Részletes összefoglaló a Tranziens kaotikus mozgások vizsgálata gépészmérnöki alkalmazásokkal című, F nyilvántartási számú kutatás eredményeiről

Átírás

1 Részletes összefoglaló a Tranziens kaotikus mozgások vizsgálata gépészmérnöki alkalmazásokkal című, F494 nilvántartási számú kutatás eredméneiről Bevezetés, előzmének A kaotikus rezgések hirtelen megszűnése az ún. tranziens káosz a gépészmérnöki gakorlat több területén is előfordulhat. A elenség lefolása nem ellemezhető a hagomános csillapítási ténezőkkel: a rezgések amplitúdóa a kaotikus szakaszban véletlenszerűen változik, mad váratlanul kialakul eg más ellegű, pl. periodikus mozgás, vag a rezgések telesen meg is szűnhetnek. Ennek az a magarázata, hog a mozgásegenlet megoldásai ilen esetekben nem eg kaotikus attraktorhoz, hanem eg ún. repellorhoz tartanak. A repellor végtelen sok instabil periodikus megoldásból álló bonolult geometriáú alakzat, melen belül a kialakuló megoldások véges ideig bolonganak, mielőtt távoznak eg stabil megoldás felé. A kaotikus tranziensek időtartama véletlenszerűen változik, és érzékenen függ a szerkezet kezdeti állapotától. Ezért a tranziens káosz várható élettartama csak statisztikai módszerekkel határozható meg. Az elteredt módszerek azon a feltevésen alapulnak, hog a t élettartamú kaotikus tranziensek előfordulásának valószínűsége eponenciálisan csökken a t idővel. Az eponensben az élettartam egütthatóát kiszökési rátának nevezik, és a kiszökési ráta reciprokát tekintik a tranziens káosz várható élettartamának. A beszámolási időszakban három témakörrel foglalkoztam: ) káosz digitális szabálozású rendszerekben ) száraz súrlódású oszcillátorok periodikus mozgásai 3) kaotikus forgácsolás. A digitális szabálozás és a forgácsolás esetében a folamatok kaotikus voltának a bizonításával és a tranziens káosz élettartamának becslésével kapcsolatosak az eredméneim. A száraz súrlódású oszcillátorok vizsgálata során nem volt kimutatható kaotikus vag tranziens kaotikus megoldás, viszont a periodikus megoldásokkal kapcsolatban értékes eredmének születtek. Távlati célom a szabálozott fékberendezések vizsgálata, melnek kapcsán a digitális szabálozással és a száraz súrlódással kapcsolatos eredméneim összekapcsolódnak. Digitális szabálozásokkal kapcsolatos leképezések vizsgálata A mikro-káosz leképezés digitálisan szabálozott rendszerek egszerű modellének tekinthető. Különböző változataival figelembe vehető mindhárom digitális hatás: a mintavételezés, a kerekítés és a feldolgozási időkésés. A leképezés egdimenziós változatának alaka a következő: a, a bint( bint( ) S, ) S, ha S / a ha S / a ha S / a S / a Itt a, b és S a három paraméter, pedig a dimenziótlan sebesség a -edik mintavételezési időpontban. S a száraz (Coulomb) súrlódási erőnek felel meg, melnek hatására a kaotikus rezgések időtartama véges. A leképezés vizsgálata során kiderült, hog célszerű bevezetni az S paraméter helett az I = Sa/(a-)-(a-b) paramétert, mel annak az intervallumnak a mérete, melen keresztül eltávozhatnak a megoldások a repellorból. Az egészrész képzés a kerekítés

2 hatását veszi figelembe, az időkésést itt elhanagoltuk. Ennek a leképezésnek a vizsgálata során a tranziens káosz élettartamát becslő rekurzív módszeremet pontosítottam és kibővítettem érvénességi tartománát []. Kidolgoztam eg olan elárást is, ami az élettartam meghatározását a fraktáldimenzió meghatározására vezeti vissza []. A két módszer összehasonlítása során eg olan példát találtam, ahol a hagomános elárások relatív hibáa ezeken alapul a fraktáldimenzióval kapcsolatos módszerem is közel száz százalék is lehet, míg rekurzív módszerem hibáa elhanagolható marad (. ábra) [3]. Az eredmének alapán a tranziens káoszt ellemző eponenciális kiszökési ütem beállási ideére is lehet következtetni, mert eg nagobb fraktáldimenzióú obektumban a megoldások hamarabb elutnak a kaotikus repellorhoz. Hagomános (ún. ensemble) módszer N. ábra. A tranziens káosz várható időtartamának (az N lépésszámnak) becslése különböző módszerekkel az egdimenziós mikro-káosz leképezés esetében, az a paraméter függvénében. (b =.3, I =.5) A beszámolási időszak második évétől a mikro-káosz leképezés reálisabb, kétdimenziós modelleivel foglalkoztam. Először eg PD szabálozót vizsgáltam, az időkésés figelembe vétele nélkül. Numerikusan megmutattam, hog ennek a modellnek is vannak kaotikus megoldásai és megvizsgáltam a különös attraktor szerkezetét (. ábra). a v. ábra. A PD szabálozás kapcsán levezetett mikro-káosz leképezés attraktora eg kísérletben korábban vizsgált paraméterállás esetén

3 Ún. differenciális (D) szabálozás és feldolgozási időkésés figelembe vételével is kétdimenziós leképezésre utunk, mel száraz súrlódás elenlétében a következő alakú: a b Int( ha b Int( ) S sgn( ) ) S Rámutattam az íg kapott leképezés és az egdimenziós mikro-káosz leképezés közti hasonlóságokra (3. ábra), amit felhasználva matematikailag bebizonítottam, hog ez a leképezés is kaotikus eges ól meghatározott paraméter tartománokban [4]. a egébként D lekép. grafikona = - Megoldás D leképezés attraktora = - Megoldás 3 4. sáv. sáv 3. sáv 4. sáv ábra. Az egdimenziós leképezés grafikona és a D szabálozással kapcsolatos kétdimenziós leképezés attraktora párhuzamos, a meredekségű szakaszokból áll. Száraz súrlódás figelembe vétele mellett eg egszerű esetben meghatároztam a tranziens káosz átlagos időtartamát a korábbi rekurzív módszerem továbbfelesztett változatával [5]. A 4. ábrán a kiszökéshez szükséges lépésszámot ábrázoltam az ( - ; ) sík eges tartománain. A módszer ezeknek a lépésszámoknak a súlozott átlagát számola. A digitális szabálozás témakörével kapcsolatban rövid ismeretteresztő cikket írtam [6], és a kétdimenziós mikro-káosz leképezésekkel kapcsolatos eredméneket bemutató folóiratcikkek készítése is folamatban van [7,8] ábra. A kiszökéshez szükséges lépésszámok. Az - = és - = egeneseken ábrázolt értékek az egész - [,) illetve - [,) intervallumban érvénesek. A szürkével satírozott téglalap tartalmazza a repellort. 3

4 3 Száraz súrlódású oszcillátor vizsgálata A viszkózus csillapítású, harmonikusan geresztett lineáris oszcillátor mozgásegenlete és annak megoldása régóta ól ismert, az egetemi tananag részét képezik ezek az ismeretek (5/a ábra). Azonban ha a viszkózus csillapítás helett száraz (Coulomb) súrlódást alkalmazunk (5/b ábra), a mozgásegenlet a signum függvén miatt erősen nemlineárissá válik ebben az esetben csak speciális megoldások találhatók analitikus módszerekkel. A rendszer numerikus és analitikus vizsgálatát különösen megnehezíti, hog a súrlódás következtében a rezgő test időnként hosszabb-rövidebb ideig megállhat, letapadhat. A szakirodalomban általános volt az a vélekedés, mel szerint ennek a rendszernek a nem letapadó periodikus megoldásai időben és térben is szimmetrikusak, tehát a mozgás pozitívés negatív sebességű fázisai uganakkora ideig tartanak és uganakkora a maimális kitérés is mindkét iránban [9,,]. () () s k m F cos() s m F cos() > D f cos( ) p Acos( ) 5/a. ábra. A viszkózus csillapítású harmonikusan geresztett oszcillátor mechanikai modelle, mozgásegenlete és annak stacionárius megoldása cos( ( t t)) S sgn( ) 5/b. ábra. A száraz súrlódású oszcillátor mechanikai modelle és dimenziótlan mozgásegenlete. Évekkel ezelőtt felfigeltem arra, hog a fent említett szimmetriatuladonság matematikailag nincs bizonítva. A beszámolási időszakban bebizonítottam, hog a nem letapadó, / - periodikus megoldások valóban tipikusan szimmetrikusak ha a periódus eg-eg negatív illetve pozitív sebességű szakaszból áll [] (itt a geresztés körfrekvenciáa). S-el elölve a súrlódási erő maimumának és a geresztő erő maimumának hánadosát, az amplitúdó: ma cos( ) S sin ( ) Azonban arra is rámutattam, hog a szakmai közvélekedéssel ellentétben eges speciális esetekben amikor a geresztési frekvencia a saátfrekvencia fele, negede, hatoda, stb., aszimmetrikus megoldások is előfordulhatnak [3]. Az aszimmetrikus megoldások stabilitását nemlineáris stabilitás analízissel vizsgáltam és kimutattam, hog a fent említett frekvenciák mellett kontinuum sokaságú, a stabilitás határán levő aszimmetrikus megoldás létezik egszerre [3]. A 6. ábrán eg ilen aszimmetrikus megoldás látható, mel éppen érinti a letapadási tartomán határát. Az analitikus módszerekkel talált megoldásfüggvének esetében ellenőrizni kell, hog valóban megfelelnek-e a megoldással szemben támasztott feltevéseknek. Esetünkben a feltevések a következők: a keresett megoldás periodikus, nem letapadó, és eg periódus alatt kétszer változik a sebesség előele. A szakirodalomban e három feltétel közül csak az első 4

5 kettő ellenőrzésére láttam példát [9,]. Megmutattam, hog a harmadik feltétel ellenőrzése is fontos, sőt, ez a letapadási feltételnél erősebb feltételt elent []. Az eredmének alapán eg egszerű, gakorlatban is használható közelítő letapadási formulát vezettem le: ha a megoldásfüggvénből kapott amplitúdó +S-nél kisebb, akkor letapadás következik be, tehát a megoldásfüggvén az adott paraméternél már nem érvénes (7. ábra) []. Eredméneimet kiteresztettem T = k/-periodikus megoldásokra, és kimutattam további aszimmetrikus megoldások létezését is [4]. t 6. ábra. Aszimmetrikus megoldás =.5 és S =.5 esetén. Periódusonként két előelváltás feltételei Amplitúdó (numerikus) Amplitúdó (analitikus) ma, N Letapadások száma/ +S Korábbi letapadási feltétel: S/ 7. ábra. Az amplitúdó és a letapadások száma a geresztési frekvencia függvénében, S =.5 esetén. A szakirodalomban elfogadott ma < S/ letapadási feltételnél erősebb a periódusonként két előelváltást előíró feltétel: = /3 ill. = /5 körül már akkor is előfordulhat letapadás amikor ma > S/. A avasolt letapadási feltétel: ma < +S. Jól látható az aszimmetrikus megoldás megelenése = /-nél és = /4-nél. Eg száraz súrlódásos rendszerek numerikus vizsgálatával foglalkozó cikkben [] hibát találtam: a szerzők rosszul választották meg a numerikus szimuláció időtartamát. A hiba okait elemezve kimutattam, hog a vizsgált paramétertartománokban a ól ismert képlet alapán várt periódusidőnél rövidebb pontosan fele akkora periódusú lebegések fordulnak elő, mert a sebesség előelváltásaikor hirtelen megváltozik a rezgés fázisa (4. ábra) []. Az akadozó csúszás kísérleti vizsgálatával kapcsolatos munka elkezdődött. Ennek során eg korábban elkészült eszközhöz ú, pontosabb pozícióérzékelő berendezés készült. Sanos a kísérletek tervezett helszínének, a BME Műszaki Mechanikai Tanszék műhelének az átalakítási munkálatai miatt a kísérletek elvégzésére még nem került sor. 5

6 Rel. hiba logaritmusa log(ma(, )) t log(rel. hiba) T m ( ) 8. ábra. Numerikus szimuláció során a relatív hiba nem egenletesen csökken, de eponenciális burkoló görbe illeszthető rá. A tapasztalt lebegés periódusidee fele a várt periódusnak. t 4 Marás és esztergálás nemlineáris vizsgálata A forgácsolás folamatának szabatos elméleti leírása elengedhetetlen a megmunkáló technológiák felesztéséhez. A nag alakváltozással áró technológiákra általában ellemző, hog a deformáció eg vag több nírási sávba koncentrálódik. Dr. Pálmai Zoltán (COGITO Rt.) eg ötdimenziós kontinuummechanikai modellt állított fel a forgácsolás leírására. A modellben két képléken deformációs sávot és eg hővezetési sávot különített el és a konstitutív egenlet felírása során figelembe vette a termikus lágulást. A változók e három zóna hőmérséklete és a deformációs sávokban ébredő csúsztatófeszültségek voltak. A kapott egenletrendszer a következő: T T T T T T p. ( F ( F F T T T T F T T F T F ) ) Rámutattam, hog az egik csúsztatófeszültség eg algebrai egenleten keresztül kifeezhető a másik sávban ébredő csúszatófeszültség segítségével, tehát a modell helettesíthető eg ekvivalens négdimenziós modellel, melnek vizsgálata sokkal egszerűbb. Az egenletek megoldásainak struktúráát bifurkációs analízis segítségével térképeztem fel. Ehhez az első lépésben stabil egensúli megoldásokat folóforgács keletkezésének megfelelő stabil fipontokat kerestem numerikus szimulációval az ausztenites acél forgácsolására ellemző paraméterértékek mellett. A fipontok koordinátái alapán az AUTO nevű bifurkációs program segítségével meghatároztam, hog eg kiválasztott paraméter változtatása során hogan mozdulnak el a fipontok. Ezen kívül a bifurkációs pontokat is megkereste a program, tehát azokat a paraméter értékeket, ahol a megoldás ellege megváltozik. A detektált bifurkációs pontok adataiból következtetni lehet p s 6

7 arra, hog mel paraméterek mellett fordulhat elő kaotikus viselkedés. Megmutattam, hog a perióduskettőző bifurkációk az ún. Feigenbaum-sorozat szerint követik egmást, és ezzel lehetőség nílt a kaotikus viselkedés tartománának nag pontosságú behatárolására [5]. Az egparaméteres bifurkációs vizsgálat eredméneit felhasználva kétparaméteres bifurkációs vizsgálatot is végeztem, ennek eredméne látható a 9. ábrán. A függőlegesen csíkozott tartománban stabil fipont, a vízszintesen csíkozott részen pedig stabil periodikus megoldás létezik. Az ennek megfelelően rácsozott tartománban pedig mindkét megoldás típus megvalósulhat. A ferdén rácsozott tartománban kaotikus és hosszú periódusú megoldások vannak. A bifurkációs vizsgálat ugan egértelműen arra utal, hog a beelölt tartománban kaotikus megoldásokat találunk, de ezt mégsem tekinthetük bizonítottnak. A kaotikus viselkedés bizonítása érdekében idősor analízist is végeztem. Ehhez numerikus szimuláció szolgáltatta a kiindulási adatokat. A traektóriából Poincaré-metszetet készítettem T =,- nél, és az íg kapott egmás utáni értékeket ábrázolva egdimenziós leképezést kaptam, mel már alkalmas volt a további vizsgálatokra. A változó egmás utáni értékeit a TISEAN nevű programcsomaggal dolgoztam fel, ami többek között azt méri, hog egmáshoz közeli kezdeti feltételekből kiinduló megoldások milen ütemben távolodnak. A távolodási ütem logaritmusát ábrázolva és a görbékre egenest illesztve eldönthető, hog a távolodás eponenciális ütemű-e, és ebben az esetben meghatározható a kaotikus rendszereket ól ellemző ún. Lapunov-eponens, mint az egenes meredeksége. A vizsgált esetekben elhanagolható hibával lehetett egenest illeszteni a kapott adatokra, amiből következik, hog a szóban forgó megoldások kaotikusak [5,6]. Az összefoglalóban hivatkozott publikációk: [] Csernák Gábor, Stépán Gábor: Life Epectanc of Transient Microchaotic Behaviour, Journal of Nonlinear Science, 5(), pp. 63-9, 5 (Impakt faktor:.65) [] Csernák Gábor, Stépán Gábor: Quick Estimation of Escape Rate with the Help of Fractal Dimension, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, (5), pp , ábra: Lehetséges megoldástípusok a - paraméter síkon 7

8 [3] Csernák Gábor: Transient Chaos: Mean Lifetime Versus Escape Rate, XXV. Dnamics Das Europe, Berlin, 5 [4] Csernák Gábor, Stépán Gábor: Sometimes Digital Control Leads to Chaos, Proceedings of the 4 th International Congress on Sound and Vibration, CD-ROM/49, 8 pages, ICSV4, Cairns, Australia, 7 [5] Csernák Gábor, Stépán Gábor: Life Epectanc Calculation of Transient Chaos in the D Micro-chaos Map, Periodica Poltechnica, Mechanical Engineering, 8, (elfogadva) [6] Csernák Gábor: Jó artista lenne-e eg robot?, Interpress Magazin, 6/8, pp. 5, 7 [7] Csernák Gábor, Stépán Gábor: Digital Control as Source of Chaotic Behaviour (előkészületben) [8] Csernák Gábor, Stépán Gábor: Micro-chaotic Behaviour in a PD-controlled Mechanical Sstem (előkészületben) [9] S.W. Shaw: On the Dnamic Response of a Sstem with Dr Friction, J. of Sound and Vibration, 8, 35-35, 986 [] H-K. Hong, C-S. Liu: Coulomb Friction Oscillator: Modelling and Responses to Harmonic Loads and Base Ecitations, J. of Sound and Vibration, 9, 7-9, [] H-K. Hong, C-S. Liu: Non-Sticking Oscillation Formulae for Coulomb Friction Under Harmonic Loading, J. of Sound and Vibration, 44, , [] Csernák Gábor, Stépán Gábor: On the Periodic Response of a Harmonicall Ecited Drfriction Oscillator, J. of Sound and Vibration, 95, pp , 6 (impakt faktor:.88) [3] Csernák Gábor, Stépán Gábor, S.W. Shaw: Sub-harmonic Resonant Solutions of a Harmonicall Ecited Dr-friction Oscillator, Nonlinear Dnamics, 5,pp. 93-9, 7 (Impakt faktor:.774). [4] Csernák Gábor, Stépán Gábor: Smmetric and Asmmetric Motions of a Harmonicall Driven Dr-friction Oscillator, Proceedings of the Fifth EUROMECH Nonlinear Dnamics Conference, CD-ROM/-58, ENOC-5, Eindhoven, 5 [5] Pálmai Zoltán, Csernák Gábor: Káoszelenségek a fémek gors képléken deformációánál (a forgácsolás példáán), Gépgártás, 46/3, pp. 9.4, 6 [6] Csernák Gábor, Pálmai Zoltán: Eploration of the chaotic phenomena induced b fast plastic deformation of metals, The International Journal of Advanced Manufacturing Technolog, 8 DOI:.7/s , (elfogadva, impakt faktor:.48). 8