Matematikatanárok Klubja

Átírás

1 Tanárklub okt / 17 Matematikatanárok Klubja Szimmetriák és leszámlálások Kiss Emil ewwkiss@gmail.com okt. 7.

2 Tanárklub okt / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: miertmat/progs.html

3 Tanárklub okt / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok.

4 Tanárklub okt / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. Tassy Gergely: Catalan-számok, fák Prüfer kódja

5 Tanárklub okt / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. Tassy Gergely: Catalan-számok, fák Prüfer kódja A mai előadás korábbi változata

6 Tanárklub okt / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. Tassy Gergely: Catalan-számok, fák Prüfer kódja A mai előadás korábbi változata (Hogyan mondanám el középiskolásoknak?)

7 Tanárklub okt / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. Tassy Gergely: Catalan-számok, fák Prüfer kódja A mai előadás korábbi változata (Hogyan mondanám el középiskolásoknak?) Kiss Emil: Bevezetés az algebrába.

8 Tanárklub okt / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. Tassy Gergely: Catalan-számok, fák Prüfer kódja A mai előadás korábbi változata (Hogyan mondanám el középiskolásoknak?) Kiss Emil: Bevezetés az algebrába. Ingyen letölthető:

9 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 Háromszög-szimmetria Rubin Zafir Kalcit aluminium-oxid: Al 2 O 3 kalcium-karbonát: CaCO 3 Hematit Ametiszt Kvarc vasoxid: Fe 2 O 3 szilicium-dioxid: SiO 2

10 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 Hatszög-szimmetria Berill (berillium aluminium-szilikát): Be 3 Al 2 (SiO 3 ) 6 Vörös berill Smaragd Akvamarin

11 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 Hatszög-szimmetria Berill (berillium aluminium-szilikát): Be 3 Al 2 (SiO 3 ) 6 Egy szimmetriatengely körüli 60 -os elforgatás. Vörös berill Smaragd Akvamarin

12 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 Kocka oktaéder-szimmetria Galenit Gyémánt Fluorit ólom-szulfid: PbS szén: C kalcium-fluorid: CaF 2

13 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 Kocka oktaéder-szimmetria Összesen 48 szimmetria. Galenit Gyémánt Fluorit ólom-szulfid: PbS szén: C kalcium-fluorid: CaF 2

14 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 Kocka oktaéder-szimmetria Összesen 48 szimmetria. Hogyan számoljuk meg őket? Galenit Gyémánt Fluorit ólom-szulfid: PbS szén: C kalcium-fluorid: CaF 2

15 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik.

16 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás.

17 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás. Nyilván csúcs képe szimmetriánál csúcs lesz.

18 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás. Nyilván csúcs képe szimmetriánál csúcs lesz. Elég a csúcsok képeit ismerni, az meghatározza a transzformációt.

19 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás. Nyilván csúcs képe szimmetriánál csúcs lesz. Elég a csúcsok képeit ismerni, az meghatározza a transzformációt. Legyen X (rendszerint véges) halmaz (pl. egy kocka csúcsai). Az X halmazt önmagára képező kölcsönösen egyértelmű függvényeket az X halmaz permutációinak nevezük.

20 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás. Nyilván csúcs képe szimmetriánál csúcs lesz. Elég a csúcsok képeit ismerni, az meghatározza a transzformációt. Legyen X (rendszerint véges) halmaz (pl. egy kocka csúcsai). Az X halmazt önmagára képező kölcsönösen egyértelmű függvényeket az X halmaz permutációinak nevezük. Ezek a kompozíció (egymás után alkalmazás) műveletére nézve az S X szimmetrikus csoportot alkotják.

21 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás. Nyilván csúcs képe szimmetriánál csúcs lesz. Elég a csúcsok képeit ismerni, az meghatározza a transzformációt. Legyen X (rendszerint véges) halmaz (pl. egy kocka csúcsai). Az X halmazt önmagára képező kölcsönösen egyértelmű függvényeket az X halmaz permutációinak nevezük. Ezek a kompozíció (egymás után alkalmazás) műveletére nézve az S X szimmetrikus csoportot alkotják. A négyzet szimmetriái: négy forgatás és négy tükrözés.

22 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás. Nyilván csúcs képe szimmetriánál csúcs lesz. Elég a csúcsok képeit ismerni, az meghatározza a transzformációt. Legyen X (rendszerint véges) halmaz (pl. egy kocka csúcsai). Az X halmazt önmagára képező kölcsönösen egyértelmű függvényeket az X halmaz permutációinak nevezük. Ezek a kompozíció (egymás után alkalmazás) műveletére nézve az S X szimmetrikus csoportot alkotják. A négyzet szimmetriái: négy forgatás és négy tükrözés. Hogyan lehet a szimmetriákat általában megszámolni?

23 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor C A B

24 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: C A B

25 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), C A B

26 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. C A B

27 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. C A B

28 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. C P 1 A B

29 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 1 A B

30 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 1 A P 3 B

31 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 4 P 1 A P 3 B

32 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 4 P 5 P 1 A P 3 B

33 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 4 P 5 P 1 A P 3 P 6 B

34 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 4 P 1 pályája hatelemű. P 5 P 1 A P 3 P 6 B

35 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 4 P 1 pályája hatelemű. P 5 P 1 A P 3 Q 1 P 6 B

36 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 5 P 2 C P 4 P 1 P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, A P 3 Q 1 P 6 B

37 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 5 P 2 C Q 2 P 4 P 1 P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, A P 3 Q 1 P 6 B

38 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van,

39 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű.

40 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű.

41 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen

42 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás).

43 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás). Q 1 -et 2 transzformáció hagyja fixen

44 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás). Q 1 -et 2 transzformáció hagyja fixen (egy tükrözés is).

45 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás). Q 1 -et 2 transzformáció hagyja fixen (egy tükrözés is). A középpontot 6 transzformáció hagyja fixen.

46 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás). Q 1 -et 2 transzformáció hagyja fixen (egy tükrözés is). A középpontot 6 transzformáció hagyja fixen. (Pálya elemszáma)

47 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás). Q 1 -et 2 transzformáció hagyja fixen (egy tükrözés is). A középpontot 6 transzformáció hagyja fixen. (Pálya elemszáma) (fixáló trafók száma) =

48 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás). Q 1 -et 2 transzformáció hagyja fixen (egy tükrözés is). A középpontot 6 transzformáció hagyja fixen. (Pálya elemszáma) (fixáló trafók száma) = szimmetriák száma

49 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A pálya és stabilizátor elemszámának összefüggése Legyen G az X véges halmaz permutációinak olyan összessége, amely bármely két elemének kompozícióját (egymás utánját) is tartalmazza (azaz részcsoport).

50 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A pálya és stabilizátor elemszámának összefüggése Legyen G az X véges halmaz permutációinak olyan összessége, amely bármely két elemének kompozícióját (egymás utánját) is tartalmazza (azaz részcsoport). Az A X pont pályáját úgy kapjuk, hogy az összes G-beli permutációt alkalmazzuk A-ra.

51 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A pálya és stabilizátor elemszámának összefüggése Legyen G az X véges halmaz permutációinak olyan összessége, amely bármely két elemének kompozícióját (egymás utánját) is tartalmazza (azaz részcsoport). Az A X pont pályáját úgy kapjuk, hogy az összes G-beli permutációt alkalmazzuk A-ra. Az A X pont stabilizátora azokból a G-beli permutációkból áll, amelyek A-t fixálják, azaz önmagába képzik.

52 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A pálya és stabilizátor elemszámának összefüggése Legyen G az X véges halmaz permutációinak olyan összessége, amely bármely két elemének kompozícióját (egymás utánját) is tartalmazza (azaz részcsoport). Az A X pont pályáját úgy kapjuk, hogy az összes G-beli permutációt alkalmazzuk A-ra. Az A X pont stabilizátora azokból a G-beli permutációkból áll, amelyek A-t fixálják, azaz önmagába képzik. Pálya stabilizátor-tétel Ha egy pont pályájának és stabilizátorának elemszámát összeszorozzuk, akkor a G elemszámát kapjuk.

53 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma T U D A V B W C

54 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U A T D V B W C ABCDUVWT egy kocka,

55 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U A T D V B W C ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja.

56 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U A T D V B W C ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be

57 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel.

58 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba,

59 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba.

60 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű:

61 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}.

62 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben.

63 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H.

64 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó

65 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A,

66 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}.

67 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással

68 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ).

69 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű.

70 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban,

71 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L.

72 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű

73 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű {C, V}.

74 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű {C, V}. Végül L-ben C stabilizátora már egyelemű lesz.

75 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű {C, V}. Végül L-ben C stabilizátora már egyelemű lesz. Így G = 8 H

76 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű {C, V}. Végül L-ben C stabilizátora már egyelemű lesz. Így G = 8 H = 8 3 L

77 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű {C, V}. Végül L-ben C stabilizátora már egyelemű lesz. Így G = 8 H = 8 3 L =

78 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű {C, V}. Végül L-ben C stabilizátora már egyelemű lesz. Így G = 8 H = 8 3 L = = 48.

79 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt?

80 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük?

81 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is?

82 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz ( ) 9 = 36. 2

83 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ( ) 9 = 36. 2

84 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? ( ) 9 Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz = Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ez permutálja a 36 megoldást.

85 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? ( ) 9 Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz = Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ez permutálja a 36 megoldást. Két megoldás akkor vihető forgatással egymásba, ha egy pályán vannak.

86 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? ( ) 9 Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz = Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ez permutálja a 36 megoldást. Két megoldás akkor vihető forgatással egymásba, ha egy pályán vannak. Ezért a második kérdés a pályák száma!

87 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? ( ) 9 Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz = Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ez permutálja a 36 megoldást. Két megoldás akkor vihető forgatással egymásba, ha egy pályán vannak. Ezért a második kérdés a pályák száma! Burnside-(Cauchy-Frobenius-)lemma A pályák száma a szimmetriák fixpontjainak átlagos száma.

88 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? ( ) 9 Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz = Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ez permutálja a 36 megoldást. Két megoldás akkor vihető forgatással egymásba, ha egy pályán vannak. Ezért a második kérdés a pályák száma! Burnside-(Cauchy-Frobenius-)lemma A pályák száma a szimmetriák fixpontjainak átlagos száma. Szimmetrák bármely kompozícióra zárt halmazát (azaz csoportját) tekinthetjük,

89 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? ( ) 9 Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz = Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ez permutálja a 36 megoldást. Két megoldás akkor vihető forgatással egymásba, ha egy pályán vannak. Ezért a második kérdés a pályák száma! Burnside-(Cauchy-Frobenius-)lemma A pályák száma a szimmetriák fixpontjainak átlagos száma. Szimmetrák bármely kompozícióra zárt halmazát (azaz csoportját) tekinthetjük, ezért a harmadik kérdésre is választ kapunk.

90 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük?

91 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát.

92 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van.

93 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van. A 180 -os forgatásnak a középpontra tükrös megoldások a fixpontjai.

94 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van. A 180 -os forgatásnak a középpontra tükrös megoldások a fixpontjai.

95 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van. A 180 -os forgatásnak a középpontra tükrös megoldások a fixpontjai. Ezek száma (9 1)/2 = 4.

96 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van. A 180 -os forgatásnak a középpontra tükrös megoldások a fixpontjai. Ezek száma (9 1)/2 = 4. Egyik 90 -os forgatásnak sincs fixpontja a 36 között

97 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van. A 180 -os forgatásnak a középpontra tükrös megoldások a fixpontjai. Ezek száma (9 1)/2 = 4. Egyik 90 -os forgatásnak sincs fixpontja a 36 között (ehhez 1, vagy legalább 4 mezőt kellene választani a feladatban).

98 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van. A 180 -os forgatásnak a középpontra tükrös megoldások a fixpontjai. Ezek száma (9 1)/2 = 4. Egyik 90 -os forgatásnak sincs fixpontja a 36 között (ehhez 1, vagy legalább 4 mezőt kellene választani a feladatban). Így a pályák száma ( )/4 = 10.

99 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van.

100 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van. Az identitás, illetve a forgatások fixpontjainak száma ugyanaz, mint az előző esetben.

101 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van. Az identitás, illetve a forgatások fixpontjainak száma ugyanaz, mint az előző esetben. Mind a négy tengelyes tükrözés esetében hat fixpont van,

102 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van. Az identitás, illetve a forgatások fixpontjainak száma ugyanaz, mint az előző esetben. Mind a négy tengelyes tükrözés esetében hat fixpont van, ebből három olyan, ahol a kiválasztott mezők a tengelyen vannak.

103 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van. Az identitás, illetve a forgatások fixpontjainak száma ugyanaz, mint az előző esetben. Mind a négy tengelyes tükrözés esetében hat fixpont van, ebből három olyan, ahol a kiválasztott mezők a tengelyen vannak.

104 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van. Az identitás, illetve a forgatások fixpontjainak száma ugyanaz, mint az előző esetben. Mind a négy tengelyes tükrözés esetében hat fixpont van, ebből három olyan, ahol a kiválasztott mezők a tengelyen vannak.

105 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van. Az identitás, illetve a forgatások fixpontjainak száma ugyanaz, mint az előző esetben. Mind a négy tengelyes tükrözés esetében hat fixpont van, ebből három olyan, ahol a kiválasztott mezők a tengelyen vannak. Az eredmény ( )/8 = 8.

106 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van.

107 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig?

108 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat.

109 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64

110 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4

111 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

112 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

113 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

114 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

115 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

116 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 (1234) 6 permutáció 4 gráf fixpont 24 = 6 4 Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

117 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 (1234) 6 permutáció 4 gráf fixpont 24 = 6 4 (12) 6 permutáció 16 gráf fixpont 96 = 6 16 Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

118 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 (1234) 6 permutáció 4 gráf fixpont 24 = 6 4 (12) 6 permutáció 16 gráf fixpont 96 = 6 16 (12)(34) 3 permutáció 16 gráf fixpont 48 = 3 16 Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

119 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 (1234) 6 permutáció 4 gráf fixpont 24 = 6 4 (12) 6 permutáció 16 gráf fixpont 96 = 6 16 (12)(34) 3 permutáció 16 gráf fixpont 48 = 3 16 Összesen: 24 permutáció 264 = Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

120 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 (1234) 6 permutáció 4 gráf fixpont 24 = 6 4 (12) 6 permutáció 16 gráf fixpont 96 = 6 16 (12)(34) 3 permutáció 16 gráf fixpont 48 = 3 16 Összesen: 24 permutáció 264 = Tehát 11 darab nemizomorf négycsúcsú gráf van. Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

121 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba.

122 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített),

123 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített), akkor minden g G esetén g(a) = B h 1 g(a) = A

124 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített), akkor minden g G esetén g(a) = B h 1 g(a) = A és k(a) = A hk(a) = B.

125 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített), akkor minden g G esetén g(a) = B h 1 g(a) = A és k(a) = A hk(a) = B. A g h 1 g és hk k megfeleltetések egymás inverzei a (G-beli) A B, illetve A A permutációk között.

126 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített), akkor minden g G esetén g(a) = B h 1 g(a) = A és k(a) = A hk(a) = B. A g h 1 g és hk k megfeleltetések egymás inverzei a (G-beli) A B, illetve A A permutációk között. Utóbbiak az A pont G-beli stabilizátorát alkotják.

127 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített), akkor minden g G esetén g(a) = B h 1 g(a) = A és k(a) = A hk(a) = B. A g h 1 g és hk k megfeleltetések egymás inverzei a (G-beli) A B, illetve A A permutációk között. Utóbbiak az A pont G-beli stabilizátorát alkotják. Az előzőek szerint az A pályájának minden B elemére teljesül, hogy annyi G-beli permutáció viszi A-et B-be, ahány eleme A stabilizátorának van G-ben.

128 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített), akkor minden g G esetén g(a) = B h 1 g(a) = A és k(a) = A hk(a) = B. A g h 1 g és hk k megfeleltetések egymás inverzei a (G-beli) A B, illetve A A permutációk között. Utóbbiak az A pont G-beli stabilizátorát alkotják. Az előzőek szerint az A pályájának minden B elemére teljesül, hogy annyi G-beli permutáció viszi A-et B-be, ahány eleme A stabilizátorának van G-ben. Így G elemszáma a pálya és a stabilizátor elemszámának szorzata.

129 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k.

130 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.)

131 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.) Kétféleképpen megszámoljuk azokat a (g,a) párokat, ahol g(a) = A (és g G, A X). A számuk legyen N.

132 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.) Kétféleképpen megszámoljuk azokat a (g,a) párokat, ahol g(a) = A (és g G, A X). A számuk legyen N. Rögzített A mellett ez A stabilizátorának elemszáma.

133 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.) Kétféleképpen megszámoljuk azokat a (g,a) párokat, ahol g(a) = A (és g G, A X). A számuk legyen N. Rögzített A mellett ez A stabilizátorának elemszáma. A pálya-stabilizátor tétel miatt a G / O i számokat kell összeadni,

134 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.) Kétféleképpen megszámoljuk azokat a (g,a) párokat, ahol g(a) = A (és g G, A X). A számuk legyen N. Rögzített A mellett ez A stabilizátorának elemszáma. A pálya-stabilizátor tétel miatt a G / O i számokat kell összeadni, a G / O i -t annyiszor, ahány eleme O i -nek van.

135 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.) Kétféleképpen megszámoljuk azokat a (g,a) párokat, ahol g(a) = A (és g G, A X). A számuk legyen N. Rögzített A mellett ez A stabilizátorának elemszáma. A pálya-stabilizátor tétel miatt a G / O i számokat kell összeadni, a G / O i -t annyiszor, ahány eleme O i -nek van. Ezért N = k G (ahol k a pályák száma).

136 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.) Kétféleképpen megszámoljuk azokat a (g,a) párokat, ahol g(a) = A (és g G, A X). A számuk legyen N. Rögzített A mellett ez A stabilizátorának elemszáma. A pálya-stabilizátor tétel miatt a G / O i számokat kell összeadni, a G / O i -t annyiszor, ahány eleme O i -nek van. Ezért N = k G (ahol k a pályák száma). Rögzített g mellett g fixpontjainak számát kapjuk.