A matematikai analízis elemei VI.

A matematikai analízis elemei VI. Differenciálható sokaságok, Tenzormezők. Integrálás differenciálható sokaságon. Pszeudo-Riemann-sokaságok. Lie-csoportok és Lie-algebrák. Lie-csoportok differenciálható és folytonos unitér ábrázolásai. Kristóf János

Tartalomjegyzék I. Differenciálható sokaságok 7 1 Térképek, atlaszok, differenciálható struktúrák 11 1.1 Térképek..................................... 11 1.2 Atlaszok és sokaságok............................. 13 1.3 Sokaság-típusok és tiszta sokaságok..................... 17 1.4 Sokaság dimenziója.............................. 18 1.5 Sokaság topológiája.............................. 19 1.6 A folytonosság kritériumai.......................... 27 1.7 Morfizmusok és izomorfizmusok sokaságok között............ 30 1.8 Ekvivalens differenciálható struktúrák................... 32 1.9 Differenciálható struktúra átvitele..................... 33 1.10 Sokaság érintőterei és morfizmus érintőoperátorai............ 37 1.11 Nyílt részsokaságok.............................. 46 1.12 Egységosztás tétel sokaságokra....................... 52 1.13 Derivációk és érintővektorok......................... 59 1.14 Sokaságok összeragasztása.......................... 72 1.15 Sokaságok szorzata............................... 74 1.16 Az implicitfüggvény-tétel........................... 85 2 Immerziók és részsokaságok 91 2.1 Immerziók.................................... 91 2.2 Az immerziók jellemzése Banach-sokaságokra............... 95 2.3 Lokális izomorfizmusok............................ 104 2.4 Differenciálható struktúra inverz képe................... 108 2.5 Kvázirészsokaságok és részsokaságok.................... 118 2.6 Morfizmus grafikonja............................. 131 2.7 Részsokaság-csírák sokasága......................... 136 3 Szubmerziók és faktorsokaságok 141 3.1 Szubmerziók................................... 141 3.2 A szubmerziók jellemzése Banach-sokaságokra.............. 145 1

2 TARTALOMJEGYZÉK 3.3 A szubmerziók jellemzésének következményei............... 153 3.4 Szintfelületek és részsokaságok........................ 156 3.5 Faktorsokaságok................................ 161 3.6 Reguláris ekvivalenciák jellemzése I..................... 182 3.7 Sokaságok rétegezett szorzata........................ 186 3.8 Reguláris ekvivalenciák jellemzése II..................... 210 4 Szubimmerziók és az állandó rang tétele 215 4.1 Szubimmerziók................................. 215 4.2 Morfizmus rangja................................ 218 4.3 A szubimmerziók jellemzése Banach-sokaságokra............. 221 4.4 Az állandó rang tétele............................. 226 4.5 A szubimmerziók kanonikus faktorizációja................ 228 5 Példák sokaságokra 233 5.1 Euklidészi paraboloid, hiperboloid és kúpfelületek............ 233 5.2 Euklidészi gömbfelületek........................... 235 5.3 Möbius-szalag.................................. 238 5.4 Grassmann-sokaságok és projektív terek.................. 238 II. Tenzormezők 251 6 Vektormezők 253 6.1 Vektormezők alaptuladonságai........................ 253 6.2 f-vektormezők és iránymenti deriváltak.................. 261 6.3 Vektormező megszorítása és kiterjesztése................. 266 6.4 Vektormezők kommutátora.......................... 269 6.5 Kovariáns deriválás torzulása és görbülete................. 276 6.6 Érintő-sokaságok................................ 276 6.7 Orientációk és orientált sokaságok..................... 281 7 Rétegeződések és vektoriális rétegeződések 283 7.1 Rétegeződések és vektoriális rétegeződések alaptulajdonságai..... 283 7.2 Bázisrétegeződések............................... 284 8 Kovariáns deriváltak, lineáris konnexiók, Christoffel-szimbólumok 285 8.1 Kovariáns deriváltak.............................. 285 8.2 Lineáris konnexiók és kovariáns deriváltak................. 286 8.3 Christoffel-szimbólumok és kovariáns deriváltak............. 294 8.4 A lineáris konnexiók és a Christoffel-szimbólumok kapcsolata..... 297 8.5 Kovariáns deriváltak lokalizációja...................... 297

TARTALOMJEGYZÉK 3 9 Tenzor-sokaságok és tenzormezők 301 9.1 Tenzor-sokaságok................................ 301 9.2 Tenzormezők.................................. 321 9.3 Tenzormező megszorítása és kiterjesztése................. 326 9.4 Szorzatsokaság feletti tenzormezők..................... 328 9.5 Tenzor-sokaságok szeletei és tenzormezők................. 329 9.6 Vektormezők és 1, 0-típusú, K-értékű tenzormezők.......... 329 9.7 Tenzormezők kontrakciója.......................... 331 9.8 Kovariáns tenzormezők visszahúzása.................... 340 10 Sokaság feletti p-formák 345 10.1 p-formák és algebrai műveletek p-formákkal................ 345 10.2 p-formák külső deriváltja........................... 348 10.3 p-formák külső deriváltjának tulajdonságai................ 358 10.4 Zárt és egzakt p-formák: Poincaré-tétel.................. 362 III. Integrálás differenciálható sokaságon 363 IV. Pszeudo-Riemann-sokaságok 365 11 Pszeudo-Riemann-sokaságok értelmezése 367 12 Levi-Civita konnexió és kovariáns derivált 369 13 Ricci-tenzor 371 14 Riemann-sokaságok 373 15 Lorentz-sokaságok 375 V. Szimplektikus sokaságok 377 16 Szimplektikus sokaságok alaptulajdonságai 379 17 Poisson-zárójel 381 VI. Lie-csoportok és Lie-algebrák 383 18 Lie-csoportok 385 18.1 Lie-csoportok értelmezése........................... 385

4 TARTALOMJEGYZÉK 18.2 Lie-részcsoportok................................ 387 18.3 Lie-csoport exponenciális függvénye.................... 388 19 Lie-algebrák 389 19.1 Lie-algebrák alaptulajdonságai........................ 389 20 Lie-csoport Lie-algebrája 391 VII. Lie-algebrák lineáris ábrázolásai 393 VIII. Lie-csoportok ábrázolásai 395 21 Lie-csoportok ábrázolásai 397 21.1 Lie-csoportok differenciálható ábrázolásai................. 397 21.2 Lie-algebrák lineáris ábrázolásai....................... 397 21.3 Lie-csoportok folytonos unitér ábrázolásai................. 397 IX. Alkalmazás: Hamilton-mechanika 399 X. Alkalmazás: Általános relativisztikus téridők 401 22 Időorientációk és általános relativisztikus téridők 403 22.1 Általános relativisztikus téridők....................... 403 22.2 Időorientációk és időirány-orientációk................... 403 22.3 Megfigyelők................................... 403 23 Geodetikusok Lorentz-sokaságban és a kauzalitás 405 24 Ricci-tenzor és az Einstein-egyenlet 407 25 Schwarzschild- és Lemaitre-féle téridők 409 25.1 Formálisan gömbszimmetrikus téridők................... 409 25.2 Belső- és külső Schwarzschild-féle téridők................. 409 25.3 Lemaitre-féle téridők.............................. 409 25.4 Kauzális halmazok Schwarzschild-féle téridőkben............ 409 26 Kerr-féle téridők 411 26.1 Formálisan hengerszimmetrikus téridők.................. 411 26.2 Kerr-féle téridők................................ 411 26.3 Kauzális és kronologikus halmazok Kerr-féle téridőkben........ 411

TARTALOMJEGYZÉK 5 27 Robertson-Walker-féle téridők 413 27.1 Kozmológiai modellek............................. 413 27.2 Táguló univerzum-modell és a Hubble-állandó.............. 413

6 TARTALOMJEGYZÉK NÉV SZERINTI HIVATKOZÁSOK LOG ENS ALG TOP STR ANA ESP MET LIN DIF MES INT GEO HOL FUN GEA EVT CON ALN ORT AHA RAD VAR TEN INV RIE LIE REP HAM GTR A matematikai analízis logikai alapjai 0. kötet, I. rész A matematikai analízis halmazelméleti alapjai 0. kötet, II. rész A matematikai analízis algebrai alapjai 0. kötet, III. rész A matematikai analízis topológiai alapjai 0. kötet, IV. rész Bevezetés a matematikai struktúrák elméletébe 0. kötet, V. rész Valós és komplex számok/elemi függvényanalízis 1. kötet, I./II. rész Függvényterek és függvényalgebrák 1. kötet, III. rész Metrikus terek 1. kötet, IV. rész Folytonos lineáris és multilineáris operátorok 2. kötet, I. rész Differenciálelmélet 2. kötet, II. rész Additív halmazfüggvények és mértékek 2. kötet, III. rész Integrálelmélet 2. kötet, IV. rész A geometriai integrálelmélet alapjai 2. kötet, V. rész Holomorf függvények 3. kötet, I. rész A funkcionálanalízis elemei 3. kötet, II. rész Az analitikus geometria elemei 3. kötet, III. rész Topologikus vektorterek 4. kötet, I. rész Kompakt konvex halmazok 4. kötet, II. rész Normált algebrák 4. kötet, III. rész Ortohálók 4. kötet, IV. rész Absztrakt harmonikus analízis 5. kötet, I. rész A topologikus integrálelmélet elemei 5. kötet, II. rész Differenciálható sokaságok 6. kötet, I. rész Tenzormezők 6. kötet, II. rész Integrálás differenciálható sokaságokon 6. kötet, III. rész Pszeudo-Riemann sokaságok 6. kötet, IV. rész Lie-csoportok és Lie-algebrák 6. kötet, VI. rész Lie-algebrák ábrázolásai/lie-csoportok ábrázolásai 6. kötet, VII./VIII. rész Szimplektikus sokaságok és Hamilton-mechanika 6. kötet, IX. rész Lorentz-sokaságok és általános relativisztikus téridők 6. kötet, X. rész

I. rész Differenciálható sokaságok 7

9 BEVEZETÉS Irodalomjegyzék 1. L. Schwartz, Analyse mathématique, Hermann, Paris, 1967. 2. S. Kobayashi - K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, vols. I-II, Interscience Pub., New York-London-Sydney, 1969. 3. D. Gromoll - W. Klingenberg - W. Meyer, Riemannsche Geometrie im Groβen, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1968. 4. J. Beem - P. Ehrlich, Global Lorentzian Geometry, Marcel Dekker Inc., New York- Basel, 1981. 5. M. M. Postnikov, Vvedenie v teori Morsa, Nauka, Moskva, 1971. 6. L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Vol. I, Distribution Theory and Fourier Analysis, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York- Tokyo, 1983. 7. M. Berger, Géometrie, I-II, CEDIC, Paris, 1977-1978. 8. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Variétés différentielles és analytiques, Fascicule de résultats, Hermann, Paris, 1967-1971. 9. S. Lang, Differential Manifolds, Springer P.C., New York-Berlin-Heidelberg, 1985. 10. S. Lang, Fundamentals of Differential Geometry, Springer-Verlag, New York, Inc., 1999. 11. H. Whitney, Geometric Integration Theory, Princeton Univ. Press, 1957. 12. H. Federer, Geometric Measure Theory, Springer-Verlag, 1969. 13. S. Sternberg, Lectures on Differential Geometry, Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1964. 14. W. Klingenberg, Riemannian Geometry, Walter de Gruyter & Co., Berlin-New York, 1982. 15. J. M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, University of Washington, Department of Mathematics, Seattle, 2000. 16. H. Cartan, Calcul différentiel, Formes différentielles, Hermann, Paris, 1967.

10

1. fejezet Térképek, atlaszok, differenciálható struktúrák Megállapodunk abban, hogy ebben a fejezetben S mindenütt ugyanazon test feletti normálható terek nem üres halmazát jelöli, valamint az r és s szimbólumok 0-nál nagyobb természetes számokat, vagy a szimbólumot jelölik. Továbbá, a "normálható tér" elnevezés a "normálható topologikus vektortér" szinonimájaként szerepel, tehát normálható tér esetében a vektortéren nincs kijelölt norma, hanem csak egy lineáris topológia, amely normából származtatható. Hasonlóan, a "Banach-tér" elnevezés a "teljes és normálható topologikus vektortér" szinonimájaként szerepel. 1.1. Térképek 1.1.1. Definíció. A ϕ, E párt térképnek nevezzük, ha ϕ injektív függvény, E normálható tér, és Imϕ E nyílt halmaz. Ha ϕ, E térkép, akkor az E normálható teret a ϕ, E térkép érkezési terének nevezzük. Ha ϕ, E térkép, akkor egyedül a ϕ függvény nem határozza meg az E normálható teret. Ez triviális akkor, ha Domϕ =, vagy Imϕ = E. Azonban a jelölések egyszerűsítése céljából megállapodunk abban, hogy a továbbiakban minden térképet egyetlen szimbólummal, a benne szereplő függvény jelével jelölünk, és ha ϕ térkép, akkor E ϕ jelöli a ϕ térkép érkezési terét. 1.1.2. Definíció. A ϕ térképet S-típusúnak nevezzük, ha E ϕ S. Az M halmaz térképeinek nevezzük azokat a ϕ térképeket, amelyekre Domϕ M. Az M halmaz ϕ térképét globálisnak nevezzük, ha Domϕ = M. Ha M nem üres halmaz, akkor nem létezik az M halmaz összes térképeinek halmaza. De ha M mellett még a térképek típusát is korlátozzuk egy S normálható tér halmazzal, 11

12 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK, DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK akkor már beszélhetünk az M halmaz S-típusú térképeinek halmazáról. következő állítás. Erről szól a 1.1.3. Állítás. Ha M halmaz, akkor az kijelentés kollektivizáló ϕ-ben. ϕ térkép Domϕ M E ϕ S Bizonyítás. Ha ϕ térkép, és Domϕ M, és E ϕ S, akkor E ϕ S miatt vagyis ϕ P ϕ Domϕ Imϕ M E ϕ M S, M S, tehát elegendő a részhalmaz-axiómasémára hivatkozni. 1.1.4. Definíció. Ha M halmaz, akkor a ChM, S := { ϕ ϕ térkép Domϕ M E ϕ S } jelölést alkalmazzuk, tehát ChM, S az összes M feletti S-típusú térképek halmaza. Ha ϕ és ψ térképek, akkor Domψ ϕ 1 = ϕ Domϕ Domψ E ϕ, Domϕ ψ 1 = ψ Domϕ Domψ E ψ, és világos, hogy ψ ϕ 1 = ϕ ψ 1 1, valamint ϕ ψ 1 = ψ ϕ 1 1. 1.1.5. Definíció. Azt mondjuk, hogy a ϕ és ψ térképek C r -konzisztensek, ha a ψ ϕ 1 : E ϕ E ψ és a ϕ ψ 1 : E ψ E ϕ függvények C r -osztályúak. Legyen S normálható terek halmaza, M halmaz, és r N vagy r =. Jelölje r azt a relációt ChM, S felett, amelyre ϕ, E, ψ, F ChM, S esetén ϕ, E r ψ, F pontosan akkor teljesül, ha a ϕ, E és ψ, F térképek C r -konzisztensek. Világos, hogy a r reláció reflexív ChM, S felett, és szimmetrikus is. Azonban ez a reláció általában nem tranzitív, tehát nem ekvivalencia ChM, S felett. 1.1.6. Állítás. Legyen ϕ térképe az M halmaznak. Ha E normálható tér és Φ : E ϕ E olyan függvény, hogy DomΦ nyílt részhalmaza E ϕ -nek, és ImΦ nyílt részhalmaza E- nek, és Φ C r -diffeomorfizmus DomΦ és ImΦ között, akkor Φ ϕ olyan térképe az M halmaznak, amely C r -konzisztens az M halmaz minden olyan térképével, amely ϕ-vel C r -konzisztens.

1.2. ATLASZOK ÉS SOKASÁGOK 13 Bizonyítás. A Φ ϕ : M E függvény injekciók kompozíciója, ezért injekció, továbbá ImΦ ϕ = Φ DomΦ Imϕ, ezért ImΦ ϕ nyílt halmaz E-ben, hiszen Imϕ nyílt halmaz E ϕ -ben, így DomΦ Imϕ nyílt halmaz a DomΦ E topologikus altérben, és Φ homeomorfizmus a DomΦ és ImΦ topologikus alterek között, tehát Φ DomΦ Imϕ nyílt az ImΦ E topologikus altérben, és mivel ImΦ nyílt E- ben, így nyílt E-ben is. Ha ψ olyan térképe az M halmaznak, hogy ϕ és ψ C r -konzisztensek, akkor a ϕ ψ 1 és ψ ϕ 1 függvények C r -osztályúak, valamint a hipotézis szerint a Φ : E ϕ E és Φ 1 : E E ϕ függvények is C r -osztályúak. Mivel pedig Φ ϕ ψ 1 = Φ ϕ ψ 1 és ψ Φ ϕ 1 = ψ ϕ 1 Φ 1, így ezek a függvények is C r -osztályúak, hiszen C r - osztályú függvények kompozíciója C r -osztályú. Ez azt jelenti, hogy a Φ ϕ és ψ térképek C r -konzisztensek. 1.2. Atlaszok és sokaságok 1.2.1. Definíció. Legyen M halmaz. Az A ChM, S halmazt M feletti, C r -osztályú, S-típusú atlasznak nevezzük, ha M = Domϕ, és minden ϕ A és ψ A esetén a ϕ és ψ térképek C r -konzisztensek. ϕ A A tartalmazás tekintetében maximális M feletti, C r -osztályú, S-típusú atlaszokat úgy nevezzük, hogy M feletti, C r -osztályú, S-típusú differenciálható struktúrák. Az M, D párt C r -osztályú, S-típusú sokaságnak nevezzük, ha D M feletti, C r - osztályú, S-típusú differenciálható struktúra. Az mondjuk, hogy az M, D C r -osztályú, S-típusú sokaság elemi, ha létezik olyan ϕ D, hogy Domϕ = M. A szokásos jelölési konvenciónak megfelelően, minden sokaságot egyetlen szimbólummal, az alaphalmaz jelével jelöljük, és ha M sokaság, akkor ChM jelöli az M feletti differenciálható struktúrát, és ennek elemeit az M sokaság térképeinek nevezzük, valamint minden a M esetén Ch a M := {ϕ ChM a Domϕ}.

14 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK, DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK Megállapodunk abban, hogy a továbbiakban a sokaságok "C r -osztályú", illetve "S-típusú" jelzőjét csak akkor tüntetjük fel, ha egy állítás megfogalmazásához vagy bizonyításához szükség van ezek konkrét ismeretére. Azonban lényeges az, hogy minden sokaságnak van simasága, vagyis valamilyen r N vagy r = esetén C r -osztályú, és mindig van típusa, vagyis valamilyen S normálható tér halmazra S-típusú; akkor is ha ezeket nem említjük meg. 1.2.2. Állítás. Ha M halmaz, és A M feletti, C r -osztályú, S-típusú atlasz, akkor az A := { ψ ChM, S ϕ A : ψ és ϕ C r -konzisztens térképek } halmaz az egyetlen olyan M feletti, C r -osztályú, S-típusú differenciálható struktúra, amelyre A A. Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy A ChM, S olyan halmaz, hogy A A, hiszen az atlaszok definíciója szerint minden A -hoz tartozó térkép C r -konzisztens minden A -hoz tartozó térképpel. Ebből azonnal következik, hogy M = Domϕ Domψ ϕ A ψ A M, ezért M = Domψ. Tehát annak bizonyításához, hogy A M feletti, C r - ψ A osztályú, S-típusú atlasz, elegendő azt igazolni, hogy bármely két A -hoz tartozó térkép C r -konzisztens. Legyenek ψ 1 A és ψ 2 A rögzítettek, és vegyünk egy a 1 ψ 1 Domψ 1 Domψ 2 pontot. Meg fogjuk mutatni, hogy létezik a 1 -nek olyan U 1 nyílt környezete E ψ1 -ben, amelyre U 1 ψ 1 Domψ 1 Domψ 2, és a ψ 2 ψ1 1 függvény C r -osztályú az U 1 halmazon. Ebből a magasabb rendű folytonos differenciálhatóság lokalitása alapján következni fog, hogy a ψ 2 ψ1 1 : E ψ1 E ψ2 függvény is C r -osztályú. Legyen a Domψ 1 Domψ 2 az a pont, amelyre ψ 1 a = a 1, és M = Domϕ alapján rögzítsünk egy olyan ϕ A térképet, amelyre a Domϕ. Ekkor A definíciója alapján a ϕ és ψ 2 térképek C r -konzisztensek, így ϕ Domϕ Domψ 2 nyílt halmaz E ϕ -ben. Továbbá, ψ 1 ϕ 1 ϕ Domϕ Domψ 2 nyílt részhalmaza E ψ1 -nek, és ez nyilvánvalóan egyenlő a ψ 1 Domψ 1 Domψ 2 Domϕ halmazzal, amelynek eleme a ψ 1 a pont. Tehát U 1 := ψ 1 Domψ 1 Domψ 2 Domϕ olyan nyílt környezete a 1 -nek E ψ1 -ben, amelyre U 1 ψ 1 Domψ 1 Domψ 2. Továbbá, a ψ 2 ψ1 1 függvény nyilvánvalóan egyenlő ψ 2 ϕ 1 ϕ ψ1 1 -gyel az U 1 halmazon, és a ψ 2 ϕ 1 és ϕ ψ1 1 függvények C r -osztályúak, így ψ 2 ψ1 1 is C r -osztályú az U 1 halmazon. Ez azt jelenti, hogy a ψ 2 ψ1 1 : E ψ1 E ψ2 függvény C r -osztályú. Teljesen hasonló megfontolásokkal kapjuk, hogy ha a 2 ψ 2 Domψ 1 Domψ 2, és a Domψ 1 Domψ 2 az a pont, amelyre ψ 2 a = a 2, valamint ϕ A olyan térkép, hogy a Domϕ, akkor U 2 := ψ 2 Domψ 1 Domψ 2 Domϕ olyan nyílt ϕ A

1.2. ATLASZOK ÉS SOKASÁGOK 15 környezete a 2 -nek E ψ2 -ben, amelyre U 2 ψ 2 Domψ 1 Domψ 2, és a ψ 1 ψ2 1 függvény egyenlő ψ 1 ϕ 1 ϕ ψ2 1 -gyel az U 2 halmazon. Ebből a magasabb rendű folytonos differenciálhatóság lokalitása alapján következik, hogy a ψ 1 ψ2 1 : E ψ2 E ψ1 függvény is C r -osztályú. Ezzel igazoltuk, hogy a ψ 1 és ψ 2 térképek C r -konzisztensek, következésképpen A olyan M feletti, C r -osztályú, S-típusú atlasz, amelyre A A. Ha B olyan M feletti, C r -osztályú, S-típusú atlasz, amelyre A B, akkor minden ψ B és ϕ A esetén a ψ és ϕ térképek C r -konzisztensek, tehát A definíciója alapján ψ A. Ezért B A, vagyis A a tartalmazás tekintetében legnagyobb olyan M feletti, C r -osztályú, S-típusú atlasz, amelyre A A. Ebből azonnal következik, hogy A M feletti, C r -osztályú, S-típusú differenciálható struktúra, hiszen ha C olyan M feletti, C r -osztályú, S-típusú atlasz, hogy A C, akkor A C, így az előző bekezdés alapján C A is teljesül, vagyis C = A. Ha D olyan C r -osztályú, S-típusú differenciálható struktúra, hogy A D, akkor A definíciója szerint D A. A D A egyenlőtlenség ellentmondana D tartalmazás tekintetében való maximalitásának, hiszen A C r -osztályú, S-típusú atlasz. Ezért D = A, ami azt jelenti, hogy A az egyetlen olyan M feletti, C r -osztályú, S-típusú differenciálható struktúra, amelyre A A. 1.2.3. Definíció. Ha M halmaz, és A M feletti, C r -osztályú, S-típusú atlasz, akkor az A := { ψ ChM, S ϕ A : ψ és ϕ C r -konzisztens térképek } halmazt az A atlasz által generált M feletti, C r -osztályú, S-típusú differenciálható struktúrának nevezzük. 1.2.4. Következmény. Legyen M halmaz, és A ChM, S. Az A halmaz pontosan akkor M feletti, C r -osztályú, S-típusú differenciálható struktúra, ha teljesülnek rá a következők. a Fennáll az M = Domϕ egyenlőség. ϕ A b Minden ϕ A és ψ A esetén a ϕ és ψ térképek C r -konzisztensek. c Minden ψ ChM, S esetén, ha minden ϕ A térképre ϕ és ψ C r -konzisztensek, akkor ψ A. Bizonyítás. Az a és b kijelentések együtt azt jelentik, hogy A C r -osztályú, M feletti, S-típusú atlasz. Ez a c kijelentéssel együtt éppen azt jelenti, hogy A = A, tehát A C r -osztályú, M feletti, S-típusú differenciálható struktúra. 1.2.5. Következmény. Ha M halmaz és D és D C r -osztályú, S-típusú differenciálható struktúrák M felett, akkor a következő állítások ekvivalensek.

16 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK, DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK i D = D. ii D D. iii D D. iv Domϕ = M. ϕ D D v D D C r -osztályú, S-típusú atlasz M felett. Bizonyítás. i ii triviális, és ha ii teljesül, akkor D maximalitása miatt D = D, így iii is igaz, vagyis ii iii is teljesül. Ha D D, akkor D D = D, tehát iv igaz, hiszen D C r -osztályú, S-típusú atlasz M felett. Tehát iii iv teljesül. A iv feltételből következik, hogy D D C r -osztályú, S-típusú atlasz M felett, hiszen D D bármely két eleme C r -konzisztens, S-típusú térkép. Ezért iv v teljesül. Végül, ha v igaz, akkor az 1.2.2. állítás szerint D = ÿ D D = D, tehát v i is teljesül. 1.2.6. Állítás. Ha M C r -osztályú, S-típusú sokaság, ϕ ChM, E S, és Φ : E ϕ E olyan függvény, hogy DomΦ nyílt részhalmaza E ϕ -nek, és ImΦ nyílt részhalmaza F -nek, és Φ C r -diffeomorfizmus DomΦ és ImΦ között, akkor Φ ϕ ChM. Bizonyítás. Az 1.1.6. állítás szerint Φ ϕ olyan S-típusú térképe az M halmaznak, amely ChM minden elemével C r -konzisztens, ezért az 1.2.4. következmény c pontjában megfogalmazott tulajdonságból adódik, hogy Φ ϕ ChM. 1.2.7. Definíció. Ha n N, akkor a C r -osztályú M sokaság n-dimenziós aritmetikai térképének nevezzük az M halmaz minden olyan ϕ térképét, amelyre E ϕ = K n, az euklidészi topológiával ellátva, és ϕ C r -konzisztens ChM minden elemével. Vigyázzunk arra, hogy ha ϕ n-dimenziós aritmetikai térképe az S-típusú M sokaságnak, akkor ϕ ChM nem szükségképpen teljesül, mert E ϕ = K n / S lehetséges, vagyis ϕ nem S-típusú térképe az M halmaznak. Erre a jelenségre konkrét példát szolgáltatnak majd az euklidészi terekben azaz véges dimenziós Hilbert-terekben értelmezhető paraboloid-, hiperboloid-, kúp- és gömbfelületek. 1.2.8. Állítás. Ha M C r -osztályú, S-típusú sokaság, n N és ϕ : M K n nem üres függvény, akkor a következő állítások ekvivalensek. i ϕ n-dimenziós aritmetikai térképe az M sokaságnak. ii Létezik olyan E S és v : K n E lineáris bijekció, hogy v ϕ ChM. iii Létezik olyan ψ ChM térkép és olyan u : E ψ K n lineáris bijekció, hogy ϕ = u ψ. Bizonyítás. i ii A ϕ feltétel szerint vehetünk egy a Domϕ pontot. Legyen ψ ChM olyan, hogy a Domψ. Az M halmaz ϕ és ψ térképei C r -kontisztensek,

1.3. SOKASÁG-TÍPUSOK ÉS TISZTA SOKASÁGOK 17 így a ψ ϕ 1 : K n E ψ leképezés C r -diffeomorfizmus a ϕ Domϕ Domψ K n és ψ Domψ Domϕ E ψ nyílt halmazok között, ezért a v := D ψ ϕ 1 ϕa : K n E ψ leképezés lineáris bijekció, így ez a leképezés C r -diffeomorfizmus is K n és E ψ között. Mivel a ϕ térkép ChM minden elemével C r -konzisztens, az 1.1.6. állításból kapjuk, hogy v ϕ olyan térképe az M halmaznak, amely ChM minden elemével C r - konzisztens, és E v ϕ = E ψ S miatt a v ϕ térkép S-típusú, így v ϕ ChM. ii iii Ha E S és v : K n E olyan lineáris bijekció, hogy v ϕ ChM, akkor ϕ = v 1 v ϕ miatt ψ := v ϕ és u := v 1 eleget tesz a követelményeknek. iii i Ha ψ ChM olyan térkép és u : E ψ K n olyan lineáris izomorfizmus, hogy ϕ = u ψ, akkor 1.1.6. szerint C r - térképe az M halmaznak, mert u C r - diffeomorfizmus E ψ és K n között, továbbá ϕ C r -konzisztens ChM minden elemével, mert a C r -konzisztens ψ térkép ChM minden elemével. A sokaságok aritmetikai térképeinek definíciója szerint ez azt jelenti, hogy i teljesül. 1.3. Sokaság-típusok és tiszta sokaságok 1.3.1. Állítás. Legyen D C r -osztályú, S-típusú differenciálható struktúra az M halmaz fellett. Ha r N vagy r = olyan, hogy r r, és S normálható terek olyan halmaza, hogy S S, akkor D C r -osztályú, S -típusú atlasz az M halmaz fellett. Vigyázzunk arra, hogy az előző állítás feltételei mellett D nem feltétlenül C r - osztályú, S -típusú differenciálható struktúra az M halmaz fellett, hanem csak atlasz. Ennek S S esetén az az oka, hogy létezhet olyan ϕ ChM, S térkép, amelyre E ϕ / S, ugyanakkor ϕ C r -konzisztens így ϕ C r -konzisztens is D minden elemével, így ϕ / D. Továbbá, r < r esetén létezhet olyan ϕ ChM, S térkép, amely C r - konzisztens D minden elemével, de nem C r -konzisztens D minden elemével, így ϕ / D. Tehát szigorúan véve az M, D pár általában nem tekinthető C r -osztályú, S -típusú sokaságnak, azonban gondolatban egyértelműen hozzárendelhető az M, D C r -osztályú, S -típusú sokaság, ahol D a D C r -osztályú, S -típusú atlasz által generált C r -osztályú, S -típusú differenciálható struktúra. 1.3.2. Definíció. Ha E normálható tér, akkor a C r -osztályú, {E}-típusú sokaságokat C r -osztályú, tiszta E-típusú sokaságoknak nevezzük. Az alkalmazásokban leggyakrabban C -osztályú, tiszta K n -típusú sokaságok fordulnak elő. Ezeket szokták egyszerűen differenciálható sokaságoknak nevezni. Nyilvánvaló, hogy ha E normálható tér, akkor az {id E } halmaz E feletti, C -osztályú, tiszta E-típusú azaz {E}-típusú atlasz.

18 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK, DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK 1.3.3. Definíció. Ha E normálható tér, akkor az {id E } atlasz által generált E feletti, C -osztályú, tiszta E-típusú struktúrát az E normálható tér feletti lineáris differenciálható struktúrának nevezzük, és ChE az E halmaz lineáris differenciálható struktúrája szerinti térképeinek halmazát jelöli. 1.3.4. Állítás. Ha E normálható tér, akkor a ϕ : E E függvényre ϕ ChE pontosan akkor teljesül, ha Domϕ és Imϕ nyílt halmazok E-ben, és a ϕ függvény C -osztályú diffeomorfizmus Domϕ és Imϕ között. Bizonyítás. Definíció szerint az {id E } halmaz atlasza az E feletti lineáris differenciálható struktúrának, amely {E}-típusú és C -osztályú, ezért a ϕ : E E függvényre ϕ ChE pontosan akkor teljesül, ha ϕ injekció, és Imϕ nyílt részhalmaza E-nek, és a ϕ id 1 : E E és id E E ϕ 1 : E E függvény C -osztályú, ami ϕ id 1 = ϕ és E id E ϕ 1 = ϕ 1 miatt éppen azt jelenti, hogy a ϕ függvény C -osztályú diffeomorfizmus a Domϕ E és Imϕ E nyílt halmazok között. 1.3.5. Definíció. Azt mondjuk, hogy az M sokaság Banach-sokaság, ha minden ϕ ChM nem üres térkép esetén E ϕ teljesen normálható tér azaz Banach-tér. 1.3.6. Állítás. Az M sokaság pontosan akkor Banach-sokaság, ha létezik M-nek olyan A atlasza, hogy minden ϕ A esetén E ϕ Banach-tér. Bizonyítás. A feltétel szükséges, mert ChM atlasza az M sokaságnak. Az elégségesség bizonyításához tegyük fel, hogy az M sokaság C r -osztályú, és legyen A atlasza M-nek, hogy minden ϕ A esetén E ϕ Banach-tér. Legyen ψ ChM olyan, hogy ψ, és rögzítsünk egy a Domψ elemet. Ekkor van olyan ϕ A, hogy a Domϕ, és mivel a ϕ és ψ térképek C r -konzisztensek, így a D ψ ϕ 1 ϕa : E ϕ E ψ operátor lineáris homeomorfizmus, következésképpen E ϕ -vel együtt E ψ is Banach-tér. 1.4. Sokaság dimenziója Emlékeztetünk arra, hogy ha E vektortér, akkor dime jelöli az E algebrai dimenzióját, vagyis az E vektortér algebrai bázishalmazainak számosságát. Ha S normálható terek halmaza, akkor képezhető a {dime E S} halmaz. Valóban, ha F jelöli a E direkt összeget, akkor minden E S esetén dime E S dimf, vagyis dime dimf, azaz dime PdimF, így jól értelmezett az f : S PdimF ; E dime függvény, és nyilvánvalóan Imf = {dime E S}.

1.5. SOKASÁG TOPOLÓGIÁJA 19 1.4.1. Állítás. Ha M C r -osztályú, S-típusú sokaság, akkor egyértelműen létezik olyan dim M : M {dime E S} függvény, amelyre teljesül az, hogy minden a M és ϕ Ch a M esetén dim M a = dime ϕ. Bizonyítás. Tekintsük a következő halmazt: f := { a, dime ϕ a M ϕ Ch a M }. Világos, hogy f reláció, és f M D, ahol D := {dime E S}. Az f reláció függvény, mert ha a, dime ϕ f és a, dime ψ f, vagyis ϕ, ψ ChM és a Domϕ Domψ, akkor a ϕ és ψ térképek C r -konzisztenciája miatt a ψ ϕ 1 : E ϕ E ψ függvény C r -diffeomorfizmus Domψ ϕ 1 és Imψ ϕ 1 között, továbbá ϕa Domψ ϕ 1, így a Dψ ϕ 1 ϕa : E ϕ E ψ folytonos lineáris operátor lineáris homeomorfizmus, tehát az E ϕ és E ψ vektorterek algebrailag is izomorfak, vagyis az algebrai dimenzióik egyenlőek, azaz dime ϕ = dime ψ. Továbbá, Domϕ = M, ezért Domf = M. Minden ϕ S esetén E ϕ S, ezért ϕ ChM Imf D, vagyis f : M D függvény. Végül, a definíció szerint minden a M és ϕ Ch a M esetén fa = dime ϕ, tehát dim M := f olyan függvény, amelynek a létezését állítottuk. 1.4.2. Definíció. Ha M S-típusú sokaság, akkor az előző állításban értelmezett dim M : M {dime E S} függvényt az M sokaság dimenzió-függvényének nevezzük, és a M esetén a dim M a kardinális számot az M sokaság dimenziójának nevezzük az a pontban. Azt mondjuk, hogy az M sokaság lokálisan véges dimenziós, ha minden a M esetén a dim M a kardinális szám véges. 1.5. Sokaság topológiája 1.5.1. Állítás. Legyen M C r -osztályú sokaság. Ha ϕ ChM és Ω E ϕ nyílt halmaz, akkor a : 1 ϕ 1 ϕ Ω E ϕ Ω ϕ leszűkített függvény eleme ChM-nek. Bizonyítás. Természetesen a ϕ 1 függvény injektív és Im ϕ Ω ϕ 1 = Ω Imϕ nyílt ϕ Ω halmaz E ϕ -ben, hiszen Imϕ is és Ω is nyílt E ϕ -ben. Ezért a ϕ 1 ChM kijelentés ϕ Ω

20 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK, DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK bizonyításához elég azt igazolni, hogy minden ψ ChM esetén a ϕ 1 és ψ térképek ϕ Ω C r -konzisztensek. Ez viszont nyilvánvaló, mert 1 = ψ ϕ 1 Ω ϕdomϕ Domψ, ψ ϕ 1 ϕ Ω és Ω ϕ Domϕ Domψ nyílt részhalmaza E ϕ -nek, valamint ψ 1 = ϕ ψ 1 ψ ϕ 1 Ω Imϕ, ϕ 1 ϕ Ω és ψ ϕ 1 Ω Imϕ nyílt részhalmaza E ψ -nek, így a ϕ 1 ϕ Ω és ψ térképek Cr - konzisztenciája azért teljesül, mert normálható terek között ható C r -osztályú függvény leszűkítése a definíciós tartományának nyílt részhalmazára szintén C r -osztályú. 1.5.2. Következmény. Ha M sokaság és ϕ, ψ ChM, akkor ϕ Domϕ Domψ ChM és ψ Domϕ Domψ ChM. Bizonyítás. Az Ω := ϕ Domϕ Domψ halmaz nyílt E ϕ -ben, és ϕ Domϕ Domψ = ϕ 1, így az előző állítás alapján ϕ ϕ Ω Domϕ Domψ ChM. Az Ω := ψ Domϕ Domψ halmaz nyílt E ψ -ben, és ψ Domϕ Domψ = ψ 1, így ψ Ω az előző állítás alapján ψ Domϕ Domψ ChM. 1.5.3. Tétel. Ha M sokaság, akkor létezik egyetlen olyan topológia az M halmaz felett, amelynek topologikus bázisa a {Domϕ ϕ ChM} halmaz. Bizonyítás. Elegendő azt igazolni, hogy a B := {Domϕ ϕ ChM} halmaz olyan befedése M-nek, amely zárt a véges metszetképzésre TOP 26.2.3. Állítás. Mivel ChM atlasz M felett, így {Domϕ ϕ ChM} befedése M-nek. Ha ϕ, ψ ChM, akkor az előző állítás szerint ϕ Domϕ Domψ ChM, tehát Domϕ Domψ B. 1.5.4. Definíció. Ha M sokaság, akkor M sokaság-topológiájának nevezzük azt az M feletti topológiát, amelynek {Domϕ ϕ ChM} topologikus bázisa. Tehát, ha M sokaság, akkor a definíció szerint minden ϕ ChM térképre Domϕ nyílt halmaz a sokaság-topológia szerint, és az Ω M halmaz pontosan akkor nyílt a sokaság-topológia szerint, ha létezik olyan ChM-ben haladó ϕ i rendszer, hogy Ω = Domϕ i. Továbbá, ha M sokaság, a M és V környezete a-nak a sokaságtopológia szerint, akkor létezik olyan ϕ Ch a M, hogy Domϕ V. Ezeket a tényeket gyakran alkalmazzuk a sokaság-topológiákkal kapcsolatban. Megállapodunk abban, hogy a továbbiakban minden sokaságot topologikus térnek tekintünk, amelynek topológiája a sokaság-topológia.

1.5. SOKASÁG TOPOLÓGIÁJA 21 1.5.5. Állítás. Ha M sokaság, akkor a dim M dimenzió-függvény lokálisan állandó. Bizonyítás. Ha a M, akkor létezik olyan ϕ ChM, hogy a Domϕ, így a dimenzió-függvény értelmezése alapján minden x Domϕ esetén dim M x = dim M a, és Domϕ nyílt környezete a-nak a sokaság-topológia szerint. 1.5.6. Állítás. Ha M sokaság, és ϕ ChM, akkor ϕ homeomorfizmus a sokaságtopológia Domϕ-re vett leszűkítése és az E ϕ normálható tér topológiájának Imϕ-re vett leszűkítése szerint. Bizonyítás. Jelölje T az M feletti sokaság-topológiát, és T Eϕ az E ϕ normálható tér topológiáját. Legyen Ω T, és vegyünk olyan ChM-ben haladó ϕ i rendszert, amelyre Ω = Domϕ i. Ekkor ϕ Ω Domϕ = ϕ Domϕ i Domϕ = ϕ Domϕ i Domϕ, és minden i I esetén ϕ Domϕ i Domϕ T Eϕ, tehát ϕ Ω T Eϕ. Ez azt jelenti, hogy ϕ nyílt leképezés a szóbanforgó altértopológiák szerint, tehát ϕ 1 folytonos a T Eϕ Imϕ és T Domϕ topológiák szerint. Ha Ω 1 T Eϕ, akkor ϕ 1 ChM, tehát ϕ Ω T, ezért ϕ folytonos a T Domϕ ϕ Ω és T Eϕ Imϕ topológiák szerint. 1.5.7. Következmény. Ha E normálható tér, akkor E sokaság-topológiája a lineáris differenciálható struktúra szerint egyenlő az E normálható tér lineáris topológiájával. Bizonyítás. Mivel id E ChE, így 1.5.6. szerint id E homeomorfizmus az E sokaságtopológiája és az E normálható tér topológiája szerint, ami azt jelenti, hogy E sokaságtopológiája egyenlő az E normálható tér topológiájával. 1.5.8. Állítás. Legyen M sokaság és ϕ ChM. Ha Ω E ϕ nyílt halmaz az E ϕ normálható térben, akkor a 1 ϕ Ω halmaz nyílt M-ben a sokaság-topológia szerint. Ha az Ω M halmaz nyílt a sokaság-topológia szerint, akkor a ϕ Domϕ Ω halmaz nyílt az E ϕ normálható térben. Bizonyítás. Ha Ω E ϕ nyílt halmaz az E ϕ normálható térben, akkor Imϕ Ω nyílt az Imϕ topologikus altérben, valamint 1 ϕ Ω = 1 ϕ Imϕ Ω, így 1.5.1. szerint a 1 ϕ Ω halmaz nyílt a Domϕ M topologikus altérben, tehát az M topologikus térben is nyílt, mert Domϕ nyílt M-ben. Ha Ω nyílt halmaz M-ben, akkor Domϕ Ω nyílt a Domϕ topologikus altérben, így 1.5.6. szerint a ϕ Domϕ Ω halmaz nyílt az Imϕ E ϕ topologikus altérben, tehát az E ϕ normálható térben is nyílt, mert Imϕ nyílt E ϕ -ben.

22 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK, DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK 1.5.9. Állítás. Legyen M sokaság és Ω M. A következő állítások ekvivalensek. i Ω nyílt a sokaság-topológia szerint. ii Minden ϕ ChM térképre a ϕ Ω Domϕ : Ω Domϕ E ϕ leszűkített függvény eleme ChM-nek. iii Létezik olyan A ChM atlasz, hogy minden ϕ A térképre a ϕ Ω Domϕ : Ω Domϕ E ϕ leszűkített függvény eleme ChM-nek. iv Létezik olyan A ChM atlasz, hogy minden ϕ A térképre az Ω Domϕ halmaz nyílt a sokaság-topológia szerint. v Minden ϕ ChM térképre az Ω Domϕ halmaz nyílt a sokaság-topológia szerint. Bizonyítás. i ii Legyen ϕ ChM. Ekkor Domϕ nyílt a sokaság-topológia szerint, és i alapján Ω is nyílt a sokaság-topológia szerint, ezért Ω Domϕ M nyílt a sokaság-topológia szerint. A 1.5.6. állítás miatt ekkor ϕ Ω Domϕ nyílt az Imϕ topologikus altérben, ami szintén nyílt E-ben, ezért Ω := ϕ Ω Domϕ E nyílt halmaz E-ben. Ebből 1.5.1. alapján következik, hogy a ϕ 1 : 1 ϕ Ω E ϕ Ω ϕ leszűkített függvény eleme ChM-nek. Mivel pedig nyilvánvalóan 1 ϕ Ω = Ω Domϕ, így a ϕ Ω Domϕ : Ω Domϕ E ϕ leszűkített függvény is eleme ChM-nek. ii iii Triviális. iii iv Nyilvánvaló, mert minden térkép definíciós tartománya nyílt a sokaságtopológia szerint. iv v Legyen ϕ ChM. Az A halmaz atlasza M-nek, ezért M = Domψ, következésképpen Ω Domϕ = Ω Domψ Domϕ. ψ A Minden ψ A esetén iv alapján Ω Domψ nyílt a sokaság-topológia szerint, és Domϕ is ilyen halmaz, ezért Ω Domψ Domϕ nyílt a sokaság-topológia szerint. Ebből kapjuk, hogy Ω Domϕ is nyílt a sokaság-topológia szerint. v i Nyilvánvaló, mert M = Domϕ, így ϕ ChM Ω = ϕ ChM Ω Domϕ, és az v hipotézis alapján minden ϕ ChM esetén Ω Domϕ nyílt a sokaság-topológia szerint. ψ A

1.5. SOKASÁG TOPOLÓGIÁJA 23 1.5.10. Állítás. Ha M sokaság, akkor az M topologikus tér T 1 -tér. Bizonyítás. Legyenek a, b M olyan pontok, hogy a b. Ekkor két kizáró eset lehetséges. Létezik olyan ϕ ChM, hogy a, b Domϕ. A 1.5.6. állítás alapján a Domϕ M topologikus altér ϕ által homeomorf az Imϕ E ϕ topologikus altérrel, és mivel ez utóbbi Hausdorff-tér, így a Domϕ topologikus altér is Hausdorff-tér, tehát léteznek olyan U, V Domϕ halmazok, amelyek nyíltak a Domϕ topologikus altérben, és a U, b V, és U V =. A Domϕ halmaz nyíltsága miatt ekkor U és V nyílt halmazok M-ben is, tehát ekkor a-nak és b-nek léteznek diszjunkt környezetei az M sokaságban. Nem létezik olyan ϕ ChM, hogy a, b Domϕ. Mivel M = Domϕ, ϕ ChM így léteznek olyan ϕ, ψ ChM térképek, hogy a Domϕ és b Domψ. Ekkor a hipotézis szerint b / Domϕ és a / Domψ, ugyanakkor Domϕ környezete a-nak M-ben és Domψ környezete b-nak M-ben. Ez azt jelenti, hogy az M topologikus tér T 1 -tér TOP 27.1.1. Definíció. Tehát sokaságnak minden véges részhalmaza zárt TOP 27.1.3. Állítás. Azonban sokaság-topológia nem feltétlenül Hausdorff-topológia. Később példát adunk olyan véges dimenziós sokaságra, amelynek a sokaság-topológiája nem Hausdorff-topológia. 1.5.11. Állítás. Ha M sokaság, akkor a következő állítások ekvivalensek. i M szeparált vagyis Hausdorff-tér. ii Minden ϕ, ψ ChM esetén a ψ ϕ 1 függvény grafikonja zárt az E ϕ E ψ topologikus szorzattér Imϕ Imψ nyílt topologikus alterében. iii Létezik olyan A atlasza az M sokaságnak, hogy minden ϕ, ψ A esetén a ψ ϕ 1 függvény grafikonja zárt az E ϕ E ψ topologikus szorzattér Imϕ Imψ nyílt topologikus alterében. Bizonyítás. i ii Legyen M := {x, x x M}. Az i feltétel szerint M zárt halmaz az M M topologikus szorzattérben, hiszen ha x, y M M \ M, azaz x, y M és x y, akkor létezik olyan U környezete x-nek M-ben és olyan V környezete y-nak N-ben, hogy U V =, és ekkor nyilvánvalóan U V M =, vagyis U V M M \ M, ami azt jelenti, hogy x, y belső pontja az M M \ M halmaznak a szorzattopológia szerint. Ezért Domϕ Domψ M zárt halmaz a Domϕ Domψ M M topologikus altérben, és a ϕ ψ : Domϕ Domψ Imϕ Imψ függvény 1.5.6. szerint homeomorfizmus a Domϕ Domψ és Imϕ Imψ topologikus alterek között, így

24 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK, DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK ϕ ψ Domϕ Domψ M zárt halmaz az Imϕ Imψ topologikus altérben. Ugyanakkor: ϕ ψ Domϕ Domψ M = = { ϕx, ψy E ϕ E ψ x Domϕ y Domψ x = y } = = { ϕx, ψ ϕ 1 ϕx x Domϕ Domψ } = = { z, ψ ϕ 1 z z ϕ Domϕ Domψ } = gr ψ ϕ 1, hiszen Dom ψ ϕ 1 = ϕ Domϕ Domψ. Tehát a gr ψ ϕ 1 függvénygrafikon zárt az Imϕ Imψ E ϕ E ψ topologikus altérben. ii iii Triviális. iii i Legyen A olyan atlasza az M sokaságnak, hogy minden ϕ, ψ A esetén a ψ ϕ 1 függvény grafikonja zárt az E ϕ E ψ topologikus szorzattér Imϕ Imψ nyílt topologikus alterében. Legyenek x, y M olyan pontok, hogy x y, és vegyünk olyan ϕ, ψ A térképeket, amelyekre x Domϕ és y Domψ. Ekkor ϕx, ψy / gr ψ ϕ 1, különben létezne olyan z ϕ Domϕ Domψ, hogy ϕx, ψy = z, ψ ϕ 1 z, amiből következne, hogy x Domϕ Domψ és ψy = ψ ϕ 1 ϕx = ψx, így ψ injektivitása miatt x = y lenne, holott x y. A hipotézis szerint gr ψ ϕ 1 zárt halmaz az Imϕ Imψ topologikus alterében, így létezik olyan Ũ nyílt környezete ϕx-nek az Imϕ topologikus altérben, és létezik olyan Ṽ nyílt környezete ψy-nak az Imψ topologikus altérben, hogy Ũ Ṽ gr ψ ϕ 1 =. Ekkor 1.5.6. alapján U := 1 ϕ Ũ nyílt környezete M-ben x-nek és V := 1 ψ Ṽ nyílt környezete M-ben y-nak. Könnyen látható, hogy U V =, különben vehetnénk egy z U V pontot, és akkor ϕz, ψz Ũ Ṽ teljesülne, és z Domϕ Domψ miatt ϕz, ψz = ϕz, ψ ϕ 1 ϕz gr ψ ϕ 1, vagyis ϕz, ψz Ũ Ṽ gr ψ ϕ 1 teljesülne, ami ellentmond annak, hogy Ũ Ṽ gr ψ ϕ 1 =. Tehát x-nek és y-nak léteznek diszjunkt környezetei M- ben, vagyis M Hausdorff-tér. 1.5.12. Állítás. Ha M lokálisan véges dimenziós sokaság, akkor M-ben minden pontnak létezik kompakt halmazokból álló környezetbázisa. Bizonyítás. Legyen a M és V környezete a-nak az M sokaságban. Vegyünk olyan ϕ Ch a M térképet, amelyre Domϕ V. A dim M a kardinális szám végessége miatt E ϕ véges dimenziós normálható tér, tehát lokálisan kompakt EVT 1.7.10. Tétel, és Imϕ nyílt környezete ϕa-nak E ϕ -ben, így létezik olyan Ũ kompakt környezete ϕa- nak E ϕ -ben, hogy Ũ Imϕ TOP 28.6.2. Állítás. Ekkor Ũ kompakt környezete ϕa- nak az Imϕ topologikus altérben is és 1.5.6. szerint ϕ homeomorfizmus a Domϕ M és Imϕ E ϕ topologikus alterek között. Ezért U := 1 ϕ Ũ kompakt környezete a-nak a

1.5. SOKASÁG TOPOLÓGIÁJA 25 Domϕ topologikus altérben. Mivel Domϕ nyílt környezete a-nak a sokaság-topológia szerint, így U környezete a-nak M-ben is, és kompakt M-ben is TOP 28.1.3. Állítás. Ezenkívül U Domϕ V teljesül. 1.5.13. Állítás. Ha M lokálisan véges dimenziós sokaság, akkor a következő állítások ekvivalensek. i M szeparált vagyis Hausdorff-tér. ii M lokálisan kompakt. iii M reguláris. Bizonyítás. i ii Az előző állítás alapján M minden pontjának van kompakt környezete, így M szeparáltsága miatt M lokálisan kompakt. ii iii Minden lokálisan kompakt tér reguláris TOP 28.6.2. Állítás. iii i 1.5.10. szerint az M topologikus tér T 1 -tér, és minden reguláris T 0 -tér Hausdorff-tér TOP 27.4.2. Állítás. 1.5.14. Állítás. Ha M reguláris sokaság, akkor minden a M ponthoz létezik olyan ϕ Ch a M, hogy minden X Domϕ halmazra: X pontosan akkor zárt M-ben a sokaság-topológia szerint, ha ϕ X zárt az E ϕ normálható térben. Bizonyítás. Legyen a M és ψ Ch a M. Ekkor Imψ nyílt környezete ψa-nak E ψ -ben, és normálható tér reguláris, így vehetünk olyan V nyílt környezetét ψa-nak E ψ -ben, amelyre V Imψ, ahol a lezárást E ψ -ben kell venni. Ekkor 1 ψ V nyílt halmaz M-ben 1.5.8., és a 1 ψ V Domψ, ezért az M topologikus tér regularitása miatt létezik olyan U nyílt környezete a-nak M-ben, hogy U 1 ψ V, ahol a lezárást M-ben kell venni. Legyen ϕ := ψ U, amelyre ϕ Ch a M teljesül 1.5.11.. Megmutatjuk, hogy ϕ eleget tesz a követelménynek. Legyen X Domϕ olyan halmaz amely zárt az M topologikus térben. Ekkor X Domψ miatt X zárt a Domψ topologikus altérben is, így 1.5.6. szerint ψ X zárt az Imψ topologikus altérben, azaz ψ X = ψ X Imψ, ahol a lezárást E ϕ - ben kell venni. De X Domϕ = U 1 ψ V, így ψ X V, következésképpen ψ X V Imψ, tehát ψ X = ψ X Imψ = ψ X, vagyis ψ X zárt E ψ -ben. Mivel pedig ψ X = ϕ X és E ψ = E ϕ, így ϕ X zárt E ϕ -ben. Megfordítva, legyen X Domϕ olyan halmaz amelyre ϕ X zárt E ϕ -ben. Ekkor ϕ X = ψ X és E ϕ = E ψ miatt ψ X zárt E ψ -ben. Ekkor 1.5.6. alapján X = 1 ψ ψ X zárt a Domψ topologikus altérben, tehát X = X Domψ, ahol a lezárást M- ben kell venni. De X Domϕ = U, tehát X U Domψ, következésképpen X = X Domψ = X, vagyis X zárt az M topologikus térben.

26 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK, DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK 1.5.15. Tétel. Minden sokaság lokálisan ívszerűen összefüggő topologikus tér, és minden Banach-sokaság Baire-tér. Bizonyítás. Legyen M sokaság, a M és V környezete a-nak a sokaság-topológia szerint. Létezik olyan Ω M halmaz, amely nyílt a sokaság-topológia szerint, és amelyre a Ω V. A sokaság-topológia definíciója szerint létezik olyan ϕ Ch a M, hogy Domϕ Ω. Rögzítünk egy olyan normát az E ϕ vektortér felett, amely az E ϕ normálható tér topológiáját generálja. Legyen r > 0 olyan valós szám, hogy a B r ϕa nyílt gömb az E ϕ normálható térben részhalmaza Imϕ-nek. Ilyen létezik, mert Imϕ nyílt környezete ϕa-nak az E ϕ normálható térben. A ϕ függvény homeomorfizmus a Domϕ és Imϕ nyílt topologikus alterek között, és a B r ϕa gömb ívszerűen összefüggő nyílt környezete ϕa-nak az Imϕ topologikus altérben. Ezért a 1 ϕ B r ϕa halmaz ívszerűen összefüggő nyílt környezete a-nak a Domϕ topologikus altérben, tehát a sokaság-topológia szerint is, hiszen Domϕ nyílt környezete a-nak M-ben. Ugyanakkor világos, hogy 1 ϕ B r ϕa Domϕ Ω V. Tehát M minden pontjának minden környezete tartalmazza a pontnak ívszerűen összefüggő környezetét, vagyis az M topologikus tér lokálisan ívszerűen összefüggő. Tegyük fel, hogy M S-típusú sokaság, és S minden eleme Banach-tér. Legyen a M, valamint ϕ Ch a M. Ismét rögzítünk egy olyan normát az E ϕ vektortér felett, amely az E ϕ normálható tér topológiáját generálja. Legyen r > 0 olyan valós szám, hogy a B r ϕa Imϕ. Ez a zárt gömb az E ϕ Banach-tér altértopológiájával ellátva Baire-tér, mert teljesen metrizálható, így elég a Baire-féle kategóriatételt alkalmazni TOP 28.11.7. Tétel. Mivel a ϕ függvény homeomorfizmus a Domϕ és Imϕ nyílt topologikus alterek között, így 1 ϕ B r ϕa olyan környezete a-nak a Domϕ topologikus altérben, amely ebben az altérben Baire-tér. Tehát ha T jelöli az M sokaság-topológiáját, akkor a 1 ϕ B r ϕa halmaz a T Domϕ 1 ϕ B r ϕa topológiával ellátva Bairetér. A topológiák leszűkítésének tranzitivitása miatt 1 ϕ B r ϕa Baire-tér a sokaságtopológia leszűkítése szerint is. Tehát az M topologikus tér minden pontjának van olyan környezete, amely a sokaság-topológia leszűkítése szerint Baire-tér, ezért M is Baire-tér TOP 28.11.6. Állítás. 1.5.16. Következmény. Ha M sokaság, akkor az Ω M nyílt halmaz, pontosan akkor összefüggő, ha ívszerűen összefüggő. Bizonyítás. Az állítás nyilvánvalóan következik M lokális ívszerű összefüggőségéből és a TOP 26.10.7 tételből. 1.5.17. Állítás. Ha M sokaság, akkor az M topologikus tér M 1 -tér. Bizonyítás. Ha a M és ϕ Ch a M, akkor a ϕa E ϕ pont bármely E ϕ -beli B környezetbázisára a { 1 ϕ V V B} halmaz környezetbázisa a-nak a Domϕ topologikus

1.6. A FOLYTONOSSÁG KRITÉRIUMAI 27 altérben 1.5.6., így M-ben a sokaság-topológia szerint is környezetbázisa a-nak, hiszen a Domϕ halmaz nyílt M-ben a sokaság-topológia szerint. Ezért az állítás abból következik, hogy minden normálható tér M 1 -tér. Azonban sokaság nem szükségképpen M 2 -tér. Ez nyilvánvaló, ha E nem szeparábilis normált tér, és E-n vesszük a lineáris differenciálható struktúrát, hiszen metrizálható topologikus tér pontosan akkor szeparábilis, ha megszámlálható bázisú, azaz M 2 -tér MET 17.6.2. Állítás. De még véges dimenziós sokaság sem szükségképpen M 2 -tér, ami a nem megszámlálhatóan végtelen alaphalmazú, 0-dimenziós, diszkrét sokaságok példáján látható. 1.6. A folytonosság kritériumai 1.6.1. Állítás. Legyen N topologikus tér, M sokaság, és f : N M függvény. A következő állítások ekvivalensek: i f folytonos. ii Minden ϕ ChM térképre az 1 f Domϕ halmaz nyílt N-ben. iii Az M sokaság minden A atlaszára teljesül az, hogy minden ϕ A esetén az 1 f Domϕ halmaz nyílt N-ben és a ϕ f : 1 f Domϕ E ϕ függvény folytonos. iv Létezik olyan A atlasza az M sokaságnak, hogy minden ϕ A esetén az 1 f Domϕ halmaz nyílt N-ben és a ϕ f : 1 f Domϕ E ϕ függvény folytonos. Bizonyítás. i ii A {Domϕ ϕ ChM} halmaz topogikus bázisa az M feletti sokaság-topológiának, ezért i és ii ekvivalensek. ii iii Ha A atlasza M-nek és ϕ A, akkor a sokaság-topológia definíciója szerint Domϕ nyílt M-ben, tehát ii, vagyis i alapján az 1 f Domϕ halmaz nyílt N-ben, továbbá a ϕ f : 1 f Domϕ E ϕ függvény folytonos, mert folytonos függvények kompozíciója folytonos. iii iv Azért igaz, mert létezik atlasza az M sokaságnak. iv i Legyen A olyan atlasza az M sokaságnak, hogy minden ϕ A esetén az 1 f Domϕ halmaz nyílt N-ben és a ϕ f : 1 f Domϕ E ϕ függvény folytonos. Legyen Ω M olyan halmaz, amely nyílt a sokaság-topológia szerint, és vegyünk olyan ϕ i rendszert ChM-ben, amelyre Ω = Domϕ i. Mivel A atlasza az M

28 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK, DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK sokaságnak, így M = Ebből kapjuk, hogy ϕ A Domϕ, amiből Ω = 1 f Ω = ϕ,i A I ϕ,i A I 1 f Domϕ Domϕ i, Domϕ Domϕ i következik. ezért annak igazolásához, hogy 1 f Ω nyílt részhalmaza N-nek, elegendő azt belátni, hogy minden ϕ A és i I esetén az 1 f Domϕ Domϕ i halmaz nyílt N-ben. Ez viszont igaz, mert ϕ A és i I esetén nyilvánvalóan 1 f Domϕ Domϕ i = ϕ 1 f ϕ Domϕ Domϕ i, és a hipotézis szerint ϕ f : 1 f Domϕ E ϕ folytonos az altér-topológia szerint, és ϕ Domϕ Domϕ i nyílt halmaz E ϕ -ben, így a jobb oldalon álló halmaz nyílt 1 f Domϕ -ben az altértopológia szerint is, tehát nyílt N-ben is, mert a feltevés szerint 1 f Domϕ nyílt N-ben. Vigyázzunk arra, hogy az előző állítás iii és iv pontjában nem elegendő azt megkövetelni, hogy minden ϕ A esetén az 1 f Domϕ halmaz nyílt legyen N- ben; e mellett még azt a mellékfeltételt is elő kell írni, hogy minden ϕ A esetén a ϕ f : 1 f Domϕ E ϕ függvény folytonos legyen. Ez világosan látható akkor, ha M elemi sokaság, és A egy elemű atlasza M-nek: ekkor bármely N topologikus térre, és bármely f : N M szürjekcióra teljesül az, hogy minden ϕ A esetén az 1 f Domϕ halmaz nyílt N-ben, hiszen ez a halmaz egyenlő N-nel, ugyanakkor f nem szükségképpen folytonos. 1.6.2. Állítás. Legyen N topologikus tér, M sokaság, és f : M N függvény. A következő állítások ekvivalensek: i f folytonos. ii Minden ϕ ChM térképre az f ϕ 1 : Imϕ N függvény folytonos. iii Az M sokaság minden A atlaszára teljesül az, hogy minden ϕ A esetén az f ϕ 1 : Imϕ N függvény folytonos. iv Létezik olyan A atlasza az M sokaságnak, hogy minden ϕ A esetén az f ϕ 1 : Imϕ N függvény folytonos. Bizonyítás. i ii Ha ϕ ChM, akkor ϕ homeomorfizmus a Domϕ és Imϕ topologikus alterek között, tehát ha f folytonos, akkor az f ϕ 1 : Imϕ N függvény

1.6. A FOLYTONOSSÁG KRITÉRIUMAI 29 folytonos. ii iii Az M sokaság minden A atlaszára A ChM. iii iv Azért igaz, mert létezik atlasza az M sokaságnak. iv i Legyen A olyan atlasza az M sokaságnak, hogy minden ϕ A esetén az f ϕ 1 : Imϕ N függvény folytonos. Ha ϕ A, akkor ϕ folytonos sőt homeomorfizmus a Domϕ és Imϕ topologikus alterek között, tehát az f Domϕ = f ϕ 1 ϕ : Domϕ N függvény folytonos. Mivel a Domϕ ϕ A halmazrendszer nyílt befedése M-nek, így a TOP 26.4.6. b állításból következik, hogy f folytonos függvény. Legyenek M és N sokaságok, valamint f : M N függvény. Ha ϕ ChM és ψ ChN, akkor a ψ f ϕ 1 : E ϕ E ψ függvényre Domψ f ϕ 1 = {z Imϕ fϕ 1 z Domψ} = ϕ Domϕ 1 f Domψ teljesül. Az f függvény folytonosságát ezekkel a normálható terek között ható ψ f ϕ 1 alakú függvényekkel tudjuk megfogalmazni, ahol ϕ ChM és ψ ChN. 1.6.3. Állítás. Legyenek M és N sokaságok és f : M N függvény. A következő állítások ekvivalensek. i f folytonos. ii Minden ϕ ChM és ψ ChN esetén Dom ψ f ϕ 1 nyílt részhalmaza E ϕ - nek és a ψ f ϕ 1 : E ϕ E ψ függvény folytonos. iii Létezik olyan A atlasza az M sokaságnak, és létezik olyan B atlasza az N sokaságnak, hogy minden ϕ A és ψ B esetén Dom ψ f ϕ 1 nyílt részhalmaza E ϕ -nek és a ψ f ϕ 1 : E ϕ E ψ függvény folytonos. Bizonyítás. i ii Ha ϕ ChM és ψ ChN, akkor Dom ψ f ϕ 1 = ϕ Domϕ 1 f Domψ, ezért ha f folytonos, akkor ez nyílt halmaz M-ben, hiszen Domψ nyílt N-ben, így 1 f Domψ nyílt M-ben és Domϕ is nyílt M-ben, így Domϕ 1 f Domψ nyílt M-ben, tehát ennek ϕ által létesített képe is nyílt E ϕ -ben 1.5.6.. Továbbá a ϕ 1 : E ϕ M függvény folytonos és ψ : N E ψ szintén folytonos, tehát ha f folytonos, akkor a ψ f ϕ 1 : E ϕ E ψ függvény is folytonos. ii iii Triviális, mert ChM atlasza M-nek és ChN atlasza N-nek. iii i Legyen A olyan atlasza az M sokaságnak, és B olyan atlasza az N sokaságnak, hogy minden ϕ A és ψ B esetén Dom ψ f ϕ 1 nyílt részhalmaza E ϕ -nek és a ψ f ϕ 1 : E ϕ E ψ függvény folytonos.

30 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK, DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK Legyen ψ B rögzítve. Ha ϕ A, akkor a hipotézis szerint a Dom ψ f ϕ 1 = ϕ Domϕ 1 f Domψ halmaz nyílt E ϕ -ben, és részhalmaza az Imϕ E ϕ nyílt halmaznak, így nyílt az Imϕ topologikus altérben is, következésképpen Domϕ 1 f Domψ nyílt a Domϕ topologikus altérben, hiszen ϕ homeomorfizmus a Domϕ és Imϕ topologikus alterek között 1.5.6.. Mivel minden ϕ A esetén Domϕ nyílt M-ben, így Domϕ 1 f Domψ nyílt M-ben is. Ebből 1.5.9. alapján következik, hogy 1 f Domψ nyílt részhalmaza M-nek. Továbbá, minden ϕ A esetén ψ = ψ f ϕ f Domϕ 1 ϕ folytonos, mert a hipotézis szerint 1 f Domψ a ψ f ϕ 1 : E ϕ E ψ függvény folytonos. Mivel a Domϕ 1 f Domψ halmazrendszer nyílt befedése az 1 f Domψ nyílt topologikus altérnek, így TOP 26.4.6. 1 b alapján a ψ f : f Domψ E ψ folytonos függvény. Ebből 1.6.1. alapján következik, hogy f folytonos. 1.6.4. Állítás. Legyenek M és N sokaságok, és f : M N folytonos függvény. Ekkor minden a M ponthoz, és az a pont minden U könyezetéhez, és minden ψ Ch fa N térképhez létezik olyan ϕ Ch a M térkép, hogy Domϕ U és f Domϕ Domψ. Bizonyítás. A Domψ halmaz környezete fa-nak N-ben a sokaság-topológia szerint, és f folytonos a-ban, ezért 1 f Domψ környezete a-nak M-ben sokaság-topológia szerint. Ezért az U 1 f Domψ halmaz is környezete a-nak M-ben sokaság-topológia szerint. Legyen Ω olyan nyílt halmaz M-ben, amelyre a Ω U 1 f Domψ. A sokaságtopológia definíciója szerint létezik olyan ϕ ChM, hogy a Domϕ Ω. Ha ϕ ilyen térkép, akkor ϕ Ch a M és Domϕ U és f Domϕ Domψ. ϕ A 1.7. Morfizmusok és izomorfizmusok sokaságok között Legyenek M és N sokaságok, valamint f : M N függvény. Az f függvény simasági tulajdonságait a ψ f ϕ 1 alakú, normálható terek között ható függvényekkel tudjuk megfogalmazni, ahol ϕ ChM és ψ ChN. 1.7.1. Definíció. Legyen M C r -osztályú sokaság, és N C s -osztályú sokaság. Az f : M N függvényt C k -osztályú morfizmusnak nevezzük M és N között, ha k N vagy k =, és k minr, s, és minden ϕ ChM és ψ ChN esetén a ψ f ϕ 1 : E ϕ E ψ függvény C k -osztályú. Az M és N sokaságok között ható C k - osztályú morfizmusok halmazát C k M; N jelöli.