3. Magyarország legmagasabb hegycsúcsa az Istállós-kő.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "3. Magyarország legmagasabb hegycsúcsa az Istállós-kő."

Átírás

1 1. Bevezetés A logika a görög,,logosz szóból származik, melynek jelentése gondolkodás, beszéd, szó. A logika az emberi gondolkodás vizsgálatával foglalkozik, célja pedig a gondolkodás során használt helyes következtetési módszerek ismérveinek feltárása, illetve új helyes következtetési eljárások kidolgozása. 2. Kijelentéslogika 2.1. Kijelentések Tekintsük a következő mondatokat: 1. A 10 páros szám. 2. A Trónok harca a legjobb TV sorozat. 3. Magyarország legmagasabb hegycsúcsa az Istállós-kő. 4. Holnap szép idő lesz. Az 1. és a 3. mondatról egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy igazak, vagy hamisak: az 1. mondat igaz, míg a 3. mondat hamis (a Kékes a legmagasabb hegycsúcs). A 2. és 4. mondatnál viszont nem dönthető el egyértelműen, hogy igazak, vagy hamisak (például lehet, hogy valaki jobban szereti a Barátok köztet a Trónok harcánál, míg a szép idő nem mindenkinek jelenti ugyanazt). A klasszikus logikában kijelentésnek vagy állításnak nevezünk egy nyelvtanilag kijelentő mondatot, melynek tartalmáról eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Feltesszük, hogy minden állítás vagy igaz, vagy hamis, továbbá azt is, hogy egy állítás nem lehet egyszerre igaz is és hamis is. Ha egy A állítás igaz, akkor azt mondjuk, hogy A logikai értéke igaz, ha A hamis, akkor pedig azt mondjuk, hogy A logikai értéke hamis. Az A állítás logikai értékét A -val jelöljük. Az igaz, illetve hamis logikai értékeket i-vel és h-val jelöljük. (Az igaz, illetve hamis logikai értékeket szokás ezen kívül 1-gyel, illetve 0-val jelölni.) Példa Legyen A az az állítás, hogy a 10 páros szám, B pedig az az állítás, hogy a 9 osztható 4-gyel. Ekkor A =i és B =h Logikai műveletek Az egyszerű kijelentésekből logikai műveletek segítségével öszetett kijelentések állíthatól elő. A következőkben a legfontosabb logikai műveleteket tekintjük át. 1. A tagadás vagy más néven negáció egy egyváltozós logikai művelet, mely egy A állításhoz a A-val jelölt tagadását rendeli hozzá. Az A állítás tagadásának, azaz A-nak a logikai értéke igaz, ha A logikai értéke hamis, és A logikai értéke hamis, ha A logikai értéke igaz. Ugyanezt értéktáblazatos formában megadva: 1

2 A A i h h h Példa Az A=,,Az x 2 4 = 0 egyenletnek gyöke a 3 állítás tagadása a,,nem igaz, hogy az x 2 4 = 0 egyenletnek gyöke a 3 állítás, vagy másképp megfogalmazva,,az x 2 4 = 0 egyenletnek nem gyöke a 3 állítás. Természetesen A =h és A =i. Könnyen látható, hogy tetszőleges A állítás esetén A logikai értéke megegyezik A logikai értékével, azaz A = A. 2. A konjunkció (logikai és) egy kétváltozós logikai művelet, melyet jelöl. Az A B (ejtsd A és B) kijelentés logikai értéke pontosan akkor igaz, ha az A, illetve B állítások mindegyike igaz. Értéktáblázattal: A B A B i i i i h h h i h h h h Példa Legyen A =,,A 10 páros szám, és B =,,a 10 osztható öttel. Ekkor az A és B állítás így fogalmazható meg:,,a 10 páros szám és osztható öttel. Mivel mind A, mind B logikai értéke igaz, ezért A logikai értéke igaz. 3. A diszjunkció (logikai vagy) egy kétváltozós logikai művelet, melyet jelöl. Az A B (ejtsd A vagy B) kijelentés logikai értéke pontosan akkor igaz, ha az A és a B állítások közül legalább az egyik igaz. Értéktáblázattal: A B A B i i i i h i h i i h h h Példa Legyen A =,,A 10 osztható hattal, és B =,,a 10 kétjegyű szám. Ekkor az A vagy B állítás így fogalmazható meg:,,a 10 osztható hattal vagy a 10 kétjegyű szám. Mivel A logikai értéke igaz, B logikai értéke hamis, ezért A logikai értéke igaz. 3. Legyen most A =,,Délelőtt esik az eső, és B =,,délután elmegyek uszodába kijelentés. Vizsgáljuk meg a ha A, akkor B, azaz a,,ha délelőtt esik az eső, akkor délután elmegyek uszodába kijelentést. Világos, hogy ha délelőtt esik az eső és délután elmegyek uszodába, a kijelentés igaz, míg ha délelőtt esik az eső és délután nem megyek el uszodába, akkor a kijelentés hamis. Mi a helyzet azonban akkor, ha délelőtt nem esik az eső. Vegyük észre, hogy erről az esetről a kijelentésünk semmit nem mond, hiszen csak arról állít valamit, hogy mit csinálok délután, ha délelőtt esik az eső. Vagyis ha délelőtt nem esik az eső, akkor bármit csinálok is délután (uszodába megyek, nem megyek uszodába) a kijelentésünk igaz marad! 2

3 Az implikáció egy kétváltozós logikai művelet, melyet jelöl. Az A B kijelentést,,ha A, akkor B módon fogamazzuk meg. Az A B kijelentés logikai értéke hamis, ha A logikai értéke igaz, B logikai értéke hamis, minden más esetben A B logikai értéke igaz. A B A B i i i i h h h i i h h i Példa Legyen A =,,A 100 osztható 10, és B =,,a 100 osztható öttel. Ekkor a ha A, akkor B állítás így fogalmazható meg:,,ha a 100 osztható 10-zel, akkor a 100 osztható öttel. Mivel A és B logikai értéke is igaz, ezért az A B állítás is igaz. Legyen most Legyen A =,,A 100 osztható 3-mal, és B =,,a 100 osztható 7-tel. Ekkor a ha A, akkor B állítás így fogalmazható meg:,,ha a 100 osztható 3-mal, akkor a 100 osztható öttel. Mivel A igaz, míg B hamis, ezért az A B állítás logikai értéke igaz! Megjegyzések: Vegyük észre, hogy ha A logikai értéke hamis, akkor az A B állítás igaz, függetlnül attól, hogy mi a B logikai értéke! Hasonlóan, ha B logikai értéke igaz, akkor a A B állítás igaz, függetlenül attól, hogy A igaz, vagy hamis! Ha egy,,ha A, akkor B kijelentés igaz, akkor azt mondjuk, hogy A elégséges feltétele B-nek, illetve B szükséges feltétele A-nak. 4. Az ekvivalencia egy kétváltozós logikai művelet, melyet jelöl. Az A B (ejtsd A akkor és csak akkor, ha B) kijelentés logikai értéke pontosan akkor igaz, ha az A és a B logikai értéke megegyezik. Értéktáblázattal: A B A B i i i i h h h i h h h i Vegyük észre, hogy az A B kijelntés a (A B) (B A) kijelentés rövidítése. Példa Legyen e és f 2 egyenes a síkban, melyek metszik egymást, és legyen A =,,e és f párhuzamosak, B =,,e és f metszik egymást. Ekkor az A B állítás hamis, mert A hamis, míg B igaz. Megjegyzés. Ha egy A B állítás igaz, akkor azt mondjuk, hogy A szükséges és elégséges feltétele B-nek Logikai műveletek tulajdonságai Ahogy már korábban jeleztük, egy A kijelentés esetén A -val jelöljük a kijelentés logikai értékét. 3

4 Tétel: Tetszőleges A, B és C állítások esetén igaz: 1. A A =h 2. A A =i 3. A A = A, A A = A 4. A B = B A, A B = B A 5. (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) 6. A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) 7. (A B) = A B, (A B) = A B. A Tétel 1. pontja azt mondja ki, hogy egy állítás nem lehet egyszerre igaz és hamis is; ezt az ellentmondásmentesség elvének nevezzük. A 2. szerint ha egy A kijelnetés nem igaz, akkor A hamis. Ezt nevezzük a logikában a harmadik kizárása elvnek. A 4. pont szerint mind a vagy, mind az és műveletnél felcserélhető a 2 kijelentés sorrendje (azaz mindkét művelet kommutatív). Az 5. pont azt mondja ki, hogy mindkét művelet asszociatív. A 6. pont szerint a diszjunkció disztributív a konjunkcióra nézve, míg a konjunkció disztributív a diszjunkcióra nézve. A 7. pontbeli azonosságok azt fogalmazzák meg, hogyan lehet az A vagy B, illetve A és B állítások tagadását A és B segítségével kifejezni. Ezt a két azonosságot De-Morgan azonosságoknak nevezzük. A felsorolt azonosságokat értéktáblázat segítségével egyszerűen bizonyíthatjuk. Itt most csak 6. pont első azonosságát bizonyítjuk be, a többi azonosság hasonlóan látható be. Azt szeretnénk tehát belátni, hogy Készítsük el az értéktáblázatot. A (B C) = (A B) (A C). A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C) i i i i i i i i i i h h i i i i i h i h i i i i i h h h i i i i h i i i i i i i h i h h h i h h h h i h h h i h h h h h h h h h 4

5 Látható, hogy a táblázat 5. és 8. oszlopa megegyezik, ami pontosan azt jelenti, hogy bármi is a logikai értéke az A, B, illetve C állításoknak, az A (B C) és az (A B) (A C) állítások logikai értéke megegyezik, és éppen ezt szerettük volna belátni. Az??. táblázatban megadjuk az összes kétváltozós logikai műveletet. 1. táblázat. Kétváltozós logikai műveletek A B f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f 15 f 16 i i i i i i h i i i h h h i h h h h i h i i i h i i h h i i h h i h h h h i i i h i i h i h i h i h h i h h h h i h i i i h h i h i i h h h i h Az f 1 logikai művelet az,,azonosan igaz művelet. Azf 2 művelet a diszjunkció, azaz f 2 (A, B) = A B. Az f 3 művelet a B A-nek felel meg. Az f 4 művelet az A B-nek felel meg. f 5 a (A B)-nek felel meg. Ezt műveletet Sheffer-műveletnek nevezzük. Az f 6 művelet az (A, B) kijelentés párhoz az A kijelentést rendeli hozzá. Az f 7 művelet az (A, B) kijelentés párhoz a B kijelentést rendeli hozzá. Az f 8 művelet az ekvivalencia, azaz A B-nek felel meg. Az f 9 művelet a kizáró vagy (angolul XOR) művelet, melyet -szal jelölünk. Az A B kijelentés pontosan akkor igaz, ha A és B közül pontosan az egyik igaz. Az f 10 művelet az (A, B) kijelentéspárhoz B-t rendeli hozzá. Az f 11 művelet az (A, B) kijelentéspárhoz A-t rendeli hozzá. f 12 a logikai és művelet. Az f 13 művelet a (A B)-nek felel meg. Az f 14 művelet a (B A)-nak felel meg. Az f 15 művelet a sem-sem művelet, melyet Webb-műveletnek is nevezünk, és -val jelölünk. A művelet eredményeként kapott A B állítás (melyet sem A, sem B-nek mondunk) akkor igaz, ha mind A, mind B hamis, minden más esetben az A B állítás hamis. f 16 az,,azonosan hamis művelet. 3. Logikai formulák Tekintsük a következő két kijelentést. (a) Ha a 100 oszható 10-zel, akkor a 100 osztható 5-tel és 2-vel is. (b) Ha 8 óra előtt elindulunk, akkor elmegyünk a múzeumba és a cirkuszba is. A két kijelentés tartalmilag teljesen eltérő, viszont a logikai szerkezetük megegegyezik. Az (a) kijelentés esetén legyen: p: a 100 osztható 10-zel; q: a 100 osztható 5-tel; r: a 100 5

6 osztható 2-vel. Ekkor az (a) kijelentés logikai felépítése: p (q r). Hasonlóan a (b) kijelentés esetén legyen: s: 8 óra előtt indulunk t: elmegyünk a múzeumba; u: elmegyünk a cirkuszba. Ekkor (b) kijelentéslogikai felépítése s (t u). A kijelentéslogikában a kijelentések logikai szerkezetének vizsgálatához a következő jelekből álló, véges hosszú jelsorozatok használjuk: (a) a felbonthatatlan kijelentések jelei: p, q, r, illetve ezeknek sorszámozott alakjai: p 1, q 1, r 1. Ezeket a jeleket kijelentésváltozóknak nevezzük. (b) kijelentéslogikai műveleti jelei:,,,, (c) A műveletek sorrendjét meghatározó zárójelpárok. Kijelentéslogikai formulának nevezünk egy kijelentésváltozókből, műveleti jelekből és zárójelpárokból álló véges hosszú hosszú sorozatot, mely előállítható a következő két szabály véges sokszori alkalmazásával: 1. Minden kijelentésváltozó formula. 2. Ha F és G két formula, akkor (F ), (F ) (G), (F ) (G), (F ) (G), (F ) (G) is formulák. A formuláknál a zárójelelhagyásokkal kapcsolatban megállapodunk abban, hogy kijelentésváltozót nem teszünk zárójelbe, továbbá ha egy formulát többször is tagadunk, akkor csak az első alkalomnál használunk zárójelet. Példa. A (p q) ( p q) jelsorozat egy formula, hiszen előállítható a fenti két lépés véges sokszori alkalmazásávál. Az 1. alapján ugyanis p, illetve q is egy-egy formula, és ekkor 2. alapján (p q) is egy formula. 2. alapján p is egy formula, és ezért szinten 2. alapján p q is egy formula. Így tehát p q és p q is egy-egy formula, ezért 2. alapján (p q) ( p q) szintén formula Formulák interpretációja Az előző fejezetben definiált formulák jelentés nélküli jelsorozatok. Egy ilyen jelsorozatnak, azaz egy formulának akkor lesz jelentése, ha a benne szereplő kijelentésváltozók jelentését rögzítjük (interpretáljuk). Egy formula nyelvi interpretációján azt értjük, hogy a formulában szereplő kijelentésváltozókat kijelentésekkel helyettesítjük oly módon, hogy az azonos kijelentésváltozók helyébe mindig ugyanazt a kijelentést helyettesítjük. Például a (p q) r formulának nyelvi interpretációja a,,ha esik az eső vagy edzőmeccs lesz, akkor nem lesz edzés, és a,,ha a 24 osztható 5-tel vagy a 24 osztható 6-tal, akkor a 24 nem prímszám kijelentés is. A matematikai logika szempontjából azonban minket nem a nyelvi interpretáció során kapott kijelentés tartalma, hanem annak logikai értéke érdekel; ezt pedig egyértelműen meghatározzák a kijelentésváltozók helyére írt állítások logikai értékei. 6

7 A kijelentéslogikai formula egy interpretációján a benne szereplő kijelentésváltozók logikai értékének megadását értjük. Például a (p q) r formula egy lehetséges interpretációja: p = h, q = i, r = h, és ennél az interpretációnál a formula logika értéke hamis lesz. Megjegyzés. Egy formulában minden kijelentésváltozónak kétféle logikai értéke lehet (i,h), ezért egy n kijelentésváltozót tartalmazó formula esetén a lehetséges interpretációk száma 2 n. Egy formula összes lehetséges interpretációja értéktáblázat segítségével adható meg. A következő táblázatban pédául a (p q) r formula interpretációit adjuk meg. p q r (p q) r i i i i i i h h i h i i i h h i h i i i h i h h h h i i h h h h Ha egy F formula valamely interpretációja esetén F logikai értéke igaz, akkor azt mondjuk, hogy az adott interpretáció igazzá teszi az F formulát. Az F formula kielégíthető, ha van olyan interpretációja, amelyik igazzá teszi. Ha az F formulát minden interpretációja igazzá teszi, akkor F -et tautológiának vagy azonosan igaz formulának nevezzük. Ha egy F formulát semmelyik interpretációja nem tesz igazzá, akkor F -et kontradikciónak vagy azonosan hamis formulának nevezzük. Példa. Mutassuk meg, hogy a (p q) q formula tautológia! A bizonyításhoz használjuk az értéktáblázatot! p q p q q (p q) q i i i h i i h h i i h i i h i h h i i i A táblázat utolsó oszlopából látható, hogy bármi is a p, illetve a q logikai értéke, a (p q) q formula logikai értéke mindig igaz, vagyis ez a formula egy tautológia. Azt mondjuk, hogy az F és G formulák ekvivalensek, ha logikai értékük bármely interpretációnál megegyezik. Ha F és G ekvivalens formulák, akkor ezt a következő módon jelöljük: F G. Példa. Döntse el, hogy ekvivalens-e a megadott két formula! a, p (q r) és (p q) r 7

8 b, p (q r) és (p q) r Megoldás: Használjuk mindkét esetben az értéktáblázatot! a, p q r q r p (q r) (p q) (p q) r i i i i i i i i i h h h i h i h i i i h i i h h i i h i h i i i i h i h i h h i h i h h i i i h i h h h i i h i A táblázat 5. és 7. oszlopából látható, hogy a p (q r) és (p q) r formulák logikai értéke bármely interpretáció esetén megeygezik, ezért a 2 formula ekvivalens. b, p q r q r p (q r) p q (p q) r i i i i i i i i i h h i i i i h i h i h i i h h h i h h h i i i i h i h i h h h h h h h i h h h i h h h h h h h A táblázat 5. sorát megnézve látható, hogy p = i, q = h, r = h interpretáció esetén a p (q r) formula logikai értéke igaz, míg a (p q) r formula logikai értéke hamis, ezért a 2 formula nem ekvivalens Diszjunktív normálformulák Különböző vizsgálatok során sok esetben hasznos, ha egy bonyolult formuláról áttérünk egy vele ekvivalens, egyszerűbb formulára. Most bevezetjük a formuláknak egy speciális típusát, és megmutatjuk, hogy minden formulához létezik vele ekvivalens, ilyen speciális típusú formula. Egy F formulát diszjunktív normálformulának nevezünk, ha olyan konjunkciók diszjunkciója, melyben minden konjunkcióban a változók mindegyike legfeljebb egyszer - negálatlanul, vagy negáltan- fordul elő. Ha egy F diszjunktív normálformulában minden konjunkcióban minden változó pontosan egyszer forduló elő, akkor F -t teljes diszjunktív normálformulának nevezzük. 8

9 Példa. Az alábbi két formula mindegyike diszjunktív normálformula: F 1 = (p q r) ( p r) F 2 = (p q) (r s) ( p r) Az F 1, illetve F 2 formulák egyike sem teljes diszjunktív normálformula, hiszen például F 1 -ben a második konjunkcióban (( p r)) nem szerepel a q változó, míg F 2 esetében egyik konjunkcióban sem szerepl mind a 4 változó. Egy háromváltozós, teljes diszjunktív normálformulára példa az alábbi F 3 formula: Tétel: F 1 = (p q r) ( p q r) (p q r) ( p q r). 1. Minden formulához létezik vele ekvivalens diszjunktív normálformula. 2. Minden formulához létezik vele ekvivalens, ugyanazon a változóhalmazon értelmezett teljes diszjunktív normálformula, és ez teljes diszjunktív normálformula a diszjunkciók sorrendjétől, illetve a változóknak a konjunkción belüli sorrendjétől eltekintve egyértelműen meghatározott. Megjegyzés. Egy adott formulához többféle, vele ekvivalens diszjunktív normálformula is létezik, viszont a tétel 2. része alapján minden formulához pontosan egy, vele ekvivalens normálformula létezik. Egy példán keresztül bemutatjuk, hogy ha adott egy formula, akkor hogyan lehet a vele ekvivalens teljes diszjunktív normálformulát felírni. Példa. Írjuk fel a (p q) r formulával ekvivalens teljes diszjunktív normálformulát! Készítsük el először a (p q) r formula értéktáblázatát! p q r (p q) r i i i i i i h h i h i h i h h i h i i h h i h i h h i h h h h i Mivel 2 formula akkor ekvivalens, ha bármely interpretáció esetén megegyezik a logikai értékük, ezért olyan teljes diszjunktív normálformulát keresünk, amelyik pontosan azokban az esetekben (interpretációknál) igaz, amikor a (p q) r formula igaz. A táblázatból látható (vastag betűvel vannak kiemelve), hogy a (p q) r formula négy esetben lesz igaz, így olyan teljes diszjunktív normálformulát kell megadnunk, amelyik pontosan ennél a 4 esetnél lesz igaz. Mivel egy teljes diszjunktív normálformula konjunkcióknak a diszjunkciója, ezért egy ilyen formula akkor lesz igaz, ha valamelyik konjunkciós tagja igaz. A táblázat alapján a keresett formulának igaznak kell lennie a p = i, q = i, r = i esetben, ezért a keresett formulának kell hogy legyen olyan konjunkciója, amely pontosan 9

10 p = i, q = i, r = i esetén igaz. Ez a tag viszont csak a p q r lehet. Hasonlóan, a táblázat 5. sora alapján a keresett formulának kell, hogyan legyen olyan konjunkciója, mely pontosan akkor igaz, ha p = i, q = h, r = h. Ez a tag csakis a p q r lehet. A 7. sor alapján a keresett formulának kell hogy legyen olyan konjunkciója, amely pontosan p = h, q = i, r = h esetén igaz. Ez a tag viszont csak a p q r lehet. Végezetül a táblázat 9. sora alapján a keresett formulának kell hogy legyen olyan konjunkciója, amely pontosan p = h, q = h, r = h esetén igaz. Ez a tag csak a p q r lehet. Így tehát a (p q) r formulával ekvivalens teljes diszjunktív normálformula alakban írható fel. (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r) 3.3. A kijelentéslogika következményfogalma A matematikai bizonyítások formalizálásához tisztáznunk kell, hogy mit értünk következményfogalmon, és mely következtetési szabályokat fogadjuk el,,helyesnek. Ehhez a kijelentéslogikában a következő módon járunk el. A következményfogalmat először a formulákra definiáljuk; az állításokra vonatkozó következményfogalmat pedig az állításoknak megfelelő formulákból származtatjuk. Legyenek F 1, F 2,..., F n és G formulák, melyek összességében a p 1, p 2,..., p k kijelentésváltozók fordulnak elő. Azt mondjuk, hogy a G formula logikai következménye az F 1, F 2,..., F n formuláknak, ha a p 1, p 2,..., p k kijelentésváltozók minden olyan interpretációja esetén, amikor az F 1, F 2,..., F n formulák mindegyikének igaz a logikai értéke, a G formula logikai értéke is igaz. Ha az F 1, F 2,..., F n formuláknak logikai következménye a G formula, akkor azt alábbi módon jelöljük: F 1, F 2,... F n = G. A fenti jelsorozatot következtetési szabálynak nevezzük. Az F 1, F 2,..., F n formulák a következtetési szabály premisszái, a G formula pedig a konklúzió. A következőkben felsorolunk néhány helyes következtetési szabályt. 1. Leválasztási szabály (modus ponens): p q, p = q 2. Elvevő szabály (modus tollens): p q, q = p 3. Indirekt bizonyítás: p q, q = p 10

11 4. Láncszabály (hipotetikus szillogizmus): p q, q r = p r 5. Diszjunktív szillogizmus: p q, q = p Példa. Bizonyítsuk be, hogy a p q, q r = p r láncszabály egy helyes következtetési forma! 1. megoldás: A definíció szerint azt kell belátnunk, hogy minden olyan esetben, amikor a p q és q r premisszák mindegyike igaz, a p r konklúzió is igaz lesz. Készítsünk ennek igazolásához értéktáblázatot: p q r p q q r p r i i i i i i i i h i h h i h i h i i i h h h i h h i i i i i h i h i h i h h i i i i h h h i i i A táblázatból látható, hogy 4 olyan eset van, amikor mindkét premissza igaz (a vastag betűs sorok), és ezen esetek mindegyikében a konklúzió is igaz, ez pedig éppen azt jelenti, hogy a p q, q r = p r egy helyes következtetési forma. Fontos megjegyezni, hogy minket csak az érdekelt, hogy amikor a premisszák mindegyike igaz, akkor igaz-e a konklúzió is. Ezért az értéktáblázat kitöltése közben, ha az egyik esetnél valamelyik premissza hamis, akkor ennek a sornak a többi értékét már nem is kellene kitöltenünk. Tehát például a táblázat 4. sorában a p q premissza értéke hamis, ezért a q r és p r formulák logikai értékének kiszámítására már nincs is szükség, hiszen ezek nem befolyásolják azt, hogy a következtetési szabály helyes-e vagy sem! 2. megoldás: Megmutatjuk, hogy nem létezik olyan eset, amikor a premisszák mindegyike hamis, a konklúzió pedig igaz. Tegyük fel ezzel ellentétesen, hogy van olyan eset, amikor p q = i, q r = i és p r = h. Határozzuk meg, hogy mi lehet p, q, illetve r logikai értéke! Mivel most feltettük, hogy p r = h, ezért p = i és r = h. Ha q = h lenne, akkor p q = h lenne, ami viszont nem lehet, hiszen feltettük, hogy p q = i. Ha viszont q = i lenne, akkor q r = h lenne, ami viszont szintén nem lehet, hiszen feltettük, hogy q r = i. Tehát azt kaptuk, hogy nem tudjuk úgy megadni p, q és r logikai értékét, hogy a két premissza igaz, a konklúzió pedig hamis legyen, ez pedig éppen azt jelenti, hogy a p q, q r = p r egy helyes következtetési szabály. Legyenek most A 1, A 2,... A n és B állítások. Definiálni szeretnénk, hogy mit értünk azon, hogy az A 1, A 2,... A n állításoknak a B állítás a logikai következménye. 11

12 Legyenek az F 1, F 2,... F n az A 1, A 2,... A n állításoknak,,megfelelő formulák, míg G legyen a B állításnak,,megfelelő formula. Ez azt jelenti, hogy ha az F 1, F 2,... F n és G formulákban a p 1, p 2,... p k kijelentésváltozók fordulnak elő, akkor ezen kijelentésváltozóknak létezik olyan nyelvi interpretációja, melynél mindn 1 i n esetén az F i formula nyelvi interpretációja az A i állítás lesz, míg a G formula nyelvi interpretációja a B állítás lesz. Ha az F 1, F 2,... F n = G egy helyes következtetési forma, akkor azt mondjuk, hogy az A 1, A 2,... A n állítosknak a B állítás logikai következménye. Példa. Egy bűncselekménynek három gyanúsítottja (Péter, Pál, Gábor) van. A következőket tudjuk: A 1 : Ha Péter bűnös, akkor Pál ártatlan. A 2 : Ha Pál ártatlan, akkor Gábor is az. A 3 : Pál és Gábor közül legalább az egyikük bűnös. Mutassuk meg, hogy a fenti három állításból következik, hogy Péter ártatlan, azaz az A 1, A 2, A 3 állításoknak logikai következménye a B =,,Péter ártatlan állítás! Megoldás: Legyen p =,,Péter bűnös, q =,,Pál bűnös, r =,,Gábor bűnös. Ekkor A 1 -nek a p q formula felel meg. A 2 -nek a q r formula felel meg. A 3 -nak a q r formula felel meg. B-nek a p formula felel meg. Ahhoz, hogy belássuk, hogy az A 1, A 2, A 3 állítás, azt kell megmutatnunk, hogy állításoknak logikai következménye a B p q, q r, q r = p egy helyes következtetési szabály. Ehhez, ahogy azt már korábban láttuk, használhatjuk például az értéktáblázatot. p q r p r q r q r p i i i h i i h i i h h i i h i h i i h i h i h h i h h h h i i i i i i h i h i i i i h h i i h i i h h h i i h i 12

13 Látható, hogy 2 olyan eset van (a táblázat 6. és 7. sorában), amikor mindhárom premissza igaz, és mindkét esetben a konklúzió is igaz. Ez pedig pontosan azt jelenti, hogy a p q, q r, q r = p egy helyes következtetési szabály, ezért az A 1, A 2, A 3 állításokból következik, hogy Péter ártatlan. 13

1. A matematikai logika alapfogalmai. 2. A matematikai logika műveletei

1. A matematikai logika alapfogalmai. 2. A matematikai logika műveletei 1. A matematikai logika alapfogalmai Megjegyzések: a) A logikában az állítás (kijelentés), valamint annak igaz vagy hamis voltát alapfogalomnak tekintjük, nem definiáljuk. b) Minden állítással kapcsolatban

Részletesebben

A logikai következmény

A logikai következmény Logika 3 A logikai következmény A logika egyik feladata: helyes következtetési sémák kialakítása. Példa következtetésekre : Minden veréb madár. Minden madár gerinces. Minden veréb gerinces 1.Feltétel 2.Feltétel

Részletesebben

Kijelentéslogika, ítéletkalkulus

Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Arisztotelész (ie 4. sz) Leibniz (1646-1716) oole (1815-1864) Gödel (1906-1978) Neumann János (1903-1957) Kalmár László (1905-1976) Péter Rózsa (1905-1977) Kijelentés,

Részletesebben

Kijelentéslogika, ítéletkalkulus

Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Kijelentés, ítélet: olyan kijelentő mondat, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis Logikai értékek: igaz, hamis zürke I: 52-53, 61-62, 88, 95 Logikai műveletek

Részletesebben

Matematikai logika NULLADRENDŰ LOGIKA

Matematikai logika NULLADRENDŰ LOGIKA Matematikai logika NULLADRENDŰ LOGIKA Kijelentő mondatokhoz, melyeket nagy betűkkel jelölünk, interpretáció (egy függvény) segítségével igazságértéket rendelünk (I,H). Szintaxisból (nyelvtani szabályok,

Részletesebben

Ítéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus

Ítéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus Ítéletkalkulus Logikai alapfogalmak, m veletek, formalizálás, logikai ekvivalencia, teljes diszjunktív normálforma, tautológia. 1. Bevezet A matematikai logikában az állításoknak nem a tényleges jelentésével,

Részletesebben

Matematikai logika és halmazelmélet

Matematikai logika és halmazelmélet Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete

Részletesebben

AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI

AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 4. gyakorlat Interpretáció A ϱ függvényt az L (0) = LC, Con, Form nulladrendű nyelv egy

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika 1/36

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika 1/36 1/36 Logika és számításelmélet I. rész Logika 2/36 Elérhetőségek Tejfel Máté Déli épület, 2.606 matej@inf.elte.hu http://matej.web.elte.hu Tankönyv 3/36 Tartalom 4/36 Bevezető fogalmak Ítéletlogika Ítéletlogika

Részletesebben

A matematika nyelvér l bevezetés

A matematika nyelvér l bevezetés A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások

Részletesebben

A logika, és a matematikai logika alapjait is neves görög tudós filozófus Arisztotelész rakta le "Analitika" című művében, Kr.e. IV. században.

A logika, és a matematikai logika alapjait is neves görög tudós filozófus Arisztotelész rakta le Analitika című művében, Kr.e. IV. században. LOGIKA A logika tudománnyá válása az ókori Görögországban kezdődött. Maga a logika szó is görög eredetű, a logosz szó jelentése: szó, fogalom, ész, szabály. Már az első tudósok, filozófusok, és politikusok

Részletesebben

Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László

Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László MATEMATIKAI LOGIKA A gondolkodás tudománya Diszkrét matematika Arisztotelész(i.e. 384-311) Boole, De Morgan, Gödel, Cantor, Church, Herbrand, Hilbert, Kleene, Lukesiewicz, Löwenheim, Ackermann, McKinsey,

Részletesebben

LOGIKA. Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László.

LOGIKA. Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László. MATEMATIKAI A gondolkodás tudománya Arisztotelész(i.e. 384-311) Boole, De Morgan, Gödel, Cantor, Church, Herbrand, Hilbert, Kleene, Lukesiewicz, Löwenheim, Ackermann, McKinsey, Tarski, Ramsey, Russel,

Részletesebben

ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)

ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA) ÍTÉLETKALKULUS SZINTAXIS ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA) jelkészlet elválasztó jelek: ( ) logikai műveleti jelek: ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r,... ítéletkonstansok: T, F szintaxis szabályai

Részletesebben

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. 1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,

Részletesebben

Bevezetés a Formális Logikába Érveléstechnika-logika 7.

Bevezetés a Formális Logikába Érveléstechnika-logika 7. Bevezetés a Formális Logikába Érveléstechnika-logika 7. Elemi és összetett állítások Elemi állítások Állítás: Jelentéssel bíró kijelentő mondat, amely információt közöl a világról. Az állítás vagy igaz

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 4. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

A matematika nyelvéről bevezetés

A matematika nyelvéről bevezetés A matematika nyelvéről bevezetés Wettl Ferenc 2006. szeptember 19. Wettl Ferenc () A matematika nyelvéről bevezetés 2006. szeptember 19. 1 / 17 Tartalom 1 Matematika Kijelentő mondatok Matematikai kijelentések

Részletesebben

Ítéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus

Ítéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus Ítéletkalkulus Logikai alapfogalmak, m veletek, formalizálás, logikai ekvivalencia, teljes diszjunktív normálforma, tautológia. 1. Bevezet A matematikai logikában az állításoknak nem a tényleges jelentésével,

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 4. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logika Logika Indukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor a konkrét tapasztalatokra támaszkodva jutunk el az általános fogalomhoz, indukciónak nevezzük. Dedukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor

Részletesebben

Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK

Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK Év eleji feladatok Szükséges eszközök: A4-es négyzetrácsos füzet Letölthető tananyag: Emelt szintű matematika érettségi témakörök (2016) Forrás: www.mozaik.info.hu

Részletesebben

Knoch László: Információelmélet LOGIKA

Knoch László: Információelmélet LOGIKA Mi az ítélet? Az ítélet olyan mondat, amely vagy igaz, vagy hamis. Azt, hogy az adott ítélet igaz vagy hamis, az ítélet logikai értékének nevezzük. Jelölése: i igaz h hamis A 2 páros és prím. Logikai értéke

Részletesebben

Csikós Pajor Gizella Péics Hajnalka ALGEBRA. Bolyai Farkas Alapítvány Zenta 2011.

Csikós Pajor Gizella Péics Hajnalka ALGEBRA. Bolyai Farkas Alapítvány Zenta 2011. Béres Zoltán Csikós Pajor Gizella Péics Hajnalka ALGEBRA elméleti összefoglaló és példatár Bolyai Farkas Alapítvány Zenta 0. Szerzők: Béres Zoltán, középiskolai tanár, Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium

Részletesebben

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1 3. fejezet Matematikai logika Logikai m veletek, kvantorok D 3.1 A P és Q elemi ítéletekre vonatkozó logikai alapm veleteket (konjunkció ( ), diszjunkció ( ), implikáció ( ), ekvivalencia ( ), negáció

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logika Logika Indukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor a konkrét tapasztalatokra támaszkodva jutunk el az általános fogalomhoz, indukciónak nevezzük. Dedukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor

Részletesebben

2019/02/11 10:01 1/10 Logika

2019/02/11 10:01 1/10 Logika 2019/02/11 10:01 1/10 Logika < Számítástechnika Logika Szerző: Sallai András Copyright Sallai András, 2011, 2012, 2015 Licenc: GNU Free Documentation License 1.3 Web: http://szit.hu Boole-algebra A Boole-algebrát

Részletesebben

Logikai alapok a programozáshoz. Nagy Károly 2014

Logikai alapok a programozáshoz. Nagy Károly 2014 Logikai alapok a programozáshoz előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2014 1 1. Kijelentés logika, ítéletkalkulus 1.1. Definíció. Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről

Részletesebben

Logikai alapok a programozáshoz

Logikai alapok a programozáshoz Logikai alapok a programozáshoz Nagy Károly 2014 Nyíregyházi Főiskola Matematika és Informatika Intézet 1 Tartalomjegyzék 1. Kijelentés logika, ítéletkalkulus 2 2. A kijelentés logika törvényei 5 3. Logikai

Részletesebben

2. Ítéletkalkulus szintaxisa

2. Ítéletkalkulus szintaxisa 2. Ítéletkalkulus szintaxisa (4.1) 2.1 Az ítéletlogika abc-je: V 0 V 0 A következő szimbólumokat tartalmazza: ítélet- vagy állításváltozók (az állítások szimbolizálására). Esetenként logikai változónak

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS)

Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS) Matematika szigorlat - konzultációs szeminárium Azoknak, akik másodszorra vagy többedszerre veszik fel a Matematika szigorlat (NAMMS1SAND) tárgyat. Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS) FŐBB TÉMAKÖRÖK

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldás

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldás Megoldás 1. Melyik mondat állítás a következőek közül? A: Szép idő van ma? B: A 100 szép szám. C: Minden prímszám páratlan. D: Bárcsak újra nyár lenne! Az állítás olyan kijelentő mondat, melyről egyértelműen

Részletesebben

Logikai ágensek. Mesterséges intelligencia március 21.

Logikai ágensek. Mesterséges intelligencia március 21. Logikai ágensek Mesterséges intelligencia 2014. március 21. Bevezetés Eddigi példák tudásra: állapotok halmaza, lehetséges operátorok, ezek költségei, heurisztikák Feltételezés: a világ (lehetséges állapotok

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Kombinatorika

Részletesebben

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Logika és érveléstechnika NULLADREND LOGIKA 3. Készítette: Szakmai felel s: 2011. február Készült a következ m felhasználásával: Ruzsa

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika M asodik el oad as 1/26

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika M asodik el oad as 1/26 1/26 Logika és számításelmélet I. rész Logika Második előadás Tartalom 2/26 Ítéletlogika - Szemantika (folytatás) Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai Szemantikus következményfogalom Formalizálás

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

Matematika Logika

Matematika Logika Matematika Logika 1 Állítások - Kijelentések Az alábbi kijelentő mondatok közül válaszd ki az állításokat! 1. Minden prímszám páratlan 2. Holnap jó műsor lesz a tv-ben. 3. Az óvodában a legszebb lány Veronika.

Részletesebben

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 1 Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések A matematikában alapfogalmaknak tekintjük azokat a fogalmakat, amelyeket nem határozunk meg, nem definiálunk más fogalmak segítségével

Részletesebben

Predikátumkalkulus. 1. Bevezet. 2. Predikátumkalkulus, formalizálás. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák.

Predikátumkalkulus. 1. Bevezet. 2. Predikátumkalkulus, formalizálás. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. Predikátumkalkulus Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. 1. Bevezet Nézzük meg a következ két kijelentést: Minden almához tartozik egy fa, amir l leesett. Bármely

Részletesebben

Halmazelmélet és logika

Halmazelmélet és logika Halmazelmélet és logika Dr. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006/07 I. szemeszter Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 1 / 58 Outline A halmazelmélet és

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes 1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Az informatika logikai alapjai

Az informatika logikai alapjai Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. A logikai ekvivalencia Az A és a B elsőrendű formulák logikailag ekvivalensek, ha

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2009 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

MATEMATIK A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR

MATEMATIK A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR MATEMATIK A 9. évfolyam 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR Matematika A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Diszkrét matematika MATEMATIKAI LOGIKA

Diszkrét matematika MATEMATIKAI LOGIKA NULLADRENDŰ LOGIKA (ÍTÉLETKALKULUS) A logikát, mint a filozófia egy részét, már az ókori a görög tudósok is igen magas szinten művelték, pl. Platón (Kr. e. 427- Kr. e. 347), Arisztotelész (Kr.e. 384- Kr.

Részletesebben

A matematikai logika alapjai

A matematikai logika alapjai A matematikai logika alapjai A logika a gondolkodás törvényeivel foglalkozó tudomány A matematikai logika a logikának az az ága, amely a formális logika vizsgálatára matematikai módszereket alkalmaz. Tárgya

Részletesebben

1. Logikailag ekvivalens

1. Logikailag ekvivalens Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 4. gyakorlat 1. Logikailag ekvivalens 1. Az alábbi formulák közül melyek logikailag ekvivalensek a ( p p) formulával? A. ((q p) q) B. (q q) C. ( p q) D.

Részletesebben

Predikátumkalkulus. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést.

Predikátumkalkulus. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést. Predikátumkalkulus Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. 1. Bevezet Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést. Minden almához tartozik egy fa, amir l leesett.

Részletesebben

25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel

25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel 5. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel Axióma: Bizonyítás: olyan állítás, amelynek igazságát bizonyítás nélkül elfogadjuk.

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 2. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Matematikai logika Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Logika és érveléstechnika NULLADREND LOGIKA 1. Készítette: Szakmai felel s: 2011. február Készült a következ m felhasználásával: Ruzsa

Részletesebben

I. Matematikai logika

I. Matematikai logika I. Matematikai logika Az előző években már hallhattunk róla, hogy a gondolkodás tudománya a logika már az ókorban is megjelent, mert a tudományok fejlődése szükségessé tette. Fontossága miatt itt is utalunk

Részletesebben

Dr. Szendrei János Dr. Tóth Balázs BEVEZETES PA TIKA I LOGIKABA

Dr. Szendrei János Dr. Tóth Balázs BEVEZETES PA TIKA I LOGIKABA Dr. Szendrei János Dr. Tóth Balázs k BEVEZETES A PA TIKA I LOGIKABA BEVEZETÉS A MATEMATIKAI LOGIKÁBA Dr. Szendrei János-Dr. Tóth Balázs BEVEZETÉS A MATEMATIKAI LOGIKÁBA NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST

Részletesebben

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1 Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival

Részletesebben

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van.

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van. HALMAZOK Tanulási cél Halmazok megadása, halmazműveletek megismerése és alkalmazása, halmazok ábrázolása Venn diagramon. Motivációs példa Egy fogyasztó 80 000 pénzegység jövedelmet fordít két termék, x

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy 1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,

Részletesebben

Az informatika logikai alapjai

Az informatika logikai alapjai Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. Formulahalmaz kielégíthetősége Ezen az előadáson Γ-val egy elsőrendű logikai nyelv

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

1. Formalizálás. Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 6. gyakorlat. 1. Jelöljék a következő nemlogikai konstansok a következőket:

1. Formalizálás. Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 6. gyakorlat. 1. Jelöljék a következő nemlogikai konstansok a következőket: Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 6. gyakorlat 1. Formalizálás 1. Jelöljék a következő nemlogikai konstansok a következőket: p Aladár gőgös. q Aladár zsémbes. r Bea gőgös. s Bea zsémbes.

Részletesebben

Felmentések. Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól.

Felmentések. Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól. Felmentések Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól. Az eredménye, ezek után a számításelélet részből elért eredmény

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA

Részletesebben

Érveléstechnika-logika 5. Filozófia és Tudománytörténet Tanszék 1111 Budapest, Sztoczek J. u fsz. 2.

Érveléstechnika-logika 5. Filozófia és Tudománytörténet Tanszék 1111 Budapest, Sztoczek J. u fsz. 2. Érveléstechnika-logika 5. Filozófia és Tudománytörténet Tanszék 1111 Budapest, Sztoczek J. u. 2-4. fsz. 2. Elemi állítás Állítás: Jelentéssel bíró kijelentő mondat, amely információt közöl a világról.

Részletesebben

Kijelentéslogika I. 2004. szeptember 24.

Kijelentéslogika I. 2004. szeptember 24. Kijelentéslogika I. 2004. szeptember 24. Funktorok A természetesnyelvi mondatok gyakran összetettek: további mondatokból, végső soron pedig atomi mondatokból épülnek fel. Az összetevő mondatokat mondatkonnektívumok

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2009 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

Negáció igazságtáblája. Propozicionális logika -- levezetések. Diszjunkció igazságtáblája. Konjunkció igazságtáblája. Kondicionális igazságtáblája

Negáció igazságtáblája. Propozicionális logika -- levezetések. Diszjunkció igazságtáblája. Konjunkció igazságtáblája. Kondicionális igazságtáblája Negáció igazságtáblája Propozicionális logika -- levezetések p ~p I H H I Konjunkció igazságtáblája Diszjunkció igazságtáblája p q p&q I I I I H H H I H H H H p q pvq I I I I H I H I I H H H Megengedő

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április 11.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április 11. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló - 2015. április 11. HETEDIK OSZTÁLY - Javítási útmutató 1. Ki lehet-e tölteni a következő táblázat mezőit pozitív egész számokkal úgy, hogy

Részletesebben

Felmentések. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 1 / 21

Felmentések. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 1 / 21 Felmentések Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 1 / 21 Felmentések Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat

Részletesebben

Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1

Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1 Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája Logika és számításelmélet, 3. gyakorlat 2009/10 II. félév Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1 Az elsőrendű logika Elemek egy

Részletesebben

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László Logika kiskáté Mihálydeák Tamás és Aszalós László 2012 1. Definíciók 1. Adja meg a klasszikus nulladrendű nyel definícióját! Klasszikus nulladrendű nyelen az L (0) = LC, Con, F orm rendezett hármast értjük,

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23. Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus

Részletesebben

Az informatika logikai alapjai

Az informatika logikai alapjai Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. Az elsőrendű logikai nyelv interpretációja L interpretációja egy I-vel jelölt függvénynégyes,

Részletesebben

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet! 1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 17.

FELVÉTELI VIZSGA, július 17. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

4. fejezet Analitikus táblázatok a kijelentéslogikában Bevezetés A következtetések helyességének ellenőrzésére több eljárás is kínálkozik.

4. fejezet Analitikus táblázatok a kijelentéslogikában Bevezetés A következtetések helyességének ellenőrzésére több eljárás is kínálkozik. 4. fejezet Analitikus táblázatok a kijelentéslogikában Bevezetés A következtetések helyességének ellenőrzésére több eljárás is kínálkozik. Az egyik az igazságtáblázatok módszere, amelyet az előző fejezetekben

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

1. Definíciók. 2. Formulák. Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 3. gyakorlat

1. Definíciók. 2. Formulák. Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 3. gyakorlat Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 3. gyakorlat 1. Definíciók A feladatokban bevezetünk két újabb logikai konstanst: a és jellel jelölteket. Ez a két konstans önmagában is formulának tekintendő.

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Harmadik el oad as 1/33

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Harmadik el oad as 1/33 1/33 Logika és számításelmélet I. rész Logika Harmadik előadás Tartalom 2/33 Elsőrendű logika bevezetés Az elsőrendű logika szintaxisa 3/33 Nulladrendű állítás Az ítéletlogikában nem foglalkoztunk az álĺıtások

Részletesebben

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László Logika kiskáté Mihálydeák Tamás és Aszalós László 2012 1. Definíciók 1. Adja meg a klasszikus nulladrendű nyel definícióját! Klasszikus nulladrendű nyelen az L (0) = LC, Con, F orm rendezett hármast értjük,

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103) Kátai-Urbán Kamilla (1. előadás) Mátrixok 2019. február 6. 1 / 35 Bevezetés Előadás Tudnivalók (I.) Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Az előadáson készített

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

ÖSSZEVONT ÓRÁK A MÁSIK CSOPORTTAL. tartósság, megerősítés, visszacsatolás, differenciálás, rendszerezés. SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK (25 óra)

ÖSSZEVONT ÓRÁK A MÁSIK CSOPORTTAL. tartósság, megerősítés, visszacsatolás, differenciálás, rendszerezés. SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK (25 óra) Tantárgy: MATEMATIKA Készítette: KRISTÓF GÁBOR, KÁDÁR JUTKA Osztály: 12. évfolyam, fakultációs csoport Vetési Albert Gimnázium, Veszprém Heti óraszám: 6 Éves óraszám: 180 Tankönyv: MATEMATIKA 11 és MATEMATIKA

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben