TE IS LÁTOD, AMIT ÉN LÁTOK?

Átírás

1 MTEMTIKI KOMPETENITERÜLET TE IS LÁTO, MIT ÉN LÁTOK? TÉRSZEMLÉLET EJLESZTÉS ÉVOLYM II. RÉSZ ELTgyűjtemény

2 kidvány z Eductio Kht. Kompetencifejlesztő okttási progrm kerettnterve lpján készült. kidvány Nemzeti ejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Opertív Progrm központi progrm (Pedgógusok és okttási szkértők felkészítése kompetenci lpú képzés és okttás feldtir) keretében készült, sulinov okttási progrmcsomg részeként létrejött tnulói információhordozó. kidvány sikeres hsználtához szükséges teljes okttási progrmcsomg ismerete és hsznált. teljes progrmcsomg elérhető: címen. Mtemtik szkmi vezető Pálflvi Józsefné dr. Írt Széplki Györgyné Lektor Pálmy Lóránt Ábrák Szlóki ezső elelős szerkesztő Teszár Edit mtemtik okttási progrmcsomghoz készült mnipulációs tneszközök melléklete. Eductio Kht

3 Trtlom JÁNLÁS...5 ELTgyűjtemény évfolym évfolym évfolym évfolym ELTgyűjtemény megoldás évfolym évfolym évfolym évfolym... 45

4

5 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig 5 JÁNLÁS mtemtik hozzászokttj szemünket hhoz, hogy tisztán és világosn láss z igzságot (R. escrtes) feldtgyűjtemény 60 feldtot trtlmz, korosztályonként öt, melyek térlátás fejlesztését szolgálják elsősorbn. felvetett problémák megválszolás nem terület, felszín illetve térfogtszámítást, hnem építsd meg, rjzold le, próbáld meg elképzelni műveleteket vár tnulóktól. feldtok megoldás közben, már legkisebb korosztálybn is konkrét tpsztlttól z elvont gondolkodásig, minden logiki lépést el kell végezni. z egyes fejezetek elején korosztály megjelölése csk jánlás. gyűjteményben olyn feldtsorok szerepelnek, melyek nem függnek z iskoli tntervben előírt tnnygtól, ezért z lcsonybb korosztály feldti bármelyik mgsbb évfolymbn is megoldhtók. sk zt trtsuk szem előtt, hogy kisebbeknél mindig modellezzünk, hsználjuk progrmcsomghoz elkészült, illetve nnk lpján z áltlunk elkészített tnári és tnulói modelleket. Konkrét tárgykon, eszközökön elemezzük felvetett problémát, így fedeztessük fel z összefüggéseket, hiszen egy térbeli lkzt, és nnk leképezése síkbn bsztrkciós lépéssorozt gykorlás vezethet el térszemlélet fejlődéséhez. Ez fejlesztési folymt kkor eredményes, h egészen kicsi korbn elkezdődik. Természetesen idősebb diákoknk, sőt felnőtteknek is segítenek feldthoz illő vlóságos tárgyk és modellek. feldtok sorszám melletti jel rr utl, hogy zok megoldás nehezebb, komolybb összefüggések felfedezését várj tnulóktól. tém iránt érdeklődők további, ezekhez hsonló feldtot tlálnk megfelelő korosztály tnkönyveiben, feldtgyűjteményeiben és felvételi feldtsoribn.

6 6 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény eldtgyûjtemény 5 6. ÉVOLYM z első két feldthoz nyújt segítséget következő péld. Péld Egységkockákból különböző építményeket készítünk úgy, hogy kockákt egy-egy lpjuknál összergsztjuk. Ebben példábn egy ilyen építményt, és nnk lprjzát látod. z lprjz négyzeteibe írt számok z egymás fölött elhelyezett kockák számát jelentik. z építmény minden egyes oszlop z lptól számítv folytonosn ki vn töltve kockákkl. (z építmény sehol sem lyuks.) Egységkockákból készített építmények rjzát látod z ábrán. Készítsd el ezek lprjzát! ) b) 2. z ábrán térbeli építmények lprjzát látod. ) z lprjzból állpítsd meg, hogy z építményhez összesen hány kockát hsználtunk? b) Rjzold le, vgy építsd meg térbeli lkztot! c) Htározd meg, hogy z egységkockákból összeállított testek felszíne hány egységnégyzet? ) b) c) Készíts különböző építményeket ) három, b) négy drb egységkockából! (Különbözőnek tekintünk két építményt, h semmilyen mozgtássl nem hozhtók fedésbe egymássl.) Hányt tláltál?

7 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig 7 Péld Egységkockákból álló építményeink három, egymásr páronként merőleges htároló lpjivl állítsunk párhuzmos síkokt! z építményeknek, ezekre síkokr eső merőleges vetületeit nevezzük elölnézetnek, felülnézetnek és oldlnézetnek. z oldlnézetet megállpodás szerint jobb oldli nézetet jelenti. (Ezt úgy is elképzelhetjük, hogy ezeket vetületeket látjuk, h z építményre megdott irányokból merőlegesen ránézünk.) elölrõl felülrõl oldlról 4. Rjzold le következő ábrán láthtó építmények elölnézetét, felülnézetét és oldlnézetét! ) b) 5. Egységkockákból egy lyuks flt építünk, mjd szintén egységkockákból elkészítjük z építményeket. Válszd ki, hogy mely építmények férnek át lyukon! z építmények tetszés szerint forgthtók.

8 8 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény 6. Egy kock két szemközti lpj közül z egyiket pirosr, másikt kékre festettük. lerjzolt hálókon z egyiket megjelöltük. Válszd ki, hogy melyik lehet második színezett lp! 7. ) ehér krtonból készült kock lpjin hét színes szkszt jelöltünk ki. Rjzold le, mit látsz, h kockát elölről, hátulról, lulról, fölülről, jobboldlról, illetve bloldlról nézed! b) Rjzold le ezeket nézeteket, h kock átlátszó fóliából készült, és ugynezek színes szkszok vnnk rjt kijelölve! ehér krtonból készült kock három lpjár z ábrán láthtó módon különböző figurákt rjzoltunk, többi lpját üresen hgytuk. z ltt lévő öt kock közül, melyik z, mely ugynezt kockát ábrázolj, csk más helyzetben?

9 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig 9 9. Szbályos egy dobókock, h szemközti lpjin lévő pontok összege 7. Két szbályos dobókockát 6-os lpjuknál összergsztunk. z lábbi ábrák közül melyik lehet helyes? 10. Szbályos egy dobókock, h szemközti lpjin lévő pontok összege 7. z ábrán lévő egyik lp pontszámát megdjuk. Hányféle kitöltés lehetséges, h szbályos dobókockát szeretnénk kpni? Helyezd el pöttyöket kock kiterített hálóján! 11. ) Ht drb egybevágó négyzetből készítsd el kock összes lehetséges hálóját! zokt hálókt tekintjük különbözőnek, melyek semmilyen mozgtássl nem vihetők egymásb. b) Keress olyn 6 db négyzetből álló sokszögeket is, melyekből nem készíthető kock! 12. Négy drb egybevágó szbályos háromszögből készítsd el szbályos tetréder különböző hálóit! zokt hálókt tekintjük különbözőnek, melyek semmilyen mozgtássl nem vihetők egymásb. Keress olyn 4 db szbályos háromszögből álló sokszögeket is, melyekből nem készíthető szbályos tetréder! 13. Nyolc drb 1cm élű kock lpjit színezzük. Minden egyes lpot pirosr, vgy kékre. Hogyn tehetjük meg ezt, hogy nyolc kiskockából kár piros, kár kék színű 2 cm élű kockát össze tudjunk rkni? 14. kock élein megjelölt pontok élfelező pontok. Milyen háromszöget htároznk felsorolt csúcspontok?,, E, E E 15. Hány olyn derékszögű háromszög létezik, melynek csúcsit egy dott kock csúcsi közül válsztjuk. kock csúcsit jelöljék z EGH ngybetűk.

10 10 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény 7 8. ÉVOLYM Péld Egységkockákból álló építményeink három, egymásr páronként merőleges htároló lpjivl állítsunk párhuzmos síkokt! z építményeknek, ezekre síkokr eső merőleges vetületeit nevezzük elölnézetnek, felülnézetnek és oldlnézetnek. z oldlnézetet megállpodás szerint jobb oldli nézetet jelenti. (Ezt úgy is elképzelhetjük, hogy ezeket vetületeket látjuk, h z építményre megdott irányokból merőlegesen ránézünk.) elölnézet felülnézet oldlnézet 1. Rjzold le z ábrán láthtó, öt egységkockából álló építmények elölnézetét, felülnézetét és oldlnézetét! ) b) c) 2. Öt egységkockából olyn építményeket készítettünk, melyeknek három különböző nézete z ábrán láthtó. Rjzold le térbeli ábráját! ) elölrõl oldlról felülrõl b)

11 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig Egységkockákból egyrétegű lyuks flt építünk, mjd szintén egységkockákból elkészítjük z építményeket. Válszd ki, hogy mely építmények férnek át lyukon! z építmények tetszés szerint forgthtók. E 4. Egy 6 cm élű tömör kockából z ábrán láthtó módon levágunk két hsábot. Milyen htárolólpji lesznek z új testnek. Mekkor házikó tetejének területe? Milyen hosszú z élváz? (Élváz hossz: z élek hosszánk z összege) 3 5. Két egybevágó szbályos tetrédert egyik lpjuknál összergsztunk, így egy kettős gúlát kpunk. Rjzold le z új test hálóját! 6. Készítsd el olyn egyenlő élű szbályos gúláknk hálóját, melyek lplpj ) szbályos háromszög b) négyzet c) szbályos ötszög d) szbályos htszög! Vizsgáld meg lehet-e mindegyikből gúlát készíteni!

12 12 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény 7. z ábrán láthtó lkztokból válszd ki zt, melyből testet lehet építeni! Jellemezd testet! Hány éle vn z elkészített testnek? zonos színnel jelöld meg test hálóján zokt szkszokt, melyek mentén összergsztv, vlóbn z áltld mondott testet kpjuk! ) b) 8. Négy drb egybevágó egyenlőszárú háromszögből készítsd el egy háromszög lpú gúl különböző hálóit! zokt hálókt tekintjük különbözőnek, melyek semmilyen mozgtássl nem vihetők egymásb. Keress olyn 4 db egyenlő szárú háromszögből álló sokszögeket is, melyekből nem készíthető háromszög lpú gúl! 9. Négy drb egybevágó egyenlőszárú, derékszögű háromszögből készítsd el egy háromszög lpú gúl különböző hálóit! zokt hálókt tekintjük különbözőnek, melyek semmilyen mozgtássl nem vihetők egymásb. 10. Ht drb egybevágó szbályos háromszögből, egy-egy oldluk egymáshoz illesztésével sokszögeket készítünk. Hány különböző sokszög létezik? Ezek közül hány olyn vn, mely kettős gúl hálój? (zokt tekintjük különböző sokszögeknek, melyek semmilyen mozgtássl nem hozhtók fedésbe.) 11. Egy 10 cm élű tömör kock egyik lpjár kétféleképpen illesztünk egy 5 cm mgsságú szbályos négyoldlú gúlát. z egyik esetben hozzárgsztjuk, másikbn pedig kivágjuk belőle gúlát. ) Rjzold le keletkezett új testek hálóját! b) Hsonlítsd össze két új test felszínét! c) Mindkét esetben számítsd ki z új test és kock térfogtánk rányát! 12. Kösd össze egy 8 cm élű fkock szomszédos éleinek felezőpontjit, és ezekre pontokr fektetett síkkl vágd le kock srkit! Milyen sokszögek htárolják z új testet? Hány csúcs, éle és lpj vn? Rjzold le hálóját! Rjzold le egy levágott gúl hálóját is!

13 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig Egy 9 cm élű tömör kock éleinek hrmdoló pontjit megjelöljük. Egy csúcsáb összefutó éleinek, nevezett csúcshoz közelebbi hrmdoló pontjir fektetett síkkl kock srkit levágjuk. Milyen htároló lpji lesznek megmrdt testnek? Rjzold le hálóját! Igz-e, hogy z új testet is szbályos sokszögek htárolják? 14. Egy fából készült kockát z ábrán megjelölt három csúcspontjár fektetett síkkl két részre vágjuk. Rjzold le keletkezett két test hálóját, mjd hálón vágás menti éleket jelöld meg színessel! K L M 15. Tükrözzük kockát kifelé minden lpjár! Hány htárolólpj lesz z így keletkezett testnek? z új test térfogt hányszoros z eredeti kock térfogtánk? Rjzold le hálóját! z új test felszíne hányszoros z eredeti kock felszínének?

14 14 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény ÉVOLYM 1. Egy kock élein megjelöltünk néhány pontot. ) Keress olyn pontnégyeseket, melyek egy síkbn vnnk! b) Keress olyn pontnégyeseket, melyek nincsenek egy síkbn! E G 2. Egy kock élein megjelöltünk néhány pontot. Milyen háromszöget htároznk meg felsorolt ponthármsok:,, G, E, GE? Htározd meg háromszögek oldlit! E G 3. Egy kock élein megjelöltünk néhány pontot. Válszd ki zokt pontokt, melyek tégllpot, prlelogrmmát, trpézt, illetve deltoidot htároznk meg! E G 4. Egy 8 cm kockár, z ábrán láthtó módon, egy 4cm élűt rgsztunk. Állpítsd meg, hogy kpott testnek milyen új htárolólpji keletkeztek! Hány lpj éle és csúcs vn z új testnek? Érvényes-e erre z új testre z Euler-tétel? (lp+csúcs=él+2)

15 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig Rjzold le zt testet, melynek elölnézete, felülnézete és oldlnézete z ábrán láthtó! elölnézet felülnézet oldlnézet 6. Egységkockákból 3 cm élű tömör kockát építünk. Mennyivel változik kock felszíne, h ) Minden csúcsánál kiemelünk egy-egy egységkockát, b) Minden élének középső egységkockáját emeljük ki, c) Minden lpjánk középső egységkockáját emeljük ki. 7. Egy 10 cm élű kock egyik lpjár olyn 10 cm mgsságú szbályos négyoldlú gúlát rgsztunk, melynek lplpj egybevágó kock lpjávl. Keresd meg T csúcsból z csúcsb vezető legrövidebb utt, h test ) élein, b) belsejében hldhtunk! T m m= 8. ) Egy élű kock minden lpjár kifelé egy-egy /2 mgsságú szbályos négyoldlú gúlát rgsztunk. gúl lplpj egybevágó kock lpjávl. Hányszorosár változik kock térfogt? b) Hányszorosár változik kock térfogt, h ilyen gúlákt vágunk ki kock minden lpjánál? 9. Megrjzoltuk kock szemközti lpjink középpontján átmenő egyik forgástengelyét. Mekkor z szög, mely kockát, megjelölt tengely körül elforgtv önmgáb viszi át? (0 <α<360 )

16 16 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény 10. Megrjzoltuk kock egyik lpátlóját. végpontok megjelölésével sorold fel ) z ezt metsző lpátlókt, b) z ezzel kitérő lpátlókt! Mekkor szöget zárnk be ezek lpátlók z eredetivel? H G E 11. Jelöljük meg kock lpközéppontjit. ) Milyen test csúcspontji ezek pontok? b) Állításodt igzold! 12. Milyen testet htároznk meg szbályos tetréder lpközéppontji? Állításodt igzold! 13. Milyen testet htároznk meg szbályos tetréder élfelező pontji? 14. Szbályos háromszög lpú egyenlő élű egyenes hsáb lpközéppontji milyen testet htároznk meg? Szbályos-e ez test? 15. Kösd össze szbályos oktéder szomszédos lpjink középpontjit! Milyen testet htároznk meg ezek z élek?

17 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig ÉVOLYM 1. Egységkockákból 3 cm élű tömör kockát építünk. Mennyivel változik kock felszíne, h ) egy szemközti lppárjánk középső kockáinál, lpr merőlegesen kockát kifúrjuk? b) két szemközti lppárjánk középső kockáinál, lpr merőlegesen kockát kifúrjuk? c) három szemközti lppárjánk középső kockáinál, lpr merőlegesen kockát kifúrjuk? 2. Egy kock csúcsin hány olyn sík fektethető, mely pontosn három kockcsúcson hld át? Sorold fel különböző ponthármsokt! Milyen síkidomot metszenek ki ezek síkok kockából? 3. Hány forgástengelye vn egy kockánk? forgástengelyek típusi szerint állpítsd meg, hogy kockánk rr tengelyre nézve hány fokos forgásszimmetriáj vn! (0 <α<360 ) 4. Öt-öt egységkockából készítettük z ábrán láthtó két különböző építményt. Ilyenek felhsználásávl készítsd el lehető legkisebb tömör kockát! ) b) 5. Egy szbályos háromszög lpú egyenes hsáb lpéle. hsább gömb írhtó. Mekkor beírt gömb sugr? 6. Egy háromszög lpú egyenes hsáb minden éle egyenlő, köréírhtó gömb sugr r. Mekkor hsáb mgsság? 7. Egy élű kock minden lpjár kifelé egy kock lpjávl egybevágó lpú négyoldlú szbályos gúlát illesztünk. Mekkor lehet gúlák mgsság, h kpott új test ) konvex b) konkáv? 8. Egy élű kock minden lpjár kifelé egy kock lpjávl egybevágó lpú négyoldlú szbályos gúlát illesztünk. gúl oldllpjánk z lplppl bezárt szöge 45. Jellemezd z így kpott testet! Milyen htárolólpji vnnk? Hány éle, lpj csúcs vn? Mekkor test egy éle? Mekkor szomszédos élek szöge? 9. Htározd meg z előző feldtbn előállított rombikus dodekéder lpszögét!

18 18 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény 10. Egy tégltest élei 4, 4, és 10 egység hosszúk. Két lpján, z ábr szerint megjelöltük K és z L pontokt. tégltest felületén mozogv, megjelölt pontokt összekötő utk között létezik-e 14 egységnél rövidebb? 2e 2e 4e 1e K L 1e 4e 10e 2e 2e 11. Igzold, hogy kock síkmetszete lehet ) szbályos háromszög, b) egyenlőszárú, de nem szbályos háromszög, c) nem speciális háromszög! 12. Igzold, hogy egy kock síkmetszete lehet ) trpéz, b) prlelogrmm, c) deltoid! Mindhárom esetben speciálistól különböző négyszögeket keresünk. 13. Igzold, hogy tetrédert lehet prlelogrmmábn metszeni! Különböző tetréderek esetén milyen lehet ez prlelogrmm? 14. Lehet-e egy kock síkmetszete ötszög vgy htszög? Htszög esetében bizonyítsd be, hogy mikor kphtunk szbályos htszöget! 15. Lehet-e egy szbályos oktédert szbályos htszögben metszeni?

19 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig 19 ELTOK MEGOLÁS 5 6. ÉVOLYM 1. Egységkockákból készített építmények rjzát látod z ábrán. Készítsd el ezek lprjzát! ) b) ) b) z ábrán térbeli építmények lprjzát látod. ) z lprjzból állpítsd meg, hogy z építményhez összesen hány kockát hsználtunk? b) Rjzold le z építményt! c) Htározd meg, hogy z egységkockákból összeállított testek felszíne hány egységnégyzet? ) b) c) ) I. 5 db II. 4 db III. 9 db egységkockát hsználtunk ) b) I. b) II. c) III. c) I. II. III. =28 e 2 b = 18 e 2 c = 30 e 2

20 20 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény 3. Készíts különböző építményeket ) három, b) négy drb egységkockából! (Különbözőnek tekintünk két építményt, h semmilyen mozgtássl nem hozhtók fedésbe egymássl.) Hányt tláltál? ) b) 4. Rjzold le következő ábrán láthtó építmények elölnézetét, felülnézetét és oldlnézetét! ) b) ) elölnézet felülnézet oldlnézet b)

21 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig Egységkockákból egy lyuks flt építünk, mjd szintén egységkockákból elkészítjük z építményeket. Válszd ki, hogy mely építmények férnek át lyukon! z építmények tetszés szerint forgthtók. Rjzold le z lkztok oldlnézetét és győződj meg ról, hogy megfelelő forgtássl, melyik vetület lehet egybevágó flon tlálhtó réssel. résen és építmény fér át. 6. Egy kock két szemközti lpj közül z egyiket pirosr, másikt kékre festettük. lerjzolt hálókon z egyiket megjelöltük. Válszd ki, hogy melyik lehet második színezett lp! 7. ) ehér krtonból készült kock lpjin hét színes szkszt jelöltünk ki. Rjzold le, mit látsz, h kockát elölről, hátulról, lulról, fölülről, jobboldlról, illetve bloldlról nézed! b) Rjzold le ezeket nézeteket, h kock átlátszó fóliából készült, és ugynezek színes szkszok vnnk rjt kijelölve!

22 22 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény ) elöl hátul lul fölül jobb oldl bl oldl b) 8. ehér krtonból készült kock három lpjár z ábrán láthtó módon különböző figurákt rjzoltunk, többi lpját üresen hgytuk. z ltt lévő öt kock közül, melyik z, mely ugynezt kockát ábrázolj, csk más helyzetben? és z 5. kock ugynz. 9. Szbályos egy dobókock, h szemközti lpjin lévő pontok összege 7. Két szbályos dobókockát 6-os lpjuknál összergsztunk. z lábbi ábrák közül melyik lehet helyes? z 1. és 3. lehet jó. ( lehet szó rr utl, hogy z ábrán kock hátsó lpjit nem látjuk) 10. Szbályos egy dobókock, h szemközti lpjin lévő pontok összege 7. z ábrán lévő egyik lp pontszámát megdjuk. Hányféle kitöltés lehetséges, h szbályos dobókockát szeretnénk kpni? Helyezd el pöttyöket kock kiterített hálóján!

23 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig ) Ht db egybevágó négyzetből készítsd el kock összes lehetséges hálóját! zokt hálókt tekintjük különbözőnek, melyek semmilyen mozgtássl nem vihetők egymásb. b) Keress olyn 6 db négyzetből álló sokszögeket is, melyekből nem készíthető kock! ) Tizenegy különböző kockháló létezik.

24 24 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény b) ) b) c) Például ezekből nem lehet kockát építeni. 12. Négy drb egybevágó szbályos háromszögből készítsd el szbályos tetréder különböző hálóit! zokt hálókt tekintjük különbözőnek, melyek semmilyen mozgtássl nem vihetők egymásb. Keress olyn 4 db szbályos háromszögből álló sokszöget is, melyekből nem készíthető szbályos tetréder! ) b) c) Szbályos tetréder hálój: ) b) Nem lehet szbályos tetréder hálój: c) 13. Nyolc drb b 1 cm élű kock lpjit színezzük. Minden egyes lpot pirosr, vgy kékre. Hogyn tehetjük meg ezt, hogy nyolc kiskockából kár piros, kár kék színű 2 cm élű kockát össze tudjunk rkni? Mivel minden kiskock ngyobb kock srkábn vn, tehát mindegyiknek három lpj láthtó, ezért kiskockák három egymásr páronként merőleges lpjit pirosr, másik hármt kékre kell festeni. 14. kock élein megjelölt pontok élfelező pontok. Milyen háromszöget htároznk felsorolt csúcspontok?,, E, E E z háromszög egyenlőszárú, derékszögű, háromszög egyenlő szárú, z E háromszög áltlános (oldlink hossz különböző), E háromszög egyenlőszárú, derékszögű.

25 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig Hány olyn derékszögű háromszög létezik, melynek csúcsit egy dott kock csúcsi közül válsztjuk. kock csúcsit jelöljék z EGH ngybetűk. H G E Első típusb soroljuk zokt derékszögű háromszögeket, melyeknek befogói egy-egy kockoldlll egyenlők, átfogój pedig egy lpátló. (Pl.: G háromszög) Ezekből minden lpon négy drb vn. Ht lpon, összesen 24 ilyen háromszög vn. Második típusb zokt derékszögű háromszögeket soroljuk, melyek egyik befogój egy kockoldl, másik befogój egy lpátló, átfogój pedig egy testátló. (Pl.: E háromszög) Minden testátlóhoz, végpontjikon kívüli ht pontot tudjuk hozzárendelni, ezek ht különböző háromszöget htároznk meg. Mivel négy testátló vn, összesen 24 ilyen típusú háromszög vn. Összesen tehát 48 db ilyen háromszög létezik.

26 26 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény 7 8. ÉVOLYM Péld Egységkockákból álló építményeink három, egymásr páronként merőleges htároló lpjivl állítsunk párhuzmos síkokt! z építményeknek, ezekre síkokr eső merőleges vetületeit nevezzük elölnézetnek, felülnézetnek és oldlnézetnek. z oldlnézetet megállpodás szerint jobb oldli nézetet jelenti. (Ezt úgy is elképzelhetjük, hogy ezeket vetületeket látjuk, h z építményre megdott irányokból merőlegesen ránézünk.) elölnézet felülnézet oldlnézet 1. Rjzold le z ábrán láthtó, öt egységkockából álló építmények elölnézetét, felülnézetét és oldlnézetét! ) b) c) ) elölnézet felülnézet oldlnézet b) c)

27 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig Öt egységkockából olyn építményeket készítettünk, melyeknek három különböző nézete z ábrán láthtó. Rjzold le térbeli ábráját! ) elölrõl oldlról felülrõl b) ) b) 3. Egységkockákból egyrétegű lyuks flt építünk, mjd szintén egységkockákból elkészítjük z építményeket. Válszd ki, hogy mely építmények férnek át lyukon! z építmények tetszés szerint forgthtók. E

28 28 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény E Rjzold le z lkztok oldlnézetét és győződj meg rról, (szükség esetén vetület megfelelő forgtásávl) hogy melyik lkzt fér át flon lévő résen. résen z,,,e építmények férnek át, nem. 4. Egy 6 cm élű tömör kockából z ábrán láthtó módon levágunk két hsábot. Milyen htárolólpji lesznek z új testnek. Mekkor házikó tetejének területe? Milyen hosszú z élváz? (Élváz hoszsz: z élek hosszánk z összege) htárolólpok z ábrán láthtók. 3 b b b b b b

29 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig 29 tető területéhez meg kell htározni b oldlt. b két befogó hossz 3cm és 4 cm. Ekkor z átfogó b=5 cm, Pitgorász tétel mitt. tető területe: T= = 60 (cm 2 ) z élváz hossz: L= = 70 (cm) 5. Két egybevágó szbályos tetrédert egyik lpjuknál összergsztunk, így egy kettős gúlát kpunk. Rjzold le z új test hálóját! Például: Lásd 10. feldtot. 6. Készítsd el olyn egyenlő élű szbályos gúláknk hálóját, melyek lplpj ) szbályos háromszög b) négyzet c) szbályos ötszög d) szbályos htszög! Vizsgáld meg lehet-e mindegyikből gúlát készíteni! ) b) c) d) z ), b), c) hálókból készíthető gúl, d) - ből nem.

30 30 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény 7. z ábrán láthtó lkztokból válszd ki zt, melyből testet lehet építeni! Jellemezd testet! Hány éle vn z elkészített testnek? zonos színnel jelöld meg test hálóján zokt szkszokt, melyek mentén összergsztv, vlóbn z áltld mondott testet kpjuk! ) b) ) Kockán egy négyoldlú szbályos gúl hálój. testnek 16 éle vn. b) Semmilyen testet nem lehet készíteni z lkztból.

31 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig Négy drb egybevágó egyenlőszárú háromszögből készítsd el egy háromszög lpú gúl különböző hálóit! zokt hálókt tekintjük különbözőnek, melyek semmilyen mozgtássl nem vihetők egymásb. Keress olyn 4 db egyenlő szárú háromszögből álló sokszögeket is, melyekből nem készíthető háromszög lpú gúl! ) b) c) d) e) Gúl hálój: ) b) c) Nem lehet gúl hálój: d) e) 9. Négy drb egybevágó egyenlőszárú, derékszögű háromszögből készítsd el egy háromszög lpú gúl különböző hálóit! zokt hálókt tekintjük különbözőnek, melyek semmilyen mozgtássl nem vihetők egymásb. ) b) c) d) z ábrán láthtó lkztok egyikéből sem lehet gúlát készíteni. Áltlábn igz, hogy négy derékszögű háromszögből nem lehet gúlát készíteni.

32 32 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény 10. Ht drb egybevágó szbályos háromszögből, egy-egy oldluk egymáshoz illesztésével sokszögeket készítünk. Hány különböző sokszög létezik? Ezek közül hány olyn vn, mely kettős gúl hálój? (zokt tekintjük különböző sokszögeknek, melyek semmilyen mozgtássl nem hozhtók fedésbe.) Tizenkét különböző sokszöget lehet készíteni. Ezek közül kettős gúl hálój lehet: 1,2,3,4,5,8,10, Egy 10 cm élű tömör kock egyik lpjár kétféleképpen illesztünk egy 5 cm mgsságú szbályos négyoldlú gúlát. z egyik esetben hozzárgsztjuk, másikbn pedig kivágjuk belőle gúlát. ) Rjzold le keletkezett új testek hálóját! b) Hsonlítsd össze két új test felszínét! c) Mindkét esetben számítsd ki z új test és kock térfogtánk rányát!

33 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig 33 d) Mindkét testnek ugynz hálój. e) két test felszíne zonos, mert ugynzok htárolólpjik. f) z első esetben térfogt: második esetben térfogt: tehát tehát 12. Kösd össze egy 8 cm élű fkock szomszédos éleinek felezőpontjit, és ezekre pontokr fektetett síkkl vágd le kock srkit! Milyen sokszögek htárolják z új testet? Hány csúcs, éle és lpj vn? Rjzold le hálóját! Rjzold le egy levágott gúl hálóját is! z új testet 8 szbályos háromszög és 6 négyzet htárolj, mert minden levágott csúcsnál egy-egy szbályos háromszög, és minden lpnál egy-egy négyzet keletkezik. z új testnek, 12 csúcs, 24 éle és 14 lpj vn. test hálój levágott gúl hálój

34 34 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény 13. Egy 9 cm élű tömör kock éleinek hrmdoló pontjit megjelöljük. Egy csúcsáb összefutó éleinek, nevezett csúcshoz közelebbi hrmdoló pontjir fektetett síkkl kock srkit levágjuk. Milyen htároló lpji lesznek megmrdt testnek? Rjzold le hálóját! Igz-e, hogy z új testet is szbályos sokszögek htárolják? z új testet 8 szbályos háromszög és 6 nyolcszög htárolj, mert minden levágott csúcsnál egy-egy háromszög, és minden lpnál egy-egy nyolcszög keletkezik. htárolólpok között háromszögek szbályosk, mert oldlik cm hosszúk. nyolcszögek viszont nem szbályosk. z ábrán megjelölt négy szksz négyzet oldlánk hrmd: 3 cm, másik négy szksz pedig cm hosszú. 3 2cm 3cm

35 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig Egy fából készült kockát z ábrán megjelölt három csúcspontjár fektetett síkkl két részre vágjuk. Rjzold le keletkezett két test hálóját, mjd hálón vágás menti éleket jelöld meg színessel! K L M

36 36 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény 15. Tükrözzük kockát kifelé minden lpjár! Hány htárolólpj lesz z így keletkezett testnek? z új test térfogt hányszoros z eredeti kock térfogtánk? Rjzold le hálóját! z új test felszíne hányszoros z eredeti kock felszínének? z új testet térbeli keresztnek is nevezik. Olyn test, melynek minden htárolólpj négyzet, mégsem kock. H kock élét -vl jelöljük, kkor térfogt V =7 3, tehát hétszerese z eredeti kock térfogtánk. elszíne pedig = 30 2, mi 30-szoros z eredeti kock felszínének. Vesd össze évfolym feldtávl!

37 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig ÉVOLYM 1. Egy kock élein megjelöltünk néhány pontot. b) Keress olyn pontnégyeseket, melyek egy síkbn vnnk! c) Keress olyn pontnégyeseket, melyek nincsenek egy síkbn! E G ) Egy síkbn vnnk:, EG, G. b) Nincsenek egy síkbn: G, G, G, stb. 2. Egy kock élein megjelöltünk néhány pontot. Milyen háromszöget htároznk meg felsorolt ponthármsok:,, G, E, GE? Htározd meg háromszögek oldlit! E G z oldlk hosszát Pitgorsz tétellel számolhtjuk ki. kock élét -vl jelöljük. háromszög egyenlőszárú derékszögű, oldli:. háromszög egyenlőszárú derékszögű, oldli:. G háromszög egyenlő szárú, oldli:. E háromszög derékszögű háromszög, oldli:. GE háromszög áltlános háromszög, oldli:.

38 38 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény 3. Egy kock élein megjelöltünk néhány pontot. Válszd ki zokt pontokt, melyek tégllpot, prlelogrmmát, trpézt, illetve deltoidot, htároznk meg! E G Tégllp: G Prlelogrmm: GE Trpéz: E (természetesen z előző kettő is jó itt) eltoid: G 4. Egy 8 cm kockár, z ábrán láthtó módon, egy 4cm élűt rgsztunk. Állpítsd meg, hogy kpott testnek milyen új htárolólpji keletkeztek! Hány lpj éle és csúcs vn z új testnek? Érvényes-e erre z új testre z Euler tétel? (lp+csúcs=él+2) kis kockánk egy lpj eltűnik. ngy kockánk egy lpj helyett z ábrán láthtó lp keletkezett. lpok metszeténél élek, z élek metszeténél csúcsok keletkeznek. lp él csúcs = , tehát nem érvényes z Euler tétel.

39 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig Rjzold le zt testet, melynek elölnézete, felülnézete és oldlnézete z ábrán láthtó! elölnézet felülnézet oldlnézet 6. Egységkockákból 3 cm élű tömör kockát építünk. Mennyivel változik kock felszíne, h ) Minden csúcsánál kiemelünk egy-egy egységkockát, b) Minden élének középső egységkockáját emeljük ki, c) Minden lpjánk középső egységkockáját emeljük ki. ) kock felszíne nem változik, mert minden csúcsnál egy - egy kis kock három lpját veszítjük el, és mindenütt ugynennyit nyerünk. b) Minden él közepén két egységnégyzet területet veszítünk, és helyette négyet nyerünk. kock 12 élénél összeszámolv ezeket összesen 12 2=24 területegységgel nő felszín. c) Minden lp közepénél elveszítünk egy egységnégyzet terület, és helyette ötöt nyerünk. kock 6 lpjánál összeszámolv ezeket 6 4 = 24 területegységgel nő felszín. 7. Egy 10 cm élű kock egyik lpjár olyn 10 cm mgsságú szbályos négyoldlú gúlát rgsztunk, melynek lplpj egybevágó kock lpjávl. Keresd meg T csúcsból z csúcsb vezető legrövidebb utt, h test ) élein, b) belsejében hldhtunk! T m m=

40 40 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény ) T b m E Éleken hldv legrövidebb út z egy kockélnek (), és z hhoz cstlkozó gúlélnek (b) z összege. gúlél z ábrán láthtó ET derékszögű háromszögből htározhtó meg Pitgorsz tétellel. (cm) (cm) legrövidebb út hossz: +b= ,2 ~ 22,2 (cm) b) T K test belsejében hldv legrövidebb út z,t pontokt összekötő szksz. Ez szksz átfogój z KT derékszögű háromszögnek. befogók ismeretében z átfogó Pitgorsz tétellel számolhtó. (cm) (cm) (cm) 8. ) Egy élű kock minden lpjár kifelé egy-egy /2 mgsságú szbályos négyoldlú gúlát rgsztunk. gúl lplpj egybevágó kock lpjávl. Hányszorosár változik kock térfogt? b) Hányszorosár változik kock térfogt, h ilyen gúlákt vágunk ki kock minden lpjánál? ) Egy ilyen gúl térfogt. Ht ilyen gúl térfogt éppen kock térfogtávl egyenlő. z új test kock térfogtánk kétszerese. b) H feltételeknek megfelelő gúlákt kivágjuk kockából, kkor test teljesen eltűnik, vgyis térfogt 0 lesz. 9. Megrjzoltuk kock szemközti lpjink középpontján átmenő egyik forgástengelyét. Mekkor z szög, mely kockát, megjelölt tengely körül elforgtv önmgáb viszi át? (0 <α<360 ) 90, 180, 270, mert négyzet lpközéppontjár nézve ezekkel forgásszimmetriákkl rendelkezik. 10. Megrjzoltuk kock egyik lpátlóját. végpontok megjelölésével sorold fel ) z ezt metsző lpátlókt,

41 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig 41 b) z ezzel kitérő lpátlókt! Mekkor szöget zárnk be ezek lpátlók z eredetivel? H G E H G E ) Metsző átlók: H, G, E, G, E EG és H szöge 90, mert ezek egy négyzet átlói. EG és G, EG és E, EG és G, EG és E áltl bezárt szögek 60 -osk, mert z EG és z EG háromszögek szbályosk. b) Kitérő átlók:,, H,, és H. EG és szöge 90, mert párhuzmos H-vl. EG és szöge egyenlő EG és G szögével, mert párhuzmos G-vel. Ez szög pedig 60 -os. H, és H átlók eltolássl z eredeti átlóvl metsző helyzetbe hozhtók, ezért ezek is 60 -os szöget zárnk be EG-vel. 11. Jelöljük meg kock lpközéppontjit. ) Milyen test csúcspontji ezek pontok? b) Állításodt igzold! S t

42 42 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény z élű kock három, egymásr merőleges lpjánk középpontj szbályos háromszöget htároz meg. ( háromszög minden oldl hosszú). kockánk bármely két szemközti lp közép pontján áthldó t forgástengelyére nézve 90 -os forgásszimmetriáj vn. z új test csúcsi éppen lpközéppontokbn vnnk, ezért z is rendelkezik ezzel forgásszimmetriávl. ht kijelölt pont mindkét testen, szimmetrikus kock középpárhuzmos S síkjár is. Ezért ezek pontok két, egymássl egybevágó szbályos, élű négyoldlú gúlát htároznk meg, négyzetlpjuknál összeillesztve. síkszimmetri és forgásszimmetri mitt test minden lpszöge egyenlő. Tehát kpott test egy szbályos oktéder. 12. Milyen testet htároznk meg szbályos tetréder lpközéppontji? Állításodt igzold! K G E H z E,,G,H pontok szbályos tetréder lpjink súlypontji. négy súlypontból bárhogyn kiválsztv kettőt, és zokt összekötve, olyn testet kpunk, melynek éle vn. Vizsgáljuk z ábrán kiemelt részletet. z lp egyik súlyvonl K, z lpé pedig K. Ekkor z új test GH oldl, súlypont osztási rány, vlmint párhuzmos szelők tételének megfordítás mitt párhuzmos oldlll, és nnk hrmd. Hsonlón beláthtó ez, keletkezett test mind ht éléről. Tehát testet 4 db szbályos háromszög htárolj. z eredeti tetréder 120 -os forgásszimmetriáj, lpjink súlypontjir is érvényes, ezért z új test hsonló z eredetihez, így z is egy szbályos tetréder. Érdemes megjegyezni, hogy hsonlóság rány, két test felszínének rány, térfogtánk rány pedig. 13. Milyen testet htároznk meg szbályos tetréder élfelező pontji?

43 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig 43 G E z élfelező pontok áltl htárolt szkszok szbályos tetréder htároló- lpjink középvonli, ezek egyenlők. Minden oldllpon, és minden csúcsnál keletkezik egy-egy szbályos háromszög. z új testet tehát 4+4=8 szbályos háromszög htárolj. lpszög meghtározásához z ábrán berjzolt EG egyenlő szárú háromszög G csúcsnál lévő szögét kell vizsgálni. z új test bármely két szomszédos lpjánál, evvel egybevágó háromszöget tlálunk, mert e háromszögek szári z új test egy oldllpjánk mgsságivl egyenlők, lpji pedig szbályos tetréder két szemközti élének távolságávl. Így z új test minden lpszöge egyenlő. Tehát szbályos tetréderen kijelölt ht pont egy szbályos oktéder ht csúcs. 14. Szbályos háromszög lpú egyenlő élű egyenes hsáb lpközéppontji milyen testet htároznk meg? Szbályos-e ez test? G b b G b S z ábrán láthtó, hogy z öt pont összekötésével egy háromszög lpú kettős gúlát nyerünk. z új test éleit htározzuk meg. G él fedőlpr eső merőleges vetülete G. Ez utóbbi fedőlp háromszög középvonl, mi -vel egyenlő, és mivel G él párhuzmos fedőlppl, ezért G= G =. z S él hosszát z S derékszögű háromszögből htározzuk meg. S z lpháromszög mgsságánk -, pedig z négyzet oldlánk fele:.

44 44 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény Tehát G él nem egyenlő S éllel, ezért test nem lehet szbályos. 15. Kösd össze szbályos oktéder szomszédos lpjink középpontjit! Milyen testet htároznk meg ezek z élek? S t szbályos oktéder nyolc lpközéppontj vn, ezek lesznek z új test csúcsi. z oktéder szimmetri tuljdonsági lpján bizonyíthtó, hogy ez z új test egy kock.

45 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig ÉVOLYM 1. Egységkockákból 3 cm élű tömör kockát építünk. Mennyivel változik kock felszíne, h ) egy szemközti lppárjánk középső kockáinál, lpr merőlegesen kockát kifúrjuk? b) két szemközti lppárjánk középső kockáinál, lpr merőlegesen kockát kifúrjuk? c) három szemközti lppárjánk középső kockáinál, lpr merőlegesen kockát kifúrjuk? ) b) c) ) H kivágjuk kockából z ) ábrán lévő 3 kockából álló lkztot, kkor kock felszíne 2 1cm 2 = 2 cm 2 -rel csökken, és kock belsejében keletkezik egy 3 4 cm 2 = 12 cm 2 ngyságú új felület. Így kock felszíne 12 cm 2 2 cm 2 = 10 cm 2 -rel növekszik. b) H kivágjuk kockából b) ábrán lévő 5 kockából álló lkztot, kkor kock felszíne 4 1cm 2 = 4 cm 2 -rel csökken, és kock belsejében keletkezik egy 4 4 cm 2 = 16 cm 2 ngyságú új felület. Így kock felszíne 16 cm 2 4cm 2 = 12 cm 2 -rel növekszik. c) H kivágjuk kockából c) ábrán lévő 7 kockából álló lkztot, kkor kock felszíne 6 1 cm 2 = 6 cm 2 -rel csökken, és kock belsejében keletkezik egy 6 4 cm 2 = 24 cm 2 ngyságú új felület. Így kock felszíne 24 cm 2 6 cm 2 = 18 cm 2 -rel növekszik. 2. Egy kock csúcsin hány olyn sík fektethető, mely pontosn három kockcsúcson hld át? Sorold fel különböző ponthármsokt! Milyen síkidomot metszenek ki ezek síkok kockából? H G E

46 46 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény z ábrán megjelölt csúcsokt vizsgálv z csúccsl három különböző ponthárms áll elő. z H, z és z H. Minden kockcsúcshoz három ponthárms trtozik, de így minden ponthármst éppen háromszor számoltunk. Ezért összesen (8 3) : 3 = 8 különböző ponthárms létezik. H,, H, G, EG, E, H, GH. Ezek ponthármsok szbályos háromszöget htároznk meg, mert minden háromszögoldl kock egy lpátlój. 3. Hány forgástengelye vn egy kockánk? forgástengelyek típusi szerint állpítsd meg, hogy kockánk rr tengelyre nézve hány fokos forgásszimmetriáj vn! (0 <α<360 ) ) b) c) E H t t b t c G K G H K E H L L E G szemközti lpok középpontján átmenő egyenesre (t ) kockánk 90 -,180 -, 270 -os forgásszimmetriáj vn. három pár lpközépponton, három t típusú tengely hld át. Így kock 3 3 = 9-féleképpen hozhtó önmgávl zonos helyzetbe. szemközti élek felező pontján átmenő egyenesre (t b ) kockánk 180 -os forgásszimmetriáj vn, mert pl.: z ábrán megjelölt HG derékszögű háromszög lpú egyenes hsáb t b tengely körül forgtv 180 -r forgásszimmetrikus. ht pár élfelező ponton, ht t b típusú tengely hld át. Így kock 6 1 = 6-féleképpen hozhtó önmgávl zonos helyzetbe. z átellenes csúcsokon átmenő egyenesre (t c ) kockánk 120 -os, 240 -os forgásszimmetriáj vn, mert t c szimmetri tengely z EG és szbályos háromszögek középpontján hld át, és ezek háromszögek 120 -r, és 240 -r forgás-szimmetrikusk. négy pár átellenes csúcson, négy t c típusú tengely hld át. Így kock 4 2=8-féleképpen hozhtó önmgávl zonos helyzetbe. 4. Öt-öt egységkockából készítettük z ábrán láthtó két különböző építményt. Ilyenek felhsználásávl készítsd el lehető legkisebb tömör kockát! ) b)

47 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig 47 b Egy olyn 5x5x5-ös kockát készíthetünk, melynek z lprjz z ábrán láthtó. kock első rétegében ) építményből négyet, b) -ből egyet hsználtunk fel. fölötte lévő négy réteg ugynígy készülhet. 5. Egy szbályos háromszög lpú egyenes hsáb lpéle. hsább gömb írhtó. Mekkor beírt gömb sugr? r O O E r r H egy egyenes hsább gömb írhtó, kkor mgsság kétszerese gömb sugránk. Lerjzoltuk gömb lpháromszögre eső merőleges vetületét, így gömb főköre z szbályos háromszög beírt köre lesz. (Ezt látjuk, h gömbre fölülről merőlegesen ránézünk.) főkör sugr: 6. Egy háromszög lpú egyenes hsáb minden éle egyenlő, köréírhtó gömb sugr r. Mekkor hsáb mgsság? E O r r r r O r r r 2 r r K Mivel z egyenes hsáb minden éle egyenlő, z élhossz egyenlő test m mgsságávl. z ábrán megrjzoltuk gömb középpontjából hsáb csúcsihoz vezető sugrkt (r). z O szbályos háromoldlú gúlán OK=, O=O=O=r és K=K=K=ρ. Ez utóbbi szbályos háromszög tuljdonsági mitt

48 48 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény. -dl egyenlő. z KO derékszögű háromszögben felírjuk Pitgorsz tételt: Innen =, mi egyenlő hsáb mgsságávl. 7. Egy élű kock minden lpjár kifelé egy kock lpjávl egybevágó lpú négyoldlú szbályos gúlát illesztünk. Mekkor lehet gúlák mgsság, h kpott új test ) konvex b) konkáv? X K L Y z ábrán jelölt XY szög pontosn kkor egyenesszög, h KX szög és LY szög 45 -os. Ezért z ábrán berjzolt KX és LY derékszögű háromszögek egyenlő szárúk. Így K=KX =, és L=LY=. H gúlák mgsság ezzel egyenlő, vgy ennél kisebb, kkor test konvex, h ngyobb, kkor konkáv. 8. Egy élű kock minden lpjár kifelé egy kock lpjávl egybevágó lpú négyoldlú szbályos gúlát illesztünk. gúl oldllpjánk z lplppl bezárt szöge 45. Jellemezd z így kpott testet! Milyen htárolólpji vnnk? Hány éle, lpj csúcs vn? Mekkor test egy éle? Mekkor szomszédos élek szöge? X Y H gúl oldllpjánk z lplppl bezárt szöge 45, kkor XY szög 180 ( ). Ezért z YX pontok egy síkbn vnnk. Mivel kockár illesztett gúlák élei zonosk z YX négyszög rombusz, és

49 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig 49 ezt kock minden élénél megkpjuk. testet tehát 12 egybevágó rombusz htárolj, mit rombikus dodekédernek neveznek. z új testnek 24 éle, 12 lpj és 14 csúcs vn. (Érvényes z Euler-tétel) z X derékszögű háromszögben feldt feltételei mitt lklmzv Pitgorsz tételt, test egyik éle:.. Vesd össze 9. feldt megoldásávl: zzl gondoltmenettel rombikus dodekéder egy éle éppen kock testátlójánk fele, zz 3 2 z X derékszögű háromszögben, innen ϕ = 35,26. rombusz hegyes szöge 70,53, tompszöge pedig 109,47. Tehát z X szög 70,53, z XY szög pedig 109,47. új test élszögei mindenütt ilyenek. 9. Htározd meg z előző feldtbn előállított rombikus dodekéder lpszögét! H G E O T z előző feldt ábráján láthtó mgsságú gúlát tükrözzük z lplpjukr mind ht kocklpon. Így ht gúl éppen kitölti kockát, és gúl élei együtt kock négy testátlóját lkotják. tükrözés szögtrtó tuljdonság mitt gúlák lpszöge nem változik, így két O csúcsú négyoldlú gúl szomszédos oldllpjánk szögét keressük. z ábrán megjelölt O és O lpok szögének meghtározásához húzzuk

50 50 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény meg z T és T merőleges szkszokt két háromszög síkjánk O metszésvonlár. E két szksz szöge dj lpok szögét. Ez T pont éppen kock,, csúcsi áltl meghtározott szbályos háromszög középpontj, ugynis kock H testátlór forgásszimmetrikus, és e tengely körüli os elforgtássl z,, pontok egymásr kerülnek. (Lásd évfolym 3. feldtát) Ugynezért z háromszög síkj merőleges O-re, és z O szksz T pontj éppen e háromszög forgáscentrum. Tehát T = T = T = 120 Ezek szögek gúláink oldllpjánk szögei, közülük z T z áltlunk keresett szög. Mivel ez gondoltmenet bármely két lpnál elvégezhető, ezért rombikus dodekéder lpszögei 120 -osk. 10. Egy tégltest élei 4, 4, és 10 egység hosszúk. Két lpján, z ábr szerint megjelöltük K és z L pontokt. tégltest felületén mozogv, megjelölt pontokt összekötő utk között létezik-e 14 egységnél rövidebb? 2e 2e 4e 1e K L 1e 4e 10e 2e 2e ) K L b) K 5 R M P 13 L c) R L P H K és z L pontokt trtlmzó lpokt z ) ábr szerint terítjük ki, kkor KL távolság vlóbn 14 egység, de h lpokt b) ábr szerint terítjük ki, kkor keletkezett LKM derékszögű háromszögben felírjuk Pitgorsz tételt : Tehát létezik 14 egységnél rövidebb út. Meg kell még vizsgálni, hogy KL szksz teljes egészében tégltest hálójár esik-e.

51 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig 51 z LRP derékszögű háromszögben: H KLM szög kisebb ε * -nál, kkor KL szksz nem felel meg feltételeknek, h ennél ngyobb, kkor igen. b) ábrán z LKM derékszögű háromszögben:, tehát KL szksz téglpest hálójánk négy lpján megy át, így 14 egységnél rövidebb út tégltest felületén hld. 11. Igzold, hogy kock síkmetszete lehet ) szbályos háromszög, b) egyenlőszárú, de nem szbályos háromszög, c) nem speciális háromszög! ) b) c) ) H háromszög mindhárom oldl kock egy lpátlój, kkor zok szbályos háromszöget htároznk meg. H síkot három ilyen pontr fektetjük, kkor síkmetszet szbályos háromszög lesz. Ábrán: háromszög. H metsző síkot ezzel párhuzmosn, nyíl irányábn eltoljuk, további szbályos háromszögmetszeteket kpunk. b) H z háromszög csúcsát, nyíl irányábn eltoljuk, z és csúcs helyét nem változttjuk, kkor egyenlőszárú háromszögeket kpunk. Ilyen z 1 háromszög. 1 = 1, mert ezek szkszok z 1 és 1 egybevágó derékszögű háromszögek átfogói. c) H z háromszög és csúcsát különböző ngyságú vektorrl toljuk el, z csúcs helyét nem változttjuk, kkor olyn háromszögeket kpunk, melyeknek semmilyen speciális tuljdonság sincs. Ilyen z 1 1 háromszög. 12. Igzold, hogy egy kock síkmetszete lehet ) trpéz, b) prlelogrmm c) deltoid! Mindhárom esetben speciálistól különböző négyszögeket keresünk. 1 ) b) 1 x x c) 1 c) 2 t 1 x x 1 x x 1 ) z párhuzmos -vel, mert h egy párhuzmos síkpárt metszünk egy síkkl, kkor metszésvonlk párhuzmosk. Tehát négyszög trpéz.

52 52 Térszemlélet fejlesztés évfolymig feldtgyűjtemény b) z =, mivel ezek, két egybevágó derékszögű háromszög átfogói. Továbbá z párhuzmos -vel, mert h egy párhuzmos síkpárt metszünk egy síkkl, kkor metszés vonlk párhuzmosk. Tehát z négyszög prlelogrmm. c) Speciális deltoid pl.: (c 1 ábrán) láthtó rombusz metszet, mi b) megoldásnk is speciális esete. eltoidot kpunk, (c 2 ábr) h z előbbi rombusz metszetet trtlmzó síkot, -re merőleges t tengely körül elforgtjuk úgy, hogy z kock éleit 1, 1 és 1 pontbn metssze. kock átlós síkr vontkozó síkszimmetriáj mitt keletkezett négyszög vlóbn deltoid. 13. Igzold, hogy tetrédert lehet prlelogrmmábn metszeni! Különböző tetréderek esetén milyen lehet ez prlelogrmm? ) H b) H c) H E G E G E G ) ábr:tetszőleges tetréder esetében z négyszög prlelogrmm, mivel háromszög középvonlánk tétele mitt párhuzmos EG-vel, és is párhuzmos EG-vel, továbbá mindkettő fele EG-nek. Tehát párhuzmos és egyenlő -vel. Ez mindhárom kitérő élpárnál beláthtó. (Megmutthtó z is, hogy tetréder végtelen sok prlelogrmmábn metszhető.) b) ábr:h z EGH tetréder H éle merőleges EG-re, kkor z ábrán láthtó síkmetszet tégllp. H bármely két szemközti, kitérő él merőleges, kkor prlelogrmm síkmetszetek tégllpok. c) ábr: h z EGH tetréder szbályos, kkor prlelogrmm síkmetszetek négyzetek, mert ilyenkor minden él egyenlő, és szemközti élek merőlegesek egymásr. 14. Lehet-e egy kock síkmetszete ötszög vgy htszög? Htszög esetében bizonyítsd be, hogy mikor kphtunk szbályos htszöget! ) b) K E Z E X O K L M Y L ) kock ötszögmetszete z ábrán láthtó. z,,,,e pontok KL háromszög síkjábn vnnk. kpott ötszög nem szbályos. b) kock XYZ háromszögmetszete KL testátlór merőleges, z X,Y,Z csúcsokon áthldó síkkl állíthtó elő. H ezt síkot KL testátló O felezőpontjáb toljuk, kkor kpjuk kock egyik htszög metszetét. Először belátjuk, hogy z,,,,e, pontok KL testátló felezőmerőleges síkjábn vnnk.

53 feldtgyűjtemény Térszemlélet fejlesztés évfolymig 53 Legyen pl. csúcs z MY szksz felezőpontj. L= K, mivel ezek szkszok két egybevágó,, illetve befogójú derékszögű háromszög átfogói. Tehát egyenlő távolságr vn K-tól és L-től, így rjt vn KL felezőmerőleges síkján. Ez htszög minden csúcsár igz. Másodszor belátjuk, hogy htszög egyenlő oldlú. htszög minden oldl z XYZ szbályos háromszög oldlánk felével egyenlő, háromszögek középvonl tétele mitt. Végül belátjuk, hogy htszög szögei egyenlők. z O és z O háromszögek szbályosk, mert miden oldluk egyenlő kock lpátlójánk felével, ezért csúcsnál lévő szög 120 -os.ez htszög minden csúcsánál ugynígy beláthtó. 15. Lehet-e egy szbályos oktédert szbályos htszögben metszeni? E 1 1 X E Y 1 1 K T L 1 1 Z szbályos oktédert duális párjávl, kockávl rjzoltuk fel. szbályos oktéderen bejelölt,,,,e, élfelező pontok egy szbályos htszöget htároznk meg. Vizsgáljuk htszög oldlát. z XYZ szbályos háromszög XY-nl párhuzmos középvonl KL, és TKL háromszög KL-lel párhuzmos középvonl, pedig, ezért párhuzmos XY-nl, és nnk negyede. Ez, htszögünk minden oldlár hsonlón beláthtó. z előző feldtbn kptuk, hogy kockáb írt 1, 1, 1, 1,E 1, 1 htszög is szbályos, ezért nnk szemközti oldli párhuzmosk, vgyis E 1 1 párhuzmos 1 1 -gyel, ugynkkor E 1 1 párhuzmos XY-nl is, miből következik, hogy XY párhuzmos 1 1 -gyel. zt kptuk, hogy párhuzmos 1 1 -gyel. Vgyis két htszög megfelelő oldli párhuzmosk, tehát szögei egyenlők. Tehát z E htszög szbályos.