XII. MAGYAR MECHANIKAI KONFERENCIA MaMeK, 2015 Miskolc, augusztus

Átírás

1 XII. MAGYAR MECHANIKAI KONFERENCIA MaMeK, 2015 Miskolc, augusztus DIGITÁLIS SZABÁLYOZÁS OKOZTA KAOTIKUS REZGÉS AMPLITÚDÓJÁNAK BECSLÉSE Gyebrószki Gergely 1, Dr. Csernák Gábor 2 1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Műszaki Mechanikai Tanszék 1111 Budapest, Műegyetem rkp. 5. gyebro@mm.bme.hu 2 MTA-BME Gépek és Járműek Dinamikája Kutatócsoport 1111 Budapest, Műegyetem rkp. 3. csernak@mm.bme.hu Absztrakt: A mintaételezéssel és időkéséssel ellentétben a kerekítés hatását gyakran elhanyagolják szabályozási problémákban. Korábbi munkáinkban [1, 2010], [2, 2011], [3, 2013] megmutattuk, hogy a kerekítés kis amplitúdójú kaotikus rezgésekhez az úgyneezett mikrokáoszhoz ezet, mely számos különálló kaotikus attraktor megjelenéséel jár. Bár a kaotikus oszcilláció amplitúdója általában kicsi, az attraktorok a kíánt pozíciótól táol helyezkedhetnek el, így jelentős szabályozási hibát okozhat a jelenség. Kulcsszaak: mikro-káosz, digitális szabályozás, mintaételezés, kantálás 1. BEVEZETÉS A digitális hatások (mintaételezés, kerekítés és késés) együttes figyelembeételéel egyszerű dinamikai rendszerekben is megfigyelhető komple, nem szabályos, olykor kaotikus iselkedés. A cikkben megmutatjuk, hogy az egy szabadságfokú, instabil triiális egyensúlyi helyzetű lengőrendszer mozgásegyenlete kimeneten kantált, nulladrendű tartóként működő PD szabályozóal olyan ún. mikro-káosz leképezéshez ezet, mely sokszínű kaotikus iselkedést mutat. Negatí mereség esetén a fázistérben több, egymástól elkülönülő kaotikus attraktor, agy repellor jelenik meg. Utóbbi esetben a repellorok közösen alkothatnak egy agy több attraktort. Negatí csillapítás esetén pedig periodikus pályára rárakódó kaotikus rezgés alakít ki kaotikus attraktort. Az egyes esetekben kitérünk a fázistér szerkezetére, illete az egyes attraktorok méretének, illete a szabályozás maimális hibájának becslésére. A 2. szakaszban a mikro-káosz leképezéseket ezetjük le, negatí mereségű és negatí csillapítású esetre. A 3. szakaszban az egyes esetekre jellemző kaotikus iselkedést mutatjuk be, kitére a fázistér szerkezetére. A 4. szakaszban pedig a kaotikus attraktorok méretére és origótól aló táolságára onatkozó becsléseket ismertetjük. 2. A MIKRO-KÁOSZ LEKÉPEZÉS Az egy szabadságfokú, mintaételezett, kantált digitális szabályozású lengőrendszer differenciálegyenlete: ( P ϕ(t) ϕ(t) + 2αδ ϕ(t) + α 2 ϕ(t) = r O Int + D ϕ(t) ), (1) r O r O ahol α a sajátkörfrekencia, δ a relatí csillapítás, P és D szabályozási paraméterek, r O pedig a szabályozó általánosított erő felbontása. Ahhoz, hogy dimenziótlan alakra hozzuk az egyenletet, először ezessük be a köetkező dimenziótlan időt: T = t/τ, ahol τ a mintaételezési idő, = d dt, és ˆα = ατ paramétert. Ekkor: ( ) P ϕ(t ) ϕ (T ) + 2ˆαδϕ (T ) + ˆα 2 ϕ(t ) = τ 2 r O Int + Dτϕ (T ). (2) r O r O Vezessük be a dimenziótlan elmozdulást: (T ) = ϕ(t )/(r O τ 2 ), alamint ˆP = P τ 2 és ˆD = Dτ paramétereket. Ezzel: ( ) (T ) + 2ˆαδ (T ) + ˆα 2 (T ) = Int ˆP (T ) + ˆD (T ) (3)

2 g φ, φ φ i, φ i agy PC M M t j-1 t j t j+1 t j+2 τ τ t j+3 t 6r O 5r O 4r O 3r O 2r O r O t j-1 t j t j+1 t j+2 t j+3 t 1. ábra. Inerz inga: példa negatí mereségű, egy szabadságfokú szabályozott rendszerre. A jobb oldali ábra szemlélteti a mintaételezést és a szabályozás kantáltságát. A (3) egyenlet a mintaételezés nélküli, folytonos szabályozást reprezentálja. Amennyiben a szabályozó nulladrendű tartóként működik, az alábbi írható: ( (T ) + 2ˆαδ (T ) + ˆα 2 (T ) = Int ˆP 0 + ˆD ) 0, T [0, 1), (4) ahol 0 = (0) és 0 = (0). Természetesen a szabályozónak akkor an értelme, ha a rendszer rendelkezik instabil egyensúlyi helyzettel. A köetkező alszakaszokban a lengőrendszert instabillá tesszük, és leezetjük a kapcsolódó mikro-káosz leképezéseket Negatí mereségű rendszer esetében Ha a rendszer meresége negatí (pl. digitálisan szabályozott inerz inga, lásd 1. ábra), (4) az alábbi módon írható: (T ) + 2ˆαδ (T ) ˆα 2 (T ) = F 0, T [0, 1), (5) ahol F 0 = Int( ˆD 0 + ˆP 0 ) a kantált szabályozó erő értéke. A másodrendű differenciálegyenlet elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerré átírása után a megoldás az alábbi alakban írható: ahol: y(t ) = U(T )y(0) + b(t ) F 0, T [0, 1), (6) e ˆαδT [ Γ cosh (ˆαΓT ) + δ sinh (ˆαΓT ) sinh (ˆαΓT ) /ˆα U(T ) = Γ ˆα sinh (ˆαΓT ) Γ cosh (ˆαΓT ) δ sinh (ˆαΓT ) b(t ) = 1 [ ] Γ e ˆαδT (Γ cosh (ˆαΓT ) + δ sinh (ˆαΓT )) ˆα 2 Γ ˆαe ˆαδT sinh (ˆαΓT ) ahol Γ = 1 + δ 2, alamint y = [(T ) (T )] T. T = 1 helyettesítéssel a mintaételezési pillanatokban érényes, ún. mikro-káosz leképezés írható fel: ahol F i = Int( ˆP i + ˆD i ) Negatí csillapítású rendszer esetében ], (7) y i+1 = U(1)y i + b(1) F i, (9) Ha a rendszer relatí csillapítása negatí (lásd 2. ábra), (4) az alábbi módon írható: megoldása pedig az előző esethez hasonlóan: ahol: U(T ) = eˆαδt Γ (T ) 2ˆαδ (T ) + ˆα 2 (T ) = F, T [0, 1), (10) y(t ) = U(T )y(0) + b(t ) F (11) [ Γ cos (ˆαΓT ) δ sin (ˆαΓT ) sin (ˆαΓT ) /ˆα ˆα sin (ˆαΓT ) Γ cos (ˆαΓT ) + δ sin (ˆαΓT ) (8) ], (12)

3 PC Μ 0 Μ, μ F szalag ' 2. ábra. Egyszerű fékmodell: példa negatí csillapítású, egy szabadságfokú szabályozott rendszerre. b(t ) = 1 [ Γ + eˆαδt (Γ cos (ˆαΓT ) δ sin (ˆαΓT )) ˆα 2 Γ ˆαeˆαδT sin (ˆαΓT ) ], (13) Γ = 1 δ 2, alamint y = [(T ) (T )] T. T = 1 helyettesítéssel az előző esettel megegyező alakú, mintaételezési pillanatokban érényes, mikro-káosz leképezés írható fel: y i+1 = U(1)y i + b(1) F i. (14) 3. A KAOTIKUS VISELKEDÉS JELLEGE Ebben a szakaszban (9) és (14) leképezések globális iselkedését, fázisterüket, alamint az abban megjelenő kaotikus struktúrákat és azok onzási tartományait mutatjuk be. Általánosan elmondható, hogy a szabályozó erő kantálása miatt a fázistérben égtelen számú egyenes kapcsolóonal jelenik meg (melyek kielégítik az ˆP + ˆD = F, F Z \ {0} egyenletet). ˆP = 0 esetében a kapcsolóonalak az (, ) fázistérben ízszintesek, ˆD = 0 esetén függőlegesek, egyéb esetben általános helyzetű párhuzamos egyenesek. Az egyes kapcsolóonalak között olyan sáok találhatóak, melyekben a szabályozó erő konstans Negatí mereségű rendszer esetében Negatí mereségű rendszer esetében a triiális egyensúlyi helyzet instabil nyeregpont, illete a szabályozási sáokban ugyancsak megjelenhetnek instabil nyeregpontok. Reálisan megálasztott rendszerparaméterek esetében a kapcsolóonalak és az instabil nyeregpontok áltakoza köetik egymást az -tengelyen. Lásd 3. ábra. A kapcsolóonalak és fipontok mintázata előbb-utóbb egy irtuális fipont megjelenéséel megszakad, az N-edik kerekítési sához tartozó fipont már nem a kerekítési sában helyezkedik el. Miel az instabil nyeregpontok helye nyereg (n) = n/ˆα 2, a kapcsolóonalak és az -tengely metszéspontjai kapcs (m) = m/ ˆP, az utolsó alódi fipont indee N = Int( ˆP /( ˆP ˆα 2 )). Azon kerekítési sáok között, melyekben alódi fipont an, a kapcsolóonalon kaotikus attraktor jelenik meg, ugyanis a kétoldali dinamika rendre a szomszédos sába ezeti a rendszert. Fontos megjegyezni, hogy a mintaételezés miatt a kapcsolások nem a kapcsolóonal átlépésekor történnek meg, hanem csak később, a köetkező mintaételezési időpillanatban. Két attraktort szemléltet a 4. ábra, az egyes attraktorok onzási tartományait pedig a 5. ábra, melyet egyszerű cella-leképezéses módszerrel [4] generáltunk Negatí csillapítású rendszer esetében Negatí csillapítás esetében a rendszer triiális egyensúlyi helyzete instabil fókusz. Az ezt körüleő szabályozási sáokban pedig a rendszer egyensúlyi helyzete irtuális stabil fókusszá álik, így a szabályozási sáokba lépő trajektóriák isszatérnek az F = 0 szabályozásmentes sába. A rendszerparaméterektől függően a kapcsolóonalakon sliding-mode jellegű iselkedés is kialakulhat. Így általános esetben a fázistérben az instabil fókusz körül kétszer három szakaszból álló periodikus pálya jelenik meg; instabil, origótól táolodó dinamika a két kapcsolóonal között, stabil jellegű dinamika az első kapcsolási sában és sliding az első kapcsolóonalon. Természetesen a periodikus pályára a mintaételezés miatt szabálytalan oszcilláció rakódik rá. Ezt szemlélteti a 6. ábra.

4 ábra. A digitálisan szabályozott inerz inga fázistere, ˆα = 0.075, δ = 0.03, ˆP = alamint ˆD = 0.02 esetén. Fekete pontokkal az instabil nyeregpontok, szaggatott onallal azok sokaságai, szürke színnel pedig a kapcsolóonalak annak jelöle. A színes görbék különböző kezdeti feltételhez tartozó trajektóriák ábra. A digitálisan szabályozott inerz inga két különböző kezdeti feltételhez tartozó attraktora, ˆα = 0.075, δ = 0.03, ˆP = alamint ˆD = 0.02 esetén. 5. ábra. Az inerz inga fázisterének cella-leképezéses módszerrel előállított képe, ˆα = 0.075, δ = 0.03, ˆP = alamint ˆD = 0.02 esetén. Látható, hogy az origó közeléből induló trajektóriák a harmadik (ilágoskék agy barna) attraktorba érkeznek.

5 ábra. Bal oldalon: az egyszerű fékmodell 0 = 0, 0 = 0.2 kezdeti feltételhez tartozó attraktora, ˆα = 1, δ = 0.5, ˆP = 0 és ˆD = 2 esetén. A lila pontok a mintaételezés nélküli, folytonos esetben kialakuló periodikus pálya pontjai. Jobb oldalon: egy hasonló attraktor cella-leképezéssel előállított képe attr P 7. ábra. Az inerz inga fázisterében elhelyezkedő attraktorok helye ˆP függényében, ˆα = esetén. ˆP nöeléséel border-collision bifurkációk köetkeztében csökken az attraktor-sorozat mérete. (Az attraktorok helye független δ és ˆD paraméterektől.) 4. MÉRET BECSLÉSEK 4.1. Negatí mereségű rendszer esetében Negatí mereség esetén az -tengelyen megjelenő attraktor-sorozat utolsó tagjának helye használható a szabályozás maimális hibájának becslésére. ma = m ma ˆP = Int( ˆP /( ˆP ˆα 2 )) (15) ˆP ˆP agy ˆα paraméter ariálása során az instabil fipontok átlépik a kapcsolóonalakat, így ún. border-collision bifurkáció köetkeztében irtuális fipontok jönnek létre és kaotikus attraktorok tűnnek el. Ezt szemlélteti a 7. ábra.

6 2.0 P 1.4, D D P ábra. Bal oldalon: az egyszerű fékmodell szabályozási paramétereihez tartozó legkülső szabályozási sá indee. A zöld tartományban a periodikus pálya megfelel a 6. ábrán láthatónak, a második sába átnyúló attraktorra a jobb oldali ábra mutat példát Negatí csillapítású rendszer esetében Negatí csillapítás esetében a mintaételezés nélküli esethez tartozó periodikus pálya (lásd 6. ábrán lila jelölés) méretének megbecsléséel lehet köetkeztetni a maimális szabályozási hibára. Az instabil dinamika maimum egy mintaételezési időtartamig aktí maradhat a kapcsolóonal átlépése után is, emiatt a periodikus pálya szélső pontjaira (14) leképezést alkalmaza megkapható az a legtáolabbi pont, ahoá az instabil dinamika eljuttathatja a rendszert. Hasonlóképpen a szabályozási sából isszatérő trajektóriák is képesek más kerekítési sáokba átlökni a rendszert. Adott szabályozási paraméterekkel numerikusan kiszámítható, hogy melyik lesz a legtáolabbi szabályozási sá, melyet érint az attraktor. Ezt ábrázolja a 8. ábra. 5. ÖSSZEFOGLALÁS A kerekítés és mintaételezés kombinációja az egyszerű digitálisan szabályozott rendszerekben is áltozatos szabálytalan, kaotikus iselkedést eredményez. Jelen cikkben megmutattuk, hogy a szabályozó erő kantáltsága statikus és dinamikus instabilitás esetén is attraktort / attraktorokat hoz létre a fázistérben. Negatí mereség esetén attraktor-repellor-sorozat alakul ki, míg negatí csillapítás esetén a mintaételezés nélküli esethez tartozó periodikus pályára rárakódó kaotikus oszcilláció. A teljesség igénye nélkül ismertettünk egy-egy lehetséges metódust a szabályozás maimális hibájának dura becslésére. A kaotikus attraktorok méretének pontosabb becslésére, agy numerikus kiszámítására onatkozó kutatómunka jelenleg is folyamatban an. KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Ezt a kutatást az OTKA K számú projektje támogatta. HIVATKOZÁSOK [1] G. CSERNÁK, G. STÉPÁN. Digital Control as Source of Chaotic Behaior, International Journal of Bifurcation and Chaos, 20(5): pp , [2] G. CSERNÁK, G. STÉPÁN. Sampling and Round-off, as Sources of Chaos in PD-controlled Systems, Proceedings of the 19th Mediterranean Conference on Control and Automation, [3] G. GYEBRÓSZKI, G. CSERNÁK. Methods for the Quick Analysis of Micro-chaos, Applied Non-Linear Dynamical Systems in Springer Proceedings in Mathematics & Statics Vol 93., ISBN , pp , [4] C. S. HSU Cell-to-Cell Mapping, A Method of Global Analysis for Nonlinear Systems, Applied Mathematical Sciences Vol 64. ISBN , Springer, 1987.