Matematikatanárok Klubja

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematikatanárok Klubja"

Átírás

1 Tanárklub okt / 17 Matematikatanárok Klubja Szimmetriák és leszámlálások Kiss Emil okt. 7.

2 Tanárklub okt / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: miertmat/progs.html

3 Tanárklub okt / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok.

4 Tanárklub okt / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. Tassy Gergely: Catalan-számok, fák Prüfer kódja

5 Tanárklub okt / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. Tassy Gergely: Catalan-számok, fák Prüfer kódja A mai előadás korábbi változata

6 Tanárklub okt / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. Tassy Gergely: Catalan-számok, fák Prüfer kódja A mai előadás korábbi változata (Hogyan mondanám el középiskolásoknak?)

7 Tanárklub okt / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. Tassy Gergely: Catalan-számok, fák Prüfer kódja A mai előadás korábbi változata (Hogyan mondanám el középiskolásoknak?) Kiss Emil: Bevezetés az algebrába.

8 Tanárklub okt / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. Tassy Gergely: Catalan-számok, fák Prüfer kódja A mai előadás korábbi változata (Hogyan mondanám el középiskolásoknak?) Kiss Emil: Bevezetés az algebrába. Ingyen letölthető:

9 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 Háromszög-szimmetria Rubin Zafir Kalcit aluminium-oxid: Al 2 O 3 kalcium-karbonát: CaCO 3 Hematit Ametiszt Kvarc vasoxid: Fe 2 O 3 szilicium-dioxid: SiO 2

10 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 Hatszög-szimmetria Berill (berillium aluminium-szilikát): Be 3 Al 2 (SiO 3 ) 6 Vörös berill Smaragd Akvamarin

11 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 Hatszög-szimmetria Berill (berillium aluminium-szilikát): Be 3 Al 2 (SiO 3 ) 6 Egy szimmetriatengely körüli 60 -os elforgatás. Vörös berill Smaragd Akvamarin

12 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 Kocka oktaéder-szimmetria Galenit Gyémánt Fluorit ólom-szulfid: PbS szén: C kalcium-fluorid: CaF 2

13 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 Kocka oktaéder-szimmetria Összesen 48 szimmetria. Galenit Gyémánt Fluorit ólom-szulfid: PbS szén: C kalcium-fluorid: CaF 2

14 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 Kocka oktaéder-szimmetria Összesen 48 szimmetria. Hogyan számoljuk meg őket? Galenit Gyémánt Fluorit ólom-szulfid: PbS szén: C kalcium-fluorid: CaF 2

15 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik.

16 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás.

17 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás. Nyilván csúcs képe szimmetriánál csúcs lesz.

18 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás. Nyilván csúcs képe szimmetriánál csúcs lesz. Elég a csúcsok képeit ismerni, az meghatározza a transzformációt.

19 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás. Nyilván csúcs képe szimmetriánál csúcs lesz. Elég a csúcsok képeit ismerni, az meghatározza a transzformációt. Legyen X (rendszerint véges) halmaz (pl. egy kocka csúcsai). Az X halmazt önmagára képező kölcsönösen egyértelmű függvényeket az X halmaz permutációinak nevezük.

20 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás. Nyilván csúcs képe szimmetriánál csúcs lesz. Elég a csúcsok képeit ismerni, az meghatározza a transzformációt. Legyen X (rendszerint véges) halmaz (pl. egy kocka csúcsai). Az X halmazt önmagára képező kölcsönösen egyértelmű függvényeket az X halmaz permutációinak nevezük. Ezek a kompozíció (egymás után alkalmazás) műveletére nézve az S X szimmetrikus csoportot alkotják.

21 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás. Nyilván csúcs képe szimmetriánál csúcs lesz. Elég a csúcsok képeit ismerni, az meghatározza a transzformációt. Legyen X (rendszerint véges) halmaz (pl. egy kocka csúcsai). Az X halmazt önmagára képező kölcsönösen egyértelmű függvényeket az X halmaz permutációinak nevezük. Ezek a kompozíció (egymás után alkalmazás) műveletére nézve az S X szimmetrikus csoportot alkotják. A négyzet szimmetriái: négy forgatás és négy tükrözés.

22 Szimmetriák Tanárklub okt / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás. Nyilván csúcs képe szimmetriánál csúcs lesz. Elég a csúcsok képeit ismerni, az meghatározza a transzformációt. Legyen X (rendszerint véges) halmaz (pl. egy kocka csúcsai). Az X halmazt önmagára képező kölcsönösen egyértelmű függvényeket az X halmaz permutációinak nevezük. Ezek a kompozíció (egymás után alkalmazás) műveletére nézve az S X szimmetrikus csoportot alkotják. A négyzet szimmetriái: négy forgatás és négy tükrözés. Hogyan lehet a szimmetriákat általában megszámolni?

23 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor C A B

24 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: C A B

25 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), C A B

26 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. C A B

27 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. C A B

28 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. C P 1 A B

29 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 1 A B

30 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 1 A P 3 B

31 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 4 P 1 A P 3 B

32 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 4 P 5 P 1 A P 3 B

33 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 4 P 5 P 1 A P 3 P 6 B

34 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 4 P 1 pályája hatelemű. P 5 P 1 A P 3 P 6 B

35 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 4 P 1 pályája hatelemű. P 5 P 1 A P 3 Q 1 P 6 B

36 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 5 P 2 C P 4 P 1 P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, A P 3 Q 1 P 6 B

37 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 5 P 2 C Q 2 P 4 P 1 P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, A P 3 Q 1 P 6 B

38 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van,

39 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű.

40 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű.

41 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen

42 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás).

43 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás). Q 1 -et 2 transzformáció hagyja fixen

44 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás). Q 1 -et 2 transzformáció hagyja fixen (egy tükrözés is).

45 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás). Q 1 -et 2 transzformáció hagyja fixen (egy tükrözés is). A középpontot 6 transzformáció hagyja fixen.

46 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás). Q 1 -et 2 transzformáció hagyja fixen (egy tükrözés is). A középpontot 6 transzformáció hagyja fixen. (Pálya elemszáma)

47 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás). Q 1 -et 2 transzformáció hagyja fixen (egy tükrözés is). A középpontot 6 transzformáció hagyja fixen. (Pálya elemszáma) (fixáló trafók száma) =

48 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás). Q 1 -et 2 transzformáció hagyja fixen (egy tükrözés is). A középpontot 6 transzformáció hagyja fixen. (Pálya elemszáma) (fixáló trafók száma) = szimmetriák száma

49 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A pálya és stabilizátor elemszámának összefüggése Legyen G az X véges halmaz permutációinak olyan összessége, amely bármely két elemének kompozícióját (egymás utánját) is tartalmazza (azaz részcsoport).

50 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A pálya és stabilizátor elemszámának összefüggése Legyen G az X véges halmaz permutációinak olyan összessége, amely bármely két elemének kompozícióját (egymás utánját) is tartalmazza (azaz részcsoport). Az A X pont pályáját úgy kapjuk, hogy az összes G-beli permutációt alkalmazzuk A-ra.

51 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A pálya és stabilizátor elemszámának összefüggése Legyen G az X véges halmaz permutációinak olyan összessége, amely bármely két elemének kompozícióját (egymás utánját) is tartalmazza (azaz részcsoport). Az A X pont pályáját úgy kapjuk, hogy az összes G-beli permutációt alkalmazzuk A-ra. Az A X pont stabilizátora azokból a G-beli permutációkból áll, amelyek A-t fixálják, azaz önmagába képzik.

52 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A pálya és stabilizátor elemszámának összefüggése Legyen G az X véges halmaz permutációinak olyan összessége, amely bármely két elemének kompozícióját (egymás utánját) is tartalmazza (azaz részcsoport). Az A X pont pályáját úgy kapjuk, hogy az összes G-beli permutációt alkalmazzuk A-ra. Az A X pont stabilizátora azokból a G-beli permutációkból áll, amelyek A-t fixálják, azaz önmagába képzik. Pálya stabilizátor-tétel Ha egy pont pályájának és stabilizátorának elemszámát összeszorozzuk, akkor a G elemszámát kapjuk.

53 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma T U D A V B W C

54 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U A T D V B W C ABCDUVWT egy kocka,

55 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U A T D V B W C ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja.

56 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U A T D V B W C ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be

57 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel.

58 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba,

59 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba.

60 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű:

61 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}.

62 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben.

63 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H.

64 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó

65 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A,

66 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}.

67 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással

68 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ).

69 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű.

70 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban,

71 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L.

72 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű

73 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű {C, V}.

74 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű {C, V}. Végül L-ben C stabilizátora már egyelemű lesz.

75 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű {C, V}. Végül L-ben C stabilizátora már egyelemű lesz. Így G = 8 H

76 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű {C, V}. Végül L-ben C stabilizátora már egyelemű lesz. Így G = 8 H = 8 3 L

77 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű {C, V}. Végül L-ben C stabilizátora már egyelemű lesz. Így G = 8 H = 8 3 L =

78 A szimmetriák száma Tanárklub okt / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű {C, V}. Végül L-ben C stabilizátora már egyelemű lesz. Így G = 8 H = 8 3 L = = 48.

79 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt?

80 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük?

81 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is?

82 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz ( ) 9 = 36. 2

83 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ( ) 9 = 36. 2

84 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? ( ) 9 Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz = Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ez permutálja a 36 megoldást.

85 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? ( ) 9 Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz = Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ez permutálja a 36 megoldást. Két megoldás akkor vihető forgatással egymásba, ha egy pályán vannak.

86 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? ( ) 9 Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz = Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ez permutálja a 36 megoldást. Két megoldás akkor vihető forgatással egymásba, ha egy pályán vannak. Ezért a második kérdés a pályák száma!

87 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? ( ) 9 Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz = Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ez permutálja a 36 megoldást. Két megoldás akkor vihető forgatással egymásba, ha egy pályán vannak. Ezért a második kérdés a pályák száma! Burnside-(Cauchy-Frobenius-)lemma A pályák száma a szimmetriák fixpontjainak átlagos száma.

88 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? ( ) 9 Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz = Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ez permutálja a 36 megoldást. Két megoldás akkor vihető forgatással egymásba, ha egy pályán vannak. Ezért a második kérdés a pályák száma! Burnside-(Cauchy-Frobenius-)lemma A pályák száma a szimmetriák fixpontjainak átlagos száma. Szimmetrák bármely kompozícióra zárt halmazát (azaz csoportját) tekinthetjük,

89 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? ( ) 9 Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz = Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ez permutálja a 36 megoldást. Két megoldás akkor vihető forgatással egymásba, ha egy pályán vannak. Ezért a második kérdés a pályák száma! Burnside-(Cauchy-Frobenius-)lemma A pályák száma a szimmetriák fixpontjainak átlagos száma. Szimmetrák bármely kompozícióra zárt halmazát (azaz csoportját) tekinthetjük, ezért a harmadik kérdésre is választ kapunk.

90 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük?

91 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát.

92 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van.

93 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van. A 180 -os forgatásnak a középpontra tükrös megoldások a fixpontjai.

94 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van. A 180 -os forgatásnak a középpontra tükrös megoldások a fixpontjai.

95 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van. A 180 -os forgatásnak a középpontra tükrös megoldások a fixpontjai. Ezek száma (9 1)/2 = 4.

96 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van. A 180 -os forgatásnak a középpontra tükrös megoldások a fixpontjai. Ezek száma (9 1)/2 = 4. Egyik 90 -os forgatásnak sincs fixpontja a 36 között

97 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van. A 180 -os forgatásnak a középpontra tükrös megoldások a fixpontjai. Ezek száma (9 1)/2 = 4. Egyik 90 -os forgatásnak sincs fixpontja a 36 között (ehhez 1, vagy legalább 4 mezőt kellene választani a feladatban).

98 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van. A 180 -os forgatásnak a középpontra tükrös megoldások a fixpontjai. Ezek száma (9 1)/2 = 4. Egyik 90 -os forgatásnak sincs fixpontja a 36 között (ehhez 1, vagy legalább 4 mezőt kellene választani a feladatban). Így a pályák száma ( )/4 = 10.

99 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van.

100 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van. Az identitás, illetve a forgatások fixpontjainak száma ugyanaz, mint az előző esetben.

101 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van. Az identitás, illetve a forgatások fixpontjainak száma ugyanaz, mint az előző esetben. Mind a négy tengelyes tükrözés esetében hat fixpont van,

102 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van. Az identitás, illetve a forgatások fixpontjainak száma ugyanaz, mint az előző esetben. Mind a négy tengelyes tükrözés esetében hat fixpont van, ebből három olyan, ahol a kiválasztott mezők a tengelyen vannak.

103 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van. Az identitás, illetve a forgatások fixpontjainak száma ugyanaz, mint az előző esetben. Mind a négy tengelyes tükrözés esetében hat fixpont van, ebből három olyan, ahol a kiválasztott mezők a tengelyen vannak.

104 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van. Az identitás, illetve a forgatások fixpontjainak száma ugyanaz, mint az előző esetben. Mind a négy tengelyes tükrözés esetében hat fixpont van, ebből három olyan, ahol a kiválasztott mezők a tengelyen vannak.

105 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van. Az identitás, illetve a forgatások fixpontjainak száma ugyanaz, mint az előző esetben. Mind a négy tengelyes tükrözés esetében hat fixpont van, ebből három olyan, ahol a kiválasztott mezők a tengelyen vannak. Az eredmény ( )/8 = 8.

106 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van.

107 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig?

108 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat.

109 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64

110 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4

111 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

112 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

113 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

114 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

115 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

116 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 (1234) 6 permutáció 4 gráf fixpont 24 = 6 4 Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

117 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 (1234) 6 permutáció 4 gráf fixpont 24 = 6 4 (12) 6 permutáció 16 gráf fixpont 96 = 6 16 Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

118 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 (1234) 6 permutáció 4 gráf fixpont 24 = 6 4 (12) 6 permutáció 16 gráf fixpont 96 = 6 16 (12)(34) 3 permutáció 16 gráf fixpont 48 = 3 16 Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

119 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 (1234) 6 permutáció 4 gráf fixpont 24 = 6 4 (12) 6 permutáció 16 gráf fixpont 96 = 6 16 (12)(34) 3 permutáció 16 gráf fixpont 48 = 3 16 Összesen: 24 permutáció 264 = Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

120 Lényegesen különböző megoldások Tanárklub okt / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 (1234) 6 permutáció 4 gráf fixpont 24 = 6 4 (12) 6 permutáció 16 gráf fixpont 96 = 6 16 (12)(34) 3 permutáció 16 gráf fixpont 48 = 3 16 Összesen: 24 permutáció 264 = Tehát 11 darab nemizomorf négycsúcsú gráf van. Az (123) permutáció ( és 4 4) fixpont-gráfjai:

121 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba.

122 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített),

123 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített), akkor minden g G esetén g(a) = B h 1 g(a) = A

124 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített), akkor minden g G esetén g(a) = B h 1 g(a) = A és k(a) = A hk(a) = B.

125 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített), akkor minden g G esetén g(a) = B h 1 g(a) = A és k(a) = A hk(a) = B. A g h 1 g és hk k megfeleltetések egymás inverzei a (G-beli) A B, illetve A A permutációk között.

126 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített), akkor minden g G esetén g(a) = B h 1 g(a) = A és k(a) = A hk(a) = B. A g h 1 g és hk k megfeleltetések egymás inverzei a (G-beli) A B, illetve A A permutációk között. Utóbbiak az A pont G-beli stabilizátorát alkotják.

127 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített), akkor minden g G esetén g(a) = B h 1 g(a) = A és k(a) = A hk(a) = B. A g h 1 g és hk k megfeleltetések egymás inverzei a (G-beli) A B, illetve A A permutációk között. Utóbbiak az A pont G-beli stabilizátorát alkotják. Az előzőek szerint az A pályájának minden B elemére teljesül, hogy annyi G-beli permutáció viszi A-et B-be, ahány eleme A stabilizátorának van G-ben.

128 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített), akkor minden g G esetén g(a) = B h 1 g(a) = A és k(a) = A hk(a) = B. A g h 1 g és hk k megfeleltetések egymás inverzei a (G-beli) A B, illetve A A permutációk között. Utóbbiak az A pont G-beli stabilizátorát alkotják. Az előzőek szerint az A pályájának minden B elemére teljesül, hogy annyi G-beli permutáció viszi A-et B-be, ahány eleme A stabilizátorának van G-ben. Így G elemszáma a pálya és a stabilizátor elemszámának szorzata.

129 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k.

130 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.)

131 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.) Kétféleképpen megszámoljuk azokat a (g,a) párokat, ahol g(a) = A (és g G, A X). A számuk legyen N.

132 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.) Kétféleképpen megszámoljuk azokat a (g,a) párokat, ahol g(a) = A (és g G, A X). A számuk legyen N. Rögzített A mellett ez A stabilizátorának elemszáma.

133 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.) Kétféleképpen megszámoljuk azokat a (g,a) párokat, ahol g(a) = A (és g G, A X). A számuk legyen N. Rögzített A mellett ez A stabilizátorának elemszáma. A pálya-stabilizátor tétel miatt a G / O i számokat kell összeadni,

134 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.) Kétféleképpen megszámoljuk azokat a (g,a) párokat, ahol g(a) = A (és g G, A X). A számuk legyen N. Rögzített A mellett ez A stabilizátorának elemszáma. A pálya-stabilizátor tétel miatt a G / O i számokat kell összeadni, a G / O i -t annyiszor, ahány eleme O i -nek van.

135 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.) Kétféleképpen megszámoljuk azokat a (g,a) párokat, ahol g(a) = A (és g G, A X). A számuk legyen N. Rögzített A mellett ez A stabilizátorának elemszáma. A pálya-stabilizátor tétel miatt a G / O i számokat kell összeadni, a G / O i -t annyiszor, ahány eleme O i -nek van. Ezért N = k G (ahol k a pályák száma).

136 Két bizonyítás Tanárklub okt / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.) Kétféleképpen megszámoljuk azokat a (g,a) párokat, ahol g(a) = A (és g G, A X). A számuk legyen N. Rögzített A mellett ez A stabilizátorának elemszáma. A pálya-stabilizátor tétel miatt a G / O i számokat kell összeadni, a G / O i -t annyiszor, ahány eleme O i -nek van. Ezért N = k G (ahol k a pályák száma). Rögzített g mellett g fixpontjainak számát kapjuk.

1. Szimmetriák. Háromszög-szimmetria. Rubin Zafir Kalcit aluminium-oxid: Al 2 O 3 kalcium-karbonát: CaCO 3

1. Szimmetriák. Háromszög-szimmetria. Rubin Zafir Kalcit aluminium-oxid: Al 2 O 3 kalcium-karbonát: CaCO 3 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: https://www.cs.elte.hu/ miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. https://www.youtube.com/watch?v=iy4dzcwyf5s

Részletesebben

Algebra2, alapszint 11. előadás 1 / 11. Algebra2, alapszint. ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék. Előadó: Kiss Emil 11.

Algebra2, alapszint 11. előadás 1 / 11. Algebra2, alapszint. ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék. Előadó: Kiss Emil 11. Algebra2, alapszint 11. előadás 1 / 11 Algebra2, alapszint ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék Előadó: Kiss Emil ewkiss@cs.elte.hu 11. előadás Kristályok szimmetriái Algebra2, alapszint 11. előadás 2 /

Részletesebben

Algebra gyakorlat, 4. feladatsor, megoldásvázlatok

Algebra gyakorlat, 4. feladatsor, megoldásvázlatok Algebra gyakorlat, 4. feladatsor, megoldásvázlatok 0. Ha G egy véges csoport, akkor nyilván csak véges sok részcsoportja van. Legyen most G végtelen. Ha van végtelen rend g G elem, akkor g (Z, +), aminek

Részletesebben

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek 16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési

Részletesebben

Feladatok Házi feladat. Keszeg Attila

Feladatok Házi feladat. Keszeg Attila 2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok 2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe

Részletesebben

Mozdony egy algebrista képerny jén

Mozdony egy algebrista képerny jén Mozdony egy algebrista képerny jén Czédli Gábor (Szeged, Egyetemi Tavasz, 2015.04.18.) 2015. április 18. Csoport (a SZIMMETRIA absztrakciójából) 0'/20 Deníció Évariste Galois (1811. okt. 11 1832. május

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

Waldhauser Tamás december 1.

Waldhauser Tamás december 1. Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

Egy negyedikes felvételi feladattól az egyetemi matematikáig

Egy negyedikes felvételi feladattól az egyetemi matematikáig Egy negyedikes felvételi feladattól az egyetemi matematikáig Tassy Gergely Veres Péter Gimnázium, Budapest ELTE Matematikatanár-délután Kombinatorika és gráfelmélet a középiskolában 2015. február 18. I.

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak

MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 1. Csoportelméleti alapfogalmak 1.1. Feladat. Csoportot alkotnak-e az alábbi halmazok a megadott műveletre nézve? (1) (Z 2 ; ), (2) (Z 2 ; +), (3) (R \ { 1}; ),

Részletesebben

OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY

OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Gráfok Betűk használata a matematikában Hatványozás. A

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

TANMENET ... Az iskola fejbélyegzője. a matematika tantárgy. tanításához a 9. a, b osztályok számára

TANMENET ... Az iskola fejbélyegzője. a matematika tantárgy. tanításához a 9. a, b osztályok számára Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához a 9. a, b osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján

Részletesebben

VI.3. TORPEDÓ. A feladatsor jellemzői

VI.3. TORPEDÓ. A feladatsor jellemzői VI.. TORPEDÓ Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Tengelyes és középpontos tükrözés, forgatás, eltolás és szimmetriák. Előzmények A tanulók ismerik a tengelyes tükrözést, középpontos tükrözést, 0 -os pont

Részletesebben

Egy kis csoportos elmélet

Egy kis csoportos elmélet Egy kis csoportos elmélet Molnár Attila 1. Röviden és tömören és keveset... 1. Definíció (Csoport). Egy G halmaz csoport, ha értelmezett rajta egy művelet, melyre teljesül, hogy Asszociatív: Van neutrális

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

Csoporthatások. 1 Alapfogalmak 1 ALAPFOGALMAK. G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül

Csoporthatások. 1 Alapfogalmak 1 ALAPFOGALMAK. G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül 1 ALAPFOGALMAK Csoporthatások 1 Alapfogalmak G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül és µ(g, µ(h, x)) = µ(gh, x) µ(1 G, x) = x minden g, h G és x X esetén. Multiplikatív

Részletesebben

I. A geometriai transzformáció fogalma

I. A geometriai transzformáció fogalma 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató I. A geometriai transzformáció fogalma Kártyakészlet a geometriai transzformációkhoz Módszertani megjegyzés: Ezeket a kártyákat a csoportok számának megfelelő

Részletesebben

Síkgeometria. Ponthalmazok

Síkgeometria.  Ponthalmazok Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

Matematika levelezős verseny általános iskolásoknak II. forduló megoldásai

Matematika levelezős verseny általános iskolásoknak II. forduló megoldásai Matematika levelezős verseny általános iskolásoknak II. forduló megoldásai 1. Hány olyan téglalap van, amelynek csúcsai az alábbi négyzetrács rácspontjaira esnek? A téglalapok oldalai vagy,,függőlegesek"

Részletesebben

SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM

SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM A vizsga szerkezete: A vizsga írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. 1.) Írásbeli vizsga Időtartama: 45 perc Elérhető pontszám: 65 pont Feladattípusok:

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: spec.mat szakkör Tartotta: Hraskó András. 1. alkalom

Hraskó András, Surányi László: spec.mat szakkör Tartotta: Hraskó András. 1. alkalom 1. alkalom 1. Beszínezzük a koordináta-rendszer rácspontjait. Egyetlen szabályt kell betartanunk: az (a;b) pontnak ugyanolyan színűnek kell lennie, mint az (a-b;a) és az (a;b-a) pontnak (a és b egész számok).

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

2. Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x) 3. Oldja meg a [ π; π] zárt intervallumon a. A \ B = { } 2 pont. függvény.

2. Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x) 3. Oldja meg a [ π; π] zárt intervallumon a. A \ B = { } 2 pont. függvény. 1. Az A halmaz elemei a ( 5)-nél nagyobb, de 2-nél kisebb egész számok. B a pozitív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az A \ B halmazt! A \ B = { } 2. Adott a valós számok halmazán

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Csoportelmélet ( ) ϕ ψ adatokra ( ) ( ) ( ) ( )

Csoportelmélet ( ) ϕ ψ adatokra ( ) ( ) ( ) ( ) Csoportelmélet ( A csoportaxiómák nem tartalmaznak ellentmondást mert az { } csoportot alkot. Fizika felépítése: fizikai valóság fizikai modellek matematikai modellek (átjárhatók reprezentációk (áttranszformálhatók

Részletesebben

Számítógépes geometria

Számítógépes geometria 2011 sz A grakus szállítószalag terv a geometriai (matematikai) modell megalkotása modelltranszformáció (3D 3D) vetítés (3D 2D) képtranszformáció (2D 2D)... raszterizáció A grakus szállítószalag: koncepció

Részletesebben

JEGYZET Geometria 2., tanárszak

JEGYZET Geometria 2., tanárszak JEGYZET Geometria 2., tanárszak Hálás köszönet a segítségért Marosi Pollának, Kiss Györgynek, Lakos Gyulának, Tóth Árpádnak, Wintsche Gergőnek. Felhasznált fogalmak Felhasználjuk a valós vektortér és mátrix

Részletesebben

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van. Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet! 1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +

Részletesebben

Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok. Algebra és számelmélet

Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok. Algebra és számelmélet Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok halmaz halmaz megadása, jelölésmód üres halmaz véges halmaz végtelen halmaz halmazok egyenlısége részhalmaz, valódi részhalmaz halmazok uniója

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Geometriai transzformációk

Geometriai transzformációk Geometriai transzformációk 11 elemi geometriafeladat 10. és DG Matektábor 2016. október 6. Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október

Részletesebben

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria GEOMETRIA A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria A SÍKGEOMETRIA TANÍTÁSA 5-10. OSZTÁLY Síkgeometriai fogalmak

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége,

Részletesebben

Transzformációk síkon, térben

Transzformációk síkon, térben Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek

Részletesebben

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud

Részletesebben

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. 3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve)

Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve) Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve) Kombinatorika 5. előadás SZTE Bolyai Intézet Szeged, 2016. március 1. 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát

Részletesebben

Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika

Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika 1. félév 1. Gondolkozz és számolj! A természetes szám fogalma, műveleti tulajdonságok Helyiértékek rendszere a tízes számrendszerben: alakiérték, tényleges

Részletesebben

IV. Felkészítő feladatsor

IV. Felkészítő feladatsor IV. Felkészítő feladatsor 1. Az A halmaz elemei a (-7)-nél nagyobb, de 4-nél kisebb egész számok. B a nemnegatív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az A \ B halmazt! I. 2. Adott a

Részletesebben

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat 1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Részletesebben

Érdemes egy n*n-es táblázatban (sorok-lányok, oszlopok-fiúk) ábrázolni a két színnel, mely éleket húztuk be (pirossal, kékkel)

Érdemes egy n*n-es táblázatban (sorok-lányok, oszlopok-fiúk) ábrázolni a két színnel, mely éleket húztuk be (pirossal, kékkel) Kombi/2 Egy bizonyos bulin n lány és n fiú vesz részt. Minden fiú pontosan a darab lányt és minden lány pontosan b darab fiút kedvel. Milyen (a,b) számpárok esetén létezik biztosan olyan fiúlány pár, akik

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

15. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK

15. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK MATEMATIK A 9. évfolyam 15. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK KÉSZÍTETTE: BIRLONI SZILVIA Matematika A 9. évfolyam. 15. modul: VEKTOROK, EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Tanári útmutató 2 A modul célja

Részletesebben

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Permut aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Permut aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev Algebra és számelmélet 3 előadás Permutációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév 1. Definíció. Permutációnak nevezzük egy nemüres (véges) halmaz önmagára való bijektív leképezését. 2. Definíció. Az {1, 2,...,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Egybevágósági transzformációk

Egybevágósági transzformációk Egybevágósági transzformációk Párhuzamos eltolás Geometriai transzformációk Egybevágósági transzformációk (9. osztály) Helybenhagyás Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli forgatás Párhuzamos

Részletesebben

Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:

Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény

Részletesebben

Matematika 6. osztály Osztályozó vizsga

Matematika 6. osztály Osztályozó vizsga Matematika 6. osztály Osztályozó vizsga 1. Számok és műveletek 1. A tízes számrendszer Számok írása, olvasása, ábrázolása Az egymilliónál nagyobb természetes számok írása, olvasása. Számok tizedestört

Részletesebben

Egybevágóság szerkesztések

Egybevágóság szerkesztések Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes

Részletesebben

Geometria 1, normálszint

Geometria 1, normálszint Geometria 1, normálszint 2. előadás 1 / 46 Geometria 1, normálszint ELTE Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék 2019 A diákat készítette: Moussong Gábor Előadó: Lakos Gyula lakos@math.elte.hu 2. előadás

Részletesebben

1. Transzformációk mátrixa

1. Transzformációk mátrixa 1 Transzformáiók mátrixa Lineáris transzformáiók Definíió T test Az A : T n T n függvény lineáris transzformáió, ha tetszőleges v,w T n vektorra és λ skalárra teljesül, hogy A(v + w) A(v) + A(w) és A(λv)

Részletesebben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

A parkettázás problémája

A parkettázás problémája A parkettázás problémája Szakdolgozat Készítette: Kis László (Matematika BSC, Tanári szakirány) Témavezető: Szeghy Dávid (geometria tanszék) Eötvös Lóránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest,

Részletesebben

Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei

Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei Számítástudomány alapjai Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei 90. A konvex poliéder egyes lapjait határoló élek száma legyen k! Egy konvex poliéder egy tetszőleges

Részletesebben

Fejezetek az euklideszi geometriából

Fejezetek az euklideszi geometriából Fejezetek az euklideszi geometriából Ebben a fejezetben euklideszi térben dolgozunk: vagyis mindvégig feltételezzük, hogy érvényes az abszolút geometria axiómarendszere és az euklideszi párhuzamossági

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. 1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei a 9. szakközépiskolai osztályban fizikából 2 Minimum követelmények 2 A továbbhaladás feltételei a 10. szakközépiskolai osztályban

Részletesebben

Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, kulcsfogalmak/fogalmak 1. Év eleji szervezési feladatok 2.

Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, kulcsfogalmak/fogalmak 1. Év eleji szervezési feladatok 2. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI ELŐKÉSZTŐ 11. évfolyam Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, 1. Év eleji szervezési feladatok 2. A hatványozásról tanultak ismétlése, feladatok az n- edik gyök fogalmára, azonosságaira

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

2017/2018. Matematika 9.K

2017/2018. Matematika 9.K 2017/2018. Matematika 9.K Matematika javítóvizsga 2018. augusztus szóbeli 3 rövidebb (feladat, definíció, tétel) és 3 hosszabb feladat megoldása a 30 perces felkészülési idő alatt a megoldás ismertetése

Részletesebben

Programozási nyelvek 2. előadás

Programozási nyelvek 2. előadás Programozási nyelvek 2. előadás Logo forgatás tétel Forgatás tétel Ha az ismétlendő rész T fok fordulatot végez és a kezdőhelyére visszatér, akkor az ismétlések által rajzolt ábrák egymás T fokkal elforgatottjai

Részletesebben

1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni

1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni 1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni a) 5 db 8 cm hosszú, b) 8 db 5 cm hosszú cérnával? Megoldás:

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben