Az Erdős-Mordell egyenlőtlenség

Átírás

1 Kutov Antl: Az Erdő-Mordell egyenlőtlenég Kutov Antl Táni Mihály Gináziu, Kpovár Az Erdő-Mordell egyenlőtlenég Az Erdő-Mordell tétel: H P z ABC hározög elő- vgy htárpontj, é P távolág hározög oldlegyeneeitől x, y é z; úitól vett távolág u, v é w, kkor u v w ( x y z). A ejtét Erdő Pál foglzt eg 95-en, KÖMAL 95. feruári záán ár közölte i L. J. Mordell (nheteri egyetei tnár) egoldáát. Az eriki Monthly jelentette eg Mordell é Brrow egoldáát 97-en. Az elő elei egoldát Dont Kontntinovih Kzrinoff dt 945-en. Az itt közölt izonyítá z ő áltl kidolgozott izonyítá. A izonyítához előzör elátunk két (öngán i zép) egédtételt: Az elő Pppoz (vn, ki zerint Pppu) tétele. Pppoz i. z. IV. zázdn élő lexndrii tudó, ki Syngógé (Gyűjteény) íű unkáján özegyűjtötte z ddigi geoetrii iereteket, de ját eredényei i voltk. Pppoz tétele: Az ABC hározög AC, illetve BC oldlir AA C C, illetve BB C C prlelográkt zerkeztünk úgy, hogy vgy indkettő hározögön kívül, vgy indkettő (leglá rézen) hározögön elül legyen. Az A C é B C oldlkt eghozítjuk úgy, hogy etzék egyát (P pont). Szerkezünk egy hrdik AP P B prlelográt úgy, hogy AP párhuzo é egyenlő legyen CP-vel. Bizonyítuk e, hogy ekkor T AA C C T BB C C T AP P B Mtetik Okttái Portál, - / -

2 Kutov Antl: Az Erdő-Mordell egyenlőtlenég Bizonyítá: Legyen A P A é A P egyeneek etzépontj, íg B P B, B P egyeneek etzépontj. Legyen továá, Q é Q PC egyenenek AB-vel, illetve P P -vel vló etzépontj. Az áráról leolvhtó, hogy z AA PC prlelogr területe z AA C C é z AP Q Q prlelogr területével i egyenlő, illetve BP Q Q é BB C C i egyenlő területűek, hizen indkettejük területe BB PC területével egyezik eg. Megjegyzé: H ABC derékzögű hározög é prlelográk négyzetek, kkor Pitgorz-tételt kpjuk.. egédtétel Az ABC hározög köré írt körének középpontját jelölje K. Az f felezi z AK é áltl ezárt zöget. Bizonyítá (. ódzer): Tudjuk, hogy hározög elő zögfelezője é zeközti oldl felezőerőlegee köré írt körön etzi egyát. Így z lái árán TAA é AA K váltózögek, íg z AA K egyenlő zárú hározögen A AK AA K.. Bizonyítá (Kzrinoff): Legyen A ill. A z AK átérőegyene ill. z f zögfelező é körülírt kör etzépontj. BCA BA A (zono íven nyugvó kerületi zögek), ABA 90 (Thléz tétele). Ezért A AB TAC é f zögfelező A AA A AT. Ai eől nekünk kelleni fog: h f -r tükrözö BC oldlt, kkor B C -re z AK egyenee lez erőlege, hiz AK egyenee z képe Mtetik Okttái Portál, - / -

3 Kutov Antl: Az Erdő-Mordell egyenlőtlenég é tükrözé zögtrtó. Máképp foglzv: H P z ABC hározög elő vgy htárpontj (ez ot ne i fonto), kkor z AP egyene kkor é k kkor lez erőlege B C -re, h P pont rjt vn z AK egyeneén. Ezek után nézzük z Erdő-Mordell tétel izonyítáát: Tükrözzük BC-t f -r, lklzzuk Pppoz tételét z AC B hározögre. A prlelográkt z AB, illetve AC oldlkr efelé rjzoljuk. A B C oldlon keletkezett prlelogr területének xiu állndó. Így u z y, é P illezkedik AK-r u z y Anlóg ódon következik: v z x, é P illezkedik BK-r w y x, é P illezkedik CK-r Özegezve háro egyenlőtlenéget: u v w x y z ( x y z), é egyenlőég k kkor áll fenn, h, vgyi hározög zályo, é P K, zz P zályo hározög középpontj. Mtetik Okttái Portál, - / -

4 Kutov Antl: Az Erdő-Mordell egyenlőtlenég Az Erdő-Mordell egyenlőtlenég lklzá, vgy kézítünk i feldtokt Előzete egjegyzé Aikor tételt hározög köré írhtó kör középpontjár, vgy gágpontr lklzzuk, kkor indig ne topzögű hározögre gondolunk, é ne fogllkozunk zzl, hogy kpott egyenlőtlenég egyéként igz-e inden hározögre. Legyen P O! Ekkor r r in u u in Erdő-Mordell: r r r r r r β γ in in in Tehát feldhtjuk z lái példát: ( ). feldt Bizonyítuk e, hogy árely hegyezögű hározögen teljeül z 6 egyenlőtlenég! β γ in in in Legyen P K! z oγ z R oγ R Erdő-Mordell: R R R R(o o β oγ ) Tehát új példánk: Márézt:. feldt Bizonyítuk e, hogy árely hegyezögű hározög zögeire teljeül o o β oγ egyenlőtlenég! o o β oγ o o β oγ o o β oγ 8 Mtetik Okttái Portál, / -

5 Kutov Antl: Az Erdő-Mordell egyenlőtlenég Ezenkívül iert, hogy zz Tehát ot: o o β oγ r R R o R o β R oγ R r R r R. feldt (Sugáregyenlőtlenég) Igzoljuk, hogy h hegyezögű hározög eírt körének ugr r, körülírt kör ugr pedig R, kkor r R Vegyük ézre, hogy z Erdő-Mordell tétel ne produkál indig érdeke egyenlőtlenégeket, hizen h P-t pl. z oldlr helyezzük, kkor elég durv elé. H pedig P S, kkor ( ) é eől ne túl érdeke egyenlőtlenéghez jutunk. H z Erdő-Mordellt u v w x y z lkn tekintjük, kkor felerül kérdé, hogy ne zályo hározögen hol vezi fel tört iniuát. Ez záítógéppel vizgálhtó. Írjuk fel z Erdő-Mordell egyenlőtlenéget K-r é M-re! K: R ( KF KF KF ) M: MA MB MC MT MT MT MT Így: ( ) MC MT MA MT MB ( ( MT MT )) MA MB MC MT Átrendezve: ( MA MB MC) ( ) Az MCS é SF K hározögek nyilvánvló honlóágáól: MC KF. Így z előzőkől: KF KF KF ( ) ( ) 6 A gágok özegét lulról i eülhetjük: 9 R Mtetik Okttái Portál, / -

6 Kutov Antl: Az Erdő-Mordell egyenlőtlenég Mtetik Okttái Portál, / - ( ) r r r r t t t t 9 zátni é hroniku középpel i elrendezhető. Özegezve, új feldtunk: 4. feldt Mutuk eg, hogy hegyezögű hározög eírt, körülírt körének ugr vlint gági között fennáll R r 9 9 egyenlőtlenég. Megjegyzé: eől újr egkptuk ugáregyenlőtlenéget. 5. feldt Legyen P z ABC hározög elő pontj. Bizonyítuk e, hogy PAB, PBC, PCA zögek közül leglá z egyik ne ngyo 0 -nál. (N. M. D. 99/5). Bizonyítá: H hározögnek vn leglá 50 -o zöge, kkor triviáli. H indegyik zög kie 50 -nál, kkor tegyük fel, hogy indegyik i ngyo, int 0 (de ekkor terézeteen kie, int 50 ). y w w y x v v x z u u z in in in < > < > < > Özegezve: ( ) z y x w v u <, i ellentond z Erdő-Mordell tételnek.

7 Kutov Antl: Az Erdő-Mordell egyenlőtlenég 6. feldt (Oppenhei, Univerity of Mly prof.) ( x y)( y z)( z x) uvw ( x y)( y z) ( z x)( x y) ( y z)( z x) uv vw wu Ez utóit i npig ne izonyították e (tudtol). ) Bizonyítá: ( u x) T z x y u y z Márézt z Erdő-Mordell tétel levezetéekor láttuk: u z y Özegezve: u y z z y ( )( z y) Anlóg ódon: u z y v ( )( ) ( )( x z) ( )( x y) u x, é egyenlőég P illezkedik -r. w Az egyenleteket özezorozv kpjuk: 8 uvw ( )( )( )( x y)( y z)( z x) Hználjuk fel értni- é zátni közepek közötti kpoltot: 8 uvw ( x y)( y z)( z x) uvw ( x y)( y z)( z x), é egyenlőég h é P illezkedik -r, -re é -re i, vgyi hározög zályo é P középpontj. 7. feldt Alklzzuk z előző eredényt, h ) P O ) P K ) P S Megoldá: ) P O Mtetik Okttái Portál, / -

8 Kutov Antl: Az Erdő-Mordell egyenlőtlenég ) P K r in r r β γ in in β γ in in in ( r r)( r r)( r r) 8r 8 ( R o R o β )( R o β R oγ )( R oγ R o ) ( o o β )( o β oγ )( oγ o ) R De jo oldl folytthtó! o o β o β oγ oγ o 8o o β oγ ) P S 8 ( )( )( ) T Hználjuk fel, hogy! 8T T T T helyée i ok inden írhtó, ill.,, i kifejezhető z oldlkkl i Megjegyzé: ) Vn, hogy külön elegetik z uvw 8xyz zonoágot, de ezt zonnl kpjuk z előzőől zátnié értni közép lklzáávl: ( x y)( y z)( z x) xy yz zx xyz uvw 8 ) Igzoljuk, jd lklzzuk: u v w > x y z (P elő pont) ) ( ) ) u v w ( x y z ) Mtetik Okttái Portál, / -

9 Kutov Antl: Az Erdő-Mordell egyenlőtlenég Írjuk fel újr z Erdő-Mordell egyenlőtlenéget O-r, de ot dolgozzunk zögfelezőkkel! Alklzzuk zögfelezőtételt z AA C hározögre i: f u Alklzzuk z Erdő-Mordell tételt: ( ) f [ f ( ) f ( ) f ( ) ] 6r β γ f f f r T ( ) β ( ) γ ( ) Ez perze tová fejlezthető, h pl. zögfelezők hozát kifejezzük á ódon, illetve négyzete- é zátni közepek közötti kpolt lklzáávl. Írjuk fel hározög kétzere területét kétféleképpen: in f in f in in o f in ( ) f o. Eől egyrézt ellékterékként dódik, hogy f <, árézt fent ekeretezett özefüggé z lái lkot ölti: β γ o o o 6T vgy β γ ( ) o ( ) o ( ) o T Fejezzük ki zögfelező hozát é így u-t i k z oldlk egítégével: f o A linerizáló foruláól: Mtetik Okttái Portál, / -

10 Kutov Antl: Az Erdő-Mordell egyenlőtlenég o ( ) ( ) o ( ) 4 f é u o u Anlóg ódon következik: De ekkor u v w felülről i eülhető: ( ) ( )( ) 4 ( ) f 4 ( ) 4( ) 4 ( ) ( ) ( ) v é w u v w ( ) ( ) ( ) u v w 6r Tekintük ot z Erdő-Mordell egyenlőtlenég áltlánoítái lehetőégeit! Megjegyzé: Szoká z lái tételt z Erdő-Mordell tétel áltlánoítáánk tekinteni hározögre: Megoldá: Legyen P z ABC hározög tetzőlege elő- vgy htárpontj. Az APB, BPC, CPA zögek zögfelezői eék zeközti oldlkt C, A é B pontokn. Ekkor PA PB PC PA' PB' PC' u v w PA' PB' PC'. ( ), zz ( ) A zögfelezők hoz: vw PA' o vw o v w uw β β PB' o uw o u w uv γ γ PA' o uv o u v Márézt: Mtetik Okttái Portál, / -

11 Kutov Antl: Az Erdő-Mordell egyenlőtlenég γ β β β β o o 80 o in in o o Igzolni kell, hogy β γ u v w vw o uw o uv o 0 Hználjuk z előző özefüggét: β β β u v w vw o uw o uv in in uv o o 0 Ez átrendezve: β β v in u in w v o u o 0, ez pedig igz. Egyenlőég u v w é β é o, vgyi 0 β γ 0 Azz hározög zályo é P középpontj. Konvex okzögekre (Feje Tóth Lázló, 948): R R K Rn ( r r K r n ) π o n Lenhrd: Ne kell, hogy konvex legyen, elég, h P-ől látzik okzög htáránk inden pontj. P. Peh (994): Téreli okzögekre i (P trtozzék okzög konvex urkához) É perze vnnk áltlánoítáok neeuklidezi geoetriákn i Mtetik Okttái Portál, - / -

12 Kutov Antl: Az Erdő-Mordell egyenlőtlenég Az Erdő-Mordell tétel téreli áltlánoítá Szályo tetréder eetén tudjuk: R r, így R R R R4 ( r r r r4 ). Ezek lpján dódik 4R 4r, vgy áként Sejté: R R R R4 r r r r ( ) Nézzük zt z eetet, h lpok területe egyenlő (egyenlő oldlú tetréder). Ennek tetgági nyilván egyenlők, hiz 4 T V. H P-t özekötjük úokkl, kkor négy ki tetrédert kpunk: T Tr Tr Tr Tr R r 4 r r r r4 i i Ri ri R R R4 r r r r4 Nyilvánvlón: Özegezve: R 4 ( ) ( r r r r ) é egyenlőég P illezkedik indegyik gágr, ez zonn z egyenlő oldlú tetréderek közül k zályor igz. Megutthtó zonn, hogy fenti ejté ne helye: Legyenek ABD é ACD egyenlő zárú derékzögű hározögek egyégnyi efogókkl; legyen P z AD felezőpontj, é legyen BC kii. Ekkor R R R R4 Ri r r é r r4 0 ri De,! A inden tetréderre vontkozó ejté i i npig (tudtol) ne izonyított: R R R4 ( r r r ) R r 4 4 Mtetik Okttái Portál, - / -

13 Kutov Antl: Az Erdő-Mordell egyenlőtlenég Felhznált irodlo: ) Rein Itván: 60 éve jelent eg KÖMAL-n z Erdő-Mordell tétel (KÖMAL) ) N. D. Kzrinoff: Geoetrii egyenlőtlenégek (Gondolt, 980) ) Sándor Józef: Geoetrii egyenlőtlenégek (Di, Kolozvár, 988) d) Szó Kálán: Geoetrii egyenlőtlenégek (Mt. tgozto jegyzetek) e) Sklrzkij-Cenov-Jglo: Válogtott feldtok z elei tetik köréől / f) Rein Itván: Nezetközi Mtetiki Diákolipiák Egyé kpolódó linkek: Mthworld Hojoo Lee: Erdő Mordell tétel izonyítá Ptoleioz tétellel Sándor Józef: Geoetri theore, Diophntine eqution nd ritheti funtion, 5-6. oldl, z Erdő-Mordell tétel tetréderre vontkozó változtáról. Mtetik Okttái Portál, - / -