1. Probléma és megoldás

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Probléma és megoldás"

Átírás

1 A ház probléma Szalay László laszalay Matematikai és Statisztikai Intézet NYME KTK Sopron története Page 1 of 48

2 1. története Page 2 of 48

3 A fejtör [1] Egy szórakozott matematikaprofesszor elindult, hogy meglátogassa egy volt tanítványát. Mikor az utca elejére ért rájött, hogy elfelejtette a tanítvány házszámát. Ebben az utcában csak az egyik oldalon voltak házak, számozásuk 1-gyel kezd dött és egyesével növekedett. A professzor emlékezett rá, hogy legalább 200 és legfeljebb 500 ház van az utcában. Továbbá arra is, hogy tanítványa háza az utca numerikus középpontjában áll, azaz a házszámoknak az utca elejét l a házig vett összege megegyezik a háztól az utca végéig vett házszámok összegével. Rövid gondolkodás után a professzor rájött, hogy hova kell mennie. Meg tudjuk-e mi is határozni a kérdéses házszámot? története Page 3 of 48

4 A matematikai modell } {{ } } {{ } (1) (a 1) + a = a + (a + 1) (b 1) + b a(a + 1) 2 = b(b + 1) 2 (a 1)a 2 története Page 4 of 48 (2b + 1) 2 2(2a) 2 = 1 B 2 2A 2 = 1 (B = 2b + 1, A = 2a)

5 A B 2 2A 2 = 1 egyenlet ( B + A )( 2 B A ) 2 = 1 ( B + A ) k ( 2 B A k 2) = 1 ) (B k + A k 2 )(B k A k 2 = 1 története Page 5 of 48

6 A B 2 2A 2 = 1 egyenlet ( B + A )( 2 B A ) 2 = 1 ( B + A ) k ( 2 B A k 2) = 1 ) (B k + A k 2 )(B k A k 2 Triviális megoldás: (B,A) = (1,0) Egy nemtriviális megoldás: (B,A) = (3,2) Végtelen sok megoldás: = 1 ) ( (B k + A k 2 = k 2) (2) története Page 6 of 48

7 (2) (2) k B k A k b k a k a k története Page 7 of 48

8 ) ( (B k + A k 2 = ) k )( 2 = (B k 1 + A k ) 2 B k = 3B k 1 + 4A k 1 (3) A k = 2B k 1 + 3A k 1 B k = 6B k 1 B k 2 B 0 = 1, B 1 = 3 A k = 6A k 1 A k 2 A 0 = 0, A 1 = 2 története Page 8 of 48

9 b k = 6b k 1 b k b 0 = 0, b 1 = 1 b k = a k = a k = 6a k 1 a k 2 a 0 = 0, a 1 = 1 ( ) k ( ) k ( ) k ( k 2) ( ) k ( ) k KÉRDÉS: Van-e a fentieken kívül más pozitív megoldása a B 2 2A 2 = 1 egyenletnek? története Page 9 of 48

10 2. Vizsgáljuk általánosan az x 2 Dy 2 = 1 (4) ún. Pell-egyenletet az x és y egész ismeretlenekben, ahol D pozitív és nem négyzetszám. MEGJEGYZÉS: ˆ Elég a nemnegatív x és y egész megoldásokat tekinteni. ˆ Ha D nem négyzetszám, vagy D 0 akkor véges sok megoldás van. története Page 10 of 48

11 F eredmény TÉTEL(Lagrange, Legendre...):A(4)egyenletnek végtelen sok pozitív egész megoldása van. Minden (x, y) pozitív megoldás a legkisebb pozitív (x 1,y 1 ) megoldásból származtatható valamely k N segítségével az alábbi módon: x + y ( ) k D = x 1 + y 1 D. (5) KÉRDÉS: Hogyan lehet meghatározni a minimális megoldást? Vannak-e "jó" algoritmusok? története Page 11 of 48

12 1. "Brute force" algoritmus TÉTEL(Ginatempo, 1969[5]):Legyen d = [ D ]. Az x 2 Dy 2 = 1 minimális (x 1,y 1 ) megoldására teljesül hogy y 1 2(d + 1) ( 2 3 d + 1 ) 2d x 1 (d + 1)x 1 (6) Probléma: A korlátok nagyon nagyok. Pl. D = 61: y , x A tényleges alapmegoldás: = 1. története Page 12 of 48

13 2. Lánctörtekkel segítségével ( x + y )( D x y ) D = 1 } {{ }} {{ } NAGY kicsi ( x y D ) 0 = x y D, azaz: D egy "jó" racionális közelítésére volna szükség. Ezt lehet elérni lánctörtekkel! története Page 13 of 48

14 Általánosan: a R +, a = [a] + {a}, ahol 0 {a} < 1. Ha a N = {a} = 0 és ekkor a 1 = 1 {a} a = [a] + 1 a 1, a 1 > 1 Ha a 1 N = {a 1 } = 0 és ekkor a 2 = 1 {a 1 } 1 a = [a] + [a 1 ] + 1, a 2 > 1 a 2 története Page 14 of 48

15 α 0 = [a] és α i = [a i ] (i = 1,2,...) 1 a = [a]+ 1 [a 1 ] + 1 [a 2 ] + [a 3 ] = α α α 2 + α a = [α 0 ;α 1,α 2,α 3,...] Pl. 2 = 1, , lánctört alakja: 2 = [1;2,2,2,...] = [1;2],... története Page 15 of 48 mivel 2 =

16 1 = 1 1 < = 3 2 = 1.5 > = 7 5 = 1.4 < 2 2 története Page 16a of = = > 2

17 = < 2 története Page 16b of = < = 2

18 TÉTEL: ˆ a R + lánctört alakja véges a Q; ˆ a R + lánctört alakja végtelen és periodikus a Q, a Q[ D]. ˆ ; = [1;2,7,1,2] = [1;1,1,1,...] = [1;1] ˆ 2 = [1;2,2,2,2,...] = [1;2] ; 7 = [2;1,1,1,4] ˆ 3 2 = [1;3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,1,10,2,1,4,12,...] ˆ e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1, 1,8,1, 1,10,1,...] ˆ π = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,...] ˆ tg1 = [1; 1,1, 3,1, 5,1, 7,1, 9,1, 11,1,...] története Page 17 of 48

19 Táblázat a minimális megoldásokról D x 0 y 0 D x 0 y 0 D x 0 y története Page 18 of 48

20 Táblázat a minimális megoldásokról (folytatás) D x 0 y 0 D x 0 y története Page 19 of 48

21 D x 0 / y története Page 20 of 48

22 3. története Arkhimédesz (i.e. 287?-212) tört... Page 21 of 48 Ókori mozaik másolata, Städtelsches Kunstinstitut, Frankfurt a.m.

23 Problema bovinum Arkhimédesz a Problema bovinumot az Alexandriában él Eratoszthenésznek ajánlotta egyik levelében. Ponori Thewrewk Emil Görög Anthólogiabeli Epigrammák cím összeállítása számos matematikai jelleg epigrammát tartalmaz. Baumgartner Alajos f gimnáziumi tanár (Állami Verb czy István Reálgimnázium) ebb l válogatott és ezt pótolta ki saját, illetve mások által lefordított epigrammákkal. Baumgartner egy egész matematikatörténeti sorozatot publikált a Középiskolai Mathematikai és Physikai Lapokban három részben. tört... Page 22 of 48

24 tört... Page 23 of 48

25 "Számítsd ki, barátom, a Nap tulkai számát; Buzgón keressed, hogy bölcsnek hívhassalak, Számítsd ki, hogy mennyi legelt a mez kön, Trinákia szép szigetének gazdag legel in. Négy nyáj vala együtt, más-más szín mindenik, Tejszín az egyik, másik színe fekete, És barna a harmadik, tarka a negyedik nyáj. Mindegyik nyájban több vala a bika, S így oszlottak meg szépen arányosan, Fehér bika annyi volt, mint a feketék fele És harmada s hozzá még valamennyi barna; Fekete annyi, mint a tarkák negyede S ötöde s hozzá még valamennyi barna; És tarka annyi, mint a fehérek hatoda S hetede s hozzá még valamennyi barna..." tört... Page 24 of 48

26 tört... Page 25 of 48 i.e. 6 századi váza, Cerveteri, Musée du Louvre, Párizs

27 Problema bovinum "A fehér bikák száma (w) a fekete bikák számának (b) felével meg egyharmadával volt több, mint a barna bikáké (y),..." w = ( ) b + y tört... Page 26a of 48

28 Problema bovinum "...afeketékéatarkabikákszámának (d)negyedévelmeg ötödével (volt több, mint a barna bikáké),..." w = ( ) b + y b = ( ) d + y tört... Page 26b of 48

29 Problema bovinum "...atarkáképedigafehérekszámánakegyhatodávalmeg egyhetedével (volt több, mint a barna bikáké)..." w = ( ) b + y b = ( ) d + y d = ( ) w + y tört... Page 26c of 48

30 Problema bovinum "...A fehér tehenek száma (w c ) az összes fekete marhák számának (b +b c ) egyharmada meg egynegyede volt,..." w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y d = ( ) w + y tört... Page 26d of 48

31 Problema bovinum "...afeketetehenekszámaazösszestarkamarhákszámának (d + d c ) egynegyede meg egyötöde,..." w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y bc = ( ) (d + dc ) d = ( ) w + y tört... Page 26e of 48

32 Problema bovinum "...atarkatehenekszámaazösszesbarnamarhákszámának (d + d c ) egyötöde meg egyhatoda,..." w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y bc = ( ) (d + dc ) d = ( ) w + y dc = ( ) (y + yc ) tört... Page 26f of 48

33 Problema bovinum "... a barna tehenek száma az összes fehér marha számának egyhatoda meg egyhetede..." w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y bc = ( ) (d + dc ) d = ( ) w + y dc = ( ) (y + yc ) y c = ( ) (w + wc ) tört... Page 26g of 48

34 Problema bovinum Folytatás: "... A fehér és fekete bikák sorai és oszlopai ellepik Trinákia mezejét ugyanakkora mélységben és szélességben,..." w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y bc = ( ) (d + dc ) d = ( ) w + y dc = ( ) (y + yc ) y c = ( ) (w + wc ) w + b = tört... Page 26h of 48

35 Problema bovinum Folytatás: "...mígatarkaésbarnabikáksokaságaháromszög alakzatot formál, az els sorban egy bikával, a másodikban kett vel, s hasonlóan továbbmenve." w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y bc = ( ) (d + dc ) d = ( ) w + y dc = ( ) (y + yc ) y c = ( ) (w + wc ) w + b = d + y = (7) tört... Page 26i of 48

36 w = ( ) b + y wc = ( ) (b + bc ) b = ( ) d + y bc = ( ) (d + dc ) d = ( ) w + y dc = ( ) (y + yc ) y c = ( ) (w + wc ) lineáris egyenletrendszer megoldása: d c szabad paraméter, w = d c b = d c y = d c d = d c w c = d c b c = d c y c = d c lkkt(nevezők) = = d c = t tört... Page 27 of 48

37 t N w = t b = t y = t d = t w c = t b c = t y c = t d c = t Tehát összesen t Trinákia mezején. (8) bika és tehén legelészik tört... Page 28 of 48

38 Végül a (7) feltételekb l: (b+1)b a 2 = w + b = t = 2 2 α { }} { t 2 = d + y = t = 7 } 353 {{ 4657 } t β a 2 = 2 2 α t = t = α K 2 (2b + 1) } {{ } 2 = 8 β t + 1 = 8 β α K L L K 2 = 1 tört... Page 29 of 48

39 L K 2 = 1 ˆ Meyer (1867) lánctörtekkel: 240 lépés, ( kellett volna) ˆ Amthor (1880) l } {{ } k 2 = 1, ahol δ l = L, k = K. l 1 + k 1 δ = δ = = ( ) 2 tört... Page 30 of 48

40 Állítás: Ha x 2 Dy 2 = 1 akkor x + y ( ) 2 x 1 x + 1 D = Ezután megkereste azt a legkisebb megoldást, melyre k. Oszthatósági megfontolások után ( l 1 + k 1 δ ) 2329 = L1 + K Logaritmus segítségével becsülte a kapott eredmények nagyságát. tört... Page 31 of 48

41 ˆ Lenstra (2002) [7] hatványszorzatokkal dolgozott. Végeredmény: t i = ( (l 1 + k 1 δ) 4658i 1 (l 1 +k 1 δ) 4568i ) (i = 1,2,...) A végeredmény az összes marhák számát (8) illet en 47 oldal számítógépes nyomtatásban, 12 oldal s rítve a [11] dolgozatban. A legkisebb: 7, tört... Page 32 of 48

42 1. Arkhimédesz (i.e ) Problema bovinum. 2. Brahmagupta ( ) Felfedezte a "kompozíciós módszert", ha (a,b) és (c,d) megoldása az x 2 Dy 2 = 1 egyenletnek, akkor (ac + Dbd,ad + bc) is. Ugyanis 1 1 { }} { { }} { ( a 2 Db 2 ) ( c 2 Dd 2 ) = (ac + Dbd) 2 D(ad + bc) 2 } {{ } 1 Tehát (a,b) és (a,b) (a 2 + Db 2,2ab) (a,b)és (a 2 +Db 2,2ab) (a 3 +3Dab 2,3a 2 b+db 3 ),stb. Például x 2 83y 2 = 1eseténegymegoldás: (x,y) = (82,9), amib l kompozícióval (82,9) (13447,1476) ( ,242055)... tört... Page 33 of 48

43 3. Bhaskara ( ) Továbbfejlesztette Brahmagupta módszerét, úgy hogy x 2 Dy 2 = 1 egy megoldását el állító algoritmust készített az (a, b) párból, ha a 2 Db kicsi. Pl. megoldotta 2 x 2 61y 2 = 1 egyenletet is. MEGJEGYZÉS: Az indiai matematikusok által használt módszerek teljesen ismeretlenek voltak az európai matematikusok el tt az 1600-as években. 4. Fermat ( ) Az x 2 61y 2 = 1 és hasonló egyenletek megoldásának meghatározására "kalandra hívja" az angolszász, németalföldi és francia matematikusokat. Többen is elkezdtek dolgozni a problémán, leveleztek. tört... Page 34 of 48

44 5. Frenicle de Bessy ( ) D 150-ig táblázatba gy jötte a megoldásokat, de sosem publikálta. 6. Brouncker ( ) Lényegében a lánctörtek módszerét fedezte fel. Megoldotta pl. az x 2 313y 2 = 1 egyenletet Frenicle de Bessy kérésére. Saját bevallása szerint egy-két órát dolgozott az (x 1,y 1 ) = ( , ) megoldáson. 7. Wallis ( ) 1658-ban publikálta az egymás közötti levelezéseket az évekb l. Brahmagupta módszerét igazolta. tört... Page 35 of 48

45 8. Pell ( ) Rahn ( ) könyvében megjelenik az egyenlet, állítólag Pell segítségével írta. Ez az egyetlen ismert kapcsolat Pell és egyenlete között. (Számelméletben dolgozott, pl. megjelentetett egy táblázatot ig a természetes számok prímfaktorairól, könyveket írt egyet a π-r l ) MEGJEGYZÉS: Akkoriban azt állították (pl. Fermat is), hogybármely D eseténvanmegoldás,deigazolninem tudták. 9. Euler ( ) A lánctört módszer elméleti alapját adta, amit kés bb Lagrange nomított. Ž nevezte el az egyenletet hibásan Pell-egyenletnek, mert összekeverte Brouncker-rel. 10. Lagrange ( ) Bizonyította, hogy bármely szóbajöhet D-re végtelen sok megoldás van. Módszere D lánctörtbe fejtését használja. (1) tört... Page 36 of 48

46 4. A (k, l)-balansz számok DEFINÍCIÓ: Legyen k és l két rögzített pozitív egész. Az x számot l)-hatvány numerikus középpontnak, vagy (k,l)-balansz számnak hívjuk ha létezik z N, hogy 1 k (x 1) k = (x + 1) l (z 1) l. (9) Legyen S k (x) = 1 k (x 1), ekkor (9) ekvivalens az alábbi formával: k Pl. S 1 (x) = S k (x) + S l (x + 1) = S l (z). (x 1)x 2, S 2 (x) = (x 1)x(2x 1) 6 története Page 37 of 48

47 k = l = 1 = Ház probléma, Balansz számok Behera és Panda [2] x n+1 x n 1 = (x n + 1)(x n 1), x 2n = x 2 n x 2 n 1, x 2n+1 = x n (x n+1 x n 1 ). Liptai [8] Egyetlen balansz szám sem tagja a Fibonacci sorozatnak. története Page 38 of 48

48 k = l = (x 1) 2 = (x + 1) (z 1) 2 Finkelstein [4] Nincs második hatványú numerikus középpont. x(x + 1)(2x + 1) 6 következménye = z(z + 1)(2z + 1) 6 X 3 + 2Y 3 = 1, 3, 11, 33. Ennek megoldásai csak: x(x 1)(2x 1) 6 (X,Y ) = ( 1,1), (1,1), ( 5,4), (3, 2). története Page 39 of 48

49 k = l = (x 1) 3 = (x + 1) (z 1) 3 Steiner [12] Nincs köbös numerikus középpont. Közvetlen alkalmazása Ljunggren [9] és Cassel [3] munkáinak. Olyan háromszögszámokat kell keresni, melyek négyzete szintén háromszögszám. Pl. ( k = l = 4, 5 k = l = 4 : ) 2 = ; ( ) 2 = X 5 10X 3 + 7X = 6Y Y 3 16Y Ingram [6] Nincs numerikus középpont. k = l = 4 : X 3 5X 2 + 7X 3 = 2Y Y 2 16Y története Page 40 of 48

50 Általános eredmények 1 k (x 1) k = (x + 1) l (z 1) l TÉTEL [10]: Rögzített k > 1 esetén véges sok olyan pozitív egész l és z van, melyekre x egy (k,l)-balansz szám. Amennyiben k < l akkor nem létezik (k, l)- balansz szám. TÉTEL [10]: Ha k rögzített, l {1,3} és (k,l) (1,1) akkor véges sok (k,l)-balansz szám létezik és ezek eektíve meghatározhatók. története Page 41 of 48

51 1 k +...+(x 1) k = (x+1) l +...+(z 1) l, (2 x z 2) k\l x n+2 = 6x n+1 x n z n+2 = 6z n+1 z n 2 2 (x, z) = (5, 10), (13, 39), (36, 177) no 3 (x,z) = (3,6), (8,41), (10, 65) sejtés no. 7 no. 15 no. története Page 42 of 48

52 Pl. (k,l) = (7,1) 4z 2 4z + 1 = x 8 4x x6 7 3 x x2 + 4x + 1 X = 3x, Z = 3 4 (2z 1) Z 2 = X 8 12X X 6 189X X 43 ([13]) +3042X X SEJTÉS: (k, l)-balansz szám csak l = 1 esetén létezik. története Page 43 of 48

53 További általánosítási lehet ségek ˆ x k és x l helyett rendre P(x) és Q(x) polinomok. x 1 i=0 P(i) = ˆ eggyel több változó bevezetése Pl. Pl. z 1 Q( j) j=x (x 1) = y (z 1) (2x 1) 2 + (2y 1) 2 = (2z 1) (x 1) 3 = y (z 1) 3 2 x + 2 y = 2 z története Page 44 of 48

54 = története Page 45 of 48

55 = Köszönöm! története Page 46 of 48

56 References [1] Adams, J. P., Puzzles for Everybody, Avon Publications, New York, 1955, [2] Behera, A. Panda, G., On the square roots of triangular numbers, Fibonacci Quart., 37 (1999), [3] Cassels, J. W., Integral points on certain elliptic curves, Proc. London Math. Soc., 3 (1965), [4] Finkelstein, R., The house problem, Am. Math. Monthly, 72 (1965), [5] Ginatempo, N, Il mettodo dei tentativi per la risoluzione della equazione di Pell-Fermat, Inst. Mat. Univ. Messina, Pubblicazione No.1. (1969). 12 [6] Ingram, P., On kth-power numerical centres, Comptes Rendus Math. Acad. Sci, 27 (2005), [7] Lenstra, H., Solving Pell equations, Notices of the AMS, 49 (2002), története Page 47 of 48

57 [8] Liptai, K., Fibonacci balancing numbers, Fibonacci Quart., 42 (2004), [9] Ljunggren, W., Solution compléte de quelques équations du sixiéme degré á deux indéterminées, Arch. Math. Naturv., 48 (1946), [10] Liptai, K. - Luca, F. - Pintár, Á. - Szalay, L., Generalized balancing numbers, Indag. Math., (2008?). 41 [11] Nelson, H. L., A solution to Archimedes' cattle problem, J. Recreational Math., 13 ( ), [12] Steiner, R., On kth-power numerical centers, Fibonacci Quart., 16 (1978), [13] Szalay, L., Superelliptic equations of the form y p = x kp + a kp 1 x kp a 0, Bull. Greek Math. Soc., 46, (2002), [14] Szalay, L., On the resolution of simultaneous Pell equations, Annales Math. Inf., (2008?). története Page 48 of 48

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Az a n + b n = z 3 diofantoszi egyenletről

Az a n + b n = z 3 diofantoszi egyenletről Az a n + b n = z 3 diofantoszi egyenletről Maurice Mignotte (Strasbourg) és Pethő Attila (Debrecen) Abstract Let a, b, n, z be natural numbers for which the equation a n + b n = z 3 holds. We proved that

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...

Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak... Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...) Története Az ókortól kezdve rengeteg feltört titkosírás létezik. Monoalfabetikus

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

É Ü ö Ü ú Ú ű Ó Ó ű ö Ó Ó ú ű Ü Ö Ó Ó ö Ó Ő ű Ó Ó ú Ü Ü Ó Ó Ó Ü Ó Í Í ö ö ö ö ö ú ú ö ű ú ö ö ö ú ö ú ű ö ö ű ö ö ö ű ö ö ö ú ö ö ú ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö ú ö ú ö ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö Í ö Ö ö ú ö ö ö ö Ó Í

Részletesebben

Í Ő É Ó É é Ö Á Á Á Ó é Ó é ö é Ö ű ö é ö ű ö é ö é é é é é é é é é é é é é é é é é é ü é é é Í é é é é ü é ö ü é ü é é ö ö é ú é é ü é é ü é é ü é ü é é é ú é Ó é é ú é ü é é ö é ö é Á Á Á Ó é Ó Í é ö

Részletesebben

ö í Ö Ó ü í ü ö Ö ö ü ü ö ö ö ö Ö ü ö ö Ö ü Ű Ö ö ü ú ű ö ö í ö ö í ü ö ö í í ö Á É ö Ö í ö Ö ü ö Ö ö ö ö ö ö ü í ü ö í ü ö ö ö Ö ü ö í ü í ö ö ö Ö ü ö Ö í í ö Ö ü ö Ö í ü ö Á É ö Ö í ü ö í ö ű ö ö ű ö

Részletesebben

ü ő ő ü ő ő ö ö ő ö í ü ő í ö ö í ő ö ő ű ú ő í ü ő ö ő Í ö ö ő ö ö ő ő ö ő í Í í ü ö ő í ü ü ú ü ö ö ő ü ő ö ő í ü ő í ö ö ő ő ő í í ő í ő ő Á Ó Í í í ő ű ú ő í í ő ő Í ő í ő í í Í í ő í ő í ő ő íí ő

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Első rész 1. Bevezetés Tekintsük az ak + b számtani sorozatot, ahol a > 0. Ha a és b nem relatív prímek, akkor (a,b) > 1 osztója

Részletesebben

Beregszászi István Programozási példatár

Beregszászi István Programozási példatár Beregszászi István Programozási példatár 2 1. fejezet 1. laboratóriumi munka 1.1. Matematikai kifejezések Írja fel algoritmikus nyelven a megadott kifejezést megfelelő típusú változók segítségével! Figyeljen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1414 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz 1. Feladat 1. Milyen egységeket rendelhetünk az egyedi információhoz? Mekkora az átváltás közöttük? Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1

Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1 Newton módszer A húrmódszernél és a szelőmódszernél az F(x) függvény gyökének közelítéséhez a függvény húrját használtuk. Hatásosabb a módszer akkor, ha érintőkkel dolgozunk. Def.: Legyen x 0 az F(x) =

Részletesebben

Információ megjelenítés Számítógépes ábrázolás. Dr. Iványi Péter

Információ megjelenítés Számítógépes ábrázolás. Dr. Iványi Péter Információ megjelenítés Számítógépes ábrázolás Dr. Iványi Péter Raszterizáció OpenGL Mely pixelek vannak a primitíven belül fragment generálása minden ilyen pixelre Attribútumok (pl., szín) hozzárendelése

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

IV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály

IV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály IV. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az feleakkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödször 10 cm magasra pattant fel? 2. feladat.

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Rekurzív logikai játékok

Rekurzív logikai játékok Rekurzív logikai játékok Vígh Viktor SZTE Bolyai Intézet 2014. december 11. Szent László Gimnázium, Budapest Hanoi tornyai Forrás: http://ordoglakat.blog.hu/2011/03/20/hanoi_tornyai Hanoi tornyai Szabály:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát!

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát! Konduktometriás titrálás kiértékelése Excel program segítségével (Office 2007) Alapszint 1. A mérési adatokat írjuk be a táblázat egymás melletti oszlopaiba. Az első oszlopba kerül a fogyás, a másodikba

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0813 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Ö Á Í Í ű ű ú ű ű ű ű ú ú ú ú ű ű ű ű ű ű ű ű ű ú ű ú ú ú ű ú Á ú ű ű Ó ú ű ű ű ú Ó ú ű ú É ú ú ú ű ű ú ű ú Ú Á ú É ú Ó ú ú ú ú ű ű ű ú É Á É É ű ű Í ú ú Ó Í ű Í ű ű ú ű ű ű É ű ú Á ű ű ú Í ű Á ű ú ú É

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. MODUL SZÁMELMÉLET Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. Számelmélet Közös osztók, közös többszörösök Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5. Fejezet Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5.. Iránymező Látattuk, ogy az explicit differenciálegyenletek rendelkeznek azzal az érdekes és kivételes tulajdonsággal, ogy bár esetenként

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra 1 A kvadratrixról A kvadratrix más néven triszektrix nevű síkgörbéről az [ 1 ] és [ 2 ] munkákban is olvashatunk. A keletkezéséről készített animáció itt tekinthető meg: http://hu.wikipedia.org/wiki/kvadratrix#mediaviewer/file:quadratrix_animation.gif

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. október 16. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function)

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) Genetikus algoritmusok globális optimalizálás sok lehetséges megoldás közül keressük a legjobbat értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) populáció kiválasztjuk a legrátermettebb egyedeket

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

1 A Szent István Reálgimnázium

1 A Szent István Reálgimnázium 100 éve született Erdős Pál Gyárfás András Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet April 25, 2013 1 A Szent István Reálgimnázium Hat éves szibériai hadifogságból hazatérve, itt tanított 1920-tól Erdős Pál

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

MEGFELELÉSI TÁBLÁZATOK ( 1 )

MEGFELELÉSI TÁBLÁZATOK ( 1 ) 2008.5.9. HU Az Európai Unió Hivatalos Lapja C 115/361 MEGFELELÉSI TÁBLÁZATOK ( 1 ) Az Európai Unióról szóló szerződés Korábbi számozás az Európai Unióról szóló Új számozás az Európai Unióról szóló I.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Programozási segédlet

Programozási segédlet Programozási segédlet Programozási tételek Az alábbiakban leírtam néhány alap algoritmust, amit ismernie kell annak, aki programozásra adja a fejét. A lista korántsem teljes, ám ennyi elég kell legyen

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok.

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. ZÁRÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK egyetemi szintű közgazdasági programozó matematikus szakon A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. 2. Függvények, függvények folytonossága.

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

V. osztály. Matematikai tehetségnap 2013. október 12. Megoldások

V. osztály. Matematikai tehetségnap 2013. október 12. Megoldások V. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az fele akkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödik alkalommal 10cm magasra pattant fel?

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Készítette: Fuszenecker Róbert Konzulens: Dr. Tuzson Tibor, docens

Készítette: Fuszenecker Róbert Konzulens: Dr. Tuzson Tibor, docens A nyílt kulcsú titkosítás és a digitális aláírás Készítette: Fuszenecker Róbert Konzulens: Dr. Tuzson Tibor, docens Budapest Műszaki Főiskola Kandó Kálmán Műszaki Főiskolai Kar Műszertechnikai és Automatizálási

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 É RETTSÉGI VIZSGA 005. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 063 MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

RAJZ ÉS VIZUÁLIS KULTÚRA

RAJZ ÉS VIZUÁLIS KULTÚRA Rajz és vizuális kultúra középszint 1412 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. október 13. RAJZ ÉS VIZUÁLIS KULTÚRA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA RENDEZETT HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS PÉLDÁK. Rendezett halmaz. (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3.

DISZKRÉT MATEMATIKA RENDEZETT HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS PÉLDÁK. Rendezett halmaz. (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3. Rendezett halmaz R A x A rendezési reláció A-n, ha R Másképpen: (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3. Tranzitív arb for (a, b) R. 1. a A ara 2. a,b A (arb bra a = b 3. a,b,c A (arb brc arc

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

ú ú Ż Ż ą ô Í ú Ö ő í ü ĺ í Ż Ż ü ĺ ü ĺ ú í ő ĺő ĺź ü ł ö ĺ ű ő ö ö Í í ő ĺ Í Í ő ő ü í ő ő ö ĺ ő ő ĺ Í ĺ ĺ ť ő ĺ ĺő ő ü í í Ĺĺ ę Ĺ Ĺ ő ö ú ĺ Ö ö ő ö ö ü ö ő Ą Ś ö ő ü ö ő ĺ ĺ É ĺ Á Á Ó É ź Á Ü É Ü Ä ú

Részletesebben

Geometriai algoritmusok

Geometriai algoritmusok Geometriai algoritmusok Alapfogalmak Pont: (x,y) R R Szakasz: Legyen A,B két pont. Az A és B pontok által meghatározott szakasz: AB = {p = (x,y) : x = aa.x + (1 a)b.x,y = aa.y + (1 a)b.y),a R,0 a 1. Ha

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

www.pedellusinfo.hu w.pedellu

www.pedellusinfo.hu w.pedellu 1. 2. 3. 4. 5. Informatikai eszközök használata / 4 Infokommunikáció / 13 Prezentáció / 22 Algoritmusok / 30 Könyvtárhasználat / 38 Több feladat megoldásához használnod kell az általunk előkészített állományokat,

Részletesebben