Matematikai tehetséggondozás Heves megyében Bíró Bálint, Eger

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematikai tehetséggondozás Heves megyében Bíró Bálint, Eger"

Átírás

1 Matematikai tehetséggondozás Heves megyében Bíró Bálint, Eger 1. Bevezetés: A matematikai tehetséggondozás egyik alapja a tehetségek felkutatása. Ahhoz pedig, hogy matematikai tehetségeket találjunk, olyan versenyeket, táborokat, szakköröket kell szervezni, ahol az ilyen képességekkel rendelkező tanulók megmutathatják különleges adottságaikat. A középiskolába került matematikai tehetségek ezután a tanítási órákon, szakkörökön fejleszthetik tudásukat, kibontakoztathatják képességeiket és felkészülhetnek a különféle középiskolásoknak rendezett megyei, országos, esetleg nemzetközi versenyekre. A középiskolai felkészítő munka színvonalát (persze nem kizárólagos jelleggel) az ilyen versenyeken elért eredmények mutatják. Az alábbiakban főként arról lesz szó, hogy az egri Szilágyi Erzsébet Gimnázium és Kollégium a tehetséggondozási folyamat két említett részében milyen munkát végez. A gimnázium a tehetségek felkutatása céljából minden évben kétféle versenyt szervez, a Bolyai János Tehetségkutató Matematikaversenyt és egy kifejezetten hetedik osztályosok számára kiírt levelezős versenyt. Levelezős versenyt több középiskola is szervez, erre a középiskola felhívó levele után írásban jelentkeznek az általános iskolások. A versenyek általában egy-egy tanéven keresztül zajlanak, néha a félév zárásának idejére befejeződnek. A feladatokat levélben kapják meg a jelentkezők, és levélben is válaszolnak. A középiskolai tehetségekkel végzett felkészítő munka mérésének egyik helye Heves megyében a középiskolások számára kiírt Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenyek.. A Bolyai János Tehetségkutató Matematikaverseny A gimnázium 1991 óta minden évben megszervezi a Bolyai János Tehetségkutató Matematikaversenyt az általános iskolák nyolcadikosainak és kiemelkedő képességű hetedikeseinek. Utóbbiak szaktanáraik javaslatára indulhatnak a versenyen, több alkalommal is előfordult (utoljára a 008/009-es tanévben), hogy a versenyt hetedik osztályos tanuló nyerte. A verseny kétfordulós, az első fordulóban 0 tesztfeladatot kapnak a diákok, amelyekre kérdésenként 5 lehetséges válasz van megadva, ezek közül természetesen csak az egyik helyes. 9

2 Kistérségi tehetséggondozás Ebben a fordulóban számológép és más segédeszköz (füzet, tankönyv, függvénytáblázat, stb.) nem használható, a 0 feladat megoldására másfél óra áll rendelkezésre. A feladatok mindegyike 5 pontos, így a maximálisan elérhető pontszám 100. A döntő fordulóba általában azok a versenyzők jutnak, akik az elsőben legalább 60 pontot szereztek. A döntőben rendszerint 4-5 feladatot kapnak a versenyzők, amelyek megoldására másfél órájuk van, ekkor minden segédeszköz használható. A szervezők a feladatok összeállításakor ügyelnek arra, hogy a döntő feladatai között alkalmanként szerepeljenek bizonyításos példák is. 3. Válogatás a Bolyai-verseny tesztfeladataiból: 1. Hány nullára végződik a szorzat? a) 008 b) 155 c) 3560 d) 009 e) nem 0-ra végződik. Egy apa 56 éves, a lánya 30 éves. Hány évvel ezelőtt volt az apa éppen háromszor idősebb a lányánál? a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) ilyen nem fordulhatott elő 3. A múlt szombaton az egri uszodában úsztam. Negyed óra alatt úsztam néhány hosszat, majd még harmadannyit, mint az első negyedórában, aztán még negyedannyit, mint az első negyedórában, végül levezetésként még öt hosszat, így összesen kétszer annyit úsztam, mint az első negyedórában. Hány hosszat úsztam összesen a múlt szombaton? a) 1 b) 0 c) d) 4 e) Mennyi a szorzatban a legkisebb és a legnagyobb helyiértéken álló számjegyek szorzata? a) 30 b) 0 c) 1 d) 55 e) számológép nélkül nem állapítható meg 5. A Szilágyi Gimnáziumnak 700-nál kevesebb tanulója van. Ha a tanulókat ötösével, nyolcasával vagy tizenhetesével állítanánk sorba, akkor három tanuló mindig kimaradna. Hány tanulója van a Szilágyi Gimnáziumnak? a) 600 b) 650 c) 680 d) 683 e)

3 6. Ahhoz, hogy a tízes számrendszerbeli szám 9-cel osztható legyen, a szimbólum helyébe hányféle számjegyet írhatunk? a) egyet b) egyet sem c) kettőt d) hármat e) kilencet B O L Y A I 7. A tört számlálójában és nevezőjében szereplő szorzatok S Z I L Á G Y I minden különböző betűje különböző 10-es számrendszerbeli számjegyet jelöl, azonos betűk azonos számjegyet jelentenek. Mennyi a tört értéke? a) 1000 b) 008 c) 1 d) 0 e) nem lehet megállapítani Legyen x =, y =, szám a legnagyobb ezek közül? 005 z =, v = végül t =. Melyik 008 a) x b) y c) z d) v e) t 9. Melyek azok a konvex sokszögek, amelyekben a külső szögek összege éppen fele a belső szögek összegének? a) háromszögek b) négyszögek c) ötszögek d) hatszögek e) nyolcszögek 10. Mennyi az x y + összeg értéke, ha ( x ) ( y ) = 0? a) 1981 b) 1983 c) 180 d) 1849 e) Egy háromszög oldalai centiméterekben mérve egymástól különböző prímszámok. Hány centiméter a kerülete, ha az a lehető legkisebb? a) 6cm b) 10cm c) 15cm d) 3cm e) nincs ilyen háromszög 1. Hány olyan pozitív egész n szám van, amelyre a n + 1, 1 3n és n 1 kifejezések egy háromszög oldalai lehetnek? a) végtelen sok b) nincs ilyen szám c) egy d) kettő e) nem lehet megállapítani 31

4 Kistérségi tehetséggondozás 13. Egy téglatest egy csúcsban összefutó éleinek aránya 3:4:5, a téglatest éleinek hosszát összeadva 96 cm-t kapunk. Mennyi a téglatest térfogata? a) 005 cm 3 b) 400 cm 3 c) 40 cm 3 d) 480 cm 3 e)006 cm Az f ( x) = 008x függvény grafikonja a derékszögű koordinátarendszer tengelyeiből egy háromszöget vág le. Hány területegység ennek a háromszögnek a területe? a) 1 b) c) 1004 d) 008 e) = függvények közös pontjai közül az egyik pont mindkét koordinátája prímszám. Ennek a közös pontnak a koordinátái: 15. Az f ( x) = x + és g ( x) x a) ( ;3 ) b) ( 5; ) c) ( 5;3 ) d) ( 7;5 ) e) ( 13;11 ) 16. Egy 8 8 -as sakktáblára ráírtuk a pozitív egész számokat 1-től 64-ig, a bal felső sarokban kezdve és soronként haladva. Melyik két egymás utáni számot kell a tábláról törölnünk, hogy a fennmaradó számok összege éppen 009 legyen? a) 8 és 9 b) 31 és 3 c) 35 és 36 d) 54 és 55 e) 61 és Egy derékszögű háromszög átfogójának hossza 1 cm, beírt kör sugara cm. Mekkora a két befogó összege? a) 1 cm b) 13 cm c) 16 cm d) 10 cm e) 7 cm 18. Ha tudjuk, hogy 1 x + 1 = 1 y + 1 és 1 y = 1, akkor az x y szorzat értéke: 1 x + a) 0 b) 1 c) d) 3 e) Mi lesz a 009, 400, 80, 16, számsorozat következő két tagjának szorzata? a) b) 3 c) 009 d) 0 e) 800 3

5 0. Az alábbi ábrán két szabályos ötszög csúcsait számozással láttuk el. Ezután a következő változtatást hajtjuk végre: a külső ötszög egyik csúcsánál levő számot kicseréljük a belső ötszög egyik csúcsánál levő számmal. Mennyi a cserében résztvevő két szám közötti lehetséges legnagyobb különbség, ha a csere folytán a külső ötszög és a belső ötszög számainak összege is prímszám lett? a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) nem lehetséges ilyen csere 4. Válogatás a Bolyai-verseny döntős feladataiból: 1. A Szilágyi Gimnáziumban minden reggel 8 óra 10 perckor kezdődik a tanítás az első órával, és délután 14 óra 15 perckor fejeződik be a hetedik órával. Számítsuk ki, hogy egy tanítási napon hány olyan időpont van a tanítási idő alatt (egész számú órával és egész számú perccel megadva), amelyben az időpontot megadó szám 9-cel osztható!. Egy szabályos 11 oldalú sokszög csúcsait kiszíneztük kétféle színnel. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges színezés esetén a sokszög csúcsai közül kiválasztható három azonos színű pont, amelyek egy egyenlő szárú háromszög csúcsai! 33

6 Kistérségi tehetséggondozás 3. Az alábbi ábrán az AB = 009 egységnyi átfogójú ABC derékszögű háromszög befogóira kifelé megrajzoltuk a BDEC és ACGF négyzeteket, amelyeknek a D, illetve F csúcsából merőlegeseket bocsátottunk az AB átfogó egyenesére, így kaptuk a P és R pontokat. Tudjuk, hogy FR = r = 07 egység. Határozzuk meg az DP = p szakasz hosszát! 4. Lehet-e egy derékszögű háromszög mindhárom oldalának hossza prímszám? (válaszunkat indokoljuk!) 5. Egy nem egyenlő szárú trapézt a két átlója négy háromszögre bontja, ezek közül a trapéz hosszabbik alapján fekvő háromszög területe 10 cm, az egyik száron fekvő háromszög területe pedig 5 cm. Mekkora a trapéz területe? 6. Rajzoljuk meg az ABC háromszög B és C csúcsainál levő belső 10 cm szögfelezőket, majd bocsássunk az A pontból ezekre a szögfelezőkre merőlegeseket, a merőlegesek talppontjai legyenek D és E. Bizonyítsuk be, hogy a DE egyenes felezi az AB és az AC szakaszokat is! 7. Határozzuk meg azt a legkisebb és legnagyobb, háromjegyű tízes számrendszerbeli pozitív egész számot, amelyre igaz, hogy 3-mal osztható, de semelyik két számjegyéből alkotott kétjegyű szám nem osztható 3-mal! 8. Melyek azok a p pozitív prímszámok, amelyekre a pozitív prímszámmal egyenlő? p + 17 p + 5 tört értéke is egy 9. Oldjuk meg a p 5 p 4q 3p q + + = egyenletet, ha p és q pozitív prímszámok! 34

7 10. Oldjuk meg az szám! x 006 x 005 x 6 x 5 + = + egyenletet, ha x valós Van két egyforma papírlapunk. Első lépésben az egyiket 10 részre vágjuk, a következő lépésben a nálunk levő összes papírlap közül valamelyiket ismét 10 részre vágjuk, és így tovább. Ilyen lépésekkel elérhetjük-e azt, hogy pontosan 1831 papírdarabunk legyen? (1831-ben jelent meg Bolyai János fő matematikai műve, az Appendix) 1. Egy mesebeli szigeten kétféle ember él. Az igazmondó mindig igazat mond, a hazudós mindig hazudik. Egy alkalommal 11 olyan szigetlakóval beszélgettünk, akik jól ismerik egymást. Megkérdeztük őket: hány igazmondó van közöttetek? Az első kilenc válasz rendre a következő volt: 4; 1; 6; 0; 5; 7; 5; 6; 1. Mit válaszolt az utolsó két szigetlakó? 13. Három tanuló, András, Barnabás és Csaba, korábbi hiányzásuk miatt pótdolgozatot írtak matematikából. A tanáruk kijavította a dolgozatokat, de elfelejtette behozni a következő órára. Amikor a három tanuló érdeklődött az osztályzat felől, a tanár a következőt mondta: az biztos, hogy különböző osztályzatokat kaptatok mind a hárman, mégpedig 3-ast, 4-est és 5-öst.. Ezen kívül úgy emlékszem, hogy: a) Csaba jegye 4-es b) Barnabás jegye nem 4-es c) András jegye nem 5-ös. Később kiderült, hogy a jegyek értékére vonatkozó fenti három kijelentés közül csak egy igaz, a másik két jegyre a tanár rosszul emlékezett. Milyen osztályzatokat kaptak a tanulók? 5. Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenyek: A szakközépiskolások számára meghirdetett Kertész Andor Matematikaversenyt 1988-tól rendezik meg Heves megyében. A Heves Megyei Pedagógiai Intézet támogatásával 1995-től a gimnazistáknak is van megyei matematikaversenye, amelyet Palotás Józsefről, az egri Főiskola, és Eger több középiskolájának tanáráról neveztek el. A verseny zsűrielnöke volt többek között dr. Reiman István és Czapáry Endre. Mindkét versenyen a középiskolák évfolyamának tanulói mérik össze tudásukat. 35

8 Kistérségi tehetséggondozás Kezdetben a szakközépiskolások és a gimnazisták más-más feladatsorokat kaptak, amelyekben szerepeltek tesztjellegű, és kifejtést, illetve indoklást igénylő példák is. Ma mindkét iskolatípus legjobb diákjai egységes feladatsort írnak, amelyben már nincsenek tesztfeladatok. A verseny elsősorban egyéni, de szép hagyomány a csapatverseny is, a legjobban szereplő iskolák minden évben megkapják a Palotás József és Kertész Andor vándorserleget. 6. Válogatás a Palotás József-Kertész Andor Matematikai Emlékverseny feladataiból: 1. Egy síkon elhelyezünk három gömböt úgy, hogy mindegyik érintse a síkot és a másik két gömböt. A gömbök sugara rendre 1 cm, cm, és 3 cm. Ezután helyezzünk a három gömbre egy negyedik gömböt úgy, hogy az érintse az előző hármat. A negyedik gömb sugara cm. Mekkora a négy gömb középpontjainak összekötésével nyert test térfogata?. Oldjuk meg az = egyenletet, ha m, n pozitív egész számok! 9m n 6 3. Létezik-e olyan, a C csúcsánál derékszögű háromszög, amelyre az alábbi feltételek mindegyike teljesül: a) a derékszögű koordináta-rendszerben mindhárom csúcs koordinátái egész számok b) az A, B és C csúcsok második koordinátái rendre 1-gyel, 9-cel, illetve 9-cel nagyobbak, mint a megfelelő csúcsok első koordinátái c) az ABC háromszög területe 7 területegység? a a a 1 4. Létezik-e olyan négyzetszám, amely előállítható alakban, ahol a pozitív egész szám? Van-e ilyen alakú prímszám? 5. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszög felbontható 1999 darab egyenlő szárú háromszögre! 6. Az ABC hegyesszögű háromszög oldalainak hossza a, b, c a megfelelő magasságok hosszai rendre ma, mb, m c. Bizonyítsuk be, hogy 1 ma + mb + mc < < 1! a + b + c 36

9 7. Az ABC háromszög körülírt körének középpontját tükrözzük a BC, CA és AB oldalakra, a tükörképpontok rendre O1, O és O 3. Bizonyítsuk be, hogy az AO1, BO és CO 3 egyenesek egy pontban metszik egymást! 8. Egy 50 méter hosszú folyosó egyik végén egy egérlyuk, ettől 0 méterre egy másik egérlyuk van. Jerry egér a két egérlyuk között áll, amikor meglátja a folyosó másik végén Tomot, a macskát. Tom gyorsabb Jerrynél, de ebben a pillanatban Jerry még azonos eséllyel érhetné el mindkét egérlyukat. Hol van most Jerry, ha feltételezzük, hogy mindkettőjük sebessége állandó? 9. Számológép használata nélkül állapítsuk meg a következő kifejezések előjelét! a) b) Határozzuk meg azokat az n természetes számokat, amelyekre a tört értéke egész szám! n n 11. Adjuk meg a ( ) ( ) p 5 p q + r + p q r = 0 egyenlet összes megoldását, ha p, q, r pozitív prímszámok! 1. Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a 4x + 36y 4x + 1y = z egyenletet! z Egy falunak éppen 007 lakója van. Tudjuk, hogy a faluban nem élnek 7 évnél fiatalabbak, de nem idősebb senki 75 évesnél. Bizonyítsuk be, hogy van a falunak legalább 30 olyan lakosa, akinek az életkora azonos! 14. Az ABCD konvex négyszög szemben fekvő AB és CD oldalát osszuk föl 5 5 egyenlő részre. Az AB és CD oldalak A, illetve D csúcsától számított ugyanannyiadik osztópontjait összekötő szakaszok a négyszöget 5 négyszögre vágják. Bizonyítsuk be, hogy az 5 négyszög között van olyan, amelynek a területe az ABCD négyszög területének 5-öd részével egyenlő! 37

10 Kistérségi tehetséggondozás 15. Adott három párhuzamos egyenes; mindegyiken pirosra festettünk 5 pontot. Tekintsük az összes háromszöget, melynek csúcsai pirosak, két csúcsuk egy egyenesen, a harmadik pedig egy másik egyenesen van; majd tekintsük az összes olyan piros csúcsú négyszöget, melynek két-két csúcsa egy-egy egyenesre illeszkedik. Miből van több: háromszögből vagy négyszögből? 16. Új bankkártyát kaptál, de elfelejtetted a személyi azonosítódat, vagyis a PIN kódodat. Arra biztosan emlékszel, hogy az első szám nem volt 0, és szerepelt a négy szám között pontosan darab ötös szám. Felhívták a figyelmedet, hogy igyekezz pontosan beírni a kódodat, mert kétszeri sikertelen próbálkozás után a harmadiknál elnyeli az automata a kártyádat. Egy hónap alatt minden nap, amikor iskolába mész és onnan jössz, megpróbálod kitalálni a kódodat ( tanítási nap). Mekkora az esélyed, hogy sikerül kitalálnod? 17. Mutassuk meg, hogy 10-nek minden pozitív egész kitevőjű hatványa két, alkalmas pozitív egész szám négyzetének összege! 18. Legyen az ABC derékszögű háromszög, amelyben az AB átfogóhoz tartozó magasság a CD szakasz. A CD átmérőjű k kör a BC és AC befogókat rendre az E és F pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy a k körhöz az E és F pontokban rajzolt érintők egyenesei párhuzamosak és a befogók egyeneséből a befogók hosszával megegyező hosszúságú szakaszokat metszenek ki! 7. Tehetséggondozás szakkörön: A szakkörön történő tehetséggondozásnak több módja lehetséges. Az egyik az, amikor egy-egy városban, megyeszékhelyen városi, vagy megyei szintű szakkört tartanak általános iskolás diákoknak. Ilyen Heves megyében a 011/01-es tanévig nem volt. Ekkor a Szilágyi Gimnázium szervezésében a gimnázium egyik tanára és a gyakorlati idejét a gimnáziumban töltő fiatal pedagógus megyei szakkört hirdetett az általános iskolák felső tagozatosainak. Az érdeklődés nagy volt, főként az 5., 6. és 8. osztályosok jelentkeztek a szakkörre nagy számban. A 01/013-as tanévben a szakkör folytatja munkáját, felvetődött a szakkör résztvevőinek tartandó nyári matematikai tábor ötlete is. A szakköri tehetséggondozás másik szintje a középiskolai matematikai szakkörök rendszere. Ezt minden középiskola saját maga szervezi a saját tanulóinak. A Heves Megyei Pedagógiai Intézet minden tanévben szervez az Országos Középiskolai Tanulmányi Versenyre megyei előkészítő szakkört, ez a szakkör több, mint 15 éve működik. A szakkörön részt vevő diákok száma kezdetben meghaladta a 40 főt, az utóbbi időben azonban csökkent az érdeklődés a szakkör iránt. 38

11 Néhány évvel ezelőtt még működött a megyében olimpiai előkészítő szakkör, az olimpiai szakköri rendszer megváltoztatásával ez Heves megyében megszűnt. Nagyon fontos láncszeme a középiskolai tehetséggondozásnak az Erdős Pál Matematikai Tehetséggondozó Iskola. Az Erdős-Iskolát működtető Pannon Egyetem néhány éve Kelet-Magyarországon is kiépített egy bázist, kezdetben Kecskeméten, később Szolnokon, így a Heves megyei diákoknak is nagyszerű lehetőséget kínál a továbbfejlődésre matematikából. 8. Összegzés: A tehetségkutatás és tehetségfejlesztés, a versenyek és szakkörök rendszere a fentiek szerint Heves megyében nagy hagyományokkal rendelkezik. Ennek a rendszernek a hatékonyságát több tényező is jelzi. Ezek többek között az országos és nemzetközi versenyeken, a továbbtanulási irányokban mérhető eredmények. A rendszer működése azonban nem tökéletes. A gyakorló pedagógusok, a megyei szaktanácsadó éppen azon fáradoznak, hogy a versenyek jobb szervezésével, a szakkörökön végzett munka színvonalának emelésével, a szakkörök összehangolásával növeljék a tehetségkutatás és tehetséggondozás munkájának hatékonyság 39

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93

+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93 . Mennyi az alábbi művelet eredménye? 4 + 4 : 5 : 5 + 8 07 9 A ) B ) C ) D ) E ) 9 9 9 9 9. Egy digitális órát (amely 4 órás üzemmódban működik) pontosan beállítottunk. Kiderült azonban, hogy egy nap átlagosan

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT 1. FELADATSOR Felhasználható idő: 40 perc I. rész 1.1.) Oldja meg grafikusan az alábbi egyenlőtlenséget! x + 1 + 1 x + x + 11 1..) Mekkora legyen az x valós szám értéke, hogy az alábbi három mennyiség

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

300 válogatott matematikafeladat 7 8. osztályosoknak

300 válogatott matematikafeladat 7 8. osztályosoknak VILLÁMKÉRDÉSEK 300 válogatott matematikafeladat 7 8. osztályosoknak 1. Adottak az 1 x, 2 x, 3 x,..., 100 x számok. Számold ki a szorzatukat, ha x = 18. 2. Adottak az 1 x, 2 x, 3 x,..., 100 x számok. Számold

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4 . Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 0/0 II. forduló = x + = x ++ = x +++ = x Ennek ismeretében mennyivel egyenlő ++++...+9+99=? A ) 0. D ) 0 000 6 C ) 0 D ) A Földközi-tengerben a só-víz aránya :

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR

VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR 5. osztály 1. Az ötödik osztályban 13 fiúból négy szemüveges. A lányok harmada visel szemüveget. Összesen nyolc szemüveges van az osztályban. Mennyi

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

M A T EMATIKA 9. év fo ly am

M A T EMATIKA 9. év fo ly am Fővárosi Pedagógiai és Pályaválasztási Tanácsadó Intézet 1088 Budapest, Vas utca 8-10. Az iskola kódja: Az osztály kódja: A tanuló kódja: A tanuló neme: Kompetenciaalapú mérés 2008/2009. M A T EMATIKA

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

2013. május 16. MINIVERSENY Csapatnév:

2013. május 16. MINIVERSENY Csapatnév: 1. Az ábrán látható ötszög belsejében helyezzetek el 3 pontot úgy, hogy az ötszög bármely három csúcsa által meghatározott háromszög belsejébe pontosan egy pont kerüljön! El lehet-e helyezni 4 pontot ugyanígy?

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Hány olyan háromjegyű szám létezik, amelyben a számjegyek összege 5? 15 darab ilyen szám van. 5 = 5+0+0 = 4+1+0 = 3+2+0 = 3+1+1=2+2+1 A keresett számok: 500, 401, 410, 104, 140, 302, 320,203,

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály 5. osztály Józsi bácsi egy farkassal, egy kecskével és egy fej káposztával egy folyóhoz érkezik, amin át szeretne kelni. Csak egy olyan csónak áll rendelkezésére, amellyel a felsoroltak közül csak egyet

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály A mellékelt ábrán két egymás melletti mező számának összege mindig a közvetlen felettük lévő mezőben szerepel. Fejtsétek meg a hiányzó számokat! 96 23 24 17 A baloldali három mezőbe tartozó

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A 23-as szám című misztikus filmben

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

Ismétlő feladatsor: 10.A/I.

Ismétlő feladatsor: 10.A/I. Ismétlő feladatsor: 0.A/I. Harasztos Barnabás 205. január. Feladat Mekkora az alábbi ábrán (szürkével) jelölt síkidom összterülete? A terület egységének a négyzetrács egy négyzetének területét tekintjük!

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

Curie Matematika Emlékverseny 7. évfolyam I. forduló 2011/2012.

Curie Matematika Emlékverseny 7. évfolyam I. forduló 2011/2012. Curie Matematika Emlékverseny 7. évfolyam I. forduló 2011/2012. A feladatokat írta: Kozma Lászlóné, Sajószentpéter Tóth Jánosné, Szolnok Lektorálta: Fodor Csaba, Szeged Név:..... Iskola:. Beküldési határidő:

Részletesebben

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I. PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I. PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR EGYENES ÚT AZ EGYETEMRE 11 FELADATSOR 11 FELADATSOR I rész Felhasználható idő: 45 perc 6x 1 111) Melyik állítás igaz az alábbi egyenlet

Részletesebben

Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli

Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli I. rész 1. Mivel egyenlő ( x 3) 2, ha x tetszőleges valós számot jelöl? A) x 3 B) 3 x C) x 3 2. Mekkora az a és b szöge az ábrán látható

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. január 18.

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. január 18. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. január 18. Matematika KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Név E-mail cím Tanárok neve Pontszám 2014. január 18. I. Időtartam: 45 perc STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Egy fa tövétől a fára mászik fel egy csiga. Nappalonként 3 métert mászik felfelé, de éjszakánként 2 métert visszacsúszik. Az indulástól számított 10. nap délutánjáig felér a csúcsra. Milyen

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2005. október 25., 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2005. október 25., 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM É RETTSÉGI VIZSGA 2005. október 25. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2005. október 25., 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

2. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT

2. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA 2. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 2015 I. Időtartam: 45 perc Oktatáskutató

Részletesebben

835 + 835 + 835 + 835 + 835 5

835 + 835 + 835 + 835 + 835 5 Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 20/20 II. forduló. A macska és az egér jobbra indulnak el. Ha az egér négyzetet ugrik, akkor a macska 2 négyzetet lép előre. Melyik négyzetnél éri utol a macska az

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

A KÖRZETI FORDULÓ ÍRÁSBELI FELADATAI. Az összedolgozás képessége az egyik legnagyobb érték az életben.

A KÖRZETI FORDULÓ ÍRÁSBELI FELADATAI. Az összedolgozás képessége az egyik legnagyobb érték az életben. A KÖRZETI FORDULÓ ÍRÁSBELI FELADATAI Az összedolgozás képessége az egyik legnagyobb érték az életben. 5. osztály 1. 2. Egy egyliteres edényben 6 dl tej van. Öntsünk hozzá még 6 dl tejet. Mennyi tej lesz

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 2011. Pontozási útmutató

VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 2011. Pontozási útmutató 1. feladat: VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 011. Pontozási útmutató Egy szöcske ugrál a számegyenesen. Ugrásainak hossza egység. A számegyenesen a 10-et jelölő pontból a 1-et jelölő pontba ugrással

Részletesebben

IV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály

IV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály IV. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az feleakkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödször 10 cm magasra pattant fel? 2. feladat.

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ. PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. 2014. április január 7. 18. II. Időtartam: 135 perc STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ. PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. 2014. április január 7. 18. II. Időtartam: 135 perc STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. 2014. április január 7. 18. KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Név E-mail cím Tanárok neve Pontszám 2014. január 18. II. Időtartam: 135 perc STUDIUM GENERALE MATEMATIKA

Részletesebben

2. Melyek azok a kétjegyű egész számok, amelyekhez a számjegyek felcserélésével kapott

2. Melyek azok a kétjegyű egész számok, amelyekhez a számjegyek felcserélésével kapott F 1998/99. Iskolai (első) forduló 1998. november 7. osztály 1. Egy trópusi szigeten nem használnak pénzt. Tudjuk, hogy 50 banán 20 kókuszdiót, 30 kókuszdió 12 ananászt ér, és 100 ananászért pedig egy csónakot

Részletesebben

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint írásbeli vizsga I. összetevő

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

Matematika kisérettségi

Matematika kisérettségi Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA

ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA VERSENY 99 0 KÉSZÜLT A ZIPERNOWSKY KÁROLY MŰSZAKI SZAKKÖZÉPISKOLA FENNÁLLÁSÁNAK 00. ÉVFORDULÓJA ALKALMÁBÓL A FELADATSOROKAT ÖSSZEÁLLÍTOTTA: GOMBOCZ ERNŐ SZERKESZTETTE: KISS

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2010. október 19. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2010. október 19. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. október 19. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. október 19. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA EMIR azonosító: TÁMOP-3.1.8-09/1-2010-0004 Név: MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA I. ÍRÁSBELI VIZSGA 1412 Ideje: 2014. április 24. 14:00 Időtartama: 45 perc Fontos tudnivalók 1. A feladatok

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Dr. Csóka Géza, Győr

Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Dr. Csóka Géza, Győr Dr. Csóka Géza: Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Dr. Csóka Géza, Győr Kilencedik éve vezetek győri és Győr környéki gyerekeknek

Részletesebben

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott

Részletesebben

III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló

III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló 1. Mennyi az eredmény 15+17 15+17 15+17=? A) 28 B) 35 C) 36 D)96 2. Melyik szám van a piramis csúcsán? 42 82 38 A) 168 B) 138

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. október 19. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS. 2010. október 19. 8:00

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. október 19. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS. 2010. október 19. 8:00 I. rész II. rész a feladat sorszáma maximális pontszám 1. 14 2. 10 3. 13 4. 14 elért pontszám maximális pontszám 16 16 64 16 16 8 nem választott feladat Az írásbeli vizsgarész pontszáma 115 51 elért pontszám

Részletesebben

1. Mennyi a dobókockák nem látható lapjain levő pontok ( számok ) összege? A ) 14 B ) 20 C ) 21 D ) 24

1. Mennyi a dobókockák nem látható lapjain levő pontok ( számok ) összege? A ) 14 B ) 20 C ) 21 D ) 24 . Mennyi a dobókockák nem látható lapjain levő pontok ( számok ) összege? A ) 4 B ) 20 C ) 2 D ) 24 2. Mennyi az alábbi művelet eredménye? 2 + 2 =? 5 6 A ) B ) C ) D ) 0. Egy könyvszekrénynek három polca

Részletesebben

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M)

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M) Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május MATEMATIKA EMELT SZINT 240 perc A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben

Részletesebben