Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \ segítségével! Igaz-e, hogy végtelen sokfélekképen kifejezhető? 3. Jelölje P (A) az A halmaz hatványhalmazát, azaz P (A) := {B : B A}. a.) Van-e olyan bijekció, ami P (N) és a végtelen {(ε 1, ε 2,..., ε i,... ) : ε i {0, 1}} között képez? b.) Igazoljuk, hogy ha X véges, akkor P (X) = 2 X! 4. (Russel paradoxon) Van-e olyan A halmaz, melyre a B := {a A : a a} A? 5. Mely elemek alkotják az A B C halmazt? 1. Biz. be, hogy A B a.) A B = B, b.) A \ B = { } 2. Mely elemek alkotják az A 1 A 2 A n halmazt? 3. Fejezzük ki a műveletet a és segítségével! 4. Fejezzük ki a \ műveletet a és segítségével! 1

5. Fejezzük ki a műveletet a és segítségével! 6. Igazoljuk, hogy bármely A, B, X, Y halmazokra a.) (A B) c = A c B c, b.) (X Y ) c = X c Y c c. Az a.) és b.) állítások ekvivalensek! 7. Igaz-e, hogy P ( α A α ) = α P (A α )? 2

2. Hét 1. Van-e olyan {A α } αr halmazrendszer, melyre α β esetén A α A β és a.) α A α = R, b.) α A α R 2. Biz.be, hogy ha A A = B B, akkor A = B 3. Legyen I egy tetszőleges halmaz, {A i } i I ; {B i } i I halmazrendszerek és tegyük fel, hogy létezik X, melyre i I; A i X = B i megoldható. Biz. be, hogy ekkor i, j I; A i B j B i! 4. Legyenek X, Y véges halmazok. Hány függvény vezet X-ből Y -ba? 5. Legyenek X, Y R véges halmazok. a.) Hány monoton növő függvény vezet X-ből Y -ba? b.) Hány szigorúan monoton növő függvény vezet X-ből Y -ba? 6. Adjunk meg bijekciót Z és N halmazok között! 7. Adjunk meg bijekciót a (0, 1) nyílt intervallum és R között! 8. Adjunk meg bijekciót a (0, ) és a [0, ) intervallumok között! Jelölés: ℵ 0 jelöli a természetes számokkal, c a valós számokkal ekvivalens halmazok számosságát ("c számosság") 1. Legyen A = ℵ 0 és B egy végtelen halmaz. Biz.be, hogy A B B! 2. Biz. be, hogy ℵ 0 sok ℵ 0 számosságú halmaz egyesítése is ℵ 0 számosságú! 3. Az N halmaz összes véges részhalmazainak a halmaza ℵ 0 számosságú! 4. Adjunk bijekciót a (0, 1) és [0, 1) halmazok között! 5. Az R nyílt intervallumainak páronként diszjunkt halmazrendszerének a számossága véges vagy ℵ 0 számosságú! (Azaz ha A α A β = { }; α β; α, β Ω és A α nyílt halmaz α Ω, akkor Ω véges vagy = ℵ 0 ) 6. Az összes természetes számokból álló konvergens sorozatok halmaza ℵ 0 számosságú! 3

3. Hét 1. Ha A számossága ℵ 0, B A és B végtelen halmaz, akkor B számossága is ℵ 0. 2. Bizonyítsuk be, hogy létezik injketív leképezés az algebrai számok A halmaza és az egész együtthatós polinomok P halmaza között. 3. Legyen egy p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 ; a i N polinom normája N p = n + a n + a n 1 + + a 1 + a 0. a.) mi az n 0 minimuma N p -nek? b.) Legyen A n := {p(x) : N p = n}; n n 0 Mutassuk meg, hogy n A n = A c.) Bizonyítsuk be, hogy A = ℵ 0 4. Legyen E = {(ε 1, ε 2,..., ε i,... ) : ε i {0, 1}}. Bizonyítsuk be, hogy E = c. 5. Bizonyítsuk be, hogy P (N) = c. 6. Tekintsük az origóból induló és oda visszaérkező véges lépésszámú sétákat mely szomszédos rácspontról szomszédos rácspontra lép (négyféle irány). Listázzuk ezeket a sétákat egy S halmazba. S =? 1. Legyen Z = {{a n }} az olyan végtelen sorozatok halmaza, melyre a 1 = 1 és bármely n > 0 esetén a n+1 a n {π, e} (e = 2, 7172... ). Bizonyítsuk be, hogy Z = c. 2. Legyen e a sík egy egyenese és legyen K azon körök egy halmaza, melyre igaz, hogy P e egyenes minden pontjához található k K melyre k P -ben érinti e-t. Bizonyítsuk be, hogy k 1, k 2 K, melyekre k 1 k 2 > 2. 3. Legyen V valós számok egy halmaza, V = ℵ 0. Bizonyítsuk be, hogy α R melyre (V + α) V. 4. Legyen B valós sík egy olyan halmaza, melyre b, b B a b, b távolság racionális szám. Bizonyítsuk be, hogy B = ℵ 0. 5. Egy rabló a sík egy racionális meredekségű, origóból induló egyenesén menekül az 0 = (0, 0) pontból indulva az egyenes legközelebbi egész koordinátájú pontjára lépve mindig egy irányban. Alef őrmester el szeretné fogni a rablót. Adjunk tanácsot az őrmesternek, hogy sikerrel járjon! 6. Legyen C = {(x, y) : x + y, xy Q} (Q a racionális számok halmaza). Igazoljuk, hogy C = ℵ 0! 4

4-5. Hét Kulcsszavak: Számosságok rendezése, Bernstein-tétel, kiválasztási axióma, műveletek számosságokkal Kiválasztási axióma Legyen I tetszőleges halmaz és {A i : i I} (A i bármely i-re). Ekkor létezik olyan f függvény, melyre D f = I és f(i) A i. 1. Adott a síkon ℵ 0 sok egyenes. Bizonyítsuk be, hogy egyesítésük nem fedi le a síkot! 2. Adott {P 1, P 2,..., P n,... } megszámlálhatóan végtelen sok pont a síkon. Bizonyítsuk be, hogy van olyan Q síkbeli pont, melyre igaz, hogy bármely i j esetén P i Q távolság különbözik P j Q távolságtól. 3. A ravaszabb rabló esete: valamely rácspontból indul egyenletesen mozgó egyenletes mozgással rácspontból rácspontba lépve. Adjunk most is tanácsot az őrmesternek, hogy sikerrel járjon! 4. Mutassuk meg, hogy a (0, 1) szakasznak ugyanannyi pontja van, mint a (0, 1) (0.1) nyílt négyzetnek! 1. Mutassuk meg, hogy a (0, 1) szakasznak ugyanannyi pontja van, mint a (0, 1) (0.1) (0, 1) nyílt kockának! 2. Számosságok összeadásánál láttuk, hogy olyan halmazrendszerre van szükségünk, melynek halmazai páronként diszjunktak. Igaz-e,hogy minden {A i : i I} halmazrendszerhez van olyan {A i : i I} halmazrendszer, melyre i I A i A i és {A i : i I} halmazai páronként diszjunktak? 3. Legyenek a, b, c számosságok. Bizonyítsuk be, hogy a(b + c) = ab + ac! 4. Bizonyítsuk be, hogy 2 ℵ 0 = c 5.Igaz-e: ha a < b, akkor a c < b c, ahol a, b, c számosságok és c 0? 5

6. Hét Kulcsszavak: Műveletek számosságokkal, rendezett halmaz Bizonyítsuk be, hogy 1. Bármely k N egészre: a.) ℵ k 0 = ℵ 0 ; b.) c k = c Határozzuk meg: 2. ℵ 0 + ℵ 0 ; ℵ 0 ℵ 0 ; ℵ 0 + c; c c számosságokat 3. ℵ ℵ 0 0 ; c ℵ 0 ; ℵ c 0; c c számosságokat. Bizonyítsuk be a következő állításokat: 4. {f f : R R; f folytonos} = c 5. {f f : R R} > c 1. Bizonyítsuk be, hogy ha X R; R > ℵ 0, akkor X-ből kiválasztható egy végtelen szigorúan monoton csökkenő sorozat. Igaz-e, a fenti állítás, ha R = ℵ 0? 2. Legyen Ξ a N permutációinak a halmaza. Ξ =? 3. Legyen Θ a Q permutációinak a halmaza. Θ =? A 7. hét a zh hete 6

8-9. Hét Kulcsszavak: Rendezett halmaz fogalma, rendtípus, jól rendezett halmaz, rendszám. Műveletek rendezett halmazokkal. 1. Adjunk meg a N számok halmazán olyan rendezést, amelyiknek a.) Nincs legkisebb eleme, de van legnagyobb eleme b) Nincs legkisebb eleme, nincs legnagyobb eleme c.) Van legkisebb eleme, van legnagyobb eleme 2. Adjunk meg a természetes számok halmazán a.) ω + k; k N b.) ω + ω c.) ω + ω + ω d.) ω 2 e.) ω 3 rendezést! 3. Adjunk meg a természetes számok halmazán ω k (k N) rendezést! 4. Definiáljuk az ω ω rendezést így: ω ω = k ωk. Adjunk meg a természetes számok halmazán ω ω rendezést! 5. Hogy definiálná ω ω+1 -et? 6. Bizonyítsuk be, hogy egy halmaz akkor és csak akkor jól rendezett halmaz, ha nem tartalmaz ω rendtípusú részhalmazt! 7. Bizonyítsuk be, hogy jól rendezett halmazok jól rendezett halmazának az összege jól rendezett halmaz. 8. Adjunk meg a (0, 1) Q (a (0, 1) racionális pontjai) halmaznak olyan rendezését, melyben minden nem üres részhalmaznak van legkisebb eleme! 1. Adjunk meg N 2 halmazon ω rendszámú rendezést! 2. Adjunk meg N 2 halmazon ω + k (k N) rendszámú rendezést! 3. Adjunk meg N 2 halmazon ω + ω rendszámú rendezést! 4. Adjunk meg N 2 halmazon ω 2 rendezést! 5. Rendszám-e ω 2? 6. Adjunk meg a pozitív racionális számok halmazán ω 2 rendezést! 7

7. Legyen P a másodfokú valós polinomok halmaza. Adjunk meg e halmazon ω 3 rendezést! Erendezés szerint jól rendezett lesz-e a halmaz? 8. Legyen f : R R olyan függvény, melyre x, y R teljesül, hogy f(x + y) = f(x) + f(y). Bizonyítsuk be, hogy f(x) = cx teljesül: a.) a természetes számok halmazán, b.) az egész számok halmazán, c.) az x = 1 q alakú számok halmazán (azaz f(1 q ) = c 1 q ) d.) a racionális számok halmazán. 9. Bizonyítsuk be, hogy az f(x) = x 2 függvény nem áll elő két periódikus függvény összegeként! 8

11. Hét Kulcsszavak: Minden vektortérnek van bázisa, Hamel bázis. elemei, kijelentések, unér és binér műveletek. T KNF n, T DNF n Logika 1. Igazoljuk, hogy az és műveletek disztributívak (azaz A (B C) = (A B) (A C) ill. A (B C) = (A B) (A C) ) 2. Bizonyítsuk be, hogy A B = (A B) (B A). 3. Igazoljuk, hogy a mod 2 összeadás azonos a "kizáró vagy" függvénnyel. 4. Bizonyítsuk be, hogy egy n változós f függvényre D f = 2 n. Hány n változós f függvény van? 5. Írjuk fel az ((A B) C) B) C kifejezést az A, B, C változók és negáltjaik ill. a és műveletek segítségével. 6. Legyen f(a 1, A 2,..., A n ) egy n változós logikai függvény. Bizonyítsuk be, hogy f(a 1, A 2,..., A n ) = f(a 1, A 2,..., i) A n f(a 1, A 2,..., h)a n. A 12. hét a II. zh hete 9