1. Probléma és megoldás

Átírás

1 A ház probléma Szalay László laszalay Matematikai és Statisztikai Intézet NYME KTK Sopron története Page 1 of 48

2 1. története Page 2 of 48

3 A fejtör [1] Egy szórakozott matematikaprofesszor elindult, hogy meglátogassa egy volt tanítványát. Mikor az utca elejére ért rájött, hogy elfelejtette a tanítvány házszámát. Ebben az utcában csak az egyik oldalon voltak házak, számozásuk 1-gyel kezd dött és egyesével növekedett. A professzor emlékezett rá, hogy legalább 200 és legfeljebb 500 ház van az utcában. Továbbá arra is, hogy tanítványa háza az utca numerikus középpontjában áll, azaz a házszámoknak az utca elejét l a házig vett összege megegyezik a háztól az utca végéig vett házszámok összegével. Rövid gondolkodás után a professzor rájött, hogy hova kell mennie. Meg tudjuk-e mi is határozni a kérdéses házszámot? története Page 3 of 48

4 A matematikai modell } {{ } } {{ } (1) (a 1) + a = a + (a + 1) (b 1) + b a(a + 1) 2 = b(b + 1) 2 (a 1)a 2 története Page 4 of 48 (2b + 1) 2 2(2a) 2 = 1 B 2 2A 2 = 1 (B = 2b + 1, A = 2a)

5 A B 2 2A 2 = 1 egyenlet ( B + A )( 2 B A ) 2 = 1 ( B + A ) k ( 2 B A k 2) = 1 ) (B k + A k 2 )(B k A k 2 = 1 története Page 5 of 48

6 A B 2 2A 2 = 1 egyenlet ( B + A )( 2 B A ) 2 = 1 ( B + A ) k ( 2 B A k 2) = 1 ) (B k + A k 2 )(B k A k 2 Triviális megoldás: (B,A) = (1,0) Egy nemtriviális megoldás: (B,A) = (3,2) Végtelen sok megoldás: = 1 ) ( (B k + A k 2 = k 2) (2) története Page 6 of 48

7 (2) (2) k B k A k b k a k a k története Page 7 of 48

8 ) ( (B k + A k 2 = ) k )( 2 = (B k 1 + A k ) 2 B k = 3B k 1 + 4A k 1 (3) A k = 2B k 1 + 3A k 1 B k = 6B k 1 B k 2 B 0 = 1, B 1 = 3 A k = 6A k 1 A k 2 A 0 = 0, A 1 = 2 története Page 8 of 48

9 b k = 6b k 1 b k b 0 = 0, b 1 = 1 b k = a k = a k = 6a k 1 a k 2 a 0 = 0, a 1 = 1 ( ) k ( ) k ( ) k ( k 2) ( ) k ( ) k KÉRDÉS: Van-e a fentieken kívül más pozitív megoldása a B 2 2A 2 = 1 egyenletnek? története Page 9 of 48

10 2. Vizsgáljuk általánosan az x 2 Dy 2 = 1 (4) ún. Pell-egyenletet az x és y egész ismeretlenekben, ahol D pozitív és nem négyzetszám. MEGJEGYZÉS: ˆ Elég a nemnegatív x és y egész megoldásokat tekinteni. ˆ Ha D nem négyzetszám, vagy D 0 akkor véges sok megoldás van. története Page 10 of 48

11 F eredmény TÉTEL(Lagrange, Legendre...):A(4)egyenletnek végtelen sok pozitív egész megoldása van. Minden (x, y) pozitív megoldás a legkisebb pozitív (x 1,y 1 ) megoldásból származtatható valamely k N segítségével az alábbi módon: x + y ( ) k D = x 1 + y 1 D. (5) KÉRDÉS: Hogyan lehet meghatározni a minimális megoldást? Vannak-e "jó" algoritmusok? története Page 11 of 48

12 1. "Brute force" algoritmus TÉTEL(Ginatempo, 1969[5]):Legyen d = [ D ]. Az x 2 Dy 2 = 1 minimális (x 1,y 1 ) megoldására teljesül hogy y 1 2(d + 1) ( 2 3 d + 1 ) 2d x 1 (d + 1)x 1 (6) Probléma: A korlátok nagyon nagyok. Pl. D = 61: y , x A tényleges alapmegoldás: = 1. története Page 12 of 48

13 2. Lánctörtekkel segítségével ( x + y )( D x y ) D = 1 } {{ }} {{ } NAGY kicsi ( x y D ) 0 = x y D, azaz: D egy "jó" racionális közelítésére volna szükség. Ezt lehet elérni lánctörtekkel! története Page 13 of 48

14 Általánosan: a R +, a = [a] + {a}, ahol 0 {a} < 1. Ha a N = {a} = 0 és ekkor a 1 = 1 {a} a = [a] + 1 a 1, a 1 > 1 Ha a 1 N = {a 1 } = 0 és ekkor a 2 = 1 {a 1 } 1 a = [a] + [a 1 ] + 1, a 2 > 1 a 2 története Page 14 of 48

15 α 0 = [a] és α i = [a i ] (i = 1,2,...) 1 a = [a]+ 1 [a 1 ] + 1 [a 2 ] + [a 3 ] = α α α 2 + α a = [α 0 ;α 1,α 2,α 3,...] Pl. 2 = 1, , lánctört alakja: 2 = [1;2,2,2,...] = [1;2],... története Page 15 of 48 mivel 2 =

16 1 = 1 1 < = 3 2 = 1.5 > = 7 5 = 1.4 < 2 2 története Page 16a of = = > 2

17 = < 2 története Page 16b of = < = 2

18 TÉTEL: ˆ a R + lánctört alakja véges a Q; ˆ a R + lánctört alakja végtelen és periodikus a Q, a Q[ D]. ˆ ; = [1;2,7,1,2] = [1;1,1,1,...] = [1;1] ˆ 2 = [1;2,2,2,2,...] = [1;2] ; 7 = [2;1,1,1,4] ˆ 3 2 = [1;3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,1,10,2,1,4,12,...] ˆ e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1, 1,8,1, 1,10,1,...] ˆ π = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,...] ˆ tg1 = [1; 1,1, 3,1, 5,1, 7,1, 9,1, 11,1,...] története Page 17 of 48

19 Táblázat a minimális megoldásokról D x 0 y 0 D x 0 y 0 D x 0 y története Page 18 of 48

20 Táblázat a minimális megoldásokról (folytatás) D x 0 y 0 D x 0 y története Page 19 of 48

21 D x 0 / y története Page 20 of 48

22 3. története Arkhimédesz (i.e. 287?-212) tört... Page 21 of 48 Ókori mozaik másolata, Städtelsches Kunstinstitut, Frankfurt a.m.

23 Problema bovinum Arkhimédesz a Problema bovinumot az Alexandriában él Eratoszthenésznek ajánlotta egyik levelében. Ponori Thewrewk Emil Görög Anthólogiabeli Epigrammák cím összeállítása számos matematikai jelleg epigrammát tartalmaz. Baumgartner Alajos f gimnáziumi tanár (Állami Verb czy István Reálgimnázium) ebb l válogatott és ezt pótolta ki saját, illetve mások által lefordított epigrammákkal. Baumgartner egy egész matematikatörténeti sorozatot publikált a Középiskolai Mathematikai és Physikai Lapokban három részben. tört... Page 22 of 48

24 tört... Page 23 of 48

25 "Számítsd ki, barátom, a Nap tulkai számát; Buzgón keressed, hogy bölcsnek hívhassalak, Számítsd ki, hogy mennyi legelt a mez kön, Trinákia szép szigetének gazdag legel in. Négy nyáj vala együtt, más-más szín mindenik, Tejszín az egyik, másik színe fekete, És barna a harmadik, tarka a negyedik nyáj. Mindegyik nyájban több vala a bika, S így oszlottak meg szépen arányosan, Fehér bika annyi volt, mint a feketék fele És harmada s hozzá még valamennyi barna; Fekete annyi, mint a tarkák negyede S ötöde s hozzá még valamennyi barna; És tarka annyi, mint a fehérek hatoda S hetede s hozzá még valamennyi barna..." tört... Page 24 of 48

26 tört... Page 25 of 48 i.e. 6 századi váza, Cerveteri, Musée du Louvre, Párizs

27 Problema bovinum "A fehér bikák száma (w) a fekete bikák számának (b) felével meg egyharmadával volt több, mint a barna bikáké (y),..." w = ( ) b + y tört... Page 26a of 48

28 Problema bovinum "...afeketékéatarkabikákszámának (d)negyedévelmeg ötödével (volt több, mint a barna bikáké),..." w = ( ) b + y b = ( ) d + y tört... Page 26b of 48

29 Problema bovinum "...atarkáképedigafehérekszámánakegyhatodávalmeg egyhetedével (volt több, mint a barna bikáké)..." w = ( ) b + y b = ( ) d + y d = ( ) w + y tört... Page 26c of 48

30 Problema bovinum "...A fehér tehenek száma (w c ) az összes fekete marhák számának (b +b c ) egyharmada meg egynegyede volt,..." w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y d = ( ) w + y tört... Page 26d of 48

31 Problema bovinum "...afeketetehenekszámaazösszestarkamarhákszámának (d + d c ) egynegyede meg egyötöde,..." w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y bc = ( ) (d + dc ) d = ( ) w + y tört... Page 26e of 48

32 Problema bovinum "...atarkatehenekszámaazösszesbarnamarhákszámának (d + d c ) egyötöde meg egyhatoda,..." w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y bc = ( ) (d + dc ) d = ( ) w + y dc = ( ) (y + yc ) tört... Page 26f of 48

33 Problema bovinum "... a barna tehenek száma az összes fehér marha számának egyhatoda meg egyhetede..." w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y bc = ( ) (d + dc ) d = ( ) w + y dc = ( ) (y + yc ) y c = ( ) (w + wc ) tört... Page 26g of 48

34 Problema bovinum Folytatás: "... A fehér és fekete bikák sorai és oszlopai ellepik Trinákia mezejét ugyanakkora mélységben és szélességben,..." w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y bc = ( ) (d + dc ) d = ( ) w + y dc = ( ) (y + yc ) y c = ( ) (w + wc ) w + b = tört... Page 26h of 48

35 Problema bovinum Folytatás: "...mígatarkaésbarnabikáksokaságaháromszög alakzatot formál, az els sorban egy bikával, a másodikban kett vel, s hasonlóan továbbmenve." w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y bc = ( ) (d + dc ) d = ( ) w + y dc = ( ) (y + yc ) y c = ( ) (w + wc ) w + b = d + y = (7) tört... Page 26i of 48

36 w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y bc = ( ) (d + dc ) d = ( ) w + y dc = ( ) (y + yc ) y c = ( ) (w + wc ) lineáris egyenletrendszer megoldása: d c szabad paraméter, w = d c b = d c y = d c d = d c w c = d c b c = d c y c = d c lkkt(nevezők) = = d c = t tört... Page 27 of 48

37 t N w = t b = t y = t d = t w c = t b c = t y c = t d c = t Tehát összesen t Trinákia mezején. (8) bika és tehén legelészik tört... Page 28 of 48

38 Végül a (7) feltételekb l: (b+1)b a 2 = w + b = t = 2 2 α { }} { t 2 = d + y = t = 7 } 353 {{ 4657 } t β a 2 = 2 2 α t = t = α K 2 (2b + 1) } {{ } 2 = 8 β t + 1 = 8 β α K L L K 2 = 1 tört... Page 29 of 48

39 L K 2 = 1 ˆ Meyer (1867) lánctörtekkel: 240 lépés, ( kellett volna) ˆ Amthor (1880) l } {{ } k 2 = 1, ahol δ l = L, k = K. l 1 + k 1 δ = δ = = ( ) 2 tört... Page 30 of 48

40 Állítás: Ha x 2 Dy 2 = 1 akkor x + y ( ) 2 x 1 x + 1 D = Ezután megkereste azt a legkisebb megoldást, melyre k. Oszthatósági megfontolások után ( l 1 + k 1 δ ) 2329 = L1 + K Logaritmus segítségével becsülte a kapott eredmények nagyságát. tört... Page 31 of 48

41 ˆ Lenstra (2002) [7] hatványszorzatokkal dolgozott. Végeredmény: t i = ( (l 1 + k 1 δ) 4658i 1 (l 1 +k 1 δ) 4568i ) (i = 1,2,...) A végeredmény az összes marhák számát (8) illet en 47 oldal számítógépes nyomtatásban, 12 oldal s rítve a [11] dolgozatban. A legkisebb: 7, tört... Page 32 of 48

42 1. Arkhimédesz (i.e ) Problema bovinum. 2. Brahmagupta ( ) Felfedezte a "kompozíciós módszert", ha (a,b) és (c,d) megoldása az x 2 Dy 2 = 1 egyenletnek, akkor (ac + Dbd,ad + bc) is. Ugyanis 1 1 { }} { { }} { ( a 2 Db 2 ) ( c 2 Dd 2 ) = (ac + Dbd) 2 D(ad + bc) 2 } {{ } 1 Tehát (a,b) és (a,b) (a 2 + Db 2,2ab) (a,b)és (a 2 +Db 2,2ab) (a 3 +3Dab 2,3a 2 b+db 3 ),stb. Például x 2 83y 2 = 1eseténegymegoldás: (x,y) = (82,9), amib l kompozícióval (82,9) (13447,1476) ( ,242055)... tört... Page 33 of 48

43 3. Bhaskara ( ) Továbbfejlesztette Brahmagupta módszerét, úgy hogy x 2 Dy 2 = 1 egy megoldását el állító algoritmust készített az (a, b) párból, ha a 2 Db kicsi. Pl. megoldotta 2 x 2 61y 2 = 1 egyenletet is. MEGJEGYZÉS: Az indiai matematikusok által használt módszerek teljesen ismeretlenek voltak az európai matematikusok el tt az 1600-as években. 4. Fermat ( ) Az x 2 61y 2 = 1 és hasonló egyenletek megoldásának meghatározására "kalandra hívja" az angolszász, németalföldi és francia matematikusokat. Többen is elkezdtek dolgozni a problémán, leveleztek. tört... Page 34 of 48

44 5. Frenicle de Bessy ( ) D 150-ig táblázatba gy jötte a megoldásokat, de sosem publikálta. 6. Brouncker ( ) Lényegében a lánctörtek módszerét fedezte fel. Megoldotta pl. az x 2 313y 2 = 1 egyenletet Frenicle de Bessy kérésére. Saját bevallása szerint egy-két órát dolgozott az (x 1,y 1 ) = ( , ) megoldáson. 7. Wallis ( ) 1658-ban publikálta az egymás közötti levelezéseket az évekb l. Brahmagupta módszerét igazolta. tört... Page 35 of 48

45 8. Pell ( ) Rahn ( ) könyvében megjelenik az egyenlet, állítólag Pell segítségével írta. Ez az egyetlen ismert kapcsolat Pell és egyenlete között. (Számelméletben dolgozott, pl. megjelentetett egy táblázatot ig a természetes számok prímfaktorairól, könyveket írt egyet a π-r l ) MEGJEGYZÉS: Akkoriban azt állították (pl. Fermat is), hogybármely D eseténvanmegoldás,deigazolninem tudták. 9. Euler ( ) A lánctört módszer elméleti alapját adta, amit kés bb Lagrange nomított. Ž nevezte el az egyenletet hibásan Pell-egyenletnek, mert összekeverte Brouncker-rel. 10. Lagrange ( ) Bizonyította, hogy bármely szóbajöhet D-re végtelen sok megoldás van. Módszere D lánctörtbe fejtését használja. (1) tört... Page 36 of 48

46 4. A (k, l)-balansz számok DEFINÍCIÓ: Legyen k és l két rögzített pozitív egész. Az x számot l)-hatvány numerikus középpontnak, vagy (k,l)-balansz számnak hívjuk ha létezik z N, hogy 1 k (x 1) k = (x + 1) l (z 1) l. (9) Legyen S k (x) = 1 k (x 1), ekkor (9) ekvivalens az alábbi formával: k Pl. S 1 (x) = S k (x) + S l (x + 1) = S l (z). (x 1)x 2, S 2 (x) = (x 1)x(2x 1) 6 története Page 37 of 48

47 k = l = 1 = Ház probléma, Balansz számok Behera és Panda [2] x n+1 x n 1 = (x n + 1)(x n 1), x 2n = x 2 n x 2 n 1, x 2n+1 = x n (x n+1 x n 1 ). Liptai [8] Egyetlen balansz szám sem tagja a Fibonacci sorozatnak. története Page 38 of 48

48 k = l = (x 1) 2 = (x + 1) (z 1) 2 Finkelstein [4] Nincs második hatványú numerikus középpont. x(x + 1)(2x + 1) 6 következménye = z(z + 1)(2z + 1) 6 X 3 + 2Y 3 = 1, 3, 11, 33. Ennek megoldásai csak: x(x 1)(2x 1) 6 (X,Y ) = ( 1,1), (1,1), ( 5,4), (3, 2). története Page 39 of 48

49 k = l = (x 1) 3 = (x + 1) (z 1) 3 Steiner [12] Nincs köbös numerikus középpont. Közvetlen alkalmazása Ljunggren [9] és Cassel [3] munkáinak. Olyan háromszögszámokat kell keresni, melyek négyzete szintén háromszögszám. Pl. ( k = l = 4, 5 k = l = 4 : ) 2 = ; ( ) 2 = X 5 10X 3 + 7X = 6Y Y 3 16Y Ingram [6] Nincs numerikus középpont. k = l = 4 : X 3 5X 2 + 7X 3 = 2Y Y 2 16Y története Page 40 of 48

50 Általános eredmények 1 k (x 1) k = (x + 1) l (z 1) l TÉTEL [10]: Rögzített k > 1 esetén véges sok olyan pozitív egész l és z van, melyekre x egy (k,l)-balansz szám. Amennyiben k < l akkor nem létezik (k, l)- balansz szám. TÉTEL [10]: Ha k rögzített, l {1,3} és (k,l) (1,1) akkor véges sok (k,l)-balansz szám létezik és ezek eektíve meghatározhatók. története Page 41 of 48

51 1 k +...+(x 1) k = (x+1) l +...+(z 1) l, (2 x z 2) k\l x n+2 = 6x n+1 x n z n+2 = 6z n+1 z n 2 2 (x, z) = (5, 10), (13, 39), (36, 177) no 3 (x,z) = (3,6), (8,41), (10, 65) sejtés no. 7 no. 15 no. története Page 42 of 48

52 Pl. (k,l) = (7,1) 4z 2 4z + 1 = x 8 4x x6 7 3 x x2 + 4x + 1 X = 3x, Z = 3 4 (2z 1) Z 2 = X 8 12X X 6 189X X 43 ([13]) +3042X X SEJTÉS: (k, l)-balansz szám csak l = 1 esetén létezik. története Page 43 of 48

53 További általánosítási lehet ségek ˆ x k és x l helyett rendre P(x) és Q(x) polinomok. x 1 i=0 P(i) = ˆ eggyel több változó bevezetése Pl. Pl. z 1 Q( j) j=x (x 1) = y (z 1) (2x 1) 2 + (2y 1) 2 = (2z 1) (x 1) 3 = y (z 1) 3 2 x + 2 y = 2 z története Page 44 of 48

54 = története Page 45 of 48

55 = Köszönöm! története Page 46 of 48

56 References [1] Adams, J. P., Puzzles for Everybody, Avon Publications, New York, 1955, [2] Behera, A. Panda, G., On the square roots of triangular numbers, Fibonacci Quart., 37 (1999), [3] Cassels, J. W., Integral points on certain elliptic curves, Proc. London Math. Soc., 3 (1965), [4] Finkelstein, R., The house problem, Am. Math. Monthly, 72 (1965), [5] Ginatempo, N, Il mettodo dei tentativi per la risoluzione della equazione di Pell-Fermat, Inst. Mat. Univ. Messina, Pubblicazione No.1. (1969). 12 [6] Ingram, P., On kth-power numerical centres, Comptes Rendus Math. Acad. Sci, 27 (2005), [7] Lenstra, H., Solving Pell equations, Notices of the AMS, 49 (2002), története Page 47 of 48

57 [8] Liptai, K., Fibonacci balancing numbers, Fibonacci Quart., 42 (2004), [9] Ljunggren, W., Solution compléte de quelques équations du sixiéme degré á deux indéterminées, Arch. Math. Naturv., 48 (1946), [10] Liptai, K. - Luca, F. - Pintár, Á. - Szalay, L., Generalized balancing numbers, Indag. Math., (2008?). 41 [11] Nelson, H. L., A solution to Archimedes' cattle problem, J. Recreational Math., 13 ( ), [12] Steiner, R., On kth-power numerical centers, Fibonacci Quart., 16 (1978), [13] Szalay, L., Superelliptic equations of the form y p = x kp + a kp 1 x kp a 0, Bull. Greek Math. Soc., 46, (2002), [14] Szalay, L., On the resolution of simultaneous Pell equations, Annales Math. Inf., (2008?). története Page 48 of 48