annak megváltoztatásáa nem kényszeíti ineciaendsze Newton I. töv. Newton : 64-77 mechanika tövényei, diffeenciálszámítás, szín, optika, tükös távcső, gaviáció (öszefoglalta Kopenikusz, Galilei és Keple felfedezéseit) 687-ben Pincipia 705-ben lovaggá ütik Newton előtt : eő embe által kifejtett eőfeszítés utána : eő testek kölcsönhatásának météke feltétele: éintkezés, különböző állapot eedménye: mozgásállapot-változás

ha két test kölcsönhatásba lép mindkettőnek megváltozik a mozgásállapota : pl. : két, kocsolyán álló embe húzza egymást / egyik húzza a másikat / másik húzza az egyiket, mindkettő elmozdul az elmozdulások (és a kapott sebességek) ellentétes iányúak a kövéebb fog lassabban mozogni kísélet : kocsik ütközése sinen / légpánás asztalon a kölcsönhatás tövénye : ( tapasztalat! ) a sebességváltozások ellentétes iányúak, és a sebességváltozások nagyságának hányadosa egy adott testpáa jellemző állandó, nem függ a kölcsönhatás módjától a tömeget lehet definiálni :

tömeg : egy B test tömege n-szeese az A test [kg] tömegének, ha kölcsönhatásuk soán a B test sebességváltozása n-ed észe az A sebességváltozásának a tömeg a test tehetelenségének météke + méések a tömeg tanzitív de : fénysebességnél más!!! másképpen fogalmazva : m v m impulzus (lendület) p test kölcsönhatása soán v m (v'' v') m (v'' v') m v' + m v' m v'' + mv'' m v p p

'' p '' p ' p ' p + + p p impulzusmegmaadás zát dsz-ben! ütközésko a tömegközéppont egyenesvonalú egyenletes mozgást végez tkp m m m m ) ( m m m + + + + pl. egyfoma tömegek ütközésénél a középső pont helyben maad, ha mindkettő egyfoma sebességgel halad : tömegközéppont tkp m m v m v m v + + a számlálóban állandó v m v m +

eő kölcsönhatás météke : mennyi idő alatt mekkoa impulzusváltozás van? : p ( mv ) v F m m a t t t impulzustétel pl.: kalapácsütés eőtövények : F m a [N] Newton II. töv. ( dinamika alaptövénye ) úgó : F -k. ( l) (megnyúlás is) (Hooke-töv.) F így a úgó megnyúlása áll. kül.súlyok kül.megnyúlások

gavitáció: G m. g m M de : F γ g F g F m + M g h (R h ) γ 0 R m M M Fg γ m γ R R g m g γ 6,67. 0 - Nm /kg Newton 0 γ F g pl. : a Holda csak F g hat a Föld miatt (köpálya, 7,3 nap keingési idő) súly súlyeő F gav vagy G F g m M (R + h )

súlódás : kísélet : lejtőn lecsúszó fahasáb : tapasztalat : F sul ellentétes az elmozdulás iányával nagysága nem függ az éintkező felületek nagyságától álló tágyat nehéz megmozdítani, de utána má könnyebb tolni csúszási : F cs µ cs. F ny súlódás tapadási : 0 < F t < F t,max µ t. F ny és µ cs < µ t tapadás: fa-fa : 0,6; acél-acél : 0,5; acél-jég: 0,07

µ cs < µ t álló tágyat nehéz megmozdítani, de utána má csúszik µ cs < µ t fékhatás : ne csússzon meg a keék!!! blokkolásgátló elindulás kipögésgátló csapágyak : olaj, gáz µ cs csökkentése kopás csökkentése

pl.: teheautón vaslemezek egymáson, kanyaodik, szemből jön a busz, lemezek lecsúsznak pl.: teheautó platóján ládát/konténet visz autógumi méete, fékpofa/fékbetét méete mégsem mindegy miét??? az anyagot le kell eszelni a felületől : nagyobb felület több atom több kötés felvágása pl. : az autó miét tud kanyaodni (miét nem csúszik ki egyenesen az útól)? met ki akana csúszni, de a tapadási súlódási eő ezzel ellentétesen hat, azaz a köpálya közepe felé ( F cp ), ez tatja köpályán az autót.

közegellenállás : folyadékban, gázban mozgó testek

tapasztalat : F köz ellentétes az elmozdulás iányával nagysága függ a mozgó test felületétől, sebességétől és a felület alakjától F köz -k. A. ρ. v kis sebességeknél F köz -k. A. ρ. v nagy sebességeknél pl. : hodót visznek tetőcsomagtatón kényszeeő : pl. alátámasztás (felfüggesztés) által a teste ható eő F ny ingamozgás F ny m v mg mg α F ny mg F ny < mg (mgcosα) F ny mindig meőleges az alátámasztó felülete

pl. : az autó miét halad az úton? : y autóa ható eők : G eleje v x ω F ny F ω F ny F ts, F ts, a y 0 0 F i, y F F > 0 Fi,x ts, ts, a G x dv dt F ny x 0 x

felhajtóeő, Coulomb-eő, mágneses eő, van de Waals, stb további tapasztalat : F AB F BA Newton III. töv. ( hatás-ellenhatás tövénye ) kölcs.hat.tv. újafogalmazása pl.: bikózásko A felemeli B-t, akko A eősebb, de mégis ugyanakkoa eővel hat B-e, mint B A-a!!! pl.: ló húzza a lovaskocsit, akko N.III. szeint a kocsi is ugyanakkoa eővel húzza a lovat visszafele miét megy mégis előe??? pl.: lehet így utazni? (Cyano) ( mágnest feldobja, az a kocsit magához húzza, fent a golyót úja feldobja, és így tovább ) miét? vas kocsi ld. későb mágnesgolyó

pl. : úgóeő hatásáa létejövő mozgás : eőtöv.-t ism. meghat.-hatjuk, h. adott kezdeti állapotból indulva hogyan fog mozogni : x x(t) ismet : t 0 ban x x(0), v v(0), k és m : numeikus megoldás : kis t F változása elhanyagolható egyenl.gyosuló mozgással mozog t 0 ban : t t/ ben : elmozd. t alatt : majd ugyanígy tovább : a(0) F v( t / ) x( t) ( x(0) ) m v(0) + x(0) + a(0) t v( t / ) t

t t ben : t 3 t/ ben : kitéés t-ben : ( x( t) ) F a( t) m 3 v( t) v( t) + x( t) x( t) + a( t) t 3 v( t) t t t ben : t 5 t/ ben : kitéés 3 t-ben : ( x( t) ) F a( t) m 5 3 v( t) v( t) + x(3 t) és így tovább tetsz. ideig x( t) + a( t) t 5 v( t) t kiajzoltatni az x(t), v(t) és a(t) függvényeket

analitikus megoldás : N.II. -k. x m. a a dv dt d x dt d x dt F m k m az ismtl. egy függvény : x x(t) és annak deiváltja diffeenciálegyenlet a ham.ezgésnél volt olyan kitéés-idő függés, h. a hely és annak. deiváltja (gyosulás) megegyezett: x(t) A. sin(ω. t+φ 0 ) d x dt A ω sin( ωt + ϕ 0 ) x visszahelyettesítéssel ellenőizhetjük, h. ez kielégíti a fenti diff. egy.-t k m x

d x dt A ω sin( ωt d x dt + ϕ ) 0 k m x x(t) A. sin(ω. t+φ 0 ) k A ω sin( ωt + ϕ0 ) A sin( ωt + ϕ0 ) m ω k m ω de A és φ 0 tetszőleges lehet meghatáozhatók a kezdeti feltételekből : t 0 - ban : x(0) 0, v(0) v 0 x(0) A. sin(ω. 0+φ 0 ) A. sin(φ 0 ) 0 v(0) A. ω. cos(ω. 0+φ 0 ) A. ω. cos(φ 0 ) v 0 A. sin(φ 0 ) 0 k m A. ω. cos(φ 0 ) v 0

A. sin(φ 0 ) 0 A. ω. cos(φ 0 ) v 0 φ 0 0 v A 0 v0 ω m k tehát a megoldás : m k x(t) v0 sin t + 0 k m vagyis : a úgón ezgő test ham. ezgőmozg. végez, melynek köfekv.-ja : k ezgésideje : T ω π ω m π hasonló poblémáknak hasonló a megoldása is!!! lásd pl. : ingamozgás! m k

további tapasztalat : ha több eő hat egy teste, pl. több úgó: F F vagy : F 3 F F F 3 pl. speciálisan : úgón függő test vsz. alátámasztáson levő test m a eő egyensúly nyugalom Fi eedő eő Newton IV. töv. ( eőhatások függetlenségének elve )

ha speciálisan : a kötélnek nincs súlya (tömege), vagy van, csak nyugvó kötél, akko a meghúzott kötél az egyik végée ható eőt változtatás nélkül továbbítja a másik végén levő testhez : úgóa hasonlóan vonatszeelvény F 3 F F F 3 de odafigyelni : F F pl. magdebugi féltekék : F F F F 8-8 ló 6 ló!!! hanem csak 8 ló

pl.: mi van akko, ha függőlegesen van a úgó? : d x m dt k x + mg k x mg k mg x ': x, ω k k m d x' dt k m x' T π ω π m k tehát : ugyanaz, mint vsz. úgó, csak az mg k lesz az új egyensúlyi helyzet

pl. : kúpinga : φ l F e F k (kényszeeő) v m. g (szabadeő) kömozgás : l. sinφ F e a kp. felé mutat N.II. : F cp m. a cp m.. ω ω π. n mg. tgφ m. (l. sinφ). ω m. (lsinφ). (πn) g cos ϕ cosϕ l 4π g l 4π n n centifugális szabályozó : F cp F e F e mg. tgφ

pl. : matematikai inga : kötélinga, fonálinga vékony, súlytalan, nyújthatatlan fonálon lengő test kényszemozgás síkmozgás (köpálya) φ l pillanatnyi helyzet : φ φ(t) eők : m. g F k s F e m. g (szabadeő) (kényszeeő kötéleő) m. g. cosφ F k kötéliányú és éintőiányú komponenseke bontva : kötéliányban : F i,k 0 F k -m. g. cosφ 0 éintő iányában : F e m. g. sinφ

N. II. : m. a F e d s m mg sinϕ dt d ϕ l mg sinϕ dt d ϕ g sinϕ dt l m ha φ kicsi d ϕ dt sinφ φ g l ϕ ω mozgásegyenlet és ϕ, ahol s l. φ ω ez ugyanolyan egyenlet, mint a ham. ezgőmozg. : T π ω g l φ(t) φ 0. sin(ω. t+α k ) T π l g g - t lehet méni

de : T függ φ 0 -tól : nagyobb amplitúdó hasonlóan a fizikai inga : T függ a geometiai méetektől g - t itt is lehet méni toziós inga : ezeket ld. később (meev testeknél) nagyobb T!!! pl. : égitestek mozgása : (bolygómozgás, mesteséges égitestek, Keple töv.-i) i.e..sz. : geocentikus világkép (Ptolemaiosz) köpályák, kp.-ban a Föld 500 : helocentikus világkép (Kopenikusz) Nap köüli pályák, és tengely köüli fogás

609-69 : Keple-töv.-k : Tycho Bahe is!. ellipszispálya, egyik gyújtópt.-ban a Föld;. a Naptól a bolygókhoz húzott sugá egyenlő idők alatt egyenlő teületeket súol; 3. a bolygók keingési időinek négyzetei úgy aánylanak egymáshoz, mint az ellipszispályák nagytengelyeinek köbei. q P q Nap időegység alatt súolt teület teületsebesség q t a Föld sebessége legnagyobb P-ben (januá 3-án) legkisebb A-ban A dq dt áll.

bolygómozgás centális mozgás a bolygóa ható eő mindig egy centum felé mutat a gyosulása is centális eők tétel : centális mozgásnál a tömegpt. pályája síkgöbe és a teületi seb. állandó. megfodítva : ha a pálya síkgöbe és a teületi seb. áll. akko a mozgás centális mozgás. F g biz. : ld. könyvekben má Keple is sejtette az ált. tömegvonzás töv.-t tömegpontoknak vesszük F g m M γ 0 Föld 0

Föld v 0 F g pl. számítógéppel szimulálni a mozgást : F g a F m a m M γ F m γ M 0 0 x-y koodináta endszeben + kezdeti feltételek : x(0), y(0), v x (0), v y (0) ellipszis alakú pályák, egyik fókuszban a Föld (Keple) nagytengely méete és keingési idő v 0 -lal nő ha speciálisan v 0 olyan, h. a cp v 0 /, F cp γmm/ mv 0 / köpálya; geostacionáius pálya

számítással kimutatható, h. a homogén gömb helyettesíthető egyetlen, ugyanolyan tömegű tömegponttal geostacionáius pálya : Föld, M v F g m F g ω mm γ π T γm ma cp 3 ω mω és T 4h 86400s γmt... 36e km 4π 3 pl. távközlési műholdak

de : F cp NEM eőtövény!!! m F cp F cp lehet pl kötéleő, úgóeő, gav.eő, (ami húzza a testet, h köpályán maadjon)

a gav. állandó meghatáozása : Cavendish, 798 M m m M toziós ingát ld. később! M tömegeket tett a m golyók mellé szimmetikusan és méte a toziós szál szögelfodulását γ 6,67. 0 - Nm /kg a Föld felületén : m M F γ m g a Föld tömege : R g M F R 5.97 γ 0 4 kg

a felszínen csak a Föld sűűsége : ρ ρ 4 3 M R.5 F 3 π kg dm pl. a Nap tömegének becslése : M Nap, m Mas,, T ismet m Mas a cp m 3 Mas 5.5 0 4π T 3 kg m F 3 a belsejében cp m γ Mas ρ > M 5.5 Nap kg dm 3 M Nap 33 0 3 M F hasonlóan a holdakkal endelkező bolygóka is

az m a m d dt F m M γ mozgásegyenletből matematikai úton levezethetők a Keple-töv.-k az is köv., h. más kúpszelet is lehet a pálya, pl. üstökösnél paabola v. hipebola sztatikai eőméés, súlyos és tehetetlen tömeg : G m. g a súly a hellyel változik; különböző testek súlya ugyanazon a helyen a tömegtől függ úgóa akasztott test nyugalomban van : a 0 a á ható eők eedője nulla úgós eőméő egyszeű eőméés sztatikai eőméés 0

súly ~ tömeg (G m. g) tömegméés : mélegek (több eze éve) etalonok ez a tömeg (súlyos tömeg, m s ) nem ugyanaz, mint amit ütközésekkel definiáltunk (tehetetlen tömeg, m t ), de pl. ha ez a test szabadon esik : m t. a m s. g m m s t a g és a g minden teste egyfoma m t m s

Eötvös Loánd : m t m s egyenlőség 5. 0-9 elatív hibával teljesül sűűség, fajsúly : homogén inhomogén anyag ρ m V dm pl. : kg víz 4 o C-on, nomál nyomáson dm 3 (l) ρ víz kg/dm 3 ρ dv kg 3 m pl. : galvanizált fémeke : ρ átlagsűűség vas hajó sűűsége is átlagsűűség! fajsúly, g cm 3

súlytalanság : ha csak a saját súlya hat á : pl. : szabadon eső test Föld köüli köpályán keingő test a ánk ható súlyeőt akko éezzük, ha az alátámasztás által kifejtett nyomóeő is hat : F ny F ny G m g F ny m g

pl. : hajítás dinamikai leíása : csak a nehézségi eő hat a teste : N.II. : m. a m. g d dt d g m m g dt tf.h. g áll. a Földhöz ögz., függ. fölfele iányított z-tengely esetén : d x dt d y d z 0 0 g dt dt dx dt v x const x dy dt v y const const y z + z dz dt v g t vx t c y vy t + c z 3 x + g z t + v t + c

vx t c y vy t + c z 3 x + g z t + v t + 6 db ismeetlen : v x, v y, v z és c c 3 meghatáozásuk a kezdeti feltételekből ha pl. : t 0 ban 0 (x 0, y 0, z 0 ) és v 0 (v 0x, v 0y, v 0z ) x 0 c, y 0 c és z 0 c 3 const x v x v 0x, const y v y v 0y és const z v 0z c hajítás

kényszeeők, kényszemozgás : a Földön is tudunk ineciamozgást létehozni közelítőleg! pl. légpánás asztalon vagy sinen az alátámasztás a tömegpontot a felületen való maadása kényszeíti kényszeeő, az alátámasztás pedig a kénysze pl. : nyugvó asztalon álló test még egysze : F k, Feedő G + F k, mivel áll : a 0 G Fk, G ( F ny -mg )

ha az alátámasztás mozog is, pl. a gyosulással süllyed egy lift : Feedő G + Fk, ( m. g - F ny m. a ) ( F ny m. (g-a) ) m a Fk, G + m a m(g a) N.III. F test asztal -F k, G pl. : miét van bedöntve a kanya? pl. : két kötélen felfüggesztett test lámpa két fal között kifeszített dóton lejtőn lecsúszó test ld. önállóan!

pl.: lejtőn lecsúszó test : N.II.: m a F szabad + F kénysze a g. sinα + v α F e mg. sinα F ny mg ha adott µ cs : F ny α v mg F s F e mg. sinα-f s m. a mg. sinα-µ cs. mg. cosα m. a a g. (sinα-µ cs. cosα)

F ny F + k az m tömegű teste : F k F k F v k N.II.: m a F mg + m α g m. a mg. sinα-f k az m tömegű teste N.II. : m a F ha a kötél nyújthatatlan! F k -m. g m. a ha a kötél súlytalan! egyenlet és ismeetlen F k és a meghatáozható ha még súl. is van

F F k F k (a keék és a úgó súlytalan) F k F k F F k m g (a keék súlytalan) m m

mozgás mozgó vonatkoztatási endszeben : Galilei-féle elativitási elv : egymáshoz képest egyenletesen haladó vonatk.dsz.-k közül nem tudunk egy abszolút nyugalomban levőt kiválasztani pl. : egyenl. mozgó vonaton egy inga ugyanúgy leng, mint az állomáson gyosulva haladó vonatk. dsz. : pl. : mekkoa eő hat egy a 0 gyosulással lefele induló liftben álló embee? : V' F m tehetetlenségi eő teh a 0 N.II. évényes maad F m teh a 0 G F ny m g a 0

az embe a lifthez képest nem gyosul Fi G + Fny + Fteh m a i F ny 0 meghatáozható fogó endszeben : ha egy V' endsze egyenletes ω szögsebességgel foog egy nyugvó V-hez képest : Fcf m ω centifugális eő m v' ω Coiolis-eő F Co ezekkel N.II. fogó dsz.-ben is igaz : m a' F + F cf + F Co

pl. : fogó endszeben álló test F cf m ω ω F cf pl. : az északi féltekén É-D iányban folyó folyók a jobb patjukat mossák, vagy az É-D iányban haladó vonatok keekei a jobb oldali sint jobban koptatják m v' ω miatt F Co a kádban lefolyó víz foog

F Co ω v ' É F Co m v' ω D

a Föld tényleg foog? : igen, bizonyíték a Foucault-féle ingakísélet : hosszú kötélen nagy tömeg leng sokáig leng, kis csillapodással kezdeti lengési síkot megjelölik, tapasztalat : lengési sík óánként kb. 5 o -t elfodul ételmezés : fogó dsz.-ben : a teste oldaliányú eltéítő eő hat, a pillanatnyi seb.-hez képest jobb oldal felé ( Coiolis-eő) ineciadsz.-ben : az inga megtatja lengési síkját, csak a Föld kifodul alóla

példák, alkalmazások :. keékpá ( v ) bedől (α) a kanyaban : v ω szögseb.-el fogó dsz-ből nézve : a bicikli nyugalomban van : g és m m ω R a bicikli síkjában kell, h. legyen mω tgα mg eedője R ω g v g a talaj síkjának kell lenni biciklie, met a tapadás nem tud egyensúlyt tatani kicsúszik oldala a vesenypályák külsejét megemelik

kanyaban a vasúti sin külső szálát is feljebb teszik. két golyó centifugális géppel megfogatva : golyók a fogó dsz.-ben egyensúlyban vannak, ha m ω m m m ω 3. fogó aboncs belapul : kísélet! keéke kifelé ható F cf F defom pl. gyosulási veseny: hátsó keék

4. dinamikus meevség : kíséletek : fogó lánc kemény guul, akadályokat átugik fogó papílap meev fűészelni lehet vele 5. centifuga : háztatás, biológia, élelmiszeipa, 6. centifugál szabályozó 7. szivattyúk 8. cikusz: h?

9. ciklonok : (az É-i féltekén) (F Co ) passzátszelek, ÉK és DK felé, a levegő a kisebb nyomású helyeke áamlik + F Co a kocsiban ülve a köpályán fogó endszeből nézzük : A-ban F cf fölfele min. akkoa legyen mint m. g lefelé : mv A mg (+ enegiamegmaadás később) 0. a lövedékek jobba eltének

. a Föld a sakoknál belapul. a szabadon eső testek K-felé eltének : a 45 szélességi foknál: 00 m magasságnál.5 cm-t 3. ha egy test K NY iányban mozog : F Co lefelé mutat látszólagos súlynövekedés Eötvös-effektus NY K iányban fodítva pögettyűs iánytű : Foucault, 85 a C szimm.-teng. a függ. köül elfodulhat a pögettyű C köül gyosan foog a á ható F Co miatt beáll É-D iányba

fodulatszám nagy legyen ( 0eze/pec) pögettyűt ld. később

nehézségi eő, gavitációs té : súly mg és g ψ ψ F g + F cf a g + a cf a súly nem a középpont felé mutat!!! (csak a sakokon) a súly és g g ψ a sakokon a legnagyobb (ott F cf 0), az egyenlítőn a legkisebb (F cf itt a legnagyobb) de a Föld nem gömb geoid ( fogási ellipszoid), a felülete mindenütt a gav. és F cf eők eedőjée

Föld : R p R e R e 6378 km R p 6357 km számítás szeint : g ψ (g 90 o-3.4cos ψ) cm/s méések szeint : g ψ (983.-5.cos ψ) cm/s (nem egyeznek, met nem gömb alakú) de ettől van pontosabb g ψ fomula is! g függ a magasságtól is G Budapest 9.8085 m/s g függ a helytől is : a talaj sűűségének lokális változásai miatt

ásványi anyagok, Föld szekezetének kutatása Eötvös Loánd : Eötvös-inga : A l l B 40µm Pt-I toziós szál A B 5-0 g l 5-40 cm l 50-60 cm toziós szálon tükö igen pecíz leolvasás a nehézségi eőté inhomogén g A g B toziós szál elfodul

Eötvös : súlyos és tehetetlen tömeg egyenlősége ld. otthon! g időben sem állandó : Nap és Hold hatása áapály : ld. otthon!

mozgástövények pontendszeeke és testeke : ha nem egyetlen tömegpontól van szó tömegpontendsze ( pl. : szétobbanó epeszdaabok ) zát pontendsze : m F 3 F F 3 3 m 3 F F m dp F + F +... F 3 3 dt dp F + F3 dt + stb de : eőhatások függetlensége + hatás-ellenhatás minden ponta külön-külön F ij F... ji

dp teljes dt dp dt dp + dt +... teljes p + p +... F + F + F 3 dp teljes dt + F 0 3 +... p állandó ha külső eő nem hat impulzusmegmaadás pontendszee másként fogalmazva : tkp v tkp m + m +... m + m +... m v + m v +... m + m +... mi i m a tömegkp. sebessége állandó i i m v (m p + m v +... + m +...) vtkp m teljes v tkp

a tömegkp. sebessége állandó zát dsz. tkp.-ja ineciamozgást végez impulzustétel pontendszeeke, azaz ha külső eők is hatnak : dp F + F + F3 dt + dp F + F + F3 dt + stb...... dp teljes dt F F i i m + eedő a tkp 0 F eedő a tömegközéppont úgy mozog, mint egyetlen tömegpont, amiben a endsze teljes tömege van és amie az összes külső eők vektoi eedője hat

meev test speciális pontendsze pl. eldobott kalapács : tetsz pt.-ja bonyolult pálya de a tkp.-ja úgy mozog, mint a tömegpont paabolapályán a tkp. úgy mozog, mint egyetlen elhajított tömegpont

test tömegpt.-nak vehető, ha haladó mozg.-t végez, vagy megelégszünk a tkp mozgásának leíásával ekko elég a á ható külső eőket ismeni (még ezen eők támadáspt.-ját sem kell ismeni) tehát : minden test tömegpontnak tekinthető, ha haladó mozgást végez, vagy ha megelégszünk a tkp mozgásának leíásával itt 3 test egyfomán gyosul, de másként foog és másként defomálódik

testendszeek : A F ij F B ij tömegponta a teste F F vagy ezzel egyenétékű : p + p zát testdsz. teljes imp. állandó ha külső eők impulzustétel, egész testdsz. tkp.-nak mozgása (mint pontdsz.) TEHÁT : Newton töv.-i ezeke is évényesek : áll.

felületi és téfogati eők : téf.-i eők (pl. gav. eő) felületi eők (éintkezés) a belső pontoka is hatnak eők, de azok má belső eők, a külső eők hatásáa elmozduló felületi pontok fejtik ki (pl. súlódás) az eő felület menti eloszlásáa nincs ált. szabály koncentált eő (pontban hatónak képzeljük) az éintkezési felület igen kicsi támadáspont ilyenko N.III. egyételműen megfogalmazható Newton töv.-i testeke :. tehetetlenség töv. a tkp.-a,. N.II. a tkp.-a vagy impulzustétel, 3. hatás-ellenhatás

akétamozgás : kísélet : paton akéta, vagy kocsi továbbá : ágyú, puska, stb hátalökődése a akéta testée a kiáamló gáz fejt ki eőt

pl.: a akéta mozgása : anyag kiáamlik belőle csökken a tömege az idővel t pillanatban : mm(t) a bent lévő gázzal együtt; sebessége v(t) a kiáamló gáz áameőssége µ-dm/dt, elatív sebessége u(t) F külső eő is hat (pl. gavitáció, és/vagy közegellenállás) imp.-tétel a (akéta+bentlévő üzemanyag)-a : t idő alatti imp.-vátl. F. t a kiáamló gáz tömege - m µ. t m+ m a akéta és a t+ t pillanatban bennlevő gáz tömege ( m m(t+ t) - m(t) < 0) kiáamló gáz imp.vált. - m. u a akéta imp.vált. (m+ m). v az imp.tétel szeint : m. u+(m+ m). v F. t / t és t 0 ( m 0 is!) µ. u + m. a F akéta mozgásegyenlete megoldás numeikusan v. egyszeű esetben analitikusan

pl. : adott F, m F, m mekkoa? nincs súl. F F F m m F m a a? (m + m ) a a F... F (ha áll, akko eőt a. teste) F F F F F, az. test továbbítja az F

bizonyos feltételek mellett egy testlánc tagjai továbbítják a szomszédjuk által á kifejtett eőt: az egyik test a másikon keesztül a hamadika hat itt nem itt igen

az anyag kontinuum-modellje; atomos szekezet : folytonos anyag: sűűség, fajsúly ld. koábban atomos szekezet : V súlódás: 0 E k

munka, enegia, teljesítmény : W F. s W F s. s F. cosα. s F. s. cosα (olyan, mint F és s skaláis szozata) pl. : mennyi munkát végez az embe, ha egy bőöndöt elvisz 00 m messzie? α s F F s F G v α 90 o W 0!? akko miét fáad el? (utánanézni!) 00m honnan jön ez, miét éppen F. s-t választották munkának??? ebből : hogyan lehetne meghat. egy tömegpont seb.-vált.-t, ha ismejük a tp.-a ható eőt, mint a hely fgv.-t:

hogyan lehetne meghat. egy tömegpont seb.-vált.-t, ha ismejük a tp.-a ható eőt, mint a hely fgv.-t: v-t ki tudnánk számolni, ha ism. F(t) fgv.-t : F t p t F p m t F v de ált.-ban nem F(t)-t, hanem F(hely)-t ismejük (pl. úgóeő, tömegvonzás, ) pl. : mennyivel vált. egy tp. seb.-e, ha s egyenes úton állandó nagyságú, az úttal páhuzamos F eő hat á : t m F v v v t v v t v s + v v s t + ha F áll. a áll. v v v + (ez itt idő szeinti integálás lenne : ) dt F p

v F v v t F s m m (v + v ) tehát v függ v, m től is m(v v )(v v ) mv mv + F s az mv mennyiség az, aminek vált.-t egyét. megszabja F és s pl. : milyen sebeséggel é le egy m tömegű test egy α hajlásszögű, l hoszúságú lejtő aljáa, ha súlódás is van? F ny F eedő mgsinα -µmgcosα v α l v mg F s mv mv mgl(sinα µ cosα) v

elnevezés : E E E : k kin W F. s mozg mv mozg.enegia (kin.enegia) állandó eő munkája, ha F és s iánya megegyezik E mozg mv mv F s W munkatétel ha F elmozd. egyenl. kömozgás v nem változik E mozg sem vált. legyen az elmozd.-a F munkája nulla! általánosan : F. s. cosα F s. s F. s F F s

teljesül-e a munkatétel az ált. esete : F )m v )(v v (v mv mv + v a t F igen! F α v v v v v v v v v v ) v )(v v v ( + + munkatétel még egysze : a tp.-a ható eedő eő által végzett munka a tp. kin. enegiájának megváltozásával egyenlő W > 0 és W < 0 is lehet!!! W W F F ) F (F W + + + ha több eő hat a tp.-a : pl. : miét könnyebb húzni egy kocsit a homokban, mint tolni?

ha F állandó, vagy a mozgás pályája nem egyenes : F F W F. s 0 s s F i F i. si 0 s i s s W W s n F (s i F s s i i (s)ds ) s i Fd s s pl. : mennyi a vsz. helyzetből 0 kezdőseb.-el induló fonálinga sebessége a pálya legmélyebb pt.-ján? W kötéleő 0, met a pályáa F k mg W súlyeő Σmg. s Fi mgσ h i mgh h s i mg E mozg m v m 0 mgh + 0 s Fi h i

pl. : mennyi munkát végez az egyik végén ögz. úgó, míg a másik végéhez ögzített testet az x helyzetből az x 0 egyensúlyi helyzetbe viszi? x F x 0 x x 0 W 0 0 0 0 ) x (x k ) x (x ) x (x k ) x (x F(x) W W > 0, aká x<x 0, aká x>x 0! pl. : mekkoa munkavégzés szükséges ahhoz, hogy egy L hoszúságú szöget teljes hosszában beüssünk fába, ha a benyomáshoz szükséges eő F k. x alakban függ a szög fában levő x hosszától? W F. x k. x. x W W L k 0 L k x k dx x k dw dw W L 0 L 0 L 0

munkatétel tömegpontendszee : a tp.-dsz. tagjáa év.-nek vesszük a munkatételt a tp.-dsz. kin. E-ja : E mozg E mozg,i a tp.-dsz.-en végzett összes munka : az i-edik tp.-a ható eedő F (külső + belső) W össz E mozg,végső E mozg,kezd m W i v össz i Fi i (megkapható az egyes tp.-ka vonatk. munkatételek összeadásával) de a meev testeknél baj van : a belső eőket nem ismejük meev testeket ld. később

teljesítmény, hatásfok : P W t P W t dw dt lim W t 0 [J/s W] W, kw, MW, mw, ( LE ) Ws J, Wh, kwh ( munka ) ha F ( F ) eő a ( a ) gyosulás v ( v ) ill. v ( v ) dw F d dw F d P F v dt dt pillanatnyi teljesítmény W hasznos η <!!! Wbefektetett

egyszeű gépek : eőátviteli eszközök kisebb eővel ( eőlködéssel ) tudjuk ugyanazt a munkát elvégezni pl. : lejtő, emelő, ék, hengekeék, csigák, stb pl. : egy 00 kg tömegű nagy ládát embe egyedül aka feltenni m magasa :? F' << F F ny F G m kvázisztatikusan emeli F G : W F. s mgh α G F' F' mgsinα : m W F'. s' mgsinα. h/sinα mgh

W F. s mgh W F'. s' mgsinα. h/sinα mgh ugyanaz, ha NINCS veszteség mivel kváziszatikusan emeli : E mozg 0 W külső W befekt -W hasznos W belső csak meev, nyújthatatlan testeke, ha pl. úgó is van, akko nem igaz!!! ΣW W k + W b W bef W h W belső 0 W bef W h 0 η W W hasznos befektetett

belső eőket az éintkező felületek fejtenek ki egymása: - ezek nomális komponenseinek Σ munkája 0; - a páhuzamos komponensek Σ munkája is 0, met a felületeke ható eők egyfoma nagyságúak + ellentétes iányúak ( ellenők ); a súl eő munkája pedig mindig negatív további egyszeű gépeket ld. később (meev testek után) végeedményben : amit nyeünk a éven,elveszítjük a vámon, vagyis ahányszo kisebb eővel dolgozhatunk, annyiszo hosszabb úton kell a tehet mozgatni + ha van súl. is, akko még hosszabb

potenciális enegia : munkatétel tp.-dsz.-e : E kin,teljes W külső eők + W belső eők munkatétel defomálható testeke : Σ W belső eők 0 (met a test egyes tömegpt.-jai közeledhetnektávolodhatnak egymáshoz) W külső eők E kin a munkatétel nem teljesül?! pl. : egyik végén ögz. úgót húzunk : kvázisztatikusan + a húzóeő egye nő

kvázisztatikusan E kin,úgó 0 de van munkavégzés! ( akko is igaz, ha m úgó << m ajta levő test, ekko a úgó végée ható eők közelítőleg egyfoma nagyságúak és ellentétes iányúak a úgó mozgása majdnem egyensúlyi állapotokon keesztül töténik ilyenko évényes az F úgó -k. x eőtöv.!!! ) nyújtsuk ilyen feltételek mellett a úgót : x 0 ól x hosszúsága : F x (x) -k. (x-x 0 ) W * (x 0 x) x x 0 x [ ] F (x) dx k (x x )dx (x x ) x mi húzzuk a úgót, ez az általunk a úgóa kifejtett eő -F x (x) k. (x-x 0 ) összenyomása hasonlóan! x 0 0 k 0

az a fgv., ami megadja, h. mennyi munkát végezne a úgó a testen, míg kvázisztatikusan x-ből x 0 -ba vinné a kinyújtott úgó ugyanennyi munkát tud végezni a áakasztott testen, míg x 0 ba visszaviszi : x0 k * W(x x 0 ) F x (x)dx (x x 0 ) W (x 0 x x) a úgó által a tömegponton (testen) végzett munka, miközben egy tetsz. x helyől x -be viszi : W(x x ) W(x x 0 ) - W(x x 0 ) U(x) : W(x x 0 ) W * (x 0 x) F x W 0 x x x 0 x

lineáis úgóa : U(x) W(x x 0 ) W * (x 0 x) ½k. (x-x 0 ) tetsz. x x elmozd.-hoz szüks. munka : W(x x ) U(x ) - U(x ) nem lineáis F x (x) esetée is év.! munkatétel E kin W(x x ) U(x ) - U(x ) ha nincs súl.!!! E k, -E k, U -U E k, + U E k, + U potenciális enegia munkavégző képessége van (met az alakja elté az egyensúlyi alaktól)

összes enegia mechanikai enegia E mozg + E pot enegiamegmaadás töv. : csak biz. feltételekkel! E mozg + E pot E mozg + E pot kezdeti végső időben állandó tehát : munkatétel enegiamegmaadás pl. : úgón ezgő teste másképpen : x x 0 A sin( ωt) A ω cos( ωt) E tot E k + E pot A v x k [ sin ( t) cos ( t) ] ω + ω E E kin pot mv k(x x és ω A 0 ) mω cos k m A ( ωt) k sin m ω ( ωt) k

E tot E k + E pot A k [ sin ( t) cos ( t) ] ω + ω A E tot E k + E pot k áll. enegiamegmaadás! pl. : két tömegpont (test) összekapcsolva egy úgóval: belátható, hogy (E k + E k + E pot ) kezd (E k + E k + E pot ) vég a úgó csak akko végez munkát, ha a tömegpont egymáshoz képest elmozdul, met F úgó mindig páhuzamos a testet összekötő egyenessel a úgóeő centális eő pl. : a gavitációs kölcsönhatás pot. enegiája : F gav is centális eő hasonlít F úgó - hoz

F gav is centális eő hasonlít F úgó - hoz E pot a gavitációa is hasonlóan felíható : U() W( 0 0 ) Fgavd az a munka, amit a gav. eő végezne a két tömegponton (testen), míg azok az adott elatív táv.- ból a null-helyzetnek választott 0 elatív táv.-a mozdulnak hol legyen a null-helyzet : úgónál az egyensúlyi hossznál volt : tetsz. x x elmozd.-hoz szüks. munka : W(x x ) U(x ) - U(x ) ha máshol választottuk volna a null-helyzetet (x 0 ') : U'(x)W(x x 0 ')W(x x 0 )+ W(x 0 x 0 ')U(x)+áll.

U'(x)W(x x 0 ')W(x x 0 )+ W(x 0 x 0 ')U(x)+áll. a pot. enegia csak egy additív konstans eejéig egyételmű! tetszőlegesen választható Föld másik test gav. kölcsönhatása esetén : nullhelyzet célszeűen lehet - a végtelen távoli pt., v. -a földfelszín F gav. kölcsönhatásnál nincs o. véges táv., ahol F 0 lenne (úgónál volt) egyelőe függőben hagyva a nullhelyzet választást

mennyi munkát végez a nehézségi eő, míg a tömegpontok táv.-ból 0 -ba mozdulnak : mivel vonzóeő ha > 0 pozitív munka ha < 0 negatív W W(x x ) U(x ) - U(x ); munka eő elmozd.; F gav -γmm/ U() F lim 0 i F( ρ ) i i 0 0 mm Fd γ d U γmm R γmm 0 R γmm

U() U() γmm 0 tehát ha a nullhelyzetet 0 -ban választjuk : γmm mm + mm mm γ γ γ 0 0 + const. Föld másik test gav. kölcsönhatása esetén : a nullhelyzet célszeűen a földfelszín (a földsugá) U γmm R (itt -t a Föld középpt.-jától méjük) U R γmm γmm R mivel R + h R + h R

R + h R + és h << R h h R R R R h R U γmm R γm mh R g mgh U mgh de ezt úgy is meg lehet kapni, h a nehézségi eő az m tömegű testen mgh munkát végez, míg a test h magasságból 0 magasságba süllyed (vagy mi végzünk a testen mgh munkát, míg 0-ól h magassága emeljük) a Földtől nagyobb táv.-a (ha g áll.) a nulhellyzetet inkább a végtelenben választják : mm U γ

gav. pot. enegia helyzeti enegia ha a két test közül egyik a Föld (M >> m), akko ez állónak tekinthető : a m testnek van helyzeti enegiája de nem szabad elfelejteni : a pot. E a KÉT test közös tulajdona pl. : adott magasságból elejtett test mekkoa sebességgel csapódik a földbe? pl. : mennyi lesz a h magasságú lejtőől súlódásmentesen lecsúszó test végsebessége, ha a kezdőseb.-e 0 volt? pl. : a Föld felszínéől egy testet nagy v 0 kezdőseb.-el függ.-en fellövünk. Milyen magasa jut?

a Föld felszínéől egy testet nagy v 0 kezdőseb.-el függ.-en fellövünk. Milyen magasa jut? U mm γ és R γ mm + mv 0 R mm γ R + h h pl. : mekkoa kezdőseb.-el kell fellőni, hogy ne essen vissza? ha az össz E a kilövés pillanatában < 0, akko lesz o. táv., ahol a test seb.-e 0 lesz hogy ne foduljon vissza : v 0 γm R gr km s γ mm + mv R második kozmikus sebesség 0 0

pl. : fonálinga : E h l h E m

a pot. E általános def.-ja; konzevatív eők : tp. közötti kölcs.hatáshoz csak akko lehet E pot -t def., ha a tp.-k között ható eő CSAK a tp. elatív helyzetének fgv.-e, ekko : E pot az a W, amit az egyik tp. végez a másikon ÉS a másik az egyiken, míg adott helyzetből a nullhelyzetnek megfelelő el. helyzetbe mozdulnak : U() W( elatív helyzet! 0 0 ) F()d (úgónál volt : ugyanez a W megkapható úgy is, h. ha az egyik tp.-a ülünk és onnan nézzük a másik hozzánk visz. elmozd.t)

az U() W( 0 0 ) F()d def. csak akko egyét., ha a kölcs.h. eő munkáját egyét. megszabja a kezdő és végső helyzet, fgtl. attól, h. milyen úton jut -ből 0 -ba ha ez telj. E pot! W( ) U( ) U( ) a munkatételből : U -U E k -E k U + E k U + E k teljesül a mech. E megm. tétele!

s F s F A valóban fgtl. a W az úttól? úgóa; gav. kölcs.h.-a: B esetben F csak a tp. táv.-tól függ és F centális az utakat kis s elmozdulásoka bontva: az elmozd.-k eő-iányú komponense megegyezik a végzett munka a két úton megegyezik centális eőhöz endelhető pot. enegia (pl. Coulomb-eőhöz is), de más kölcs.hatáshoz is lehet!!

(pl. toziós inga esetén, ahol fogatónyomaték végez munkát, ami csak a test kezdő- és véghelyzetétől függ) konzevatív kölcsönhatás : ha a végzett munka csak a kezdő- és véghelyzettől függ, azaz o. kölcs.h. amihez E pot az ilyen eőket konzevatív eők-nek nev. pl. F súl. nem konz.! tömegpontendszee : ha a tagjai között (páonként) konz. kölcs.h. van : enegiatétel : E mozg,i + E pot,ij állandó i i< j egyes tp.-k mozg.e-ja az i,j páos kölcsönhatási pot E-ja

E pot -t úgy is szokták def., mint azt a munkát, amit kell végezni a kölcsönhatási eő ellenében, míg a nullhelyzetből az adott helye visszük: W én F 0 én d F 0 kölcsönhatási d 0 F kölcsönhatási d U() az eő meghatáozása a pot. E-ból : előbb F() most U() U() F() ismeni kell a tömegpontok (testek) kölcs. helyzetét, ill. egy adott, kiszemelt tp. helyzetét : a tp.dsz.-e U() teljes a tp.-k közötti pot.e-k összege; étékét a tp.-k elatív helyzete egyét. megszabja egy

additív konstans eejéig!!! (ld. koábban) U() de : teljes - ben a kiválasztott tp. helyzetét jelöli, viszont U a dsz. többi tagjának helyzetétől is függ! mozdítsuk el gondolatban a tp.-t δ -el ( vituális elmozdulás) U() U( + δ) a pot. E csökkenése a dsz. többi tagja által a tp.-on végzett munkával U() U( + δ) Fδ F δ pozitív, ha U(+δ) < U() és negatív fodítva F δ lim δ 0 δ U( + δ) δ U() ha végigpóbáljuk az összes lehetséges δ elmozdulásokat, megkapjuk az F-nek tetsz. iányú komponensét az eőkomponens < 0, ha az elmozd. U növekedésével já, és fodítva

az az iány, amee mozdulva a legnagyobb pozitív eőkomponenst kapjuk, az eővekto iánya az eő abba az iányba mutat, amee mozdítva a pontot, a leggyosabban csökken a dsz. pot. E-ja pl. : mekkoa a teste ható eő egy adott z-helyen? ½kz U mgz U teljes (z) z F ö l d F z (z) a úgó pot. E-ja : U k( l l 0 ) kz a test helyzeti E-ja : U teljes (z) kz + U mgz (nullhelyzet az oigóban) mgz a tp.-a ható F eedő z-komponense: lim δz 0 U(z + δz) δz U(z) du dz kz mg

meev test egyensúlya, fogatónyomaték, impulzusmomentum ( pedület) : vektomennyiség momentuma : impulzusmomentum L p fogatónyomaték M F tömegpont pedülete : Keple I. : a bolygók ellipszispályán mozognak Keple II. : a Naptól a bolygóhoz húzott vezésugá időközök alatt teületeket súol : v időegység alatt súolt teület f teületsebesség P f Nap A df. f dt f t állandó a Föld sebessége legnagyobb P-ben (januá 3-án), legkisebb A-ban

v ḟ meőleges a pályasíka ha adott a tp.-a (bolygóa) ható eő mennyi változási gyosasága? : f + + t v v) (v ) ( lim dt d f 0 t teülete ½. a. b. sinγ, + iány a jobbkéz-szabály szeint + + t v v t t v lim 0 t [ ] + + a 0 v v a m F a (N.II.) F m F m dt f d vagyis : ( ) ( ) a a v v v v v dt d v dt d f dt d.. + + vektoi szozatot deiválva :

vagyis : F d f dt m F a Nap felé mutat, így F F 0 f áll. ez éppen Keple II. töv. f iánya is const. a pálya síkja is állandó centális eő a tp.-a ható eő hatásvonala mindig átmegy a kood.dsz. egy adott pt.-ján (pl. a Földe ható gav. eő mindig a Nap felé mutat) így Keple II. másképpen : centális eő hatása alatt mozgó tömegpont teületsebessége állandó

egyúttal megkaptuk az impulzusmomentum tételt tömegponta : d f dt m F pedülettétel : d dt m f d dt ( mv) dl dt L d dt p M ( p) F M ebből visszakapjuk a pedületmegmaadást : ha M 0 L állandó (pl. centális eőnél)

pedülettétel pontendszee : tp.dsz. pedülete az egyes tp.-k pedületeinek összege : az egyes tömegpontoka : dl dt dl dt külső fogatónyomatékok belső fogatónyomatékok M M + M + M L Li dl dt + M 3 + M 3 dl dt +... i +... dl dt stb (mint impulzustétel) M i

zát tp.dsz. : M i 0 ha még a belső eőke F ij -F ji (N.III.töv.) mellett az is teljesül, h. közös hatásvonalúak, akko M ij -M ji is teljesül dl dt M L állandó vagyis zát tp.dsz. teljes pedülete állandó pl. : napendszee igaz pontszeű, elektomosan töltött testeke is igaz de : 0

nem zát tp.dsz.-e hatnak külső fogatónyomatékok : dl dt ha a belső fogatónyomatékok nem ejtik ki egymást páonként : pl. egymása mágnesek, ekko nem centális eők a belső eők M i??? ld később

pl. : fonálinga még egysze : φ l dl dt M pedülettétel és L L m l v ; v l. ω l kl. sinφ F k (kényszeeő kötéleő) d d dω mlv ml lω ml ml.. ϕ dt dt dt M M m g l sinϕ mg k m l.. ϕ mg lsinϕ M m. g (szabadeő) ugyanaz a diff. egyenlet, mint amit koábban kaptunk a N.II.-nél! (megoldást ld. ott)

pl. : bizonyítsuk be Keple III.-t : (a bolygópályák nagytengelyeinek köbei úgy aánylanak egymáshoz, mint a keingési idők négyzetei) E mech állandó napközelben ugyanannyi, mint naptávolban a ( ) v γmm γmm m v + felületsebesség állandó : T ellipszis teülete osztva teületsebességgel : keingési idő v f a c f v v c T T a + c abπ (a c)v abπ (a + c)v a v c c abπ (a c)t v abπ (a + c)t

4a b T π (a c) (a + c) γm a c c 4ac(a -c ) - és ellipszise : b a -c a T 3 γm 4π állandó Keple III.

meev test egyensúlya, fogatónyomaték : egyensúlyban van v áll. nyugalomban van v 0 F 0 de fooghat! M 0 i i i i ahol M fogatónyomaték fogató hatás M eő eőka F. F tengelye vonatk.!! M F F

tengely köüli fogás : Z F' pl: ajtó nyitása k F csak akko van fogás, ha F hatásvonala nem megy át a tengelyen M Z F k eőka ögzített teng. köül fogó meev test a tengelye meőleges síkban ható eők esetén akko van egyensúlyban, ha a teng.- e vonatkozó fogatónyomatékok algebai összege nulla

ögzített tengely, tengelye vonatkozó fogatónyomaték : egyetlen F eő hatásáa akko és csakis akko jön fogásba, ha F-nek van a tengelye komponense; és hatásvonal nem megy át a tengelyen az okozott β nem egyételmű : ugyanakkoa, ugyanolyan iányú eő másként fogat, ha hatásvonala messzebb van a tengelytől nagysága : M z k. F xy

fogatónyomaték előjele : M z pozitív M z negatív pl. : kétkaú méleg, lipityóka, benzinmoto, fogaskeék, hengekeék,

teng. köül fogatható testek egyensúlyban vannak, ha : 0 M i iz (a jobba és bala fogató nyomatékok összege egyenlő) téfogati eők fogatónyomatéka: tkp i i i i i i i i i i iz x m g x m g x m g x G M

pl. : vsz. teng. köül fogatható test hogyan áll be egyensúlyba? ha a tkp-ban van felfüggeszztve, akko a súlyeő fogatónyomatéka a tkp.-on átmenő vsz. teng.-e nézve nulla pl. : a fonal megváltozott iánnyal, de azonos nagysággal továbbítja az egyik végée ható eőt : F. R F 3. R F F 3 F 3 -F 3

emelő-tipusú egyszeű gépek : emelő, csiga, hengekeék, fogaskeék- és szíj áttétel (pl. sebességváltó) pl. : kaos méleggel tömeget méünk : m gl m gl m l m l egyensúly esetén: ha a kaok egyenlők, akko a tömegek is egyenlőek a súlyáól nem tudunk biztosat, met az függ a földajzi helytől!!! meev test egyensúlyának általános feltétele, ponta vonatkozó fogatónyomaték : ha a meev test egyetlen pt.-ban van ögz.ve, akko egyetlen koncentált eő hatásáa akko maad egyensúlyban, ha a hatásvonal átmegy a ponton

ekko az eőnek tetsz., a fogásponton átmenő teng.- e vonatk. fogatónyomatéka nulla eőhatás ha több eő hat elmozdulás, ha F hatásvonala átmegy a fogástengelyen (eőka 0) elfodulás, ha nem megy át (van eőka) egyensúly van, ha az eők fogatónyomatékainak eedője nulla ez tömöen megfogalmazható a ponta vonatkozó fogatónyomaték vagy fogatónyomaték vekto segítségével : M F

M F az vekto komponensei az egyes tengelyeke vonatkozó fogatónyomatékokat adják pl. a z-tengelyel páhuzamos komponense: ennek nagysága: M M z M z xy Fxy sinα k Fxy xy Fxy z a z-teng. iányába mutat, ha xy, Fxy és a z-teng. ebben a soendben jobbsodású; és ellentétes iányú egyébként M z xy F xy skalákomponensekkel: M z x. F y y. F x (hasonlóan a többi komponens is)

ha 0, akko bám. iányú teng.-e vonatk. vetülete is nulla i-e M i 0 (i x, y, z) M ögz. pont köül tetsz. fogatható meev test egyensúlyának szükséges és elégséges feltétele: a teste ható külső eőknek a fogáspt.- a vonatk. eedő fogatónyomatéka nulla legyen : és pesze F eedő 0 is! Mi i F egyensúlyban van; F-t tudunk méni i 0

egyensúlyban van; F-t tudunk méni : nincs kényszeekkel előít fogáspont v. tengely, de Mi i F ekko is igaz, met ha a teste ható eőknek vmely O pt.-a vonatk. M i 0 akko bám. más O' pt.-a vonatk. is telj. bizonyítás: HF M i 0 i 0

pl. : milyen eővel nyomja a úd a támaszt és milyen eővel húzza a kötelet? eőpá, koncentált fogatónyomaték : F F F 0

csak fogatónyomatéka van (csak fogatni tud) F 0 pl. : az eőpá fogatónyomatéka ponta ugyanannyi: ( ) + + F F F F F F M ( ) F F F k F M M a nagysága : iánya: jobbkézszabály

másik pl. : mágnestű homogén mágn. tében elfodul de a mágn.tűe ható fogatónyomatékot nem lehet felbontani eőpáa: ha a mágnestűt ketévágjuk, akko megint nulla eedő eőt és véges fogatónyomatékot kapunk a mágn. töltéseket nem lehet szétválasztani, a mágnestű kis daabjáa is csak fogatónyomaték hat, nem pedig eő koncentált fogatónyomaték (nem lehet eőpáa visszavezetni) pl. a toziósszál is csak fogatónyomatékot fejt ki a áakasztott teste

eőendszeek ekvivalens helyettesítése : ismétlés: meev teste ható eők téfogati eők felületi eők vonalmenti eloszlású eők pontban koncentált eők téfogati eők: a teljes téfogatban hatnak, a teek által kifejtett eők (gavitáció, elektosztatikus, mágneses eők). Ezen belül a tömeggel aányos a tömegeő (gav. és nehézségi eők) felületi eők: övid hatótáv., felületi éintkezés útján fejtik ki hatásukat (kényszeeők, súlódási eő, közegellenállás) vonalmenti eloszlású eők: igen kis felületen (vonal mentén) éintkező testek között (pl. kés éle) pontban koncentált eők: igen kis felületen (egyetlen pontban) ható övid hatótáv.-ú eők.

támadáspont: a testnek az a pontja, ahol a pontban koncentált eő hat ( éintkezik a testtel) hatásvonal: a támadásponton átmenő, a pontban koncentált eő vektoal páhuzamos egyenes eőendszeek edukálása, összetevése: ekvivalens helyettesítés a helyettesítő eőnek ugyanaz a hatása, az eő egyenlő az eőendsze eedőjével és a fogatónyomatéka is ugyanaz hatásáa a meev test ugyanúgy fog mozogni. pontban koncentált eő helyettesíthető ugyanolyan iányú, nagyságú és hatásvonalú eővel [hétköznapi nyelven: pontban koncentált eő a hatásvonala mentén eltolható] (nem változik a meev teste gyakoolt hatása: se a tkp. gyosulása, sem a fogatónyomatéka)

. eő eedője: két koncentált eő helyettesíthető egy olyan eővel, amely a eő összege és amelynek támadáspontja a két eedeti eő hatásvonalainak metszéspontjába esik F F M F F M ' ' ' ' ' M M de

/a. több eő eedője: a meev teste ható több eő helyettesíthető egyetlen pontban koncentált eővel. Az eedő eő hatása ugyanaz, mint a többi eő együttes hatása több eő eedőjét az előző pont szeint lehet megkeeseni, lépésől lépése, de ez az eljáás nem használható páhuzamos vagy kitéő hatásvonalú eők esetén ( ) 0 0 0 e 0 ' F F F F F F F M + + + felhasználtuk az. szabályt

3. páhuzamos eők eedője: ellentétes iányú, egyfoma nagyságú, közös hatásvonalú eők eedője: 0 bámely eőendszehez hozzáadhatunk egy és segédeőkből álló endszet F ' F ' F' -F' F ' F' F F F ' F ' F F F -F' F ' F 'és F 'eedőjének megszekesztéséhez felhasználtuk a. szabályt eőpá esetén nem használható!

páhuzamos, egyiányú eők eedője: F F + F e F F F l l l F l páhuzamos (nem közös hatásvonalú) ellentétes iányú eők eedője: F F F F l l F F + F e l l páhuzamos, nem közös hatásvonalú, ellentétes iányú, egyfoma nagyságú eők: eőpá

közös pontban ható, tetszőleges iányú eőkből álló eőendsze mindig helyettesíthető egyetlen, pontban koncentált eővel. eőpának nincs ekv. eedője, csak másik eőpáal helyettesíthető : ugyanabban a síkban fekvő eőpá, ugyanolyan fogásiányú és k'f' kf legáltalánosabb eőendsze ekv. helyettesíthető egy eőcsava-al eőpá + á eő nem közös pontban ható, tetszőleges iányú eőkből álló eőendsze mindig helyettesíthető egyetlen eőcsavaal súlypont : keessük a test súlyának (téfogati eő!) ekv. eedőjét

vizsgált test x és y teng.-k a vsz. síkban, a z-teng. függőleges a testet kis m i daaboka bontjuk, az i-edik db súlyának fogatónyomatéka a 3 tengelye : M ix - m i. g. y i, M iy m i. g. x i, az eedő fogatónyomaték komponensei : M x -g. Σ m i. y i, M y g. Σ m i. x i, M iz 0 M z 0

az ekv. eedő G m. g, ennek fogatónyomatéka : M x -g. m. y s, M y g. m. x s, M z 0 az ekv. eedő keesett támadáspontjának kood.-i x s x i m m i, y s y i m z s hatáozatlan maad, ami temészetes, met az ekv. eedő hatásvonalának pt.-jába helyezhető ha a testet más helyzetbe hozzuk, az ekv. eedő hatásvonala más lesz a testnek végtelen sok súlyvonala van ezek egyetlen pt.-ban metszik egymást, a tkp.-ban súlypont m i

ha a test nem túl nagy, vagyis a téfogatán belül g nagysága és iánya mindenhol egyfoma, akko a gav. eő helyettesíthető a test tkp-ban ható egyetlen (pontban koncentált) eővel: G n i m i g m g m m m i G i m 3 tkp Gm. g súlypont: az a pont, ahol a nehézségi eő koncentált eedője támad (homogén gav. tében egybeesik a tkp-al) súlyvonal: a pontban koncentált nehézségi eő hatásvonala (mindig függőleges), átmegy a súlyponton: m n súlypont meghatáozása: Gm. g Gm. g kíséletileg szekesztéssel súlyvonal súlyvonal pl. : test (vonalzó) súlypt.-nak megkeesése felfüggesztéssel

tömegpont impulzusmomentuma : fogási impulzus pedülettétel : dl dt M 0 L állandó v ω L m v m ( ω ) m. L m β M ha a tp. köpályán mozog: ekko a pedülettétel : L. m. v (. p ) ( L p peületmegmaadás ω (analóg a tp. mozgását leíó N.II.-vel) az m mennyiség felel meg a tömegnek: tehetetlenségi nyomaték: Θ m tengelye vonatk.-va: M z Θ. β z )

pedülettétel pontendszee : tp.dsz. pedülete az egyes tp.-k pedületeinek összege : L Li az egyes tömegpontoka : dl dt dl dt stb M M + M + M dl dt + M + M 3 3 dl dt +... i +... dl dt M i

pálya- és sajátpeület : a pedülettétel áttekinthetőbb alakba íható, ha a teljes pedületet két tag összegée bontjuk : egyik a tkp.-a vonatk. pedülete, a másik pedig a tkp.-nak az eedeti ponta vonatkozó pedülete tkp. ' i c i + ' i c i v v v + + + ) v (v ) ( m m v L ' i c ' i c i i i i i ' i i ' i c ' i i ' i i c c i c v m v m m v m v + + + a tp.-nak a tkp.-a vonatk. pedülete

a teljes pedület ( ) ( ) + + + ' i i ' i c ' i i ' i i c c i c i v m v m m v v m L L m 0 0 m m, m m v ' i i ' i i a tkp. sebessége ill. helyvektoa a tkp.-hoz képest saját pálya ' i i ' i c c L L m v v m L + + a pedülettétel külön év. mindkét taga : ( ) i c c c c c c c p F ma mv v mv dt d dt dl + a tkp.-ba, mint támadáspt.-ba képzelt külső eők fogatónyomatékával 0

dl dt s d dt ( ) ' ' ' ' ' m v v m v + i i i i i i i m a 0 ha F külső, eedő 0, a tkp. gyosulva mozog a i ' az i-edik tp.-nak a tkp.-hoz ögz. von.edsz.-beli gyosulása azaz a tkp.-al együtt haladó von.dsz.-beli gyosulása tehetetlenségi eőket is figyelembe kell venni : ezek a tp.-k tömegeivel aányosak és egymással -k, mint a nehézségi eő. Az ilyen eődsz. ekv. eedője a tkp.-n átmenőhatásvonalú koncentált eő, aminek a tkp.-a vonatk. fogatónyomatéka 0, így m i a ' i F i + F i j ij + F i,teh i ' i -t helyettesítve oda a teh. eők fogatónyomatékai összesen 0-t adnak, és felt. h. a belső eők fogatónyomatékai is kiejtik egymást

dl dt s d dt ( ) ' ' ' m v i i i i m a i ' i és m i a ' i F i így maad : dl dt s ' i Fi vagyis: a báhogyan gyosuló tkp.-a vonatk.pedület vált. gyosaságát megadja a teste ható valódi külső eőknek a tkp.-a vonatk. eedő fogatónyomatéka

meev test fogása ögzített teng. köül, a fogómozgás alapegyenlete, tehetetlenségi nyomaték : ögz. teng. elegendő a pedület teng.-iányú komponensével foglalkozni ez elég a meev test fogásának leíásához, ha a teng. iányának megtatásához szüks. külső fogatónyomaték nem édekel minket pögettyűk (ld később) m i legyen z-teng. fogásteng. L i,z m i i,xy ω

L i,z i,xy mi nagysága : L m i,z i ω i,xy ω m i i,xy ω skalákomponense : L i,z m i i,xy ω z ± m i i,xy +, ha és z-teng., és -, ha ω és z a teljes pedület : L L m ω z i,z i i,xy ω vagy a kontinuum-modell szeint a felosztást végtelenül finomítva : ω L z lim mi i,xy lim mi i,xy ω Θ mi 0 mi 0 ( ) ω ω Θ lim m mi 0 i i,xy i,xy dm

Lz L z Θ ω Θ ω és L z Θ ω z Θ a test tömegeloszlásától függ kísélet : tömö és ües kaika leguulása a lejtőn hasonlít a haladó mozg.-nál def. lendülethez : m tehetetlenség Θ tehetetlenség a fogó mozgása Θ tehetetlenségi nyomaték (z-teng.e vonatk. teh. nyomaték) mivel meev test ögz. teng. köüli fog. esetén Θ állandó dl dt M d dt Θ dω dt ( Θ ω) Θ Θ β β fogó mozg. alapegyenlete

pl. : tömö koong tehetetlenségi nyomatéka : R i ρ Θ m i i i ρv i ρ V i dv i mρ. V ρ. R π. h ρ V R i ρ 0 Vπ. d. h (dv) i πhd R ρπh 4 R 4 R R πh ρπh 0 ρr πh 4 0 ües gyűű : Θ mr, gömb : /5mR, l hosszúságú pálca kp.-jáa : /ml és végée /3ml, stb 4 m 0 3 d mr

Θ a fogató hatással szembeni ellenállás, tehetlenség météke ( mint a tömeg a mozgató hatással szembeni tehetetlenség météke ) Steine tétele : Θ O Θ C +m. s tkp. O C s a K-kood.-dsz. z-teng. essen egybe az új fog.teng.-el, az x- teng.-e menjen át a tkp.-on ( a fog.teng az ába síkjáa ) a K' kood.-dsz. oigója pedig essen a tkp.-ba és teng.-i legyenek a K teng.-ivel. ekko m i tömegpontjának az új és a égi tengelyektől mét távolságai között

i x i + y i (x i '+s) + y i ' x i ' + y i ' + sx i '+ s i ' + sx i '+ s összefüggés olvasható le ( ) C C i i i i i i i i i i O s m s m 0 m s m ' x s m ' m ) s ' sx ' ( m + + + + + + + Θ Θ Θ m m ' x i i a tkp.-nak a tkp.-tól mét x-kood.-ja nulla Θ O Θ C +m. s igaz

az impulzusmomentum megmaadása fogásnál : kísélet : fogózsámoly súlyzókkal piuettező kocsolyázó M 0 Θ. ω áll. összehúzza a kajait Θ csökken ω növekszik! ω > ω és fodítva

valamint : tonász a nyújtón, földön v. fogózsámolyon ülő embe fogásba tudja hozni magát kísélet : fogózsámolyon ülő embe fogó biciklikeeket kap : m, Θ Θ kezdetben nyugvó zsámoly + a keéknek felfelé mutató pedületvektoa van továbba is nyugalomban maad de ha a keék tengelyét 80 o -al elfodítja, a zsámoly fogásba jön ha visszafodítja a keeket, megint megáll ételmezés : pedületmegmaadás : L kezd Θ ω L vég (Θ +m s ) ω - Θ ( ω - ω)

fizikai inga : koábban volt : T π Θ m g s φ s M mg tkp. ee a teng.-e a fogó mozgás alapegyenlete : M Θ. β M -mg. s. sinφ Θ β mg s sinϕ mg s ϕ.. Θ ϕ mg s ϕ ( ω δ ) ϕ ϕ sin t + 0 T π ω ahol π ω Θ m g s m g s Θ

toziós inga : M -k. φ φ M hasonlóan az előbbihez T π Θ k észletesebben : ld. tankönyvekben

meev testek síkmozgása : síkmozgás 3 szab. fok az elmozdulás 3 adattal megadható, pl. a szögelfodulással és a tkp.- nak ω-a elmozduláskomponensével : m. a tkp,x F x m. a tkp,y F y Θ C. β z M C,z vagy pedig : a pillanatnyi fogástengelye nézve : Θ O. β z M O,z ω R F G F ny F s

gödülés, gödülési ellenállás : v, a halad N.II. : ω F-F s m. a G F ny F s R F és : tapadás vagy csúszás foog fogó mozg. alapegy. : F s. R Θ. β tiszta gödülés vagy csúszva gödülés a R. β vagy pedig a pillanatnyi fogástengelye nézve : HF!

a gödülés a valóságban : ω F v, a ott behopad gödülési ellenállás gépjáművek haladása : v ω G F ny a tapadási súlódási eő viszi előe a kocsit! F s

pl. : ω m m g a) pedülettétel-lel: z-teng.-e vonatk. teljes pedület L z m Rv +m Rv +Θω (m R +m R +Θ)ω (m M, R +m +Θ/R )ωr a külső eők fogatónyomatékának z-komponense M z m gr-m gr(m -m )gr a peülettétel szeint: m (m -m )gr(m +m +Θ/R )βr és arβ m g a g m m + m m ideális csiga esetén a g m m + m m + Θ R

a) a dinamika alaptövényével: m test: m am g-f k m test: m a-m g+f k M test: ΘβF k R-F k R kényszefeltétel: arβ + ω M, R F k F k + m m m g ugyanaz a megoldás adódik m g ha ideális csiga F k F k

csapágy-kényszeeők, szabad tengely : L L + L L K m z α ω L K m L L p p m v m cosα ω L L +L az L egy α szögű kúp mentén köbejá pedülettétel szeint ehhez állandó fogatónyomaték kell : a z-teng. és a szúlyzó által megszabott síka iányú ilyen fogatónyomatékot (eőpát) a csapágyak által kifejtett kényszeeők tudnak kifejteni ha a súlyzó vagy a teng.-el, akko a kényszeeők eltűnnek szabad tengelyek átmennek a test tkp.-ján

fogásszimmetikus homogén test szimm.-teng.-i egyúttal szabad tengelyek is a szimm.teng. köül megpögetett és eldobott test epülés közben is megőzi a tengelyiányát pl. : diszkosz, megpögetett pénzdaab kísélet: fonálon megpögetett testek, lánc pögettyű : egyetlen pt.-ja van ögzítve, e köül szabadon elfodulhat iányban (a teng. függőleges) eőmentes pögettyű : a teste ható külső eők fogatónyomatéka a fogáspt.- a nézve 0 pl. : ha a testet a sulypt.-jában támasztjuk alá, vagy ilyen a szabadon eső és fogó test is

ha egy eőmentes pög.-t úgy indítunk el, h. ω vmelyik szabad teng.-el ω is és a fog.teng. is állandó lesz stabil a fogás a legnagyobb és legkisebb tehetetlenségi nyomatékú tengely köül; labilis a fogás a középső tehetetlenségi nyomatékú tengely köül ha nem teng.-hez fogatónyomaték kellene az állandó a fog.teng. nem lesz állandó pöög a szimmetiatengelye köül (szabad tengely) és a tengely is köbejá nutáció pögettyű mozgása fogatónyomaték hatása alatt : ha a pögettyű nem a súlypontjában van alátámasztva : a súlyeőnek fogatónyomatéka van

kísélet : megpögetett biciklikeék madzagon ω G M a tengely köbejá a vsz. síkban pecesszió pögettyű alkalmazása: pl. pögettyűs iánytű

a pedület megmaadása ütközésekben : ld. a gyakolaton ütközés ugalmas ugalmatlan

Golyó dobozban F v v F m v -v Visszalépés: Kilépés: Esc.

Rugalmas egyenes ütközés. v m m v 0 u u Visszalépés: Kilépés: Esc.

Rugalmas egyenes ütközés. v m u u 0 v m Visszalépés: Kilépés: Esc.

Rugalmas egyenes ütközés 3. v m u u v m Visszalépés: Kilépés: Esc.

Rugalmas fede ütközés. v m u u v m Visszalépés: Kilépés: Esc.

Rugalmas fede ütközés. v ω m u v u ω m Visszalépés: Kilépés: Esc.

Golyó ugalmas ütközése úddal v m u 0 ω m v 0 u Visszalépés: Kilépés: Esc.

munkatétel meev testeke : E W mozg össz E i,mozg Wi Fi i m a munkatétel szeint i v i a tp.-k mozg. enegiáinak összege a tp.dsz.-en végzett munkák összege W össz csakhogy a belső eőkől ált.-ban nem tudunk semmit de meev testeknél egyszeűsítő feltevéssel élhetünk : E vég E kezd

ha a tp.-k között centális eők hatnak a belső eők összes munkája nulla, met a tp.-k egymáshoz képest nem mozdulhatnak el; vagy ha az elmozdulhatnak, akko az elmozd.-k ellentétes iányúak és egyfoma nagyságúak, így az egyik által a másikon és a másik által az egyiken végzett munka egyenlő nagyságú, ellentétel előjelű vagy ha foognak, akko mindkét munka nulla tapasztalat szeint a belső eők figyelmen kívül hagyhatók a külső eőke: eőt a támadáspt.-jának elmozd.-val számolunk de sok eő esetén ez bonyolult nézzük a ögz.teng. köül fogó meev testet :

ögz. teng. köül fogó meev test : kis φ fogásszöghöz tatozó elmozd. φ. ; az eő elmozd.-iányú komponense F s F. sinα, a végzett munka W (±)F s. (±)F. sinα. φ. (±)F.. sinα. φ * M * (±)M. φ fog.teng. ( a fog.t. pt.-jából húzott vekto, pedig a teng.-től húzott +, ha M ételme megegyezik a szögelfod.-val de ez kifejezhető így is : W M ϕ vagy : W M φ. φ, ahol M φ az M -nak a szögseb.-iányú komponense vagy vektoosan : φ F s W F ϕ ( ϕ ) F ϕ ( F) M F α

ha több eő hat a teste : W W M ϕ M ϕ M i ( ) ( ) ϕ i ált.-an, ha nem csak egy ögz. teng. köül fodulhat : hanem halad és foog : az F i eő támadáspt.-jának elmozd.-t a koábbiaknak megf.-en felbontjuk a tkp. elmozd.-a és az e köüli fogása : i c + ϕ i ' a külső eők által végzett munka ekko W i Fi c Fi + ( ϕ i ') Fi ϕ( ) c Fi + i ' Fi F c + M c ϕ a tkp elmozdításáa fodított munka + a tkp köüli elfodításhoz szükséges munka síkmozgás esetén : W F s. s tkp + M tkp,φ. φ i

a fogó mozgás kinetikus enegiája : ögz.teng. köüli fogása : egy pt.-jának sebessége v i i. ω E mozg,teljes E mozg,i m v i i m (a fog.teng.-től húzott helyvekto) i i ω ( ) ( ) m ω m ω Θω E mozg,i i i i i E fog Θ ω Em m v pl. : gödülés haladás + ögz. teng. köüli fogás : E m m v tkp + Θ tkp ω

ϕ Θω Θω ϕ M W E mozg alakba íható a munkatétel így általános elfodulása : a tömegpont elmozd.-t felbontjuk a tkp. elmozd.-a és az e köüli fogása : ' i c i + ϕ ' v v i c i + ω a tp. mozg. E-ja ( ) ' m v ' m m v m v E i i c i i c i i i,i mozg + + ω ω ( ) ( ) ( ) + + ' m v ' m v m E E i i c i i c i mozg,i mozg,teljes ω ω m Θ 0 ' m ' m c i i a tkp.-ból a tkp.-ba mutató helyvekto 0

E mozg,teljes ( ) ( ) m v + m ' ω mv + Θω i c i i c E m m v tkp + Θ tkp ω a munkatétel ee : E mozg mv c haladó mozg. mv c W fogó mozg. F c ( ( F ) ) i c a munkatétel az egésze : a teste ható összes eő összes munkája megadja a test teljes kin. E-jának megvált.-t E m mvc mvc + Θω Θω W F c + M c ϕ

E mozg mvc mvc W F c és E m mvc mvc + Θω Θω W F c + M c ϕ E fog Θω Θω M c ϕ c c, i [ M M ] vagyis a tkp.-a vonatk. fogatónyomatékok munkája a tkp. köüli fogás kin. E-jának megvált.-t adja

egyszeű gépek : koábban má volt! kisebb eővel (eőlködéssel) tudjuk ugyanazt a munkát elvégezni pl. : lejtő, emelő, ék, hengekeék, csigák, stb állócsiga, mozgócsiga, csigaso pl. : egy 00 kg tömegű nagy ládát embe egyedül aka feltenni m magasa? F' << F F ny F m G W F. s mgh α G F' m W F'. s' mgsinα. h/sinα mgh

emelő : M M F F F. F. F << F hengekeék : (pl. keekeskút) F' ék : pl. : balta : miét könnyebb nagy fatuskót fejjel lefele széthasítani? csava : speciális lejtő F G F. F'. R R F' << F

egyensúlyi helyzetek : stabil indiffeens labilis metastabil hogy lehet eldönteni, h. milyen egyensúlyi helyzet? : igen kicsit kimozdítjuk, és megnézzük, h. visszaté-e vituális munka elve enegiaminimuma töekszik pl. : mee könnyebb feldönteni egy támlás széket? miét?

DEFORMÁLHATÓ TESTEK meev test ideális eset szilád testek (kistályos /egykist. v. polikist., amof) folyadék: nincs hatáozott alakja, de V áll. (amof szek. hasonló a foly.-hoz) gáz: sem alak, sem V áll. SZILÁRD TESTEK RUGALMAS ALAKVÁLTOZÁSAI ugalmas: eőhatás alakváltozás; eőhatás megszűnik alakvált. megszűnik ideális ugalmasságot közelítik a szilád testek kis alakvált. esetén (ugalmasság hatáa alatt) pl.: úgó, csavaúgó, dót megnyújtása, úd le/behajlása, gumilabda összenyomása,. kísélet : kül. hosszúságú dótokat, úgókat kül. nagyságú eőkkel nyújtva (údnál összenyomva is) a dótok hossza nő lineáis úgók de l /l l /l bámilyen hossz esetén atomok, ionok

ideális ugalmasság 676: HOOKE tövény : nyúlása és összenyomása : l l E F A σ 3 szekezeti acél σ σ Hooke-töv. σ sz ágógumi ált. anyagok σ ε ε ugalmas alakvált. a ugalmasságon túl képlékenység maadó alakváltozás

pl.: alacsony kabon tatalmú acéla:

pl. képlékeny alakvált.-a : kilágyított ( átkistályosított) anyagok meglepően képlékenyek kísélet : kilágyított Cu-dót saját súlyától lehajlik (egyébként nem) fúógéppel sokszo megtekeve felkeményedik, kilágyítás, ismételgethető meglepő több nagyságenddel kisebb fesz. kell a képl. alakvált.-hoz, mint az alábbi egyszeű modell jósolja : σ b a σ x vonalhibák ( diszlokációk ) szeepe ld. 70.old. visszatéve a ugalmas alakvált.-a :

A F E l l l l ε A F σ ε σ E izotóp anyagoka: (pl. polikist. fémek) diffeenciális Hooke-töv. haántösszehúzódás is van: l l µ d d Young-modulus; fémeke : E 0 5 N/mm 0 N/m 00 GPa Poisson-szám, fémeke 0.-0.3 ( )( ) l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l µ ) ( A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A V V + + + + + + + + + + el. megnyúlás feszültség ( alakváltozás) ( vagy nyújtási ug. mod. ) longitudinális fesz., a tehelőeőe keesztmetszete vonatk. (egykist. iányfüggő lehet) d+ d d d < 0 téfogatvált. is van :

l l A A + V V pl. téglalap keesztmetszet (a. b) esetén : l l µ ) ( V V ( ) ( ) l l µ b b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b b a a A A + + + + + + mivel a tapasztalat szeint húzásnál V nem csökken µ 0,5 összenyomásnál σ < 0 σ -p nyomás: A F p [σ] [p] Pa m N p V V κ E 3 µ κ kompesszibilitás :

a feszültség fogalmának általánosítása : σ F A a teng.-e elválasztó felület oldalán elhelyezkedő úd-daab által felületegységenként egymása gyakoolt eő nagysága de elképzelhető fede elválasztó felület is : most is egyensúly a két úd-ész egyfoma F nagyságú eővel kell, h. húzza egymást, csak F felülete a felületegysége ható F kisebb mint felület esetén n függ a felület iányításától is az helyen levő, nomálisú kis felületdaabkáa a másik által felületegységenként gyakoolt eő F σ (, n) lim A 0 A ez a feszültség általánosabb def.-ja (vekto!) speciális helyzetű felületelemektől eltekintve σ -nak van éintő iányú komponense is csúsztató- vagy nyíó fesz. feszültségi tenzo. a nomális komponens pedig a húzó (nyomó) fesz.

k l a húzott anyaghoz potenciális enegia is endelhető : Hooke-töv.: l l E F A E A F l l k E A l E pot E pot úgóállandó E A l l megnyúlás a tf.-egysége eső pot. E potenciális enegiasűűség u E pot V E A l l A l E l Eε többoldalú húzás és összenyomás; téfogati ugalmasság : nem csak iányban húzzuk (nyomjuk), hanem pl. oldalól egyszee egyszeűség kedvéét vegyünk kockát pl. az x-iányú él nyúlik az x-iányú húzás miatt, de az y- és z-iányú nyújtás miatt is:

x-iányú él hosszvált.-a az x-nomálisú lapoka ható húzóeő miatt: l xx() l E F A d l a másik két lapa ható eők miatt pedig ( µ miatt) : d l l µ l xx() E F A és l µ l xx(3) E F 3 A a teljes el. alakvált. : legyen l xx F F ε xx µ l E A A 3 + F A σ xx : az x-nomálisú felülete ható fesz.-vekto x-komponense σ yy és σ zz a másik két nom. felülete ugyanez ez év. a test belsejéből képzeletben kivágott kockáa is (ha F a szomszéd daab által á kifejtett eő) [ σ µ ( σ σ )] ε xx xx yy + E általános Hooke-töv. ez összenyomása is év.: akko σ és ε is < 0 zz

[ σ µ ( σ σ )] ε xx xx yy + E l zz xx + l l yy + l V V zz ε xx ( l + l ) ( l + l ) ( l + l ) + ε yy xx + ε zz E l yy 3 ( µ ) zz l 3 ( σ + σ + σ ) xx yy zz ha speciálisan minden oldala ugyanakkoa nyomóeő hat felületegységenként : -σ xx -σ yy -σ zz : p 0 nyomás ε xx p µ E [ ] V µ 3 p p κ p V E K kompesszibilitás : kompessziómodulus : µ κ 3 E E K κ 3 µ ( ) pl.: oldalú összenyomás pl. magas folyadékoszlop alján, vagy zát edényben ha dugattyúval megnyomjuk a szilád testek észevehető tf.-vált.-hoz igen nagy nyomóeők kellenek (azaz κ kicsi)

hajlítás : eőpá hajlítja tapasztalat : ez a ész köív alakú lesz (ha a úd saját súlya elhanyagolható) képzeletben bontsuk a udat a hosszteng.-vel szálaka tapasztalat : neutális szál! ( nem vált. a hossza) alatta összenyomódás, fölötte nyúlás defomáció a úd teng.-e keesztmetszetek az ába síkjáa teng. köül elfodulnak a keesztmetszet mentén az egyes észek defomációja más a diffeenciális Hooke-töv. szeint a feszültségek is gondolatban vágjuk keesztbe ott

ez a db. ee a db.-a olyan fogatónyomatékot gyakool, hogy egyensúlyozza a tehe és az alátámasztás fogatónyomatékát téglalap keesztmetszet esetén : a b R E a b 3 M egyik végén befogottt úd lehajlása de: a befogáshoz közeledve egye nagyobb fogatónyomaték kell úd végée ható eő fogatónyomatékának kiegyensúlyozásához s 3 l 4 E ab a keesztmetszetekben egye nagyobb fesz.-k ébednek a tövéhez közeledve egye nagyobb a göbülete 3 F s F és : egy adott keesztmetszet két oldalán levő észek egymása függőleges eővel is hatnak (hogy ne essen le ) két végén alátámasztott úd behaljása s 4E 3 l ab 3 F

nyíás, csavaás: kísélet : könyv vagy szivacs nyíása; olló a teste (testbe) ajzolt téglalap (téglatest) paalelogammává (paalelepipedonná) változik a felülettel eők ( nyíóeők) okozzák alakváltozás adott alakvált. után belső fesz. nyíófesz. ébed egyensúlyban lesz a fesz.-nek nomális komponense is van a fogatónyomatékok kiegyensúlyozásához (de ha a test lapos elhanyagolható) tiszta nyíást lehet csinálni pl. így folyadék : benne egyensúly esetén nem lépnek fel nyíóeők egyébként feszültségek hatásáa nincs egyensúlyban kivétel : a minden iányú egyenletes nyomás folyik pl. : amof test folyadék, pl. vsz.-en befogott üvegúd évek alatt láthatóan lehajlik a saját súlya alatt amof szilád testek nagy belső súlódású folyadékok

-nyíás : γ G F A γ A F τ σ t F A alja ögzítve van nyíási (csúsztatási; tozió) modulusz - csavaás : kísélet : csavaás modellen a csavaás is nyíás γ G F A vékonyfalú cső csavaása : az ábáól : γ l ϕ l γ γ ϕ l ϕ F

A G A G A F t ϕ γ σ l a teng.-e keesztmetszet egy A felületelemée a szomszéd által éintőlegesen gyakoolt eő : ennek fogatónyomatéka : A G F M ϕ l G M 3 ϕ π l l ϕ F γ megcsavat cső : megcsavat úd egymásba tolt koncentikus csövek ϕ π 4 R G M l a fesz.-eloszlás kifelé haladva egye nő toziós szál csavaási úgóállandója (M-k. φ) : 4 R G k l π

toziómodulus méése : M π G l 4 R ϕ R-el a M ohamosan csökken!!! Cavendish, 798 : a földi testek közötti gavitáció méése ugalmas enegiasűűség nyíási alakvált. esetén : u G γ izotóp testek általános defomációja, defomációs ellipszoid : tetsz. defomáció esetén egy gumilapa ajzolt kö (a tf.-ban gömb) ellipszissé (ellipszoiddá) nyúlik, ha a gumilapot nyújtjuk egy olyan kis kocka defom.-ja, melynek átlói -k az ellipszoid tengelyeivel, nyíás; egy olyané, melynek élei -k az ellipszoid tengelyeivel, nyújtás v. összenyomás

az ellipszoid főtengelyeinek iányait a defomáció főiányainak nev. főmegnyúlások : a elatív alakváltozások (a defomációs ellipszoid főtengelyeivel kifejezhetők) ε ε 3 ε 3 defomációk és feszültségek összefüggése : általános Hooke-töv.: az ε ij defomációk és σ ij feszültségek között lineáis egyenletek évényesek, a főmegnyúlások és főfeszültségeke az együtthatók a test ugalmas állandói általános defom.: a test egyszee szenved húzást, csavaást és hajlítást a főiányok pontól ponta változhatnak, de a test elég kis db.-jának defom.-ja mindig leíható úgy, mint a főiányokban töténő nyújtás v. összenyomás a nyíás is visszavezethető nyújtása (összenyomása), és összefüggés található a ug. modulusok között: ugalmassági együtthatók összefüggése: G E ( + µ ) E κ µ 3 E ( és ) az egykistályok ug. viselkedésének leíásához több anyagjellemző kell (legáltalánosabb esetben )

az enegiaminimum elve és az enegiamegm. ug. alakvált.-k esetén : a ug. test egyensúlyban stabil áll.-ban van (éppen úgy volt def.-va a ug. tulajdonság, h. az anyag visszaté ebbe az állapotba a tehelés megszüntetése után) az egyensúly stabilitása nemcsak a külső eőktől mentes nyugalmi állapotban telj., hanem külső eők ill. kényszeeők hatásáa létejövő fesz.-i állapotban is kivétel : vékony úd összenyomása kis zava hatásáa kihajlik : ha a testet kényszeekkel defomáljuk (pl. egy szalagot adott hosszúságúa nyújtunk) a test észei úgy endeződnek el, h. a ug. E az új feltételek mellet min. legyen ha a testet konzevatív külső eő defomálja a beálló egyensúlyi állapot az lesz, amelyben E ug + a külső eőhöz tatozó E pot összege min. lesz pl. : egy l 0 kezdeti hosszúságú vékony udat l hosszúságúa nyújtunk : miko lesz nagyobb E ug? - amiko az egész egyenletesen megnyúlik, ε áll. a úd mentén, vagy - amiko csak az l 0 szakasz nyúlik meg (ε ) és l 0 változatlan maad E ug Eε Al 0 ill. E ug, Eε Al 0 mivel a teljes megnyúlás esetben ugyanakkoa : εl 0 ε l 0

εl 0 ε l 0 ε ε l 0 l 0 E E ug ug, ε l ε l 0 0 l l 0 0 l l 0 0 l l 0 0 < egyenletes defom.-nál kisebb a ug. enegia! pl. : egy l 0 hosszúságú ugalmas szalag felső végét ögzítjük, az alsó végée pedig egy m tömegű testet akasztunk; milyen helyzetben lesz a dsz. teljes pot. E-ja minimális? mivel E ug egyenletes megnyúlás esetén lesz min., csak a teljes E-min.-hoz tatozó hosszúságot kell megtalálni : mivel z l 0 E pot,teljes Eε Al 0 + mgh E A 0 + mg( z) l l 0 de pot, teljes és az E azon hosszúságnál lesz min., ahol 0 : dz de pot,teljes dz d dz z l E 0 l 0 Al 0 mgz z l EA l 0 0 mg 0 z l l 0 0 mg EA ε mg EA ami éppen a Hooke-töv. szeinti egyensúlyi megnyúlás

pl.: hatáozzuk meg egy m tömegű úgóa akasztott m tömegű test ezgésidejét, ha m < m : ezegjen vsz.-en, pl. légpánás asztalon súlódás nincs ha m << m a úgó defomálása kvázisztatikus folyamatnak vehető : a úgó végée ható eők majdnem egyfomák a úgó elatív defom.-ja a teljes hossza mentén állandó és az egyes tp.-jainak az eőmentes egyensúlyi helyzettől mét kitéése a ögz. végtől való távolságukkal aányos pillanatban a ögz. végtől ξ táv.-a levő m i daab sebessége : v ( ξ ) i m i ξi v(x) x m ξi x ahol v(x) a úgó szabad végének (és a tp.-nak) a sebessége x v (x) ekko a úgó kin. E-ja : E,úgó miv ( ξi ) ξ m dξ 3 0 x m a dsz. teljes kin. E-ja : E kin,teljes E kin,úgó + E kin,test + m v (x) 3 a ug. E, mivel a defomációt állandónak feltételeztük : E kx m [ ] v (x) kin 3

az enegia megm. T szeint a ug. E csökkenése a kin. E növekedésével : (x) E x) (x E x) (x E (x) E kin kin + + v m 3 m v v m 3 m x k x kx + + + t-vel osztva és 0 t lim t v v m 3 m t x kx + x m 3 m k a + ez éppen a ham. ezg.mozgás diff.egyenlete k m 3 m T + π

a ugalmasság atomos modellje : kontinuum-modell a ugalmas test kis észe is ug. test σ lim A 0 F A df da és u du dv atomos szemlélet a σ az elválasztó felület egyik oldalán levő atomok (molekulák, ionok ) által a másik oldalon levőke kifejtett eők eedőjéből kapható, és a ug. enegia az atomok közötti kölcs.hat. E egy nagyon egyszeű ilyen modell : a legkisebb o. test, ami ugalmas, legalább néhány atomból kell, hogy álljon lineáis úgók egyensúlyi helyek E-min.! atomok, ionok a úgók nicsenek ott! a kistályos szilád testek: szabályos tébeli elendeződés kistályács

ha ism. E, G, µ t pot.-gödö falmagasságának becslése : vagy ugyanaz : az egyes atomoka a szomszádok által kifejtett úgóeő úgóállandóját : legyen a testben egységnyi hosszúságon n db. atom n 3 db atom tf.-egységenként a szomszédos síkok átlagos egyensúlyi táv.-a : l ~/n ha ezt egyiányú húzással teheljük az atomok elmozdulása és az atomoka ható eők : egyensúly : (nyíás) függ.-en nyújtva : σ az egy atoma a sík másik oldalán levő többi által kif. összes eővel kifejezve : σ n F l ε pedig : ε l a diff. Hooke-töv. : σ E. ε l n F E E l n l

n F E l n F E n l k l fémeke : E 0 N/m n 3 0 3 atom/cm 3 n 0 8 atom/cm k E n 0 0 8 N m cm 0 0 0 N m m N 0 m az egy kiszemelt atom kölcs.hat.e-ja a szomszéd étegben levő atomokkal : E pot, k l k l ha nem defom. a testet, csak atom kimozdul v.mee az egyensúlyi helyzetéből egyik szomszéd sík vonzza, a másik szomszéd taszítja F eedő k l az a pot.-gödö egyenlete az atom vituális elmozd.-nak fgv.-ben : E E pot ( l) n ( k ) l l nyíása is hasonlóan, csak G n < E n úgóállandóval kell számolni

viselkedés a ugalmassági hatáon túl : σ O-A szakasz : Hooke-töv. (lin.) B : ugalmasság hatáa (nem lin.) C : képlékenység D : maximum E : szakadás (szakítósziládság) A B C D E A és B elég közel vannak maadó alakvált. pl. : képlékeny ideg anyagok képlékeny : acél, Cu, kilágyított Cu, meleg szuok ideg : öntöttvas, bonz, üveg, hideg szuok σ ' σ A' ε képlékeny : nagy maadó alakvált.-t lehet okozni ideg : nemsokkal σ fölött eltönek (nincs maadó alakvált.) σ az A' pt.-hoz tatozó teljes alakvált. OO' maadó alakvált. + + egy innen induló másik ug. alakvált., az eedetitől kül. ug. hatáal : σ '> σ! alakítási keményedés O O' ε σ-t A'-n túl növelve a σ is nő, de csak egy daabig folyáshatá : adott σ eléése után ε akko is nő, ha σ nem nő tovább mint a folyadékok maadó alakváltozás

tiszta húzásnál : ált. hamaabb elszakad, mint a folyáshatá szakadás : lokális egyenetlenség, epedés miatt névleges σ sokkal nagyobb lehet ott a nyomás, hengelés : nem tud elvékonyodni lehet folyatni tetsz. alaka fomálható (pl. : bogács, lemezböge, lemez füdőkád, ) képlékeny alakvált. mechanizmusa : eedetileg sima felület szemmel láthatóan lépcsős lesz magyaázat : diszlokációk ( vonalhibák) : hiányzik egy vonal mentén az atomso mintha egy plusz félsíkot betolnánk szomszédos sík közé a plusz félsík éle a diszlokáció éldiszlokáció

két szomszédos sík elcsúszása egy diszlokáció segítségével : a szemmel látható alakváltozáshoz sok atomnyi elmozd. kell sok diszl. kell diszl.-foások (folyt.-t ld. később )

ugalmas utóhatás : az előzőekben : végtelen lassú defom. alakvált. ögtön követi az eő vált.-t de a valóságban : ha a tehelés hitelen nő az alakvált. csak késve követi : ugalmas hiszteézis : peiodikusan vált. a tehelést (pl. úgón ezeg egy test) peiodikusan nyúlik - összenyomódik a defom. nincs fázisban a teheléssel : (műanyag fonal nyújtása) de fémeknél is kimutatható

enegiadisszipáció : σ ha nincs képl. alakvált. : defomáció munkavégzés σ ' σ A' ug. enegia ε O O' ez a teület : az a munka, amit a test végezni tud, ez a teület : a maadó alakvált. amíg visszaalakul eedeti alakjáa elééséhez szüks. munka (mech.-i munkavégzés szempontjából elveszett) enegiaveszteség van a hiszteézis miatt is : a huok teülete az elveszített enegia enegiaveszteség séül az enegiamegmaadás? az atomok endezetlen ezgéseinek enegiája táolja ezt az enegiát ezgés csillapodó ezgés lesz ( ld. később ) konzevatív disszipatív kölcsönhatások melegszik

ütközések : tökéletesen ugalmas tökéletesen ugalmatlan ideális hatáesetek a valóság a kettő között van lendület megmaadás pedület megm. teljesül ütközés olyan, övid idő alatt lejátszódó foly., melyben az ütköző testek közötti kölcsönhatási eő csak egy véges távolságon belül 0, és a testek ezen táv.-on kívülől indultak pl. : ugalmas golyók (acél, elefántcsont!!!), kocsik ütközése, biliádgolyó csak akko lépnek kölcs.h.-ba, ha gyakolatilag összeének (makoszkópikusan összeének) de ütközés az atomi folyamatok (mageakciók, Ruthefod-szóás) jelentős észe is ütk.-t leíni teljesen pontosan akko lehetne, ha : pillanatól-pillanata ismejük test helyzetét, alakját, méetét, a tömegpontjaik seb.-t ehhez viszont ismeni kellene a ájuk ható külső és belső eők eőtöv.-it lehetetlen de a megmaadási tővényekkel is sok fontos dolgot meg lehet állapítani

enegiamegm. ugalmas ütk. az ütközés folyamata : az ütköző testek mozgási + fogási + belső enegiái, + a két test közötti pot.e ha tökéletesen ug. ütk. ha tökéletesen ugtl. mozgási E megm. összetapadnak ütk. után v közös eális esetekben : a kezdeti összes E egy észe disszipálódik

tömegpontok ugalmas ütközése : egyenesvonalú nem egyenesvonalú ütközések enegia- és impulzusmegmaadás év. egyenesvonalú ütk. : ha egyfoma tömegűek a tömegpontok sebességet cseélnek ha az egyik tömege >> mint a másik tömege a kisebbik visszapattan és a másik nem mozdul tömegpontok ugalmatlan ütközése : csak akko tudunk számolni, ha ismet az enegiadisszipáció météke tökéletesen ugtl. esetet lehet vizsgálni : összetapadnak és közös sebességgel mennek tovább pl.: homokzsákba lőtt puskagolyó kalapáccsal ütött alakított vasdaab

FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK STATIKÁJA ÉS ÁRAMLÁSA : folyadékok : állandó téf., nem állandó alak, a észecskék gödülhetnek egymáson folyik pl.: csapágygolyók egy edényben; homok, liszt, cement, is folyik nyugvó folyadékban nincsenek éintőleges (nyíó) feszültségek! de pl. méz, olaj, szuok, - ban észlelhető, ha folyik belső sulódás : az egymáson elmozduló étegek közötti sulódás ideális folyadék : nincs belső sulódás inkompesszibilis összenyomhatatlan itt vízszintes nyugvó foly. szabad felszíne mindenütt meőleges a külső eők eedőjée vagy pl. a Földet boító vizek felülete is gömb alakú ha az eedő (F) nem lenne a felszíne F-nek lenne a felszínnel komponense is a felületen levő folyadékészecskék az F iányában elmozdulnának nem lenne nyugalomban fogási paaboloid lesz a felület

nyomás nyugvó folyadékban, hidosztatikai nyomás : Kísélet : összenyomhatatlan δs. q δs. q és : F. δs F. δs a q felület-daabka (báhol is vesszük fel a foly. belsejében és iányítással) egyensúlyban van F F p p q q F p A a nyomás egyenletesen tejed és izotóp, vagyis Pascal tövénye : a súlytalannak képzelt nyugvó folyadék belsejében és hatáfelületén a nyomás mindenhol ugyanakkoa, és független a tekintetbe vett felületelem iányításától (659)

pl. : hidaulikus sajtó/sajtoló/pés; gépkocsi emelő, hidaulikus fék, stb

Kísélet : hidaulika modellezése ha a folyadék súlyát is figyelembe vesszük: hidosztatikai nyomás: a h magasságú foly.-oszlop a q felületen F mg ρvg ρgh. q eővel hat pl. : víz : 0 m mélyen ba nyomás ha p 0 külső nyomás (pl. légnyomás) is van p F q ρgh p p 0 + ρgh p 0 gázban is!!!

kísélet : hidosztatikai paadoxon : a fenéknyomás fgtl. az edény alakjától!!! oldalnyomás lefelé lin. nő nyomásközéppont a magasság hamadánál van kísélet : pl. : üvegcsövet lezáunk egy üveglappal és benyomjuk a víz alá az üveglap nem fog leesni a ρgh nyomás felfelé is hat!!! (de ha a csőbe is töltünk vizet leesik) kísélet : kis keesztmetszetű csövet (üvegpalackot, pohaat) megtöltünk vízzel és papílappal lefedve szájával lefele fodítjuk papí a helyén maad + víz nem folyik ki adott mélységben a nyomás iányban ugyanakkoa

közlekedőedény : pl. : egyensúlyban minden ágban egyenlő szinten van a folyadék ezen alapszik az U-csöves folyadékmanométe (főleg gázok nyomásának méésée) vízvezetékek, fűtésendszeek, szökőkutak, atézi kutak, víztoony kísélet : kül. sűűségű folyadékokkal p ρgh ρgh p

pl. : szökőkút : Héon kútja

a hidosztatikai felhajtóeő : Akhimédesz töv.: minden folyadékba (gázba) meülő teste felhajtóeő hat a test látszólag súlyveszteséget szenved melynek nagysága egyenlő a test által kiszoított folyadék (gáz) súlyával (i.e. 50): F f ρ V g f vesben v. dalban : minden vízbe mátott test a súlyából annyit veszt, amennyi az általa kiszoított víz súlya ha ezt megtöltjük vízzel úja egyensúly lesz (laboban Moh-Westphal méleg hasonló ) F h a bemeülő test egyensúlyban van: h F eedő F -F ρ f gh A-ρ f gh A ρ f ga(h -h ) ρ f gha ρ f V test g F a kiszoított foly. tf.-a a kiszoított foly. súlya ρ f foly.-ba v. gázba meülő teste! F f ρ f V test g alakú teste is év.!!!

úszás lebegés lesüllyedés a folyadék és a bemeülő test sűűségeinek viszonyától függ : hajó, jégtábla, tutaj, stb a hal pl. nem úszik, hanem lebeg! F eedő F f -mg ρ f Vg - ρ t Vg (ρ f - ρ t )Vg <> 0 F f mg ρ t úszás ρ f > ρ t, de ekko a bemeülő tf. < V! lebegés ρ f ρ t lesüllyedés ρ f < ρ t ρ f az úszó test átlagsűűsége kell!!! vas hajó is fennmaad a vízen pl. : ρ jég 0,9ρ víz a jéghegynek csak kb. 0%-a látszik ki az úszás stabilitása : F f mg; és F f és mg ne fejtsen ki fogatónyomatékot az úszó teste az mg támadáspt.-ja a súlypt. (S), az F f támadáspt.-ja pedig a kiszoított foly. súlypt.-ja (S f ) stabil, instabil, metastabil helyzetek :

kísélet : Catesius-féle búvá : benyomjuk/összenyomjuk kémcső víz a víz benyomódik a kémcsőbe benne kisebb tf.-ú levegő átlagsűűség csökken pl. : búváhaang : lesüllyed

tehát : a kisebb sűűségű test (anyag) felfelé emelkedik a folyadékban pl. : bojle tatályban a melegvíz felüle emelkedik : hidegvíz be melegvíz ki pl. : hidofo (házi vízmű) nyomáskapcsoló levegő p > p 0 p 0 víz víz be/ki tisztítás

téfogatmeghatáozás, sűűségméés : homogén anyag inhomogén anyag ρ ρ m V dm dv m V ρ meghat.-hoz tömeg- és téf.-meghatáozás kell méleg méés vagy számolás téfogatméés : ismet sűűségű folyadék a víz : ρ víz (4 o C) 0,999 97 g/cm 3 g/cm 3 ρ víz (0 o C) 0,998 04 g/cm 3 ezzel töltve az edényt + tömegméés piknométe : ismeetlen V meghatáozható a téf. ismet

szilád testek sűűségének méése: - hidosztatikai méleg : kétkaú méleg egyik kaján levő méendő testet ism. ρ 0 folyadékba meül, a súlyveszteséget méjük m m m ρ ρ0 V m m' m m' ρ 0 - Jolly-méleg : úgós eőméővel méjük egy test súlyát levegőben (felső sepenyőben), leolvassuk a súlyával aányos h megnyúlást, majd folyadékba meítve (alsó sepenyő) a h' megnyúlást, a különbségből a sűűség meghatáozható ρ h ρ0 h h' - piknométeel : kicsi daabokból álló anyagot méhetünk, méjük a szilád test tömegét (m t ), a vízzel tele piknométe töm.-t (m pf ), majd a testet betesszük a pm.-be, kiszoít vmennyi folyadékot és így a tömege m pft, a test sűűsége m ρ ρ0 m + m pf m pft

folyadékok sűűségének méése: - hidosztatikai méleggel : hasonlóan fentebbihez - piknométeel : hasonlóan fentebbihez - Moh-westphal méleggel: a víz sűűségéhez (ρ 0 ) viszonyított elatív sűűséget méjük : a ρ és a ρ 0 sűűségű folyadékokban ható felhajtóeők aánya F F 0 ρ ρ 0 - aeométeel : (pl. alkohol-, bo fokoló) eális folyadékok: összenyomhatók, de a kompesszibilitás nagyon kicsi van súlya van belső súlódás

kohézió, adhézió : kis összenyomhatóság a molek.-k között taszítás van de vonzóeők (összetató eők kohéziós eők) is vannak : tiszta üveglapot fektetünk vízfelszíne és póbáljuk felemelni eőhatás kell hozzá a foly.-nak is van szakítósziládsága (a leszakított üveglap vizes, vagyis nem az üveget szakítottuk le, hanem két szomszédos vízéteget választottunk el) ha az üveglapot pl. Hg-ól választjuk le, akko is eőhatás kell, de az üveg száaz maad, vagyis most az üveg-hg közti összetató eőket kell legyőzni adhéziós eő agasztás ( adhesive ) toll ceuza víz nedvesíti az üveget Hg nem nedv. üveget adh. eők a vízmolek.- közötti eők kisebbek mint a víz-üveg adh.eők a Hg molek.-k közti koh.eők nagyobbak, mint a víz-hg közti molekulák között ható eők van de Waals-eők V n levágás a két ionsugá összegénél V E k 0 0 egyensúlyi táv. a molek.-ban E k kötési enegia

felületi feszültség, kapillaitás : felületi fesz.: ld. oktatófilm felület: kapilláis emelkedés: illeszkedési szög: minimális felületek: göbületi nyomás: a kisebb buboék felfújja a nagyobbat

hajszálcsövesség ceuzát ki lehet adíozni, tollat nem lehet uha, papí, felissza a vizet talajnedvesség golyóstoll, gafitceuza, filctoll

nyugvó gázok mechanikája : nincs szabad felszín, összenyomható, sűűsége sokkal kisebb mint a foly.-é (pl. levegő ~.-.3 kg/m 3 ) DE : a folyadékoknál megismet töv.-ek nagyészt évényesek - Pascal-töv. - van légnyomás (Toichelli, 643 : m hosszú üvegcső szinültig töltve Hg-al és fejjel lefele Hg-al teli edénybe tenni, kb 76 cm magas Hg-oszlop maad a csőben) (később Otto von Gueicke, 654 : Magdebugi féltekék 4 cm átméőjű félgömbök + 4-4 ló nem bíták széthúzni) kísélet : Magdebugi féltekék pezsgősüveg + celofánhátya - felhajtóeő (Akhimédesz) légnyomás méése: baométe manométe

gázok nyomása és téfogata közötti összefüggés : Boyle-Maiotte-töv. : (66) állandó V p állandó hőmésékleten, állandó tömegű gáza : V m ρ állandó is p ρ molekuláis magyaázat : x z a c y v x -v x I mv x m v x a t c b A A a mv v a mv t I F x x x V mv c b a mv A a mv A F p x x x v v v v z y x + + N V mv p 3 Maiotte Boyle mv N V p 3 b

légnyomás : p 3 3 kg m 7600 m 3,6 0 9,8,030 3 m s 5 Pa baometikus magasságfomula : (a légnyomás magasságfüggése) p, ρ p 0, ρ 0 p h h Föld felszíne p ρ g h h 0 dp ρ g dh h de : p p 0 dp ρ 0 p 0 ρ dp 0 p p h p g dh 0 ρ0 dp p p 0 0 g dh g dh p 0 ρ 0 p ρ p p 0 dp p [ ln p] p p 0 ln p ln p0 ln h h 0 ρ0 ρ g 0 0 p0 p 0 0 0 0 ρ ρ0 g dh g dh p p p p 0 h 0 [] h g h ln p p 0 ρ0 p 0 g h

ln p p 0 ρ0 p 0 g h p p 0 ρ0 gh p 0 e p ρ0 gh p 0 p e 0 Boltzmann-féle eloszlás p p 0 e ρ0gh p0 baometikus magasságfomula pl. tengeszinten a légnyomás atm 0 5 Pa 5.5 km magasan 0.5 atm km 0.5 atm p/p 0 0.5 0 5 0 5 h (km) kémény huzat: kívül hideg levegő, belül meleg kisebb a sűűsége a kéményben alul mint a kéményen kívül lent a levegő lent kívülől befelé áamlik hőlégballon gázzal töltött léggömb, léghajó; H v. He (gyúlékony / dága)

vákuumszivattyúk, kompesszook : vákuum 0 3-0 Pa alatt, HV, UHV + olajdiffúziós szivattyúk, tubomolekulá, iongette, stb kompesszook.

a levegő nyomásán alapuló eszközök: szívókút, nyomókút, tűzoltófecskendő, centifugálszivattyú, lopó, pipetta, szívószál, szivonya, injekciós fecskendő Heon-labda fecskendőüveg szívókút nyomókút max 0m mélyől!

lélegzés is!!! centifugálszivattyú

folyadékok és gázok áamlása : együtt tágyalható, met kis áamlási sebességeknél (~ 0 m/s alatt) és kis magasságkülönbségek (néhány 00 m) esetén a gázokat is összenyomhatatlannak lehet venni áamlási té (sebességté) : v v(x, y,z, t) v(, t) adott minden pontban áamvonal : azon göbék melyek éintői a té minden pontjában az ottani sebesség iányába esnek áamcső : az áamlási tében felvett zát göbén átmenő áamvonalak az áamlási csőben a foly. úgy áamlik, mit meev falú csőben (met nincsenek a cső faláa meőleges komponensek) p p(x, y,z, t) ρ ρ(x, y,z, t) ha ρ const. p(, t) ρ(, t) is hely- és időfüggő egyszeűbb leíás külső eők (gav.eő), és/vagy nyomáskülönbségek áamlás de : belső súlódás!

pl. : légáamlás szél keletkezése, poszívó, ventilláto pl. : folyadék áamlása : pl vízcső,

áamlás ideális folyadék (nincs belső súl.) súlódásos folyadékok övénymentes övényes éteges tubulens vagy : áamlás stacionáius (időtől független) időben változó áamlás összenyomhatatlan, homogén folyadékok stacionáius áamlása: A v állandó v A v kontinuitási egyenlet : vagy (áamvonalak sűűségével : ahol az áamvonalak sűűbbek, ott v nagyobb) pl. : vízcsapból lefelé kifolyó vízsugá miét keskenyedik? A p A x v A x x v p A A V V x A x v t A v A t v A v V A x vagy az áammal : I Av I állandó t t

a Benoulli-egyenlet : (738) v m v m x F x F v V v V x A p x A p ρ ρ V V v v p p ρ ρ munkatétel : v p v p + + ρ ρ állandó v p + ρ vízszintes csőben áamló folyadéka ha nem vízszintes, akko hidosztatikai nyomás tag is van : gh v p gh v p ρ ρ ρ ρ + + + + állandó gh v p p 0 + + ρ ρ vagy sztatikai nyomás hidosztat.nyomás (gázoknál elhanyagolható) tolónyomás/dinamikai nyomás teljes nyomás

a Benoulli-egy. alkalmazásai: nyomás-és sebességméés áamlásoknál Pitot-cső A A B p p a p sztatikai nyomást méi A-ban a v 0-hoz tatozó p 0 teljes nyomást méi B-ben áamlás seb. méhető (pl. epülőgép) : v ( p 0 p) ρ Pitot-Pandtl cső : a p 0 -p tolónyomást méi : p 0 p + ρ v Ventui-cső is hasonló

foly. és gázok kiáamlása kis nyílásokon : p 0 Maiotte-palack v h p 0 v ha a foly. süllyedő felszíne sokkal nagyobb, mint a kiömlő nyílás keesztmetszete v << v v 0 nak vehető v gh Toichelli-féle kiömlési töv. (646) (levezetést ld. a gyakolaton!) de ha ilyen a keesztmetszet a kiömlő nyílás valódi q' keesztmetszete < q kevesebb folyadék áamlik ki DE : v nem csökken h csökkenésével a Maiotte-féle palackban

további alkalmazások : kísélet : festékszóó, folyadékpemetező Bunsen-égő vízlégszivattyú kísélet : aeodinamikai paadoxonok : ping-pong labda a tölcsében nem esik le papílapok közé fújni egymás felé mozd. ping-pong labdák közé fújni pattognak cső végén koong, alatta tömö koong, csőbe fújni az alsó koong a felsőhöz nyomódik, visszapattan, a viha leszippantja a háztetőt szélben jobb a kémények huzatja nagy széllel szemben nem kapunk levegőt

pl. : a kisebbik hajó nekiütközött a nagyobbnak

pl. : mozgócsöves szivattyú : kép : Tasnádi.: Mechanika II. 37. old. mozgó jáművek folyadékfelvételée (pl. mozdony vízfelvétel) a Benoulli-egy. a csőhöz viszonyított kood.dsz.-ben (stacionáius áamlás!) : p 0 + ρ 0 + ( u) p + ρ v ρgh v u gh pl. : fogócsöves szivattyú : kép : Tasnádi.: Mechanika II. 38. old. hasonló megfontolásokból v ω gh 3

pl. : kísélet : Segne-keék :

övényes áamlás :

súlódásos áamlás, belső súlódás (viszkozitás) : Kísélet : vékony, mindenhol egyfoma keesztmetszetű, vsz. csőben áamló foly. nyomása egyenletesen csökken (belső súl. miatt) : p p p v áll. F s (p p ). A F s 0 belső súl.

Newton-féle belsősúlódási töv. : éteges áamlás : A y v mozog F F áll kis sebességű áamlás ellenállás-töv.-e Kísélet : kanalat kihúzni mézből viszkozitás dv F ηa dy seb.-gadiens η függ T-től (pl hideg méz meleg méz, vagy szuok, stb ) amof, hidegen is folyik nagyon lassan (évek alatt átfolyik a tölcséen) falba ögzített vsz. üvegúd is lehajlik évek alatt áamló folyadékban éintőleges feszültségek lépnek fel, DE : nem ugalmas feszültség!!!, hanem a sebességkülönbséget akaja kiegyenlíteni : F dv τ η A dy

folyadékok áamlása csőben : a. paabolikus sebességpofil : v max p p egy-egy folyadékéteg vékony falú csövek egymásban stacionáius áamlás a étegeke ható eők (a belül levő előe húzza, a külső szomszéd lassítja, és (p -p ). A) eedője 0 levezethető a paabolikus pofil l b. F V t? ( p p ) A I V t A v A π v p p l az adott sebességű áamlás fenntatásához F 8πηlv eő szükséges I V t A v F p p 4 p p A A π 8πηl 8πηl 8πηl I V t π 8 η p l p 4 Hagen-Poiseuille-tövény

4 8 p p t V I l η π pl.: öntözőbeendezések golyó mozgása folyadékban : F πηv 6 Stokes-tövénye : közegellenállás viszkozitás méése : Ostwald-féle viszkoziméteel Höpple-féle viszkoziméteel Stokes-tövénye alapján leíásokat ld. mech.labo-ban pl. : Ostwald-féle viszkoziméte : p -p ρgh ρgl t V g ρ π η 8 4 t g t g t p p V 4 4 4 8 8 8 η ρ π ρ η π η π l l l műszeállandó (k) t k ρ η

közegellenállás : (áamlási ellenállás, hidodinamikai ellenállás) kis sebességeke (< m/s) : lamináis áamlás; F k lineáisan függ v től : Stokes-töv. nagy sebességeknél (m/s-) : övényképződés; F k a v től függ : Fk ca ρ v alaktényező pl. : hogyan célszeű hodót vinni tetőcsomagtatón?

tubulens áamlás : áamlási sebesség növelésével a éteges áamlás átmegy tubulensbe Reynolds-szám : ha R e 60 (kitikus éték) az áamlás tubulens lesz R e ρv η Hagen-Poiseuille-töv. évényét veszti, az áameősség lényegesen csökken, a cső ellenállása megnő hidodinamikai hasonlóság tövénye : dinamikailag azonos áamlási viszonyok geometiailag hasonló testek köül akko alakul ki, ha R e, R e, pl. epülőgépek köüli áamlás úgy modellezhető egy 0x kisebb modellen, ha 0x olyan nagy az áamlási sebesség! övények keletkezése, hatáéteg : két, lamináisan áamló folyadékáam találkozásako (pl. folyó egymásba ömlése, v. egy foly.sugá beáamlik nyugvó folyadékba) a súl. miatt övények keletkezhetnek : az elválasztó felület mentén a foly.-észecskék fogó mozgásba jönnek öv.-k keletkeznek áamló foly.-ban nyugvó, v. nyugvó foly.-ban mozgó testek mögött is (pl. hídpillé mögött, kanalat mozgatunk levesben, de autó mögött a levegő is) Kísélet : ld. VIDEÓ-t is kö alakú nyíláson nagy sebességgel áthaladó foly. v. gázban övénygyűűk keletkeznek, több métee is eljuthatnak és elfújják a gyetyalángot az övények nagy stabilitásúak és meevek folyókban veszélyes az úszók számáa hatáéteg : kis viszkozitású közegben (víz, levegő) mozgó test esetén a belső súl.-t csak a szilád test falai melletti étegben ( hatáéteg) kell figyelembe venni pl. : epülőgép szányai mellett a hatáéteg cm δ 0 cm

a dinamikai felhajtóeő : epülőgépszány,

oto pofilja :

a Magnus-effektus (853) : közegben foogva haladó test elkanyaodik, pl, szabadúgás megkeüli a sofalat, tenisz, ping-pong labda megcsavaása kísélet : léggömböt megpögetve elejtünk nem függőlegesen esik le ld. VIDEÓ-t is

vízieőgépek : pl. túistvándi vizimalom : vizkeekek, tubinák hatásfok

a tubina teljesítménye : egy vsz.-en v sebességgel ékező, A keesztmetszetű vízsugá egy függ., nyugvó lapa eőhatást fejt ki : v A v F v ( a gavitációtól eltekintünk ) mindenhol ugyanakkoa seb.-el áamlik, met a nyomás mindenhol egyfoma (Benoulli-töv.) összenyomhatatlan kontinuitási egy. is év. a lap mentén elfolyó összkeesztmetszet is A a lap miatt a folyadék a lapa meőleges sebességét veszíti el: v v impulzustétel : F I t ( mv) m v ( ρv ) v ( ρav t) v t t t t ρav

ha a lap vsz.-en u sebességgel mozog a folyadéksugáal egyező iányban : A v F u v a lappal együtt mozgó kood.dsz.-ben az áamlás stacionáius az előző gondolatmenet év., csak a foly.-sugá seb.-e v-u lesz a laphoz képest : F ρa v ( u) v fogó tubina esetén az u sebességgel mozgó lapát helyée mindig újabb ékezik jelenség kvázistacionáiusnak vehető : a a kilépő vízsugá vsz. sebességkomponense megegyezik a lapátok u sebességével a lapátoknak átadott impulzus, vagyis a dsz.-e ( a teljes tubináa) időegység alatt kifejtett átlagos eő : v u ω ω F időegység alatt ékező víztömeg ρav ( v u) sebességváltozás

pl. a Pelton-tubina esetén : a vízsugá 80 o -os eltéülést szenved álló lapát esetén v v F ρav u seb.-el mozgó lapátok : F ρav ( v u) az átlagteljesítménye : P F u ρav ( v u) u P maximuma : dp du ( v ) 0 ρav u ekko a kilépő vízsugá seb.-e 0, vagyis a víz az összes enegiáját elveszíti a tubinán (a tubina átveszi) u v de : VESZTESÉGEK hatásfok <!!!

veszeteségek áamló folyadékban : változó keesztmetszetű cső változó áamlási keesztmetszet pl. hitelen vastagabb cső a belépő folyadéksugá csak fokozatosan bővül ee a keesztmetszete mögötte (mellette) övények nyomásveszteség lép fel : A p p övények nélkül is leíható : az imp.-tétel a szaggatott vonal által közefogott felületbe zát folyadéka ( a felületbe időegység alatt bevitt imp. a felülete ható eedő nyomóeővel ) : ρa v ρav p A p A v A v + a kont.egy. : A v Av ideális foly.-a a Benoulli-egy. szeint a bekövetkező többletnyomás-csökkenés p többlet ( p p ) eális ρv ( v ) v ( p p ) ρ( v v ) ideális id e ρ lenne ( p p ) ( p p ) ( v v ) veszteség hasonlóan hitelen iányváltozása is (pl. kis sugaú ív) egyenes, egyenletes vastagságú, minél vastagabb cső a jó

CSILLAPÍTOTT REZGÉS, KÉNYSZERREZGÉS, REZONANCIA, HULLÁMOK

hamonikus ezgések, fogalmak : ismétlés : peiodikus mozgás, hamonikus mozgás, kitéés, amplitúdó, fázis, kezdőfázis, fekvencia, peiódusidő, köfekvencia, kömozgás és hamonikus ezgőmozgás kapcsolata : Kísélet : hamonikus ezgőmozgás, Fizikai kíséletek 3. CD : 30 kitéés β 0 +A 0 R φ t idő -A y Y( t ) t A sin π T π A sin t T A sinωt

így mozog pl a úgón ezgő test : úgón ezgő test mozgásegyenlete : y y(t) a helykoodináta F -D. y F m. a -D. y m. a dv a dt d dt y D y(t) m d dt y(t) ez egy diffeenciálegyenlet legyen y(t) A. sinωt dy dt Aωcosωt d y Aω dt sin ωt ezeket visszahelyettesítve: -D. A. sinωt m. (-). A. ω. sinωt D m. ω általánosan : y(t) A. sin(ωt+δ) ω T π D m m D

ezgések összetétele : páhuzamos ezgések összetétele : x A. sin(ω t+φ ) x A. sin(ω t+φ ) x x + x ha ω ω ω x A. sin(ωt+φ) ahol A A + A + A A cos( ϕ ϕ tgϕ A sinϕ + A A cosϕ + A sinϕ cosϕ ) speciálisan : ha φ -φ 0 (azonos fázis) A A + A ha φ -φ π (ellentétes fázis) A A -A ha φ A A + A -φ π/ ha pl. φ π/ és φ 0 és még A A A tg ϕ A A A

ha ω ω legyen pl. φ 0 és φ φ x A. sinω t x A. sin(ω t+φ) x x + x A. sinω t + A. sin(ω t+φ) ha még A A A és ω +ω >> ω -ω : gyos ezgés lassú ezgés x ω ω A cos t ϕ ω + ω sin ϕ t + az ampl. változik az időben!!! : x A( t ω + ω ) sin ϕ t + lebegés Kísélet : lebegés hanghullámokkal (hangvillákkal) lebegés fekv.-ja: f f f

meőleges ezgések összetétele : x A. sin(ω t) és y B. sin(ω t+φ) ha ω ω ω x A + y B x y cosϕ sin A B ϕ ez egy oigó kp.-ú általános helyzetű ellipszis : y B A x speciálisan : ha φ 0 : x A y B y lineáisan poláos ezgés B A x

ha φ π/ : y x A B y B A x elliptikusan poláos ezgés ha még A B : y cikuláisan poláos ezgés B A x ha ω ω Lissajous-göbék Fizdemo ezgések felbontása : Fouie-analízis x(t) A 0 + A sin(ωt+φ ) + A sin(ωt+φ ) +.

csillapodó ezgés : ha van csillapodás : Kísélet : úgón ezgő test vagy fonálon lengő test papíkoonggal fékezve y β 0. minden valódi ezgő dsz. csillapodó (ld koábban ugalmasságtanban is!) y y 3 y 5 t y y 4 y( t ) A e β t A A(t) sin( ωt ) csillapodási hányados : y y y3 K... y y y 3 4 5 az amplitúdó az idővel exp. csökken β csillapítási tényező

A A( t ) A0 e βt K y y 3 A e A e βt β ( t + T ) sinωt sinω( t + T a logaitmikus dekementum: ) e e βt β ( t + T ) e βt D : lnk βt β ln K T úgón ezgő test + súlódás vagy közegellenállás mozgásegyenlete : F -D. y k. v F m. a D y( t ) k dy( t dt ) m d dt y( t ) pl. 6πη (Stokes-töv.) D m y( t ) k m dy( t dt ) d dt y( t ) ω 0 β k m d dt y( t ) dy( t ) + β + ω0 y( t ) dt 0

d dt y( t ) dy( t ) + + ω0 y( t ) 0 dt β ha β 0 csillapítatlan ezgés β < ω 0 a a megoldás : ω ω 0 β ezzel az ω-val a úgón csillapítással ezgő teste éppen y( t ) A e β t sin( ωt ) ha β nő ω csökken T nő : T T + 0 D 4π β növelésével (pl. nem levegő fékez, hanem víz, olaj, stb ) : y β 0. β 0.4 t

β 5 β 5 ha β > ω 0 ha β elég nagy nem lesz peiodikus apeiodikus hatáeset! ha β ω 0 apeiodikus mozgás kényszeezgés : gejesztés : ha az enegiaveszteséget pótoljuk kísélet : kényszeezgés, ezonancia, Fizikai kíséletek 3. CD, 3 00 ha a gejesztő fekv. megegyezik a sajátfekvenciával ezonancia : amplitúdó nagyon megnőhet :

pl.: hinta lengetése : kicsi lökések nagyon nagy amplitúdó busz beezonál, ha a moto alapjáata nagyon alacsony Tacoma híd katasztófája : gyenge oldaliányú széllökések éppen megfelelő ütemben video kísélet : ezonáns hangvillák, Fizikai kíséletek 3. CD: 5 48

úgón ezgő test + fékezés + gejesztés : F -D. y k. v + F 0 sinωt 0 ) ( sin ) ( ) ( dt t y d m t F dt t dy k t y D + ω gejesztőeő F m. a m k β m D ω 0 m F a 0 0 t a t y dt t dy dt t y d ω ω β sin ) ( ) ( ) ( 0 0 + + megoldás : ( ) 0 0 4 a A ω β + ω ω amplitúdó : max. amplitúdó : ( ) 0 0 max 4 a A ω β + ω ω 0 actg ω ω βω δ fáziskésés :

pl úgón ezgő teste : sajátfekvencia : ω 0 ezonanciafekvencia : max. amplitúdó : A max D m ω ω ( ω ω ) 0 a 0 0 β + 4β ω βω fáziskésés : δ actg ω ω 0 A jósági tényező : δ ω0 Q β ( jó a ezgő dsz. ha a szélessége kicsi ω 0 -hoz képest) ω ω β félétékszélesség π π/ ω 0 ω ω 0 ω

csatolt ezgések : kísélet : csatolt ingák, Fizikai kíséletek 3. CD: 7 39 m. a -D. x + c. (x -x ) m. a -D. x -c. (x -x ) ha ω 0 D m ω 0 D m c c m c c m x m m x szoos csatolás, laza csatolás csatolási tényezők ezgések felbontása : Fouie-analízis : minden peiodikus, nem hamonikus folyamat (ezgés) felíható olyan sin és cos ezgések összegeként, melyek fekvenciája az alapezgés fekv.-nak egész számú többszööse (Fouie tétele) : f(t) A 0 + A sinωt + B cosωt + A sinωt + B cosωt +. Fouie-együtthatók ω, 3ω, felhamonikusok

kísélet : Faknói ingák, Fizikai kíséletek 3. CD: 3 0 hullámok: mechanikai ugalmas közeg zava-keltő tágy (a közeg egy észecskéjét ezgőmozgásba hozza) hullám: a ezgésállapot elektomágneses közeg nem szükséges hullámfoás (változó elektomágneses teet hoz léte) tejedése a tében lökéshullám : egyszei gejesztés a zava végigfut a közegen hamonikus hullám : időben peiodikus (szinuszos) gejesztés kísélet : lökéshullám végigfutása kifeszített gumikötélen vagy csavaúgón ld. még : Fizikai kíséletek (Televideo) CD, hullámok tejedése : 8 40 -től hullám különböző kitejedésű közegekben : vonalmenti D felületi D tébeli hullámok 3D

hullámfajták : tanszvezális, longitudinális, toziós (csavaási) hullám síkhullám, gömbhullám, Micosoft PowePoint bemutató

polaizáció : elliptikusan-, cikuláisan-, síkban poláos hullám kísélet : polaizáció kötélen haladó hullámokkal hullámtejedés : x c. t, c fázissebesség hullámfüggvény : y y y A sin ωt A sin ω(t t ) t x A sin π( ) T c T * t * x c Ψ A. sin(ωt+φ 0 ) a közeg gejesztése Ψ A sin ( ωt kx + ϕ ) 0 haladó hullám hullámfüggvénye π ω T k π λ peiodicitások : x állandó időbeli peiódikusság : T t állandó tébeli peiódikusság : c. T λ hullámhossz

Dopple-effektus : pl. : vonattal (sziénázó mentőautóval, ) szemben haladva a vonatduda hangja magasabb, ha má távolodunk, akko mélyebb ha a hullámfoás (F) és/vagy a megfigyelő (M) mozog : ha csak a M mozog : v ν ν ± m ' c ha csak a F mozog : ha mindkettő mozog : ν ν' vf m c FM v ν' ν c vf c m (v f és v m az iányában pozitív, ellentétes iányban negatív) ld. még : Fizikai kíséletek (Televideo) CD, hullámok tejedése : 8 40 -től hangobbanás : FM M

ugalmas hullámok kül. közegekben : szilád testekben, longitudinális hullámoka : tanszvezális hullámoka (húban) : c E ρ c σ ρ gitá! Kísélet: monokod folyadékokban : csak longitudinális hullámok lehetnek!!! : E helyett a K-t lehet használni: c K ρ p K V V (kompessziómodulus) gázokban : ha T áll. : c p ρ (nem teljesen jó) gázban is csak longitudinális hullám!!! (foly. és gázokban nincsenek nyíóeők)

folyadékok felszíni hullámai : ( nincs ugalmas eő, a gavitáció és a kapillaitás okozza ) λ α π + π λ g g c h g c ha h << λ hullámok összegződése, szupepozíciója : ) x T t ( sin A y λ π ) x T t ( sin A y λ π az eedő hullám csak akko lesz hamonikus, ha az összetevők koheensek egymással koheencia a találkozási pontban a hullámok fáziskölönbségeidőben állandó, azaz T T T és λ λ λ

y y A A sin π( sin π( t T t T x λ x λ ) ) y y + y A sin( ωt + ϕ) ahol A A + A + AA cos( ϕ ϕ ) tgϕ A A sin ϕ cosϕ + A + A sin ϕ cosϕ ( páhuzamos ezgések összetétele ) szélső esetek : max. az ampl., ha cos(φ -φ ) A A + A az eősítés feltétele : λ x x n λ n ( n egész szám ) útkülönbség min. az ampl., ha cos(φ -φ ) - A A -A kioltás: a gyengítés feltétele : x x útkülönbség λ (n + ) ha A A

haladó és visszaveődő hullámok találkozása : (pl. : D hullám visszaveődése a kötél végéől) visszaveődés ögzített végől : visszaveődés szabad végől : ellentétes fázissal indul vissza azonos fázissal indul vissza

Kísélet :

haladó és visszaveődő hullám találkozása állóhullám : csomópont duzzadóhely csomópontok távolsága a ögzített/szabad végtől: λ.. állóhullámok : Tanszvezális álló hullám. Nyitott vég ψ A A λ/ λ/ λ/4 x

Kísélet : Chladni-féle poábák lásd még : Fizikai kíséletek 3. CD: 39 Kundt-cső : Fizikai kíséletek 3. CD: 35 0

többdimenziós hullámok : hullámjelenségek : pl. víz felületén (D), hang (3D, pl. a obbanás )

kísélet : hullámkád ld. még : Fizikai kíséletek (Televideo) CD, hullámok tejedése : 8 40 -től

Dopple :

elhajlás, visszaveődés, töés, intefeencia :

Kísélet : Fizikai kíséletek (Sulinet) CD : állóhullámok csatolt ezgések hullámok a mélyben lebegés bemutatása longitudinális hullámok ezonancia szökőá a konyhában tanszvezális hullámok

visszavet beeső visszaveődése : α α, c α' α c β teljes visszaveődés megtöt α h délibáb vizes úttest szivávány optikai kábel Snellius-Descates-töv. : töésmutató sinα sin β c c n optika, stb

többdimenziós hullámok : pl. víz felületén (D), hang (3D, pl. a obbanás ) elhajlás visszaveődés töés intefeencia Snellius-Descates-töv. töésmutató Huygens-elv Huygens-Fesnel-elv pl. : alkalmazások :

enegiatejedés hullámokban : szélső helyzetben v 0 és megnyúlás 0 intenzitás felületegységen időegység alatt átáamló enegia : ω ρ σ A V E enegiasűűség : y D v m E + ω ρ ca t A E I s m A ( ) ω D m ( ) ( ) ) t sin( A m ) t ( cos A m E ω ω ω ω + ω A m E ρ A, ω ( ) t c A s A V m ρ ρ ρ

hangtan : 3D hullámjelenség ezgés közvetítő közeg fül (ugalmas hullám) Kísélet : közvetítő közeg levegő ha kiszivattyúzzuk, nem hallatszik : vákuumszivattyú hallható tatomány, infahang, ultahang 0 6000 Hz 0 Hz alatt 6kHz fölött épületek ledöntése : ezonancia

hangfoások : sziénák húos hangszeek (mint a megfeszített dót ezgései, állóhullámok) sípok (nyitott, vagy zát végű) Kísélet : hangkeltés kátyával : vagy sziénával hangmagasság : az alapezg. fekv.-tól függ : nagyobb ezg.szám magasabb hang (Galilei) két hang viszonylagos magassága hangköz f /f : aányú hangköz oktáv 0-6000 Hz 0 oktáv (beszéd oktáv, zene 7 oktáv) hangszín : alaphang + a felhamonikusok fekvenciája és eősségétől függ

hanglebegés : x A. sinω t x A. sin(ω t+φ) és ω ω x A(t) sin ω + ω t + ϕ az ampl. változik az időben!!! : ez a lebegés kísélet : lebegés két dobozos hangvillával lebegés fekv.-ja: f f f a hang tejedése : a tej. seb. függ a közegtől, hőm.-től, nyomástól, visszaveődés : visszhang, távolságméés (pl. tengemélység, ultahang denevé, ); szócső, sztetoszkóp, ; töés, elhajlás : a hang nagy táv.-a is elhallatszik a földön : a kül. hőm.- ű levegőétegekől visszaveődik; pl. egy épületben mindenhol hallani a beszédet

húok ezgései : alaphang : l λ/ l λ felhangok : c l λ λ/ c c l λ n pl. : hegedű, ld. koábban nagyobb ábán c ν λ n c l

Kísélet: monokod : ha a feszítőeőt 4x-e növeljük ha a hú hosszát felée csökk. az eedeti hang oktávját kapjuk F ν a hú alaphangja l ρ q ν n n F n ν l ρ q a felhangok (az alaphang hamonikusai) pálcák ezgései : hangvilla doomb

levegőoszlopok ezgései sípok : l λ n c ν λ n c l l λ ( n ) 4 ν ( n ) c 4l nyelvsíp ajaksíp Kísélet: sípok, fuulya, stb ; söösüveg; hátyák (pl. dob), lemezek ezgései (Chladni-féle ábák ld. koábban) Bagány Máté tombita : maesto music.wmv