27.B 27.B. Alapfogalmak, logikai függvények és leírásmódjaik

Átírás

1 7.B 7.B 7.B Digitális alapáramkörök Logikai alapfogalmak Mutassa be a logikai függvéyek leírási módjait: a szövegeset, az igazság táblázatosat, a logikai vázlatosat és az algebrai alakkal törtéı leírást! Értelmezze az egy-, a két- és a többváltozós logikai függvéyeket! Ismertesse a logikai (Boole) algebra alaptörvéyeit és alaptételeit! Hasolítsa össze a miterm- és a maxterm táblák felépítéséek elvét! Alapfogalmak, logikai függvéyek és leírásmódjaik A függvéykapcsolatok jelölése A függvéykapcsolatokat logikai szimbólumokkal jelöljük: A az ÉS kapcsolat jele a + a VAGY kapcsolat jele A függvéykapcsolatok száma Mivel a bemeeti és a kimeeti változók is kétértékőek, ezért a függetle változók számától () függ a képezhetı függvéykapcsolatok száma: K=. A logikai függvéyek csoportosítása A logikai függvéyeket csoportosíthatjuk: a logikai változók idıbei függése szerit, a logikai változók száma szerit. A változók idıbei változása szerit: Idıfüggetle logikai függvéyek: Az idıfüggetle logikai függvéyek közös jellemzıje, hogy a függı (kimeeti) változó értéke csak a függetle (bemeeti) változó értékétıl függ. Az ilye típusú függvéyeket valósítják meg a kombiációs logikai hálózatok. Jelölésük általáos alakba: F = f(x,x,x 3,...X ). Idıfüggı logikai függvéyek: Az idıfüggı logikai függvéyek jellemzıje, hogy a függı változó aktuális értékét emcsak a függetle változók adott idıpotba felvett értéke, haem más idıpillaatba felvett értékei is meghatározzák. Ez azt jeleti, hogy az eseméyek sorredje is befolyásolja a kimeet állapotát. Az ilye típusú függvéyeket megvalósító hálózatokat evezzük szekveciális hálózatokak. A függetle változók száma szerit: Egyváltozós logikai függvéyeka kimeeti eseméyük egyetle bemeeti változótól függ, a gyakorlatba ritká fordulak elı. Kétváltozós logikai függvéyeka kimeeti eseméyük két függetle bemeeti változó értékétıl függ. Többváltozós logikai függvéyek A kimeeti eseméyük számú függetle bemeeti változó értékétıl függ, a gyakorlatba ezekkel találkozuk a leggyakrabba. A logikai függvéyek grafikus megadása Veitch-tábla A függı változók értékeit egy cellákból álló diagramba ábrázoljuk: a függetle változókat a diagram kerete meté jelöljük. Azokba a sorokba és oszlopokba, ahol jelölés (súlyozás) va, a függetle változó igaz értékő. A változó igeleges vagy emleges értékét - mivel a bekövetkezés valószíősége 50% - egyelı területrésszel ábrázoljuk. Síkbeli Veitch-táblá 4, térbeli 6 változó ábrázolható szemléletese. Az ábrá egy kétváltozós tábla látható, melybe szemléltetésül a cellákak megfelelı változók állapotait is jelöltük. A Veitch-tábla a logikai kapcsolatok meghatározására is alkalmas.

2 7.B 7.B Karaugh-tábla A függı változók értékeit egy cellákból álló diagramba ábrázoljuk: a függetle változók értékvariációit a diagram kerete meté jelöljük. Az ábrá egy kétváltozós tábla látható, melybe szemléltetésül a cellákak megfelelı változók állapotait is jelöltük. Állapotdiagram Az idıfüggı logikai függvéyek leírására alkalmas. A változók aktuális értékeit körökbe jelezzük, a köröket összekötı iráyított voalak a változás iráyát jelölik. Veitch-tábla Karaugh-tábla Állapotdiagram A logikai függvéyek megadása Szöveges megadási mód A függetle változók összes kombiációját, a logikai kapcsolatot, valamit a függı változó értékét szavakkal fogalmazzuk meg. Táblázatos leírásmód A függetle változók összes értékvariációit és a függvéykapcsolat hatására létrejövı függı változók értékeit egy sorba írjuk egy függıleges voallal elválasztva. Olya értéktáblázat, amely tartalmazza a függvéy értékét mide lehetséges esetbe. Igazságtáblázatak evezzük, mert a feltételek és az eseméyek közötti logikai igazságokat rögzíti. Logikai vázlat A függvéykapcsolatot az ıt megvalósító szabváyos áramköri szimbólumokkal ábrázoljuk. Algebrai alak A függetle változókat a függvéykapcsolatra jellemzı mőveleti szimbólumokkal (ÉS, VAGY, ) kapcsoljuk össze. Például: F 3 = A B+C+A C+B Grafikus megadási mód A grafikus megadási módok: a változók megadása törtéhet grafikusa is. Táblázatos leírásmód Logikai vázlat Egy-, két- és többváltozós logikai függvéyek Az egyváltozós logikai függvéyek Akkor beszélük egyváltozós logikai függvéyrıl, ha a kimeeti eseméy egyetle bemeeti változótól függ. A következı táblázatba látható, hogy az A bemeeti (függetle) változó értékétıl függıe az F kimeeti (függı) változó milye értékeket vehet fel. Ezt a táblázatot evezzük igazságtáblázatak, mert a függetle változók összes lehetséges kombiációja eseté tartalmazza a függvéy által meghatározott kimeeti eseméyt. A logikai függvéyek jelölésébe a felsı idex a bemeeti változók számát, az alsó idex a függvéy sorszámát adja meg. Ezt a decimális sorszámot a függvéy értékeibıl alkotott biáris számból kapjuk meg. Egy függetle változó eseté a külöbözı logikai függvéyek száma: K = = = = 4 Az egyváltozós függvéyek közül a egációt és az ismétlı függvéyt alkalmazzuk a leggyakrabba. A logikai függvéyek bemutatására haszáljuk fel a Ve-diagramot és az idıdiagramot is. A Ve-diagramok a logikai változókhoz egy-egy síkba leképzett pothalmazt redelek, amely egy tetszıleges síkidommal határolt területet jelet. Az ábrázolás szabálya, hogy a függvéy logikai értékeiél a megfelelı területet jelöljük (pl. voalkázással). Hátráyuk, hogy legfeljebb három változóig haszálhatóak. A logikai eseméyek idıdiagramo is bemutathatók. Eél a módszerél a kétértékő eseméyeket (a bemeeteket és a

3 7.B 7.B kimeeteket is) az idı függvéyébe ábrázoljuk, így az eseméyek idıbeli lefolyása is követhetı. Elıye, hogy az idıdiagramo tetszıleges számú változót ábrázolhatuk. Egyváltozós soha függvéy 0 Egyváltozós logikai függvéyek igazságtáblázata F 0 =. F - Soha függvéy: a függı változó értéke a függetle változó mide értékéél 0. Jelölése: 0 Egyváltozós egáció (tagadás) függvéy F - Negáció (tagadás) függvéy: a függı változó értéke midig a függetle változó elletétes (egált) értékét veszi fel. A egációt a tagadáso kívül evezik még jelfordításak és iverzióak is. A egációt az algebrai alakba a betőjel fölé húzott vízszites voallal jelöljük: F = A. Egyváltozós ismétlı függvéy F - Ismétlı függvéy: a függı változó értéke midig a függetle változó értékét veszi fel. Jelölése: F=A. Egyváltozós midig függvéy F - Midig függvéy: a függı változó értéke a függetle változó mide értékétıl függetleül midig. Jelölése: F =. Egyváltozós logikai függvéyek Ve-diagramja Egyváltozós logikai függvéyek idıdiagramja A kétváltozós logikai függvéyek Akkor beszélük kétváltozós logikai függvéyrıl, ha a kimeeti eseméy két bemeeti változótól függ. A következı táblázatba látható, hogy az A és a B bemeeti (függetle) változók értékétıl függıe az F kimeeti (függı) változó milye értékeket vehet fel. Két függetle változó eseté a külöbözı logikai függvéyek száma: 4 K = = = = 6. Az alábbi ábráko a leggyakrabba alkalmazott kétváltozós függvéyek Ve-diagramját és idıdiagramját láthatjuk. Figyeljük meg a függvéyek vizsgálatakor, hogya lehet ezeket elkészítei! Kétváltozós logikai függvéyek idıdiagramja Kétváltozós logikai függvéyek igazságtáblázata Kétváltozós logikai függvéyek Ve-diagramja A kétváltozós logikai függvéyek igazságtáblázatáak vizsgálata Feladat Készítsük el az összes kétváltozós függvéy Ve-diagramját és idıdiagramját! 3

4 7.B 7.B A kétváltozós logikai függvéyek igazságtáblázatáak vizsgálata közbe két érdekes dolgot is észrevehetük: A táblázat tartalmazza az egyváltozós függvéyeket is F 0, F3, F5, F0, F, F5 Ha a VAGY függvéy F 7 és a VAGY NEM (NOR) függvéy F 8 közé egy képzeletbeli szimmetriavoalat húzuk, akkor a voaltól azoos távolságra levı függvéyek egymás egáltjai. A többváltozós logikai függvéyek A gyakorlati feladatok megoldása sorá a legtöbbször többváltozós logikai függvéyekkel találkozhatuk. A képezhetı kapcsolási függvéyek száma a függetle változók számával expoeciális aráyba, tehát rohamosa övekszik. Például: ha a függetle változók száma 3, akkor a külöbözı logikai függvéyek száma: 3 8 K = = = = 56 ha a függetle változók száma 4, akkor a külöbözı logikai függvéyek száma: 4 6 K = = = = Azért sem célszerő a kettıél több bemeeti változót tartalmazó függvéyeket egyekét tárgyali, mert mide többváltozós logikai függvéy kétváltozós függvéyekbıl felépíthetı. Ativalecia függvéy F 6 Ativalecia (KIZÁRÓ VAGY) függvéy: a függvéy értéke akkor, ha vagy csak A, vagy csak a B értéke, vagyis amikor a bemeeti változók elletétes értékőek. További elevezései: kizáró VAGY, exclusive OR. Jelölése: F6 = A B + A B. Duál tétel, duál függvéy Duál tétel: Ha a logikai ÉS mőveletet VAGY mővelettel, valamit a 0-t -gyel (vagy az -et 0-val) helyettesítjük, az eredeti függvéy duálfüggvéyét kapjuk meg. Ekvivalecia függvéy F 9 Ekvivalecia függvéy: a függı változó értéke akkor, ha a függetle változók logikai értéke megegyezik. További elevezései: koicidecia, exclusive NOR. Jelölése: F9 = A B + A B. ÉS függvéy F ÉS függvéy: a függı változó értéke akkor és csakis akkor, ha midkét függetle változó értéke egyidejőleg. További elevezései: AND mővelet, kojukció, logikai szorzás. Jelölése: F = A B. ÉS NEM függvéy F 4 ÉS NEM (NAND) függvéy: a függı változó értéke akkor és csakis akkor 0, ha midkét függetle változó értéke egyidejőleg. A NAND illetve az ÉS kapcsolat egymás egáltjai. Jelölése: F4 = A B. Implikáció függvéyek F Implikáció függvéy: az implikáció mőveletéél a változók sorredje em cserélhetı fel, mert a függvéy értéke csak akkor 0, ha az elıtag 0, és az utótag. Jelölése: F = A + B. F 3 Iverz implikáció függvéy: az iverz implikáció mőveletéél a változók sorredje em cserélhetı fel, mert a függvéy értéke csak akkor 0, ha az elıtag, és az utótag 0. Jelölése: F = A + B. Ihibitáló függvéyek F Ihibitáló függvéy: az ihibíció (tiltás) mőveletéél a változók sorredje em cserélhetı fel, mert a függvéy értéke akkor és csakis akkor, ha az elıtag logikai értéke egyedül, ömagába. Jelölése: F = A B. 4

5 7.B 7.B F 4 Iverz ihibitáló függvéy: az ivert ihibíció (tiltás) mőveletéél a változók sorredje em cserélhetı fel, mert a függvéy értéke akkor és csakis akkor, ha az utótag logikai értéke egyedül, ömagába. Jelölése: F4 = A B. Ismétlés függvéy F 5 Ismétlı függvéy: a függı változó értéke midig az adott függetle változó értékét veszi fel. Jelölése: F 5 = B. Kétváltozós ismétlı függvéy F 3 Kétváltozós ismétlı függvéy: a függı változó értéke midig az adott függetle változó értékét veszi fel. Jelölése: F = A 3. Kétváltozós midig függvéy F 5 Kétváltozós midig függvéy: a függı változó értéke a függetle változók mide értékétıl függetleül midig. Jelölése: F 5 =. Kétváltozós egáció függvéyek F 0 Kétváltozós egáció függvéy: a függı változó értéke midig az adott függetle változó elletétes értékét veszi fel. Jelölése: F = B 0. F Kétváltozós egáció függvéy: a függı változó értéke midig az adott függetle változó elletétes értékét veszi fel. Jelölése: F = A. Kétváltozós soha függvéy F0 Kétváltozós soha függvéy: a függı változó értéke a függetle változók mide értékéél 0. Jelölése: F 0 = 0. VAGY függvéy F 7 VAGY függvéy: a függvéy értéke egyetle esetbe 0, ha valameyi bemeeti változó értéke egyidejőleg 0. Úgy is fogalmazhatuk, hogy a függı változó akkor értékő, ha bármelyik függetle változó egyekét vagy együttese értékő. További elevezései: OR mővelet, diszjukció, logikai összeadás. Jelölése: F 7 = A + B. VAGY NEM függvéy F 8 VAGY NEM (NOR) függvéy: a függı változó értéke akkor és csakis akkor, ha midkét függetle változó értéke egyidejőleg 0. A NOR illetve a VAGY kapcsolat egymás egáltjai. Jelölése: F 8 = A + B. A logikai algebra szabályai Az egyszerőbb alakra hozás Egy logikai elve mőködı vezérlı beredezés ára a beépített elemek számával aráyosa övekszik, ezért törekedük kell a megvalósítadó logikai függvéy legegyszerőbb alakjáak létrehozására. Kommutatív szabály (felcserélhetıség) Az azoos logikai kapcsolatba levı változók sorredje tetszıleges. A+B = B+A A B = B A A szabály alól természetese az ihibíció és az implikáció mőveletei kivételek. Asszociatív szabály (társíthatóság) Az azoos logikai mőveletek eredméye em függ a mőveletvégzés sorredjétıl. A+B+C = C+B+A = B+C+A A B C = B C A = A C B 5

6 7.B 7.B Disztributív szabály (szétválaszthatóság) A+ B C = (A+ B) (A+ C) A (B+ C) = A B+ A C A redudacia Ugyais egy adott gyakorlati problémát, ha közvetleül algebrai alakba megadott logikai függvéy formájába íruk le, szite elkerülhetetle a redudacia (túlhatározottság). A logikai algebra (Boole-algebra) olya azoosságokat illetve szabályokat fogalmazott meg az algebrai formába megadott logikai függvéyek eseté, amelyekkel ezek a függvéyek egyszerőbb alakra hozhatók. A logikai algebra alaptételei A meyiségek kétértékőek A = 0, ha A em. A =, ha A em 0. Negáció = 0 Kettıs tagadás = Meyiséggel végzett mőveletek szabályai VAGY kapcsolat 0+0 = 0 0+ = +0 = + = ÉS kapcsolat 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 = Egy változóval végzett mőveletek szabályai A = A A 0 = 0 A+0 = A A 0 = A A+ = A A = A A+A = A A A = 0 A + A = Két változóval végzett mőveletek szabályai A (B+ A) = A Az alaptételek bizoyítása Az egy változóval végzett mőveletek szabályaiak bizoyítása az egy és kétváltozós logikai függvéyek igazságtáblázata alapjá öállóa elvégezhetı. Nézzük meg, hogya kell bebizoyítai a szabályok és a többi alaptétel segítségével az összefüggést! A B+ A = A A disztributív szabály alapjá A B+ A = A B+ A A. Felhaszálva, hogy A A = A A (B+ A)=A B+ A A = A B+ A Most a disztributív szabályt megfordítva alkalmazzuk, emellett tudjuk, hogy B+ = és A = A A B+ A = A (B+) = A = A Vagyis teljesül az összefüggés A (B+ A)= A. De Morga-téte A + B = A B A B = A + B A De Morga-tétel bizoyítása Készítsük olya igazságtáblázatot, amelybe jelöljük a függetle változókat, és ezek összes lehetséges kombiációjáál határozzuk meg a De Morga-tételbe szereplı összes függvéy értékét! 6

7 7.B 7.B A De Morga-tétel bizoyítása A táblázatból látható, hogy A B = A + B és A B = A + B, így bebizoyítottuk, a De Morga-tételt. Alapvetı fogalmak és jelölésük A logikai függvéyek szabályos alakjáak ismeretéhez a következı alapvetı fogalmakat és jelölésüket kell megismeri: Term Miterm Maxterm A miterm jelölése: m i, ahol m a mitermet jeleti, a függetle változók száma és i a miterm sorszáma, vagyis idexszáma. A maxterm jelölése: M i, ahol M a maxtermet jeleti, a függetle változók száma és i a maxterm sorszáma, vagyis idexszáma. Diszjuktív szabályos alak Diszjuktív szabályos alak olya logikai függvéy, amely mitermek VAGY kapcsolatából áll. Diszjuktív szabályos alak megadási módjai Például: F = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D F = m m4 + m8 + m Kojuktív szabályos alak Kojuktív szabályos alak olya logikai függvéy, amely maxtermek ÉS kapcsolatából áll. Kojuktív szabályos alak megadási módjai Például: F = A + B + C + D A + B + C + D A + B + C + D F = M 4 5 M 6 M 3 ( ) ( ) ( ) Logikai függvéyek hátráya Az algebrai alakba megadott logikai függvéyek hátráya, egy függvéyt több egymással ekvivales módo is felírhatuk. Ezt a hátráyt azért kell kiküszöböli, hogy két egyforma feladatot midig felismerjük, e kellje többször is egyszerősítei és megoldai. Term: a függetle változók azo csoportja, amelyeket azoos logikai kapcsolatra jellemzı szimbólummal kapcsoluk. A Karaugh-táblák típusai Egyváltozós Karaugh-tábla: Egy függetle változóak (pl. A) két lehetséges állapota lehet ( ), tehát ebbe az esetbe a tábla két darab cellát tartalmaz. A cella kotúrjai mellett feltütetjük a függetle változó logikai értékét, a cella sarká pedig a változó betőjelét. Az ábrá a cellákba beírtuk az általuk képviselt termeket is. Kétváltozós Karaugh-tábla: Két függetle változóak (pl. A, B) égy lehetséges állapota lehet ( ), tehát ebbe az esetbe a tábla égy darab cellát tartalmaz. Az ábrá a cellákba beírtuk az általuk képviselt termeket is. Háromváltozós Karaugh-tábla: Három függetle változóak (pl. A, B, C) yolc lehetséges állapota lehet ( 3 ), tehát ebbe az esetbe a tábla yolc darab cellát tartalmaz. Négyváltozós Karaugh-tábla: Négy függetle változóak (pl. A, B, C, D) 6 lehetséges állapota lehet ( 4 ), tehát ebbe az esetbe a tábla 6 darab cellát tartalmaz. 7

8 7.B 7.B Egyváltozós tábla Egy függetle változóak (pl. A) két lehetséges állapota lehet ( ), tehát ebbe az esetbe a tábla két darab cellát tartalmaz. A cella kotúrjai mellett feltütetjük a függetle változó logikai értékét, a cella sarká pedig a változó betőjelét. Az ábrá a cellákba beírtuk az általuk képviselt termeket is. Kétváltozós tábla Két függetle változóak (pl. A, B) égy lehetséges állapota lehet ( ), tehát ebbe az esetbe a tábla égy darab cellát tartalmaz. Az ábrá a cellákba beírtuk az általuk képviselt termeket is. Egyváltozós Karaugh-tábla Kétváltozós Karaugh-tábla Háromváltozós Karaugh-tábla Négyváltozós Karaugh-tábla Háromváltozós tábla Három függetle változóak (pl. A, B, C) yolc lehetséges állapota lehet ( 3 ), tehát ebbe az esetbe a tábla yolc darab cellát tartalmaz. Négyváltozós tábla Négy függetle változóak (pl. A, B, C, D) 6 lehetséges állapota lehet ( 4 ), tehát ebbe az esetbe a tábla 6 darab cellát tartalmaz. Miterm táblák Bár a gyakorlatba em haszálják, de egyszerősége miatt elıször ismerkedjük meg az egyváltozós, ezért két darab cellát tartalmazó táblával. Az egyetle változó (jelöljük A-val) a két lehetséges állapot (0, ) valamelyikébe lehet. A cellákba található decimális szám a term sorszáma, a függıleges voal az A változó logikai (igaz) értékét jelzi, vagyis A =. A = 0 és Egyváltozós miterm-tábla Kétváltozós miterm-tábla Háromváltozós miterm-tábla Négyváltozós miterm-tábla Maxterm táblák A maxterm táblákat úgy tuduk felrajzoli, ha követjük a mitermbıl maxtermbe való átírás szabályait. Képezzük a változók egáltját, és a cellák miterm sorszámait kiegészítjük: átsorszámozzuk a cellákat az im = im összefüggés alapjá. Az ábrá az egy-, két-, három- és égyváltozós maxterm-tábla látható. Egyváltozós maxterm-tábla Kétváltozós maxterm-tábla Háromváltozós maxterm-tábla Négyváltozós maxterm-tábla Veitch-táblák A logikai függvéyek kétféle szabályos alakjáak megfelelıe Veitch kétféle táblát vezetett be. A miterm táblát a diszjuktív szabályos függvéyek számára és a maxterm táblát a kojuktív szabályos függvéyek számára. A függetle változók logikai értékeit a tábla kotúrja meté húzott voallal tütetjük fel, és a cellákba beírjuk az ábrázolt term sorszámát. 8