Kerényi Péter. Gyökkeresés iterációval

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kerényi Péter. Gyökkeresés iterációval"

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kerényi Péter Gyökkeresés iterációval BSc. szakdolgozat Témavezet : Sigray István Analízis tanszék Budapest,

2 Tartalomjegyzék. Bevezetés 4. Newton-módszer a valós esetben 5.. Newton-módszer és konvergencia-sebessége Ellenpéldák Ellenpéldák egy lehetséges feloldása Newton-módszer a komplex esetben Newton-módszer Newton-módszer különböz kezd pontokból indítva Curt McMullen javított algoritmusa Javított algoritmus McMullen-módszer különböz kezd pontokból indítva Összefoglalás 7 A. A NewMeth program 9 A.. A feladat A.. Elemzés A.3. Input paraméterek A.4. Implementáció A.4.. További alprogram A.5. Absztrakt program Hivatkozások 35

3 Köszönetnyilvánítás Szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Sigray Istvánnak, aki érdekes felvetéseivel és kérdéseimre adott körültekint válaszaival segítette munkámat. Köszönettel tartozom csoporttársaimnak, kiváltképp Englert Ákosnak, akinek MatLab könyvét immáron másfél éve használom dolgozatom elkészítéséhez. 3

4 . fejezet Bevezetés A dolgozatban különböz harmadfokú polinomok gyökeit keressük, mind valós, mind pedig komplex együtthatós polinomok esetében. A gyökök megtalálásához két iterációs eljárást használunk. El ször a talán legismertebb eljárást a Newton- Raphson módszert (továbbiakban Newton-módszer) vizsgáljuk (. fejezet, 3. fejezet), példákon keresztül bemutatjuk a módszer m ködését valamint a m ködés során fellép esetleges hibákat, a hibák okait és lehetséges megoldásokat. Ezek után áttérünk egy Curt McMullen [McMullen 987] által módosított algoritmusra (4. fejezet), példák segítségével kielemezzük annak m ködését és m ködésének sajátosságait. A két módszer elvégzése során kapott adatokat összehasonlítjuk és összefoglaljuk hasonlóságaikat és különbségeiket (5. fejezet). A példák megválasztásánál William Gilbertet [Gilbert ] követjük és négy tizedesjegy pontossággal dolgozunk. A vizsgálatokhoz az általunk a MatLab programcsomagban készített NewMeth programot használjuk. A program leírását és f paramétereit tartalmazza az A. függelék. A NewMeth program letölthet az ELTE TTK Matematika intézetének honlapjáról ( A program kicsomagolás (és a megfelel MatLab program mellett) azonnal indítható, így az olvasó maga is meg tudja ismételni a dolgozatban tárgyalt példákat vagy akár új feladatok megoldására is használhatja azt. 4

5 . fejezet Newton-módszer a valós esetben.. Newton-módszer és konvergencia-sebessége A Newton-módszer egy approximációs eljárás, melynek alapvet ötlete, hogy a függvény egyik x gyökéhez "közeli" x kezd pontot ismerve próbálja meghatározni az f(x) függvény egyik x gyökét. Jelöljük ε -val a nulladik tag hibáját, azaz ε = x x. Írjuk fel az f(x) függvény x körüli Taylor-sorát. f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) +... x = x -ra az alábbi összefüggést kapjuk: f(x ) f(x ) + f (x )(x x ) f(x ) + f (x )(ε + x x ) ε f(x ) f (x ) x x f(x ) f (x ) Iterálva az eljárást a következ pont kiszámításának képlete: x n+ = x n f(x n) f (x n ) 5

6 .. Newton-módszer és konvergencia-sebessége 6 A leképezés tehát a következ képpen adható meg: R(x) = x f(x) f (x) Geometriailag ez azt jelenti, hogy egy függvény x gyökét úgy találja meg a módszer, hogy a gyökhöz megfelel távolságon belül található x ponthoz érint t húz, majd ezen érint és az x tengely metszéspontja lesz az x jobb közelítése az x gyöknek. Ezek után az eljárás iterálva folytatódik... Példa. (.. ábra) Tekintsük az f(x) =, 3x x +, 5 függvényt. Indítsuk az iterációt az x =, 5 pontból. NewMeth(,.3,-,.5,-.5,4,'newton') ábra. Az f(x) =, 3x x+, 5 függvény megoldása Newton-módszerrel. Els iterációs lépés pirossal, második iterációs lépés zölddel, gyök ciánnal jelölve. Els iterációs lépés (.. ábrán pirossal jelölve): f(, 5) =, 675 Az érint meredeksége: f (, 5) =, 9

7 .. Newton-módszer és konvergencia-sebessége 7 Következ pont: x = x f(x ) f (x ) =, 5 f(,5) f (,5) =, 5,675,9 =, 9 Második iterációs lépés (.. ábrán zölddel jelölve): f(x ) =, 5946 f (x ) =, 55 x =, 474 Harmadik iterációs lépés: f(x ) =, 95 f (x ) =, 77 x 3 =, 64 Negyedik iterációs lépés: f(x 3 ) =, 53 f (x 3 ) =, 6374 x 4 =, 65 Ötödik iterációs lépés: f(x 4 ) =, 4 f (x 4 ) =, 635 x 5 =, 66 f(x 5 ) (minimum 4 tizedesjegy pontossággal) A megtalált gyök, 66 (.. ábrán cián négyzettel jelölve). A.. Példa esetén a Newton-módszer az ötödik iterációs lépésben találja meg az egyik gyököt (minimum 4 tizedesjegy pontossággal). Általánosságban a konvergencia sebességér l a következ tételt fogalmazhatjuk meg... Tétel. Ha az x kezd pont "elég jó" közelítése az x gyöknek, f (x ) és f kétszer folytonosan dierenciálható x környezetében, akkor a Newton-módszer

8 .. Ellenpéldák 8 kvadratikusan konvergens: x n+ x c x n x Bizonyítás. x n+ x = x n f(x n) f (x n ) x = x n x f(x n) f(x ) f (x n ) = = f (x n )(x n x ) (f(x n ) f(x )) f (x n ) A Lagrange középérték tétel szerint ξ n [x n, x ] : f(x n ) f(x ) = f (ξ n )(x n x ) Tehát az el z kifejezés tovább egyenl : (f (x n ) f (ξ n ))(x n x ) f (x n ) Ismét a Lagrange középérték tételt alkalmazva ξ n [x n, x ] : f (x n ) f (x ) = f ( ξ n )(x n x ), tehát az egyenl séget tovább folytatva kapjuk, hogy: f ( ξ n )(x n ξ n )(x n x ) f (x n ) Ebb l következik, hogy: x n+ x f ( ξ n ) f (x n ) x n x.. Ellenpéldák Mi történik viszont akkor, ha nem "elég jó" kezd pontot választunk vagy függvényünk nem dierenciálható a megfelel módon. Ilyenkor el fordul, hogy az iteráció lassabban vagy egyáltalán nem konvergál a gyökhöz. A következ kben erre látunk majd néhány példát.

9 .. Ellenpéldák 9.. Példa. (.. ábra) Tekintsük az f(x) = x 3 x + függvényt. Az iterációt az x = pontból indítva a következ eredményeket kapjuk: NewMeth(,,-,,,4,'newton') ábra. Az f(x) = x 3 x + függvény megoldása Newton-módszerrel. Els iterációs lépés pirossal, második iterációs lépés zölddel, gyök ciánnal jelölve. Els iterációs lépés (.. ábrán pirossal jelölve): f(x ) = f (x ) = x = Második iterációs lépés (.. ábrán zölddel jelölve): f(x ) = f (x ) = x = Innent l kezdve az iteráció ezen két pont között oszcillál vagyis egy hosszú ciklusba

10 .. Ellenpéldák jutunk. Ha a kezd pontban a függvény deriváltja nulla, akkor nem tudjuk kiszámítani a következ pontot, mert ilyenkor nullával kellene osztani. Geometriailag ez azt jelenti, hogy a függvény egy széls értékében húzunk a függvényhez egy érint t, ami pedig párhuzamos lesz az x tengellyel..3. Példa. (.3. ábra) Tekintsük az f(x) = x függvényt. Az iterációt az x = pontból indítva a következ eredményeket kapjuk: NewMeth(,-,,,,4,'newton') ábra. Az f(x) = x függvény megoldása Newton-módszerrel. Els iterációs lépés pirossal, gyök ciánnal jelölve. Els iterációs lépés (.3. ábrán pirossal jelölve): f(x ) = f (x ) = x = NaN

11 .3. Ellenpéldák egy lehetséges feloldása Ez esetben a Newton-módszer nem találja meg a gyököt. Mi történik akkor, ha a függvényünknek nincs valós gyöke?.4. Példa. (.4. ábra) Tekintsük az f(x) = x + függvényt. Az iterációt az x = pontból indítva a következ eredményeket kapjuk: NewMeth(,,,,,4,'newton') ábra. Az f(x) = + x függvény. A módszer ilyenkor természetesen nem találja meg a gyököt..3. Ellenpéldák egy lehetséges feloldása A.. Példában kezd pontnak a x = pontot választottuk. Ez pedig az R R(x) leképezés egy xpontja: R R() = R(R()) R() = = R(R()) = R() = =

12 .3. Ellenpéldák egy lehetséges feloldása Ezen okból kifolyólag kaptunk a módszer elvégzése során egy hosszú ciklust. Ebb l látható, hogyha kezd pontnak nem xpontot, hanem ennél egy kis értékkel eltér számot választunk, akkor ez a probléma jó eséllyel megsz nik és az iterációs eljárás meg fogja találni a gyököt. Ezt az eljárást nevezzük perturbálásnak..5. Példa. Tekintsük az f(x) = x 3 x+ függvényt. Az iterációt az x = pont helyett indítsuk az x =, 3 pontból (azért ezt választjuk, mert ez a legközelebbi érték, amit a 38 számjeggyel dolgozó programunk még kezelni tud). A következ eredményeket kapjuk: NewMeth(,,-,,-.3,4,'newton') Els iterációs lépés: x =, 3 x =, 83 Második iterációs lépés: x =, 488 Harmadik iterációs lépés: x 3 =, Negyvenötödik iterációs lépés: x 45 =, Negyvennyolcadik iterációs lépés: x 48 =, 7693 f(x) = (minimum 4 tizedesjegy pontossággal) A megtalált gyök, A.5. Példa esetén a Newton-módszer a negyvennyolcadik iterációs lépésben találja meg az egyik gyököt (minimum 4 tizedesjegy pontossággal). Ez esetben tehát

13 .3. Ellenpéldák egy lehetséges feloldása 3 a perturbálás segít és a módszernek sikerül gyököt találnia. A.3. Példában kezd pontnak a x = választottuk. A problémát a módszer képletében szerepl tört nevez jében található függvény deriváltja és annak értéke okozta. Most is azt várjuk, hogy a perturbálás segíteni fog..6. Példa. Tekintsük az f(x) = x függvényt. Az iterációt az x = pont helyett indítsuk az x =, pontból. A következ eredményeket kapjuk: NewMeth(,-,,,.,4,'newton') Els iterációs lépés: x =, x =, 5 Második iterációs lépés: x = 5, 5 Harmadik iterációs lépés: x 3 = 5, Tízedik iterációs lépés: x =, 44 Tizenegyedik iterációs lépés: x =, 44 f(x) = (minimum 4 tizedesjegy pontossággal) A megtalált gyök, 44. A.6. Példa esetén a Newton-módszer az tizenegyedik iterációs lépésben találja meg az egyik gyököt (minimum 4 tizedesjegy pontossággal). Ez esetben tehát a perturbálás ismét segít és a módszernek sikerül gyököt találnia.

14 .3. Ellenpéldák egy lehetséges feloldása 4 A.4. Példában szerepl függvényünknek nincs valós gyöke, ezért az el z két példában (.5. Példa,.6. Példa) m köd perturbálás itt nem vezet eredményre és a Newton-módszer továbbra sem talál gyököt.

15 3. fejezet Newton-módszer a komplex esetben 3.. Newton-módszer Az el z fejezetben tárgyalt.4. példában, mivel a függvénynek nincs valós gyöke, ezért a Newton-módszer semmilyen valós kezd pontból nem talált gyököt, így a perturbálás sem segített. Mi történik viszont akkor, ha a kezd ponthoz nem egy kicsi valós számot, hanem egy kicsi képzetes részt adunk. 3.. Példa. (3.. ábra) Tekintsük az f(z) = z + függvényt. Indítsuk az iterációt az z = +, i pontból. NewMeth(,,i,--i,+i,4,'newton',) Els iterációs lépés (3.. ábra): z = +, i z =, , 5i Második iterációs lépés: z =, , 675i Harmadik iterációs lépés: z 3 =, 333 +, 558i 5

16 3.. Newton-módszer 6 Kezdõ pont Elsõ lépés Második lépés Harmadik lépés Tizedik lépés Tizenegyedik lépés ábra. Az f(z) = z + függvény megoldása Newton-módszerrel. Iterációs lépések pirossal, gyök ciánnal jelölve.... Tízedik iterációs lépés: z =, +, 44i Tizenegyedik iterációs lépés: z =, 44i f(z ) = A megtalált gyök, 44i, melyet a Newton-módszer az tizenegyedik iterációs lépésben talál meg (minimum 4 tizedesjegy pontossággal). A Newton-módszer azonban nem csak valós, hanem komplex együtthatós polinomokra is m ködik. A következ kben erre fogunk néhány példát látni. 3.. Példa. (3.. ábra) Tekintsük az f(z) = (z )(z + i)(z + i) függvényt. Indítsuk az iterációt az z = + i pontból.

17 3.. Newton-módszer 7 NewMeth(,,i,--i,+i,4,'newton',) Kezdõ pont Elsõ lépés Második lépés Harmadik lépés Negyedik lépés Ötödik lépés ábra. Az f(z) = (z )(z + i)(z + i) függvény megoldása Newton-módszerrel. Iterációs lépések pirossal, gyök ciánnal jelölve. Els iterációs lépés (3.. ábra): z = + i Következ pont: z = z f(z ) f (z ) = + i f(+i) f (+i) =, 376 +, 568i Második iterációs lépés: z =, 45 +, 4i Harmadik iterációs lépés: z 3 =, 973 +, 37i Negyedik iterációs lépés: z 4 =, 9988, 8i

18 3.. Newton-módszer különböz kezd pontokból indítva 8 Ötödik iterációs lépés: z 5 = f(z 5 ) = A gyök (3.. ábrán ciánnal jelölve), melyet a Newton-módszer az ötödik iterációs lépésben talál meg (minimum 4 tizedesjegy pontossággal). 3.. Newton-módszer különböz kezd pontokból indítva A következ kben különböz polinomok gyökeit keressük Newton-módszer segítségével. Ehhez az általunk a MatLab programcsomagban készített NewMeth programot használjuk (ld. A. függelék). A különböz gyökhöz konvergáló kezd pontokat különböz színnel ábrázolja a komplex számsíkon a program Példa. (3.3. ábra) Tekintsük az f(z) = (z )(z + i)(z + i) függvényt. NewMeth(,,i,--i,testarea(-,,-,,),4,'newton') A 3.3. ábrán jól láthatóak a különböz szín részek, ahonnan a három gyök valamelyikébe konvergál az iteráció. A sárgával jelölt részb l a + i, a kékkel jelölt részb l i, a pirossal jelölt részb l pedig a gyökhöz konvergál az iteráció. A fekete kezd pontokból 4 iterációs lépés alatt nem konvergál, de ezeknél a kezd pontoknál is segít a perturbálás, mert egy kis számot hozzáadva már valamelyik színes részbe kerülünk Példa. (3.4. ábra) Tekintsük az f(z) = (z )(z +, 5, 33i)(z +, 5+, 33i) függvényt. NewMeth(,,-.64,-.3589,testarea(-,,-,,),4,'newton') A 3.4. ábrán a már korábban látott részeken kívül megjelentek kisebb-nagyobb fe-

19 3.. Newton-módszer különböz kezd pontokból indítva ábra. Az f(z) = (z )(z + i)(z + i) függvény megoldása Newton-módszerrel. Sárga kezd pontokból + i, kék kezd pontokból i, piros kezd pontokból gyökhöz konvergál az iteráció. A fekete kezd pontokból 4 iterációs lépés alatt nem konvergál. kete szín csomók. Ezekb l a részekb l indított iterációk nem konvergálnak egyik gyökhöz sem. Most nagyítsuk ki az egyik ilyen fekete részt (3.5. ábra). NewMeth(,,-.64,-.3589,testarea(.4,.,.,,45),4,'newton') A 3.5. ábrán jól láthatók a különböz fekete szín, azaz nem konvergáló bels pontokkal rendelkez részek. A következ kben vizsgáljuk meg, hogy mi történik pontosan, ha egy ilyen fekete részb l indítjuk az iterációt Példa. (3.6. ábra) Tekintsük az f(z) = (z )(z +, 5, 33i)(z +, 5+, 33i) függvényt. Indítsuk az iterációt az z =, 7 +, 6i pontból. NewMeth(,,-.64,-.3589,.7+.6i,4,'newton') Els iterációs lépés (3.6. ábra): z =, 7 +, 6i

20 3.. Newton-módszer különböz kezd pontokból indítva 3.4. ábra. Az f(z) = (z )(z +, 5, 33i)(z +, 5+, 33i) függvény megoldása Newtonmódszerrel. Sárga kezd pontokból, 5 +, 33i, kék kezd pontokból, 5, 33i, piros kezd pontokból gyökhöz konvergál az iteráció. A fekete kezd pontokból 4 iterációs lépés alatt nem konvergál. Következ pont: z = z f(z ) f (z ) =, 7 +, 6i f(,7+,6i) f (,7+,6i) =, , 9678i Második iterációs lépés: z =, 88 +, 469i Harmadik iterációs lépés: z 3 =,, 5i Negyedik iterációs lépés: z 4 =, 5585, 3i

21 3.. Newton-módszer különböz kezd pontokból indítva 3.5. ábra. Az f(z) = (z )(z +, 5, 33i)(z +, 5+, 33i) függvény megoldása Newtonmódszerrel. Sárga kezd pontokból, 5 +, 33i, kék kezd pontokból, 5, 33i, piros kezd pontokból gyökhöz konvergál az iteráció. A fekete kezd pontokból 4 iterációs lépés alatt nem konvergál. Ötödik iterációs lépés: z 5 =, 355, 88i Látható, hogy a módszer során az els két lépésben egy-egy következ fekete foltba jut az iteráció, majd ezután a valós tengely közelében kezdenek el ugrálni a pontok. Hogy jobban lássuk mi is történt nézzünk meg négy további iterációs lépést Példa. (3.7. ábra) Tekintsük az f(z) = (z )(z +, 5, 33i)(z +, 5+, 33i) függvényt. Indítsuk az iterációt az z 5 =, 355, 88i pontból. Hatodik iterációs lépés:

22 3.. Newton-módszer különböz kezd pontokból indítva Kezdõpont Elsõ lépés Második lépés Harmadik lépés.5.5 Negyedik lépés.5.5 Ötödik lépés ábra. Az f(z) = (z )(z + i)(z + i) függvény megoldása Newton-módszerrel. Iterációs lépések zölddel jelölve. z 6 =, 563 +, 8i Hetedik iterációs lépés: z 7 =, 6 +, i Nyolcadik iterációs lépés: z 8 =, 5596, 4i Kilencedik iterációs lépés: z 9 =, 8, 6i Meggyelhet, hogy a negyedik lépést l kezd d en a, 5 és közelében felváltva

23 3.. Newton-módszer különböz kezd pontokból indítva 3.5 Hatodik lépés.5 Hetedik lépés Nyolcadik lépés.5 Kilencedik lépés ábra. Az f(z) = (z )(z + i)(z + i) függvény megoldása Newton-módszerrel. Iterációs lépések zölddel jelölve. ugrál az iteráció. Látható, hogy ezeknek a fekete részeknek az el z eknél jóval nagyobb a kiterjedésük, így ezen bels pontokon nem segít a perturbálás, mert továbbra is fekete részben maradunk.

24 4. fejezet Curt McMullen javított algoritmusa 4.. Javított algoritmus alakú: Curt McMullen módszere [McMullen 987] szerint, ha a függvényünk a következ f(z) = z 3 + a z + a akkor az n +.-ik pont kiszámításának képlete: z n+ = z n (z 3 n + a z n + a )(3a z n + 9a z n a ) 3a z 4 n + 8a z 3 n 6a z n 6a a z n 9a a Megjegyzés. Általános harmadfokú polinomokra is létezik a módszer, de mivel minden harmadfokú polinom a fenti alakra hozható, ezért ezen hosszadalmas képlet közlését l eltekintünk. Nézzük meg most ezzel a módszerrel az el z fejezetben tárgyalt 3.4. Példát, melyben a Newton-módszer nem vezetett eredményre, mert a 3.4. ábrán látható fekete részekb l még perturbáció segítségével sem sikerült az iterációnak gyököt találnia. 4.. Példa. (4.. ábra) Tekintsük az f(z) = (z )(z +, 5, 33i)(z +, 5+, 33i) függvényt. Indítsuk az iterációt az z =, 7 +, 6i pontból. NewMeth(,,-.64,-.3589,.7+.6i,4,'mcmullen') Els iterációs lépés (4.. ábra): 4

25 4.. Javított algoritmus 5 Kezdõpont Elsõ lépés Második lépés Harmadik lépés ábra. Az f(z) = (z )(z + i)(z + i) függvény megoldása McMullen-módszerrel. Iterációs lépések pirossal, gyök ciánnal jelölve. z =, 7 +, 6i Következ pont: z =, 784 +, 6i Második iterációs lépés: z =, 9 +, 36i Harmadik iterációs lépés: z 3 = A gyök (4.. ábrán ciánnal jelölve), melyet a módszer a harmadik iterációs lépésben talál meg (minimum 4 tizedesjegy pontossággal).

26 4.. McMullen-módszer különböz kezd pontokból indítva McMullen-módszer különböz kezd pontokból indítva Az el z fejezethez hasonlóan most ezt a javított módszert is alkalmazzuk különböz kezd pontokból. 4.. Példa. (4.. ábra) Tekintsük az f(z) = (z )(z + i)(z + i) függvényt. NewMeth(,,-.64,-.3589,testarea(-,,-,,),4,'mcmullen') 4.. ábra. Az f(z) = (z )(z + i)(z + i) függvény megoldása McMullen-módszerrel. Sárga kezd pontokból, 5 +, 33i, piros kezd pontokból, 5, 33i, kék kezd pontokból gyökhöz konvergál az iteráció A 4.. ábrán ismét látható a már megszokott három szín, valamint a fekete, azaz a nem konvergáló részek elt nnek, eszerint tehát McMullen algoritmusa minden kezd pontból indítva talál gyököt.

27 5. fejezet Összefoglalás A dolgozatban áttekintettük a Newton-Raphson módszernek nevezett approximációs eljárást, mellyel harmadfokú polinomok gyökeit kerestük. Valós együtthatós polinomok esetén bebizonyítottuk, hogy az eljárás kvadratikusan konvergál (.. Tétel), mely kvadratikus konvergenciát példán is szemléltettük. Ezek után azokat a speciális eseteket vizsgáltuk, amikor a Newton-módszer nem találta meg a gyököt. Ekkor, ha a kiválasztott kezd pont a leképezés egy xpontja volt és ciklusba jutott a módszer (.. Példa), vagy ha a kezd pontban a polinom deriváltja volt (.3. Példa), a perturbálás segített és a módszer talált gyököt. Azonban ha a polinomnak nem létezett valós gyöke (.4. Példa), akkor ez a fajta perturbáció nem javított az iteráción, továbbra sem találtunk gyököt. Ezen a problémán csak a 3. fejezetben bemutatott képzetes rész hozzáadás a valós kezd ponthoz segített (3.. Példa). Ekkor a Newton-módszer talált komplex gyököt. Ezek után a valós együtthatós polinomokról áttértünk a komplex együtthatókra, amikor is a Newton-módszer az el z ekhez hasonlóan m ködött. A következ példában különböz komplex kezd pontokból indítottuk az iterációt, így kaptuk a különböz színes ábrákat. Ezeken az ábrákon különböz színnel jelöltük a különböz gyökhöz konvergáló kezd pontokat. Az ábrákon (3.4. ábra) meggyelt nagy kiterjedés fekete csomók azt jelezték, hogy ezeknél a bels pontokkal rendelkez részeknél nem konvergál az iteráció egyik gyökhöz sem. Ilyenkor a már korábban bevált perturbáció sem segített, mert perturbálás után is fekete részben maradtunk. Tüzetesebben megvizsgáltuk mi történik, ha egy ilyen kezd pontból indítjuk az iterációt 7

28 8 (3.5. Példa), majd azt tapasztaltuk, hogy egyik fekete csomóból egy másikba ugrunk, míg nem két érték közelében kezd el oszcillálni a módszer. A 4. fejezetben bemutattuk Curt McMullen javított algoritmusát, amelyik módszer harmadfokú polinomok esetében minden kezd pontból talál gyököt. Ezzel az eljárással is megvizsgáltuk a korábban tárgyalt polinomokat és ezen esetekben mindig gyorsabb konvergenciát tapasztaltunk, mint a Newton-módszer esetében. Összességében elmondható, hogy mind a Newton-módszer mind McMullen módszere egy kiváló eljárást ad harmadfokú polinomok gyökeinek megtalálására.

29 A. Függelék A NewMeth program A NewMeth program letölthet az ELTE TTK Matematika intézetének honlapjáról ( A.. A feladat A NewMeth program a MatLab programcsomaggal készült, célja komplex együtthatós, legfeljebb harmadfokú polinomok gyökeinek megkeresése és azok ábrázolása a komplex számsíkon. A gyökök keresésére a program két matematikai eljárást, a Newton-Raphson módszert, és egy Curt McMullen által módosított módszert használ. A különböz gyökhöz konvergáló pontokat különböz színnel színezi. A.. Elemzés A program során lehet ségünk van beállítani kezd pontokat és a maximális iterációs számot is (ha ezt a számot meghaladja az iteráció, ekkor az adott pontokat feketére színezi a program). A kapott adatokat egy mátrixban tároljuk melynek els oszlopában a pontok, második oszlopában pedig a pontokhoz tartozó gyökök találhatóak. A hatalmas memória igény miatt ezt a tömböt egy fájlba írjuk. Az iterációs lépést, a fájlba való kiírást, az onnan való beolvasást és képerny re való megfelel kirajzolást különböz alprogramok segítségével hajtjuk végre. 9

30 A.3. Input paraméterek 3 A.3. Input paraméterek A program futatásához az alábbi input paraméterekre van szükségünk: a3 - polinom együtthatója (szokásos jelölés) [komplex] a - polinom együtthatója [komplex] a - polinom együtthatója [komplex] a - polinom együtthatója [komplex] x - kezd pont(ok) [komplex vektor] maxit - maximális iteráció szám [pozitív egész]. Ha ennyi lépés alatt nem találja meg a gyököt akkor a program feketével színezi az adott pontokat. meth - használni kivánt módszer neve [karakterlánc] - értéke ['newton' 'mcmullen'] marker size (opcionális) - ábrázolás során használt pontok mérete [pozitív egész]. Alapértelmezett érték: len (opcionális) - az adatok tárolására használt fájl neve [karakterlánc]. Alapértelmezett érték: 'tempdata.txt' A.4. Implementáció A NewMeth.m f program feladata az input paraméterek ellen rzése és további alprogramok futtatása. A f programban található alprogramok: make title - az adatokat tartalmazó fájl fejlécének elkészítése input paraméterek: K - polinom együtthatóit tartalmazó vektor [komplex vektor] sum - eddig vizsgált kezd pontok száma [nem negatív egész]

31 A.4. Implementáció 3 len - adatokat tartalmazó fájl neve [karakterlánc] newton.m - az iterációs lépést végrehajtó alprogram input paraméterek: a3 - polinom együtthatója (szokásos jelölés) [komplex] a - polinom együtthatója [komplex] a - polinom együtthatója [komplex] a - polinom együtthatója [komplex] x - kezd pont(ok) [komplex vektor] k - kezd pont száma [pozitív egész] x - kezd pontokat tartalmazó vektor [komplex vektor] maxit - maximális iteráció szám [pozitív egész] meth - használni kivánt módszer neve [karakterlánc] - értéke ['newton' 'mcmullen'] output paraméterek: A - pontokat tartalmazó vektor [komplex vektor] kon - konvergál-e az adott kezd pontból [ nem tudjuk; igen; nem] roots.m - az input paraméterek: A - pontokat tartalmazó vektor [komplex vektor] kon - konvergál-e az adott kezd pontból [ nem tudjuk; igen; nem] V - eddig megtalált különböz gyököket tartalmazó vektor [komplex vektor] output paraméter: V - eddig megtalált különböz gyököket tartalmazó vektor [komplex vektor]

32 A.4. Implementáció 3 writting to file.m - adatok kiírása egy fájlba input paraméterek: A - pontokat tartalmazó vektor [komplex vektor] V - eddig megtalált különböz gyököket tartalmazó vektor [komplex vektor] sum - eddig vizsgált kezd pontok száma [nem negatív egész] kon - konvergál-e az adott kezd pontból [ nem tudjuk; igen; nem] d - fájl azonosítója plotting the datas.m - kapott pontok kirajzolása a komplex számsíkon a megfelel módon input paraméterek: len - adatokat tartalmazó fájl neve [karakterlánc] marker size - ábrázolás során használt pontok mérete [pozitív egész] A.4.. További alprogram További alprogram a testarea.m, amely program egy téglalap alakú területen, adott távolságokként lév pontokat helyezi el egy vektorban. Ezek a pontok lesznek az iteráció során használt kezd pontok. testarea.m - kezd pontok elkészítése input paraméterek: xmin - x tengelyen vett baloldali végpont [pozitív valós] xmax - x tengelyen vett jobboldali végpont [pozitív valós] ymin - y tengelyen vett baloldali végpont [pozitív valós] ymax - y tengelyen vett jobboldali végpont [pozitív valós] l - egységnyi intervallumon lév pontok száma [pozitív egész] output paraméter: A - kezd pontok [komplex vektor]

33 A.5. Absztrakt program 33 A.5. Absztrakt program A program lényegi algoritmusa az iterációs lépést végrehajtó program ( newton.m). Ezen program struktogramját ábrázolja a A.. ábra.

34 A.5. Absztrakt program 34 A.. ábra. newton.m alprogram struktogramja

35 Irodalomjegyzék [] McMullen, Curt Families of Rational Maps and Iterative Root-Finding Algorithms, Annals of Mathematics 5 (987), [] Gilbert, William J. Generalizations of Newton's method, Fractals, Vol 9., No. 3 (),

Többérték függvények gyökkeresése

Többérték függvények gyökkeresése Eötvös Lóránd Tudomány Egyetem Természettudományi Kar Gremsperger Dávid Többérték függvények gyökkeresése BSc Alkalmazott matematikus szakdolgozat Témavezet : Sigray István Analízis Tanszék 2017. május

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim. Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi

Gyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris

Részletesebben

Numerikus matematika

Numerikus matematika Numerikus matematika Baran Ágnes Gyakorlat Nemlineáris egyenletek Baran Ágnes Numerikus matematika 9.10. Gyakorlat 1 / 14 Feladatok (1) Mutassa meg, hogy az 3x 3 12x + 4 = 0 egyenletnek van gyöke a [0,

Részletesebben

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése 2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás

Részletesebben

A Newton-Raphson iteráció kezdeti értéktől való érzékenysége

A Newton-Raphson iteráció kezdeti értéktől való érzékenysége Szénási Eszter SZTE TTIK Matematika BSc, Numerikus matematika projekt 2015. november 30. A Newton-Raphson iteráció kezdeti értéktől való érzékenysége Medencék (attraktorok) színezése 2 Newton_project-szenasi.nb

Részletesebben

Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4

Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4 Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 204/5. I. félév, A. csoport. Feladat. (6p) Alkalmas módon választva egy Givens-forgatást, határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását! Oldjuk meg ennek

Részletesebben

Numerikus módszerek beugró kérdések

Numerikus módszerek beugró kérdések 1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet   nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26 Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÉZI CSABA GÁBOR 5. Taylor-polinom 5.. Feladat. Írjuk fel az f(x) = e x függvény x 0 = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki e közelítő értékét!

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

Konjugált gradiens módszer

Konjugált gradiens módszer Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/ Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és

Részletesebben

Julia halmazok, Mandelbrot halmaz

Julia halmazok, Mandelbrot halmaz 2011. október 21. Tartalom 1 Julia halmazokról általánosan 2 Mandelbrot halmaz 3 Kvadratikus függvények Julia halmazai Pár deníció Legyen f egy legalább másodfokú komplex polinom. Ha f (ω) = ω, akkor ω

Részletesebben

Numerikus integrálás

Numerikus integrálás Közelítő és szimbolikus számítások 11. gyakorlat Numerikus integrálás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Határozatlan integrál

Részletesebben

Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén

Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Differenciálegyenletek numerikus megoldása a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens

Részletesebben

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim. Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5

Részletesebben

Gauss-Seidel iteráció

Gauss-Seidel iteráció Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása április 15.

Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása április 15. Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása 2014. április 15. Nemlineáris egyenletrendszerek Az egyenletrendszer a következő formában adott: f i (x 1, x 2,..., x M ) = 0 i = 1...N az f i függvények az x j

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Numerikus matematika. Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, Lebegőpontos számok

Numerikus matematika. Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, Lebegőpontos számok Numerikus matematika Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, 2007 Lebegőpontos számok Normák, kondíciószámok Lineáris egyenletrendszerek Legkisebb négyzetes

Részletesebben

Érdekes informatika feladatok

Érdekes informatika feladatok A keres,kkel és adatbázissal ellátott lengyel honlap számos díjat kapott: Spirit of Delphi '98, Delphi Community Award, Poland on the Internet, Golden Bagel Award stb. Az itt megtalálható komponenseket

Részletesebben

Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.

Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú

Részletesebben

Numerikus matematika vizsga

Numerikus matematika vizsga 1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben

A figurális számokról (III.)

A figurális számokról (III.) A figurális számokról (III.) Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Az el részekben megismerkedhettünk a gnómonszámokkal is, amelyek a következ alakúak voltak: Ezeknek általános alakjuk Gn. Ezután megismerkedtünk

Részletesebben

Numerikus matematika

Numerikus matematika Numerikus matematika Baran Ágnes Gyakorlat Numerikus integrálás Matlab-bal Baran Ágnes Numerikus matematika 8. Gyakorlat 1 / 20 Anoním függvények, function handle Függvényeket definiálhatunk parancssorban

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2017/2018-as tanév 2. forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2017/2018-as tanév 2. forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 017/018-as tanév. forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Egy tanár kijavította egy 1 f s csoport dolgozatait.

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

1 Lebegőpontos számábrázolás

1 Lebegőpontos számábrázolás Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs

Részletesebben

A PiFast program használata. Nagy Lajos

A PiFast program használata. Nagy Lajos A PiFast program használata Nagy Lajos Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Bináris kimenet létrehozása. 3 2.1. Beépített konstans esete.............................. 3 2.2. Felhasználói konstans esete............................

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)

Részletesebben

Lineáris algebra numerikus módszerei

Lineáris algebra numerikus módszerei Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y

Részletesebben

3. előadás Stabilitás

3. előadás Stabilitás Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

MATLAB. 5. gyakorlat. Polinomok, deriválás, integrálás

MATLAB. 5. gyakorlat. Polinomok, deriválás, integrálás MATLAB 5. gyakorlat Polinomok, deriválás, integrálás Menetrend Kis ZH Polinomok Numerikus deriválás Numerikus integrálás (+ anonim függvények) pdf Kis ZH Polinomok Sok függvény és valós folyamat leírható

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)

1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás) Matematika A gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok 016/17 ősz 1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása megoldás) 1. Tekintsük azt az L : R R lineáris leképezést ami az 1 0) vektort az 1 0 )

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Megoldások 9. osztály

Megoldások 9. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege

Részletesebben

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja! Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)

Részletesebben

Maple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai

Maple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai Maple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai Bevezető Tudjuk, hogy a Maple könnyűszerrel képes végrehajtani a szimbólikus matematikai számításokat, ezért a Maple egy ideális program differenciál-

Részletesebben

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett! nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési

Részletesebben

Hatványsorok, Fourier sorok

Hatványsorok, Fourier sorok a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés

Részletesebben

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba 11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

ACM Snake. Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele

ACM Snake. Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele ACM Snake Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele ACM Snake (ismétlés) A szegmentáló kontúr egy paraméteres görbe: x Zs s X s, Y s,, s A szegmentáció energia funkcionál minimalizálása: E x Eint x

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 1 / 18 Fokozatos

Részletesebben

λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)

λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j) Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.

Részletesebben

A MATLAB alapjai. Kezdő lépések. Változók. Aktuális mappa Parancs ablak. Előzmények. Részei. Atomerőművek üzemtana

A MATLAB alapjai. Kezdő lépések. Változók. Aktuális mappa Parancs ablak. Előzmények. Részei. Atomerőművek üzemtana A MATLAB alapjai Kezdő lépések - Matlab Promt: >> - Help: >> help sqrt >> doc sqrt - Kilépés: >> quit >> exit >> Futó script leállítása: >> ctrl+c - Változók listásása >> who >> whos - Változók törlése

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.

Részletesebben

alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha ,, és. ( : mantissza, : mantissza hossza, : karakterisztika) Jelölés: Gépi számhalmaz:

alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha ,, és. ( : mantissza, : mantissza hossza, : karakterisztika) Jelölés: Gépi számhalmaz: 1. A lebegőpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegőpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl)

Részletesebben

1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása

1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................

Részletesebben

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. Tantárgy kódja: IP-08bNM1E, IP-08bNM1G (2+2) Az elsajátítandó ismeretanyag rövid leírása: A lebegıpontos számábrázolás egy modellje. A hibaszámítás elemei. Lineáris egyenletrendszerek

Részletesebben

Algoritmusok és adatszerkezetek 2.

Algoritmusok és adatszerkezetek 2. Algoritmusok és adatszerkezetek 2. Varga Balázs gyakorlata alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. gyakorlat Nyílt címzéses hash-elés A nyílt címzésű hash táblákban a láncolással ellentétben egy indexen

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők

Részletesebben

rank(a) == rank([a b])

rank(a) == rank([a b]) Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása a Matlabban Lineáris algebrai egyenletrendszerek a Matlabban igen egyszer en oldhatók meg. Legyen A az egyenletrendszer m-szer n-es együtthatómátrixa, és

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Matematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei

Matematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei Matematika A1 9. feladatsor A derivált alkalmazásai Függvény széls értékei 1. Keressük meg a függvények abszolút maximumát és minimumát a megadott intervallumon. Ezután rajzoljuk fel a függvény grakonját.

Részletesebben

Programozási segédlet

Programozási segédlet Programozási segédlet Programozási tételek Az alábbiakban leírtam néhány alap algoritmust, amit ismernie kell annak, aki programozásra adja a fejét. A lista korántsem teljes, ám ennyi elég kell legyen

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT I. rész: Az alábbi 4 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egy idegen nyelvekkel kapcsolatos online kérdőívet hetven SG-s töltött ki. Tudja, hogy minden

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y

Részletesebben