Kvantum Hall-effektus óra

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kvantum Hall-effektus óra"

Átírás

1 Kvatum Hall-effetus -3. óra Irodalom: S. Datta: Electroic Trasport i Mesoscopic Systems, Cambridge Uiv. Press, (997) J. Bird: Electro Trasport I Naosturctures (004) M. Büttier: PB 38, 4 (988) H. Stormer: Nobel ecture, ev. Mod. Phys., 7, 874 (998). Willett: Experimetal evidece for composite fermios, Adv. Phys., 46, 5 (997) D. Tsui: Nobel ecture, ev. Mod. Phys., 7, 89 (998) J. Eisestei ad A.Ster: ectures i es Houches Summes School, Sessio XXXI, Naoscopic Quatum Trasport (004) Cserti József: Mezoszópius redszere fiziája c. speci (ETE) Halbritter Adrás és Csoa Szabolcs BME Fizia Taszé Szilárdtestfizia labor (F I. ép. alagsor) halbritt@fre .hu, csoa@dept.phy.bme.hu

2 Klasszius Hall-effetus E. Hall (879): B térbe mozgó e-ra orez-erő hat, ami a mita széle felé téríti i őet V H feszültséget eredméyez Klasszius, Drude-özelítésbe számolva (Dim): Hall-geometria z y x Def: Hall-elleállás ( H ): lieárisa ő B-vel csa a töltéstől és töltéssűrűségtől függ, függetle más ayagi paraméteretől (m, τ) Nem függ a mita alajától, méretétől jó módszer töltéssűrűség mérésére H ~ B XX ~ Kost

3 Kvatum Hall-effetus (IQHE) Klasszius Hall-effetus Kvatum Hall-effetus (vo Klitzig 980, MOSFET-be) H ~ B ~ Kost lasszius viseledés DEG-ból ialaított maroszopius méretű mitá agy B térbe, alacsoy T- H lieáris B függése helyett plató jeleteze, XX ilyeor 0! a platóo H vatált, az elleállásvatum (h/e /G 0 ) H függetle a mita alajátó, méretétől, ayagától H vatált értéeie 0-7 a potossága! ( elleállás stadard)

4 E (, ) Es + + ωc h DEG B-térbe, adau-ívó Kvatummechaiai leírásmódba: ( px + eby) p y Es + + ( xy, ) E ( xy, ) m m ψ ψ i x szeparálható az x, y iráyú rész ψ ϕ( x) χ( y) e χ( y) ( h + eby) p y ES + + χ ( y) Eχ( y) m m y iráyba harmoius oszcillátor problémához jutu: p y Es + + mωc ( y+ y) χ( y) Eχ( y) m Eergia sajátértée és s. függvéyei az. adau-ívóa: y h, ωc eb, eb m e ix u ( y y ) ahol u (y) a harmoius oszcillátor probléma. sajátfüggvéye, E S egyelőre egy ostas, meghatározza a hullámfüggvéy y iráyú helyzetét (y -t) E(,) függetle -tól adau-ívó degeerálta a degeeráció foa: N Φ/Φ 0, Φ B x y a mitát érő mágeses fluxus, Φ 0 h/e a fluxus vatum B A adau-mérté: A E(,) B 0 0 y y adau- ívó () diszperziója 3 0 h hωc >> B >> τ μ y μ z eτ m x hω c Kvatummechaiai leírásmód érvéyessége: iszélesedése icsi e soszor végig tudja járja a cilotro pályát ét szórás özött B DEG x

5 DEG B-térbe, adau-ívó Kvatumos viseledés ( megfigyelésée) feltételei: B >> /μ agy B tér, elegedőe agy tisztaság ħω C >> B Talacsoy hőmérsélet evés legye betöltve, is e sűrűség B tér hatása eletroo ör pályáo erigee B térbé a ietius eergia vatáltá váli Naív váraozás: mior egy részlegese va csa töltve, aor jó vezető egyébét szigetelő Kísérlete pot az elleezőjét mutatjá K. vo Klitzig, ev. Mod. Phys 58, 59 (986)

6 E ( ) y s ( y px + eby p ) + + ( xy, ) E ( xy, ) m m ψ ψ Poteciál hatását perturbációét ezelve: E (, ) ( + ) hωc +, Es, ( y ) ix, e u( y y ) ahol ( y Δy ) h u y e ( ) H ( y Δy) és Δy mω C E (, ) + ωc + Es ( y ) h Mita széleie a szerepe Vegyü figyelembe, hogy a mitáa véges a szélessége, E S (y) bezáró poteciál alalmazásával:,> sajátfüggvéy y -a y öryezetébe va loalizálva jó özelítés: h mivel y a mita szélei jeletező bezáró eb poteciál hatására a adau-ívó eergiája függ - E S (y) E(,) E(,) - y / y / y E s (y) + hωc y B hω c y DEG diszperziója a bezáró pot.-t figyelembe véve x E s (y ) z x tól. - y / y / - F F : x iráyú hullámszám y : y iráyú helyzet, y

7 E(,) B y,y Élállapoto (edge states): a mita szélé loalizált állapoto Eletro állapoto x iráyú sebessége: E(, ) vx (, ) h ES ( y) y h y ES ( y eb y a mita belsejébe v x (,) 0 az él állapotora v x (,) 0, a mita ét szélé az eletroo elletétes iráyba halada v x >0 v x <0 Belső e állapoto és élállapoto lasszius megfelelői Mita széle Mita széle E F Élállapoto - y / y / Az élállapotoa a mita falá pattogva előre haladó laszszius eletro mozgás felel meg, (a mita belsejébe lévő e állapotoa örpályát leíró e mozgás feleltethető meg) ~ y Mivel y >> y ( y ~ 5m/B[T] 0.5 ) a mitába a jobbra és balra haladó állapoto térbe (y iráyba) szeparálóda. Ha E F ét özött helyezedi el, aor csa a mita szélé vaa e- a Fermifelülete Szeyező em épese az e-t az egyi iráyba haladó élállapotból a mási iráyba haladóba átszóri x Nics visszaszórás Élállapot szóródása szeyező )

8 E(,) áramot adó állapoto μ μ Élállapoto árama Visszaszórás hiáyába a mita szélei úgy viselede, mit x z töéletes traszmissziójú ballisztius vezető. A mita y y y x / szélé az e-. otatusból jötte, így μ lesz a émiai poteciálju, míg az y- y / szélé lévő állapoto. otatussal lesze egyesúlyba. B DEG μ μ - y / y /,y Ha V feszültséget apcsolu a mitára μ -μ ev (ev<ħω, μ és μ ugyaazo ét özött va) a μ és μ μ I e x, h ε e x μ μ x π h ε d özötti élállapoto ettó áramot eredméyeze: V XX 3 e h μ μ dε e M ( μ μ), ahol M a E h F alatti száma. B x y 4 5 μ V H Az ebből égypot és Hall-elleálláso: V V I μ μ ei μ μ ei V XX XX I V H V5 V4 μ5 μ4 μ μ h I I ei ei e M H Visszaszórás élül vezető élállapoto felelőse a Kvatum Hall-effetusért 0

9 Spi szerepe E(,) gμ B B E(,) hω c ħω C 3 3,y - y / y / (Spi polarizált - degeerációja: N s Φ/Φ 0 ) E F Eddig a spit ihagytu a tárgyalásból; a B tér Zeemafelhasadást hoz létre, spiű e állapoto özött: E(,,s z ) + hω C + ES + ( y ) gμ BBsz félvezetőbe ħω C >> gμ B B, ( ħω C [K] 0 B[T], gμ B B[K] 0.3 B[T] ) de ha a B tér elegedőe agy aor adau-szite és spiű eletrojai elülöült eergiasziteet tuda létrehozi: és eze a spi polarizált adau-szite (s). Eergia szite spi szeriti ettéválása eseté az élállapotora tett megfotoláso em változa; egyetle ülöbség, hogy a spire összegző x fatort el ell hagyi az áram számolásáál: e e I... I... x, Hall-elleállás ezzel: h H e M ahol M az E F alatti spi polarizált száma. A mérése s-hez tartozó Hall-platóat mutatjá; H relatív potossága ~0-7 ez a visszaszórás hiáyáa töéletességét mutatja x H, h e M

10 E F helyzete 7/ 5/ 3/ / E F [ħω C ] ν 4 ν ν 3 ν /B ν ν 3 ν 4 ν 5 ν 6 Hall levezetésébe ihaszáltu, hogy a Fermi-eergia ét adau-szit özé esett. Ha ez em teljesül ( E F E(,0) ), aor a mita belsejébe is vaa üres e állapoto a Fermifelülete, amie eresztül az egyi oldali él állapoto átszóródhata a mási oldali élállapotoba Va visszaszórás a mita ét szélé a émia poteciál μ, μ XX > 0, H vatált értéeel. Mior esi E F ét adau-ívó özé? Mitába az e- száma (N) ostas (a heterostrutúra, dópolás, esetleg apufeszültség határozza meg) B tér övelésével ő az egyes -re raható e- száma: N s Φ/Φ 0 (Φ a mitát érő mágeses fluxus) Élállapoto száma elhayagolható a adau-szite belső állapotaia számához épest, aráyu : ~ y/ y << E F izárólag aor lee ét s özött, ha a em üres s- teljese töltötte B tér agy potossággal ielégíti a ν N/N s egész (ν betöltési szám, fillig factor) feltételt (lásd. piros yila ábrá) A mérése azt mutatjá, hogy a vatált Hall-elleállás értée em csa a ν egész értéet ielégítő B terebe igaza, haem eze örüli széles tér tartomáyoba Mi stabilizálja E F -t a s- özé?

11 edezetleség szerepe diszperziója bezáró pot. + szeyezése E(,) - y / y / E F eergiá lévő e- mozgása miözbe E F az egyi özepéhez tart y B ő x Eddig a mita belsejét ideális DEG-a teitettü. Most vegyü figyelembe a szeyezése hatását: E S (y)- hoz adju hozza a mita felületé (x-y síba) véletleszerűe oszcilláló járuléot (szeyező poteciálja) Élállapoto jelelétét ez em befolyásolja Mita belsejée eletrojaira léyeges hatással va: szeyező poteciálba az e- a B térre merőleges evipoteciális felülete meté mozoga (vázilasszius ép) agy részü zárt pályára loalizálódi, ami em épese visszaszóri adau-ívó iszélesede oalizált eletro állapoto feltöltése özbe ics visszaszórás Kvatált Hall-állapot ν egész értée öryezetébe is stabilizálódi Kvatum Hall-plató iszélesede mita szélé vezető élállapoto, a mita belsejébe loalizált e áll.- Ha E F a özepére erül az evipoteciális felület meté az e átszóródhat az egyi oldalról a másira, a mita belsejére iterjedt áll.-o eresztül Szeyezése hatása a - állapotsűrűségére loalizált állapoto + szeyező iterjedt állapoto

12 edezetleség szerepe Szeyezőe ettős szerepü va QHE-ra, romboljá és stabilizáljá is egyszerre: ha a szeyező ocetráció túl agy (B ~ /μ) QHE eltűi. QHE részletes vizsgálatához agy tisztaságú DEG-t ellett előállítai: epitaxiálisa övesztett GaAs/AlGaAs heteroátmeet + δ-dópolás (modulált-dópolás) tette lehetővé a agy mobilitást másrészről szeyezése által loalizált állapoto stabilizáljá a QH-platóat. A mita töéletlesége teszi lehetővé, hogy H h/e legye a létező legpotosabb elleállás stadard. A mita tisztaságáa övelésével a QH-plató egyre véoyabba lesze. Egészszámú Kvatum Hall-Effetust (IQHE) egyrészecsés épbe sierült megmagyarázi: deloalizált eletrooat tartalmazó adau-ívó teljes betöltöttsége eseté az élállapotoo eresztüli visszaszórás metes traszmisszióval, és redezetleség által loalizált belső eletroállapotoal Mi törtéi, ha tovább csöetjü a redezetleséget? ha a iterjedt eletro állapoto adau-sávja csa részlegese töltött (pl.: ν < )? Váraozás: A adau-ívó degeerált állapotai özül az eletroo orrelálta foga éháyat betöltei, eletro-eletro ölcsöhatása szerepe lesz (pl. Wiger-ristály) (IQH-állapotba a adau-ívó iterjedt állapotai teljese töltötte összeyomhatatla e gáz, e- e ölcsöhatása ics léyeges szerepe)

13 Törtszámú Kvatum Hall-effetus (FQHE) Törtszámú (Fractioal) QHE (D. Tsui, H. Stormer 98.) / δ-dópolt GaAs/AlGaAs heteróstrutúra agy mobilitás μ cm /V (98) μ cm /V (004) még agyobb B tér Mérése: IQH-plató ν egész értéeél szűülte agy μ evesebb loalizált állapot Újabb Hall-plató jelee meg fracioális betöltési számo (ν) eseté: platóhoz ugyacsa zérus égypot elleállás tartozi (), H e h XX 0 ν ν p, p, q Ζ q a plató Hall-elleállása IQHE-hoz hasoló h potossággal egyelő H értéeel. e ν a legmarásabb FQHE mutató betöltési számo: ν p/(+p) -ν p/(+p) írhatóa le.

14 Cher Simo (CS) traszformáció, Kompozit részecsé egyszerű részecsé boyolult sotest problémáját CS traszf. Dim ölcsöható eletroo Hamilto problémája: v v (téroperátora: Ψˆ ( r ) a ϕ ( r ) ) Def: a ompozit részecsé téroperátora boyolult részecsé öyebb, egyrészecsés problémájára visszavezeti HΨ EΨ H m ( pi ea( r )) + i v v v e traszformáció egy mérté traszformáció. Mérté traszformáció hatására A és φ is változi: v v i - h r v v A A + Λ ϕ exp qλ ϕ Φ ~ Λ d r ( r ) ( r ), ha (q -e) a CS traszformációhoz tartozó h π arg ρ e ( 0Φ ~ v v v - v r r Λ által geerált vetorpoteciál: a Λ... d r Φ ρ r ) zˆ π v v, ahol ẑ a z iráyú egységvetor r r a v b v v v vetorpoteciál szigularitása miatt va mágeses tér járuléa ( ): b a v v v v b v -t öye meghatározhatju, az alábbi aalógia alapjá: b a μ0 j B v A hosszú egyees vezető B terée aalógiája alapjá a CS v v j I δ ( r ) zˆ z iráyba I áramot vivő v ~ v traszformáció által geerált extra B tér: b( r ) Φ0Φ zˆ ρ( r ) ifiitezimális véoy vezető B tere: Kompozit részecsé által érzett mágeses tér: v v v v μ0 v r r v v v B( r ) d r I ( r ) zˆ δ v v v ~ v π v v r r ( r ) B ( r ) B( r ) Φ Φ zˆ ρ( r ) Ψ χ B 0 χˆ v v i,j v v r r v v v ( Φ ~ ) ( r ) Ψˆ ( r ) exp i d r arg( r r ) ρ( r ) v ahol arg() x tegellyel bezárt szög: arg ( r v ) arcta( y x), r ( x,y) ; ρ az eletro sűrűség; Φ ~ pedig egész szám. Ha Φ ~ páratla χ bozooat ír le, ha Φ ~ páros χ fermiooat ír le. A ét téroperátor és így az egyrészecsés hullámfüggvéye (φ ) özött egy fázisfator a ülöbség CS i j

15 Cher Simo (CS) traszformáció, Kompozit részecsé Eletroo B mágeses térbe CS tra. Jai (989) CS tra. Kompozit részecsé v ~ v B Φ0Φ zˆ ρ r mágeses térbe ( ) mide e helyé Φ Φ ~ 0 -val csöe a mágeses tér fluxusa CS trasz-val legyártott ompozit részecsét defiiálju: Kompozit részecse eletro + hozzá ötödő Φ ~ darab mágeses fluxusvatum Átlagtér (Hartee) özelítés: v ~ v v ~ Φ Φ zˆ ρ r B Φ Φ zˆ ( ) B 0 0 a ompozit részecsé isebb B teret éreze ( a mita eletro sűrűsége)

16 Kompozit fermioo (CF) ~ Kompozit fermio (CF) eletro + ét fluxusvatum, ( Φ ) Kompozit fermioo csöetett ülső mágeses teret éreze, meora a CFadau-szitjeie(CF) a betöltöttsége (ν ) az általu érzett B térbe? Betöltési szám: N N N ~ ν Φ B 0 behelyettesítve B - ΦΦ0 Ns Φ Φ0 BA Φ0 B ν ~ Φ0 Φ0 ~ ν t fejezzü i az e- betöltési számával: Φ B B - ΦΦ ν ν CS traszformáció eredméye: egy ν betöltési számú eletro redszer evivales egy ν betöltési számú ompozit fermio redszerrel, ν és ν apcsolata: 0 ν, Φ ~ Φ ~ ν + ν Mire épezi CS trafó a FQHE mutató eletro redszert? ν ν /3 /5 CS traszformáció 3/7 3 p/(+p) p / Teljese töltött ompozit fermio adauívóra! Teljese töltött CF- eseté a ompozit fermioo IQHE mutata, Hall-platóal és zérus logitudiális elleállással. A teljese betöltött szite miatt az egyrészecsés ép alalmazható CF leírására, CF-CF ölcsöhatás elhagyható (hasolóa eletroo IQHE-hoz). ( -νp/(+p) FQH állapoto νp/(+p) párjai csa e- helyett lyuara alalmazva CS traszformációt)

17 Kompozit fermioo egyszerű részecsé boyolult sotest problémáját eletro FQHE boyolult részecsé öyebb, CS traszf. CS traszformáció egyrészecsés problémájára visszavezeti ompozit fermio IQHE Pl.: ν /3 állapot degeerált állapot: e e ölcsöhatása léyeges szerepe va CS t. ics degeeráció, teljese töltött a sáv: a CF CF ölcsöhatást elhayagolhatju (E-E orrelációat CF objetum tartalmazza: e-hoz csatolt fluxuso távol tartjá a többi eletrot) FQHE megmagyarázható a ompozit fermioo bevezetésével. Kérdés :eze a részecsé jó leírását adjáe a D eletro redszer agy B terű viseledésée? Elleőrizzü a CF elmélet további predicióit: Érdees ompozit fermio problémát szolgáltat ν ½ betöltés: ν ½ ν ez a B 0, mágeses tér metes ompozit fermioora vezet

18 Kompozit fermioo B 0 térbe (ν½) ν ½ eseté az eletrooat a több Teslás mágeses tér (lassziusa) örpályára éyszeríti, (qm) a legalsó -re szorula; ebbe a térbe az elmélet alapjá: a CF-a (lassziusa) a B tértől függetleül egyees voalú mozgást ellee végeziü, (qm) a CF-a a szabad fermio problémáa megfelelőe Fermi-gömbö belül ell elhelyezediü. A CF- Fermi-hullámszáma: 4π, mivel ν<, így csa spi iráyú e-ból születte a CF-. F F CF detetálás mágeses fóuszálással A CF- megfigyelhetővé vála, pl. ha ν ½ -ről egy icsit elhagolju B teret a CF-a úgy ell viseledi, mit eletrooa is B térbe: forgás ħ F /eb sugarú cilotro pályá. a b Mágeses fóuszálás: áram (I). otatusból -ba B térbe, V mérése 3-4 özött (a ábra). Ha j (j egész) -,4-3 V/I csúcsot mutat 4μm B 5mT Fóuszálási csúcso távolsága: B ħ F /e, (csúcso maximum aora B térig tapasztalhatóa, ameddig isebb a rés méretéél) b ábra mutatja B0 öryéé e-ra végzet fóuszálási ísérletet c ábra B 0 öryéé CF- fóuszálása, ebbe is megjelee a fóuszálási csúcso! Az iset a apott (B ) Fourier-traszf.-ja, a B periodicitást mutató csúcsoal B B F F / a CF épe megfelelő viseledést látu. Egyéb ísérlete is igazoltá a CF- létét. B 36mT c V. Goldma, P 7, 065 (994)

19 További Kompozit fermio geeráció A legrobosztusabb FQHE mutató betöltéseet a Φ ~ tartozó ompozit fermioo jól magyaráztá A mitá további töéletesítésével, redezetleség csöetésével újabb FQHE adó betöltési szám sorozato válta láthatóvá, ami a ompozit fermioo újabb geerációjáa IQHE-val magyarázhatóa: (B ) C 4 F-ra A ülöböző CF geeráció: e, C F, C 4 F (B ) függése, a szaggatott voala mutatjá a viseledésbeli hasolóságoat (B ) C F-ra ν ν ν ν /3 /5 /5 /9 / /4 C 4 F e - + 4Φ 0 CF geeráció e - C F e - + Φ 0 (B) és H (B) öhasolósága a CF ép helyességét igazolja! C F- és C 4 F- együtt is tuda létezi: ha a C F- betöltöttsége pl.: ν +/3, FQHE eor is tapasztalható (ν4/). Ez úgy magyarázható, hogy a töltött C F -ba C F- marada, míg a részlegese töltöttbe C F- fluxus-vatumot maguhoz ötve C 4 F-et hoza létre. (B) e-ra H (B) B J. Smet, Nature 4, 39 (003)

20 μ -μ ev f,+,+ + T f Sörétzaj egycsatorás vatumvezetébe,μ - f T,, f,+,,+, + Betöltési számo várható értéei: Az áram: e I v (,+,- ) Δ, Az áram szóráségyzete: + T f f T f f μ + f 4e ( ΔI ) v v [ Δ Δ Δ Δ ],' ',,',,' ( Δ ) T Külöböző hullámszámú állapoto em tuda egymásba szóródi, így a betöltési számu orrelálatla:, ( Δ ) Δ Δ Δ Δ Δ +,,',,' δ,', 4e ΔI Δ Δ v,, Így: ( ) ( ) 4e 4e h π v F dv v 3 de / h de ( Δ ), Δ, ( Δ ) Δ ( E) ( E) ( f f ) [ f ( f ) + f ( f )] + T ( T )( f f ) Δ,,+ ~ 3,+ f + f + T f f T f T ( f + f ) Szüséges itegrálo:, Így: de( f + d E f ( f ) f ),-,- 3 B T f T B,+,-,+... ev T + ev coth BT v ( ) { F 4e ev ΔI BT T + ev coth T ( T ) h BT ~ τ c τ c : a aovezetée eyi idő alatt halad át az eletro, eél hosszabb idősálá em lehet orreláció az áramba. Egyszerű modell: Gauss típusú orrelációs fv.: C(t)<I(t 0 )I(t 0 +t )> S ( f ) F.T. S(f) ( ΔI ) df S( f ) ~τ c ~/τ c t f 0,-,-,-,- ( f ) S 0 4e ev 0 BT T + ev coth T ( T ) h BT Potos együttható részletes időfüggő számolásból ~ τ c

21 CF- által szállított töltés mérése CF- vezetőépesség vatáltsága: eltérést látu az e-ál megszoottól,. csatora G/3G 0.+. csat: G/5G 0 Miözbe egy CF áthalad a QPC- átviszi a saját eletrojáa a töltését (e), ugyaaor a fluxusvatumjai a QPC törtéő átjutással geeráli foga egy elletétes iráy töltés áramot. Ee eredméyeéppe a CF által szállított töltés e-től ülöbözi: dφ q e dt g dt e g Φ 0 pl: yitott csatorára g /3G 0 q /3 e yitott csatorára g /5G 0 q /5 e az eletro töltésée tört része lehet. M. eziov, Nautre 399, 38 (999) de Picotto, cod-mat/98 (998) A shot-oise mérésebe az első ill. másodi csatorára eze szállított tört töltése értéei láthatóa:

22 Még midig CF- A CF által szállított töltés tört értée látható FQHE eseté H értéébe is: h e H ν h eq ν' pl: ν/3 eseté ν q/3 a éplet beli e a ülső térhez törtéő csatolási álladó q pedig a szállított töltés FQHE eseté H mási lehetséges levezetése: teljese töltött ν darab CF esetébe: H felírható: H N A ν ' NCF ν ' Φ' A AΦ 0 Φ0 q ν ' B' q ν ' B' Φ 0 a mért H FQH értée alapjá q/3 első CF-ra, q/5 a másodi CF-ra, stb (Φ 0 ugyacsa tartalmazza e-t, ez az A vetorpoteciál csatolási álladójából származi, ami a CS traszformációra em változott meg) CF- tömege: e- tömegétől léyegese eltér, ezt az el-el ölcsöhatás határozza meg CF- szabad úthossza: M. Dyaoov, cod-mat/00906 (00)

23 Grafé, mit új DEG ács, recipro rács Elemi cella ét atomot tartalmaz, A és B alrács Sávszerezet: 0 gapű szigetelő. K és K` potoba vezetési és valecia sáv összeér (AB szimm. miatt) K és K` örül: Eletro - yu szimmetria ieáris diszperzió: eletro sebesség függetle agyságától: v~ de/d effetív tömeg zérus, m~ d E/d Aalóg a fotooal, vagy tömeg élüli relativisztius részecséel (Dirac egyelet). Neto, ev. Mod. Phys, 8, 09, (009), Geim, Sciece. 34, 530 (009), Physics Today, (007) Geim, Nature Mat. 6, 83 (007)

24 Tömegtele Dirac Fermioo Grafébe ács, recipro rács Elemi cella ét atomot tartalmaz, A és B alrács Dirac egyelet: észecse: e a vezetési sávba, Atirészecse: lyu a valecia sávba irálisa ell leie: részecse sebesség iráya és spi iráya párhuzamos, mi a spi itt? Diszperziós reláció A) szabad e, B) agy sebességű relativisztius részecse, C) e grafébe D) e ét rétegű grafitba Grafé tight bidig sávszerezeti leírása: Első szomszéd hoppig özelítésbe (csa mási alrácsra ugorhat az eletro) Hamilto * mátrix, A és B alrács ompoesere: Hv F σ p ahol σ a Pauli mátrixo, p az e. impulzusa, v F 0 6 m/s A ét alrács pseudospiét viseledi: > : A alrácso tartózodás (zöld) > : B alrácso tartózodás (piros) Formailag a Dirac egyelettel megegyező leírást, ahol spi szerepét átveszi a pszeudospi. Királis tulajdoság oa: a hatszög rács szimmetriája QED lehet csiáli egy grafé áramörbe, pl. Klei - alagutazás Neto, ev. Mod. Phys, 8, 09, (009), Geim, Sciece. 34, 530 (009), Physics Today, (007) Geim, Nature Mat. 6, 83 (007)

25 QHE grafébe E vagy lyu töltéshordozó QH plató fél egész értéeél: g H s ± g 4 s ( + ) e h g s : étszeres spi és K,K` Dirac poto degeerációi μeτ/m Állapot sűrűség változtatható Kapu feszültséggel a Fermifelület helyzete hagolható Dirac-pot, ahol az állapotsűrűség zérus eletro és lyu vezetés is lehet Állapot sűrűség változtatható 0- xx maximum található (0), aa elleére, hogy B0- itt icse állapot sűrűség. Ugyaaor a Hall vezetőépességbe ugrás (0) betöltéseor csa fele aora e /h, mit a ráövetező lépcső 4e /h (ét spi és ét alrács szabadsági fo) yu állapotora szimmetriusa ugyaeze a plató 0 a speciális: e és lyu állapoto is hozzajárula. Ez oozza az érdees fél-egész Hall vatálást. Barry fázissal magyarázható: mialatt az e megtesz egy cilotro pályát, pszeudospije 360-t fordul. Szoásos e spi algebra alapjá π fázist szed össze. Y.Zhag, Nature 438, 0 (005); Geim, Nature Mat. 6, 83 (007)

26 adau ívó grafébe adau szite távolsága (de ): Külöbözi Dirac Fermio és em relativisztius e özött. de ~ h/t, ahol T a periódusa a lasszius pályáa Klasszius cilotro pálya esetébe T π p/evb (orez erő). Szabad eletrora: mivel p ~ E /, v ~ E /, de függetle az eergiától Dirac Fermiora: p ~ E, v ~ cost, de ~ /E. Miél evesebb betöltött szit eseté a özötti távoltáság agy (+Dim) Dirac egyelet B térbe egzatul megoldható: Dirac fermioo állapotsűrűség B térbe E ± ehv F B Geim, Physics Today, (007)

27 QHE szoba hőmérsélete adau-szite Összehasolítás GaAs alapú redszereel: E ± ehv F B D Dirac fermioo (m0) Grafit sí: GaAs/AlGaAs: ( ) E h + ω C D Szabad eletroo E (BT) 350K E (B0T) 0 3 K μ 0 4 cm /Vs μ 0 6 cm /Vs ħω(bt) 0K ħω(b0t) 00K μ 0 5 cm /Vs (980) μ 0 7 cm /Vs (004) Kísérlet: E (9T) 800K >>T μ 0 4 cm (gyegé függ T-től) Novoselov, Sciece 35, 379 (007) B-t limitálja, hogy ω C τ>> (τ elasztius szabad úthossz). Ha a mitá redezetlesége tovább csöethető, aor alacsoyabb B térbe is megfigyelhetővé váli QHE, ormál máges haszálatával. Új lehetősége elleállás stadard, vatum áramörö szoba hőmérsélete!!!

Ismétlés:Kvantum Hall-effektus (IQHE)

Ismétlés:Kvantum Hall-effektus (IQHE) 3/7/3 Ismétlés:Katum Hall-effetus (IQHE Klasszius Hall-effetus Katum Hall-effetus (o Klitzig 98, MOSFET-be R H ~ R ~ Kost DEG-ból ialaított maroszopius méretű mitá ag térbe, alacso T- R H lieáris függése

Részletesebben

2. Gázok 2.1. Ideális gáz. Első rész: előző előadás folytatása. Gázok. Fázisátalakulások. További példák a Boltzmann eloszlás következményeire

2. Gázok 2.1. Ideális gáz. Első rész: előző előadás folytatása. Gázok. Fázisátalakulások. További példák a Boltzmann eloszlás következményeire Első rész: előző előadás folytatása Gázo Fázisátalauláso További példá a Boltzma eloszlás övetezméyeire. Gázo.1. Ideális gáz Ideális gáz állapot jellemzése ics ölcsöhatás E =0 szerezete redezetle Potszerűe

Részletesebben

MIKROELEKTRONIKA, VIEEA306

MIKROELEKTRONIKA, VIEEA306 Budaesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Elektroikus Eszközök Taszéke MIKROELEKTRONIKA, VIEEA306 Félvezető fizikai alaok htt://www.eet.bme.hu/~oe/miel/hu/03-felvez-fiz.tx htt://www.eet.bme.hu Budaesti

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Sok részecskéből álló rendszerek leírása II. rész Fény abszorpció

Sok részecskéből álló rendszerek leírása II. rész Fény abszorpció Boltzma eloszlás So részecséből álló redszere leírása II. rész Féy abszorpció ε ε, N megülöböztethető, függetle részecse Termius egyesúlyba (zárt redszerbe), T= hőmérsélete ε egy részecse lehetséges eergiáa

Részletesebben

5. SZABAD PONTRENDSZEREK MECHANIKAI ALAPELVEI, N-TESTPROBLÉMA, GALILEI-

5. SZABAD PONTRENDSZEREK MECHANIKAI ALAPELVEI, N-TESTPROBLÉMA, GALILEI- 5. SZABAD PONTRENDSZEREK MECHANIKAI ALAPELVEI, N-TESTPROBLÉMA, GALILEI- FÉLE RELATIVITÁSI ELV m, m,,m r, r,,r r, r,, r 6 db oordáta és sebességompoes 5.. Dama Mozgásegyelete: m r = F F, ahol F jelöl a

Részletesebben

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat:

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat: 6 fejezet Komplex számo A omplex szám algebrai alaja D 61 Komplex száma evezü mide olya a+bi alaú ifejezést amelybe a és b valós szám i pedig az összes valós számtól ülöböz épzetes egysége evezett szimbólum

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

Szerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév

Szerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. Sersámg mgépe 5. előad adás Misolc - Egyetemváros /.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. A sabályohatósági tartomáy övelésée módserei Előetes megfotoláso: S mi mi M S φ,

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k. 8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

Interpoláció. Korszerű matematikai módszerek 2013.

Interpoláció. Korszerű matematikai módszerek 2013. Iterpoláció Korszerű matematiai módszere 2013. Tartalom Iterpolációs eljáráso Klasszius iterpoláció Általáosított iterpoláció Eltolt lieáris iterpoláció Iterpoláció feladata alappoto: x,, 0, 1,..., ahol

Részletesebben

Fizika II. tantárgy 4. előadásának vázlata MÁGNESES INDUKCIÓ, VÁLTÓÁRAM, VÁLTÓÁRAMÚ HÁLÓZATOK 1. Mágneses indukció: Mozgási indukció

Fizika II. tantárgy 4. előadásának vázlata MÁGNESES INDUKCIÓ, VÁLTÓÁRAM, VÁLTÓÁRAMÚ HÁLÓZATOK 1. Mágneses indukció: Mozgási indukció Fizika. tatárgy 4. előadásáak vázlata MÁGNESES NDKÓ, VÁLÓÁAM, VÁLÓÁAMÚ HÁLÓAOK. Mágeses idukció: Mozgási idukció B v - Vezetőt elmozdítuk mágeses térbe B-re merőlegese, akkor a vezetőbe áram keletkezik,

Részletesebben

9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában

9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában 9. tétel: Elsı- és másodfoú egyelıtlesége, pozitív számo evezetes özepei, és eze felhaszálása szélsıérté-feladato megoldásáa Egyelıtleség: Két relációsjellel összeapcsolt ifejezés vagy függvéy. Az egyelıtleséget

Részletesebben

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika Távözlő hálózato és szolgáltatáso Kapcsolástechia émeth Krisztiá BME TMIT 015. ot. 1-8. A tárgy felépítése 1. Bevezetés. IP hálózato elérése távözlő és ábel-tv hálózatoo 3. VoIP, beszédódoló 4. Kapcsolástechia

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Emlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854): " ' #$ * $ ( ' $* " ' #µ

Emlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854):  ' #$ * $ ( ' $*  ' #µ Emlékeztető: az -dimeziós sokaság görbültségét kifejező meyiség a Riema-tezor (Riema, 1854: ' ( ' $ ' #µ $ µ# ahol a ú. koexiós koefficiesek (vagy Christoffel-szimbólumok a metrikus tezor g # x $ kompoeseiből

Részletesebben

Ψ - 1/v 2 2 Ψ/ t 2 = 0

Ψ - 1/v 2 2 Ψ/ t 2 = 0 ELTE II. Fizikus 005/006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Optika 7. (X. 4) Interferencia I. Ψ (r,t) = Φ (r,t)e iωt = A(r) e ikl(r) e iωt hullámfüggvény (E, B, E, B,...) Ψ - /v Ψ/ t = 0 ω /v = k ; ω /c = k o ;

Részletesebben

Optika. sin. A beeső fénysugár, a beesési merőleges és a visszavert, illetve a megtört fénysugár egy síkban van.

Optika. sin. A beeső fénysugár, a beesési merőleges és a visszavert, illetve a megtört fénysugár egy síkban van. Optika Mi a féy? Látható elektromágeses sugárzás. Geometriai optika (modell) Féysugár: ige vékoy párhuzamos féyyaláb Ezt a modellt haszálva az optikai jeleségek széles köréek magyarázata egyszerű geometriai

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

Kvantummechanika gyakorlo feladatok 1 - Megoldások. 1. feladat: Az eltolás operátorának megtalálásával teljesen analóg módon fejtsük Taylor-sorba

Kvantummechanika gyakorlo feladatok 1 - Megoldások. 1. feladat: Az eltolás operátorának megtalálásával teljesen analóg módon fejtsük Taylor-sorba Kvatummechaika gyakorlo felaatok - Megolások felaat: z eltolás operátoráak megtalálásával teljese aalóg móo fejtsük Taylor-sorba a hullámfüggvéyt a változójába: ψr θ ϕ + ϕ ψr θ ϕ + ψr θ ϕ ϕ + ψr θ ϕ ϕ

Részletesebben

Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)

Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1) 3. Gyakorlat 29A-34 Egy C kapacitású kondenzátort R ellenálláson keresztül sütünk ki. Mennyi idő alatt csökken a kondenzátor töltése a kezdeti érték 1/e 2 ed részére? Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény)

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA

9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA 9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA 9.. Legedre-éle traszormáció x x h x, p= p x x Milye x-él maximális? pl.= x alulról kovex h x =0: d p= dx x=x p a példába: p=x ; h= p x x Mekkora a maximuma? g p= p x p x p g=

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q

Részletesebben

3. (b) Kereszthatások. Utolsó módosítás: április 1. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

3. (b) Kereszthatások. Utolsó módosítás: április 1. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék 3. (b) Kereszthatások Utolsó módosítás: 2013. április 1. Vezetési együtthatók fémekben (1) 1 Az elektrongáz hővezetési együtthatója A levezetésben alkalmazott feltételek: 1. Minden elektron ugyanazzal

Részletesebben

Miért érdekes? Magsugárzások. Az atommag felépítése. Az atom felépítése

Miért érdekes? Magsugárzások. Az atommag felépítése. Az atom felépítése Miért érdekes? Magsugárzások Dr Smeller László egyetemi doces Semmelweis Egyetem Biofizikai és Sugárbiológiai Itézet Radioaktív izotóok ill. sugárzások orvosi felhaszálása: - diagosztika (izotódiagosztika)

Részletesebben

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük. Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum) Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa

Részletesebben

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projet eretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszéén az ELTE Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

Fizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések

Fizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések Fizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések 1.) Írja fel a 4 Maxwell-egyenletet lokális (differenciális) alakban! rot = j+ D rot = B div B=0 div D=ρ : elektromos térerősség : mágneses térerősség D : elektromos

Részletesebben

Miért érdekes? Magsugárzások. Az atom felépítése. Az atommag felépítése. Semmelweis Egyetem Biofizikai és Sugárbiológiai Intézet

Miért érdekes? Magsugárzások. Az atom felépítése. Az atommag felépítése. Semmelweis Egyetem Biofizikai és Sugárbiológiai Intézet Miért érdekes? Magsugárzások Dr Smeller László Semmelweis Egyetem Biofizikai és Sugárbiológiai Itézet Radioaktív izotóok ill. sugárzások orvosi felhaszálása: - diagosztika (izotódiagosztika) - teráia (sugárteráia)

Részletesebben

Metrikus terek. továbbra is.

Metrikus terek. továbbra is. Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d

Részletesebben

Modern Fizika Labor. 13. Molekulamodellezés. Fizika BSc. A mérés dátuma: nov. 08. A mérés száma és címe: Értékelés:

Modern Fizika Labor. 13. Molekulamodellezés. Fizika BSc. A mérés dátuma: nov. 08. A mérés száma és címe: Értékelés: Moder Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 2011. ov. 08. A mérés száma és címe: 13. Molekulamodellezés Értékelés: A beadás dátuma: 2011. dec. 09. A mérést végezte: Szőke Kálmá Bejami Kalas György Bejámi

Részletesebben

A kommutáció elve. Gyűrűs tekercselésű forgórész. Gyűrűs tekercselésű kommutátoros forgórész

A kommutáció elve. Gyűrűs tekercselésű forgórész. Gyűrűs tekercselésű kommutátoros forgórész Egyeáramú gépek 008 É É É + Φp + Φp + Φp - - - D D D A kommutáció elve Gyűrűs tekercselésű forgórész Gyűrűs tekercselésű kommutátoros forgórész 1 Egyeáramú gép forgórésze a) b) A feszültség időbeli változása

Részletesebben

3.1. ábra ábra

3.1. ábra ábra 3. Gyakorlat 28C-41 A 28-15 ábrán két, azonos anyagból gyártott ellenállás látható. A véglapokat vezető 3.1. ábra. 28-15 ábra réteggel vonták be. Tételezzük fel, hogy az ellenállások belsejében az áramsűrűség

Részletesebben

1. fejezet. Gyakorlat C-41

1. fejezet. Gyakorlat C-41 1. fejezet Gyakorlat 3 1.1. 28C-41 A 1.1 ábrán két, azonos anyagból gyártott ellenállás látható. A véglapokat vezető réteggel vonták be. Tételezzük fel, hogy az ellenállások belsejében az áramsűrűség bármely,

Részletesebben

Miért érdekes? Magsugárzások. Az atommag felépítése. Az atom felépítése

Miért érdekes? Magsugárzások. Az atommag felépítése. Az atom felépítése Miért érdekes? Magsugárzások Dr Smeller László egyetemi taár Semmelweis Egyetem Biofizikai és Sugárbiológiai Itézet Radioaktív izotóok ill. sugárzások orvosi felhaszálása: - diagosztika (izotódiagosztika)

Részletesebben

Kvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje

Kvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje Kvantummechanika gyakorlat 015 1. Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje 1. Mutassuk meg, hogy A és B tetsz leges operátorokra igaz, hogy e B A e B = A + [B, A] + 1![ B, [B, A] ] +....

Részletesebben

Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény

Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

A FUNDAMENTÁLIS EGYENLET KÉT REPREZENTÁCIÓBAN. A függvény teljes differenciálja, a differenciális fundamentális egyenlet: U V S U + dn 1

A FUNDAMENTÁLIS EGYENLET KÉT REPREZENTÁCIÓBAN. A függvény teljes differenciálja, a differenciális fundamentális egyenlet: U V S U + dn 1 A FUNDAMENÁLIS EGYENLE KÉ REPREZENÁCIÓBAN A differeciális fudametális egyelet A fudametális egyelet a belső eergiára: UU (S V K ) A függvéy teljes differeciálja a differeciális fudametális egyelet: U S

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség: defiíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás sorá Péter László Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség fogalomköre és az érdesség

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

1. A radioaktivitás statisztikus jellege

1. A radioaktivitás statisztikus jellege A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a

Részletesebben

Kvantummechanika A. Tartalomjegyzék. Jegyzet Katz Sándor el adása alapján. Vanó Lilla, Tajkov Zoltán január 4.

Kvantummechanika A. Tartalomjegyzék. Jegyzet Katz Sándor el adása alapján. Vanó Lilla, Tajkov Zoltán január 4. Kvatummechaika A Jegyzet Katz Sádor el adása alapjá Vaó Lilla, Tajkov Zoltá ovidad@gmail.com 5. jauár 4. Tartalomjegyzék. Törtéeti áttekités 3.. H mérsékleti sugárzás............................ 3.. Atomok

Részletesebben

Szabályozó szelepek (PN 16) VF 2-2 utú szelep, karima VF 3-3 járatú szelep, karima

Szabályozó szelepek (PN 16) VF 2-2 utú szelep, karima VF 3-3 járatú szelep, karima Szabályozó szelepe (PN 16) VF 2-2 utú szelep, arima VF 3-3 járatú szelep, arima eírás Jellemző: ágytömítéses ostrució Gyorscsatlaozó az AMV(E) 335, AMV(E) 435 -hez 2- és 3 Alalmazás everő és osztó azelepét

Részletesebben

Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)

Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2) 2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,

Részletesebben

azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra

azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra 4. Gyakorlat 31B-9 A 31-15 ábrán látható, téglalap alakú vezetőhurok és a hosszúságú, egyenes vezető azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra. 31-15 ábra

Részletesebben

A spin. November 28, 2006

A spin. November 28, 2006 A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,

Részletesebben

u u IR n n = 2 3 t 0 <t T

u u IR n n = 2 3 t 0 <t T IR n n =2 3 u() u u u u IR n n = 2 3 ξ A 0 A 0 0 0 < T F IR n F A 0 A 0 A 0 A 0 F :IR n IR n A = F A 0 A 0 A 0 0 0 A F A 0 A F (, y) =0 a = T>0 b A 0 T 1 2 A IR n A A A F A 0 A 0 ξ A 0 = F (ξ) ε>0 δ ε

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

SZTE Elméleti Fizikai Tanszék. Dr. Czirják Attila tud. munkatárs, c. egyetemi docens. egyetemi docens. Elméleti Fizika Szeminárium, december 17.

SZTE Elméleti Fizikai Tanszék. Dr. Czirják Attila tud. munkatárs, c. egyetemi docens. egyetemi docens. Elméleti Fizika Szeminárium, december 17. Időfüggő kvantumos szórási folyamatok Szabó Lóránt Zsolt SZTE Elméleti Fizikai Tanszék Témavezetők: Dr. Czirják Attila tud. munkatárs, c. egyetemi docens Dr. Földi Péter egyetemi docens Elméleti Fizika

Részletesebben

3. előadás Reaktorfizika szakmérnököknek TARTALOMJEGYZÉK. Az a bomlás:

3. előadás Reaktorfizika szakmérnököknek TARTALOMJEGYZÉK. Az a bomlás: beütésszám. előadás TARTALOMJEGYZÉK Az alfa-bomlás Az exponenciális bomlástörvény Felezési idő és ativitás Poisson-eloszlás Bomlási sémá értelmezése Bomlási soro, radioatív egyensúly Az a bomlás: A Z X

Részletesebben

Andai Attila: november 13.

Andai Attila: november 13. Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.

Részletesebben

1 Egydimenziós szórás, alagúteffektus

1 Egydimenziós szórás, alagúteffektus Egydmezós szórás, alagúteffektus Potecál barrer I : x a V x V > II : a x III : x > Hullámfüggvéyek és áramsűrűségek E k m ψ I x Ae kx + Be kx 3 ψ III x Ce kx 4 j I x m Im ψi x dψ I x A k dx m k B m + m

Részletesebben

Idegen atomok hatása a grafén vezet képességére

Idegen atomok hatása a grafén vezet képességére hatása a grafén vezet képességére Eötvös Loránd Tudományegyetem, Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék Mahe Tisk'11 Vázlat 1 Kisérleti eredmények Kémiai szennyez k hatása a Fermi-energiára A vezet képesség

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1 Stabilitás 2008.03.4. Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás utá a magára hagyott redszer visszatér a yugalmi állapotába kvázistacioárius állapotba kerül végtelebe tart alapjelváltás Stabilitás/2

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

Van-e a vákuumnak energiája? A Casimir effektus és azon túl

Van-e a vákuumnak energiája? A Casimir effektus és azon túl Van-e a vákuumnak energiája? és azon túl MTA-ELTE Elméleti Fizikai Kutatócsoport Bolyai Kollégium, 2007. október 3. Van-e a vákuumnak energiája? és azon túl Vázlat 1 2 3 4 5 Van-e a vákuumnak energiája?

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

Elektromos alapjelenségek

Elektromos alapjelenségek Elektrosztatika Elektromos alapjelenségek Dörzselektromos jelenség: egymással szorosan érintkező, vagy egymáshoz dörzsölt testek a szétválasztásuk után vonzó, vagy taszító kölcsönhatást mutatnak. Ilyenkor

Részletesebben

1. Sajátérték és sajátvektor

1. Sajátérték és sajátvektor 1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b

Részletesebben

Empirikus szórásnégyzet

Empirikus szórásnégyzet Empirikus égyzet Mi lee hasoló szellembe a becslése a mita alapjá? Empirikus égyzet Mi lee hasoló szellembe a becslése a mita alapjá? Az átlagtól való égyzetes eltérést kée átlagoli... Empirikus égyzet

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

FOLYADÉKKRISTÁLY-TELEVÍZIÓK Éber Nándor

FOLYADÉKKRISTÁLY-TELEVÍZIÓK Éber Nándor FLYADÉKKRISTÁLY-TLVÍZIÓK Éber Nádor A 21. SZÁZAD KÉPRNYÔI MTA SZFKI, Budapest A szerezetü és tulajdoságai alapjá a folyadéo és a szilárd ayago özött sajátos átmeetet épezô folyadéristályo felfedezésü (1888)

Részletesebben

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális

Részletesebben

24. Kombinatorika, a valószínűségszámítás elemei

24. Kombinatorika, a valószínűségszámítás elemei 4. Kombiatoria, a valószíűségszámítás elemei Kombiatoria A véges halmazoal foglalozó tudomáyterület. Idő hiáyába csa a evezetes összeszámolásoal foglalozu. a) Sorbaállításo (ermutáció) alafeladat: ülöböző

Részletesebben

14. Előadás Döntött impulzusfrontú THz gerjesztési elrendezés optimalizálása

14. Előadás Döntött impulzusfrontú THz gerjesztési elrendezés optimalizálása 14. Előadás Dötött impulzusfrotú THz gerjesztési elredezés optimalizálása THz-es tartomáy: távoli ifravörös Hatékoy THz-es impulzus keltés: emlieáris optikai úto Ultrarövid impulzusok optikai egyeiráyítása

Részletesebben

Képlékenyalakítás elméleti alapjai. Feszültségi állapot. Dr. Krállics György

Képlékenyalakítás elméleti alapjai. Feszültségi állapot. Dr. Krállics György Képlékeyalakíás elmélei alapjai Feszülségi állapo Dr. Krállics György krallics@eik.bme.hu Az előadás sorá megismerjük: A érfogai és felülei erőke, a feszülség ezor. A feszülség ezor főérékei és főiráyai;

Részletesebben

Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata

Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Bucz Gábor Témavezet : Dr. Fehér László Dr. Lévay Péter Szeged, 2015.04.23. Bucz Gábor Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Szeged, 2015.04.23. 1 / 27 Tartalom

Részletesebben

Bell-kísérlet. Máté Mihály, Fizikus MSc I. ELTE. Eötvös Loránd Tudományegyetem. Modern zikai kísérletek szemináriuma, 2016.

Bell-kísérlet. Máté Mihály, Fizikus MSc I. ELTE. Eötvös Loránd Tudományegyetem. Modern zikai kísérletek szemináriuma, 2016. Bell-kísérlet Máté Mihály, Fizikus MSc I. ELTE Eötvös Loránd Tudományegyetem Modern zikai kísérletek szemináriuma, 2016. Máté Mihály (ELTE) Bell-kísérlet 1 / 15 Tartalom 1 Elmélet Összefonódás EPR Bell

Részletesebben

) ( s 2 2. ^t = (n x 1)s n (s x+s y ) x +(n y 1)s y n x+n y. +n y 2 n x. n y df = n x + n y 2. n x. s x. + s 2. df = d kritikus.

) ( s 2 2. ^t = (n x 1)s n (s x+s y ) x +(n y 1)s y n x+n y. +n y 2 n x. n y df = n x + n y 2. n x. s x. + s 2. df = d kritikus. Kétmtás t-próba ^t ȳ ( s +( s + + df + vag ha, aor ^t ȳ (s +s Welch-próba ^d ȳ s + s ( s + s df ( s ( s + d rtus t s (α, +t s (α, s + s Kofdecatervallum ét mta átlagáa ülöbségére SE s ( + s ( ±t (α,df

Részletesebben

Csapózár. Csapózár. Nr. 9881. kétszeresen excentrikus csapágyazással. kétszeresen excentrikus csapágyazással. Termékleírás

Csapózár. Csapózár. Nr. 9881. kétszeresen excentrikus csapágyazással. kétszeresen excentrikus csapágyazással. Termékleírás Csapózár kétszerese excetrikus csapágyazással Csapózár kétszerese excetrikus csapágyazással EN 593 szerit Beépítési méretek EN 55-1 szerit ( 1) Karimás csatlakozás EN 1092-2 szerit ház és a táyér ayaga

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika

Részletesebben

KÜLSŐGERJESZTÉSŰ EGYENÁRAMÚ MOTOR MECHANIKAI JELLEGGÖRBÉJÉNEK FELVÉTELE

KÜLSŐGERJESZTÉSŰ EGYENÁRAMÚ MOTOR MECHANIKAI JELLEGGÖRBÉJÉNEK FELVÉTELE KÜLSŐGERJESZTÉSŰ EGYENÁRAÚ OTOR ECHANIKAI JELLEGGÖRBÉJÉNEK FELVÉTELE A mérés célja: az egyik leggyakraa alkalmazott egyeáramú géptípus =f() jelleggöréiek megismerése és méréssel törtéő felvétele: A felkészüléshez

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

Erős terek leírása a Wigner-formalizmussal

Erős terek leírása a Wigner-formalizmussal Erős terek leírása a Wigner-formalizmussal Berényi Dániel 1, Varró Sándor 1, Vladimir Skokov 2, Lévai Péter 1 1, MTA Wigner FK, Budapest 2, RIKEN/BNL, Upton, USA Wigner 115 2017. November 15. Budapest

Részletesebben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma

Részletesebben

Compton-effektus. Zsigmond Anna. jegyzıkönyv. Fizika BSc III.

Compton-effektus. Zsigmond Anna. jegyzıkönyv. Fizika BSc III. Compton-effektus jegyzıkönyv Zsigmond Anna Fizika BSc III. Mérés vezetıje: Csanád Máté Mérés dátuma: 010. április. Leadás dátuma: 010. május 5. Mérés célja A kvantumelmélet egyik bizonyítékának a Compton-effektusnak

Részletesebben

44. HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, 2015 Szóbeli feladatok megoldásai. Megoldás: 6

44. HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, 2015 Szóbeli feladatok megoldásai. Megoldás: 6 9 évfolm HNCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MTEMTIKVERSENY MEZŐKÖVESD 5 Szóbeli feldto megoldási ) dju meg zot z egész értéeet mele mellett z 6 6 Z 6 6 6 6 is egész szám! pot 6 6 6 pot mide egész -re pártl íg or lesz

Részletesebben

Elsőbbségi (prioritásos) sor

Elsőbbségi (prioritásos) sor Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens

FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin egyetemi docens Fontos tudnivalók e-mail: racz.ervin@kvk.uni-obuda.hu web: http://uni-obuda.hu/users/racz.ervin/index.htm Iroda: Bécsi út, C. épület, 124. szoba Fizika II. - ismertetés

Részletesebben

( ) ; VI. FEJEZET. Polinomok és algebrai egyenletek. Polinomok és algebrai egyenletek 215. VI.2.7. Gyakorlatok és feladatok (241.

( ) ; VI. FEJEZET. Polinomok és algebrai egyenletek. Polinomok és algebrai egyenletek 215. VI.2.7. Gyakorlatok és feladatok (241. Poliomo és algebrai egyelete 5 VI FEJEZET Poliomo és algebrai egyelete VI7 Gyaorlato és feladato ( oldal) A övetező ifejezése özül melye moomo? Háy változósa, háyad foúa és meyi az együtthatóju? 7 XX X,,

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Optika gyakorlat 6. Interferencia. I = u 2 = u 1 + u I 2 cos( Φ)

Optika gyakorlat 6. Interferencia. I = u 2 = u 1 + u I 2 cos( Φ) Optika gyakorlat 6. Interferencia Interferencia Az interferencia az a jelenség, amikor kett vagy több hullám fázishelyes szuperpozíciója révén a térben állóhullám kép alakul ki. Ez elektromágneses hullámok

Részletesebben

Orvosi Biofizika I. 12. vizsgatétel. IsmétlésI. -Fény

Orvosi Biofizika I. 12. vizsgatétel. IsmétlésI. -Fény Orvosi iofizika I. Fénysugárzásanyaggalvalókölcsönhatásai. Fényszóródás, fényabszorpció. Az abszorpciós spektrometria alapelvei. (Segítséga 12. tételmegértéséhezésmegtanulásához, továbbá a Fényabszorpció

Részletesebben

Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (

Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. ( FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.

Részletesebben

Tartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés

Tartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés _. Bevezetés iesztési red, iterpoáió, eemtípuso Végeseem-módszer Mehaiai eadato matematiai modejei Poteiáis eergia áadóértéűségée tétee: Lieárisa rugamas test geometriaiag ehetséges emozduás-aavátozás

Részletesebben

Magyarkuti András. Nanofizika szeminárium JC Március 29. 1

Magyarkuti András. Nanofizika szeminárium JC Március 29. 1 Magyarkuti András Nanofizika szeminárium - JC 2012. Március 29. Nanofizika szeminárium JC 2012. Március 29. 1 Abstract Az áram jelentős részéhez a grafén csík szélén lokalizált állapotok járulnak hozzá

Részletesebben