Jelek spektruma, Fouriertranszformáció

Átírás

1 Jelek spektruma, Fouriertranszformáció Horváth Árpád 04 október 7 Tartalomjegyzék Harmónikus jel és a szögfüggvények lapismeretek Fourier-sor 7 Trigonometrikus alakban 8 Exponenciális alakban 3 Fouriertranszformáció 6 3 z M modulált jel spektruma 9 3 Diszkrét Fouriertranszformáció (DFT) 4 jelek csoportosítása 4 Fellegi József anyagának felhasználásával Spektrum vagy színkép, a frekvenciatartománybeli alak: milyen szinuszos jelekb l tudom összerakni Ennek tanulmányozására ajánlott a oldal Pár feladat, amit megoldhatunk vele: Hogyan lehet egy jel összetev it meghatározni? Hogyan torzul a négyszögjel, ha egy vezetéken (=alulátereszt sz r n) küldöm át? 3 Milyen kapcsolat van a jel spektruma és a modulált jel spektruma között? 4 Hangok és képek igen jelent s (veszteséges) tömörítése Harmónikus jel és a szögfüggvények Tanulmányozzuk el ször a harmónikus jeleket

2 Harmónikus jel fogalma Denició Harmónikus jelnek nevezzük azokat a jeleket, amelyek felírhatóak alakban f(t) = sin(t + ϕ 0 ) Tulajdonképpen ezek a szinuszfüggvény középiskolában tanult transzformáltjai (eltoltjai, nyújtottjai az egyes tengelyek mentén) Tétel Minden harmónikus jel felírható alakban is megfelel a, b valós számokkal f(t) = a cos t + b sin t Keressük meg a kapcsolatot a (, ϕ 0 ) és a (a, b) valós számpárok között! El ször ismételjük át, amit a szögfüggvényekr l tudni kell! Szükséges alapismeretek ismétlése radián értelmezése, átváltása rad r α = rad i = r r α = π rad i = kerület = rπ α rad = i r α rad π = α fok 80 szögfüggvények változójaként a radiánban mért szöget szoktuk használni radián értéke kellemetlen olyan szempontból, hogy a nevezetes szögeket irracionális számként (π többszöröseként) adhatjuk meg fokra való átváltás viszont nem jelent gondot, ha megjegyezzük azt hogy a teljes szög, a 80, π radiánnal egyenl Ilyenkor aránypár felírásával bármelyik irányban könnyen átszámolhatunk Példák az átváltásra példa Váltsuk át az alábbi radián-értékeket fokba! π 3 rad, π 4 rad, 3π 4 rad, 3π rad, rad, 3,4 rad,,5 rad

3 példa Váltsuk át az alábbi fok-értékeket radiánba! 90, 300, 5, 0, 4,6 3 példa Egy r = 0 cm sugarú körben mekkora a 3 radiános központi szöghöz tartozó ívhossz? Megoldások: példa példa 60, 45, 35, 70, 57,30 80, 43,, π rad, 0π 6 rad, π rad, π 9 rad, rad 3 példa 60 cm Szögfüggvények, szinusz függvény sin és cos szögfüggvényeket adott irányszög egységvektor koordinátáiként deniáljuk y y = sin α α cos α sin α x π 6 π 6 π π α fázisszög az id során változik, a változási gyorsaságát jellemezhetjük a villanytanból már ismert körfrekvenciával = 00πrad/s 34 rad s esetén a fázisszög minden másodpercben 00π radiánnal növekszik teljes körhöz tartozó bels szög, a teljes szög, π radián, mivel a kör kerülete π-szerese a sugárnak Tehát az = 00πrad/s esetén másodpercenként 50 teljes kört teszek meg a forgóvektorral, azaz másodpercenként 50 teljes periódust ír le a függ leges vetületeként kapott szinuszfüggvény teljes körök másodpercenkénti számát jellemzi a frekvencia, amely eszerint a radiánok számának π-ed része periódusid az az id, ahonnan a jel ismétl dik Nyilván ez a forgóvektor teljes körének megtétele után történik meg Ha frekvencia 50 /s, azaz másodpercenként 50 teljes kört ír le a forgóábra, akkor a periódusid a másodperc 50-ed része: 00 s = 0 ms Jelen esetben tehát: = 00π rad s f = π = 50 = 50 Hz T = 0 ms s 3

4 Ez egyébként épp az európai elektromos hálózatban használt körfrekvencia, frekvencia és periódusid híradástechnikában ennél jóval nagyobb körfrekvencia-értékekkel találkozunk általában forgóvektor y y = sin(t + ϕ 0 ) ϕ(t) sin ϕ x T 4 T t harmónikus jeleket egy-egy forgó vektor vetületeként kaphatjuk meg (Mi a függ leges összetev t fogjuk vizsgálni, de más irodalomban el fordul a vízszintes összetev is) Nulla kezd fázis esetén a jel nulla értékr l indul pozitív irányba mennyiben nem ez a helyzet, az összetev t valamilyen ϕ 0 kezd fázissal jellemezhetjük kés bbiek során a vektor irányát jellemz ϕ irányszög az id vel arányosan változik: ϕ(t) = t + ϕ 0 ( ϕ utáni zárójelben lev t azt jelzi, hogy a fázisszög értéke az id ben változik, matematikus szóhasználattal az id függvénye képlet jobb oldalán tehát csak a t a változó, a másik kett érték, a harmónikus jelre jellemz állandó, más néven paraméter) fenti ábrán a kezd fázis π/6, azaz 30 Mint látható, az érték lesz a kitérés amplitúdója csúcstól csúcsig érték pedig korábbi tétel igazolásához bontsuk a t = 0 pillanatban a vektort két részre, a két tengely menti összetev jére két összetev nagyságát jelölje a és b az ábrán látható módon (Figyelem, az a és b helye itt fordított, mint a komplex számok a + bj algebrai alakjában) cos és sin összetev k (t = 0) 4

5 y a ϕ 0 b x Vizsgáljuk meg a vektor és az összetev i helyzetét, amikor kissé arrébb fordultak cos és sin összetev k (t 0) y f(t) =? t + ϕ 0 x z f(t) értékét könnyen kiszámíthatjuk egy szögfüggvény alkalmazásával, mivel a szöggel szemközti oldal a kérdéses, és az átfogó ismert: ezek a szinuszban szerepelnek f(t) = sin(t + ϕ 0 ) (Ha összeg van a szinusz után, azt mindig zárójelbe tesszük) Most vizsgáljuk meg, hová kerültek az a és b szakaszok, és mekkora a vetületük! cos és sin összetev k (t 0) 5

6 y a a =? f(t) = sin(t + ϕ 0 ) t f(t) t b b =? x f(t) = a + b f(t) = a cos t + b sin t fenti ábrából megállapítható, hogy a vetületük a = a cos t, illetve b = b sin t Ezek összege éppen a keresett f(t) = sin(t + ϕ 0 ) Ezt mondta ki a korábbi tétel kétféle írásmód közül néha az egyik, néha a másik kellemesebb illetve hasznosabb Példa Hogyan tudunk áttérni az egyik féle írásmódból a másikba? (a, b) és a (, ϕ) valós számpárok között? Másképpen milyen kapcsolat van a Összefüggés (a, b) és (, ϕ) között y = a + b tg ϕ 0 = a/b a = sin ϕ 0 b = cos ϕ 0 kapott eredmények fontosak, a de inkább az ábráról való ϕ 0 leolvasásukat érdemes x b megjegyezni, mint a végeredményeket Vegyük észre! hhoz, hogy a szakirodalomban megszokott jelöléseket használhassuk (a a koszinusz, b a szinusz együtthatója), az a és b helyét fordítva kell megválasztanunk, mint a komplex számok algebrai alakjánál! Különösen a szög kiszámításánál hasznos a síknegyed-helyes ábra, ugyanis a tangens nem tesz különbséget a 80-fokkal eltér szögek között, azaz az I és III valamint II és IV síknegyed között Ilyenkor az arkusztangenssel kapott szöghöz a III és IV (alsó) síknegyedekben 80 hozzáadandó 6

7 kés bb említend matematikai programokban a szögek számításához érdemes az atan (octave, MTLB) illetve arctan (pylab) függvényeket használni Példák az átváltásra példa Határozzuk meg az a és b értéket 4 értékes jegy pontossággal, = 6 V, ϕ 0 = π/3 példa f(t) = 4 V sin t + 3 V cos t = sin(t + ϕ 0 ) esetén határozzuk meg és ϕ 0 értékét négy értékes jegyre 3 példa esetén ugyanez f(t) = 4 V sin t + 3 V cos t Megoldások: példa csupán és 3 képletet kell alkalmazni a = 3 3 V 5,96 V, b = 3 V négy értékes jegy azt jelenti, hogy az els nem nulla számjegyt l négy jegyet hagyunk meg második esetben írhattunk volna 3,000 értéket, amit a mérnöki gyakorlatban alkalmaznak is, ha az adat pontosságát szeretnék hangsúlyozni Mérnöki gyakorlatban ugyanis nincsenek abszolút pontos mérhet mennyiségek, minden mérés csak valamilyen mérési pontossággal értend példa csupán és képletet kell alkalmazni = 5 V, ϕ 0 = arctg 3/4 = 0,6435 rad = 36,87 3 példa feladatmegoldás menete hasonló z arctg-re negatív értéket kapunk z ábrát felrajzolva kit nik, hogy a III (jobb alsó) síknegyedben van az vektorunk (t = 0-ban), tehát a értékhez 80 fokot hozzá kell adnunk: arctg( 3/4) = 0, 6435 rad = 36,87 ϕ 0 = π + arctg( 3/4) = π 0, 6435 rad =,498 rad = 80 36,87 = 43,3 Fourier-sor Fourier-sorbafejtés mint már említettük a jelek felbontását jelenti harmónikus jelekre sorbafejtés során egy végtelen sor összegeként kapjuk meg a függvényt sorbafejtés csak periódikus függvények esetén lehetséges nem periódikus jelek esetén, más módszerre lesz szükség Fourier-sort kétféle alakban szokás megadni két alak a komlex számok két alakjával a trigonometrikus és az exponenciális alakkal van kapcsolatban Mindkét alaknak vannak el nyei, ezért mindkett t és kapcsolatukat is tárgyaljuk 7

8 Trigonometrikus alakban Fourier-sor Periodikus jelekre m ködik f(t + T ) = f(t) Trigonometrikus alak: x(t) = a 0 +a cos( 0 t) + a cos( 0 t) + +b sin( 0 t) + b sin( 0 t) + = = a 0 + (a k cos(k 0 t) + b k sin(k 0 t)) k= 0 = πf 0 = π T () z együtthatók kiszámítása a Scharnitzky Viktor: Vektorgeometria és lineáris algebra cím könyvben (Nemzeti Tankönyvkiadó Rt, Bp, 999) részletesen benne van négyszögjel spektruma f(t) t T x(t) = { ha t ]0, T [ ha t ] T, 0[ x(t + T ) = x(t) Páratlan függvényekben csak szinuszos tagok vannak (a k = 0) Páros függvényekben csak koszinuszos tagok vannak (b k = 0) (k = ) négyszögjel spektruma, trigonometrikus Páratlan függvényekben csak tagok, páros függvényekben csak tagok vannak x(t) = 4 ( sin( 0 t) + sin(3 0t) + sin(5 ) 0t) + π 3 5 x(t) = 4 π k=,3,5, sin(k 0 t) k 8

9 b = 4 π, b 3 = 4 3 π, b 5 = 5 4 π, b 7, b 9 z a k -k és a páros index b k -k nullák Ezt a sorbafejtést jegyezzük meg, a többi (50%-os kitöltési tényez j ) négyszögjel spektrumát ebb l ki tudjuk következtetni Ha az amplitudókat ábrázolom a frekvencia függvényében, akkor az alábbi ábrákat kapom: négyszögjel spektruma: trigonometrikus, b k b k b = 4/π, 7 b 3 = b /3 b 5 = b / b k 0 k páratlan négyszögjel spektruma: trigonometrikus, a k a k a 0 = 0 nincs egyenszint a k = 0 nincsenek koszinuszos tagok négyszögjel spektruma: trigonometrikus, amplitudó 9

10 k = a k + b k = 4/π, 7 3 = /3 5 = /5 0 = 0 nincs egyenszint Itt k = a k + bk = 0 + b k = b k = b k (k > 0) négyszögjel (áttérés másik négyszögjelre) x(t) = { 4 V ha t ]0, s[ 0 V ha t ] s, 0[ x(t + s) = x(t) z el z kétszeresét vesszük, és hozzáadunk kett t, és az 0 értéket is meghatározzuk 0 = πf = π T = π rad = π s s négyszögjel spektruma x(t) = V + 8 ( π V sin( 0 t) + sin(3 0t) + sin(5 ) 0t) x(t) = V + 8 π V k=,3,5, sin(k 0 t) k 0 = π rad s 0

11 a 0 = V; b = 8 π V, b 3 = 3 8 π V, b 5 = 5 8 π V négyszögjel spektruma: trigonometrikus, amplitudó k = a k + b k = 8/π,55 0 = egyenszint 3 = /3 5 = / Itt k = b k, ha k, 0 = a 0 Fourier-részösszeg MTLB-ban és Octave-ban x = linspace(-pi, pi, 04) y = zeros(, 04) for k=::5 %, 3, 5 y += sin(k*x)/k end plot(x, 4/pi*y) title('négyszögjel Fourier-sora 5 tag') savefig('fourier5png') MTLB nagytudású kereskedelmi szoftver, mely mártixm veletekben és több más m szaki és tudományos területen kíváló lehet ségekkel rendelkezik Ingyenesen sajnos nem tölthet le z Octave a MTLB szabad szoftver változata tudása kisebb mint a MTLB-é, de a mátrixm veleteket és függvényábrázolást képes hasonlóan elvégezni Fourier-részösszeg Python3-ban from pylab import * x = linspace(-pi, pi, 04) y = 0 for k in range(,6,): #, 3, 5 y += sin(k*x)/k plot(x, 4/pi*y) title('négyszögjel Fourier-sora 5 tag')

12 savefig('fourier5png') show() Mint látjuk csak a pylab modult kell plusszban behívni, és a ciklus átírni Pythonosra Python általános célú nyelv, nem a matematikára van kihegyezve, ezért a matematika terén néha bonyolultabban kezelhet, mint a MTLB Ezért viszont több dolog kárpótolhat: a rendkívül kézreálló szintaktikája, ingyenessége, az, hogy Linux disztribúciókban alapból települ Szintén el nye a rengeteg szintén ingyenes modul Többek közt a fent bemutatott pylab modul a matplotlib csomagból Pylab telepítése: Python oktató (tutorial): ki még nagyobb tudású szabadon használható szoftvert szeretne, érdemes megismerkednie a SGE-dszel, amely részeként szintén használható a pylab Ezt akár telepítve is használhatjuk, de lehet ség van a honlapján regisztrálva a honlapon keresztül használni Fourier-sor exponenciális alakban Két fontos összefüggés cos és sin exponenciális alakja cos t = e jt + ejt sin t = j e jt j ejt j a képzetes egység (szokásos mérnöki jelölésmódja) j = z e z jelölés helyett gyakran az exp(z) jelölés használatos: cos t = exp( jt) + exp(jt) ( levezetést nem kell tudni, egyébként a következ összefüggésb l kiindulva megkapható az exponenciális alak: e jt = exp(jt) = cos t + j sin t () El ször a e jt értékét kell meghatározni el jeleket, a sin mivel páratlan nem Ehhez tudni kell, hogy a cos páros függvény lévén elnyeli az Ha e jt és e jt összegét illetve különbségét vesszük, akkor csak a cos illetve sin marad meg, átrendezéssel a fenti képletek megkaphatóak) Exponenciális alakban a Fourier-sorban szinuszok és koszinuszok helyett exponenciális függvények szerepelnek Mint láttuk a szinusz és koszinusz függvényt át lehet írni exponenciális függvények összegére Mindegyikb l két tag lesz, ami újdonság, hogy megjelennek a negatív (kör)frekvenciák (exp( j 0 t)) z együtthatók ilyenkor komplexek lesznek: a koszinuszból lesz a valós rész, a szinuszból a képzetes rész Nehezen tudjuk a frekvencia függvényében ábrázolni mindkét összetev t, ezért gyakran az abszolut értéket szoktuk

13 komplex számok bevezetésével a matematikai formulák egyszer bbek lesznek, és ezen keresztül vezet az út az általánosításhoz z alábbi alakban az X 0 együtthatójú rész exponenciális részének kitev je nulla lesz, az eggyel való szorzás elhagyható Ez lesz az egyen-összetev (X 0 = a 0 ) z els sorban vannak a pozitív frekvenciás tagok, a harmadikban pedig a negatív frekvenciásak z el jelet az el l kivittük a j elé az egyszer ség kedvéért Exponenciális alakban x(t) = X exp(j 0 t) + X exp(j 0 t) + X 3 exp(j3 0 t) + (3) + X 0 + X exp( j 0 t) + X exp( j 0 t) + X 3 exp( j3 0 t) + rövid alakja: e jt = exp( jt) = cos t j sin t (4) x(t) = + X k exp(jk 0 t) (5) k= STOP Határozzuk meg trigonometrikus és exponenciális alakban az együtthatók értékét (a k, b k, X k )! x(t) = sin( 0 t) (7) és 0 valós szám érték zikai mennyiségek x(t) = sin( 0 t) = j exp(j 0t) + j exp( j 0t) (8) Trigonometrikus alakban b = Exponenciális alakban X = j, X = j k > egészek esetén a k, b k, X k és X k mind nulla STOP Határozzuk meg mindkét alakban a Fourier-együtthatók értékét (a k, b k, X k )! Határozzuk meg az alapfrekvencia, alap-körfrekvencia és periódusid értékét! ( x(t) = 40 V cos 777 rad ) s t + 77 V nullától különböz Fourier-együtthatók: a 0 = X 0 = 77 V, a = 40 V, X = X = a = 0 V z alap-körfrekvencia, alapfrekvencia és periódusid értékei: STOP 0 = 777 rad s, f 0 = 0 π = 3, 7 Hz, T = 8, 086 ms Határozzuk meg mindkét alakban a Fourier-együtthatók értékét (a k, b k, X k )! Határozzuk meg az alapfrekvencia, alap-körfrekvencia és periódusid értékét! ) ) x(t) = 80 V cos ( 34 rad s t + V sin ( 68 rad s t + 3 V 3

14 Remélhet leg ez már önállóan is menni fog Csak két együtthatót példaképpen: X = 6j V, X = 6j V (Ha az x(t) jel valós érték, akkor minden k indexre X k és X k egymás konjugáltjai Szinuszból két képzetes érték, koszinuszból két valós érték lesz) Áttérés a trigonometrikus és exponenciális ( alak között a a cos(t) + b sin(t) = + jb ) ( a e jt + jb ) e jt feladat Igazoljuk a fenti összefüggést! feladat Hogyan számolhatjuk az X és X együtthatókat és a és b együtthatókat egymásból? 3 feladat Milyen kapcsolat lesz és X között? Megoldások: feladat X = a + jb, X = a jb, a = Re(X ), b = Im(X ) Re és Im a komplex szám valós és képzetes része 3 feladat X = a jb (a ( ) b ) = + = a + b = fenti eredmények alapján elég könnyen át tudjuk alakítani egymásba a kétfajta Fourier-sort z egyenszinttel semmi gondunk sincs: a 0 = X 0 = 0 valós szám lesz z a k cos(k 0 t) + b k sin(k 0 t) alakú többi összetev t pedig a fenti képlettel át tudjuk alakítani exponenciális alakba, meg tudjuk határozni az X k és X k együtthatókat Másik irányba pedig az X k értékéb l meg tudjuk határozni mind az a k és b k együtthatókat 4 feladat Mi lesz X 5 ha X 5 = 4 3j? 5 feladat Mekkora X 5, a 5, b 5 és 5, ha X 5 = 4 3j? 6 feladat Milyen függvények esetén lesznek X k értékek valósak? 7 feladat Mit lehet mondani az X k, a k és b k értékekr l, ha a függvény páratlan? 4

15 Megoldások: 4 feladat: 4 + 3j, mivel a korábbi képletb l látható, hogy az ellentett index tagok egymás konjugáltjai (képzetes részük ellentettje egymásnak) 5 feladat: X 5 = = 5, 5 ennek kétszerese, 0 a 5 = ReX 5 = 4 = 8, b 5 = ImX 5 = 3 = 6, 5 = a 5 + b 5 = 0 z utolsó számítással immár kétféleképp is kiszámoltuk 5 -öt 6 feladat: Nyilván, ha csak a k együtthatók vannak, azaz csak koszinuszos tagok és egyenszint Ez pedig akkor van így, ha a függvény páros 7 feladat: páratlan függvényeknél csak szinuszos tagok vannak, nincs koszinuszos és egyenszint, emiatt a k = 0 minden lehetséges k-ra, b k értékeir l semmit nem tudunk, azok tetsz leges értékek lehetnek z X k -ra ez annyit jelent, hogy csak képzetes része lesz az együtthatóknak Ez a helyzet az els négyszögjelünkkel is négyszögjel spektruma, exponenciális Ezt már megállapítottuk korábban b = 4 π, b 3 = 4 3 π, b 5 = 4 5 π, b 7, b 9 z a k -k és a páros index b k -k nullák Mivel nincs egyenszint X 0 = 0 páros index X k -k nullák lesznek π, X 5 = j 5 π, = j π, X 3 = j 3 π, X 5 = j 5 π, X = a + j b = j π, X 3 = j 3 X = a j b négyszögjel spektruma: exponenciális, X k X 0 = 0 X k = X k = k, k > 0 X k X = = π 0,63 5 X 3 = X 3 X 5 = X X 0 = 0 nincs egyenszint 5

16 z ábra feletti összefüggések minden esetben érvényesek Ha ismerem a trigonometrikus alak k amplitúdóit, akkor minden esetben meghatározhatóak ilymódon az exponenciális alak komplex együtthatóinak abszolút értéke 3 Fouriertranszformáció (folytonos és diszkrét) Fouriersor csak periódikus jelekre használható Nem periódikus jeleknél a Fouriertranszformációt használjuk folytonos spektrum kialakítását az alábbi ábrán követjük nyomon négyszögjel spektrumát a már megvizsgáltuk Nézzük meg mi történik, ha a négyszögjel szélességének változtatása nélkül növeljük a periódusid t! Ha a periódusid t a végtelenségig növeljük (T, akkor egyetlen impulzust kapunk, amely már nem periódikus Mint az ábrán látható, ahogy a periódusid t növeljük, a diszkrét jel spektrumának tüskéi egyre közelebb lesznek egymáshoz, határértékben folyamatos jelet kapunk Kitér az alábbi ábra értelmezésére z alábbi ábra egyes soraiban egymás mellett láthatóak az összetartozó id tartománybeli és frekvenciatartománybeli ábrák Hogyan értelmezzük, hogy negatív értékek is vannak a spektrumban? Egyel re vizsgáljuk a legels sorban szerepl esetet z ábrán olyan négyszögjel szerepel, mely páros függvény: a magas szint plató közepénél van a 0 id pillanat Nyilván akkor csak koszinuszos tagok lehetnek z ábrán tehát az el jeles a i együtthatók szerepelnek Látszik, hogy a négyszögjelet vízszintesen eltolom, hogy páros legyen, az egyes összetev k amplitúdói nem változnak, a frekvenciaösszetev k nem függhetnek attól, mikor kezdem el mérni az id t, de b i együtthatók helyett a i együtthatók lesznek Ráadásul ebben ez esetben felváltva lesznek pozitív és negatív koszinuszos tagok, pozitív és negatív a i együtthatók z alábbi els ábrán látható jel a következ harmónikus összetev kb l áll: x(t) = egyenszint + ( cos( 0 t) π 3 cos(3 0t) + 5 cos(5 0t) ) 7 cos(7 0t) + Ha a periódusid t növeljük a magas szint szélességének növelése nélkül, akkor a burkológörbe alakja és annak zérushelyei változatlanok maradnak frekvenciaösszetev k viszont egyre közelebb kerülnek egymáshoz periódusid duplázódásával (második sorban szerepl grakonok) fele akkora távolságra Ez nyilvánvaló, hiszen az alap-körfrekvencia a periódusid reciprokával arányos Ha a periódusid vel végtelenhez tartunk (a legalsó sorban szerepl ábrához), akkor egy nem periódikus esethez közelítünk, a frekvenciaösszetev k egyre közelebb kerülnek, míg végül kialakul a folytonos színkép folytonos színkép zérushelyei ugyanott maradnak, ahol az eredeti (els sorban szerepl ) jelben az alapfrekvencia páros számú többszörösei 6

17 Folytonos spektrum kialakulása Ezek után nézzük meg, hogyan alakulnak át a képletek, ha a Fourier-sorról a Fourier-transzformációra térünk át z összehasonlíthatóság kedvéért egymás mellett szerepeltetjük a képleteiket fels sorban szerepelnek azok a képletek, amellyel a frekvencia-tartományból (X-b l) id tartományba (x(t)-be) térhetünk át, az alsóban azok a képletek, amelyekkel az id -tartományból térhetünk át frekvencia-tartományba z X k sorozat helyett egy X() folytonos függvény szerepel a Fourier-transzformációban z id tartománybeli jel most már nem fejezhet ki egy sorösszegként, hanem egy integrállal határozható meg Fouriertranszformáció Nem periodikus (aperiódikus) jelek esetén (T ) Fouriersor Fouriertranszformáció x(t) = + k= X k exp(jkt) x(t) = + X() exp(jt) d X k = T T 0 x(t) exp( jkt) dt X() = + x(t) exp( jt) dt STOP Milyen lesz a szinusz, illetve a csillapított szinusz színképe? Gondoljunk arra, hogy mit l függött, hogy a spektrum megállapításánál használhatjuk-e a Fourier-sort, vagy csak a Fourier-transzformációt? 7

18 Szinusz és csillapított szinusz színképe u(t) [V] absy(j) [db] Sinus and dumped sinus in time and frequency domain t [x05 ms] f [Hz] Látható, hogy valóban igaz, hogy periódikus jel spektruma diszkrét vonalakból áll, a csillapított szinusz viszont már nem lesz periódikus, és a színképe tényleg folytonos Megnézhetjük ugyanezt a négyszögjelre és a csillapított négyszögjelre is 8

19 Négyszögjel és csillapított négyszögjel színképe u(t) [V] Rectangular and dumped rect in time and frequency domain t [x05 ms] 0 absy(j) [db] f [Hz] 3 z M modulált jel spektruma z rádióadások egy része amplitudómodulált (M) jelként kerül kisugárzásra Ennél a modulálandó a(t) hangjelet megszorozzák egy nagyobb frekvenciájú harmónikus jellel, az úgynevezett viv jellel (s c ), és ezt sugározzák ki c index onnan származik, hogy a viv angolul carrier viv jele s c (t) = cos c t, ahol f c = c /π a viv frekvencia modulálandó a(t) jel Fourier-transzformáltját jelölje () Ekkor az M-modulált jel Fouriertranszformáltja a következ képp számolható S M () = + + ( a(t) cos c t e jt dt = a(t) e jct + ) e+jct e jt dt = (9) = + a(t) e j(+c)t dt + + a(t) e j( c)t dt (0) = ( c ) + ( + c ) () z utolsó sorban az látszik, hogy a modulált jelben az eredeti spektrum két helyen található meg, eltolódva a plusz és minusz c -vel () 9

20 Változtat-e a dolgon, hogyha a moduláló jel koszinusz függvény helyett szinusz? Nem, mivel az az exponenciális alak X() függvényében csak annyit változtat, hogy azoknak valós, vagy képzetes értékkészlete lesz-e z ábrán pedig az abszolútérték, azaz X(), szerepel, ami ugyanaz a két esetben lapsávi és modulált jel spektruma, harmónikus jel z alábbi ábra mutatja az alapsávi és modulált jel spektrumát az alábbi képlet s m harmónikus moduláló jel és s c viv jel esetén s m (t) = m cos( m t) + 0, s c (t) = cos( c t) 0 X k m m4 0 m m c m c + m c m c + m c c Periódikus jel esetén amikor a spektrum vonalas az alapsávi jelek X k együtthatói már felei az eredeti jel amplitúdóinak, a moduláció esetén ismét felez dik az amplitudó, tehát az eredeti amplitudó negyede jelenik meg exponenciális alakot használva lapsávi és modulált jel spektruma, M-DSB z alábbi ábra mutatja az alapsávi és modulált jel spektrumát folytonos spektrumú moduláló jel esetén X() c z utóbbi esetben egy olyan jel M modulált változatát mutattunk be, amelyben a moduláló jel spektruma folytonos, és valamilyen frekvenciahatárok közé esik Általában ilyennek vehetünk egy rádióadást, ahol a jel pl 0 Hz és 0 khz között folytonosnak tekinthet Gyakran ilyenkor a spektrumot egy trapézzal (mint itt) vagy háromszöggel ábrázoljuk Itt a két oldalsávos M-moduláció (M-DSB) spektrumát mutattuk be Két oldalsávos angolul: Double Side Band (z angol megfelel ket nem kell tudni, csak a rövidítéseket rövidítetlen alakot csak azért írom ki, mert az angolul tudók így könnyebben megjegyzik a rövidítést, és esetleg könnyebben keresnek a témához szakirodalmat) c 0

21 lapsávi és modulált jel spektruma, elnyomott viv s, M-DSB/SC z alábbi ábra mutatja az alapsávi és modulált jel spektrumát folytonos spektrumú moduláló jel esetén X() c Ha egyszer en nem adunk egyenszintet a modulálandó jelhez, akkor a kisugárzott jelben hiányozni fog a viv jel Ez el ny vagy hátrány? Mindkett viv jel hiánya, mint látni fogjuk, nehezebbé teszi a demodulálást, azaz a moduláló jel visszaállítását Emiatt az M modulációval m köd rádióadók nem elnyomott viv vel m ködnek z elnyomott viv s moduláció el nye viszont, hogy kisebb teljesítményt kell kisugározni Nem kell kisugározni az ± c frekvenciájú tüskéket, mégsem lesz a vett jelb l visszaállított (demodulált) jel gyengébb min ség, mintha a viv jelet is kisugároztam volna Elnyomott viv angolul: Suppressed Carrier Modulált jel spektruma, egy oldalsávos, M-SSB z alábbi ábra mutatja a modulált jel spektrumát folytonos spektrumú moduláló jel esetén X() c c z M modulációnak van még egy harmadik változata, amellyel sávszélességet takaríthatunk meg Egyszer en csak az egyik oldalsávot továbbítjuk Lényegtelen, hogy a fels t, vagy az alsót z ábrán az alsó oldalsáv (lower band) maradt meg, azaz a viv frekvenciánál kisebb frekvenciák, de használhattuk volna a fels oldalsávot (upper band) is Ez a modulációtípus az analóg telefonos hangátvitel alapja Nagyjából kétszer annyi beszédet továbbíthatunk így, mintha mindkét oldalsávot továbbítanánk Ez a modulációtípus nem jelent energiatakarékosságot, mivel a fél oldalsáv levágása gyengébb min séget jelent, ha nem kompenzáljuk azzal, hogy nagyobb teljesítménnyel továbbítjuk a jelet Manapság jelent sen el rehaladt a digitalizálás a telefonvonalok esetében, úgyhogy a telefonvonalakon egyre kevesebb helyen megy analóg jel, azaz M-SSB jel Egy oldalsávos angolul: Single Side Band c

22 3 Diszkrét Fouriertranszformáció (DFT) Diszkrét Fouriertranszformáció (DFT) Mintavételezett jelek esetén a Fouriertranszformáció DFT-be megy át Twiddle-faktor Diszkrét Fouriertr Fouriertranszformáció x(n) = N n,k N k=0 X(k)WN x(t) = + X() exp(jt) d X(k) = N N n=0 W n,k N n,k x(n)wn X() = + x(t) exp( jt) dt ( ) ( πkn πkn = cos + j sin N N f = kf 0, t = nt ) Twiddle-faktor pontos alakját nem fontos tudni, hanem azt, hogy egy rögzített mintaszám (N) esetén két paramétert l függ, az n-t l és a k-tól N = 6 esetben k = 0,,,, 5 és n = 0,,,, 5 értékei lehetnek (mindkett 0-tól 5-ig vesz fel egész értékeket) Ez összesen 6 6 = 56 értéket jelent, amelyet el re meghatározhatunk és eltárolhatunk STOP W n,k N szerepel az id tartományból a spektrumba alakításnál Ezeket az együtthatókat külön ki kell számolnunk, vagy valahogy meghatározható a W n,k értékekb l? fenti képletb l látható, hogy az n el jelének megváltoztatásával a két szögfüggvény argumentuma ellentettjére változik koszinusz az ellentettet elnyeli, mert páros függvény, a szinusz elé viszont kiemelhet a mínusz el jel Tehát a valós rész marad, a képzetes rész ellentettjére változik, azaz mindegyik Twiddle-faktornak a konjugáltját kell venni az inverz m veletnél W n,k N ( πkn = cos N ) j sin ( ) πkn N = W n,k N diszkrét Fouriertranszformációt mátrix alakban is felírhatjuk mindkét irányban Ha az X(k) illetve x(n) értékeket egy oszlopvektorként írjuk fel, akkor az egyikb l a másikat úgy kapjuk meg, hogy a Twiddle-faktorokból álló mátrix-szal szorozzuk DFT: mátrix alak (N=6) N N X(k) = N N n=0 W 0,0 6 W n,0 6 W 5,0 6 W 0, 6 W n, 6 W 5, 6 W 0, 6 W n, 6 W 5, 6 W 0,k 6 W n,k 6 W 5,k 6 W 0,5 6 W n,5 6 W 5,5 6 x(n)w n,k N x(0) x() x() x(n) x(5) = X(0) X() X() X(k) X(5)

23 DFT: szemléletesen (N=8) folytonos valós rész, szaggatott képzetes másik irányba nyilván a konjugáltakból álló mátrix-szal kell számolni DFT: m veletszám m veletek különféle átrendezésével kisebb m veletigénnyel is megvalósítható, és ezáltal gyorsabbá tehet a transzformáció Ezeket a gyorsabb változatokat nevezzük gyors Fouriertranszformációnak (FFT, Fast F T) MC-m veletszám (komplex szorzás+összegzés) DFT FFT N (N ) N/ log N hányados Míg a DFT akárhány minta esetén m ködik, az FFT egyik változata csak kett hatvány ( n ) minta esetén m ködik igazán hatékonyan, akkor viszont jelent sen rövidebb id alatt kiszámítható diszkrét koszinusztranszformáció, DCT a diszkrét Fouriertranszformáció olyan változata, ahol a mintavett jelet csupa koszinuszokból rakjuk össze Mint láttuk a koszinusz exponenciális alakjában csupa valós együttható (/) szerepel DCT együtthatói tehát csupán valós szám, cserében viszont kétszer annyi lesz bel le DCT fontos szerepet játszik a JPEG és MPEG formátumok tömörítési eljárásában z FFT története gyors Fouriertranszformációt többször elfeledték, és többször felfedezték Fontosságra igazán a gyors számítógépek megjelenésével tett szert 805 körül Gauss már felfe- 3

24 dezte, kés bb a fehérvári születés Lánczos Kornél fedezte fel 940-ben egy munkatársával Végül James Cooley és John Tukey fedezte fel 965-ben az IBM munkatársaiként Korábban mindketten Neumann munkatársai voltak a IS számítógép megépítésében Tukey-t l származik a bit kifejezés 4 jelek csoportosítása nalóg/digitális jel Digitális jel, amelynek az értékkészlete és az értelmezési tartománya is diszkrét értékekb l áll Általában az értékkészlete véges számú értéket vesz fel Gyakorlatban az értelmezési tartományra kirótt feltétel azt jelenti, hogy adott id pillanatokban érdekel minket, hogy a diszkrét értékek közül melyik értéket veszi fel, a többi id pontban érdektelen az értéke nalóg jel, amelynek mind az értelmezési tartománya, mind az értékkészlete folytonos Tehát minden id pillanatban fontos a jel értéke, és az érték a széls értékek között minden értéket felvesz Találkozunk olyan jellel is, amely csak id ben diszkrét, ez szigorúan véve egyik csoportba sem sorolható be Ilyen lesz a jelek mintavételezésekor kapott impulzusamplitudó moduláció (PM) másik köztes állapottal amikor az értékkészlet diszkrét, és a jel id ben folytonos mi nem fogunk találkozni az órán Periodicitás Periodikus jel: amelynél van olyan T periódusid, melyre f(t + T ) = f(t) Csak a periódikus jelek írhatóak fel Fouriersor összegeként z alábbi alakban felírható jeleket hívják harmónikus jeleknek: f(t) = sin(t + ϕ 0 ) Itt a körfrekvencia, ϕ 0 a kezd fázisszög (kezd fázis), a jel amplitudója képletben a szinusz helyett koszinuszt is írhattunk volna, akkor csupán a kezd fázis értékét kell máshogy megválasztani Nyilván a harmónikus jelek periódikus jelek, periódusidejük π/ Kváziperiodikus jel: Ezek a Fouriersorhoz hasonló összegként írhatóak fel, de az összetev k körfrekvenciák aránya nem minden esetben racionális szám Pl sin(5t) + sin( t) Ebben az esetben nincs olyan alap(kör)frekvencia, amelynek mindegyiké egész számú többszöröse lenne Racionális arányok esetén mindig van ilyen alapfrekvencia Egyéb tulajdonságok Sávhatárolt jel: amelyhez tartozik egy f max frekvenciahatár, amelynél nagyobb frekvenciát nem tartalmaz Véges idej jel: amelynél van olyan t és t id pont, melyeken kívül a jel értéke nincs értelmezve vagy nulla Nyilván periódikus jel nem lehet véges idej, csak akkor, ha állandóan nulla véges idej jeleknek ezt kivéve nincs Fouriersora Tehát gyakorlatban nem is tudunk olyan jelet létrehozni, amely tökéletesen periódikus lenne 4