Mozdony egy algebrista képerny jén

Átírás

1 Mozdony egy algebrista képerny jén Czédli Gábor (Szeged, Egyetemi Tavasz, ) április 18.

2 Csoport (a SZIMMETRIA absztrakciójából) 0'/20 Deníció Évariste Galois (1811. okt május 31.) Csoport: (G; ), (xy)z = x(yz), van egységelem, azaz egy olyan 1 G, hogy 1 x = x = x 1, és minden x G elemnek van inverze, azaz egy olyan y G, hogy xy = yx = 1. (Az x inverzét x 1 jelöli, tehát xx 1 = 1 = x 1 x.)

3 Példák csoportra 1'/19 Példa ({nemnulla valós számok}; ). Inverz = reciprok. Példa ({sík (tér) egybevágósági transzformációi}; ). Szorzás: egymás utáni végrehajtás. Egybevágósági transzformáció szimmetria!

4 Példák csoportra 1'/19 Példa ({nemnulla valós számok}; ). Inverz = reciprok. Példa ({sík (tér) egybevágósági transzformációi}; ). Szorzás: egymás utáni végrehajtás. Egybevágósági transzformáció szimmetria!

5 A D 5 szimmetriacsoport 1'/19 Példa D 5 = ({1, α, α 2, α 2, α 3, α 4, τ 1, τ 2, τ 3, τ 4, τ 5 }; ), a szabályos ötszög szimmetriacsoportja. Példa Adott síkidom, mértani test, Rubik-kocka, kristályrács, stb. szimmetriacsoportja.

6 A D 5 szimmetriacsoport 1'/19 Példa D 5 = ({1, α, α 2, α 2, α 3, α 4, τ 1, τ 2, τ 3, τ 4, τ 5 }; ), a szabályos ötszög szimmetriacsoportja. Példa Adott síkidom, mértani test, Rubik-kocka, kristályrács, stb. szimmetriacsoportja.

7 Így számolunk D 5 -ben 2'/18 ( ) ( Számolás a D 5 csoportban: τ 2 α = ) = ( ) = τ Példa Sík periodikus lefedései (parkettázás, csempézés, tapétázás) sokszögekkel. M. C. Escher :

8 Csoport és csempézés (Escher) 3'/17 Példa M. C. Escher]

9 Középkori iszlám m vészet: mind a 17 3'/17 Periodikusan, teljes él mentén illeszked szabályos sokszögekkel: 17 Alhambra palotaer d (Granada, Spanyolország). Példa (Seville, Spain)

10 Gráf szimmetriacsoportja 4'/16 Példa ( ) 1 2 3, ( ) 1 2 3, Irányított gráf szimmetriái is csoportot alkotnak; ( esetünkben ) ennek elemei:

11 Polinom Galois-csoportja 4'/16 Deníció Legyen f (x) egy n-edfokú egész együtthatós polinom. Legyen irreducibilis ( szorzat). Gyökei: x 1,..., x n (különböz k). Az f (x) szimmetriacsoportja, más néven Galois-csoportja azon {x 1,..., x n } {x 1,..., x n } permutációkból áll, amelyek meg rzik az algebrai összefüggéseket. Algebrai összefüggés: bármi, amit az x 1,..., x n -b l és egész számokból az összeadás, szorzás, kivonás segítségével fel tudunk írni. Pl. 3x 1 + x 1 x 3 x 2 2 = 0.

12 Melyik polinom a legkevésbé szimmetrikus? 5'/15 Példa (A négy közül melyik lóg ki a sorból szimmetria szempontból?) c { 8, 2, 8, 12}-re az f (x) = x 3 12x +c polinom grakonja

13 Még mindig a négy polinomról 6'/14 A Galois-csoport lehetséges elemei: ( ) x1 x 2 x 3, x 1 x 2 x 3 ( ) x1 x 2 x 3, x 1 x 3 x 2 ( ) x1 x 2 x 3, x 2 x 3 x 1 ( ) x1 x 2 x 3, x 3 x 2 x 1 ( ) x1 x 2 x 3, x 3 x 1 x 2 ( ) x1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3

14 4 polinom: szabad a gazda (felülr l a második) 6'/14 Válasz (c { 8, 2, 8, 12}, f (x) = x 3 12x + c) Amikor c = 8, akkor csak az els három permutáció szimmetria. A másik három esetben mind a hat. (A hat nem meglep, a 3 viszont igen.)

15 Na de miért? Számoljunk... 8'/12 Indoklás (c = 8-ra f (x) = x 3 12x + 8, miért csak 3 szimmetriája van?) x , x , x x 2 1 /2 4 x 2, x 2 2 /2 4 x 3, x 2 3 /2 4 x 1 (hiba < 10 8 ). S t, itt = van, hiszen ha u gyök, u 3 12u + 8 = 0, azaz u 3 = 12u 8, akkor elemi iskolai számolással: f (u 2 /2 4) = = u 6 /8 u u 2 8 = (u 3 ) 2 /8 3u u u 2 8 = (12u 8) 2 /8 3u (12u 8) + 18u 2 8 = = 0.

16 Na de miért? Számoljunk... 8'/12 Indoklás (c = 8-ra f (x) = x 3 12x + 8, miért csak 3 szimmetriája van?) x , x , x x 2 1 /2 4 x 2, x 2 2 /2 4 x 3, x 2 3 /2 4 x 1 (hiba < 10 8 ). S t, itt = van, hiszen ha u gyök, u 3 12u + 8 = 0, azaz u 3 = 12u 8, akkor elemi iskolai számolással: f (u 2 /2 4) = = u 6 /8 u u 2 8 = (u 3 ) 2 /8 3u u u 2 8 = (12u 8) 2 /8 3u (12u 8) + 18u 2 8 = = 0.

17 Na de miért? Számoljunk... 8'/12 Indoklás (c = 8-ra f (x) = x 3 12x + 8, miért csak 3 szimmetriája van?) x , x , x x 2 1 /2 4 x 2, x 2 2 /2 4 x 3, x 2 3 /2 4 x 1 (hiba < 10 8 ). S t, itt = van, hiszen ha u gyök, u 3 12u + 8 = 0, azaz u 3 = 12u 8, akkor elemi iskolai számolással: f (u 2 /2 4) = = u 6 /8 u u 2 8 = (u 3 ) 2 /8 3u u u 2 8 = (12u 8) 2 /8 3u (12u 8) + 18u 2 8 = = 0.

18 S t, irányított gráal is szemléltethetjük 11'/9 Jelen esetben (de nem mindig!) az f gyökei között talált összefüggést gráal is szemléltethetjük. Innen már látszik, hogy csak három szimmetria van (a forgatások) A másik három (a tengelyes tükrözések) nem rzik meg az élek irányát, ezért ki vannak zárva.

19 Normális és szubnormális részcsoportok 12'/8 Deníció (G csoport normális részcsoportja) Ha S G, bármely a, b S esetén ab S, és bármely x S és y G esetén y 1 xy S, akkor S normális részcsoportja G-nek. Tétel (Lagrange-tétel ) Ilyenkor S elemszáma osztja G elemszámát, ha az utóbbi véges. Példa S = {1, α, α 2, α 2, α 3, α 4 } normális részcsoportja D 5 -nek; Deníció (Szubnormális részcsoport) Normális részcsoport normális részcsoportjának... szubnormális normális részcsoportja.

20 Normális és szubnormális részcsoportok 12'/8 Deníció (G csoport normális részcsoportja) Ha S G, bármely a, b S esetén ab S, és bármely x S és y G esetén y 1 xy S, akkor S normális részcsoportja G-nek. Tétel (Lagrange-tétel ) Ilyenkor S elemszáma osztja G elemszámát, ha az utóbbi véges. Példa S = {1, α, α 2, α 2, α 3, α 4 } normális részcsoportja D 5 -nek; Deníció (Szubnormális részcsoport) Normális részcsoport normális részcsoportjának... szubnormális normális részcsoportja.

21 Normális és szubnormális részcsoportok 12'/8 Deníció (G csoport normális részcsoportja) Ha S G, bármely a, b S esetén ab S, és bármely x S és y G esetén y 1 xy S, akkor S normális részcsoportja G-nek. Tétel (Lagrange-tétel ) Ilyenkor S elemszáma osztja G elemszámát, ha az utóbbi véges. Példa S = {1, α, α 2, α 2, α 3, α 4 } normális részcsoportja D 5 -nek; Deníció (Szubnormális részcsoport) Normális részcsoport normális részcsoportjának... szubnormális normális részcsoportja.

22 Normális és szubnormális részcsoportok 12'/8 Deníció (G csoport normális részcsoportja) Ha S G, bármely a, b S esetén ab S, és bármely x S és y G esetén y 1 xy S, akkor S normális részcsoportja G-nek. Tétel (Lagrange-tétel ) Ilyenkor S elemszáma osztja G elemszámát, ha az utóbbi véges. Példa S = {1, α, α 2, α 2, α 3, α 4 } normális részcsoportja D 5 -nek; Deníció (Szubnormális részcsoport) Normális részcsoport normális részcsoportjának... szubnormális normális részcsoportja.

23 Hálók (a REND, HIERARCHIA absztrakciójából) 13'/7 Deníció (Véges háló deníciója) Vízszintes élek nélküli gráf; x y élek mentén felfelé haladva x-b l eljutunk y-ba; bármely x, y elemnek van egyesítése (= legkisebb olyan elem, amelyik mindkett nél nagyobb vagy egyenl ) és metszete. Példa (hálóra) a 1, 0 1, b e; a és c egyesítése e, metszetük 0.

24 Még egy példa, Wielandt-tétel 14'/6 Példa (hálóra) Az A = {a, b, c} részhalmazainak hálója; jelentése:, azaz részhalmaza; egyesítés, metszet: a szokásos. Tétel (Wielandt-tétel, 1939) Véges G csoport szubnormális részcsoportjainak SubNorm(G) halmaza háló a "-re nézve!

25 Még egy példa, Wielandt-tétel 14'/6 Példa (hálóra) Az A = {a, b, c} részhalmazainak hálója; jelentése:, azaz részhalmaza; egyesítés, metszet: a szokásos. Tétel (Wielandt-tétel, 1939) Véges G csoport szubnormális részcsoportjainak SubNorm(G) halmaza háló a "-re nézve!

26 Kompozíciólánc fogalma 14'/6 Deníció (G véges csoport kompozíció lánca) A (SubNorm(G); ) hálóban egy élekb l álló lánc az aljától a tetejéig; az éleire számokat írunk a Lagrange-tétel szerint (ezek nincsenek az ábrán feltüntetve).

27 és szemléltetése 14'/6 G kompozíciólánca

28 Irreducibilis polinom fogalma 15'/5 Deníció (Irreducibilis polinom) f (x) irreducibilis, ha nem áll el két alacsonyabb fokú polinom szorzataként.

29 A csoport- és Galois-elmélet egy alkalmazása 15'/5 Tétel (A Galois-elmélet fontos következménye ) Legyen f (x) egy egészegyütthatós irreducibilis polinom. Ekkor az alábbiak ekvivalensek: f (x)-nek van olya gyöke, amelyik felírható egész számokból a négy alapm velet és gyökonások alkalmazásával (pozitív egész gyökkitev ket megengedve). az f (x) Galois-csoportjának van olyan kompozíciólánca, amelynek az éleire csakis prímszámok vannak írva. Tétel (RuniAbel-tétel, a fentib l is következik) Ötödfokú egyenletre nincs megoldóképlet.

30 A csoport- és Galois-elmélet egy alkalmazása 15'/5 Tétel (A Galois-elmélet fontos következménye ) Legyen f (x) egy egészegyütthatós irreducibilis polinom. Ekkor az alábbiak ekvivalensek: f (x)-nek van olya gyöke, amelyik felírható egész számokból a négy alapm velet és gyökonások alkalmazásával (pozitív egész gyökkitev ket megengedve). az f (x) Galois-csoportjának van olyan kompozíciólánca, amelynek az éleire csakis prímszámok vannak írva. Tétel (RuniAbel-tétel, a fentib l is következik) Ötödfokú egyenletre nincs megoldóképlet.

31 JordanHölder-tétel 16'/4 Tétel (JordanHölder-tétel véges csoportra, 1870) Bármely két kompozíciólánc hossza azonos és az egyik élei párba állíthatók a másik éleivel úgy, hogy az egymásnak megfeleltetett éleken a szám azonos. Ezért az oldal els tételében mindegy, melyik kompozícióláncot tekintjük.

32 A JordanHölder-tétel szemléltetése 16'/4 JordanHölder-tétel személtetése

33 Még jobb párosítás 17'/3 GrätzerNation-tétel (2010): A JordanHölder-párosítás így is lehetséges.

34 és annak unicitása 17'/3 Tétel (CzGSchmidt, 2011) Véges csoport két kompozíciólánca között mindig pontosan egy JordanHölderGrätzerNation-párosítás van.

35 Hálóelméleti bizonyítás 18'/2 A bizonyításhoz hálóelmélet segítségével fogunk hozzá. Az ábrán fel-le kell menni! Miután megmutattuk, hogy elegend a hálónak csak egy ilyenszer részét nézni,

36 Négyszögek mentén 18'/2 kiderült, hogy az ábra négszögekre tagolódik. Továbbá csak úgy lehet felmenni egy élhez, majd onnan lejönni, hogy mindig szemközti négyszögélre lépkedünk.

37 Íme itt a címadó mozdony 19'/1 d c=x k x k-1 x 3 x 2 b x 1 x 0 a Mintha egy sín talpfáin lépkednénk; menjünk (azaz személtessük) ezt inkább vonattal. (Egy konferenciael adásom ábrája.)

38 amely nem össze-vissza közlekedik 19'/1 Vasúti KRESZ" (pl. a sín nem ágazhat el, a vonat balról jobbra megy, továbbá a fenti irányváltás tilalma), és ezekb l a tétel már adódik:

39 Mozdony, valamint a bizonyítás vége 20'/0 A KRESZ csak egyféleképpen engedi a vonatokat menni. Ezért két kompozíciólánc között pontosan egy JordanHölderGrätzerNation-párosítás van: indulási állomás célállomás. Q.e.d. (Popular math. talks)