A HÁROMSZÖG Összeállította: Dr. Bártfai Pál. Bővítés, ellenőrzés alatt álló kézirat Legutolsó frissítés:

Átírás

1 A HÁROMSZÖG Özeállított: Dr Bártfi Pál Bővíté ellenőrzé ltt álló kézirt Legutoló friíté: 00 0

2 Előzó Sokáig kérkodtm tréfánk tekinthető límmel: mit háromzögről tudni illik De zért ez erő túlzá! Amit háromzögről tudni érdeme lím pedig túl náli így z límet elhgytm Pedig z límek fejezik ki lényeget! A háromzögen tö ezer! nevezete pontot definiáltk é nevezete vonlknk köröknek i e zeri e zám ezek közül kellett kiválztni zokt melyekkel érdeme fogllkozni é tudnivlókt i honlón elejtezni kellett A élom mindeneetre z volt hogy izonyítáokkl izonyítái tehnikákkl együtt özegyűjtem lényegee tudnivlókt háromzögről é ezeket feldolgozv közzétegyem Itt z olvókt tekintve előorn mtemtiki verenyekre felkézülő fitlokr felkézítő tnárokr gondoltm Kptm ilyen kérdéeket: Mit lehet háromzögről mondni? Hizen már Euklidez mindent tudott ról! Ez így távolról em igz A XVIII é XIX zázdn felvirágzott háromzög geometriáj gondoljunk pl Npoleon-tétel témkörére 3 fejezet A XX zázd termékei zimmedián ponttl kpolto eredmények 6 fejezet olynnyir hogy pl T69 tétel mi itt következményként dódik keletkezée 999 G H Hrdy mridge-i mtemtiku írj: A mtemtiku munkáj legyen zép mint fetőé vgy költőé z ötletek kárk zínek vgy zvk lkonk hrmoniku egyéget A zépég z elő pró; úny mtemtik nem mrdndó világn Az nyg özeállítá orán rengeteg zépéggel meglepetéel tlálkoztm Fntztiku már-már miztiku özefüggéekre tuljdonágokr derült fény Kiemelném eírt é hozzáírt körök töé-kevéé imert témkörét 5 fejezet Npóleon-témkört 3 fejezet zimmedián tuljdonágit 6 fejezet é Dél kereztje konfiguráiót 7 fejezet Ugynk érdeklődére trtht zámot nevezete pontok egyeeéi tétele i 8 fejezet Mindez geometrii érdekeégeket kedvelők zámár izton élvezete olvmányt jelent Jól hználhtó z özeállítá képletgyűjteményként ugynkkor megtlálhtók enne háromzög középikolán megimert tuljdonági formulái i A zépég izonyítáok vontkozáán i vezérfonl A izonyítái tehnikákt tekintve z elemi geometri mellett trigonometri vektorok é rientriku koordináták képezik z rzenált tehát izonyítáok megértééhez eléggé zélekörű mtemtiki imeretekre vn zükég A leírá nem trtlmz árákt mindig ppírrl é íróezközzel felzerelve kell z özeállítát olvni é z árákt el kell kézíteni hozzá Ehhez minden egítéget megdunk Mindig feltételezzük hogy dott egy ABC háromzög melynek A-nál lévő zöge A-vl zemközti oldl B-nél lévő zöge B-vel zemközti oldl C-nél lévő zöge C-vel zemközti oldl Nem okoz félreértét h z oldl hozát i -vl jelöljük Állndó jelöléeket fogunk hználni háromzög nevezete pontjir é vonlir i ezeket elő előforduláukkor rögzítjük A továi jelöléeket fejezetenként rézleteen elmondjuk

3 Az állítáokt tételeket T kezdőetűvel é zámozál jelöljük é így hivtkozunk rájuk Előfordul előre hivtkozá i de ez izonyítáok érvényeégét ohem vezélyezteti A T- vel jelölt állítáok okzor tö rokon állítát i trtlmznk Egye eeteken é ekkor felhívjuk figyelmet erre tö árát i kell kézíteni ugynhhoz gondoltorhoz háromzög típuánk megfelelően Az nyg gyűjtée hoz munk volt Hálá közönetet mondok dr Bölföldi Józef tnár úrnk ki végig kitrtott mellettem é gondon átnézte z özeállítát é tnáokkl egített Minden kedve érdeklődőnek meglepetéekkel teli élvezete olvát é firkálát kívánok Bártfi Pál

4 Trtlomjegyzék Tárgymuttó 3 A háromzögről áltlán 7 Alptétel zögekre 7 A háromzögek oztályozá elnevezéek 7 3 A háromzög egyenlőtlenég 7 4 Szerkeztő vonlk: zkzfelező merőlege 8 5 Szerkeztő vonlk: zögfelező 8 Brientriku koordináták Pontrendzer úlypontj Oztópont hrmoniku pontnégye 3 Brientriku koordináták 4Trilineári koordináták 4 5 Cev tétele 5 6 Az egyene rientriku egyelete 5 3 Derékzögű háromzög 7 3 Thlez-tétel 7 3 Mértni közép tételek 7 33 Htányvonl htványpont 7 34 Pythgorz-tétel 9 34 A háromzög zögfelezői 0 4 A körülírt kör 4 A körülírt kör középpontj 4 Izogonáli konjugált 5 A eírt kör 5 5 Elhelyezkedée é mérete 5 5 A zögfelező zkz 7 53 Beírt félkör é középpontok távolág úoktól Gergonne-háromzög 3 55 A hozzáírt körök középpontjink háromzöge Külő Gergonne-háromzögek Ngel-háromzög Kerületfelező egyeneek Látványo formulák 38 6 Apollóniuz-kör 4 6 Definíió 4 6 Koordinát geometri 43 7 Súlypont 45 7 A úlypont mint honlóági pont 45 7 A úlyvonl hoz A úlyvonlkól kézített háromzög Brientriku koordináták A úlypont extremáli tuljdonág 49 8 Oldlk úlypontj 50 9 Mgágpont 5 9 A mgágpont helyzete 5 9 A mgágvonl A tlpponti háromzög Oztópont háromzög 59

5 0 Feuerh-kör 60 0 Euler-egyene 60 0 Feuerh-kör 6 03 Brientriku koordináták 6 Területképletek 63 Alpképletek 63 Koordinát geometri 63 Megoldó képletek 65 3 Npóleon tétele é pnorám pont 66 3 Npóleon tétele 66 3 A pnorám-pont extremáli tuljdonág A pnorám-pont helyzete A pnorám-pont rientriku koordinátái 7 4 Euler tétele ugáregyenlőtlenégek 7 4 A tétel izonyítá 7 4 Az Euler-tétel megfordítá 73 5 A Feuerh-kör érintéi tuljdonági 76 6 A zimmedián 78 6 A zimmedián mint nevezete vonl 78 6 A zimmedián pont Áltlánoított tlpponti háromzög Simon-egyene 8 65 Erdő-Mordell egyenlőtlenég A zimmedián pont extremáli tuljdonági Elő típuú Lemoine-kör A máodik típuú Lemoine-kör é z oldlk fölé írt tégllpok Háromzöge írt négyzet 93 7 Brord-pontok 95 7 A Brord-zög Brientriku koordináták 95 7 Dél Kereztje A Brord-pontok tlpponti háromzöge Miguel-tétel 00 8 A nevezete pontok egyeeée 0 9 Az áttükrözött háromzög 09 9 Áltláno eet 09 9 Speiáli eetek 0 Izodinmiku pont 6 0 A háromzög Apollóniuz-körei 6 0 Izodinmiku pontok 8 Egyé nevezete pontok 4 Középő pont 4 Áltlánoított Npóleon-pontok 5 3 Egyenlő metzetek középpontj 6 Vetítéek 30 Téreli vetíté 30 Síkeli vetíté 3

6 Tárgymuttó Antiprllel egyene zkz 6 Apollóniuz-kör háromzöghöz trtozó 50 Apollóniuz-kör T6 Átfogó Áttükrözött háromzög 9 Áttükrözött háromzög oldli T9 Áttükrözött háromzög területe T93 Brientriku koordináták 3 Brientriku koordináták terület reprezentáió T5 Brientriku területképlet T0 Befogó Beírt félkör 53 Beírt kör középponj é úok távolág T54 Beírt kör középpontj T5 Beírt kör középpontj rientriku koordináták T50 Beírt kör ugr T54 Beírt zályo háromzög legkie T09 Beírt tégllp mximáli területű T66 Brord-kör T79 Brord-pontok elő é máodik T7 Brord-pontok rientriku koordinátái T75 Brord-pontok tlpponti háromzögei T70 Brord-zög T7T74 Cev tétele T9 Cev-háromzög 5 Dél Kereztje 7 Derékzögú háromzög Derékzögű háromzög zögfelezői 34 Egyene rientriku egyenlete Egyenlő metzetek középpontj 4 Egyenlő párhuzmo zelők T8 Egyenlőzárú háromzög Erdő-féle ugáregyenlőtlenég T46 Erdő-Mordell egyenlőtlenég T64 Euler-egyene T0 Euler-zkz hoz T0 Euler-tétel T4 Euler-tétel áltlánoítá T4 Fél Pythgorz-tétel T3 Fermt-pontok külő é elő T3 Feuerh-kör 0 Feuerh-kör középpontj T05T00 Feuerh-tétele T5 3

7 Gergonne- é Ngel háromzög terület egyenlőég T57 Gergonne-háromzög 56 Gergonne-háromzög külő T57 Gergonne-háromzög zögei T59 Gergonne-háromzög oldli T50 Gergonne-háromzög területe T5 Gergonne-pont T56 Gergonne-pont külő T54 Háromzög egyenlőtlenég T4 Htvány körre vontkozón T34 Htványpont T37 Htványvonl T37 Hegyezögű háromzög Heron-képlet T55 Hozzáírt körök htványpontj T86 Hozzáírt körök középpontji T5 Hozzáírt körök középpontji rientriku koordináták T50 Hozzáírt körök középpontji áltl lkotott háromzög 55 Hozzáírt körök ugri T54 Izodinmiku pontok elő é máodik T0 Izodinmiku pontok tlppont háromzögei T06 T09 Izodinmiku pontok rientrikku koordinátái T00 Izogonáli konjugált T49 Izogonáli pont T3 Izotonáli konjugált T55 Kerületfelező egyeneek 57 Kozinuz-tétel T Köréírt zályo háromzög legngyo T36 Körülírt kör rientriku egyenlete T48 Körülírt kör középpontj T4 Körülírt kör középpontj rientriku koordináták T47T09 Körülírt kör ugr T4 Középő pont T Középő pont rientriku koordinátái T Lemoine-Gree pont T63 Lemoine-kör elő típuú T6 Lemoine-kör elő típuú ugr T6 Lemoine-kör máodik típuú T64 Lemoine-kör máodik típuú ugr T65 Lu-kör T630 Mgágpont T9 Mgágpont rientriku koordinátái T98 Mgágtlppont helyzete T96T97 Mértni közép tételek 3 4

8 Miguel tétele T7 Mittenpunkt T Ngel -pont T55 Ngel-háromzög T55 Npóleon-háromzög külő é elő T33 Npóleon-háromzög oldlhoz T35 Npóleon-pont áltlánoított T5 Oldlk úlypontj T8 Ortoentriku pontnégye T9 Oztópont háromzög 94 Pnorám pont T3 Pnorám pont rientriku koordinátái T3 Pnorám pont extremáli tuljdonág T38 Ponelet tétele T43 Pythgorz-tétel T38 Pythgorz izonyítá 33 Simon-egyene T6 Spieker-pont T8 Steiner-tétel T7 Sugáregyenlőtlenég T4 Sugáregyenlőtlenég hozzáírt körökre T44 Súlyozott úlyvonl T6 Súlypont T7 Súlypont rientriku koordinátái T79 Súlypont extremáli tuljdonág T7 Súlyvonl T7 Súlyvonl hoz T73 Súlyvonlkól kézített háromzög 73 Szályo háromzög Szkzfelező merőlege 4 Szimmedián 6 Szimmedián hoz T6 Szimmedián pont T63 Szimmedián pont rientriku koordinátái T63 Szimmedián pont extremáli tuljdonág T67 Szimmedián pont tlpponti háromzöge T68 Szinuz-tétel T Szögfelező elő é külő 5 Szögfelező hoz T5 Szögfelező tétel T58 Tlpponti háromzög 93 Tlpponti háromzög zögei T99 Tlpponti háromzög oldli T90 Tlpponti háromzög előjele területe T9 5

9 Tlpponti háromzög kerülete T90 Tlpponti háromzög extremáli tuljdonág T9 Tlpponti háromzög áltlánoított 63 Tlpponti háromzög áltlánoított területe T6 Tngen-tétel T3 Területképletek Thlez tétele T3 Tompzögű háromzög Trilineári koordináták 4 Veten-pont T5 Wlle-egyene T6 6

10 A háromzögről áltlán Alptétel zögekre T Szögözeg tétel A háromzög elő zögeinek özege 80 o B Köük öze háromzög oldlfelező pontjit! Ezzel háromzöget négy egyevágó z eredetihez honló háromzögre ontottuk fel Az lp felezőpontján három zög keletkezik melyek háromzög zögeivel egyenlők Özeégüken egyenezöget lkotnk tehát három zög özege 80 o A háromzögek oztályozá elnevezéek Speiáli háromzögek z oldlk hoz zerint: Egyenlőzárú háromzög h két oldl egyenlő hozúágú A két egyenlő oldlt zárnk hrmdik oldlt lpnk mondjuk H mindhárom oldl egyenlő kkor egyenlő oldlú vgy zályo háromzögnek nevezzük T Az egyenlőzárú háromzög tengelyeen zimmetriku zárk áltl ezárt zög zögfelezőjére így z lpon lévő zögei i egyenlők Az elői zögfelező merőlege z lpr B A zögfelező két egyevágó háromzögre ontj z eredeti háromzöget hizen rézháromzögek két-két oldlánk hoz é z oldlk áltl ezárt zög megegyezik Így zögfelezőnek z lppl ezárt két zöge i egyenlő vgyi derékzög Az lp két zelete i egyenlő tehát z lpon lévő egyik ú zögfelezőre vontkozó tükörképe máik ú Háromzögek oztályozá zögeik zerint: Hegyezögű háromzög h minden zöge hegyezög Derékzögű háromzög h vn 90 o -o zöge Tompzögű háromzög h vn 90 o -nál ngyo zöge A derékzögű háromzög derékzöggel zemen fekvő oldlát átfogónk máik két oldlt efogónk nevezzük T3 Az átfogó hoz mint efogó B Jelöljük háromzög úit A B é C-vel úgy hogy C derékzögnél lévő ú legyen Az AC távolágot mérjük rá z A-ól kiinduló B-n áthldó félegyenere kpott pont legyen D Mivel z ACD egyenlőzárú C-nél lévő zöge kie mint 90 o lád T ezért z AD zkz z ABC-en hld vgyi D pontj z AB zkznk D B mert z ACD zög nem lehet derékzögű ezért AB AD AC 3 A háromzög egyenlőtlenég T4 Háromzög-egyenlőtlenég A háromzögen két oldl hozánk z özege mindig ngyo mint hrmdik oldl hoz 7

11 B Vetítük rá merőlegeen z AB é z AC odlkt BC egyeneére A vetületek lefedik z BC zkzt de T3 mitt vetületek rövideek mint vetített oldl ezért BC i rövide mint AB AC Ezt elég legngyo oldlr ellenőrizni: elég h két kie oldl hozánk özege ngyo mint legngyo oldl hoz háromzög ekkor már megzerkezthető Az lái állítá két pont között legrövide út z egyene ktuáli megfoglmzá T5 Két pontot törött vonlll özekötve é feltételezve hogy törött vonl nem egyezik meg két pontot özekötő zkzl hoz utt kpunk mint z egyeneel történő özeköté eetén Törött vonl: vége ok de leglá kettő egyene zkz folyttólgo egymához illeztée B Az A é B pontokt özekötő törött vonl legyen APP PnB é feltétel zerint vn olyn Pi melyik nem pontj z AB zkznk A izonyítá n zerinti telje indukióvl történik n = eetén z állítá megegyezik T4-gyel Tegyük fel hogy k < n eetén z állítá igz kkor z APP Pi törött vonl hoz nem lehet kie mint AP i é PiPi + PnB törött vonl hoz nem lehet kie mint P i B é AP i Pi B AB 4 Szerkeztő vonlk: zkzfelező merőlege Az elnevezée megdj jelentéét: z AB zkz felezőpontján áthldó AB-re merőlege egyene T6 Az AB zkz h felező merőlegee zon P pontok mértni helye hlmz melyre PA PB h íkot két félíkr ontj h P n félíkn vn melyiken A é P nin rjt h egyeneen kkor PA PB B H P h egyenere eik kkor z ár h-r tengelyeen zimmetriku így PA PB H P nin rjt h-n é rr félíkr eik melyiken A vn kkor PB metzi h-t A metzépontot jelöljük Q-vl T4-et felhználv PB PQ QB PQ QA PA T7 A háromzögen ngyo oldlll zemen ngyo zög vn B H > háromzögen kkor z A pont BC oldl felező merőlegeének rr z oldlár eik melyiken B vn Az AC oldl tehát metzi felező merőleget egy Q pontn Ezért CBQ zög mi megegyezik z BCA zöggel kie mint CBA zög 5 Szerkeztő vonlk: zögfelező A zögfelező két egy pontól kiinduló félegyene áltl lkotott zög felező egyenee Két egyene zonn négy zöget képez minek két felező egyenee vn Azt zögfelező egyenet melyiknek nin közö pontj zögtrtomány elejével zög külő 8

12 zögfelezőjének nevezzük megkülönöztetéül máikt elő zögfelezőnek i nevezhetjük T8 A külő é elő zögfelező merőlege egymár B Az é egyeneek két zöget képeznek melyek özege 80 o A zögfelezők zöge ezen zögek felezééől kpott zögekől tevődik öze tehát özegük 90 o T9 Adott két egyene é Azon pontok mértni helye melyek egyenlő távol vnnk két egyenetől két zögfelező egyene pontjink egyeített hlmz A zögfelezők íkot négy rézre oztják h vlmelyik nyílt rézen felvezünk egy P pontot kkor P hhoz z egyenehez vn közele melyik nyílt íkrézen áthld B Az egyeneek é z f é f zögfelezők íkot nyol rézre oztják Tegyük fel hogy P n ík-nyoldn vn melyet é f htárol Boáunk merőlegeeket P-ől -r é -re é jelöljük tlppontokt A-vl é B-vel A PB zkz ki kell lépjen ík-nyoldól így vgy f-et vgy -t metzi k z egyiket metzépont legyen Q H Q z f egyeneen vn kkor Q-ól oáunk merőleget -r melynek tlppontj legyen R Ezen jelöléekkel PB PQ QB PQ QR PR PA T4 ét3 mitt H Q z -n vn kkor még egyzerű helyzet: PB PQ PA Pont é egyene távolág pontot é z egyenet özekötő legrövide zkz hozát jelenti T3 zerint ez merőlege özekötő zkz hoz Ahhoz hogy T9-et hználjuk zögfelezők meghtározáár előzör pont é z egyene távolágát kell megoldni Az egyene normálvektor eredetileg tetzőlege olyn vektor mely merőlege z egyenere H dott z egyene egyenlete kkor élzerű ezt definíiót lezűkíteni é nullár redukált x + y + = 0 egyenlethez z n = normálvektort hozzárendelni é ezt nevezni z egyenlet normálvektoránk T0 Legyen z egyene egyenlete x + y + = 0 külő pont A = x0 y0 Az egyene normálvektorát jelöljük n-nel tehát n = Az A pont előjele távolág z egyenetől d = x0 y0 n hol pozitív távolág eetén z A pont z egyenenek rr z oldlár eik merre n mutt negtív eeten máikr Má zvkkl h z egyene nullár redukált egyenletée ehelyetteítjük külő pont koordinátáit kkor normál vektor hozánk d-zereét kpjuk B Fel fogjuk hználni vektorok klárzorztár vontkozó = oφ özefüggét hol φ két vektor áltl ezárt zög Vegyünk fel egy tetzőlege P = x y pontot z egyeneen képezzük z n é PA vektor klári zorztát é lklmzzuk z elői zonoágot: 9

13 de x + y = tehát n x 0 x y y n x0 x y0 y o x0 x + y0 y = n d 0 x0 + y0 + = n d Tegyük fel hogy zögfelezők meghtározáához rendelkezéünkre áll két egyene egyenlete Ezek zámokkl ezorozhtók elozthtók lényegen nem változttv Így elérhető hogy két egyenlet normálvektor zono hozúágú pl egyégnyi legyen T H két egyene egyenlete Lx y = 0 é Lx y = 0 é normálvektoruk zono hozúágú kkor zögfelezők egyenletei Lx y + Lx y = 0 é Lx y Lx y = 0 B Mivel két egyene egyenleteinek normálvektori zono hozúágúk P = x y pont egyenlő távol vn két egyenetől h helyetteítéi értékeik zolút értéke megegyezik zz h Lx y = Lx y Ezek tehát zögfelezők egyenletei 0

14 Brientriku koordináták Pontrendzer úlypontj Fiziki nlógiár hivtkozv definiáljuk z x x xn helyvektorokkl p p pn tömegekkel rendelkező merev pontrendzer úlypontját ill tömegközéppontját A úlypont helyvektor p x p x pn xn p p pn Fizikán tömegek termézeteen pozitív zámok de h erőhtáként úlyerőként fogjuk fel kkor grvitáióvl ellentéte erő i htht pontrendzerre mit negtív pi zámként vehetünk figyeleme A továi lklmzáokn p p pn zámok pozitivitáát nem tételezzük fel upán zt kell kikötni hogy p + p + + pn 0 mert fenti képleten nevező nem lehet null A továikn feltételezhető lenne hogy p + p + + pn = hizen oztál ez létrehozhtó mégi kényelmi okokól ezt nem tezük meg A továikn z n = é z n = 3 eetet rézleteeen tárgylni fogjuk mint fonto egédezközt továikhoz Oztópont hrmoniku pontnégye Legyen dott két különöző ázipont B é C helyvektorukt jelölje 0 é 0 T A BC egyene minden x pontj előállíthtó úlypontként pontok helyezett lklmn válztott q é r eetleg negtív vgy null úlyokkl A q é r úlyok megválztá kontn zorzótól eltekintve vgyi z rányuk egyértelmű B A BC egyene minden pontj így x i előállíthtó x = 0 + t0 0 = t0 + t0 lkn Ezzel megkptuk kívánt úlyokt: q = t é r = t q + r = H lenne két különöző előállítá x = q0 + q0 é x = q0 + q0 kkor q q q q q q 0 q q lenne de ez lehetetlen mert B é C pontok különözők q Vezeük e rányzámot Ezt r = 0 eetén nem tehetjük meg de ekkor úlypont B r pont eik ezt z eetet mot figyelmen kívül hgyhtjuk T A B é C pont helyezett p é q tömegek P úlypontjár PC PB B T zerint P helyvektor x előállíthtó x = q0 + r0 lkn hol még feltételezhetjük hogy q + r = Eől x q r q

15 é Távolágokkl felírv: 0 x q r r PC q BC é PB r BC mi z állítát igzolj H q é r pozitív kkor P BC zkz elő pontj é : rányn oztj fel zkzt de vigyázzunk: ngyo úlyú ponthoz rövide zkz tlkozik! H mindkettő negtív kkor helyzet változtln --gyel megzorozhtók úlyok H q é r ellenkező előjelű kkor P BC egyenenek zárt BC zkzon kívüli rézére eik úgy hogy T állítá teljeüljön Ezt külő oztópontnk fogjuk nevezni Külő oztópont nem létezik h = mert ez p + q = 0-t jelentene é ekkor úlypont nin értelmezve A BC egyeneen dott mellett 0 é mindig ponton két pont vn mi PC feltételnek eleget tez elő é külő oztópont Jelöljük ezeket P-vel é Q-vl PB A BCPQ pontnégyet hrmoniku pontnégyenek nevezzük T3 H B C ázipontokr vontkozón P é Q hrmoniku pontnégyet d rányzámml kkor P é Q ázir B é C i hrmoniku pontnégye rányzámml B Jelöljük pontok helyvektorit rendre 0 0 p0 é q0-ll kkor feltétel lpján P é Q előállíthtó úlypontként következő lkn: p Eől özedv é kivonv q0 0 0 p0 q p0 q0 miől láthtó hogy 0 é 0 i úlypont é úlyok rány 0 A T3 lpján BCPQ hrmoniku négye zövegéen pontok orrendje lényegtelen úgyi z egyeneen vló elhelyezkedé oztj ki zerepüket 3 Brientriku koordináták Három ázipontot vegyünk fel A-t B-t é C-t Tegyük fel hogy z ABC nem elfjult zz három pont nin egy egyeneen A ázipontok helyvektori legyenek 0 0 é 0 T4 Az A B C pontok melyek nem enek egy egyenere elhelyezett p q é r p + q + r 0 úlyokkl ík minden P pontj úlypontként előállíthtó Az előállítá kontn zorzótól eltekintve egyértelmű Rögzített ABC pontokhoz trtozón p q r felhználhtó z P pont jellemzéére vgyi felhználhtók ún rientriku koordinátákként

16 B A p q é r zámokt elozthtjuk p + q + r-rel ez úlyponton nem változtt Tegyük fel tehát hogy p + q + r = Jelöljük P helyvektorát x-zel é kereük zokt p q r zámokt melyekre fennáll hogy p q x 0 0 r 0 é p + q + r = Ez három egyenletől álló lineári egyenletrendzer p q r zámokr melynek mindig egyetlen megoldá-hárm vn mert determinán z A = B = C = jelölét evezetve kétzere területe lád T mi nem lehet 0 hizen zolút értéke éppen háromzög Az ABC íkján vegyünk fel tetzőlegeen egy P pontot A PBC előjele t területe legyen terület h P é z ABC egyene ugynzon prtján helyezkednek el é ennek - zeree h ellenkező oldlon vnnk Honlón definiáljuk PCA t-vel jelölt é PAB t3-ml jelölt előjele területét termézeteen ill egyeneek vontkozáán T5 A P rientriku koordinátái z A B C ázipontokr vontkozón t t t3 B Legyen P = x x é oldjuk meg Crmer-zállyl T4 egyenletrendzerét Az egyenletrendzer determinán mint zt említettük T zámlálón zereplő determinán pedig zintén T zerint t tehát x t p x T T Feltehető hogy z ABC körüljárái irány pozitív H P z egyene háromzög felöli oldlán vn kkor PBC körüljárái irány i pozitív é determinán pozitív t területet d h P z egyene máik oldlán vn kkor t negtívnk dódik mert PBC körüljárái irány megváltozik Ugynígy előállíthtó töi rientriku koordinát i é kpott koordináták T-vel megzorozhtók A rientriku koordináták vetítéel zemen invriánk Ez rézleteeen következőt jelenti Vegyünk fel z ABCΔ íkján egy tetzőlege P pontot P rientriku koordinátái legyenek p q r Vetítük z ABCΔ íkjától különöző íkr z A B C é P pontokt nem feltétlenül merőlege vetítéel vetületek legyenek A B C é P Ez eeten P rienriku koordinátái z A B C pontokr nézve változtlnul p q r Ez nem k vetítére igz hnem tetzőlege ffin trnzformáiór i Az állítá következik T6-ól é ól hogy vetíté vgy z ffin trnzformáió nem változttj meg z egy egyenee eő zkzok hozánk rányát Az ABC-en q úllyl ellátott B é z r úllyl ellátott C úlypontjánk é z A-nk özekötő egyeneét háromzög A úáól kiinduló úlyozott úlyvonlánk nevezzük A úlyozott úlyvonlnk k kkor vn értelme h q + r 0 3

17 T6 Az ABC úlyozott úlypontj rjt vn minden úlyozott úlyvonlon B Az egyzerűég kedvéért tegyük fel hogy p + q + r = Ekkor q + r 0 eetén úlypont helyvektor q0 r0 x p0 q0 r0 p0 q r q r q r hol 0 0 B é C úlyozott úlypontj legyen ez P A képlet lpján háromzög q r úlyozott úlypontj A-nk é P-nek p ill q + r úlyokkl képezett úlypontj mi rjt vn úlyozott úlyvonlon A izonyítáól z i kiderül hogy úlypont hol helyezkedik el úlyvonlon hizen p é q + r úlyokkl képezett lineári úlypontról vn zó T7 Legyen P z ABC elő pontj é jelölje d d d3 rendre z é oldltól mért távolágát d d d3 legkie mgág é legngyo mgág közé eik Speiálin egyenlő oldlú háromzögen d d d3 állndó B A háromzög feloztáávl z lái terület-egyenlőéget írhtjuk fel d d d T 3 d d3 T d d3 m H kkor d vgyi d d d3 m vlmint d d d3 T vgyi d 4Trilineári koordináták A háromzög pontjink megdáár rientriku koordináták mellett hználják trilineári koordinátákt i Een z özeállítán ezt k megemlítjük nem fogjuk hználni mert rientriku koordinátákkl helyetteíthetők A íkon pont helyzetét megdhtjuk három oldlegyenetől mért előjele távolágivl távolágot pozitívnk véve kkor h pont z oldlegyene ugynzon oldlán vn mint háromzög ellenkező eeten távolágot negtívnk vezük A három előjele távolágnk k z rányát tekintjük tehát három zámdt tetzőlege nem null zorzóvl megzorozhtó z így kpott zámokt tekintjük pont trilineári koordinátáink A trilineári koordináták könnyen átzámíthtók rienrikuokká T8 H P trilineári koordinátái p q r kkor rientriku koordinátái z A B C úokr vontkozólg p q r B A T5 lpján P rientriku koordinátái z ottni jelöléel élve t t t3 A t é honlón t é t3 területű háromzög előjele mgág legyen m ill m m3 A mgágok tekinthetők trilineári koordinátáknk tehát m = kp m = kq m3 = kr Ezek k lpján t kp t kq t3 kr é -vel egyzerüítve kpjuk z állítát 4

18 A T7 állítá egyen zt i izonyítj hogy trilineári koordináták egyértelműen meghtározzák P pontot ík ármely P pontj eetén A trilineári koordináták megdá eetén i fel kell tételezni hogy előlük zármzttott rientriku koordináták özege nem null zz hogy p + q + r 0 5 Cev tétele Cev tételét k háromzög elejére redukált lkn tárgyljuk de honlón érvénye külő pontokr i k némi dizkuzióvl jár Vegyünk fel háromzög é oldlán egy-egy elő pontot rendre P-et P-t é P3-t A körüljárái irányt etrtv jelölje pontok áltl létrehozott zkzok hozát é zz rézleteen P B P C P C P A P3 A é P3 B T9 Cev tétele Az AP BP é CP3 egyeneek kkor é k kkor metzik egy pontn egymát h = B Helyezzünk el é úlyokt rendre z A B é C pontok kkor AP é BP úlyozott úlyvonl lez A metzépontjukon áthldó úlyvonl oldlt : rányn oztj fel ez kkor é k kkor egyezik meg CP3-ml h : : é ezt krtuk izonyítni Legyen P egy pont háromzög íkján é tegyük fel hogy PA egyene metzi z oldlt P-en PB egyene oldlt P-en PC egyene oldlt P3-n kkor PPP3Δ-et P-hez trtozó Cev-háromzögnek nevezzük 6 Az egyene rientriku egyelete Jelöljük háromzög úink Derte koordinátáit xi yi-vel i = 3 Vegyünk fel továá háromzög íkján tetzőlegeen három pontot P-et P-t é P3-t melyek Derte koordinátái legyenek ui vi i = 3 é rientriku koordinátái legyenek pi qi ri pi + qi + ri = i = 3 megzorítál T0 A PPP3Δ előjele területe hol T z ABCΔ előjele területe T p p p 3 q q q 3 r r r 3 T A két dott p q é p q ponton átmenő egyene egyenlete r r p p p q r q q hol p q r z egyene egy tetzőlege pontjánk rientriku koordinátái A pi + qi + ri = i = megzorítá itt elejthető r r 0 5

19 6 B A úlypontzámítá lpján Pi Derte koordinátái i = 3 z láik zerint zámíthtók ki: i i i i u x r x q x p 3 i i i i v y r y q y p 3 Eől következik hogy v u v u v u y x y x y x r q p r q p r q p Innen determinánokr áttérve v u v u v u y x y x y x r q p r q p r q p mi felhználv háromzög T-en megdott területképletét dj tétel elő állítáát Mivel három pont kkor é k kkor eik egy egyenere h terület null megkpjuk tétel máodik állítáát i T H P pont rientriku koordinátái p q r p + q + r = é egyik koordinát em kkor P-hez trtozó Cev-háromzög létezik é előjele területe T r q p pqr t hol T z lpul vett háromzög előjele területe B A P rientriku koordinátái 0 q r de h p = kkor q + r = 0 é ilyen P pont nem létezik H p kkor P rientriku koordinátái normált lkn 0 p q p r P-re q p 0 q r é P3-r r p r q 0 Alklmzzuk T0 tételt ezekre pontokr kkor kpjuk hogy T r q p pqr T q p r p r q r q p t

20 3 Derékzögű háromzög 3 Thlez-tétel Derékzögű háromzögnél h máként nem rendelkezünk C zöget tekintjük 90 o -onk T3 Thlez tétele Az ABC C zöge kkor é k kkor derékzögű h rjt vn zon körön z un Thlez-körön melynek átmérője oldl A C zög kkor é k kkor tompzög h C kör elő pontj kkor é k kkor hegyezög h C kívül eik körön B Tükrözzük z ABC-et oldl felezőpontjár H háromzög derékzögű kkor tégllpot kpunk melynek átlói egyenlők é felezik egymát ezért tégllp körülírt körének középpontj oldl felezőpontj H C pont Thlez-körön vn kkor tükrözéel kpott prllelogrmm átlói egyenlők tehát tégllpról vn zó zz C zög 90 o -o H C oldl fölé rjzolt körön elül vn kkor z AC oldlt meghozítv egy D pontn metzi kört Az ACB zög CDB zög é CBD zög özege vgyi ngyo derékzögnél H C pont körön kívül vn kkor feltehetjük hogy < 90 o ekkor CA oldlzkz metzi kört egy D pontn A DAB zög mi 90 o egyenlő DCB é DBC zögek özegével vgyi DCB zög kie mint derékzög A megfordított állítáok eől már dódnk 3 Mértni közép tételek T3 Fél-Pythgorz-tétel Derékzögű háromzögen efogó mértni középrányo z átfogór eő vetülete é telje átfogó között T33 Derékzögű háromzögen mgág mértni középrányo z átfogó két zelete között A tételek peiáli eeteit képezik egy áltláno tételnek ezért izonyítáokt ez után djuk meg T34 Az ABC derékzögű háromzögen továr i T-vel jelölve z átfogóhoz trtozó mgág tlppontját : AT : TB A tétel áltláno háromzögekre vontkozó állítáát lád T96-nál B T3-t felhználv AT állítát é TB A két egyenlet hánydo dj kívánt 33 Htányvonl htványpont H dott egy kör é egy pont tetzőlegeen íkon körön kívül rjt vgy elül z lái tétel egítégével definiálhtjuk pont körre vontkozó htványát 7

21 T35 Adott egy kör é P pont tetzőlegeen Húzzunk P-n kereztül zelőt körhöz zz kört metző egyenet A ponttól körig terjedő zelőzkzok zorzt állndó Az állítá érvényen mrd zelő helyett érintőre i h ekkor mindkét metzépontot zononk tekintjük z érintéi ponttl A P pont körre vontkozó htványánk nevezzük zelőzkzok zorztát h pont körön kívül vgy rjt vn é ennek --zereét h pont elül vn B Két árán kell követni izonyítát egyik eeten P pont körön kívül vn máik eeten elül Vegyünk fel tetzőlegeen mindkét árán két zelőt z egyik zelő két metzépontj legyen Q é R máiké Q é R zonn h P külő pont kkor P-hez közelei metzépontokt jelölje Q é Q A PQR honló PQR-höz mert P-nél lévő zögük közö ill úzögek é z R-nél é R-nél lévő zögük zono íven nyugvó kerületi zögek A honlóági rányt felírv PQ : PR PQ : PR é ezt krtuk izonyítni B T3 vizvezetée T34-re Az ABC derékzögű háromzög mgágánk tlppontj oldlon legyen T Rjzoljuk meg BCD körülírt körét ennek érintője z AC egyene T34 lpján P pontnk A-t válztv AC AT AB é ezt krtuk izonyítni B T33 vizvezetée T34-re Az ABC derékzögű háromzög mgágánk tlppontj oldlon legyen T Rjzoljuk meg ABC körülírt körét C ú C tükörképe oldlr vontkozón Thlez-tétel mitt zintén körre eik T34 lpján P pontnk T-t válztv CT C T AT TB é ezt krtuk izonyítni Tegyük fel hogy kör egyenlete Kx y = 0 é négyzete tgok együtthtói özevont lkn z un főegyütthtók eggyel egyenlők Ez mindig elérhető jelenlegi együtthtókkl történő oztál Legyen megdv egy tetzőlege P= x y pont T36 A P pont htvány Kx y = 0 körre vontkozón h főegyütthtók eggyel egyenlők Kx y B A kör egyenlete mindig megdhtó K x y x x0 y y0 r 0 lkn hol x0 y0 kör középpontj r ugr Akkor K x y x x0 y y0 r d r hol d P távolág kör középpontjától A külő é elő P pont etetét különválztv de mindkét eeten Pythgorz tételét T38 é T34-et felhználv kpjuk tétel állítáát T37 Adott két nem konentriku kör K é K Azon pontok mértni helye melyeknek két körre vontkozó htványuk egyenlő egy egyene mely merőlege két kör entráliár Az egyenet két kör htványvonlánk nevezzük Három kör eetén h középpontok háromzöget lkotnk páronként elkézített htványvonlk egy ponton mennek át pontot három kör htványpontjánk nevezzük B Legyen két kör egyenlete Kix y = 0 i = é feltételezzük hogy főegyütthtók eggyel egyenlők T36 lpján z x y pontr h két körre vontkozó htvány megegyezik Kx y = Kx y Ez egyen kereett mértni hely egyenlete mi lineári 8

22 mert négyzete tgok kienek z egyenletől lineári tgok nem enek ki k h körök konentrikuk A mértni hely tehát egyene H P pont htvány két körre megegyezik kkor entrálir vontkozó tükörképére i igz ez tehát z egyene merőlege entrálir Három kör eetén körökre tett feltétel mitt ármely két htványvonl metzi egymát Két htványvonl metzépontjánk htvány mindhárom körre egyenlő tehát ezen ponton hrmdik htványvonl i átmegy 34 Pythgorz-tétel T38 Jelölje z ABC leghoz oldlát Az ABC kkor é k kkor derékzögű h + = Az ABC kkor é k kkor tompzögű h + < é kkor é k kkor hegyezögű h + > B H z ABC derékzögű kkor z é oldlr i írjuk fel Fél-Pythgorz tételt mint hogy ezt T35 izonyítáán tettük: formulát kkor + = dódik AT é TB Adjuk öze két H z ABC nem derékzögű kkor két árán köveük izonyítát: z egyiken C zög tompzög máikon hegyezög Az A-ól húzott mgág tlppontját jelöljük T-vel é legyen m AT vlmint x CT Írjunk fel két Pythgorz-tételt: m x m x hol + érvénye h C zög tompzög é h hegyezög A két egyenletet vonjuk ki egymáól kkor x hol felő előjel tompzög z ló hegyezög eetén érvénye Mivel ngyo oldlll zemen ngyo zög vn T7 tompzög vgy derékzög k zög lehet így h hegyezög kkor háromzög minden zöge hegyezög Ezzel z állítáokt egyik irányn eizonyítottuk A fordított irány indirekt módon eől már következik A izonyítáól érthető hogy miért zokták T3-t fél Pythgorz tételnek nevezni Végezetül álljon itt Pythgorz-tétel fő állítáánk Pythgorztól zármzó legegyzerű izonyítá Rjzoljunk egy + oldlhozúágú AAA3A4 négyzetet A négyzet kerületén A-ől A felé kiindulv é körehldv minden oldlon vegyünk fel egy pontot z oldl kiindulái pontjától távolágr e pontok legyenek rendre P P P3 P4 A PAPΔ é honlón töi únál elhelyezkedő háromzögek i é efogójú derékzögű háromzög átfogój legyen A PPP3P4 négyzög tehát oldlú négyzet melynek területe megkphtó h z AAA3A4 négyzet területéől levonjuk négy derékzögű háromzög területét: 4 9

23 34 A háromzög zögfelezői A derékzögű háromzögen zögfelezők hozár egyzerű képletet lehet dni mint áltláno eeten ld T40 T39 A derékzög f zögfelezőjére z míg zög f zögfelezőjére z formul érvénye f f B A derékzög zögfelező egyenee oldlt mee D-en míg B-n kereztül fektetett z oldlll párhuzmo egyenet E-en Nyilván CE A DAC é DBE honló egymához é honlóági rány : ezért D pont ilyen rányn oztj CE zkzt Az rányo oztá képletével kpjuk tétel elő állítáát A zög f zögfelezőjének tlppontj legyen P é BCP-et tükrözzük zögfelezőre A C ú tükörképe C oldlr kerül Vezeük e z x PC PC jelölét Az APC honló z eredeti háromzöghöz ezért x: = : vgyi x Ennek egítégével Pythgorz-tétel dj zögfelező hozát: f x T30 Derékzögű háromzögen = R + máképpen foglmzv B Az érintőzkzok egyenlőégéől következik hogy = + Thlez-tétel lpján pedig = R 0

24 4 A körülírt kör 4 A körülírt kör középpontj T4 A háromzög oldlfelező merőlegeei egy pontn metzik egymát ez háromzög köré írhtó kör O középpontj A COB zögek közül z melyik A-t nem trtlmzz ngyágú Az O középpont hegyezögű háromzögnél háromzög elejée derékzögű háromzögnél z átfogór Thlez tétele tompzögű háromzögnél háromzögön kívülre de tompzög elejée eik B A T6-ot tözör felhználv izonyítjuk Az AB zkzfelező merőlegeének minden pontj egyenlő távol vn A-tól é B-től BC zkzfelező merőlegeének minden pontj egyenlő távol vn B-től é C-től metzépontjuk tehát mindhárom ponttól egyenlő távol vn így ez körülírt kör középpontj A zkzfelező merőlegeek izton metzik egymát hizen nem lehetnek párhuzmok Mivel z O metzépont egyenlő távol vn A- tól é C-től izton rjt vn z AC zkzfelező merőlegeén Ugynzon ívhez trtozó középponti zög kétzeree kerületi zögnek é középponti zögtrtomány nem trtlmzhtj kerületi zög úát = 90 o kkor é k kkor h COB zög 80 o -o vgyi h CB átmérő d H > 90 o kkor z COB zög mely A-t nem trtlmzz 80 o -nál ngyo Vegyük zt CB egyene áltl lezelt körzeletet mely A-t nem trtlmzz ez ngyo mint egy félkör tehát O elejéen vn CB áltl elválztv z ABC-től Megfordítv h O nin háromzögen kkor z ABC oldli áltl lezelt három körzelet vlmelyikée eik ez körzelet ngyo mint egy félkör tehát középponti zöge ngyo mint 80 o Így kerületi zög háromzög zöge tompzög -ől é d-ől már következik hogy O kkor é k kkor eik háromzög elejée h z hegyezögű T4 A körülírt kör ugr R = Az O előjele távolág z oldltól d = tg in hol d negtívnk dódik h O kívül eik háromzögön B Jelöljük F-fel z oldl felezőpontját Mivel BOF zög mindkét állítá BOF derékzögű háromzögől leolvhtó Az előjelre vontkozó állítá T4 lpján ellenőrizhető T43 O ngyo oldlhoz közele vn B Mivel d R z állítá nyilvánvló T44 A háromzög területe: T = lklm mely képlet T imeretéen z R kizámítáár i 4R

25 B T m in hol m oldlhoz trtozó mgágot jelöli é in-t 4R kiküzööljük T4 elő képletével T45 Az oldlfelező merőlegeek felező háromzög zz z oldlk felezőpontji áltl lkotott háromzög mgágvonli z O ennek háromzögnek mgágpontj B Az állítá nyilvánvló T46 Az A úól kiinduló mgágvonl tükörképe z A úól kiinduló zögfelezőre átmegy O-n B A mgágvonl é oldl zöge 90 o egyzerű zögzámolál ugynekkor z OAB zög i T47 Az O rientriku koordinátái z A B C lppontokr vontkozón in in in vgy má lkn o o o R B Hznájuk T5 tételt Mivel z OBC t terőlete in z O rientriku R R R koordinátái in in in mi egyzerűíthető fenti lkr A kétzere zögeket átlkítv in o in o in o koordinátákhoz jutunk el mjd ezeket ezorozv t -vl megkpjuk máodik állítát in in in A felező háromzög körülírt körét Feuerh-körnek nevezik Erről 0 é 5 fejezeten rézleteen i zó lez T09-en djuk meg z O rientriku koordinátáink oldlkkl kifejezett lkját i 4 Izogonáli konjugált T48 A körülírt kör rientriku egyenlete qr qp pq 0 Má zvkkl P kkor é k kkor pontj körülírt körnek h p q r rientriku koordinátáir z elői egyenlet fennáll B A T4 közvetlen következménye A T46 állítá ugllj következő gondoltmenetet é definíiót T49 A háromzög íkján vegyünk fel egy P pontot mely nem eik háromzög körülírt körére Tükrözzük z A únál lévő zög elő zögfelezőjére z AP egyenet mjd B únál lévő zög elő zögfelezőjére PB egyenet é C únál lévő elő zögfelezőre

26 PC egyenet A tükrözött egyeneek egy ponton mennek át legyen ez P pont A P pontot P izogonáli konjugáltjánk nevezzük H P háromzög körülírt körén vn kkor z izogonáli konjugáltt nem definiáljuk H P rientriku koordinátái p q r kkor P rientriku koordinátái qr rp pq B Tegyük fel egyelőre hogy p q r zámok egyike em null P-nek z oldlktól mért előjele távolágát jelöljük rendre d-gyel d-vel é d3-ml T5 lpján p é q rány megegyezik PBC é PCA előjele területeinek rányávl vgyi p : : miől p q d : d : Mivel qr qp pq 0 ugyni P nin körülírt körön qr rp pq rientriku koordináták meghtároznk egy Q pontot Ugynezzel gondoltmenettel Q pont BC é CA oldlegyeneektől mért előjele távolágink z rány q p qr : rp : d : d Eől láthtó hogy Q rjt vn CP egyenenek C pontól kiinduló zögfelezőre vontkozó tükörképén Honlón Q töi tükrözött egyeneen i rjt vn tehát Q = P H vlmelyik koordinát mondjuk p null kkor P BC egyene egy pontj melynek izogonáli konjugáltj z A úpont tehát z állítá ekkor i igz H P pont nem eik háromzög oldlegyeneeire é körülírt körre kkor z izogonáli konjugáltág reflexív tuljdonág vgyi P izogonáli konjugáltj P A T46 állítá zt mondj ki hogy mgágpont körülírt kör középpontjánk izogonáli konjugáltj Nyilvánvló állítá hogy eírt kör középpontj önmg izogonáli konjugáltj Ugynez igz hozzáírt körök középpontjir i Továi háromzög nevezete pontjir vontkozó izogonáli konjugáltági tuljdonágokkl megfelelő fejezeteken fogllkozunk A fejezet továi rézéen z oldlk P é P pontól képezett látózögével fogllkozunk A legegyzerű eet z mikor P háromzög elejée eik ekkor P i ilyen hizen rientriku koordinátái pozitívk T40 H P háromzög elejée eik é izogonáli konjugáltj P továá h oldl látózögét P-ől φ-vel P-ől -vel jelöljük kkor o 80 Termézeteen ármelyik oldlr honló zály érvénye B A háromzögek zögözegére vontkozó tételől 80 o PAB zög PBA zög Írjuk fel ugynezt P pontr i é hználjuk fel P pont tükrözéekkel történő előállítáát: o o 80 P AB zög PBA zög 80 PAB zög PBA zög Adjuk öze két egyenletet kkor o o

27 Külő pontokr kié onyolult helyzet Az áltlánoág korlátozá nélkül feltehetjük hogy P háromzög α zögteréen vgy nnk úzögteréen vn H P z α úzögének teréen vn kkor P z α zögterée eik ld izonyítát két konjugált pont feleréléével feltehetjük tehát hogy P z α zögterée eik Itt i két eetet kell megkülönöztetnünk: P háromzögön kívül de körülírt körön elül vgy körülírt körön kívül vn T4 H P z α zögteréen háromzögön kívül de körülírt körön elül vn kkor H P z α zögteréen körülírt körön kívül vn kkor A oldl látózögére honló képlet igz míg z oldl látózögére o 80 két eetnek megfelelően B Legyen P z α zögteréen háromzögön kívül A BP félegyene zögfelezőre vontkozó tükörképe β + PBC zög zöget zár e CP félegyene tükörképe pedig γ + PCB zög zöget zár e z oldlll A két zög özege pedig β + PBC + γ + PCB =80 o α + 80 o φ < < 80 o h φ > 80 o α zz h P körülírt körön elül vn é > 80 o h P körülírt körön kívül vn Az elő eeten P z α úzögének zögteréen vn máodik eeten pedig z α zögteréen Tegyük fel hogy P z α zögteréen háromzögön kívül de körülírt körön elül vn kkor o 80 PBC zög PAB zög é tükrözé mitt o o o 80 PBA zög P AB zög 80 PBC zög 80 PAB zög A két egyenlet különégeként o 80 kpjuk z elő állítát H P körülírt körön kívül vn kkor honló gondoltmenettel o 80 PBC zög PAB zög é o o o 80 PBA zög P AB zög PBC zög PAB zög A két egyenletet özedv o 80 kpjuk máodik állítát A P é P helyzete mitt é izonyított özefüggéekől o 80 dódik ezért két eetnek megfelelően 4

28 5 A eírt kör 5 Elhelyezkedée é mérete Vezeük e következő állndó jelöléeket O0 é legyen eírt kör középpontj é ugr O é z oldlhoz hozzáírt kör középpontj é ugr mely z oldlt kívülről é é oldlk meghozítáit érinti Honló értelmet djunk z O O é jelöléeknek i A eírt kör érintéi pontj legyen z oldlon E oldlon E -n E A háromzög kerületének felét félkerületet jelöljük -el T5 A háromzög elő zögfelezői egy pontn metzik egymát ez eírt kör O0 középpontj Két külő zögfelező é fennmrdó A-vl jelölt ú elő zögfelezője i egy pontn tlálkozik ez z oldlhoz trtozó hozzáírt kör O középpontj B A elő zögfelező zkzok metzik egymát mert z zögfelezője két rézre vágj zét háromzöget egyik oldlán vn B úpont máikon oldl é zöghöz trtozó zögfelező zkz e két ojektumot köti öze A metzépont tehát háromzög elejéen vn Az zögfelezőjének minden pontj egyenlő távol vn egyeneétől é egyeneétől zögfelezőjének minden pontj egyenlő távol vn z egyeneétől é egyeneétől metzépontjuk O0 egyenlő távol vn mindhárom oldl egyeneétől ezért ez eírt kör középpontj Mivel O0 egyenlő távol vn é egyeneeitől T9 mitt C únál lévő zög vlmelyik felező egyenee átmegy O0-n de ez k elő zögfelező lehet mert O0 háromzög elejée eik Az é zög külő zögfelezői merőlegeek előkre ezért oldl egyeneével ezárt zögeik 90 o ill 90 o o o ezek özege tehát nem párhuzmok így zög zári között de háromzögön kívül metzik egymát A metzépontról ugynúgy elmondhtó mint z előző eeten hogy három oldlegyenetől egyenlő távol vn tehát O-t kptuk meg é O rjt vn zög egyik zögfelezőjén mi k elő zögfelező lehet T5 E A E A é ez honlón töi úr vontkozón i felírhtó H z oldlhoz hozzáírt kör érintéi pontjit z egye oldlegyeneeken P P é P jelöli kkor P C P C P A é P E Az oldl F felezőpontjáól oáunk merőleget z A-nál lévő zög elő zögfelezőjére A merőlege egyene mee oldl egyeneét P-en oldl egyeneét Q-n kkor PC QB FE FP továá QE B A háromzög kerülete felírhtó z érintőzkzok özegeként de ezek pároávl egyenlők: 5

29 vgyi E A EB EC E A A E Honlón hogy P C P C P B P A P A P A Eől közvetlenül láthtó Tegyük fel hogy > kkor P B EC vgyi P E Ugynígy > eetén felerélve két oldl etűzéét P E állítát mi igzolj máik A hrmdik állítá izonyítáához tegyük fel hogy é tükrözzük F-re PCFΔ-et C tükörképe B míg P tükörképét jelöljük P -vel Az APQΔ egyenlőzárú ezért BP QΔ i egyenlőzárú hizen oldlik párhuzmok vgy egy egyenere enek Legyen BQ BP' CP x kkor x x tehát x ezért BQ FE FP Az érintőzkzok egyenlőégét felhználv QE BE BQ BE FE BF T53 : : B A két kör honlóági középpontj A ngyítánál z E pontnk P felel meg ezért : E A: P A : T54 T B A háromzöget ontuk fel z O0AB z O0BC z O0CA háromzögekre é területet zámítuk ki rézháromzögek területeinek özegeként: T A máik képletet T53 felhználáávl kphtjuk meg vgy ugynilyen felontáo eljárál i izonyíthtó T55 Heron-képlet T = B Jelöljük P-vl z oldlhoz hozzáírt kör érintéi pontját z oldlon Az O0CE honló COP-höz mert külő zögfelező merőlege előre Eől CE : O0E O P : CP é T54 felhználáávl T T : : mi ekvivlen Heron-képlettel 6

30 T56 A eírt kör területének é háromzög területének hánydoár felő korlát dhtó T 3 3 é egyenlőég k z egyenlő oldlú háromzög eetén áll fenn Adott területű háromzögek közül z egyenlő oldlú háromzögnek minimáli kerülete é dott kerületű háromzögek közül z egyenlő oldlú háromzögnek mximáli területe B Az előző két tétel lpján lkítuk át kifejezét: T T -et állndónk tekintve gyökjel ltti három tényezőre lklmzzuk zámtni-mértni közép egyenlőtlenéget három zám özege + + = tehát T mit izonyítni krtunk Az egyenlőég k kkor áll fenn h = = vgyi h = = A izonyított egyenlőtlenég T = képlet egítégével T 3 3 lk írhtó át mi hozzávéve hogy egyenlőég k egyenlő oldlú eeten áll fenn igzolj máodik két állítát T57 Az O0 pontól z oldl 90 o zög ltt látzik H A-t körülírt körnek zon rézén mozgtjuk z oldlt rögzítve melynek pontjiól z A-nál lévő zög mrd kkor O0 i köríven mozog A BOC zög 90 o B A BO0C két zöge é hrmdik zög tehát 80 o 90 A BO0CO négyzögen két derékzög vn így máik két zög özege 80 o miől tétel máik állítá már következik 5 A zögfelező zkz Vezeük e ideiglene jelöléként következőket Jelöljük z A ú elő zögfelezőjének é z oldlnk metzépontját P-vel külő zögfelezőjének é z oldl egyeneének metzépontj h létezik legyen Q A é oldlk rányát jelölje tehát T58 Az zög elő zögfelezője zemközti oldlt zög zárit képező oldlk rányán oztj fel: PB PC : 3 7

31 Honló igz külő zögfelezőre i Tegyük fel hogy QC : QB AB AC kkor Q létezik é B Húzzunk zögfelezővel párhuzmo egyenet C-n kereztül mee ez z egyene oldl meghozítáát D-en Az ACD egyenlőzárú tehát AD A párhuzmo zelők tétele mitt PC : PB : Húzzunk oldlll párhuzmo egyenet B-n kereztül mee ez z egyene külő zögfelező egyeneét E-en A BAE egyenlőzárú tehát BE A QBE é QCA honló tehát QC : QB : Az 58 állítá zerint B C P Q pontok hrmoniku pontnégyet lkotnk ld fejezet T59 PB é PC Továá eetén QB é QC B Legyen PC x kkor T57 lpján x : x = miől x A máik eeten legyen QC y H < kkor y : + y = vgyi y H > kkor y : y = vgyi y Az APQ körülírt körét z ABCΔ oldlához trtozó Apollóniuz-körének nevezik Rézleteeen lád 6 é 0 fejezetet T50 A eírt kör középpontjánk z A B C ázipontokr vontkozó rientriku koordinátái é vgy zögekkel megdv in in in O0 z AP zögfelezőt AO 0 : O0P : rányn oztj fel Az O rientriku koordinátái ill in in in B izonyítá O0 ill O trilineári koordinátái hol mot eírt ill hozzáírt kör ugr vgy mi ezzel ekvivlen A T7 lpján rientriku koordináták izonyítá A P pont B-en elhelyezett tömeg é C-en elhelyezett tömeg úlypontj tehát AP úlyozott úlyvonl é trtlmzz úlyozott úlypontot Ez honlón töi úlyvonlr i igz vgyi úlyozott úlypont minden zögfelezőn rjt vn tehát O0 megegyezik úlyozott úlyponttl Mivel O0 z A pontn elhelyezett tömeg é P pontn elhelyezett + tömeg úlypontj z oztái rány nyilvánvló Húzzuk meg z zög elő zögfelező egyeneét AP-t vlmint zög elő é külő zögfelezőjét Az AP egyeneen kpott O0 é O z A é P pontokkl együtt hrmóniku pontnégyet lkot Mivel O0 z A é P pontok é + úlyokkl képezett úlypontj O ugynezen pontok é + úlyokkl képezett úlypontj vgyi O rientriku koordinátái é 8

32 A zögekre vontkozó átírához zorozzuk meg t-vel rientriku koordinátákt hol in in in zinuz-tételt felhználv t Két formulát é egy egyenlőtlenéget i dunk zögfelező hozár T5 Az zög elő zögfelezője hozánk négyzete f A zögfelező hoz kie mint közrefogó oldlk mértni közepe Márézt f o é f o Az egyenlőtlenégen z egyenlőég k = eetén áll fenn B Az APC é APB háromzögekre írjuk fel kozinuz tételt é hználjuk fel T48-t f f o f f o Szorozzuk z elő egyenletet -vel máodikt -vel é vonjuk ki egymáól: f Egyzerűíté után h megkpjuk tétel elő állítáát H = zz h egyenlőzárú háromzögről vn zó z eredmény közvetlenül igzolhtó A máodik állítához ontuk fel háromzöget zögfelezővel két háromzögre melyek területeinek z özege megdj háromzög területét: f in f in in in o miől f o A zámtni é mértni közepek közötti egyenlőtlenégől vgy máképpen illetve mi izonyítj z egyenlőtlenéget T5 Hoz oldlhoz rövide zögfelező trtozik 9

33 B Az ill zöghöz trtozó elő zögfelező hozát jelöljük f-vl ill f-vel é legyen > Alkítuk át T5 képletét: f 4 4 Számítuk mot ki két zögfelező négyzetének hánydoát: f f Az utói lkn mindkét tört zámlálój kie mint nevezője tehát zorztuk i -nél kie vgyi f f A eírt kör középpontjánk koordinátgeometrii meghtározáához kínálkozó út zögfelezők metzépontjánk meghtározá A zögfelezők egyenletét T-en tárgyltuk Mégi ez z eljárá tönyire nem jvolt helyette T50-et jánljuk Jelöljük háromzög úink helyvektorit 0-ll 0-ll é 0-ll Számítuk ki z oldlk é hozát kkor eírhtó kör középpontjánk helyvektor Honlón z oldlhoz hozzáírt kör középpontjánk helyvektor Beírt félkör é középpontok távolág úoktól Az oldlr illezkedő eírt félkör olyn félkör melynek átmérője z oldlr eik é telje körré kiegézítve érinti é oldlegyeneeket A eírt félkör ugr honlón mint eírt kör ugr háromzög T területével dhtó meg T53 Jelöljük z oldlr illezkedő eírt félkör ugrát -gyel kkor T A eírt kör ugrához vizonyítv: : : B Az A úól kiinduló elő zögfelező két háromzögre ontj z ABC-et melyek területe é A két terület özege megdj T-t Mivel T = két egyenlet hánydo dj máodik özefüggét Húzzunk párhuzmo egyenet z oldlll O0-n át Mee ez z egyene oldlt C-en é oldlt B-en Az ABC honló z ABC-höz é honlóági rány T58 értelméen : ugyni honlóági rány leolvhtó eírt félkörök ugrink rányáól 30

34 T54 O0 A Az oldlhoz hozzáírt kör kör középpontjár O A é O B miől O0 AO A i következik B Jelöljük z ABC oldlink hozát -gyel -gyel é -gyel O0A ennek háromzögnek zögfelezője tehát hozát megdj T5 képlet: O A 0 mi megegyezik z állítál T53 lpján eírt köről z oldlhoz hozzáírt kört z A pontól történő ngyítál kphtjuk meg Eől zonnl dódik z O A -r vontkozó állítá rányú Az ABOΔ é z AO0CΔ honló mert z A-nál lévő zögük é z ABOΔ O-nál lévő o o o zöge de ugynekkor z AO0CΔ C-nél lévő zöge i Ennek lpján : O C O A vgyi BO 0 : 0 BO O C O 0 0 A Az elői honlóág mitt O A O A: mi tétel utoló állítáávl ekvivlen : 0 Az O0AE derékzögű háromzögől melynek z oldlit imerjük z zögfüggvénye kizámíthtó zög minden T55 tg in o B Az O0AE derékzögű háromzögől T= területképlet é Heron-képlet felhználáávl tg T Honlón de T54 lklmzáávl 3

35 A máodik állítá o in tg o özefüggé lpján zonnl láthtó 54 Gergonne-háromzög T56 Az AE BE é CE egyeneek egy ponton mennek kereztül pont neve: Gergonnepont A Gergonne-pont rientriku koordinátái: B E B é C pontok úlyokkl képezett úlypontj hizen BE é E C Így AE úlyozott úlyvonl Honlón igz ez töi egyenere i tehát minden úlyozott úlyvonl átmegy úlyozott úlyponton T57 Az EEE háromzög neve Gergonne-háromzög A Gergonne-háromzög E-nál lévő zöge mit z O0E egyene é zögekre vág zét A Gergonne-háromzög mindig hegyezögű B Az O0EE zög é z ECO0 zög zári merőlegeek tehát egyenlők é egyenlők -vel Honló igz z O0EE zögre i Mivel + = 80 o < 80 o Gergonne-háromzög zögei kieek 90 o -nál A körülírt kör A-t nem trtlmzó BC ívének felezőpontját jelöljük R-vl é töi ív felezőpontját értelemzerűen R-vel é R-vel T58 Az AO0 egyene átmegy R-n B Ugynzon kören egyenlő ívekhez egyenlő kerületi zögek trtoznk tehát AR zögfelező T59 Az EEE Gergonne-háromzög honló z RRR-höz é megfelelő oldlik párhuzmok A honlóág rány: 4 R B Az R-ól kiinduló átmérő máik végpontj legyen G A G-t trtlmzó BC ívhez trtozó kerületi zög 80 o GC ívhez trtozó 90 o GR ívhez trtozó 90 o = Vgyi GRR zög é O0EE zög T57 zerint egyenlő ngyágú é egyálláú tehát RR párhuzmo EE-vel 3

36 A két háromzög honlóági rány nyilván : R miől kör ugrk T44 é T54 egítégével kiválthtók mjd terület Heron-képlettel T55 kizámíthtó: T 4T 4 R T50 A Gergonne-háromzög oldlánk hoz z zámíthtó ki E E 4 képlettel B T54 felheználáávl E E E C in O C 0 T T T5 A Gergonne-háromzög területe T G T R 4 RT A T59-en zereplő RRR területe T R T Egyenlőég mindkét helyen kkor é T k kkor áll fenn h z ABCΔ egyenlő oldlú TG é TR mértni közepe B Alklmzzuk háromzögnek körülírt kör ugrávl felírhtó területképletét A körülírt kör ugr itt Gergonne-háromzög oldlit jelölje 3 3 T T G 4 4 A képlet átlkítá területképletek egítégével egyzerűen elvégezhető T R RT A T59 honlóági rány lpján z RRR területe T R Az R T egyenlőtlenégek z Euler-féle ugáregyenlőtlenég T4 folyományi T5 A Gergonne-pont Gergonne-háromzög zimmedián pontj definíiót ld 6 fejezeten B A Gergonne-pont rientriku koordinátái T56 zerint vgy mi ezzel ekvivlen végigzorozv nevezők kétzere zorztávl A B pontn lévő tömeg é C pontn lévő tömeg egyeíthető ezek úlypontján E-n itt tömeget kell elhelyezni Ugynígy z E-e E-e tömeg kerül ezek úlypontj G H Gergonne-háromzög zimmedián pontját krjuk meghtározni kkor T63 értelméen z oldlk négyzetei rientriku koordináták vgyi z E E E 33

37 pontok tömegeket kell elhelyezni de ez ekvivlen z előzővel tehát ugynk G-t kpjuk meg A T5 tételre 6 fejezeten elemi izonyítát i dunk zimmedián pont tuljdonágit felhználv de ezek itt még nem állnk rendelkezéünkre 55 A hozzáírt körök középpontjink háromzöge Közvetlenül láthtó hogy z OOO mgágpontj O0 é z ABC ennek háromzögnek tlpponti háromzöge lád rézleteeen 9 fejezetet A 9 fejezeten evezetére kerülő zóhználttl O O O O0 ortoentriku pontnégye O0O mee -t T-en kkor T9 értelméen O0 O A T hrmoniku pontnégye T53 Az O0O zkzt háromzög köréírt köre felezi Így z OOO köréírt köre z ABC köréírt körének O0-ól történő kétzere ngyítá vgyi z OOO köréírt körének ugr R Az OOO honló Gergonne-háromzöghöz é oldlik párhuzmok Az OOO mindig hegyezögű é z O úánál lévő zöge Az OOO t-vel jelölt területe t R é z O0OO t-gyel jelölt területe t R B Jelöljük z O0O zkz é körülírt kör metzépontját R-vl Egyzerű zögzámítál z RBO0 egyenlőzárú hizen BO0R zög mint külő zög márézt z O0BR zög -ől é z CBR zögől tevődik öze de ez utói kerületi zögek tétele mitt Az RBO i egyenlőzárú mert BO oldlon lévő zögei z elői egyenlőzárú háromzög lpon lévő zögeit 90 o -r egézítik ki Így O0 R BR O R mivel z elő állítát izonyítottuk Jelöljük R-vel é R-vel körülírt kör é z O0O ill z O0O zkz metzépontját T59- en láttuk hogy z RRR oldli párhuzmok Gergonne-háromzög oldlivl ez tuljdonág öröklődik h z RRR-et O0-ól kétzereére kingyítjuk A ngyítá orán körülírt kör ugr i R lez tehát OOO körülírt körének ugr R Az OOO zögeire tett állítá következik Gergonne-háromzöghöz vló honlóágól é T57-ől Az hogy z OOO körülírt körének ugr R ól i láthtó hogy z ABC z OOO tlpponti háromzöge ezért z ABC körülírt köre z OOO Feuerh-köre így körülírt körök ugrink rány : Lád T05 izonyítá A területzámítái képletek elemi izonyítá megtlálhtó T90-en itt T0 tételt hználjuk fel izonyítáokhoz 34