1. Probléma és megoldás

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Probléma és megoldás"

Átírás

1 A ház probléma Szalay László laszalay Matematikai és Statisztikai Intézet NYME KTK Sopron története Page 1 of 48

2 1. története Page 2 of 48

3 A fejtör [1] Egy szórakozott matematikaprofesszor elindult, hogy meglátogassa egy volt tanítványát. Mikor az utca elejére ért rájött, hogy elfelejtette a tanítvány házszámát. Ebben az utcában csak az egyik oldalon voltak házak, számozásuk 1-gyel kezd dött és egyesével növekedett. A professzor emlékezett rá, hogy legalább 200 és legfeljebb 500 ház van az utcában. Továbbá arra is, hogy tanítványa háza az utca numerikus középpontjában áll, azaz a házszámoknak az utca elejét l a házig vett összege megegyezik a háztól az utca végéig vett házszámok összegével. Rövid gondolkodás után a professzor rájött, hogy hova kell mennie. Meg tudjuk-e mi is határozni a kérdéses házszámot? története Page 3 of 48

4 A matematikai modell } {{ } } {{ } (1) (a 1) + a = a + (a + 1) (b 1) + b a(a + 1) 2 = b(b + 1) 2 (a 1)a 2 története Page 4 of 48 (2b + 1) 2 2(2a) 2 = 1 B 2 2A 2 = 1 (B = 2b + 1, A = 2a)

5 A B 2 2A 2 = 1 egyenlet ( B + A )( 2 B A ) 2 = 1 ( B + A ) k ( 2 B A k 2) = 1 ) (B k + A k 2 )(B k A k 2 = 1 története Page 5 of 48

6 A B 2 2A 2 = 1 egyenlet ( B + A )( 2 B A ) 2 = 1 ( B + A ) k ( 2 B A k 2) = 1 ) (B k + A k 2 )(B k A k 2 Triviális megoldás: (B,A) = (1,0) Egy nemtriviális megoldás: (B,A) = (3,2) Végtelen sok megoldás: = 1 ) ( (B k + A k 2 = k 2) (2) története Page 6 of 48

7 (2) (2) k B k A k b k a k a k története Page 7 of 48

8 ) ( (B k + A k 2 = ) k )( 2 = (B k 1 + A k ) 2 B k = 3B k 1 + 4A k 1 (3) A k = 2B k 1 + 3A k 1 B k = 6B k 1 B k 2 B 0 = 1, B 1 = 3 A k = 6A k 1 A k 2 A 0 = 0, A 1 = 2 története Page 8 of 48

9 b k = 6b k 1 b k b 0 = 0, b 1 = 1 b k = a k = a k = 6a k 1 a k 2 a 0 = 0, a 1 = 1 ( ) k ( ) k ( ) k ( k 2) ( ) k ( ) k KÉRDÉS: Van-e a fentieken kívül más pozitív megoldása a B 2 2A 2 = 1 egyenletnek? története Page 9 of 48

10 2. Vizsgáljuk általánosan az x 2 Dy 2 = 1 (4) ún. Pell-egyenletet az x és y egész ismeretlenekben, ahol D pozitív és nem négyzetszám. MEGJEGYZÉS: ˆ Elég a nemnegatív x és y egész megoldásokat tekinteni. ˆ Ha D nem négyzetszám, vagy D 0 akkor véges sok megoldás van. története Page 10 of 48

11 F eredmény TÉTEL(Lagrange, Legendre...):A(4)egyenletnek végtelen sok pozitív egész megoldása van. Minden (x, y) pozitív megoldás a legkisebb pozitív (x 1,y 1 ) megoldásból származtatható valamely k N segítségével az alábbi módon: x + y ( ) k D = x 1 + y 1 D. (5) KÉRDÉS: Hogyan lehet meghatározni a minimális megoldást? Vannak-e "jó" algoritmusok? története Page 11 of 48

12 1. "Brute force" algoritmus TÉTEL(Ginatempo, 1969[5]):Legyen d = [ D ]. Az x 2 Dy 2 = 1 minimális (x 1,y 1 ) megoldására teljesül hogy y 1 2(d + 1) ( 2 3 d + 1 ) 2d x 1 (d + 1)x 1 (6) Probléma: A korlátok nagyon nagyok. Pl. D = 61: y , x A tényleges alapmegoldás: = 1. története Page 12 of 48

13 2. Lánctörtekkel segítségével ( x + y )( D x y ) D = 1 } {{ }} {{ } NAGY kicsi ( x y D ) 0 = x y D, azaz: D egy "jó" racionális közelítésére volna szükség. Ezt lehet elérni lánctörtekkel! története Page 13 of 48

14 Általánosan: a R +, a = [a] + {a}, ahol 0 {a} < 1. Ha a N = {a} = 0 és ekkor a 1 = 1 {a} a = [a] + 1 a 1, a 1 > 1 Ha a 1 N = {a 1 } = 0 és ekkor a 2 = 1 {a 1 } 1 a = [a] + [a 1 ] + 1, a 2 > 1 a 2 története Page 14 of 48

15 α 0 = [a] és α i = [a i ] (i = 1,2,...) 1 a = [a]+ 1 [a 1 ] + 1 [a 2 ] + [a 3 ] = α α α 2 + α a = [α 0 ;α 1,α 2,α 3,...] Pl. 2 = 1, , lánctört alakja: 2 = [1;2,2,2,...] = [1;2],... története Page 15 of 48 mivel 2 =

16 1 = 1 1 < = 3 2 = 1.5 > = 7 5 = 1.4 < 2 2 története Page 16a of = = > 2

17 = < 2 története Page 16b of = < = 2

18 TÉTEL: ˆ a R + lánctört alakja véges a Q; ˆ a R + lánctört alakja végtelen és periodikus a Q, a Q[ D]. ˆ ; = [1;2,7,1,2] = [1;1,1,1,...] = [1;1] ˆ 2 = [1;2,2,2,2,...] = [1;2] ; 7 = [2;1,1,1,4] ˆ 3 2 = [1;3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,1,10,2,1,4,12,...] ˆ e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1, 1,8,1, 1,10,1,...] ˆ π = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,...] ˆ tg1 = [1; 1,1, 3,1, 5,1, 7,1, 9,1, 11,1,...] története Page 17 of 48

19 Táblázat a minimális megoldásokról D x 0 y 0 D x 0 y 0 D x 0 y története Page 18 of 48

20 Táblázat a minimális megoldásokról (folytatás) D x 0 y 0 D x 0 y története Page 19 of 48

21 D x 0 / y története Page 20 of 48

22 3. története Arkhimédesz (i.e. 287?-212) tört... Page 21 of 48 Ókori mozaik másolata, Städtelsches Kunstinstitut, Frankfurt a.m.

23 Problema bovinum Arkhimédesz a Problema bovinumot az Alexandriában él Eratoszthenésznek ajánlotta egyik levelében. Ponori Thewrewk Emil Görög Anthólogiabeli Epigrammák cím összeállítása számos matematikai jelleg epigrammát tartalmaz. Baumgartner Alajos f gimnáziumi tanár (Állami Verb czy István Reálgimnázium) ebb l válogatott és ezt pótolta ki saját, illetve mások által lefordított epigrammákkal. Baumgartner egy egész matematikatörténeti sorozatot publikált a Középiskolai Mathematikai és Physikai Lapokban három részben. tört... Page 22 of 48

24 tört... Page 23 of 48

25 "Számítsd ki, barátom, a Nap tulkai számát; Buzgón keressed, hogy bölcsnek hívhassalak, Számítsd ki, hogy mennyi legelt a mez kön, Trinákia szép szigetének gazdag legel in. Négy nyáj vala együtt, más-más szín mindenik, Tejszín az egyik, másik színe fekete, És barna a harmadik, tarka a negyedik nyáj. Mindegyik nyájban több vala a bika, S így oszlottak meg szépen arányosan, Fehér bika annyi volt, mint a feketék fele És harmada s hozzá még valamennyi barna; Fekete annyi, mint a tarkák negyede S ötöde s hozzá még valamennyi barna; És tarka annyi, mint a fehérek hatoda S hetede s hozzá még valamennyi barna..." tört... Page 24 of 48

26 tört... Page 25 of 48 i.e. 6 századi váza, Cerveteri, Musée du Louvre, Párizs

27 Problema bovinum "A fehér bikák száma (w) a fekete bikák számának (b) felével meg egyharmadával volt több, mint a barna bikáké (y),..." w = ( ) b + y tört... Page 26a of 48

28 Problema bovinum "...afeketékéatarkabikákszámának (d)negyedévelmeg ötödével (volt több, mint a barna bikáké),..." w = ( ) b + y b = ( ) d + y tört... Page 26b of 48

29 Problema bovinum "...atarkáképedigafehérekszámánakegyhatodávalmeg egyhetedével (volt több, mint a barna bikáké)..." w = ( ) b + y b = ( ) d + y d = ( ) w + y tört... Page 26c of 48

30 Problema bovinum "...A fehér tehenek száma (w c ) az összes fekete marhák számának (b +b c ) egyharmada meg egynegyede volt,..." w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y d = ( ) w + y tört... Page 26d of 48

31 Problema bovinum "...afeketetehenekszámaazösszestarkamarhákszámának (d + d c ) egynegyede meg egyötöde,..." w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y bc = ( ) (d + dc ) d = ( ) w + y tört... Page 26e of 48

32 Problema bovinum "...atarkatehenekszámaazösszesbarnamarhákszámának (d + d c ) egyötöde meg egyhatoda,..." w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y bc = ( ) (d + dc ) d = ( ) w + y dc = ( ) (y + yc ) tört... Page 26f of 48

33 Problema bovinum "... a barna tehenek száma az összes fehér marha számának egyhatoda meg egyhetede..." w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y bc = ( ) (d + dc ) d = ( ) w + y dc = ( ) (y + yc ) y c = ( ) (w + wc ) tört... Page 26g of 48

34 Problema bovinum Folytatás: "... A fehér és fekete bikák sorai és oszlopai ellepik Trinákia mezejét ugyanakkora mélységben és szélességben,..." w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y bc = ( ) (d + dc ) d = ( ) w + y dc = ( ) (y + yc ) y c = ( ) (w + wc ) w + b = tört... Page 26h of 48

35 Problema bovinum Folytatás: "...mígatarkaésbarnabikáksokaságaháromszög alakzatot formál, az els sorban egy bikával, a másodikban kett vel, s hasonlóan továbbmenve." w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y bc = ( ) (d + dc ) d = ( ) w + y dc = ( ) (y + yc ) y c = ( ) (w + wc ) w + b = d + y = (7) tört... Page 26i of 48

36 w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y bc = ( ) (d + dc ) d = ( ) w + y dc = ( ) (y + yc ) y c = ( ) (w + wc ) lineáris egyenletrendszer megoldása: d c szabad paraméter, w = d c b = d c y = d c d = d c w c = d c b c = d c y c = d c lkkt(nevezők) = = d c = t tört... Page 27 of 48

37 t N w = t b = t y = t d = t w c = t b c = t y c = t d c = t Tehát összesen t Trinákia mezején. (8) bika és tehén legelészik tört... Page 28 of 48

38 Végül a (7) feltételekb l: (b+1)b a 2 = w + b = t = 2 2 α { }} { t 2 = d + y = t = 7 } 353 {{ 4657 } t β a 2 = 2 2 α t = t = α K 2 (2b + 1) } {{ } 2 = 8 β t + 1 = 8 β α K L L K 2 = 1 tört... Page 29 of 48

39 L K 2 = 1 ˆ Meyer (1867) lánctörtekkel: 240 lépés, ( kellett volna) ˆ Amthor (1880) l } {{ } k 2 = 1, ahol δ l = L, k = K. l 1 + k 1 δ = δ = = ( ) 2 tört... Page 30 of 48

40 Állítás: Ha x 2 Dy 2 = 1 akkor x + y ( ) 2 x 1 x + 1 D = Ezután megkereste azt a legkisebb megoldást, melyre k. Oszthatósági megfontolások után ( l 1 + k 1 δ ) 2329 = L1 + K Logaritmus segítségével becsülte a kapott eredmények nagyságát. tört... Page 31 of 48

41 ˆ Lenstra (2002) [7] hatványszorzatokkal dolgozott. Végeredmény: t i = ( (l 1 + k 1 δ) 4658i 1 (l 1 +k 1 δ) 4568i ) (i = 1,2,...) A végeredmény az összes marhák számát (8) illet en 47 oldal számítógépes nyomtatásban, 12 oldal s rítve a [11] dolgozatban. A legkisebb: 7, tört... Page 32 of 48

42 1. Arkhimédesz (i.e ) Problema bovinum. 2. Brahmagupta ( ) Felfedezte a "kompozíciós módszert", ha (a,b) és (c,d) megoldása az x 2 Dy 2 = 1 egyenletnek, akkor (ac + Dbd,ad + bc) is. Ugyanis 1 1 { }} { { }} { ( a 2 Db 2 ) ( c 2 Dd 2 ) = (ac + Dbd) 2 D(ad + bc) 2 } {{ } 1 Tehát (a,b) és (a,b) (a 2 + Db 2,2ab) (a,b)és (a 2 +Db 2,2ab) (a 3 +3Dab 2,3a 2 b+db 3 ),stb. Például x 2 83y 2 = 1eseténegymegoldás: (x,y) = (82,9), amib l kompozícióval (82,9) (13447,1476) ( ,242055)... tört... Page 33 of 48

43 3. Bhaskara ( ) Továbbfejlesztette Brahmagupta módszerét, úgy hogy x 2 Dy 2 = 1 egy megoldását el állító algoritmust készített az (a, b) párból, ha a 2 Db kicsi. Pl. megoldotta 2 x 2 61y 2 = 1 egyenletet is. MEGJEGYZÉS: Az indiai matematikusok által használt módszerek teljesen ismeretlenek voltak az európai matematikusok el tt az 1600-as években. 4. Fermat ( ) Az x 2 61y 2 = 1 és hasonló egyenletek megoldásának meghatározására "kalandra hívja" az angolszász, németalföldi és francia matematikusokat. Többen is elkezdtek dolgozni a problémán, leveleztek. tört... Page 34 of 48

44 5. Frenicle de Bessy ( ) D 150-ig táblázatba gy jötte a megoldásokat, de sosem publikálta. 6. Brouncker ( ) Lényegében a lánctörtek módszerét fedezte fel. Megoldotta pl. az x 2 313y 2 = 1 egyenletet Frenicle de Bessy kérésére. Saját bevallása szerint egy-két órát dolgozott az (x 1,y 1 ) = ( , ) megoldáson. 7. Wallis ( ) 1658-ban publikálta az egymás közötti levelezéseket az évekb l. Brahmagupta módszerét igazolta. tört... Page 35 of 48

45 8. Pell ( ) Rahn ( ) könyvében megjelenik az egyenlet, állítólag Pell segítségével írta. Ez az egyetlen ismert kapcsolat Pell és egyenlete között. (Számelméletben dolgozott, pl. megjelentetett egy táblázatot ig a természetes számok prímfaktorairól, könyveket írt egyet a π-r l ) MEGJEGYZÉS: Akkoriban azt állították (pl. Fermat is), hogybármely D eseténvanmegoldás,deigazolninem tudták. 9. Euler ( ) A lánctört módszer elméleti alapját adta, amit kés bb Lagrange nomított. Ž nevezte el az egyenletet hibásan Pell-egyenletnek, mert összekeverte Brouncker-rel. 10. Lagrange ( ) Bizonyította, hogy bármely szóbajöhet D-re végtelen sok megoldás van. Módszere D lánctörtbe fejtését használja. (1) tört... Page 36 of 48

46 4. A (k, l)-balansz számok DEFINÍCIÓ: Legyen k és l két rögzített pozitív egész. Az x számot l)-hatvány numerikus középpontnak, vagy (k,l)-balansz számnak hívjuk ha létezik z N, hogy 1 k (x 1) k = (x + 1) l (z 1) l. (9) Legyen S k (x) = 1 k (x 1), ekkor (9) ekvivalens az alábbi formával: k Pl. S 1 (x) = S k (x) + S l (x + 1) = S l (z). (x 1)x 2, S 2 (x) = (x 1)x(2x 1) 6 története Page 37 of 48

47 k = l = 1 = Ház probléma, Balansz számok Behera és Panda [2] x n+1 x n 1 = (x n + 1)(x n 1), x 2n = x 2 n x 2 n 1, x 2n+1 = x n (x n+1 x n 1 ). Liptai [8] Egyetlen balansz szám sem tagja a Fibonacci sorozatnak. története Page 38 of 48

48 k = l = (x 1) 2 = (x + 1) (z 1) 2 Finkelstein [4] Nincs második hatványú numerikus középpont. x(x + 1)(2x + 1) 6 következménye = z(z + 1)(2z + 1) 6 X 3 + 2Y 3 = 1, 3, 11, 33. Ennek megoldásai csak: x(x 1)(2x 1) 6 (X,Y ) = ( 1,1), (1,1), ( 5,4), (3, 2). története Page 39 of 48

49 k = l = (x 1) 3 = (x + 1) (z 1) 3 Steiner [12] Nincs köbös numerikus középpont. Közvetlen alkalmazása Ljunggren [9] és Cassel [3] munkáinak. Olyan háromszögszámokat kell keresni, melyek négyzete szintén háromszögszám. Pl. ( k = l = 4, 5 k = l = 4 : ) 2 = ; ( ) 2 = X 5 10X 3 + 7X = 6Y Y 3 16Y Ingram [6] Nincs numerikus középpont. k = l = 4 : X 3 5X 2 + 7X 3 = 2Y Y 2 16Y története Page 40 of 48

50 Általános eredmények 1 k (x 1) k = (x + 1) l (z 1) l TÉTEL [10]: Rögzített k > 1 esetén véges sok olyan pozitív egész l és z van, melyekre x egy (k,l)-balansz szám. Amennyiben k < l akkor nem létezik (k, l)- balansz szám. TÉTEL [10]: Ha k rögzített, l {1,3} és (k,l) (1,1) akkor véges sok (k,l)-balansz szám létezik és ezek eektíve meghatározhatók. története Page 41 of 48

51 1 k +...+(x 1) k = (x+1) l +...+(z 1) l, (2 x z 2) k\l x n+2 = 6x n+1 x n z n+2 = 6z n+1 z n 2 2 (x, z) = (5, 10), (13, 39), (36, 177) no 3 (x,z) = (3,6), (8,41), (10, 65) sejtés no. 7 no. 15 no. története Page 42 of 48

52 Pl. (k,l) = (7,1) 4z 2 4z + 1 = x 8 4x x6 7 3 x x2 + 4x + 1 X = 3x, Z = 3 4 (2z 1) Z 2 = X 8 12X X 6 189X X 43 ([13]) +3042X X SEJTÉS: (k, l)-balansz szám csak l = 1 esetén létezik. története Page 43 of 48

53 További általánosítási lehet ségek ˆ x k és x l helyett rendre P(x) és Q(x) polinomok. x 1 i=0 P(i) = ˆ eggyel több változó bevezetése Pl. Pl. z 1 Q( j) j=x (x 1) = y (z 1) (2x 1) 2 + (2y 1) 2 = (2z 1) (x 1) 3 = y (z 1) 3 2 x + 2 y = 2 z története Page 44 of 48

54 = története Page 45 of 48

55 = Köszönöm! története Page 46 of 48

56 References [1] Adams, J. P., Puzzles for Everybody, Avon Publications, New York, 1955, [2] Behera, A. Panda, G., On the square roots of triangular numbers, Fibonacci Quart., 37 (1999), [3] Cassels, J. W., Integral points on certain elliptic curves, Proc. London Math. Soc., 3 (1965), [4] Finkelstein, R., The house problem, Am. Math. Monthly, 72 (1965), [5] Ginatempo, N, Il mettodo dei tentativi per la risoluzione della equazione di Pell-Fermat, Inst. Mat. Univ. Messina, Pubblicazione No.1. (1969). 12 [6] Ingram, P., On kth-power numerical centres, Comptes Rendus Math. Acad. Sci, 27 (2005), [7] Lenstra, H., Solving Pell equations, Notices of the AMS, 49 (2002), története Page 47 of 48

57 [8] Liptai, K., Fibonacci balancing numbers, Fibonacci Quart., 42 (2004), [9] Ljunggren, W., Solution compléte de quelques équations du sixiéme degré á deux indéterminées, Arch. Math. Naturv., 48 (1946), [10] Liptai, K. - Luca, F. - Pintár, Á. - Szalay, L., Generalized balancing numbers, Indag. Math., (2008?). 41 [11] Nelson, H. L., A solution to Archimedes' cattle problem, J. Recreational Math., 13 ( ), [12] Steiner, R., On kth-power numerical centers, Fibonacci Quart., 16 (1978), [13] Szalay, L., Superelliptic equations of the form y p = x kp + a kp 1 x kp a 0, Bull. Greek Math. Soc., 46, (2002), [14] Szalay, L., On the resolution of simultaneous Pell equations, Annales Math. Inf., (2008?). története Page 48 of 48

A Pell-egyenlet és története

A Pell-egyenlet és története Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar A Pell-egyenlet és története Szakdolgozat Papp Franciska Matematika Bsc., elemz szakirány Témavezet k: Szabó Csaba, Algebra és Számelmélet Tanszék Pongrácz

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A =

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A = Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4

Részletesebben

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i ) 6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

Diophantosz, I.sz. 250 körül. Az alexandriai Diophantosz Aritmetikája. Legismertebb műve

Diophantosz, I.sz. 250 körül. Az alexandriai Diophantosz Aritmetikája. Legismertebb műve Diophantosz, I.sz. 250 körül Az alexandriai Diophantosz Aritmetikája Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. március 11. Életéről egy rejtvény(sír)vers Vén Diophantoszt rejti e kő. Bár ő maga szunnyad,

Részletesebben

í ö í í ú ű í í í ú í ű í Ü ö ö ö ü ö ö ö í ö ö ö ö Ö Á ö ö É ö ö ú ú ö ö ú ö í Á Á ö Ü Ú í ÁÁ ö í ö í í ú ű í ö ö í ú É í ű í ö ö É í í ű í ű í É í í ü ű ü ű í Á Á í ü í ü í ü ö ű ö É ü É ú Á Ó í í í

Részletesebben

Ö ü ö ü Ö Ö ü ú ó ü ö ö Ö ó Ö ö ú ö ó ö ö ó ö ö ö í í ö ö ü ü ö í ü ö ö í ö í ó ü ö ö í ü í ö í ü ú ü ö Ö ü ö ű ó í ó ó ó ö í ü ó ó ó ö ö ó ö í ó ü ó ó ö ö ü ó ö ö ó ó ó ü ü ó ó ö ö ü í ö ű ö ű ö ö ű í

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

A Feldmann ~ Sapiro - elv igazolása

A Feldmann ~ Sapiro - elv igazolása A Feldmann ~ Sapiro - elv igazolása Bevezetés Már középiskolás koromban is érdekelt, hogy mi lehet az a borzasztó nehéz számítás, aminek csak a végeredményét közölték velünk, s amit Feldmann ~ Sapiro -

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 00. május-június MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Vizsgafejlesztő Központ Kedves Kolléga! Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével.

Részletesebben

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről

Részletesebben

LEÁNY MINI BAJNOKSÁG G H I J K L M N O. Dunakanyar1 Dunakanyar2 Szombathely Göd UTE Kalocsa Szeged Vasas1 Gödöllő

LEÁNY MINI BAJNOKSÁG G H I J K L M N O. Dunakanyar1 Dunakanyar2 Szombathely Göd UTE Kalocsa Szeged Vasas1 Gödöllő KIEMELT LEÁNY MINI BAJNOKSÁG A B C D BRSE KESI BEM-Nyírsuli Vasas EKF Eger Nyírsuli-Móricz Gödöllői RC BBRA MTK Dunakanyar UTE Kodolányi Kaposvár KRA Zápor Palota LEÁNY MINI BAJNOKSÁG G H I J K L M N O

Részletesebben

Kártyajátékok és bűvésztrükkök

Kártyajátékok és bűvésztrükkök Szalkai Balázs, Szalkai István : Kártyajátékok és bűvésztrükkök Közismert, hogy nagyon sok bűvésztrükk matematikai alapokon nyugszik, a kártyaés egyéb játékok matematikai elemzéséről nem is szólva. Nem

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Alkalmazott modul: Programozás

Alkalmazott modul: Programozás Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás Feladatgyűjtemény Összeállította: Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto Frissítve: 2015.

Részletesebben

MATEMATIKA A és B variáció

MATEMATIKA A és B variáció MATEMATIKA A és B variáció A Híd 2. programban olyan fiatalok vesznek részt, akik legalább elégséges érdemjegyet kaptak matematikából a hatodik évfolyam végén. Ezzel együtt az adatok azt mutatják, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset A bázistranszformáció nehezített változatában a bázison kívül elhelyezkedő vektorokból amennyit csak lehetséges

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 6.

Matematikai statisztikai elemzések 6. Matematikai statisztikai elemzések 6. Regressziószámítás: kétváltozós lineáris és nemlineáris regresszió, többváltozós regresszió Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 6.: Regressziószámítás:

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta

Részletesebben

TIMSS 2011. Tanári kérdőív Matematika. online. 8. évfolyam. Azonosító címke

TIMSS 2011. Tanári kérdőív Matematika. online. 8. évfolyam. Azonosító címke Azonosító címke TIMSS 2011 Tanári kérdőív Matematika online 8. évfolyam Oktatási Hivatal Közoktatási Mérési és Értékelési Osztály 1054 Budapest, Báthory u. 10. IEA, 2011 Tanári kérdőív Az Önök iskolája

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2.

Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2. 1 Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont Helyi tanterv Matematika készült a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2. alapján 9-12. évfolyam 2 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet!

Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola,. osztály. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! lg(0x ) lg(x + ) = lg () Kikötések: x > 5 és x >. lg(0x ) lg(x + ) = lg () lg 0x (x + ) = lg (3)

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A 23-as szám című misztikus filmben

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

A DERIVE kezelése. 1. A DERIVE ablaka. Amikor elindítod a DERIVE-ot ez az ablak jelenik meg:

A DERIVE kezelése. 1. A DERIVE ablaka. Amikor elindítod a DERIVE-ot ez az ablak jelenik meg: A DERIVE kezelése A számítógépes DERIVE (CAS DERIVE) algebrai rendszer-t gyakran matematikai asszisztens-nek is nevezik. Ez egy hatékony és könnyen használható programcsomag amely bizonyos típusú matematikai

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

IDEGENFORGALMI RÉGIÓBAN. Bevezetés...2. Összefoglalás...2

IDEGENFORGALMI RÉGIÓBAN. Bevezetés...2. Összefoglalás...2 2016. március TURIZMUSGAZDASÁG A BALATON IDEGENFORGALMI RÉGIÓBAN STATISZTIKAI TÜKÖR Tartalom Bevezetés...2 Összefoglalás...2 Az elemzés módszertana...4 1. A balatoni régióban működő turisztikai vállalkozások

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Az apa, az anya és a három lányuk együtt 118 évesek. Az anya 10 évvel idősebb, mint a három lány együtt.

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

Összpontszám: 100 pont Beküldési határ: 40 pont

Összpontszám: 100 pont Beküldési határ: 40 pont A 2004/2005 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatainak megoldása I. (alkalmazói) kategória Kérjük a tisztelt tanár kollégákat, hogy a dolgozatokat az egységes értékelés

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Szakdolgozat Írta: Balogh Teréz Biztosítási és

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

Az a n + b n = z 3 diofantoszi egyenletről

Az a n + b n = z 3 diofantoszi egyenletről Az a n + b n = z 3 diofantoszi egyenletről Maurice Mignotte (Strasbourg) és Pethő Attila (Debrecen) Abstract Let a, b, n, z be natural numbers for which the equation a n + b n = z 3 holds. We proved that

Részletesebben

A sorozatok az egyetemen és a középiskolákban

A sorozatok az egyetemen és a középiskolákban A sorozatok az egyetemen és a középiskolákban Szakdolgozat Készítette: Piliszky András Matematika BSc, Matematika tanári szakirány Témavezető: Munkácsy Katalin, főiskolai docens ELTE TTK, Matematikatanítási

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT I. rész: Az alábbi 4 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egy idegen nyelvekkel kapcsolatos online kérdőívet hetven SG-s töltött ki. Tudja, hogy minden

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

GYŐR-MOSON-SOPRON MEGYEI KORMÁNYHIVATAL. Határozat

GYŐR-MOSON-SOPRON MEGYEI KORMÁNYHIVATAL. Határozat GYŐR-MOSON-SOPRON MEGYEI KORMÁNYHIVATAL Iktatószám: 7254-20/2015. Hiv. szám: Tárgy: Ügyintéző: dr. Tatár Beatrix Margit Sovánné Nagy Gréte Melléklet: Csorna, E.ON Zrt., M85-M86 autóút 26+700 km szelvényben

Részletesebben