A BEFOGÁS STABILITÁSA A KORLÁTOZOTT HÁROMTEST- PROBLÉMÁBAN FRÖHLICH GEORGINA Eötvös Loánd Tudományegyetem Temészettudományi Ka Fizika, Csillagász szak Témavezető: D. Édi Bálint tanszékvezető egyetemi taná ELTE TTK Csillagászati tanszék Budapest, 004.
Tatalomjegyzék Bevezetés........................................................... 5. I. Fejezet - Elméleti hátté........................................ 7. I.. Az általános n-test pobléma..................................7. I.. A kö kolátozott háomtest-pobléma........................9. II. Fejezet - A kíséőbefogás dinamikája......................3. II.. A peiodikus pályák.........................................3. II.. Egyensúlyi megoldások..................................... 7. II.3. Reguláis és kaotikus mozgás............................... 3. III. Fejezet - A szimuláció....................................... 43. III.. A negyedendű Runge-Kutta-módsze.....................43. III.. A Bulisch-Stoe-módsze.................................. 45. IV. Fejezet - Numeikus eedmények......................... 49. IV.. Vizsgálatok Runge-Kutta-módszeel......................49. IV.. Vizsgálatok Bulisch-Stoe-módszeel.................... 53. V. Fejezet - Konklúzió...........................................57. Iodalomjegyzék................................................. 59. 3
Bevezetés A befogás jelensége endkívül fontos az üstökösök, kisbolygók, holdak és műholdak mozgásának tanulmányozásako különösképpen a Napendsze legnagyobb planétája, a Jupite esetében. A kisbolygók eloszlásának fő jellegzetességei a Jupiteel való középmozgásezonanciákhoz kapcsolódnak: a 3/-es és az /-es ezonanciánál csopotosulások vannak, az előbbinél a Hilda-csopot, az utóbbinál pedig a Tójai kisbolygók; a 3/, 5/, 7/3 és /-es ezonanciáknál minimumok vannak az eloszlásban, ezek a Kikwood-zónák. A Tójai kisbolygók mozgása igen édekes. A Nap-Jupite endsze L 4 és L 5 Lagange-pontjai köül libációs mozgást végeznek. Eedetüke több elmélet is létezik, az egyik szeint a Jupite kialakulása soán befogott bolygókezdemények (planetezimálok) maadványai. Egy másik elképzelés szeint üstökösök is befogódhatnak e pályáka, ahogy ezt például a P/Slaughte-Bunham-üstökösől feltételezik (A. Mobidelli, A. Giogilli, 990). A Jupite külső holdjai elnyúlt, etogád pályájukkal eősen üstököse hasonlítanak, ezét feltételezik, hogy az ilyen ieguláis bolygókíséők befogásból számaznak (egyébként ee a Titon a legnagyobb példa a Napendszeben) (G. P. Kuipe, 96). Numeikus szimulációval má felfedték a befogás dinamikáját a következőknél: P/Gehels 3, P/Otema és P/Helin-Roman-Cockett (A. Bunini, 996). A következő ábán a jelenlegi, belső Napendsze-beli kisbolygó- és üstököseloszlás látható (C. Ronan, 998): 5
A legstabilabb befogása szép példa a daabjaia hullott Shoemake-Levy-9- üstökösnek a Jupitebe töténő becsapódása 994. júliusában. A befogás stabilitásával az elmúlt évtizedekben kezdtek el foglalkozni a csillagászok. A. Bunini 996-os cikkében különböző befogási típusokat definiált (A. Bunini, 996). A. Causi, E. Pozzi és G. B. Valsecchi a szoos megközelítés és az időszakos befogás jelenségét vizsgálták numeikus szimulációval (A. Causi, E. Pozzi, G. B. Valsecchi, 979). R. B. Hunte, M. Hénon, J. M. Bailey, T. A. Heppenheime és A. Bunini a Jacobi-állandót használták a stabilitás kitéiumának (A. Bunini, 996). M. Muison a diekt iányú pályák fázisteének homoklinikus pontjaival foglalkozott (M. A. Muison, 989a). E. Belbuno és B. G. Madsen hosszúpeiódusú üstökösök vizsgálata soán megfogalmazták a stabil befogás definícióját (E. Belbuno, B. G. Madsen, 997). Szenkovits Feenc és tásai feltéképezték a befogási tatományt polákoodináta-endszeben, s eedményeiket az Otema-üstökös pályájának modellezésée használták (F. Szenkovits, Z. Makó, I. Csillik, A. Bálint, 00). Dolgozatomban a Jupite befogási tatományainak topológiáját táom fel a kö kolátozott háomtest-pobléma modelljét használva (s numeikus szimuláció segítségével), majd az általános n-test pobléma segítségével figyelembe veszem a Jupite-pálya inklinációját és excenticitását is, valamint a Szatunusz petubáló hatását. 6
I. Fejezet Elméleti hátté I.. Az általános n-test pobléma Az égi mechanika alapfeladata: hatáozzuk meg n számú pontszeű égitest mozgását, ha ájuk csak a Newton-féle kölcsönös gavitációs vonzóeők hatnak! Jelölje a tömegpontokat P P,..., tömegüket m m,..., m! Legyen P helyvektoa egy Oxyz ineciaendszeben Pi tömegponta a Pj gavitációs tövény alapján:, P n, n i i, deékszögű koodinátái ( xi, yi, zi)! A (j i) által kifejtett gavitációs vonzóeő a Newton-féle F ij = k m m i j ij ij ij, ahol =, ij j i ij = ij = ( x j x ) i + ( y j y ) i + ( z j z ) i, [ ] 3 M A k = 0.07009895 T a Gauss-féle gavitációs állandó, és az eő iányát a P -ből a P felé mutató A Pi -e ható i F i eő az j egységvekto adja. F ij -k összegzésével adódik ij ij F i = k n j = m m i j 3 ij ij. Az n-test pobléma Newton-féle mozgásegyenletei így n m im j m & i i = k, 3 ij i=,,,n, j = ahol a pont a t idő szeinti deiválást jelenti. Az égi mechanikában szokásos ij U = k n n i= j = m m i ij j 7
eőfüggvényt bevezetve, a mozgásegyenletek komponensekben az U U m & ix i =, m && yi =, mi& z i x y i i = U z i alakban íhatók. Ezek 3n számú közönséges másodendű diffeenciálegyenletet jelentenek a meghatáozandó x ( t), y ( t), z ( t) függvények számáa. A fenti i i diffeenciálegyenlet-endsze így 6n-ed endű. Megoldásának legkézenfekvőbb módja első integálok keesése. Integálásához 6n első integála lenne szükség, mely összesen 6n tetszőleges állandót tatalmaz. Általános megoldása ezen integálokból lenne kifejezhető a t idő és a 6n tetszőleges állandó függvényeként. Az n-test poblémáa iányuló kutatások középpontjában hosszú időn keesztül a megfelelő számú első integál keesése állott. A talált tíz első integál felhasználásával a mozgásegyenletek egy (6n-0)-ed endű diffeenciálegyenletendszee tanszfomálhatók. n= esetén az új endsze másodendű, mely egyszeűen integálható. n=3 esetén a edukált endsze 8-ad endű, melynek integálásához további első integálok lennének szükségesek. Sokáig póbálkoztak újabb első integálok keesésével, mígnem H. Buns bebizonyította, hogy a háomtest-poblémának nem létezik a tíz klasszikus integáltól független algebai első integálja (mely a koodináták és sebességek algebai függvénye lenne). Poincaé kimutatta, hogy a háomtest-poblémáa olyan tanszcendens első integálok sem léteznek, melyek a változók egyétékű függvényei lennének. Buns és Poincaé eedményeit P. Painlevé általánosította az n-test poblémáa. Ezek az eedmények véget vetettek az n-test pobléma integálásáa iányuló póbálkozásoknak. Ha ugyanis találnának további első integálokat, azok olyan bonyolultak lennének, hogy a mozgásegyenletek edukálásáa nem lennének alkalmazhatók. Ezét aztán napjainkban numeikus módszeekkel nagyságendekkel pontosabban meg lehet hatáozni a mozgásegyenletek megoldását (B. Édi, 996). i 8
I.. A kö kolátozott háomtest-pobléma A befogás jelenségét előszö a síkbeli kö kolátozott háomtest-pobléma (KHTP) modelljével vizsgáltam. A tömegközépponthoz ögzített fogó koodináta-endszeben a Napnak és a Jupitenek fix helye van, s a hamadik égitest hozzájuk képesti mozgását tanulmányozzuk: A két elsődleges komponens P (Nap) és P (Jupite), tömegük m és m. Ezek a kölcsönös vonzás következtében köpályán mozognak (a Jupite peiódusa a tömegközéppont köül π, a középmozgása ). A hamadik test (P 3 ) tömege elhanyagolhatóan kicsi a többiéhez képest. Ekko a hamadik test mozgásegyenletei a következők (Gy. Szebehely, 967): && x y& = && y + x& = Ω, x Ω, y ahol: Ω = = = [( µ ) + µ ] ( x µ ) ( x + µ ) m µ = m + m, + y, + y µ µ + +, Ω a potenciál, a hamadik égitest Naptól, a Jupitetől mét távolsága, µ pedig a tömegpaaméte (Nap-Jupite endsze esetén µ=9,53875533 0-4 )., 9
Ezekből kapjuk a Jacobi-integált: x& + y& = Ω C, ahol C a Jacobi-állandó (B. Édi, 996). Az Ω függvényt a kezdeti helykoodináták függvényében C > C étéke (C az L Lagange-ponthoz tatozó C éték /lásd később/) a következő ábán láthatjuk (http://www.physics.conell.edu/sethna/teaching/sss/jupite/web/rest3bdy): Az előző összefüggésekkel ekvivalensek a következő egyenletek (A. Machal, 990): x& = u, y& = v, Ω u& = v +, x Ω v& = u +. y Polákoodinátákkal felíva: x = cosϕ + µ, y = sinϕ, =. 0
Ezekből: ( ) ( ) ( ). cos, sin, cos, sin cos, sin cos 3 3 3 3 3 3 ϕ µ µ ϕ µ µ µ µ µ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ u v v u v u u v + = + = + + + = + = = & & & & És a kezdeti feltételek: ( ) ( ), 0, 0 0 0 ϕ = ϕ =. cos, sin 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ϕ ϕ ϕ ϕ & & & & v u + = + =
II. Fejezet - A kíséőbefogás dinamikája II.. A peiodikus pályák A peiodikus pályák vizsgálata az égi mechanika egyik legfontosabb kutatási teülete. A peiodikus pályák jelentőségét az adja, hogy egy nem integálható dinamikai endsze esetén gyakolatilag egyedül ez a fajta megoldás hatáozható meg aánylag könnyen, és ez szolgáltat infomációt a endsze mozgásáól minden időponta. Ez az oka annak, hogy miét tett G. H. Dawin, F. R. Moulton és E. Stömgen (F. R. Moulton, 94) a kutatások koai szakaszában olyan nagy eőfeszítéseket peiodikus pályák numeikus meghatáozásáa, jóllehet abban az időben az összes számítást kézzel végezték. Később, a számítógépek megjelenésével ezeket a koai munkákat újaszámították, javították, és igen sok új peiodikus pályát is meghatáoztak. A legutóbbi időkig majdnem minden munka a kolátozott háomtestpobléma peiodikus megoldásaia iányult. A peiodikus megoldások jelentőségét má Poincaé felismete, aki szeint a háomtest-pobléma egyedül a peiodikus megoldásokon keesztül ismehető meg. Poincaé híes sejtése is a peiodikus megoldások fontosságát hangsúlyozza: ha adott a kolátozott háomtest-pobléma egy patikuláis megoldása, ehhez mindig található egy peiodikus megoldás (általában igen hosszú peiódussal) úgy, hogy a két megoldás között az eltéés tetszőlegesen kicsi legyen bámely adott hosszúságú időintevallumban. K. Schwazschild megfogalmazásában: a fázisté bámely pontjának tetszőlegesen szoos könyezetében van olyan pont, amely peiodikus pályát epezentál. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges kezdőfeltételek kis módosítással peiodikus pályát eedményezhetnek, melynek általában igen hosszú a peiódusa. Így a peiodikus pályák efeencia-pályaként használhatók. Ee az első példát G. W. Hill (878) szolgáltatta, aki a Hold mozgáselméletét a kolátozott háomtestpobléma egy általa meghatáozott peiodikus megoldásáa, a Hill-féle vaiációs pályáa alapozva dolgozta ki. Egy dinamikai endsze mozgása peiodikus, ha ugyanaz a konfiguáció szabályos időközönként ismétlődik. A peiodicitás nem abszolút (fizikai) tulajdonság, függ a koodináta-endszetől, amelyben a mozgást vizsgáljuk. Ha például a dinamikai poblémát a Poincaé-leképezéssel (lásd később) epezentáljuk, a dinamikai endsze tulajdonságai a leképezés tulajdonságai alapján vizsgálhatók. Ekko a endsze peiodikus mozgása egyszeűen a metszésfelület bizonyos pontjainak invaianciáját jelenti a leképezés soán (peiodikus mozgás esetén a fázistajektóia a metszésfelületet ugyanazokban a fixpontokban metszi). A kolátozott háomtest-pobléma peiodikus megoldásainak első endszees, numeikus vizsgálatát a koppenhágai obszevatóiumban végezték 93-939 között, E. Stömgen iányításával. A tömegpaaméte µ = / volt, ez 3
az ún. koppenhágai pobléma. A peiodikus mozgások Stömgen-féle osztályozása: a, Retogád peiodikus pályák L 3 köül diekt pályák nem léteznek. b, Retogád peiodikus pályák L köül diekt pályák nem léteznek. c, Retogád peiodikus pályák L köül diekt pályák nem léteznek. d, Peiodikus pályák L4 köül - µ = 0. 5 -e nem léteznek. e, Peiodikus pályák L5 köül - µ = 0. 5 -e nem léteznek. f, Retogád peiodikus pályák P köül. g, Diekt peiodikus pályák P köül. h, Retogád peiodikus pályák P köül. i, Diekt peiodikus pályák P köül. k, Peiodikus pályák P és P köül a mozgás diekt a fogó koodinátaendszeben. l, Peiodikus pályák P és P köül a mozgás etogád a fogó, diekt a nyugvó koodináta-endszeben. m, Peiodikus pályák P és P köül a mozgás etogád mind a fogó, mind a nyugvó koodináta-endszeben. n, Retogád, az y tengelye aszimmetikus peiodikus pályák. o, Retogád peiodikus pályák, melyek az y tengelye aszimmetikusak, és amelyek két aszimptotikus-peiodikus pálya által hatáolt családot alkotnak., Retogád peiodikus pályák, melyek az y tengelye szimmetikusak, és amelyek két aszimptotikus-peiodikus pálya által hatáolt családot alkotnak. Az a, b, c, osztályokat az,, L pontok köüli infinitezimális peiodikus L L 3 pályák geneálják. Az amplitúdó növekedésével az osztály meghatáozásában szeeplő köül hatáozószó évényét veszti, ez szigoúan csak az infinitezimális geneáló pályáka évényes. Az f, g, h, i, osztályok is a P vagy P köüli infinitezimális pályákból számaznak. A k, l, m, osztályokban a peiodikus pálya mindkét tömegpontot átfogja. Az n, osztályú pályák a c, osztályhoz kapcsolódnak, de nem az L köüli infinitezimális pályákból eednek. Mivel µ = 0. 5 esetén L 4 és instabil, nincsenek és L köüli infinitezimális peiodikus pályák. Léteznek L5 L4 5 viszont ezen pontokat spiálisan megközelítő, vagy tőlük távolodó aszimptotikus pályák. Stömgen aszimptotikus-peiodikus pályáknak nevezte azokat az aszimptotikus pályákat, amelyek az x tengelyt meőlegesen metszik (ötöt talált ilyenekből) (B. Édi, 996). Az alábbi ábán egy Jupite köüli peiodikus pálya látható (W. S. Koon, M. W. Lo, J. E. Masden, S. D. Ross, 00). Jól látszik, hogy a kisbolygó a mozgása soán nem hagy el egy Jupite köüli kis tatományt. 4
A következő háom ábán peiodikus pályák vannak - nomáltében (konfiguációs tében), a szaggatott vonal a zéó-sebességű göbe (lásd később). Az utolsó két ábán a Jupite ( van a középpontban. P ) 5
Kvázipeiodikus (önmagába nem záódó) pályák Nap-Jupite tömegpaaméte esetén: 6
II.. Egyensúlyi megoldások Keessük a KHTP mozgásegyenleteinek x & = y& = 0, && x = & y = 0 feltételeket kielégítő egyensúlyi megoldásait. Ilyen megoldás létezéséhez az szükséges, hogy Ω x = 0, Ω y = 0 legyen. Az ilyen pontokban tehát a hamadik test nyugalomban van (a fogó koodináta-endszeben). A potenciálfüggvény jelentéséből következik: Ω x Ω y µ µ = x ( x µ ) ( x + µ ), 3 3 µ µ = y y y. 3 3 Az egyensúlyi megoldásokat adó egyenletek így: µ µ x + 3 3 µ µ y = 0. 3 3 ( µ ) µ µ ( µ ) 3 3 = 0, A második egyenletből következik, hogy vagy y=0, vagy y 0 és µ µ = 0. 3 3 Az utóbbi esetben az első egyensúlyi egyenletből következik, hogy =. Ezt az előzőbe íva kapjuk, hogy = =. A hamadik test tehát P -től és P -től egységnyi távolságban van. Mivel azonban P és P egymástól való távolsága is, a háom test egyenlő oldalú háomszög csúcsait alkotja. -at -hez és P -höz P3 P képest kétféleképpen lehet egy egyenlő oldalú háomszög hamadik csúcsába elhelyezni, így az y 0 esetben két egyensúlyi megoldás létezik. A következő ábán ezek az, L Lagange-pontok (G. Föhlich, 003). Deékszögű koodinátáik: L4 5 3 :,, 4 3 L µ :,. 5 L µ 7
Az y=0 esetben = x µ, = x + µ, így: µ µ x µ 3 x µ x + µ ( x µ ) ( x + ) 0. 3 = Ennek az egyenletnek a megoldása iteációval töténik, és attól függ, hogy x a, P pontok koodinátáihoz képest milyen étékeket vesz fel: i, x<µ-: ebben az esetben az x tengelyen P -nek a P -gyel átellenes oldalán vagyunk. Az ennek megfelelő egyensúlyi megoldás közelítő helyzetét a fenti ábán az L Lagange-pont jelöli. ii, µ-<x<µ: ebben az esetben az x tengelyen P és P között vagyunk. A megfelelő egyensúlyi megoldás közelítő helyzetét a fenti ábán az L Lagange-pont jelöli. iii, µ<x: ebben az esetben az x tengelyen P -nek a P -vel átellenes oldalán vagyunk. A megfelelő egyensúlyi megoldás közelítő helyzetét a fenti ábán az Lagange-pont jelöli. L 3 Édemes megjegyezni, hogy az alkalmazások szempontjából fontos kis µ étékek esetén és a közelében, annak két oldalán, míg a -nek a P - L L P L3 P vel átellenes oldalán, kb. egységnyi távolsága helyezkedik el. A következő két ába (http://www.geom.umn.edu/~megaw/cr3bp_html) az L és L pontok tébeli helyzetét szemlélteti (a pios egyenes az x, a zöld az y tengely, melyeken a hatás- és szögváltozók vannak, a színes alakzatok pedig a KAMtóuszok /lásd később/): P 8
A Lagange-pontok stabilitása: i, Az L, L, L3 Lagange-pontok lineáisan instabilak. (Speciális kezdőfeltételeke azonban találhatók infinitezimálisan kis peiodikus megoldások ezen pontok köül, melyek az amplitúdó növelésével peiodikus pályacsaládokká folytathatók.) ii, Az L4, L5 Lagange-pontok lineáisan stabilak, ha 0< µ < µ0 = 0.0385..., instabilak, ha µ0 µ 0.5. iii, A Lagange-pontok nemlineáis stabilitásával kapcsolatban a következőket lehet mondani. A Lagange-pontok nemlineáisan instabilak azokban az esetekben, amiko lineáisan instabilak. Az L4, L5 pontok azonban nemlineáisan is stabilak a 0< µ < µ0 = 0.0385... tatományban két µ = 0.035606... és µ = 0.0493897... tömegpaaméte-éték, kivételével. Tehát elegendően kis tömegpaaméte esetén lehetséges az L4, L5 Lagangepontok köül kis amplitúdójú libációs mozgás, s ez a temészetben meg is valósul. A nevezetes Tójai kisbolygókon kívül más példák is ismeetesek. A Nap-Mas endsze L5 pontja közelében fedezték fel 990-ben az Eueka kisbolygót. A Szatunusz-Dione (bolygó-hold) endszeben az L4 pont közelében található a kisméetű Helena hold, a Szatunusz-Tethys endszeben pedig az L4 pontnál a Telesto, az L5 -nél a Calypso. A Janus-Epimetheus holdpá a kolátozott háomtest-pobléma egy másik nevezetes speciális megoldását valósítja meg: az 9
egyik holddal együtt fogó koodináta-endszeből nézve a másik hold pályája közelítőleg lópatkó alakban fogja köze az,, L Lagange-pontokat. A Nap L4 L3 5 megfigyelését végző SOHO űszondát a Nap-Föld endsze L Lagange-pontja köüli speciális pályáa állították (ez a pont a Nap és a Föld közé esik). Megjegyezzük még, hogy K. Kodylewski 96-ben a Föld-Hold endsze, L L4 5 pontjaiban a bolygóközi anyag sűűsödését figyelte meg (Kodylewski-féle poholdak) (B. Édi, 996). A kolátozott háomtest-poblémának egyetlen első integálja létezik, a Jacobi-integál. Ez nem elég a mozgásegyenletek integálásához, azonban segítségével meghatáozhatók a mozgás számáa lehetséges és tiltott tatományok. A Jacobi-integál: x& + y& = Ω C. Mivel a bal oldalon a sebesség négyzete áll, és ez nem lehet negatív, adott C-e a mozgó test az Oxy síknak csak olyan pontjaiba juthat el, ahol Ω C. A Ω = C. egyenletű göbe tehát elválasztja egymástól a mozgás számáa lehetséges és tiltott tatományokat. Mivel a Jacobi-integál szeint a mozgó test sebessége nulláa csökken, ha a göbe valamely pontját eléi, azét a fenti egyenlet által meghatáozott alakzatot zéó-sebességű göbének nevezik. Meghatáozásukhoz az Ω( x, y) függvény tulajdonságait kell ismeni: i, Ω( x, y), ha, 0 vagy 0 ( a P3 pont távolsága az oigótól). ii, Ω ( x, y) = Ω( x, y). Ω( x, y) tehát szimmetikus az x tengelye. iii, Ω( x, y) 3, és az egyenlőség az, L pontokban teljesül. L4 5 iv, (x,0) minimumhelyei az,, L pontok. Ω L L 3 = L 4 L5 L3 L L v,.5 Ω( ) = Ω( ) Ω( ) Ω( ) Ω( ).5. Mivel Ω( x, y) minimumhelyei a Lagange-pontok, a Ω = C egyenlet megoldásainak vizsgálatánál meghatáozó szeepe van a Lagange-pontokhoz tatozó C étékeknek. Legyen C = Ω! Az v, tulajdonság alapján ( ) i L i = C C C C C 3 4 = 5 3 4.5. A következő ába µ = 0. 3 esetén mutat be zéó-sebességű göbéket C különböző étékeie (S. A. Astakhov, A. D. Bubanks, S. Wiggins, D. Faelly, 003): 0
C > C esetén a mozgás háom különálló tatományban lehetséges, ezek között nincs kapcsolat. A lehetséges és a tiltott tatományok C-től függően változnak, ebben meghatáozó szeepe van a Lagange-pontokhoz tatozó étékeknek. C csökkenésével a tiltott tatomány egye szűkül, míg végül C < C 4 esetén a mozgás az egész síkon lehetővé válik. A C > C esethez kapcsolódik a Hill-féle stabilitás. G. W. Hill vizsgálta (878), hogy a kolátozott háomtest-pobléma modelljét a Nap-Föld-Hold endszee alkalmazva a Hold ( ) el tudja-e hagyni a Föld ( P ) köüli tatományt. A Nap- P3 Föld endszeben C = 3.009, a Hold esetében C = 3.0. H Mivel CH > C, a mozgás számáa lehetséges tatományok egymástól függetlenek, így a Hold nem hagyhatja el a C H -nak megfelelő zéó-sebességű göbe által hatáolt Föld köüli zát tatományt. Sokan úgy tatják, ez az egyik bizonyítéka annak, hogy a Hold genetikusan tatozik a Földhöz, nem pedig befogásból számazik. Itt kell azonban megjegyeznünk, hogy a földpálya excenticitása nullától kissé különböző ( e = 0.06 ), az elliptikus kolátozott háomtest-poblémában pedig nem létezik a Jacobi-integál. Ekko a kezdőfeltételek alapján a mozgás számáa lehetséges tatományokat megadni nem lehet. (Megjegyezzük, hogy a Hill-féle stabilitás nem mond semmit a testek esetleges ütközéséől a zéó-sebességű göbén belül.) A Hill-féle stabilitást a Napendsze többi holdjáa is megvizsgálták. Valamennyi hold mozgása Hill-féle ételemben stabil, kivéve a Jupite négy etogád iányú mozgást végző holdját (VIII., IX., XI., XII. hold). Ez utóbbiaknál a Hill-féle stabilitás hiánya a holdak befogásos eedetét sejteti. Megjegyezzük még, hogy a Jacobi-integál a kolátozott háomtest-pobléma tébeli esetében is létezik. Ekko a mozgás számáa lehetséges tatományokat zéósebességű felületek hatáolják. A Hold mozgását például a Föld köül a C H -nak megfelelő zéó-sebességű felület hatáolja (B. Édi, 996). A Hill-gömb (C = C, szüke) könyezete és a zéó-sebességű felületek láthatók a következő ábán két C i
különböző enegiaétéke (a,: C = 3. 0380 és b,: C = 3. 000 ) a Nap-Jupite J endszeben (C. Jaffé, S. D. Ross, M. W. Lo, J. Masden, D. Faelly, T. Uze, 00): J
II.3. Reguláis és kaotikus mozgás Ha egy endsze deteminisztikus, akko ha a á ható összes eőt ismejük, akko a endsze jelenlegi állapotából ki tudjuk számítani a jövőjét és a múltját. A kéttest-pobléma mozgásegyenletei egzaktul, analitikusan megoldhatók, és ezen megoldás alapján a endsze viselkedése bámely koábbi vagy későbbi időpontban meghatáozható. Ha a háomtest-poblémát vizsgáljuk, itt má nem áll endelkezésünke analitikus megoldás, és a mozgásegyenletek numeikus integálásáa van szükség, ha a mozgást nyomon akajuk követni. Ennek soán hallgatólag feltételezzük, hogy a kezdőfeltételek ismeetében a mozgásegyenletek numeikus integálásával ki tudjuk számítani a endsze jövőbeni állapotát. Ez a feltevés azonban sajnos hamisnak bizonyult a háomtest-poblémáa, és nem évényes sok más deteminisztikus endszee sem. Ennek oka pedig az ezekben a endszeekben tapasztalható kaotikus viselkedés. A háomtest-poblémával kapcsolatos kutatásai soán Poincaé má a XIX. század végén felismete, hogy bizonyos kezdőfeltételeke a mozgás hihetetlenül bonyolult lehet, és kidolgozott olyan módszeeket, melyekkel az ilyen mozgások vizsgálhatók. Az áttöést azonban a XX. század közepén a KAM-elmélet hozta csak meg, mely A. N. Kolmogoov (954), V. I. Anold (963) és J. Mose (96) munkássága nyomán alakult ki. A KAM-elmélet mutatott á, hogy több szabadsági fokú, nemlineáis endszeekben a ezonanciák közelében a fázisté szekezete olyan bonyolult lehet, hogy azt konvegens sookkal leíni nem lehetséges. Tekintsünk előszö egy n szabadsági fokú, integálható Hamilton-endszet. Hatás- és szögváltozókat bevezetve a Hamilton-függvény H = H 0 ( J ), a kanonikus egyenletek megoldása pedig J i = állandó, Θ i = ω i t = állandó, ahol H 0 ω i = (i=,,,n). J i Azaz a hatásváltozók állandók, a szögváltozók az idő lineáis függvényei, állandó ω fekvenciákkal. Ez a megoldás tóuszfelületeken töténő mozgásként i ételmezhető ( Θ egy J sugaú kö mentén változik, e kö minden pontjában J sugáal másik kö ajzolható, és Θ e kö mentén változik, stb.). Tegyük fel, hogy az ω fekvenciák lineáisan függetlenek ( m ω 0 minden m 0 egész vektoa). i Ekko a mozgás feltételesen peiodikus, a endsze pillanatnyi állapotát jellemző fázispont a n-dimenziós fázistében egy n-dimenziós tóuszon mozog, és azt mindenütt sűűn bejája. Mivel adott kezdőfeltételek esetén a fázispont mindig ezen a tóuszon van, ezt invaiáns tóusznak nevezik. Más kezdőfeltételek más tóuszokat hatáoznak meg. Azok az n-dimenziós tóuszok, melyeken a mozgás n független fekvenciával töténik, a fázistében mindenütt sűűn vannak. A hatásváltozók étékétől függően azonban a fekvenciák között lehetnek 3
összefüggők. Ha például két szabadsági fok között ezonancia lép fel, ω ω s, i k = ahol és s elatív pímek, ilyenko csak n- független fekvencia van, és a fázispont egy (n-)-dimenziós ezonáns tóuszon mozog. Az ilyen tóuszok is mindenütt sűűn vannak. Ugyanez mondható el az n-,n-3,,, független fekvenciájú és ugyanilyen dimenziószámú ezonáns tóuszokól is. Az független fekvencia esete peiodikus megoldásnak felel meg, ekko a fázispont egy önmagába záódó, -dimenziós fázistajektóiát já be. Lényeges, hogy bá mindegyik tóusz mindenütt sűű halmazt alkot, azonban az n-dimenziós tóuszok egy teljes métékű halmazt alkotnak a fázistében, míg a ezonáns tóuszok uniójának Lebesgue-météke nulla (véletlenszeűen választott fázispont nulla valószínűséggel esik ezonáns tóusza). Egy integálható endsze viselkedése időben tetszőleges hosszan megadható, mivel a mozgásegyenletek megoldása ismet. A kezdőfeltételeket megadva meg lehet mondani, mi fog töténni. Ha a kezdőfeltételeket nem ismejük pontosan, az ebből adódó hiba az idővel lineáisan nő. Integálható endszeeknél az egymáshoz közeli fázispontokból kiinduló tajektóiák eltéése lineáisan nő. Mi töténik, ha egy integálható endszet kis petubáció é? Poincaé szeint ez a dinamika alappoblémája. A petubált endsze Hamilton-függvénye: ( J Θ) = H ( J ) + H ( J, ), H ε, 0 Θ ahol ε a petubáció eősségée jellemző paaméte, H a petubációs függvény. A dinamika alappoblémájának megoldása petubációszámítási módszeekkel nem volt lehetséges. A petubációs megoldások csak övid táva adnak jelzést a endsze viselkedéséől. A ezonanciáknál a megoldásban fellépő kis nevezők miatt a sofejtések divegensek lesznek, ezét ezek a mozgás globális viselkedéséől végtelen időintevallumban nem adnak felvilágosítást. A pobléma megoldásában meghatáozó jelentőségű a KAM-tétel: Ha egy integálható endszet kis konzevatív petubáció é (melynek függvényalakja elegendően sokszo folytonosan diffeenciálható), akko azok az invaiáns tóuszok, melyek fekvenciái lineáisan függetlenek, és elegendően iacionálisak, nem tűnnek el, csak kissé defomálódnak. Másképp fogalmazva, a petubációt a ezonanciától távoli n-dimenziós tóuszok túlélik. Ezeken a mozgás továbba is feltételesen peiodikus, ugyanazon fekvenciákkal, mint koábban. A megmaadó tóuszok azonban nem alkotnak sűű halmazt, egymástól véges távolságban vannak. Kimutatható, hogy a hatásváltozók teében a megmaadó tóuszokhoz tatozó hatásváltozók Canto-típusú halmazt alkotnak. A tóuszok közti tatományokban a mozgás kaotikus. Ez a döntő különbség az integálható és a petubált endszeek között: integálható endszeekben a mozgás eguláis, feltételesen peiodikus, petubált endszeekben a eguláis mozgások mellett kaotikus mozgások is fellépnek. A kaotikus viselkedés nem külső hatás eedménye. Deteminisztikus endszeek belső tulajdonsága a káosz. A petubált endszeek fázistee igen bonyolult, a eguláis és kaotikus tatományok bonyolultan egymásba ágyazott stuktúát alkotnak. A kaotikus tatomány jellemzője, hogy egymáshoz közeli 4
fázispontokból kiinduló tajektóiák exponenciálisan távolodnak egymástól. Kaotikus tatományban a mozgás igen ézékeny a kezdőfeltételeke, a kezdőfeltételekben lévő hiba exponenciálisan nő. Ezét ott a mozgást hosszú táva nem lehet pontosan előejelezni: az analitikus sofejtések divegálnak, a numeikus megoldások pedig a numeikus integálás eedendő hibája miatt nem adnak valós megoldást. A kaotikus viselkedés minden legalább két szabadsági fokú, nemlineáis endszeben fellép. A Napendsze sok szabadsági fokú, nemlineáis endsze, melyben számos ezonancia található. Kaotikus jelenségek így a Napendsze égitestjeinek mozgásában is fellépnek. Ezek vizsgálata az 980-as évektől az égi mechanika egyik fő kutatási teületévé vált. Bá a KAM-elmélet má az 960-as években megszületett, mégis hosszabb időnek kellett eltelnie, míg a számítástechnika fejlődése a nagy teljesítményű számítógépek megjelenésével lehetővé tette a Napendsze-beli kaotikus jelenségek vizsgálatát. Vizsgáljuk például egy aszteoida mozgását egy bolygó szomszédságában! Ha az aszteoidáa csak a Nap gavitációs vonzása hatna, mozgása tökéletesen előejelezhető lenne. A bolygótól számazó petubációk miatt azonban a fázisté bizonyos tatományai kaotikusak. Ilyen tatományokban az aszteoida mozgása előe nem kiszámítható módon megy végbe: az egyik pályán az aszteoida becsapódik a bolygóba; alig különböző kezdőfeltételű másik pályán időlegesen befogódik a bolygó köüli pályáa; a hamadik esetben a bolygó csak eltéíti azt. Ha nem ismejük pontosan a kezdőfeltételeket, előe nem tudjuk megmondani, melyik eset fog bekövetkezni. Ezt a kezdőfeltételeke való nagyfokú ézékenységet szokás pillangóeffektusnak nevezni. A fogalmat kaotikus időjáási endszeekkel kapcsolatban használták előszö: bizonyos feltételek esetén egy pillangó szánycsapásai a Föld egy pontján huikánt okozhatnak a Föld egy más észén. Édekes példát szolgáltat a (060) Chion kisbolygó. Peihéliuma a Szatunusz pályáján belül, aféliuma az Uánusz pályájához közel van. Felfedezése után, az 980-as években több kutató numeikus integálással vizsgálta a kisbolygó mozgását. A kezdőfeltételeket a legpontosabbnak tatott pályaelemek alapján számított kezdőétékek köül változtatták. Az egymáshoz közeli, különböző kezdőfeltételekkel végzett integálások azonban különböző végeedménye vezettek, ami tipikus jelenség kaotikus mozgás esetén. Így a Chion végső sosával kapcsolatban csak valószínűségi kijelentések tehetők. Eszeint /8 a valószínűsége annak, hogy a Szatunusz hatásáa a Chion olyan hipebola pályáa áll, melyen kidobódik a Napendszeből. Nagyobb, 7/8 a valószínűsége annak, hogy a Szatunusz szoos megközelítései soán elszenvedett petubációk a Chiont a Napendsze belseje felé teelik, ahol azután a Jupite gavitációs hatása alá keül majd. A Chiont ma a Centauok közé soolják. Ezek olyan objektumok, melyek átmeneti pályán vannak az Edgewoth-Kuipeövezetből a övid peiódusú üstökösök Jupite-családjába. Egy másik példaként a Shoemake-Levy-9 üstökös pályájának fejlődése említhető. Numeikus integálással végzett számítások azt mutatják, hogy a Jupitebe való becsapódása, 994. júliusa előtt 99-ben a Jupite szoos megközelítése soán szakadt daaboka. A Jupite köüli pályáa 99-ben (±9 év) 5
fogódott be. A befogás előtti pályája a többi joviális üstököséhez lehetett hasonló: a Jupite-pályán belüli, kis excenticitású pálya (B. Édi, 00). Végül pedig említsük meg az Otema-üstököst, melyet a Jupite gavitációs vonzása keített hatalmába több évtizeden keesztül! Az Otema-üstökös pályája 90-980 között az alábbi ábákon látható ((a) a pálya Ekliptikáa eső vetülete, (b) a homoklinikus-heteoklinikus lánc a fogó koodináta-endszeben /lásd később/, (c) az Otema pályája a fogó koodináta-endszeben) (Koon & al, 00): A fázistébeli vizsgálatok egy hatékony módszee a metszésfelületi módsze. Ennek lényege a következő. Adott Jacobi-állandó esetén a észecske pályája a C x, y, x&, y& = C hipefelülete kolátozódik, ahol a fázistében egy ( ) 0 kezdőfeltételek által meghatáozott éték. A négy koodináta közül elég hámat ismeni, például x, y, x& -ot, mivel a Jacobi-integálból az adott C0 -lal y& kiszámítható. A mozgást így az x, y, x& tében vizsgálhatjuk. Vegyünk fel ebben egy síkot, legyen ez például y=0, és vizsgáljuk a fázistajektóiáknak ezzel a síkkal való metszéspontjait! Minden egyes metszéspont meghatáozza a észecske pillanatnyi állapotát, hiszen egy metszéspontban x, x& -ot ismejük, az y& pedig a Jacobi- integálból kiszámítható. Mivel azonban ebben az egyenletben y& szeepel, az y& előjele lehet pozitív vagy negatív. A megoldás egyételműségéhez meg kell állapodnunk abban, hogy a fázistajektóiának az y=0 síkkal való metszéspontjai közül csak azokat tekintjük, amelyekben y& mindig ugyanazon előjelű, például y& >0. Így má mondhatjuk, hogy a metszésfelületen a metszéspontok egyételműen meghatáozzák a észecske pillanatnyi állapotát. A fázistajektóia helyett a fázistajektóiának az y=0 síkkal való metszéspontjait vizsgáljuk. Ez a Poincaé-féle metszésfelületi módsze, vagy Poincaé-leképezés. Minden egyes metszéspont, mint kezdőfeltétel, a mozgásegyenletek évén meghatáozza a következő metszéspontot, a Poincaé-leképezés tehát az x, x& sík pontjaihoz a sík más pontjait endeli hozzá, a síkot önmagáa képezi le. A pályáól minden lényeges infomáció benne van a metszéspontokban. Ez a módsze jól használható a eguláis és kaotikus mozgások szemléltetésée (B. Édi, 00). Kaotikus (pontozott) és eguláis (vonalas) tatományok a Poincaéfelületeken különböző Jacobi-állandó esetén (pogád /az impulzusmomentum>0/ pálya = kék, etogád /az impulzusmomentum<0/ pálya = pios) (S. A. Astakhov, A. D. Bubanks, S. Wiggins, D. Faelly, 003): C 0 6
A eguláis tatományokban a pályaelemek egy adott éték köül ingadoznak peiodikusan, így a metszésfelületi ábán különálló szigetek jelennek meg. Ha a ezonancia aánya n n = ( p + q) p, a szigetek száma q. Igen lényeges az a mód, ahogy a metszéspontok a szigeteket kiajzolják: a numeikus számítások tapasztalata szeint az egymást követő metszéspontok mindig a következő szigete uganak, míg a sok pont folytonos vonallá áll össze. Ha olyan kezdőétékeket választunk, amely valamelyik sziget középpontjának, és így a pontos ezonanciának felel meg, a fázistajektóia a metszésfelületet mindig a szigetek középpontjában metszi. Ezek a pontok a Poincaé-leképezés fixpontjai, melyek a mozgásegyenletek egy peiodikus megoldásának felelnek meg. A kaotikus tatományokban a pályaelemek ieguláisan változnak, viselkedésükben szabályszeűség nem lelhető fel. Önmagában azonban ez nem szükségképpen jelentene kaotikus pályát, hiszen ezek a változások elképzelhetők több, különböző fekvenciájú peiodikus tag szupepozíciójaként. A pálya kaotikussága a Poincaémetszeten válik nyilvánvalóvá. A fázistajektóiának az y=0 síkkal való metszéspontjai egy nagyobb teületen szétszótan helyezkednek el, nem alkotnak sima göbét, mint a eguláis esetben. Édemes megemlíteni, hogy bizonyos metszéspontok olyan tendenciát mutatnak, mintha hozzá akanának agadni az egyes ezonanciák hatáához. A agadósság (angol szóval stickiness) jelensége abban áll, hogy ezonanciák hatáán bizonyos kaotikus pályák hosszú ideig úgy viselkednek, mintha eguláisak lennének, ami megnehezíti ezek valódi temészetének meghatáozását. 7
A metszéspontok vizsgálata alapján a fázistajektóia tulajdonságai megállapíthatók. Ha véges számú metszéspontot kapunk, a fázistajektóia önmagában záódik, a mozgás peiodikus. A metszéspontok a Poincaé-leképezés fixpontjai. Ha a metszéspontok zát göbéket, szigeteket alkotnak, a fázispont kétdimenziós tóuszfelületen mozog, a fázistajektóia nem záódik, a mozgás feltételesen peiodikus. A tóuszok metszetei a Poincaé-leképezés invaiáns göbéi (sokaságai). Ha a metszéspontok endszetelenül, szétszótan helyezkednek el, a mozgás kaotikus. A fenti ábán az is jól látszik, hogy amíg C nagy, a Poincaé-metszetet invaiáns göbék töltik ki, a endsze viselkedése eguláis. C csökkenésével a eguláis mozgás mellett megjelenik a kaotikus viselkedés. Invaiáns göbék és egy kaotikus pálya szétszót metszéspontjai láthatók egy koábbi instabil szepaátix helyén. Kis C esetén a endsze viselkedése döntően kaotikus. Igen szemléletesen mutatja, hogyan módosul a endsze viselkedésének jellege a petubáció eősségének (amit ebben az esetben C jellemez) változtatásával. A jelenség oka az, hogy ha kisebb a Jacobi-konstans, a lehetséges mozgástatományokat hatáoló zéó-sebességű göbék közelebb helyezkednek el a petubáló égitesthez, így az elhanyagolható tömegű test is közelebb keülhet hozzá. Kisebb C esetén tehát nagyobb a petubáló hatás, ezét a mozgás kaotikusabb. Ha kicsi a petubáció, a ezonanciák egymástól elkülönülnek, a hatáoló szepaátixok miatt egyik szigetláncól a másika átjutni nem lehet, a fázispont mindig egy kolátos tatományban maad. A petubáció növekedésével a ezonanciák méete nő, a szomszédos ezonanciák átfedik egymást. Az elválasztó szepaátixok felbomlanak, a endsze egyidejűleg több ezonancia hatása alá keül, a mozgás kaotikussá válik. A fázispont a ezonanciák átfedése következtében szélesebb tatományban mozoghat, és a fázisté olyan helyeie is eljuthat, ahová a eguláis pályák nem (B. Édi, 00). A Jupite és libációs pontjainak invaiáns sokaságai (,, és U L L U U U3 4 a Poincaé-szekciók) (W. S. Koon, M. W. Lo, J. E. Masden, S. D. Ross, 00): 8
Az U Poincaé-szekció (a belső tatomány): Az U 4 Poincaé-szekció (a külső tatomány): 9
A fázisté szekezetét tehát döntően a ezonanciák hatáozzák meg. A metszésfelületen az egyes ezonanciáknak megfelelő stabil és instabil fixpontok helyzete, a ezonanciák eőssége hatáozza meg a eguláis és kaotikus tatományok elhelyezkedését és méetét. A ezonanciák osztályozhatók elsődleges és másodlagos ezonanciáka: Elsődleges ezonancia akko lép fel, ha az elhanyagolható tömegű test (aszteoida) és a petubáló égitest (Jupite) középmozgása ezonáns aányban áll egymással. Elsődleges ezonanciának peiodikus megoldás, zát fázistajektóia és a metszésfelületen véges számú metszéspont (fixpont) felel meg. Egy elsődleges ezonancia közelében lévő fázistajektóia a metszésfelületet olyan pontokban metszi, melyek sima, zát göbéket, elsődleges szigeteket alkotnak a fixpont köül. Ezek azoknak a tóuszoknak a metszetei, melyeken a fázispont mozog. A fázistajektóia nem záódik, a mozgás feltételesen peiodikus. Másodlagos ezonancia esetén egy elsődleges sziget köbejáási fekvenciája áll ezonáns aányban az elsődleges ezonancia fekvenciájával. Ennek is peiodikus megoldás és az elsődleges szigetek mentén véges számú fixpont felel meg. Ezen fixpontok köül másodlagos szigeteket hoznak léte a másodlagos ezonanciához közeli fázistajektóiák metszéspontjai. A eguláis (peiodikus és feltételesen peiodikus) tajektóiák bonyolultan egymásba ágyazott stuktúát alkotnak. Elsődleges ezonanciák köül elsődleges szigetek vannak, azokhoz másodlagos ezonanciák kapcsolódnak, a másodlagos ezonanciák köül másodlagos szigetek, és így tovább ad infinitum. Kissé petubált endszeekben a ezonanciák könyékének ez a jellemző képe: elliptikus és hipebolikus fixpontok felváltva követik egymást, az elliptikus pontokat invaiáns göbék veszik köül, a hipebolikus pontokat szepaátixok kötik össze. Az elliptikus fixpontok közelében lévő pontok a leképezés soán a fixpont könyékén akanak maadni. Egy elliptikus fixpont könyezete finomabb skálán olyan, mint az egész endszeé: magasabb endű ezonanciáktól távoli invaiáns göbék között magasabb endű ezonanciák invaiáns göbéinek szétdaabolódásából visszamaadt fixpont-láncolatok találhatók, és ez folytatódik egye finomabb skálákon. A hipebolikus fixpontok könyékén lévő pontok a leképezés soán vadul viselkednek, minden szabályszeűség nélkül, kaotikusan követik egymást. A kaotikus viselkedés ezonanciák hipebolikus fixpontjai közelében alakul ki. A vadság magyaázata a homoklinikus pontok létezésében ejlik. Egy hipebolikus fixpontban négy göbe találkozik, kettő befelé haladó stabil szepaátix és kettő kifelé távolodó instabil szepaátix. Egy hipebolikus fixpont stabil és instabil szepaátixainak metszéspontjai a homoklinikus pontok. Ezek száma végtelen. Másfelől a leképezés teülettató, így két egymást követő homoklinikus pont között a szepaátixok által közefogott teület a következő hasonló teületbe képződik. Mivel a homoklinikus pontok a hipebolikus fixpont felé közeledve sűűsödnek (távolságuk exponenciálisan csökken), és a szepaátixok önmagukat át nem metszhetik, a teülettatás követelménye miatt a szepaátixok egye vadabbul kanyaognak. Mindezek miatt a leképezés endkívüli módon ézékeny a 30
kezdőfeltételeke, az egymáshoz közeli pontok képe exponenciálisan távolodik egymástól. A fázisté szekezetének bonyolultságát tovább fokozza a másodlagos ezonanciák létezése. Az elsődleges ezonanciák szepaátixai közelében másodlagos ezonanciák találhatók. A Poincaé-metszeteken ezeknek is megfelelnek elliptikus és hipebolikus pontok, utóbbiak köül a szepaátixok vadul viselkednek. A másodlagos ezonanciák szepaátixai az elsődleges ezonanciák szepaátixait heteoklinikus pontokban metszik, ezek közelében a mozgás kaotikus. A kaotikus viselkedés minden legalább két szabadsági fokú, nemlineáis endszeben fellép. Lényeges különbség van azonban a két szabadsági fokú és a kettőnél több szabadsági fokú endszeek között a kaotikus változások métékét illetően. Két szabadsági fokú endszeek fázistee négydimenziós. Adott enegia mellett a mozgás egy háomdimenziós altée kolátozódik. A KAM-tóuszok kétdimenziósak, ezek a háomdimenziós teet egymástól független tatományoka bontják. A eguláis mozgások a KAM-tóuszokon mennek végbe, a tóuszok között a mozgás kaotikus. A kaotikus tatományokat azonban a KAM-tóuszok egymástól elválasztják, egyik kaotikus tatományból a másikba nem lehet átjutni. Az ilyen kaotikus tatományokban bá a mozgás előe pontosan nem jelezhető, maguk a változások azonban kolátosak. Más a helyzet azonban a kettőnél több szabadsági fokú endszeekben, ezeknél a kaotikus tatományok az egész fázistée kitejedő, összefüggő hálózatot alkotnak. Például ha a endsze háomdimenziós, adott enegia esetén a mozgás egy ötdimenziós altée kolátozódik. A KAM-tóuszok háomdimenziósak, és ezek az ötdimenziós teet nem bontják független tatományoka. A kaotikus tatományok tehát egymással összefüggnek, a fázispont a kaotikus tatományban bolyongva a fázisté egyik helyétől ettől igen távoli más helyeke is eljuthat, bá a vándolás sebessége igen lassú. Ez a jelenség az Anold-diffúzió (B. Édi, 00). A peiodikus pályák családjának szekezete faktálszeű a kö KHTP-ban. A C x 0 -sík kiválasztott tatományainak fokozatos nagyítása felfedte, hogy a peiodikus pályák családja endkívül bonyolult, és számos módon önhasonló. Ezét a kíséőbefogást úgy is felfoghatjuk, mint a főkomponensek vesenyét a hamadik égitest bitoklásáét, s e küzdelem hatáteülete faktál. A befogási pályák tajektóiái közel vannak a belső Lagange-pont ( L ) melletti hipebolikus fixpont stabil sokaságához. Ezét a gavitációs befogás szoosan összefonódott a kaotikus mozgással. Az v0 x 0 kezdőéték-fázisté (-sík) helyett célszeű bevezetnünk a C x0 - síkot (hiszen a Jacobi-integál szeint: v = Ω C ). A következő ábán ez látható µ = 0.0-e. 3
A világosság météke egyenesen aányos a befogási idővel (fekete: t=0, fehé: t ). Nagyítsuk most ki az alsó téglalapot a képen, majd tegyük meg ugyanezt az új képpel is: Má észevehető az önhasonló vonás. Nagyítsuk tovább az utóbbi ábát: 3
Az alsó téglalapban lévő hangvilla -alakzat kinagyítva: Nyomon követhető, ahogy a (peiódus-kettőző) bifukáció többszöösen önmagába ágyazódott. Nagyítsuk ki a felső téglalapot is: Végül pedig az első ába felső téglalapjának nagyítása, majd az tovább nagyítva: A talán vég nélkül önmagukba ágyazódó stuktúák azt mutatják, hogy a peiodikus pályák szekezete a C x0 -síkon önhasonló, faktál. Ha a befogást vesengésnek tekintjük a két főkomponens között a hamadik égitest bitoklásáét, 33
akko a övid befogású tatományokban m -nek tiszta ualma van, míg a hosszú befogások esetén m a küzdelem nélküli győztes. A köztes tatomány pedig endkívül izgalmas. Lássuk most a fázisté Poincaé-metszeteit! A stabil (végleges: t ) befogás fixpontja x=0.959-nél, az instabilé x=0.939-nél található. A Jacobi-állandó az egyes ábákon ende: C=3.6036, 3.574, 3.555, 3.544, 3.536, 3.595, 3.55, 3.666, 3.64. befogás 34
A fentiekből is jól látszik, hogy C csökkenésével (ami megfelel a kisbolygó növekvő enegiájának ) nő a Nap petubációs hatása, ezét a stabil szigetek (melyeket a bifukációk szültek) egye inkább eltűnnek a kaotikus tengeben. Az is látható, hogy a kis szigetecskék a nagy szigetek miniatű másolatai, amiken belül újabb és újabb egye kisebb szigetecskék vannak. Ez a stuktúa hatátalanul bonyolult, mégis bizonyos felfogásban nagyon jól endezett, Canto-halmazt alkot. Megállapítható, hogy a befogott kíséők olyanok, mint az ieguláis joviális kíséők, melyek a Nap köüli mozgás kaotikus tatományaiból eednek. Valamint, ha fennáll a KHTP-közelítés egy endszee, akko a befogási pályáknak muszáj, hogy kaotikus eedetük legyen (M. A. Muison, 989b). A. Bunini (996) szeint az ütközés igen gyakoi jelenség a befogási folyamatban. Az ütköző pályák választják el a eguláis tatományt a kaotikustól, ami az alábbi ábán is látszik (a fekete a kaotikus, a pontozott a eguláis, és e kettő közti az ütközési tatomány): 35
A következő stabilitási definíciót használta: a befogás akko stabil, ha a hamadik égitest több, mint 000-sze köbejája a bolygót anélkül, hogy elszökne a hatásköéből. Az alábbi ábán a sötét köök a stabil pályákat, a világos köök az ütköző pályákat jelentik: A folytonos göbe az elméletileg számolt stabilitási hatá, ahol a fogó koodinátaendsze-beli gyosulás 0-vá válik: st 3 0.84µ. A Jupite esetében ez: 0.084. A C 3. 04 étékig ez jól egyezik a tapasztalati st étékkel, felette azonban eltéés tapasztalható, amit az ütköző pályák jelenléte okoz. 36
Régebben csak azokat a pályákat vizsgálták, melyek kielégítik a tükö-elvet (A. E. Roy, M. W. Ovenden, 955), azaz a kezdőfeltételeik olyan mozgást adnak meg, mely szimmetikus az x tengelye és az időe. Így tulajdonképpen csak a befogási pálya felét kell kiszámolni, s a számolt befogási időt megszoozni kettővel. És temészetesen minden befogási pályának megfelel egy szökési pálya. Most azonban megvizsgálták a befogási feltételek teljes készletét. Megállapították, hogy valójában minden a Nap gavitációs hatásköéből ékező - égitest, amelyet befog a bolygó, szükségszeűen átmegy az egyenesen, ahol x = x = µ. ρ 0 µ ρ = 3 3 µ 3 3 3 +... a bolygó és L Lagange-pont közötti távolság. Ezét az egyetlen szabadsági fok a sebességvekto iánya, így a Jacobi-állandót tulajdonképpen ennek a Nap-bolygó vonallal bezát α szöge hatáozza meg. Tehát adott C és µ étékeke a befogása vezető kezdőfeltételek lefedik az y α -sík egy tatományát. Ez a befogási tatomány, mely a Nap-Jupite esete az alábbi ábán látható: A képen a világos háomszögek ( ) a diekt, a sötét köök ( ) a etogád pályákat jelentik, s ütköző pályák választják el ezeket egymástól (A. Bunini, 996). 37
Szenkovits Feenc és tásai (00) feltéképezték a Jupite befogási tatományainak szekezetét a kisbolygó kezdőkoodinátáinak teében. A következő ábán ez látható: A vízszintes tengelyen 0, a függőleges tengelyen ϕ 0 kezdeti polákoodináták vannak, s a sík modell miatt a hamadik komponens = 0. A vizsgálatban a szekciók módszeét használták, vagyis a kezdőfeltételek két komponensét 0.3 ögzítették ( & 0 = 0, ϕ& 0 = ), a másik kettőt ( 0, ϕ 0 ) pedig változtatták. Az ábán a 0 sötétség météke a kisbolygó Jupite köül megtett szögelfodulásával, így a befogás eősségével aányos. A fekete tatomány jelenti a stabil befogást, ekko α π, vagyis a kisbolygó pályája legalább egysze záódott a Jupite köül. A következő ábákon az egyes szekciókat epezentáló kisbolygó-pályák láthatók. A fenti ábán A-gyel jelölt eset stabil befogás az előbbi ételemben: 38
Az A-es instabil befogás: Az A3-as stabil befogás: Az A4-es stabil befogás: 39
Az A5-ös instabil befogás (a kisbolygó a Nap felé megy): Az A6-os instabil befogás: Az A7-es instabil befogás: 40
Az A8-as instabil befogás: Utóbbinál az instabil Jupite ( P ) köüli befogás egyben egy Nap ( P ) köüli stabil befogás. Látható, hogy a befogás stabilitása endkívül ézékeny a kezdőfeltételek piciny megváltozásáa, ezét a pontosabb vizsgálatokba bele kéne venni a Szatunusz petubáló hatását is (F. Szenkovits, Z. Makó, I. Csillik, A. Bálint, 00). 4
III. Fejezet - A szimuláció III.. A negyedendű Runge-Kutta-módsze A KHTP mozgásegyenleteit numeikus integálással oldottam meg a különböző kezdeti paaméteeke. A kifejlesztett C++ pogam két észből áll: az egyik az általános, a másik a kolátozott háomtest-pobléma mozgásegyenleteit oldja meg. Az előzőe azét van szükség, met kiajzolja a tényleges nomálteet, így jól követhető ajta az égitestek mozgása, másészt ögzíteni lehet bámely égitestet, és megfigyelni a többi mozgását hozzá képest. Mindkét ész alapja egy negyedendű Runge-Kutta-eljáás (RK), mely a beít egyenleteket a sofejtés negyedik tagjáig megoldja. Ezen kívül be van építve egy időosztás-finomítás is: ha az egy lépés alatti enegia-változás nagyobb, mint 0-6 égimechanikai métékegységekben -, akko nyolcadáa csökkenti a beállított lépésközt (ugyanis a endsze összenegiája első közelítésben állandó). Így nagy sebességek esetén is (amiko két égitest nagyon közel keül egymáshoz) kellően pontos a számítás. A pogamban be lehet állítani az integálás lépésközét, a tömegpaamétet, a Jupite peiódusát, a Nap-Jupite távolságot, az egyes égitestek átméőjét (az ütközés miatt), a kezdeti hely- és sebesség-koodinátákat, valamint meg lehet adni, hogy milyen koodináta-endszeben adjuk meg és milyenben ábázolja az adatokat, illetve átszámol a kettő között (Descates és polá). Választani lehet, x y, z, v, v, v,, ϕ, ω, v, v, v, t, E, E C,, x y z ϕ ω össz Keple, hogy a két tengelyen mit ábázoljon ( ) és milyen felbontással. A fázisteet (pl. x vx sík) nomál (nem fogó) koodinátaendszeben ábázolja, az oigója választható. Ezen kívül be vannak építve a Lagange-pontok koodinátái is, a hamadik testet gombnyomása beteszi a pogam ezekbe. A pogam kellő pontosságát ezek segítségével ellenőiztem: - és ben stabilan ott maadt a test,, L és L 3 L4 L5 L -ban csak néhány napig ahogy ez a valóságban is van. 43
III.. A Bulisch-Stoe-módsze Az általános n-test pobléma mozgásegyenleteit is numeikus integálással oldottam meg a különböző kezdeti paaméteeke. A használt C pogam az NBI (N-Body Integato), mely egy numeikus integáto a gavitációs (nemelativisztikus) n-test poblémáa. Ebben egy foáskódba kétféle numeikus integálási módsze van beépítve (E. Haie, S. P. Nosett, G. Wanne, 993): i, Runge-Kutta-integáto változó lépésközzel (RK) 7-8-adendű. ii, Gagg-Bulisch-Stoe-integáto (BS) 0-adendű. Munkám soán ezt a módszet használtam. Ebben az esetben azét választottam a Bulisch-Stoe integálási módszet, met nemcsak gyosabb és pontosabb a Runge-Kutta-módszenél, hanem lényegesen kevesebb az enegiaigénye a számítógépben (A RK-módsze tízsze annyi CPU-időt /CPU = Cental Pocesso Unit = Központi Feldolgozó Egység/ igényel, mint a BS!). A két módsze összehasonlításáa álljon itt a következő ába, melyen a Jacobi-állandó hibájának változása látható az integálás folyamán (az idő függvényében) a kétféle módsze használata esetén: 45
A pontosabb eedmények édekében a BS-módszet kiegészítettem a Nacozyféle sokaság-pontosítási algoitmussal (MC = Manifold Coection, bővebben lásd: D. E. Nacozy, 97), mely esetben a Jacobi-állandó hibájának változása az alábbi ábán követhető nyomon: A pontosítási algoitmus használatával nem volt szükség a mozgásegyenletek egulaizálásáa, hiszen szoos megközelítések, ütközések esetén is pontos eedményt adott a használt módsze (bá meg kell jegyeznünk, lényegesen lelassult a pogam ezen pontokban). Az alábbi ábákon az x koodináta hibája látható az integálás soán a nem egulaizált (a) illetve a egulaizált (b) egyenletek használata esetén: 46