Logikai áramkörök, Boole algebra

Átírás

1 Logikai áramkörök, Boole algebra A digitális techiká alapuló eszközök már régóta a köryezetük részei. A mérökök mideapi mukaeszközei a számítógépek és a digitális műszerek. Ezért működésük alapelveit azokak sem árt ismeri, akik csak haszálják, de em tervezik ezeket. Logikai érték, műveletek a Boole algebrába A algebrákba egy halmazo értelmezek műveleteket. A Boole algebrába a halmaz a logikai kostasok (0, 1) és a logikai változók (melyek a kostasok értékét vehetik fel). A műveleteket az alábbiakba vezetjük be. Az ÉS (AND) művelet Az alábbi ábrá sorba kötött kapcsolók szerepelek. A kapcsoló le va yomva állítás 2 értéket vehet fel: igaz, hamis Az igaz értéket 1-el, a hamisat 0-val jelöljük.

2 A B F ÉS (AND) kapu A F B Az F lámpa akkor világít, ha A ÉS B kapcsoló le va yomva. Ez a logikai ÉS (AND) művelet. Leírása a Boole algebrába: F = A*B Az alapműveleteket egy digitális áramkörbe (többek között) logikai kapukkal lehet megvalósítai. A valóságos logikai kapu be és kimeetei az igaz (1) értékek egy magasabb feszültség, a hamisak (0) egy alacsoyabb feszültséget feleltetek meg. Ez tulajdoképpe az egyik legegyszerűbb logikai függvéy. A logikai függvéyeket logikai változóko végzett logikai műveletekkel állíthatjuk elő. A logikai változók és a belőlük előállított függvéy a (2 értékű logikába) csak a 0 és 1 értéket vehetik fel.

3 Az AND függvéy csak akkor 1, ha mide változója 1. (Itt a lámpa csak akkor világít, ha midkét kapcsoló le va yomva.) A logikai függvéyeket táblázat segítségével teljese meg lehet adi. Mide lehetséges bemeethez meg tudjuk adi a kimeetet. (Ez em igaz pl. a valós függvéyekre.) A logikai függvéyek táblázatos megadását igazságtábláak evezzük. A 2 változós AND művelet igazságtáblája: A B F Tetszőleges számú változó AND kapcsolata csak akkor 1, ha midegyik 1. F = A*B*C*.= 1, ha A,B,C.. = 1 A szorzás műveleti jelét többyire em szokták kiíri: F = A*B*C = ABC

4 (Tetszőleges sok sorbakapcsolt kapcsoló és lámpa eseté a lámpa csak akkor világít, ha az összes kapcsoló be va kapcsolva.) További tulajdoságok: A*0 = 0 A*1=A A VAGY (OR) művelet Az alábbi ábrá párhuzamosa kötött kapcsolók szerepelek. A B F VAGY (OR) kapu A F B Az F lámpa akkor világít, ha A VAGY B kapcsoló le va yomva. Ez a logikai VAGY (OR) művelet. Leírása a Boole algebrába: F = A + B Értéke akkor 1, ha bármely változója 1.

5 A 2 változós OR művelet igazságtáblája: A B F Tetszőleges számú változó OR kapcsolata akkor 1, ha bármelyik 1. (Akkor 0, ha mid 0.) F = A+B+C+.= 0, ha A,B,C.. = 0 Tetszőleges számú párhuzamosa kapcsolt kapcsolóval sorbakötött lámpa világít, ha bármely kapcsoló be va kapcsolva. (Nem világít, ha egyik sics bekapcsolva.) További tulajdoságok: A + 0 = A (Ha a kapcsolóval egy szakadást kötük párhuzamosa, az em befolyásolja a kapcsoló működését.) A + 1 = 1 (Ha a kapcsolóval rövidzárat kötük párhuzamosa, a lámpa midig világít.)

6 Az ivertálás Az alábbi kapcsoló kikapcsol, ha leyomják. A F INVERTER A F Az F lámpa akkor világít, ha A kapcsoló ics leyomva. Ez az ivertálás (egálás) művelet. (Mert a kapcsoló leyomott állapotához redeltük az A változó igaz értékét.) F Leírása a Boole algebrába: Ezt billetyűzete egyszerűbb így íri: F = /A A egálás igazságtáblája: A F További tulajdoságok: /1=0, /0=1, A*/A=0, A+/A =1, //A = A páros számú egálás ömagát adja, ///A = /A páratla számú egálás a egáltat adja A

7 Az előbbi kapukak a egált változata is létezik, ezek igazságtáblájába a kimeet az eredeti egáltja. A egálást itt egy kis kör jelöli (ezt máshol is szokás így jelöli): NAND (NEM ÉS) kapu A B F F = /(A*B) NOR (NEM VAGY) kapu A B F F = /(A+B) Külöleges kapu a KIZÁRÓ VAGY kapu (exclusive OR) amit XOR kapuak evezek. Eek kimeete csak akkor 1, ha a két bemeetéek logikai értéke elletétes. A B F Rajzjele: A B F Felépítése kapukkal: F = A XOR B = A/B+/AB A/B /AB A B

8 Néháy további Boole algebrai azoosság: Kommutativitás (felcserélhetőség): A + B = B + A, A*B = B*A Asszociativitás (csoportosíthatóság): A + ( B + C) = (A + B) + C A*(B*C) = (A*B)*C Disztributivitás (feloszthatóság): A*(B + C) = A*B + A*C A + (B*C) = (A + B)(A + C) szokatla! Elyelés: A + A*B = A A*(A + B) = A De Morga azoosságok: /A + /B = /(A*B), /A*/B = /(A + B) A fetiek beláthatók a jobb és baloldal igazságtábláiak felírásával. Dualitás elve: A + *, és 0 1 felcserélésével is igazak maradak a Boole algebrai azoosságok. Pl. Lásd De Morga, és alább A*1 =A, A+ 0 = A

9 Tervezzük az összes műveletet felhaszáló áramkört! A riasztó akkor jelezze, ha az ajtó érzékelő (A) vagy az ablak érzékelő (B) jelez és a riasztó tiltó kapcsoló (T) ics tiltás állapotba. A kapcsolási rajz kapcsolókkal és kapukal: B A T A logikai függvéy megadása a kapcsolás alapjá, általáos Boole algebrai alakba: F A B T F F = (A + B)*/T Az F függvéy igazságtáblája: A B T F

10 A logikai függvéy felírható az igazságtábla alapjá. Itt az ú. SOP (Sum Of Product, szorzatok összege) kaoikus alakú (egyszerűsítetle) alakú felírást mutatjuk meg. Az igazságtábla 1-eseit logikai szorzatokkal fejezzük ki. Az egyes szorzatokba az 1 értékű logikai változók poálta, a 0 értékűek egálta szerepelek, mivel így a szorzat potosa ilye változó értékekél ad 1-et. A B T F /AB/T A/B/T AB/T Ezek OR kapcsolata akkor 1, ha bármely szozat tag 1, így a teljes függvéyt megadja. R = /AB/T + A/B/T + AB/T A közvetleül az igazságtábla alapjá felírható a függvéy többyire em a legegyszerűbb alakú. Itt a legegyszerűbb alak: F = (A + B)/T

11 A logikai függvéyeket megvalósító logikai hálózatot kombiációs hálózatak evezzük. Tervezés sorá általába az igazságtáblából kiidulva egyszerűsítő (miimalizáló) eljárások alkalmazásával jutuk el a legegyszerűbbe megvalósítható kombiációs hálózathoz. Itt em foglalkozuk az egyszerűsítéssel.

12 Kombiációs fukcioális elemek A tervezés sorá bizoyos fukciókra gyakra szükség va. Ezért megalkották az ú. fukcioális elemeket. A kombiációs fukcioális elemeket kombiációs hálózat valósítja meg. Itt a teljesség igéye élkül csak éháyal foglalkozuk. Multiplexer A multiplexer fukciója adat választás. rajzjele: működése: MSB cím bemeetek s1 s0 kimeet y MPX s1 s0 adat bemeetek a) b) A feti a ábrá egy 4 db 1 bites adat bemeet küzül választai képes ú. 4/1-es multiplexer rajzjele látható. A jobb oldali b ábra a működés megértését segíti. A bemeet kiválasztása az s1s0 select jelekkel törtéik. Az y kimeete a kiválasztott bemeete levő

13 logikai érték jeleik meg. Pl. ha s1s0 = 01, akkor az I1 bemeete levő érték. 0 1 s1 s0 0 y MPX I0 I1 I2 I A bemeetek több bitesek is lehetek. Pl. 2 db 8 bites bemeetből választai képes multiplexer, ha s = 1, az I1 bemeeti adatot választja ki: 1 s y MPX I0 0x1a 0xbf 8 I xbf A legegyszerűbb a 2/1-es multiplexer amelyek 1 bitesek a bemeetei. Eek a belső felépítését is lerajzoltuk. 1 s y MPX I0 I1 0 1 s=1 I0= 0 I1= 1

14 ALU (aritmetikai logikai egység) mûvelet választó k ALU out m status Egy boyolult kombiációs fukcioális elem az ALU. Ez aritmetikai és logikai műveleteket tud végezi a bemetére adott adatoko. A művelet eredméye az adat kiemeté (out) jeleik meg. A művelet eredméye alapjá bizoyos többlet iformációkat is ad, ezt evezik státus kimeetek. Magát az elvégzedő műveletet a művelet választó bemeetre adott kombiációval lehet kijelöli. Aritmetikai műveletek pl. összeadás, kivoás Logikai műveletek pl. bitekéti AND, OR, XOR, ivertálás stb.

15 Egyszerű példa ALU-ra mûvelet választó 2 ALU 8 out status Adat bemeetek mérete 8 bit műveletek: 2-es komplemes összeadás, kivoás, AND, OR (művelet kiválasztó: s1,s0 2 bites) státus iformáció: Z (a művelet eredméye 0), N (a művelet eredméye egatív), C (túlcsordulás volt a művelet sorá) Példakét megmutatjuk, milye kimeetet ad, az alább megadott műveleti kódok eseté, ha az operadusok: op1 = (decimális 74) op2 = (decimális 21) s1s0 művelet eredméy Z,C,N 00 ADD ,0,0 01 SUB ,1,1 10 AND ,0,0 11 OR ,0,0

16 Szikro sorredi hálózatok (állapotgépek, sychroous Fial State Machies) A kombiációs hálózatok kimeete midig csak az aktuális bemeettől függ. Ezzel szembe a sorredi hálózatok emlékezek valamire az előző bemeeti sorozatból. Így ugyaarra a bemeeti kombiációra később más kimeeti értéket adhatak. Itt csak szikro sorredi hálózatokról lesz szó. Ezek működését egy periodikus égysögjel, az órajel éle ütemezi. Tipikusa mide változás csak az órajel (clock) felfutó élre törtéhet. Az emlékezetet memória jellegű logikai áramkörök biztosítják. Ezek a flip-flop-ok. Több típusa va itt csak a legyakrabba haszált szikro D flip-flopról beszélük. D Q felfutó él érzékey D flip-flop A D bemeet értékét megjegyzi az órajel felfutó éléél és a kimeeté ezt az értéket tartja a következő órajel felfutó élig.

17 CLOCK D Q A több közös órajelű D flip-flopból készített tárolót regiszterek evezzük. Ez tulajdoképpe egy sorredi fukcioális elem. D0 D Q Q0 REG D0 Q0 D1 D Q Q1 D1 Q1 D D Q Q D Q clk clk

18 A szikro sorredi hálózat felépítése visszacsatolás (aktuális állapot kódja) Qt állapot regiszter X Qt m g Q t+1 Q t Y k Y következõ állapot logika kimeeti logika következõ állapot kódja: Qt+1 clk A regiszter tárolja az emlékezi valót, ez egy -bites kód, ezt evezzük az aktuális állapot kódjáak.

19 visszacsatolás (aktuális állapot kódja) Qt állapot regiszter X Qt m g Q t+1 Q t Z k Z következõ állapot logika kimeeti logika clock következõ állapot kódja: Qt+1 A g(x,qt) kimeetű logikai függvéy ( db logikai függvéy, melyekek ugyaazok a változói) az aktuális állapotkód (Qt) és bemeet (X) alapjá előállítja a következő állapot kódját (Qt+1). Ez a következő órajel felfutó élére eltárolódik az állapotregiszterbe. (Ez lesz az új aktuális állapot.) Az állapotregiszter tartalmát a bemeetre érkező adatok megváltoztatják. A kimeetet a Z kimeeti függvéy állítja elő az aktuális állapotkód és esetleg az aktuális bemeet alapjá. Mivel a kimeet em csak az aktuális bemeettől (X), haem az állapottól (az állapot kódjától) is függ, ugyaazo bemeetre a későbbiekbe más lehet a Z kimeet.

20 A sorredi hálózatokat állapotgráffal írjuk le. A gráfpotokat az állapotokak, az iráyított éleket az állapotátmeetekek feleltetjük meg. Pl. Egy 4 állapotú hálózat gráfja, melyek ics bemeete (az órajelet em tekitjük bemeetek) és kimeete közvetleül az állapotregiszter: Q0t+1 D0 Q0 Q0t Z0 = Q0t Q1t+1 D1 Q1 Q1t Z1 = Q1t clk A következő állapotot meghatározó függvéy: D0 = Q0t+1= /Q1t, D1 = Q1t+1 = Q0t A kimeeti függvéy: Z0 = Q0t, Z1 = Q1t

21 00 01 Q0t+1 D0 Q0 Q0t Z0 = Q0t Q1t+1 D1 Q1 Q1t Z1 = Q1t clk Az állapotváltozások Q1tQ0t = 00 kezdő állapotból idulva: Q1Q0t Q1Q0t Ez tulajdoképpe egy speciális (Gray) kódolású számláló, mely az órajel hatására az alábbi kimeeti sorozatot ismételgeti: 00, 01, 11, 10,.

22 Egészítsük ki egy x egedélyező bemeettel. Ne váltso állapotot, ha x = 0, a fetiek szerit működjö, ha x = 1. /x /x x x x 10 x 11 /x /x MPX I00 I01 I10 I11 s O1 O0 Q0t+1 Q1t+1 D0 D1 Q0 Q1 clk Q0t Q1t Z0 = Q0t Z1 = Q1t x A regiszter elé teszük egy multiplexert, mely x = 0 eseté a regiszter kimeetét választja ki a bemeetére (az órajelre ugyaaz az érték íródik vissza), x=1 eseté pedig az eredeti függvéyeket. A multiplexer belső felépítését em rajzoltuk ki kapu szite.

23 Egészítsük ki a logikát, hogy a 4 db LED közül (L0,L1,L2,L3) az első 3 állapotba midig csak az állapothoz redeltet kapcsolja be, az utolsó állapotba pedig midet! Az igazságtábla: Q1Q0t L0 L1 L2 L A függvéyek kiolvashatók az igazságtáblából: L3 = Q1/Q0 L0 = /Q1/Q0 + L3 L1 = /Q1Q0 + L3 L2 = Q1Q0 + L3 L0 MPX I00 I01 I10 I11 s O1 O0 Q0t+1 Q1t+1 D0 D1 Q0 Q1 clk Q0t Q1t L1 L2 L3 x

24 Az alábbi ábráko látható hogy mi valósítja meg az általáosítottállapotgép egyes részeit (következő állapot logika, állapotregiszter, kimeeti logika) visszacsatolás (aktuális állapot kódja) Qt állapot regiszter X Qt m g Q t+1 Q t Z k Z következõ állapot logika kimeeti logika következõ állapot kódja: Qt+1 clock következõ állapot logika kimeeti logika L0 x MPX I00 I01 I10 I11 s O1 O0 állapot regiszter Q0t+1 Q1t+1 D0 D1 Q0 Q1 clk Q0t Q1t L1 L2 L3

25 Sorredi fukcioális elemek A kombiációshoz hasolóa sorredi fukcioális elemek is vaak. Regiszer Ezt az előbbiekbe már megismertük. Eek fukciója, hogy mide aktív órajel élél, eltárolja a bemeté levő adatot. Számláló (couter) Q COUNTER D e ld clk A számláló mide órajelre öveli 1-el a kimeete értékét, ha egedélyezett (e=1). Ha elérte a végértéket (biáris számlálóál az 111 1), akkor átfordul (000 0) és újrakezdi. Pl. 2 bites biáris számláló egymást követő állapotai: 00,01,10,11,00 Lehet tölthető. Betölti a D bemeetére adott értéket, ha ld = 1 az órajel aktív élére.

26 Modulusak evezik a számláló állapotaiak számát. Sokszor biáris számlálókat haszálak. Ezek modulusa 2, bites számláló eseté. A számlálóak sok változata va, em részletezzük. Shiftregiszter A shiftregiszter fukciója, hogy elshiftelje (eltolja) a bee lévő adatbiteket valamely iráyba. Q Q3 SHR SI Q D Q D Q D Q D Q2 Q1 Q0 SI clk clk A legegyszerűbb shiftregiszer csak sorba kötött, közös órajelű D flip-flopokat tartalmaz. Pl. 4 bites balra shiftelő shiftregiszter állapotai, ha a kezdőértéke 0001 és a belépő bit (SI) az első órajelél 1, utáa pedig 0: 0001, 0010, 0100, 1000, 0000 Boyolultabb változatait em részletezzük.

27 Memóriák A memóriákat adatok tárolására haszáljuk. Írhatóság szempotjából két fajtát külöböztetük meg, ROM és RAM. ROM A ROM csak olvasható memória. Az adatot megtartja a kikapcsolás utá is. A cím bemeeteivel lehet kiválasztai a kimeeté megjeleítedő adatot tartalmazó rekeszt D7-D cím ROM adat m A2 A1 A Bizoyos fajta ROM-ok speciális módo írhatók. Pl. a mikrokotrollerek kód memóriája, amelyet FLASH memóriával valósítaak meg.

28 RAM A RAM írható memória, ezért adat bemeete és írás vezérlő bemeete is va. Bizoyos típusál az adat be és kimeet ugyaaz. Szikro RAM (szétválasztott adat be és kimeettel) A-A0 DI DO w WE Az olvasás a ROM-éhoz hasoló. Az írás a szikro RAM-ok eseté az írás egedélyező jel (WE) alatti órajel aktív élre törtéik meg.

29 Szikro dual port RAM (szétválasztott adat be és kimeettel) DI A-A0 SPO DA-DA0 WE DPO A dual port RAM két cím bemeettel (A-A0, Da-Da0) és két adat kimeettel (SPO, DPO) redelkezik. Egyszerre megcímezhető két rekesze. Az íráshoz csak az egyik cím haszálható (A-A0)

30 Általáos számítási műveletek elvégzésére alkalmas logika Az eddigi fukcioális elemek ismeretébe már megérthetjük a számítógépekbe megvalósított általáos számítási műveletek elvégzésére képes logika fukcioális blokkvázlatát. külsõ adat MPX clk Wx 3 Ax2-Ax0 Wxe Ax RIN REG TÖMB RXO RYO Ay 3 Ay2-Ay0 opx opy ALU mûveleti kód eredméy A külső adatokat be kell íri a regisztertömb megfelelő rekeszeibe (Ax, Ay, Wx). Az operadusokat ki kell választai (Ax, Ay), a műveleti kódot be kell állítai és az eredméy Ax címre való visszaírását egedélyezi kell (Wx). Pl: MOV R0, #0x05 MOV R1, #0xc0 ADD Ri, Rj ; R0 = 0x05 ;R1 = 0xc0 ;Ri=Ri+Rj