Kiralitás és homokiralitás

Átírás

1 A biológiai kiralitás eredetének sztohasztikus kinetikai modelljei Lente Gábor Debreeni Egyetem, Szervetlen és Analitikai Kémiai Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematikai Modellalkotás Szeminárium,. szeptember 8.

2 Kiralitás és homokiralitás Királisnak nevezzük azokat a testeket, térbeli szerkezeteket, amelyek saját tükörképükkel nem hozhatók fedésbe Biológiai kiralitás aminosavak (L-enantiomer) fehérjék ukrok (D-enantiomer) poliszaharidok és nukleinsavak Következetesebb jelölésrendszer: R és S Kiralitás és homokiralitás Tükörképi párok EATIOMEREK energetikai szempontból pontosan azonosak A biológiai kiralitás oka sakis kinetikai lehet, vagyis a reakiók sebességi viszonyaival függ össze

3 Contergan (R)-enantiomer (S)-enantiomer teratogén hatású hatékony szedatívum a szervezetben nagyon gyorsan raemizálódik Abszolút aszimmetrikus reakió: jelentős enantiomerfelesleg kialakulása akirális reaktánsokból aszimmetrikus külső hatások nélkül Királis autokatalízis: kémiai reakió, amelyben a királis termék egyik enantiomere gyorsítja saját keletkezését (de a másik enantiomerét nem) 3

4 4+ H H HO OH OH Co H H H Co OH H Co OH HO H4Br H H + H H4Br H3 H Co H + Co(HO)6+ Br H királis K. Asakura et al. J. Phys. Chem. A, 4, 689. enantiomerfelesleg : R S ee = R+S kísérlet K. Asakura et al. J. Phys. Chem. A, 4,

5 A Soai-reakió OH i-pr Zn H + CHO (S) Et O-toluol (3,7 :,) H + OH (R) K. Soai et al. Tetrahedron Asymm. 3, 4, azonos kísérlet K. Soai et al. Tetrahedron Asymm. 3, 4, 85. 5

6 ..75 Soai-reakió: enantiomereloszlás K. Soai et al. Tetrahedron Asymm. 3, 4, 85. F(x) x R..75 Soai-reakió: enantiomereloszlás K. Soai et al. Tetrahedron Asymm. 3, 4, 85. F(x).5.5 K. Soai et al. Chirality 6, 8, x R 6

7 Determinisztikus kinetika d = dt f () : a rendszerben előforduló összes anyagfajta konentráióját tartalmazó vektor, az idő függvénye Egyértelműen meghatározott kiindulási állapot Egyértelműen meghatározott állapot bármely időpillanatban Reprodukálhatatlanság: lényeges, de nem kellő mértékben szabályozott külső tényezők ingadozásának hatására, a kísérletező számára látszólag azonos körülmények között mért különböző eredmények Sztohasztikus jelleg: természeti törvény(ek) következményeként pontosan azonos körülmények között különböző eredmények 7

8 9Bi ature, 3, 4, 876. t/ =,9 9 év λ =, 7 s Determinisztikus leírás dnbi = λnbi dt Elsőrendű reakió kezdeti állapot: db bizmutmag nbi = e λt 8

9 Sztohasztikus leírás kiszemelt bizmutmag t idő után még nem bomlott el: e λt elbomlott: e λt exponeniális eloszlás db bizmutmag közül t idő után pontosan m bomlott el: Várható érték: Szórás: e m ( λt ) m ( e binomiális eloszlás µ = ( e σ = ( e λt ) λt λt )e λt ) m Elsőrendű modell sztohasztikus tartománya λt (= ln t / t ½ ).E+.E-6.E-.E-8 45,7 g tömegű Bi 4 Ge 3 O bolométer = 8,8 sztohasztikus tartomány (σ/µ >,) óra mérési idő λt = 4,3.E-4.E+.E+8.E+6.E+4 9

10 Egy egyszerű királis autokatalitikus modell A B (B R vagy B S ) v = k u [A] d[a] = k dt u [A] k [A]([B R ] + [B S ]) A + B R B R v = k [A][B R ] A + B S B S v 3 = k [A][B S ] d[b dt d[b dt R S ] =, 5k ] =, 5k u u [A] + k [A] + k [A][B [A][B R S ] ] analitikusan megoldható Egy egyszerű királis autokatalitikus modell A B (B R vagy B S ) v = k u [A] A + B R B R v = k [A][B R ] [B A + B S B S v 3 = k [A][B S ] [B analitikusan megoldható R S ] ] λ k [B ] u = + R t k λ λ k[a] + k[a] e λ k λ = [B k + k + u ] [ A] + k[br ] k[bs ] u = + S t k λ λ k[a] + k[a] e ku k ku k

11 k u = 5 s k = 8 M s V = m 3 kezdeti állapot: [A] =, M [B R ] = [B S ] = végállapot: [B R ] =, M [B S ] =, M molekula átalakulása után: [A] =, M [B R ] =,66 M [B S ] = végállapot: [B R ] =,943 M [B S ] =,57 M Sztohasztikus kinetika P. Érdi and J. Tóth Mathematial models of hemial reations Theory and appliations of deterministi and stohasti models Manhester University Press, 989. Tóth János, Érdi Péter A formális reakiókinetika modelljei, problémái és alkalmazásai A kémia legújabb eredményei oldal Akadémiai Kiadó, Budapest, 978.

12 Sztohasztikus kinetika A B R A B S diszkrét állapot - folytonos idő n: az A molekulák száma reakió előtt (r,s) állapot: pontosan r darab B R és s darab B S molekula van jelen, (n r s) darab A molekula maradt P(r,s,t): annak a valószínűsége, hogy a rendszer t időpillanatban éppen az (r,s) állapotban van A B R v =,5κ u a+ κ ar κu = k u dp( r, s, t) dt + { κ u A B S v =,5κ u a+ κ as / = ( κ + κ r + κ s)( n r + κ ( r u )}( n r s + ) P( r κ = k V A s) P( r, s, t) +, s, t) + + { κ u / + κ ( s )}( n r s + ) P( r, s, t)

13 Lineáris, elsőrendű, homogén, állandó együtthatós differeniálegyenlet-rendszer dp( t) = M P( t) dt az állapotok száma: ( n + )( n + ) M = rendezőfüggvény: P( t) = P()exp( M t) ( r + s)( r + s + ) f ( r, s) = + r + Q(r,s): annak a valószínűsége, hogy a rendszer a reakió során bármikor áthalad az (r,s) állapoton.e+.e-6 sztohasztikus tartomány α.e-.e-8.e-4.e+.e+8.e+6.e+4 3

14 α = κ /κ u = 3 f(x) n = n = 5 n = x R Elsőrendű autokatalízis f ( x Diszkrét-folytonos átmenet nagyon nagy részeskeszámra: Γ α Γ Γ α α ( / α ) (/ α) R ) = lim nq( r,s) = xr ( xr ) n,x = r / n r Béta-eloszlás Lente, G. J. Phys. Chem. A, 4, 8,

15 f(x) eloszlási sűrűségfüggvény α =,5 3 f(x) α =, α =,5 α = α = x R.75 F(x) = x f ( ν ) dν eloszlásfüggvény α =,5 α =, α = F(x).5 α =,5 α = x R 5

16 Magasabb rendű autokatalízis A B R v =,5κ u a+ κ ar ξ A B S v =,5κ u a+ κ as ξ ahol ξ > α = κ /κ u = 5 4 másodrendű autokatalízis α = 4 f(x) 3 n = n = 5 n = x R 6

17 ..75 Illeszkedésvizsgálat: Asakura-reakió másodrendű autokatalízis α = 5,5 4 n = 6, elsőrendű autokatalízis α =,6 F(x).5.5 normál eloszlás σ =, x R. Illeszkedésvizsgálat: Soai-reakió.75 másodrendű autokatalízis α = 3,8 n = 3, F(x).5.5 elsőrendű autokatalízis α =, x R 7

18 A Frank-modell F. C. Frank, Biohim. Biophys. Ata 953,, 459. A Frank-modell A: nem királis molekula B R és B S : királis tükörképi molekulapár C: nem királis bomlástermék reakióindítás: A B R A B S v = k u [A] v = k u [A] királis autokatalízis: A + B R B R v = k [A][B R ] A + B S B S v = k [A][B S ] kölsönös antagonizmus: B R + B S C v = k d [B R ][B S ] 8

19 Az enantiomerfelesleg definíiója hagyományos módosított determinisztikus ee = [B [B R R ] [B ] + [B S S ] ] E = [ B ] [B R [A] S ] sztohasztikus (várható érték) ee ee i P i = n i = E E i P i = n i = = {aκ Zárt rendszer számolás differeniálegyenlet-rendszer dp( a, r, s, t) = dt u + arκ + asκ + rsκ d } P( a, r, s, t) + + {( a + ) κ u + ( a + )( r ) κ } P( a +, r, s, t) + + {( a + ) κ u + ( a + )( s ) κ } P( a, r, s, t) + + {( r + )( s ) κ d } P( a, r +, s +, t) ee(t = ) = E(t = ) Végállapot: sak C és B R vagy B S 9

20 Eloszlások Q(,n,).. κ /κ u =, = n 3 κ d /κ u E értékek = E 4 κ /κ u 4 κ d /κ u 4

21 Átfolyásos rendszer (CSTR) A-t betápláljuk, A, B, C keverékét elvezetjük E ee Állandó részeskeszám Átfolyási reakió: B R, B S vagy C seréje A-ra (κ f ) B S B S A A A C A, B R, B S, C B R B R Átfolyásos rendszer staionárius állapot az egyes állapotok valószínűsége független az időtől, a staionárius állapot független a kezdeti feltételektől Algebrai egyenletrendszer: nn lineáris egyenlet = {aκ + {( a + ) κ + {( a + ) κ + {( r + )( s ) κ + ( r + ) κ + ( s + ) κ f + arκ + ( a + )( r ) κ + ( a + )( s ) κ P( a, r +, s) + f u P( a, r, s + ) + + ( a r a + ) κ u u d + asκ + rsκ } P( a, r +, s +, t) + f d P( a, r, s) + ( a) κ } P( a +, r, s) + } P( a, r, s ) + f } P( a, r, s) + Állapotok száma: + 3 ( + 3)( + )( + ) nn = = 3 6 Rendezőfüggvény: 3 a a( a + ) f ( a,r,s ) = + a 6 = M P a + a r 3r + + r( a ) + + s +

22 E és ee értékek κu/κf = = E ee κ/κf κd/κf κ/κf κd/κf Lente, G.; Ditrói, T. J. Phys. Chem. B, 9, 3, 737. E és ee értékek κu/κf = = Lente, G. Symmetry,,, 767.

23 A Soai-reakió sztohasztikus modellje OH i-pr Zn H + CHO (S) Et O-toluol (3.7 :.) H + OH (R) A Soai-reakió kinetikai modellje Reation Reation + z zr k z 9 dr + tr k 3 dr + z zs k z tr dr + k 3b tr 3 zr + zr dr k (zr) ds + ts k 3 ds 4 dr zr k b dr ts ds + k 3b ts 5 zs + zs ds k (zs) 3 drs + trs k 3 drs 6 ds zs k b ds 4 trs drs + k 3b trs 7 zr + zs drs α k zs zr 5 tr + z dr + zr k 4 tr z 8 drs zr + zs k b drs 6 ts + z ds + zs k 4 ts z 7 trs + z drs + zr k 4 trs z 8 trs + z drs + zs k 4 trs z T. Buhse Tetrahedron Asymm. 3, 4, 55. 3

24 Anyagmegmaradás: Az állapotok száma = + zr + zs + (dr + ds + drs) + z = z + zr + zs + 3 (tr + ts + trs) + (dr + ds + drs + tr + ts + trs) Az állapotok száma: Ezen egyenletrendszer megoldásainak száma (minden ismeretlen nemnegatív egész szám) Az állapotok száma n = = z M Ha n osztható 6 - M( n ) = 3 6 8! n 7 8! n n ! tal : + n 3 8! 3 n = = z n 3 8! 5 M n 8 8! n + 8! ~4,7 ~, n 8! 5 + 4

25 Az állapotok száma n = = z M n = = z M ~4,7 ~,3 7 Rendezőfüggvény yers erő : az értelmezési tartomány és az értékkészlet teljes felsorolása (8 állapot) Mátrixformalizmus: teljes megoldás mátrixexponeniális függvénnyel 5

26 6 Időfüggések µ () 4 ee µ () 5 ee % % t (s) Enantiomereloszlás végállapotban. P s ee n r 6

27 Monte Carlo (MC) szimuláió Eloszlások közelítése nagy számú egyedi szimuláióval A Természet nem old meg differeniálegyenleteket, hanem MC szimuláiót végez MC szimuláió a Soai-reakióban agyon lassúúúúúúúúúúúúúúúúúúúú... Reation v = Reation v = + z zr + z zs k z k z dr + tr tr dr + k 3 dr k 3b tr 7 78 zr + zr dr k (zr) 357 ds + ts k 3 ds dr zr k b dr 355 ts ds + k 3b ts zs + zs ds k (zs) 6 drs + trs k 3 drs 7 ds zs k b ds 6 trs drs + k 3b trs zr + zs drs drs zr + zs α k zs zr k b drs 3 3 tr + z dr + zr ts + z ds + zs trs + z drs + zr trs + z drs + zs k 4 tr z k 4 ts z k 4 trs z k 4 trs z 9 4 = 6 9 ; z =, ; V =,9 m 3 7

28 Gyorsító trükk Új változó: mr = zr + dr (hasonlóan ms = zs + ds) [ m / ] i r k AV m r! i i = k i b i!(mr i)! dr = [ m / ] i r k + AV m r! i = kb i!(m i)! r i zr = mr dr 8

29 . A Soai-reakió MC szimuláiója.75 F(x).5.5 zr and zs molekula képződéséig ismétlés: x R..75 A Soai-reakió MC szimuláiója Binomiális eloszlás P( m) =. 5 m F(x).5.5 zr and zs molekula képződéséig ismétlés: x R 9

30 Determinisztikus folytatás Determinisztikus differeniálegyenlet-rendszer A kezdeti érték az MC szimuláió végeredménye em jósol kimutatható enantiomerfelesleget makroszkopikus nagyságú anyagmennyiségekre!!! Ez a következtetés nem változik, ha bármely paraméter -3 nagyságrenddel változik 4 Determinisztikus folytatás. A Soai-reakió MC szimuláiója 3.75 F(x).5 ee % [] =, M [z] =, M.5 [zr] =,78 8 M [zs] =,9 8 M zr and zs molekula képzodéséig ismétlés: x R 4 8 t (ps) 3

31 Összefoglalás Sztohasztikus kinetika: ritka, de esetenként feltétlenül szükséges a kémiában A biológiai kiralitás kialakulásában a királis autoktalízis szerepe Kísérletileg mért és elméletileg levezettet eloszlások összehasonlításának jelentősége 3