Jelek spektruma, Fourier transzformáció

Átírás

1 Jelek spektruma, Fourier transzformáció Horváth Árpád 0. szeptember 3. Tartalomjegyzék. Harmónikus jel és a szögfüggvények.. lapismeretek Fourier-sor 7.. Trigonometrikus alakban Exponenciális alakban Fourier transzformáció z M modulált jel spektruma Diszkrét Fourier transzformáció (DFT) jelek csoportosítása Fellegi József anyagának felhasználásával. Spektrum vagy színkép, a frekvenciatartománybeli alak: milyen szinuszos jelekből tudom összerakni. Ennek tanulmányozására ajánlott a oldal. Pár feladat, amit megoldhatunk vele:. Hogyan lehet egy jel összetevőit meghatározni?. Hogyan torzul a négyszögjel, ha egy vezetéken (=aluláteresztő szűrőn) küldöm át? 3. Milyen kapcsolat van a jel spektruma és a modulált jel spektruma között? 4. Hangok és képek igen jelentős (veszteséges) tömörítése.. Harmónikus jel és a szögfüggvények Tanulmányozzuk először a harmónikus jeleket.

2 Harmónikus jel fogalma. Definició Harmónikus jelnek nevezzük azokat a jeleket, amelyek felírhatóak alakban. f(t) = sin(t + ϕ 0 ) Tulajdonképpen ezek a szinuszfüggvény középiskolában tanult transzformáltjai (eltoltjai, nyújtottjai az egyes tengelyek mentén). Tétel Minden harmónikus jel felírható alakban is megfelelő a, b valós számokkal. f(t) = a cos t + b sin t Keressük meg a kapcsolatot a (, ϕ 0 ) és a (a, b) valós számpárok között! Először ismételjük át, amit a szögfüggvényekről tudni kell!.. Szükséges alapismeretek ismétlése radián értelmezése, átváltása. rad r α = rad i = r r α = π rad i = kerület = rπ α rad = i r α rad π = α fok 80 szögfüggvények változójaként a radiánban mért szöget szoktuk használni. radián értéke kellemetlen olyan szempontból, hogy a nevezetes szögeket irracionális számként (π többszöröseként) adhatjuk meg. fokra való átváltás viszont nem jelent gondot, ha megjegyezzük azt hogy a teljes szög, a 80, π radiánnal egyenlő. Ilyenkor aránypár felírásával bármelyik irányban könnyen átszámolhatunk. Példák az átváltásra.. példa Váltsuk át az alábbi radián-értékeket fokba! π 3 rad, π 4 rad, 3π 4 rad, 3π rad, rad, 3,4 rad,,5 rad

3 . példa Váltsuk át az alábbi fok-értékeket radiánba! 90, 300, 5, 0, 4,6 3. példa Egy r = 0 cm sugarú körben mekkora a 3 radiános központi szöghöz tartozó ívhossz? Megoldások:. példa.. példa. 60, 45, 35, 70, 57,30 80, 43,, π rad, 0π 6 rad, π rad, π 9 rad, rad 3. példa. 60 cm. Szögfüggvények, szinusz függvény. sin és cos szögfüggvényeket adott irányszögű egységvektor koordinátáiként definiáljuk. y y = sin α α cos α sin α x π 6 π 6 π π α fázisszög az idő során változik, a változási gyorsaságát jellemezhetjük a villanytanból már ismert körfrekvenciával. = 00πrad/s 34 rad s esetén a fázisszög minden másodpercben 00π radiánnal növekszik. teljes körhöz tartozó belső szög, a teljes szög, π radián, mivel a kör kerülete π-szerese a sugárnak. Tehát az = 00πrad/s esetén másodpercenként 50 teljes kört teszek meg a forgóvektorral, azaz másodpercenként 50 teljes periódust ír le a függőleges vetületeként kapott szinuszfüggvény. teljes körök másodpercenkénti számát jellemzi a frekvencia, amely eszerint a radiánok számának π-ed része. periódusidő az az idő, ahonnan a jel ismétlődik. yilván ez a forgóvektor teljes körének megtétele után történik meg. Ha frekvencia 50 /s, azaz másodpercenként 50 teljes kört ír le a forgóábra, akkor a periódusidő a másodperc 50-ed része: 0.0 s = 0 ms. Jelen esetben tehát: = 00π rad s f = π = 50 = 50 Hz T = 0 ms. s 3

4 Ez egyébként épp az európai elektromos hálózatban használt körfrekvencia, frekvencia és periódusidő. híradástechnikában ennél jóval nagyobb körfrekvencia-értékekkel találkozunk általában. forgóvektor. y y = sin(t + ϕ 0 ) ϕ(t) sin ϕ x T 4 T t harmónikus jeleket egy-egy forgó vektor vetületeként kaphatjuk meg. (Mi a függőleges összetevőt fogjuk vizsgálni, de más irodalomban előfordul a vízszintes összetevő is.) ulla kezdőfázis esetén a jel nulla értékről indul pozitív irányba. mennyiben nem ez a helyzet, az összetevőt valamilyen ϕ 0 kezdőfázissal jellemezhetjük. későbbiek során a vektor irányát jellemző ϕ irányszög az idővel arányosan változik: ϕ(t) = t + ϕ 0 ( ϕ utáni zárójelben levő t azt jelzi, hogy a fázisszög értéke az időben változik, matematikus szóhasználattal az idő függvénye. képlet jobb oldalán tehát csak a t a változó, a másik kettő érték, a harmónikus jelre jellemző állandó, más néven paraméter.) fenti ábrán a kezdőfázis π/6, azaz 30. Mint látható, az érték lesz a kitérés amplitúdója. csúcstól csúcsig érték pedig. korábbi tétel igazolásához bontsuk a t = 0 pillanatban a vektort két részre, a két tengely menti összetevőjére. két összetevő nagyságát jelölje a és b az ábrán látható módon. (Figyelem, az a és b helye itt fordított, mint a komplex számok a + bj algebrai alakjában.) cos és sin összetevők (t = 0). 4

5 y a ϕ 0 b x Vizsgáljuk meg a vektor és az összetevői helyzetét, amikor kissé arrébb fordultak. cos és sin összetevők (t 0). y f(t) =? t + ϕ 0 x z f(t) értékét könnyen kiszámíthatjuk egy szögfüggvény alkalmazásával, mivel a szöggel szemközti oldal a kérdéses, és az átfogó ismert: ezek a szinuszban szerepelnek. f(t) = sin(t + ϕ 0 ) (Ha összeg van a szinusz után, azt mindig zárójelbe tesszük.) Most vizsgáljuk meg, hová kerültek az a és b szakaszok, és mekkora a vetületük! cos és sin összetevők (t 0). 5

6 y a a =? f(t) = sin(t + ϕ 0 ) t f(t) t b b =? x f(t) = a + b f(t) = a cos t + b sin t fenti ábrából megállapítható, hogy a vetületük a = a cos t, illetve b = b sin t. Ezek összege éppen a keresett f(t) = sin(t + ϕ 0 ). Ezt mondta ki a korábbi tétel. kétféle írásmód közül néha az egyik, néha a másik kellemesebb illetve hasznosabb. Példa Hogyan tudunk áttérni az egyik féle írásmódból a másikba? Másképpen milyen kapcsolat van a (a, b) és a (, ϕ) valós számpárok között? Összefüggés (a, b) és (, ϕ) között. y = a + b tg ϕ 0 = a/b a = sin ϕ 0 b = cos ϕ 0 kapott eredmények fontosak, a de inkább az ábráról való ϕ 0 leolvasásukat érdemes x b megjegyezni, mint a végeredményeket. Különösen a szög kiszámításánál hasznos a síknegyed-helyes ábra, ugyanis a tangens nem tesz különbséget a 80-fokkal eltérő szögek között, azaz az I. és III. valamint II. és IV. síknegyed között. Ilyenkor az arkusztangenssel kapott szöghöz a III. és IV. (alsó) síknegyedekben 80 hozzáadandó. később említendő matematikai programokban a szögek számításához érdemes az atan (octave, MTLB) illetve arctan (pylab) függvényeket használni. 6

7 Példák az átváltásra.. példa Határozzuk meg az a és b értéket 4 értékes jegy pontossággal, = 6 V, ϕ 0 = π/3. példa f(t) = 4 V sin t + 3 V cos t = sin(t + ϕ 0 ) esetén határozzuk meg és ϕ 0 értékét négy értékes jegyre. 3. példa esetén ugyanez. f(t) = 4 V sin t + 3 V cos t Megoldások:. példa. csupán. és 3. képletet kell alkalmazni. a = 3 3 V 5,96 V, b = 3 V négy értékes jegy azt jelenti, hogy az első nem nulla számjegytől négy jegyet hagyunk meg. második esetben írhattunk volna 3,000 értéket, amit a mérnöki gyakorlatban alkalmaznak is, ha az adat pontosságát szeretnék hangsúlyozni. Mérnöki gyakorlatban ugyanis nincsenek abszolút pontos mérhető mennyiségek, minden mérés csak valamilyen mérési pontossággal értendő.. példa. csupán. és. képletet kell alkalmazni. = 5 V, ϕ 0 = arctg 3/4 = 0,6435 rad = 36,87 3. példa. feladatmegoldás menete hasonló. z arctg-re negatív értéket kapunk. z ábrát felrajzolva kitűnik, hogy a III. (jobb alsó) síknegyedben van az vektorunk (t = 0-ban), tehát a értékhez 80 fokot hozzá kell adnunk: arctg( 3/4) = 0, 6435 rad = 36,87 ϕ 0 = π + arctg( 3/4) = π 0, 6435 rad =,498 rad = 80 36,87 = 43,3. Fourier-sor Fourier-sorbafejtés mint már említettük a jelek felbontását jelenti harmónikus jelekre. sorbafejtés során egy végtelen sor összegeként kapjuk meg a függvényt. sorbafejtés csak periódikus függvények esetén lehetséges. nem periódikus jelek esetén, más módszerre lesz szükség. Fourier-sort kétféle alakban szokás megadni. két alak a komlex számok két alakjával a trigonometrikus és az exponenciális alakkal van kapcsolatban. Mindkét alaknak vannak előnyei, ezért mindkettőt és kapcsolatukat is tárgyaljuk. 7

8 .. Trigonometrikus alakban Fourier-sor. Periodikus jelekre működik. f(t + T ) = f(t) Trigonometrikus alak: x(t) = a 0 +a cos( 0 t) + a cos( 0 t) b sin( 0 t) + b sin( 0 t) +... = = a 0 + (a k cos(k 0 t) + b k sin(k 0 t)) k= 0 = πf 0 = π T z együtthatók kiszámítása a Scharnitzky Viktor: Vektorgeometria és lineáris algebra című könyvben (emzeti Tankönyvkiadó Rt., Bp., 999) részletesen benne van.. négyszögjel spektruma. f(t) t () T x(t) = { ha t ]0, T [ ha t ] T, 0[ x(t + T ) = x(t) Páratlan függvényekben csak szinuszos tagok vannak (a k = 0). Páros függvényekben csak koszinuszos tagok vannak (b k = 0). (k =...). négyszögjel spektruma, trigonometrikus. Páratlan függvényekben csak... tagok, páros függvényekben csak... tagok vannak. x(t) = 4 ( sin( 0 t) + sin(3 0t) + sin(5 ) 0t) +... π 3 5 x(t) = 4 π k=,3,5,... sin(k 0 t) k 8

9 b = 4 π, b 3 = 4 3 π, b 5 = 4 5 π, b 7, b 9... z a k -k és a páros indexű b k -k nullák. Ezt a sorbafejtést jegyezzük meg, a többi (50%-os kitöltési tényezőjű) négyszögjel spektrumát ebből ki tudjuk következtetni. Ha az amplitudókat ábrázolom a frekvencia függvényében, akkor az alábbi ábrákat kapom:. négyszögjel spektruma: trigonometrikus, b k. b k b = 4/π, 7 b k 0 k páratlan. b 3 = b /3 b 5 = b / négyszögjel spektruma: trigonometrikus, a k. a k a 0 = 0 nincs egyenszint a k = 0 nincsenek koszinuszos tagok négyszögjel spektruma: trigonometrikus, amplitudó. 9

10 k = a k + b k = 4/π, 7 3 = /3 5 = /5 0 = 0 nincs egyenszint Itt k = a k + bk = 0 + b k = b k = b k (k > 0).. négyszögjel (áttérés másik négyszögjelre). x(t) = { 4 ha t ]0, s[ 0 ha t ] s, 0[ x(t + s) = x(t) z előző kétszeresét vesszük, és hozzáadunk kettőt, és az 0 értéket is meghatározzuk.. négyszögjel spektruma. x(t) = + 8 π x(t) = + 8 π 0 = πf = π T = π rad = π s s ( sin( 0 t) + sin(3 0t) + sin(5 ) 0t) k=,3,5,... sin(k 0 t) k 0 0 = π rad s

11 a 0 = ; b = 8 π, b 3 = 3 8 π, b 5 = 5 8 π. négyszögjel spektruma: trigonometrikus, amplitudó. k = a k + b k = 8/π,55 0 = egyenszint Itt k = b k, ha k, 0 = a 0. 3 = /3 5 = / Fourier-részösszeg MTLB-ban és Octave-ban. x = linspace(-pi, pi, 04) y = zeros(, 04) for k=::5 %, 3,... 5 y += sin(k*x)/k end plot(x,4/pi*y) title("égyszögjel Fourier-sora 5 tag") savefig("fourier5.png") MTLB nagytudású kereskedelmi szoftver, mely mártixműveletekben és több más műszaki és tudományos területen kíváló lehetőségekkel rendelkezik. Ingyenesen sajnos nem tölthető le. z Octave a MTLB szabad szoftver változata. tudása kisebb mint a MTLB-é, de a mátrixműveleteket és függvényábrázolást képes hasonlóan elvégezni. Fourier-részösszeg Pythonban. from pylab import * x = linspace(-pi, pi, 04) y = zeros(04) for k in range(,6,): #, 3,... 5 y += sin(k*x)/k plot(x,4/pi*y) title(u"égyszögjel Fourier-sora 5 tag")

12 savefig("fourier5.png") show() Mint látjuk csak a pylab modult kell plusszban behívni, és a ciklus átírni Pythonosra. Python általános célú nyelv, nem a matematikára van kihegyezve, ezért a matematika terén néha bonyolultabban kezelhető, mint a MTLB. Ezért viszont több dolog kárpótolhat: a rendkívül kézreálló szintaktikája, ingyenessége, az, hogy Linux disztribúciókban alapból települ. Szintén előnye a rengeteg szintén ingyenes modul. Többek közt a fent bemutatott pylab modul a matplotlib csomagból. Pylab telepítése: Python oktató (tutorial): ki még nagyobb tudású szabadon használható szoftvert szeretne, érdemes megismerkednie a SGE-dszel, amely részeként szintén használható a pylab. Ezt akár telepítve is használhatjuk, de lehetőség van a honlapján regisztrálva a honlapon keresztül használni. Mindkét nyelvvel megismerkedünk felületesen a laborgyakorlatokon... Fourier-sor exponenciális alakban Két fontos összefüggés. cos és sin exponenciális alakja cos t = e jt + ejt sin t = j e jt j ejt j a képzetes egység (szokásos mérnöki jelölésmódja) j = z e z jelölés helyett gyakran az exp(z) jelölés használatos: cos t = exp( jt) + exp(jt) ( levezetést nem kell tudni, egyébként a következő összefüggésből kiindulva megkapható az exponenciális alak: e jt = exp(jt) = cos t + j sin t () Először a e jt értékét kell meghatározni. Ehhez tudni kell, hogy a cos páros függvény lévén elnyeli az előjeleket, a sin mivel páratlan nem. Ha e jt és e jt összegét illetve különbségét vesszük, akkor csak a cos illetve sin marad meg, átrendezéssel a fenti képletek megkaphatóak.) Exponenciális alakban a Fourier-sorban szinuszok és koszinuszok helyett exponenciális függvények szerepelnek. Mint láttuk a szinusz és koszinusz függvényt át lehet írni exponenciális függvények összegére. Mindegyikből két tag lesz, ami újdonság, hogy megjelennek a negatív (kör)frekvenciák (exp( j 0 t)). z együtthatók ilyenkor komplexek lesznek: a koszinuszból lesz a valós rész, a szinuszból a képzetes rész. ehezen tudjuk a frekvencia függvényében ábrázolni mindkét összetevőt, ezért gyakran az abszolut értéket szoktuk.

13 komplex számok bevezetésével a matematikai formulák egyszerűbbek lesznek, és ezen keresztül vezet az út az általánosításhoz. z alábbi alakban az X 0 együtthatójú rész exponenciális részének kitevője nulla lesz, az eggyel való szorzás elhagyható. Ez lesz az egyen-összetevő (X 0 = a 0 ). z első sorban vannak a pozitív frekvenciás tagok, a harmadikban pedig a negatív frekvenciásak. z előjelet az elől kivittük a j elé az egyszerűség kedvéért. Exponenciális alakban. x(t) = X exp(j 0 t) + X exp(j 0 t) + X 3 exp(j3 0 t) +... (3) + X 0 + X exp( j 0 t) + X exp( j 0 t) + X 3 exp( j3 0 t) +... e jt = exp( jt) = cos t j sin t (4) rövid alakja: x(t) = + k= X k exp(jk 0 t) (5) STOP Vizsgáljuk meg az alábbi szinuszos jel Fourier-sorát. Határozzuk meg mindkét alakban az együtthatók értékét (a k, b k, X k ). x(t) = sin( 0 t) (7) és 0 valós szám értékű fizikai mennyiségek. x(t) = sin( 0 t) = j exp(j 0t) + j exp( j 0t) (8) Trigonometrikus alakban b =. Exponenciális alakban X = j, X = j (+K alakot, négyszögjelet is.../beadando.tex) Áttérés a trigonometrikus és exponenciális ( alak között a a cos(t) + b sin(t) = + jb ) ( a e jt + jb ) e jt. feladat Igazoljuk a fenti összefüggést!. feladat Hogyan számolhatjuk az X és X együtthatókat és a és b együtthatókat egymásból? 3. feladat Milyen kapcsolat lesz és X között? 3

14 Megoldások:. feladat X = a + jb, X = a jb, a = Re(X ), b = Im(X ) Re és Im a komplex szám valós és képzetes része. 3. feladat X = a jb (a ( ) b ) = + = a + b = fenti eredmények alapján elég könnyen át tudjuk alakítani egymásba a kétfajta Fourier-sort. z egyenszinttel semmi gondunk sincs: a 0 = X 0 = 0 valós szám lesz. z a k cos(k 0 t) + b k sin(k 0 t) alakú többi összetevőt pedig a fenti képlettel át tudjuk alakítani exponenciális alakba, meg tudjuk határozni az X k és X k együtthatókat. Másik irányba pedig az X k értékéből meg tudjuk határozni mind az a k és b k együtthatókat. 4. feladat Mi lesz X 5 ha X 5 = 4 3j? 5. feladat Mekkora X 5, a 5, b 5 és 5, ha X 5 = 4 3j? 6. feladat Milyen függvények esetén lesznek X k értékek valósak? 7. feladat Mit lehet mondani az X k, a k és b k értékekről, ha a függvény páratlan? Megoldások: 4. feladat: 4 + 3j, mivel a korábbi képletből látható, hogy az ellentett indexű tagok egymás konjugáltjai (képzetes részük ellentettje egymásnak). 5. feladat: X 5 = = 5, 5 ennek kétszerese, 0. a 5 = ReX 5 = 4 = 8, a 5 = ImX 5 = 3 = 6, 5 = a 5 + b 5 = 0 z utolsó számítással immár kétféleképp is kiszámoltuk 5 -öt. 6. feladat: yilván, ha csak a k együtthatók vannak, azaz csak koszinuszos tagok és egyenszint. Ez pedig akkor van így, ha a függvény páros. 7. feladat: páratlan függvényeknél csak szinuszos tagok vannak, nincs koszinuszos és egyenszint, emiatt a k = 0 minden lehetséges k-ra, b k értékeiről semmit nem tudunk, azok tetszőleges értékek lehetnek. z X k -ra ez annyit jelent, hogy csak képzetes része lesz az együtthatóknak. Ez a helyzet az első négyszögjelünkkel is. 4

15 . négyszögjel spektruma, exponenciális. Ezt már megállapítottuk korábban b = 4 π, b 3 = 4 3 π, b 5 = 4 5 π, b 7, b 9... z a k -k és a páros indexű b k -k nullák. Mivel nincs egyenszint X 0 = 0 páros indexű X k -k nullák lesznek. π, X 5 = j 5 π,... = j π, X 3 = j 3 π, X 5 = j 5 π,... X = a + j b = j π, X 3 = j 3 X = a j b. négyszögjel spektruma: exponenciális, X k. X 0 = 0 X k = X k = k, k > 0 X k X = = π 0,63 5 X 3 = X 3 X 5 = X X 0 = 0 nincs egyenszint z ábra feletti összefüggések minden esetben érvényesek. Ha ismerem a trigonometrikus alak k amplitúdóit, akkor minden esetben meghatározhatóak ilymódon az exponenciális alak komplex együtthatóinak abszolút értéke. 3. Fourier transzformáció (folytonos és diszkrét) Fourier sor csak periódikus jelekre használható. em periódikus jeleknél a Fourier transzformációt használjuk. folytonos spektrum kialakítását az alábbi ábrán követjük nyomon. négyszögjel spektrumát a már megvizsgáltuk. ézzük meg mi történik, ha a négyszögjel szélességének változtatása nélkül növeljük a periódusidőt! Ha a periódusidőt a végtelenségig növeljük (T, akkor egyetlen impulzust kapunk, amely már nem periódikus. Mint az ábrán látható, ahogy a periódusidőt növeljük, a diszkrét jel spektrumának tüskéi egyre közelebb lesznek egymáshoz, határértékben folyamatos jelet kapunk. 5

16 Kitérő az alábbi ábra értelmezésére. z alábbi ábra egyes soraiban egymás mellett láthatóak az összetartozó időtartománybeli és frekvenciatartománybeli ábrák. Hogyan értelmezzük, hogy negatív értékek is vannak a spektrumban? Egyelőre vizsgáljuk a legelső sorban szereplő esetet. z ábrán olyan négyszögjel szerepel, mely páros függvény: a magas szintű plató közepénél van a 0 időpillanat. yilván akkor csak koszinuszos tagok lehetnek. z ábrán tehát az előjeles a i együtthatók szerepelnek. Látszik, hogy a négyszögjelet vízszintesen eltolom, hogy páros legyen, az egyes összetevők amplitúdói nem változnak, a frekvenciaösszetevők nem függhetnek attól, mikor kezdem el mérni az időt, de b i együtthatók helyett a i együtthatók lesznek. Ráadásul ebben ez esetben felváltva lesznek pozitív és negatív koszinuszos tagok, pozitív és negatív a i együtthatók. z alábbi első ábrán látható jel a következő harmónikus összetevőkből áll: x(t) = egyenszint + ( cos( 0 t) π 3 cos(3 0t) + 5 cos(5 0t) ) 7 cos(7 0t) Ha a periódusidőt növeljük a magas szint szélességének növelése nélkül, akkor a burkológörbe alakja és annak zérushelyei változatlanok maradnak. frekvenciaösszetevők viszont egyre közelebb kerülnek egymáshoz. periódusidő duplázódásával (második sorban szereplő grafikonok) fele akkora távolságra. Ez nyilvánvaló, hiszen az alap-körfrekvencia a periódusidő reciprokával arányos. Ha a periódusidővel végtelenhez tartunk (a legalsó sorban szereplő ábrához), akkor egy nem periódikus esethez közelítünk, a frekvenciaösszetevők egyre közelebb kerülnek, míg végül kialakul a folytonos színkép. folytonos színkép zérushelyei ugyanott maradnak, ahol az eredeti (első sorban szereplő) jelben az alapfrekvencia páros számú többszörösei. 6

17 Folytonos spektrum kialakulása. Ezek után nézzük meg, hogyan alakulnak át a képletek, ha a Fourier-sorról a Fourier-transzformációra térünk át. z összehasonlíthatóság kedvéért egymás mellett szerepeltetjük a képleteiket. felső sorban szerepelnek azok a képletek, amellyel a frekvencia-tartományból (X-ből) időtartományba (x(t)-be) térhetünk át, az alsóban azok a képletek, amelyekkel az idő-tartományból térhetünk át frekvencia-tartományba. z X k sorozat helyett egy X() folytonos függvény szerepel a Fourier-transzformációban. z időtartománybeli jel most már nem fejezhető ki egy sorösszegként, hanem egy integrállal határozható meg. Fourier transzformáció. em periodikus (aperiódikus) jelek esetén. (T ) Fourier sor Fourier transzformáció x(t) = + k= X k exp(jkt) x(t) = + X() exp(jt) d X k = T T 0 x(t) exp( jkt) dt X() = + x(t) exp( jt) dt STOP Milyen lesz a szinusz, illetve a csillapított szinusz színképe? Gondoljunk arra, hogy mitől függött, hogy a spektrum megállapításánál használhatjuk-e a Fourier-sort, vagy csak a Fourier-transzformációt? 7

18 Szinusz és csillapított szinusz színképe. u(t) [V] absy(j) [db] Sinus and dumped sinus in time and frequency domain t [x0.5 ms] f [Hz] Látható, hogy valóban igaz, hogy periódikus jel spektruma diszkrét vonalakból áll, a csillapított szinusz viszont már nem lesz periódikus, és a színképe tényleg folytonos. Megnézhetjük ugyanezt a négyszögjelre és a csillapított négyszögjelre is. 8

19 égyszögjel és csillapított négyszögjel színképe. u(t) [V] Rectangular and dumped rect. in time and frequency domain t [x0.5 ms] 0 absy(j) [db] f [Hz] 3.. z M modulált jel spektruma z rádióadások egy része amplitudómodulált (M) jelként kerül kisugárzásra. Ennél a modulálandó a(t) hangjelet megszorozzák egy nagyobb frekvenciájú harmónikus jellel, az úgynevezett vivőjellel (s c ), és ezt sugározzák ki. c index onnan származik, hogy a vivő angolul carrier. vivő jele s c (t) = cos c t, ahol f c = c /π a vivőfrekvencia. modulálandó a(t) jel Fourier-transzformáltját jelölje (). Ekkor az M-modulált jel Fouriertranszformáltja a következőképp számolható. S M () = + + a(t) cos c t e jt dt = + + ( a(t) e jct + ) e+jct e jt dt = (9) = a(t) e j(+c)t dt + a(t) e j( c)t dt (0) = ( c ) + ( + c ) () z utolsó sorban az látszik, hogy a modulált jelben az eredeti spektrum két helyen található meg, eltolódva a plusz és minusz c -vel. () 9

20 lapsávi és modulált jel spektruma, harmónikus jel. z alábbi ábra mutatja az alapsávi és modulált jel spektrumát az alábbi képletű s m harmónikus moduláló jel és s c vivőjel esetén. s m (t) = m cos( m t) + 0, s c (t) = cos( c t) 0 X k m m4 0 m m c m c + m c m c + m c c Periódikus jel esetén amikor a spektrum vonalas az alapsávi jelek X k együtthatói már felei az eredeti jel amplitúdóinak, a moduláció esetén ismét feleződik az amplitudó, tehát az eredeti amplitudó negyede jelenik meg exponenciális alakot használva. lapsávi és modulált jel spektruma. z alábbi ábra mutatja az alapsávi és modulált jel spektrumát folytonos spektrumú moduláló jel esetén. X() c z utóbbi esetben egy olyan jel M modulált változatát mutattunk be, amelyben a moduláló jel spektruma folytonos, és valamilyen frekvenciahatárok közé esik. Általában ilyennek vehetünk egy rádióadást, ahol a jel pl. 0 Hz és 0 khz között folytonosnak tekinthető. Gyakran ilyenkor a spektrumot egy trapézzal (mint itt) vagy háromszöggel ábrázoljuk. Itt a két oldalsávos M-moduláció (M-DSB) spektrumát mutattuk be, a továbbiakban szereplnek majd az M-moduláció további változata is. 3.. Diszkrét Fourier transzformáció (DFT) Diszkrét Fourier transzformáció (DFT). Mintavételezett jelek esetén a Fourier transzformáció DFT-be megy át. Diszkrét Fourier tr. Fourier transzformáció x(n) = n,k k=0 X(k)W x(t) = + X() exp(jt) d X(k) = n=0 c n,k x(n)w X() = + x(t) exp( jt) dt 0

21 Twiddle-faktor W n,k ( ) ( πkn πkn = cos + j sin f = kf 0, t = nt ) Twiddle-faktor pontos alakját nem fontos tudni, hanem azt, hogy egy rögzített mintaszám () esetén két paramétertől függ, az n-től és a k-tól. = 6 esetben k = 0,,,..., 5 és n = 0,,,..., 5 értékei lehetnek (mindkettő 0-tól 5-ig vesz fel egész értékeket). Ez összesen 6 6 = 56 értéket jelent, amelyet előre meghatározhatunk és eltárolhatunk. STOP szerepel az időtartományból a spektrumba alakításnál. Ezeket az együtthatókat külön ki kell számolnunk, vagy valahogy meghatározható a W n,k értékekből? fenti képletből látható, hogy az n előjelének megváltoztatásával a két szögfüggvény argumentuma ellentettjére változik. koszinusz az ellentettet elnyeli, mert páros függvény, a szinusz elé viszont kiemelhető a mínusz előjel. Tehát a valós rész marad, a képzetes rész ellentettjére változik, azaz mindegyik Twiddle-faktornak a konjugáltját kell venni az inverz műveletnél. W n,k W n,k ( πkn = cos ) j sin ( ) πkn = W n,k diszkrét Fourier transzformációt mátrix alakban is felírhatjuk mindkét irányban. Ha az X(k) illetve x(n) értékeket egy oszlopvektorként írjuk fel, akkor az egyikből a másikat úgy kapjuk meg, hogy a Twiddle-faktorokból álló mátrix-szal szorozzuk. DFT: mátrix alak. X(k) = x(n)w n,k n=0 W 0, W n, W 5,0 6 W 0, 6... W n, 6... W 5, 6 W 0, 6... W n, 6... W 5, W 0,k 6... W n,k 6... W 5,k W 0, W n, W 5,5 6 x(0) x() x(). x(n). x(5) = X(0) X() X(). X(k). X(5) másik irányba nyilván a konjugáltakból álló mátrix-szal kell számolni. DFT: műveletszám. műveletek különféle átrendezésével kisebb műveletigénnyel is megvalósítható, és ezáltal gyorsabbá tehető a transzformáció. Ezeket a gyorsabb változatokat nevezzük gyors Fourier transzformációnak (FFT, Fast F. T.). MC-műveletszám (komplex szorzás+összegzés)

22 DFT FFT ( ) / log hányados Míg a DFT akárhány minta esetén működik, az FFT egyik változata csak kettőhatvány ( n ) minta esetén működik igazán hatékonyan, akkor viszont jelentősen rövidebb idő alatt kiszámítható. diszkrét koszinusz transzformáció, DCT a diszkrét Fourier transzformáció olyan változata, ahol a mintavett jelet csupa koszinuszokból rakjuk össze. Mint láttuk a koszinusz exponenciális alakjában csupa valós együttható (/) szerepel. DCT együtthatói tehát csupán valós szám, cserében viszont kétszer annyi lesz belőle. DCT fontos szerepet játszik a JPEG és MPEG formátumok tömörítési eljárásában. z FFT története. gyors Fourier transzformációt többször elfeledték, és többször felfedezték. Fontosságra igazán a gyors számítógépek megjelenésével tett szert. 805 körül Gauss már felfedezte, később a fehérvári születésű Lánczos Kornél fedezte fel 940-ben egy munkatársával. Végül James Cooley és John Tukey fedezte fel 965-ben az IBM munkatársaiként. Korábban mindketten eumann munkatársai voltak a IS számítógép megépítésében. Tukey-től származik a bit kifejezés. 4. jelek csoportosítása nalóg/digitális jel. Digitális jel, amelynek az értékkészlete és az értelmezési tartománya is diszkrét értékekből áll. Általában az értékkészlete véges számú értéket vesz fel. Gyakorlatban az értelmezési tartományra kirótt feltétel azt jelenti, hogy adott időpillanatokban érdekel minket, hogy a diszkrét értékek közül melyik értéket veszi fel, a többi időpontban érdektelen az értéke. nalóg jel, amelynek mind az értelmezési tartománya, mind az értékkészlete folytonos. Tehát minden időpillanatban fontos a jel értéke, és az érték a szélsőértékek között minden értéket felvesz. Találkozunk olyan jellel is, amely csak időben diszkrét, ez szigorúan véve egyik csoportba sem sorolható be. Ilyen lesz a jelek mintavételezésekor kapott impulzusamplitudó moduláció (PM). másik köztes állapottal amikor az értékkészlet diszkrét, és a jel időben folytonos mi nem fogunk találkozni az órán. Periodicitás. Periodikus jel: amelynél van olyan T periódusidő, melyre f(t + T ) = f(t) Csak a periódikus jelek írhatóak fel Fourier sor összegeként. z alábbi alakban felírható jeleket hívják harmónikus jeleknek: f(t) = sin(t + ϕ 0 ) Itt a körfrekvencia, ϕ 0 a kezdő fázisszög (kezdőfázis), a jel amplitudója. képletben a koszinusz helyett szinuszt is írhattunk volna, akkor csupán a kezdőfázis értékét kell máshogy megválasztani. yilván a harmónikus jelek periódikus jelek, periódusidejük π/.

23 Kváziperiodikus jel: Ezek a Fourier sorhoz hasonló összegként írhatóak fel, de az összetevők körfrekvenciák aránya nem minden esetben racionális szám. Pl sin(5t) + sin( t). Ebben az esetben nincs olyan alap(kör)frekvencia, amelynek mindegyiké egész számú többszöröse lenne. Racionális arányok esetén mindig van ilyen alapfrekvencia. Egyéb tulajdonságok. Sávhatárolt jel: amelyhez tartozik egy f max frekvenciahatár, amelynél nagyobb frekvenciát nem tartalmaz. Véges idejű jel: amelynél van olyan t és t időpont, melyeken kívül a jel értéke nincs értelmezve vagy nulla. yilván periódikus jel nem lehet véges idejű, csak akkor, ha állandóan nulla. véges idejű jeleknek ezt kivéve nincs Fourier sora. Tehát gyakorlatban nem is tudunk olyan jelet létrehozni, amely tökéletesen periódikus lenne. 3