Többszörösen metsz halmazrendszerek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Többszörösen metsz halmazrendszerek"

Átírás

1 Többszörösen metsz halmazrendszerek Katona Zsolt Eötvös Loránd Tudományegyetem Kivonat Jelölje [n] az {1,,..., n} halmazt, [n] pedig [n] összes részhalmazát. Vegyünk egy F [n] halmazrendszert. F maximumát keressük, ha bármely r részhalmaz metszete legalább s elem, és bármely l különböz halmaz metszete legfeljebb t elem, a paraméterek különféle vásztása mellett. Az r =, s = t = 1 esetben, tehát amikor bármely két halmaz metszete nemüres, de bármely l különböz halmaz metszete legfeljebb egy elem, megmutatjuk, hogy F (l 1n és ez aszimptotikusan a legjobb korlát. Egy masik fontos specialis eset, amikor r = l, s = t, azaz, amikor bármely l különböz halmaz metszete pontosan t elem. Itt belátjuk, hogy F l (n t + 1 ha n elég nagy. Ez esetben az optimális család triviális, tehát azt is vizsgáljuk, hogy mi az optimum, ha kizárjuk a triviális konstrukciót, amikor az összes halmaz tartalmaz egy adott t-elem halmazt. Az általános esetet csak azon feltétel mellett sikerült megoldani, amikor t s, r, l, fennáll, ez természetesen nem tartalmazza a fent tárgyalt eseteket. Ekkor F t s ( n s ( i=0 i + t+l s n s t+ s t+1 s + l és ez aszimptotikusan legjobb korlát, ha a paraméterek rögzïtettek és n. A cikk a szerz idegen nyelven megjelen 3 cikkének (egyik Füredi Zoltánnal közös összefoglalása. 1

2 1. Bevezetés Jelölje [n] az {1,,..., n} halmazt, [n] az [n] összes részhalmazának családját, míg ( [n] jelölje a k elem részhalmazok családját. Erd s, Ko és Rado [9] egyszer tétele k szerint F maximuma n 1 ha az F [n] család bármely két halmazának nemüres metszete van. Egy ilyen F-et metsz halmazrendszernek hívunk. Valóban, egy halmaz és komplementere közül csak az egyik szerepelhet, tehát az összesnek legfeljebb a fele, vagyis n / = n 1. Ennyi halmazt tartalmazó metsz rendszert, M-et pedig úgy kapunk, ha veszünk egy rögzített elemet, például az 1-et tartalmazó összes halmazt. Ekkor M-et triviálisan metsz nek hívjuk, hiszen az összes halmaz metszete, M =. Azonban, ha n páratlan, akkor ugyanekkora metsz rendszer az, amelyik az összes, legalább n+1 ( n n+1 -elem halmazból áll, hiszen + ( n n ( n n = n 1. Ha n páros, akkor az összes legalább n + 1-elem halmaz családjához még hozzá kell venni az 1 elemet tartalmazó összes n -elem halmazt is. Tegyük a fenti konstrukciókat geometriai analógiával egy kissé szemléletesebbé. Egy F [n] halmazhoz rendeljük hozzá az un. karakterisztikus vektorát, amiben az i-edik koordináta 1 vagy 0 aszerint, hogy i eleme-e F-nek vagy sem. Akkor egy F-nek n-hosszú 0,1 sorozatok (vektorok felelnek meg. Az egyszer ség kedvéért ezt is jelölhetjük F-fel. Két ilyen sorozat távolsága a különböz bitek száma. A halmazok nyelvén pedig a szimmetrikus dierencia mérete. Ebben a térben egy a középpontú, r sugarú B(a, r gömb azon 0,1 sorozatokból áll, amelyek a-tól legfeljebb r távolságra vannak. Ha a gömb középpontja a = (1, 1,..., 1, akkor a B(a, r gömböt jelöljük B(n, n r-rel, ahol n r arra utal, hogy legalább n r-elem halmazokról van szó. Ezek alapján a második konstrukció páratlan n esetén a B(n, n+1 gömb. A fenti feladatra vonatkozó els konstrukciónak megfelel vektorok azok, amiknek els koordinátájuk 1, a többi pedig tetsz leges. 0,1 vektorok egy olyan halmazát, amelyeknek néhány koordinátája rögzített, a többi pedig tetsz leges, hengernek nevezzük,

3 de a megfelel halmazrendszert ugyancsak. A fenti els konstrukció tehát egy henger. A második konstrukció páros n esetén szintén egy gömb és egy henger kombinációja, hiszen a B(n, n gömbhöz hozzávesszük egy hengernek és ( [n] n -nek a metszetét. A fenti tételt Katona Gyula a következ képpen terjesztette ki []. Ha egy F halmazrendszer s-metsz, azaz bármely két halmaz metszete legalább s-elem, akkor páros n + s esetén F B(n, 1 (n + s, ahol B(n, x egy Hamming gömb, azaz a legalább x méret halmazok összesége, míg páratlan n + s mellett F B(n 1, 1 (n + s 1, és az optimális rendszer egy henger és egy gömb kombinációja. Ez sokszor el fordul a metsz halmazrendszerek elméletében, különösen uniform rendszerek esetén (amikor minden halmaz azonos méret, lásd Ahlswede és Khachatrian [1] megoldása az Erd sfrankl sejtésre. Jegyezzük meg, hogy míg s = 1 esetén mind egy henger, mind egy gömb(szer konstrukció optimális (s t, sok más optimális is van, s esetén csak a gömb(szer (az egyetlen optimális. Általánosan azt mondjuk, hogy F rendelkezik az I(r, s tulajdonsággal (vagy r-szeresen legalább s-metsz ha F 1 F... F r s bármely különböz F 1, F,..., F r Fmellett, (1 Jelölje f(n; I(r, s az n elemen lehet legnagyobb r-szeresen legalább s-metsz halmazrendszer méretét. Ha vesszük az összes részhalmazt, amely tartalmaz s rögzített elemet (ez is egy henger, ez kielégíti a feltételt, tehát következik, hogy f(n; I(r, s n s minden n s 0-ra. A terület egyik legszebb eredménye Frankl tétele [11], mely szerint f(n; I(r, s = n s akkor és csak akkor, ha n < r+s vagy s r r 1 kivéve az (r, s = (3, 4 esetet. Egy kiváló összefoglaló cikk Frankltól való [1]. Természetesen merül fel az is, hogy a metszetek felülr l korlátosak legyenek. Gronau egy kisebb eredménye szerint [19], ha bármely két halmaz metszete t akkor F arra a halmazcsaládra maximális, amely az összes legfeljebb t+1-elem halmazból áll. Ez ismét egy gömb, aminek középpontja a (0,..., 0 és sugara t + 1. De azonnal megváltozik a helyzet, ha például bármely három halmaz metszete lehet legfeljebb t = 1. 3

4 Ekkor, mint az könnyen látható, a legnagyobb halmazcsalád az összes legfeljebb kételem halmazon kívül még hármasoknak egy olyan családjából áll, amelyek minden kételem halmazt pontosan egyszer tartalmaznak, ha a hármasoknak ilyen családja létezik. Itt tehát a kett sugarú gömbön kívül hármasoknak egy olyan családja van, ami se nem gömb, se nem henger. Az ilyen tipusú rendszereket deniáljuk a következ kben. Azt mondjuk, hogy F I(l, t tulajdonságú (vagy l-szeresen legfeljebb t- metsz, ha F 1 F... F l t bármely különböz F 1, F,..., F l Fhalmazra, ( Jelölje f(n; I(l, t a legnagyobb ilyen halmazrendszer méretét n elemen. Egy k- méret részhalmazokból álló I(l, t tulajdonságú családot (n, k, t + 1, l 1 pakolásnak nevezünk és a maximális méretét jelöljük P (n, k, t + 1, l 1-vel. Utóbbi jelölést az magyarázza, hogy feltételünket úgy is fogalmazhatjuk, hogy a családban lév k-elem halmazok közül minden t + 1-est legfeljebb l 1 tartalmazhat. Általánosabban, egy F [n] család (n, k +, j, λ pakolás, ha F k igaz minden F F halmazára és minden j-elem X [n] halmazra teljesül, hogy X-et F-nek legfeljebb λ tagja tartalmazza, azaz minden j-elem halmaz legfeljebb λ-szer van lefedve. Itt is P (n, k +, j, λ jelöli a maximális méretet. Az alábbi els egyenl tlenség triviális, a második egyszer kett s leszámlálással adódik. ( n j P (n, k, j, λ P (n, k +, j, λ λ( k (3 j. Ha itt egyenl ség van egy F ( [n] családra, akkor azt S k λ (n, k, j blokkrendszernek, λ = 1 esetén pedig Steiner rendszernek hívjuk. Pakolásokról egy részletesebb átakintés [4, 5]-ben található. Ilyen rendszerek létezése és konstruálása általában nagyon nehéz, most egy közis- 4

5 mert eredményt ismertetünk, a j = k 1 esetet. λ k n k ( n n k 1 P (n, k, k 1, λ P (n, k +, k 1, λ λ k ( n. (4 k 1 Bizonyítás: A fels korlát következik (3-ból. Az alsó korláthoz konstruálunk egy F-et. Minden x [n] elemre tekintsük az F x := {F ( [n] k : f F f x (mod n} halmazt. Nyilvánvaló, hogy F x és F y diszjunkt, ha x y. Rögzítsünk egy k 1-elem Y [n] halmazt Könny belátni, hogy F x -nek legfeljebb egy tagja tartalmazza Y -t, tehát F x egy (n, k, k 1, 1 pakolás, így F 1 F F n a ( [n] család felbontása k (n, k, k 1, 1 pakolásokra. Deniáljuk F-et, mint λ darab legnagyobb F x unióját. Ekkor F n( λ n ( k k 1 = λ n k n. k n Ha a metszetekre egyszerre tesszük fel a fels és alsó korlátokat, akkor a legegyszer bb eset, ha az alsó és fels korlátok egyenl ek, és azonos metszetekre vonatkoznak. Egy halmazrendszert l-szeresen pontosan t-metsz nek nevezünk, ha F 1... F l = t teljesül F bármely különböz F 1,..., F l részhalmazaira. Jelölje f(n, l, t := f(n; I(l, t, I(l, t az ilyen halmazrendszerek maximális méretét n elemen. A legegyszer bb ilyen probléma a kétszeresen pontosan 1-metsz halmazrendszerek esete, Erd s és De Bruijn nevezetes eredményükben [6] belátták, hogy f(n,, 1 n és f(n,, 1 = n, ha n = q + q + 1, ahol q egy primszám hatványa. Általánosabban, t esetére, Fisher egyenl tlenségként ismert, hogy f(n,, t n. Ugyan az egyenl tlenséget el ször Majumdar [5] bizonyította, de érdemes megemlíteni, hogy R.C. Bose egy egyszer bb bizonyítást talált és ez volt az els eset, hogy valaki lineáris algebrai módszereket alkalmazott [3] egy kombinatorikai problémára. Jelen cikkben összefoglaljuk a szerz (részben Füredi Zoltánnal közös eredményeit, amelyek arra az esetre vonatkoznak, amikor a metszetek méretére egyszerre teszünk fel különböz alsó és fels becsléseket. Az eredmények idegen nyelven részben már megjelentek, részben megjelenés alatt vannak. 5

6 . Eredmények E fejezetben felsoroljuk a kés bbiekben bizonyítandó új eredményeket. Tekintsük az l 3 esetet. Füredi Zoltán egy tételéb l [15] könnyen bizonyítható, hogy az extremális családok ez esetben triviálisan metsz k. Ebb l már egyszer en következik, hogy 1. Tétel. [3] Legyen l 3 és n l(l+t l, ekkor f(n, l, t = l (n t + 1. Sok esetben az optimális családok nem triviálisan metsz k, például az Erd s-de Bruijn tétel esetében, a véges projektív sík egyike az optimális konstrukcióknak. Ez vezet a maximális nem triviálisan l-szeresen pontos t-metsz rendszerek vizsgálatához Legyen g(n, l, t =max F, ahol F l-szeresen pontosan t-metsz és F < t. Természetesen g(n, l, t f(n, l, t. Az el bb említett példa miatt [6] g(n,, 1 = n. A következ tételekben a t = 1 esetben adott alsó és az általánosan adott aszimptotikus fels korlátok l = 3 esetén egybe esnek.. Tétel. [3] g(n, 3, 1 = n /3 (1 + o(1. Az általános esetben azonban különböz ek. 3. Tétel. [3] Ha l, akkor 1 t n1/l (1 + o(1 g(n, l, t n (t+1/(l+t 1 (1 + o(1. A fels becslésb l természetesen szintén következik, hogy az 1. tételben az optimális családok triviálisan metsz k. A fenti 3 tételt a 3. fejezetben bizonyítjuk. Térjünk át arra az esetre, ha a fels és alsó korlátok nem ugyanazon metszetekre vonatkoznak. Andrew Szilard zikus vette fel a problémát, hogy legfeljebb hány halmaz létezik n elemen, ha bármely kett metszete nem üres, viszont bármely három 6

7 metszete üres. Ez könnyen megválaszolható, viszont az általanos eset a fedések elméletére vezethet vissza, ahol kevés esetben megoldott a probléma. Ebb l vet dik fel a kérdés, hogy, mennyi f(n; I(, 1, I(l 1, azaz legfeljebb hány halmaz lehet egy metsz halmazrendszerben, amelyben bármely l halmaz metszete legfeljebb 1. A következ tétellel a 4. fejezetben foglalkozunk. 4. Tétel. [4] Legyen l, ekkkor f(n; I(, 1, I(l 1 = (l 1n + o(n. Természetesen rátérünk az általános problémára is, azaz legfeljebb mekkora lehet egy halmazrendszer, ha bármely r halmaz metszete legalább s és bármely l metszete legfeljebb t. A problémát Füredi Zoltánnal közös cikkünben [16] aszimptotikusan megoldjuk a t s esetre. Pontosabban, visszavezetjük a (3-ban felmerült pakolási függvényre. Mint látható, az el z tételek speciális esetei az általános problémának, de az általános megoldás rájuk nem vonatkozik tehát volt értelme külön foglalkozni velük. A következ tételt és a következményét együtt bizonyítjuk a 5. fejezetben. 5. Tétel. [16] Legyen t s, r, l és n > n 0 := n 0 (r, s, l, t. Ekkor r 3 esetén f(n; I(r, s, I(l, t = f(n s; I(l, t s. Ha pedig r =, akkor f(n; I(, s, I(l, t f(n s; I(l, t s + l, és itt egyenl ség áll, ha (3-ban is egyenl ség áll (n s, t + s,, l - pakolásokra és s l 1. A tétellel együtt bizonyítjuk a következ t. 7

8 6. Következmény. A tétel aszimptotikusan a következ formulát adja ( f(n; I(r, s, I(l, t = (1 + o(1 1 + l ( n. t + s 3. l-szeresen pontosan t-metsz rendszerek Az 1. tétel bizonyításával kezdjük. Bizonyítás: Füredi [15]-beli tételének speciális esete a következ. 7. Tétel. [15] Legyen l 3, t 1 és F legyen l-szeresen nem triviálisan, pontosan t-metsz halmazrendszer n elemen. Ekkor F n + l. Ezt itt nem bizonyítjuk, de ennél er sebb a 3. tétel, amit majd a fejezet további részében bizonyítunk. El ször azt bizonyítjuk, hogy F l (n t + 1, azaz meg fogunk adni l (n t + 1 darab halmazt úgy, hogy F = t és mivel n l ( + t esetén l l (n t + 1 > n + l, így Füredi fenti tétele alapján csak a triviálisan metsz esettel kell foglalkoznunk. Tegyük fel, hogy F = {n, n 1,..., n t + 1}. Deniáljuk az F = {F \{n, n 1,..., n t + 1} F F} családot, ekkor nyilván F = F. Minden F F halmaz minden eleméhez rendeljünk egy 1 nagyságú súlyt, kivéve az üres halmazt. Mivel F {1,,... n t} minden eleme legfeljebb l 1 halmazban van benne, így minden elemen legfeljebb l 1 darab súly van. A két legnagyobb nem lehet mindkett 1, hiszen a halmazok különböz ek, így nem eshet egybe két egyelem halmaz. A második legnagyobb súly tehát legfeljebb, 1 tehát az összes súly összege egy elemen legfeljebb 1 + l = l. Összegezve az összes elemen a súlyokat az egyrészt legfeljebb (n t l, másrészt egyenl F -fel F 1-gyel (az üres halmaztól függ en, mert a súlyok összege halmazonként 1. Tehát F = F l (n t + 1. (5 8

9 Ha n l+t tudunk konstruálni egy F halmazrendszert, amelyre F = l (n t +1. Elég egy F -et mutatni, amelyre F = l (n t + 1 az {1,,..., n t} alaphalmazon. Páros l esetén legyen F a {1} {}... {n t} F 1 F... F l rendszer, ahol F i = {1, i + 1} {, i + }... {n t, n t + i} (az elemeket értsük (mod n t. Páratlan l esetén pedig legyen F a {1} {}... {n t} F 1 } rendszer. F... F l {1, n t + 1} {, n t + }... { n t, n t A. és a 3. tételt egyszerre bizonyítjuk. El ször a fels korlátokat bizonyítjuk, közösen a két tételét, indukcióval l-re. Bizonyítás: Megmutatjuk, hogy F n (t+1/(l+t 1 (1+o(1, ha F egy l-szeresen pontosan t-metsz halmazrendszer (l és F < t. Az els eset, l = Fisher egyenl tlensége. Az indukciós lépés bizonyítása el tt megjegyezzük, hogy a fels becslés igaz és a bizonyítás m ködik akkor is, ha megengedünk többszörös halmazokat, azaz a halmazok nem feltétlenül különböz ek F-ben. A többszörös halmazok kérdésére részletesebben is kitérünk a 6. fejezetben. Tegyük fel, hogy l 3 és a becslés igaz l 1-re. Tekintsünk egy nem triviálisan l-szeresen ponotsan t-metsz F családot. Jelöljük F legkisebb halmazát X-szel és legyen X = k. Vegyük az X F metszeteket minden F F halmazra. Ezek egy olyan rendszert alkotnak, melyben X nem feltétlenül különböz részhalmazai találhatók. Látható, hogy a rendszer nem triviálisan l-szeresen ponotsan t-metsz ( F F X F < t. Az indukció miatt ez azt jelenti, hogy F k (t+1/(l+t (1 + o(1. (6 Tehát kész vagyunk a bizonyítással, ha k n (l+t /(l+t 1, így feltehetjük, hogy k > n (l+t /(l+t 1. Miel tt folytatnánk terjesszük ki az ( t x jelölést nem egész x- ekre. Legyen ( x l = f(x = x(x 1 (x l+1 ha x l 1 és f(x = 0 egyébként. l! Látható, hogy ez a függvény monoton n és konvex, tehát alkalmazhatjuk a Jensen egyenl tlenséget. Egy A ( [n] t t-esre jelölje d A a {F F A F } mennyiséget, azaz F-beli A-t tartalmazó részhalmazok számát. Az l-szeresen ponotsan t-metsz feltétel azt adja, hogy minden l halmazhoz F-ben van egy A t-es, amely az metszetük. Egy 9

10 adott A ( d A l féleképpen lehet l F-beli halmaz metszete, ha d A l. Tehát ( F l ( n t = A ( [n] ( da t l ( n t ( A d A ( n t l használva a Jensen egyenl tlenséget is. Egy rögzített A-ra d A darab F F tartalmazza A-t és egy rögzített F F halmaz ( F darab A-t tartalmaz, tehát folytatva t (7-ot, ( A d A ( n t l = F F ( F t ( n t l t F (k ( n t l (7. (8 Feltehetjük, hogy F > n (t+1/(l+t 1, különben kész lennénk a bizonyítással. Mivel k > n (l+t /(l+t 1, így F (k t végtelenhez tart (n. Összegezve (7-ot és (8-et, 1 ( n F t l l! ( n t t ( F (k ( n t 1 k l ( t F ( ( l l! n l + 1 t 1 ε k l t F ( ( l! n (9 t bármely ε > 0-ra, ha n elég nagy. Tehát ( l 1 n (1 + o(1 t ( l k, (10 t amib l következik k (1 + o(1n (l 1/l (1 + o(1n (l+t /(l+t 1, tehát (6 alapján F (1 + o(1n t+1/(l+t 1. Most következik a. és 3. tételhez szükséges alsó becslések bizonyítása. Bizonyítás: Konstrukciót adunk, véges projektív terek segítségével. P G(N, q jelöli az N dimenziós q rend véges projektív teret, ami q N +q N hipersíkból és ugyanennyi pontból áll. A hipersíkokat mint halmazokat tekintve a pontok alkotta alaphalmazon, bármely N halmaznak nemüres a metszete, nevezetesen egy K-dimenziós altér, K < N 1. 10

11 El ször belátjuk, hogy g(3, 1, n n /3 (1+o(1, befejezve a. tétel bizonyítását. Megadunk egy F családot, amely [n]-nek n /3 (1+o(1 darab részhalazból áll, melyek 3-szorosan pontosan 1-metsz k és F =. Tekintsük P G(3, q-at, olyan q-val, hogy q 3 + q + q + 1 = n legyen (ha van ilyen q prímhatvány. [3] és [8] alapján egy ovális maximális mérete q + 1, azaz legfeljebb ennyi pont adható meg úgy, hogy bármely egyenesen legfeljebb kett legyen. Vegyünk q + 1 ilyen pontot. A duális síkjaikból (ezekb l is q + 1 van álljon F. Ezek között nincs három, amely egy közös egyenest tartalmaz. Tehát 3 ilyen sík metszete egy pont, így F 3-szorosan pontosan 1-metsz, méghozzá nem triviálisan. Azt kapjuk, hogy g(3, 1, n n /3 (1 + o(1, mert az alaphalmaz q 3 + q + q + 1 pontból áll. Ha nincs olyan q prímhatvány, melyre q + q + 1 = n, akkor vegyük a legnagyobb m n úgy, hogy q + q + 1 = m és q prímhatvány. Ez elegend, hiszen tudjuk, hogy van prím n és (1 εn között minden ε > 0-ra, ha n elég nagy. A 3. tétel, azaz g(l, 1, n n 1/l (1 + o(1 bizonyításához l 4-re, általánosítjuk az el bbi konstrukciót. Minél több pontot keresünk P G(l, q-ban (q l q + 1 = n úgy, hogy legfeljebb l 1 van minden l -dimenziós (-codimenziós altérben. Sajnos nem ismert pontosan a maximális számuk l 4-re, de tudjuk, hogy van q + q ilyen pont ([8] and []. Vegyünk q + q ilyen pontot, ezek duális hipersíkjai alkotják majd F-et, amely l-szeresen pontosan 1-metsz lesz, mint az el z konstrukcióban, így g(l, 1, n n 1/l (1 + o(1. Vegül g(l, t, n (1/tn 1/l (1 + o(1 adódik, ha az alaphalmaz minden elemét t másikra cseréljük. 1. Megjegyzés. Ha létezik q (1+o(1 pont (ez a létez fels becslés az el bbi térben úgy, hogy legfeljebb l 1 van minden l -dimenziós altérben, akkor ebb l következik g(l, 1, n = n /l (1 + o(1 a fenti konstrukcióval. A véges projektív terekben található fenti típusú halmazokkal foglalkozik a [0] összefoglaló cikk és a következ változata [1]. 11

12 4. Metsz, de l-szeresen legfeljebb 1-metsz rendszerek Rátérünk a 4. tétel bizonyítására. El ször a fels becsléssel foglalkozunk. A [4]-ben található eredeti bizonyítás helyett álljon itt Füredi Zoltán bizonyítása, mely nem csak aszimptotikus eredményt ad, nevezetesen azt bizonyítjuk, hogy f(n; I(, 1, I(l 1 (l 1n. (11 A következ lemma Motzkin [6] nevéhez f zödik, az eredményének könny általánosítása. Eredetileg a c = 1 esetet bizonyította, ennek felhasználásával látjuk be minden c > 0-ra. 1. Lemma. Legyen G = G(A, B; E páros gráf, melynek van éle és legyen c > 0 valós szám. Tegyük fel, hogy A-ban nincs olyan csúcs, ami szomszédos B összes csúcsával és, hogy minden nem összekötött csúcspárra, azaz minden a A, b B, (a, b E esetén deg(a c deg(b. Ekkor A c B. Bizonyítás: Legyenek p és q pozitív egészek úgy, hogy p/q c teljesüljön. Belátjuk, hogy (p/q A B, és mivel (p/q c tetsz legesen kicsi lehet, így ebb l már következik c A B. Legyen G egy páros gráf, melynek csúcsai A B úgy, hogy A A-nak p darab másolata, míg B B-nek q darab másolata. Az éleket úgy adjuk meg, hogyha a A másolata az a A csúcsnak és b B másolata a b B csúcsnak, akkor a -t akkor és csak akkor kössük össze b -vel G -ben, ha a össze van kötve b-vel G-ben. Ekkor (a, b / E esetén, deg G (a = q deg G (a q ( p q deg G(b = p deg G (b = deg G (b. Tehát az eredeti Motzkin lemma (c = 1 eset feltételei teljesülnek G -re, így A B. Tehát p A B is következik. q Most rátérhetünk közvetlenül (11 bizonyítására. 1

13 Bizonyítás: Legyen F egy metsz halmazrendszer, melyben semely l halmaz nem tartalmaz két közös elemet. Deniáljuk a G(A, B; E páros gráfot a következ képpen. Legyen A := [n], B := F és x [n] legyen összekötve az F F csúccsal, ha x F. Ha a gráfnak nincs éle, akkor F = minden F F halmazra, így F 1. Ha van egy a A csúcs, amely szomszédos B összes csúcsával, akkor a benne van F minden halmazában. Azonban F-nek legfeljebb l 1 halmaza tartalmaz egy elempárt [n]-b l, azaz F[x, y] l 1, (1 ahol F[x, y] := {X F : x, y X}. Ezt az egyenl tlenséget használva az (a, y párokra azt kapjuk, hogy minden y a elem F-nek legfeljebb l 1 halmazában van benne. Tehát F 1 + (l 1(n 1 (l 1n. Megmutatjuk, hogy minden más esetben a 1. lemma feltételei teljesülnek c = l 1 mellett (ami pozitív, mert l. Legyen x [n] = A és F F = B nem szomszédos csúcspár G-ben, azaz x / F. Tekintsük az F[x] := {X F : x X} rendszert, erre teljesül F[x] = deg G (x. Mivel F metsz, ezért F[x] minden tagja metszi F-et, így F[x] = y F F[x, y]. Ekkor (1 miatt F[x] (l 1 F, tehát deg G (x (l 1 deg G (F. Az 1. lemmát alkalmazva G-re kapjuk, hogy (l 1n = (l 1 A B = F. A 4. tétel bizonyításából még hátra van az alsó becslés. Bizonyítás: Konstrukciót adunk F-re véges projektív síkok segítségével úgy, hogy F = (l 1n + o(n. Csima és Füredi bizonyította [10], hogy egy véges desargue-i q-rend projektív sík pontjai színezhet k q +1 színnel úgy, hogy nincs 3 egyszín pont egy egyenesen. A dualitást használva ez azt jelenti, hogy az egyenesek is színezhet k ennyi színnel úgy, hogy nincs 3 egyszín, amely átmegy egy ponton. Tekintsük P G(, q-t, ahol q a legnagyobb prímhatvány úgy, hogy q + l(q + 1 n. Legyenek a 1,..., a q +q+1 a pontok és L 1,..., L q +q+1 az egyenesek. Színezzük az egyeneseket a fenti módon, az L i egyenes színe legyen c(i. Vegyünk (l (q + 1 extra pontot az egyenesek színeib l (l -t minden színb l. Jelöljük 13

14 ket e 1,1,..., e q+1,1, e,,..., e q+1,l -vel (e i,j a j-edik extra pont az i-edik színnel. Legyen F i,j = L i {e c(i,j } (1 i q + q + 1,1 j l és F i,l 1 = L i. A halmazrendszer alaphalmaza legyen {a 1,..., a q +q+1, e 1,1,..., e q+1,l }, míg a halmazokat adjuk meg a következ képpen F = {F i,j : 1 i q + q + 1, 1 j l 1}. Könnyen látható, hogy a fent megadott halmazok különböz ek és F = (l 1(q + q + 1. Bármely két halmaz metszi egymást, mert L i F i,j, L a F a,b, és L i L a. Kell még, hogy l különböz részhalmaz metszete legfeljebb egyelem. Az halmazok közül biztos van kett, amelynek különbözik az els indexe (F a,b, F e,f, a e. Ha b f, akkor F a,b F e,f = L a L e és a mértete pontosan egy. Ha b = f, akkor vegyünk egy harmadikat: F g,h. Ha h b, akkor g a vagy g e (feltehet, hogy g a, tehát F a,b F g,h = L a L g és a mérete pontosan egy. Végül, ha b = f = h, akkor c(a = c(e = c(g esetén F a,b F e,f F g,h = {e c(a,b }, hiszen L a L e L g =. Abban az esetben pedig, ha c(a, c(e, c(g nem mind egyformák, akkor F a,b F e,f F g,h = L a L e L g és a mérete egy. A konstrukcióban n q + l(q + 1 és F = (l 1(q + q + 1. Tehát F l 1. n Másrészt F n (l 1 q + q + 1 ((1 + εq + l((1 + εq + 1 minden ε > 0-ra, ha n elég nagy. Tehát F n bebizonyítottuk 5. Általános eset tart l 1-hez, ha n. Ezzel a tételt Az általános tétel bizonyítása el tt lássuk be, a 6. következményt a 5. tételb l. Ehhez (4-el együtt elég az alábbi állítás, hiszen (4 az alábbi pakolások méretére ad becslést.. Állítás. Legyen l, t 1. Ekkor f(n; I(l, t = ( n + P (n, (t + +, t + 1, l. i 0 i t+1 14

15 Bizonyítás: Az összes legfeljebb t + 1 méret részhalmaz és a fenti pakolás együtt megfelel. Csak azt kell bizonyítani, hogy ennél jobb nincs. Legyen F [n], ami I(l, t tulajdonságú. Feltehetjük, hogy [n] minden legfeljebb t elem részhalmazát tartalmazza F, mert ha X t, akkor F {X} is I(l, t tulajdonságú. Ugyancsak feltehetjük, hogy minden (t + 1 elem részhalmaz F-ben van, ugyanis ha X ( t+1 [n], X / F és F[X] l, akkor F {X} ismét I(l, t tulajdonságú. Másrészt F[X] = l 1 > 0 esetén vegyünk egy F F[X] halmazt és cseréljük X-re. A kapott F \ {F } {X} szintén I(l, t tulajdonságú. Ezt az eljárást addig ismételhetjük, míg ( t+1 [n] összes eleme F-ben van. Ekkor az F \ 0 i t+1 család nyilván egy (n; (t + +, t + 1, l -pakolás. ( [n] i Jegyezzük meg, hogy a fenti bizonyításból következik az alábbi, kicsit er sebb állítás is. Ha az F család I(l, t tulajdonságú [n]-en és minden F F legalább t+1 elem, akkor ( n F + P (n, (t + +, t + 1, l. (13 t + 1 Most a 5. tétel bizonyítása következik. Bizonyítás: Legyen Σ := t+1 s i=0 ( n s + P (n s, (t + s +,, l. i Könnyen adható olyan Σ részhalmazból álló család, amely kielégíti a metszési feltételeket és amelyben az összes részhalmaz tartalmazza [s] elemet, azaz triviálisan metsz. Legyen ugyanis P egy P (n s, (t + s +,, l méret pakolás az [n] \ [s] alaphalmazon. Legyen P = {P [s] : P P } és F 0 = {F [n] : F t + 1; [s] F } P. Ekkor f(n; I(r, s, I(l, t F 0 = Σ. (14 15

16 r = esetén nagyobb családot is meg tudunk adni. Tegyük fel, hogy van egy optimális (n s, (t+ s +, t+1 s, l -pakolás, amely csak (t+ s elem halmazokból áll, vagyis (3-ban egyenl ség áll ezekre az értékekre. Ezután távolítsuk el [s]-et F 0 - ból és vegyünk hozzá min{s, l 1} darab [n] \ {i}, 1 i s alakú halmazt. Látható, hogy a kapott F 1 rendszer kétszeresen legalább s-metsz és I(l, t tulajdonságú. Legyen F egy tetsz leges I(r, s, I(l, t tulajdnoságokkal rendelkez család. Meg fogjuk mutatni, hogy r 3 esetén F Σ és r = -re F Σ + l r = -re. El ször tekintsük az F s esetet. Ez azt jelenti, hogy F részhalmazaiban van s közös elem, például [s] F minden F F esetén. Tekintsük az F = {F \ [s] : F F} rendszert. F -ben bármely l halmaz metszete legfeljebb t (t s elem, azaz F I(l, t s tulajdonságú. Tehát bármely elem F -nek legfeljebb l 1 tagjában van benne. Tehát F = F Σ az. állítás miatt. Ezek után feltehetjük, hogy F < s. Deniáljuk az F(i := {F F : F = i} és F( j = F(j F(j rendszereket, ezekkel, F = F(1 F(.... Triviálisan F(i =, ha i < s. Az F(i család i-uniform az [n] alaphalmazon és I(, s tulajdnoságú, tehát az Erd s-ko-rado tétel [9] miatt F(i ( n s i s Ezt a becslést használjuk, ha s i t. (14 és (4 alapján feltehetjük, hogy F t s i=0 Tehát (15-b l következik, hogy F( t + 1 ( 1 + l t + s ha n > n(i, s. (15 ( n s ( i l t+ s ( n t n s n s Most egy fels becslést adunk a nagy halmazok számára. 3. Lemma. Ha A F s minden F F halmazra, akkor ( A ( s n s F( k ( k s (l 1. t+1 s 16 ( t+1 s n t n s. n s (16

17 Legyen A = {X ( [n] t+1 : A X s}, ekkor nyilván t+1 s A. Bármely t + 1 elem F-nek legfeljebb l 1 tagjában van benne és minden Bizonyítás: ( A s ( n s F F( k legalább ( k s t+1 s A (l 1. tagját tartalmazza A-nak. Tehát F( k ( k s t+1 s Mivel t s, ezért a ( ( t+1 s k s / k s tört tetsz legesen kicsi minden elég nagy k k 0 esetén. Például, ha k > k 0 (t, s := 4s + 6t, akkor ( k s ( k s < t k t+1 s < 1 3t. Vágjuk F( t + 1-et ketté, a G F( k 0 családokra, ahol G := F(t + 1 F(t +... F(k 0 1. Fels becslést adunk F( k 0 méretére. Ha nem üres, akkor válasszunk egy minimális méret F 0 F( k 0 halmazt, azaz F F 0 minden más F F( k 0 halmazra. Jelöljük F 0 méretét f 0 -al. F 0 megfelel A-nak a 3. lemmában, azt kapjuk, hogy F( k 0 = F( f 0 ( f0 s ( f0 s t+1 s ( n s (l 1 < l 1 ( n s. 3t Összehasonlítva ezt (16-al, látható, hogy minden n > k 0 számra G = F( t + 1 F( f 0 l 1 ( n s 3t 4. Állítás. G = s. ( 1 + l n t l 1 t + s n s 3t ( n s. (17 Bizonyítás: Ha G s 1, akkor van egy A [n], A < 3k 0 halmaz, amelyre A G s + 1 minden G G esetén. S t vagy van egy A G, amely legalább s + 1 elemben metszi G összes többi elemét, vagy találhatunk G 1, G G halmazokat úgy, hogy G 1 G = s. Ekkor van egy G 3 G, amely nem tartalmazza G 1 G -t. Tehát G 1 G G 3 s 1, ekkor pedig G 1 G G 3 megfelel A-nak. Ilyen A halmaz létezése G s + 1 esetén nyilvánvaló. 17

18 A I(l, t tulajdonság miatt G ( A s + 1 ( n s 1 t s (l 1 ( 3k0 s + 1 Ez pedig ellentmond (17-nak, ha n > n 0 (k, s. n s ( n s (l 1. Tehát feltehetjük, hogy [s] G. Legyen S := {F F( t + 1 : [s] F } és H = {F F( t+1 : [s] F }. Ekkor F( t+1 = S H. Az S := {F \[s] : F S} család I(l, t s tulajdonságú n s elemen. Ezen kívül S minden tagja legalább elem. Tehát a. állítás, pontosabban (13 miatt S = S ( n s + P (n s, (t + s +, (, l. (18 Ha H =, akkor S = F( t + 1, (18 és (15 miatt F Σ, tehát kész vagyunk. Mostantól feltehetjük, hogy H. Legyen H 1 a legkisebb halmaz H-ban és a mérete H 1 = h. Hogy megbecsüljük S -et, tekintsük a C := {C [n] : C [s], C = t + 1} családot. Mivel F(t + 1 G S, így F(t + 1 C. Ezen kívül egyrészt S( t + minden tagja C-nek legalább t + s tagját tartalmazza. Másrészt, C minden tagja F-nek legfeljebb l 1 tagjában van benne. Azt kapjuk tehát, hogy ( n s (t + s ( S F(t F(t + 1 (l 1 C = (l 1. Átrendezve, S ( 1 + l ( n s ( C F(t + 1. t + s t + s Mivel F F(t+1, így (F \[s] nem lehet benne [n]\h 1 -ben, ezért C F(t+1 ( t+1 s n s h. A (t s + 1/(t s + tört legalább /3, tehát S ( 1 + l ( n s t + s 18 3 ( n h s. (19

19 A 3. lemma segítségével adunk fels becslést H -ra, tetsz leges A G halmazzal. Mivel A k 0 és minden H H halmazra H h, így H ( k0 s ( h s t+1 s ( n s (l 1 < t h ( n s (l 1. (0 A (19 és (0 fels korlátokat összeadva és összehasonlítva a (16 alsó korláttal kapjuk, hogy ( 1 + l ( n t n s Átrendezve, t + s n s ( 1 + l t + s F( t + 1 = S + H ( n h s + t 3 h ( n s ( n s (l 1. ( n h s t ( n s + 1 ( n s. (1 3(l 1 h n s Itt újradeniálhatjuk k 0 (t, s-t, mint k 0 (t, s, l úgy, hogy elég nagy legyen t, s,l-t l függ en, de n is elég nagy legyen az új k 0 -hoz képest, azaz n > n 0 (t, s, l. Ekkor (1 miatt h > l 1 (n + t, tehát a I(l, t tulajdonság miatt H l 1. l Ismét, (18 és (15-b l következik, hogy F Σ+ H Σ+(l 1. Mivel F Σ, (15 azt adja, hogy F(s + 1 ( n s 1 H (n s (l 1 > k0 > s +. Tudjuk, hogy F(s+1 tagjai páronként s elemben metszik egymást, így vagy F(s+1 s+ és akkor F(s + 1 ( s+1 s+, vagy F(s + 1 = s. Legyen S 0 az az s elem, melyet minden F F(s + 1 halmaz tartalmaz. Ha egy F részhalmaz F(s + 1-nek minden tagját legalább s elemben metszi és F < F(s + 1, akkor S 0 F. Tehát G S 0 és S 0 is benne van F(i minden tagjában, ha s i t. Ekkor a 4. állítás miattt S 0 = [s]. Azt is kapjuk, hogy H [s] = s 1 and H ( F(s + 1 \ [s] teljesül minden H H esetén. Tekintsünk egy F 1 F F(s+1 és egy H 1 H halmazt. Ekkor F 1 F H 1 s 1. Ez ellentmondás r 3-ra tehát F Σ ebben az esetben. 19

20 Végül, ha r =, akkor H = miatt az F rendszer nem tartalmazhatja az [s] halmazt, tehát F(s = 0 és így F \ H f(n s, I(l, t s 1. Tehát F Σ 1 + (l 1 és ezzel a tételt bebizonyítottuk. 6. Többszörös halmazok Általában egy halmazrendszer halmazai különböz ek, de néha érdekes lehet a probléma akkor is, ha megengedünk többszörös halmazokat is. Ebben az esetben F néhány nem feltétlenül különböz halmazból áll. Jelöljük f (n, l, t-vel egy l-szeresen pontosan t-metsz rendszer maximális méretét, ha megengedünk többszörös halmazokat. Hasonlóan, minden eddig deniált maximum vessz s megfelel je jelölje azt az esetet, amikor megengedünk többszörös halmazokat. Az Erd s-de Bruijn tétel jól ismert általánosításai Ray-Chaudhuri-Wilson [30] és Frankl-Wilson [14] tételei a korlátozott metszetméret halmazrendszerekr l. Ezt folytatva Grolmusz és Sudakov [18] adott fels becslést adott l-metszetméret halmazrendszerekre. Ennek egy speciális esete az els problémánkra azaz a 1. tételben szerepl f(n, l, t párjára, Jelöljük f (n, l, t-re a (l 1(n + 1 fels becslést adja. További érdekes eredmények találhatók még Grolmusz [17]-ban. A 1. tétel bizonyítás többszörös halmazokra is azt adja, hogy F akkor maximális, ha F t. Ekkor könnyen számolható a maximum, ami kicsit jobb, mint Grolmusz és Sudakov eredménye, azaz 8. Tétel. Legyen l 3 és n t, ekkor f (n, l, t = (l 1(n t + 1. Áttérve a 4. fejezetre, megállapíthatjuk, hogy a 4. tétel megfelel je is igaz. 9. Tétel. f (n; I(, 1, I(l, 1 = (l 1n teljesül minden n és l esetén. 0

21 Vehetjük ugyanis a [6]-ban és [6]-ben szerepl konstrukciókat l 1 példányban, például egy egyelem halmazt és az azt az elemet tartalmazó kételem halmazokat. Az általános problémánál is felmerül, hogy mennyiben változik a probléma, ha többszörös halmazokat is megengedünk. Ha a többszörös halmazok között van s F t méret is, akkor ezekb l bármennyit vehetnénk, a kérdés értelmetlen. Deniáljuk tehát most az f (n; I(r, s, I(l, t mennyiséget, mint max m, ahol F egy család [n] elemen esetleges többszörös halmazokkal, amely rendelkezik az I(r, s, I(l, t tulajdonságokkal és minden tagja legalább t + 1 elem. Ekkor az alábbi tétel érvényes. 10. Tétel. Legyen t s, r, l és n > n 0 := n 0 (r, s, l, t. Ekkor r 3 esetén ( n s f (n; I(r, s, I(l, t = f (n s; I(l, t s = (l 1 Ha pedig r =, akkor f (n; I(, s, I(l, t = f (n s; I(l, t s + l 1 ( n s = (l 1 + l 1. A fels korlát bizonyítása szinte ugyanaz, mint a 5. tételben. Annyival egyszer bb a dolgunk, hogy az alsó korlátot adó pakolási probléma itt triviális, az optimális rendszer csak (t + 1 elem halmazokból áll (mindegyikb l l 1 példány r 3-ra és még néhány (n 1 elem b l r = -re. 7. Összegzés Az irodalomban nem volt ismeretlen az olyan halmazrendszerek maximális méretének vizsgálata, ahol bizonyos metszetekre alsó és fels korlátok adottak. Például [13]-ben szerepel a sejtés, hogy (a korábbi jelöléseinket használva f(n; I(, 1, I(, k = 1 0 i k ( n 1 i.

22 Az összes legfeljebb (k + 1 elem halmazt véve, amely tartalmaz egy adott elemet látjuk, hogy ez a legjobb lehetséges. n > 100k / log(k +1-re ezt Frankl és Füredi [13] bizonyította az úgynevezett -rendszer módszerrel, n k + -re és 6(k + 1 n (1/5(k + 1 -re pedig Pyber [7] a permutációs módszer zseniális alkalmazásával. Végül Ramanan [9] bizonyította a sejtést minden n-re lineáris algebrai módszerekkel. Ebben a cikkben összegeztük az általános problémára adott Füredi Zoltánnal közös megoldást [16] és olyan speciális eseteket [4], [3], melyeket nem fed az általános megoldás, de érdekesek abból a szempontból is, hogy más a struktúrájuk, mint az általános esetben. Ezen kívül részlegesen megoldjuk az Erd s, De Brujin tétel általánosításával felmerül problémát, amikor l halmaz metszete adott méret, de kizárjuk a triviális kongurációt. Az általános megoldás csak a paraméterekre vonatkozó bizonyos feltételek mellett érvényes, melyek közül a leger sebb, hogy t s. Maradtak tehet megoldatlan problémák, melyek közül talán a legszer bbek, azok amikor s = t. Például hány részhalmaz létezhet legfeljebb, ha bármely két részhalmaz metszete legalább t elem, viszont bármely l 3 részhalmaz metszete legfeljebb t elem. A korábbi jelöléseket használva ez f(n; I(, t, I(l, t A másik érdekes eset, amikor 3 t = s + 1. A legegszer bb probléma tehát az, hogy hány részhalmaz létezhet legfeljebb, ha bármely két részhalmaz metszete legalább két elem, viszont bármely háromé legfeljebb három elem, azaz meghatározása. f(n; I(,, I(3, 3 Hivatkozások [1] R. Ahlswede és L. H. Khachatrian, A pushing-pulling method: new proofs of intersection theorems, Combinatorica 19 (1999, 115.

23 [] M.A. de Boer, Almost MDS codes, Des. Codes Cryptogr. 9 (1996, [3] R. C. Bose, Mathematical theory of the symmetrical factorial design, Sankkyã 8 ( [4] A. E. Brouwer, Packing and covering of ( k t -sets, in: Packing and Covering in Combinatorics, (edited by A. Schrijver, Mathematical Centre Tracts 106, Matematisch Centrum, Amsterdam, pp [5] A. E. Brouwer, Block Designs, Chapter 14 in: Handbook of Combinatorics, R. Graham, M. Grötschel and L. Lovász Eds., Elsevier, Amsterdam, [6] N. G. de Bruijn és P. Erd s, On a combinatorial problem, Nederl. Akad. Wetensch., Proc. 51 (1948, = Indagationes Math. 10 (1948, [7] J. Csima és Z. Füredi, Colouring Finite Incidence Structures, Graphs and Combinatorics ( [8] S.M. Dodunekov és I.N. Landjev, On near-mds codes, J. Geom. 54 (1995, [9] P. Erd s, Chao Ko, és R. Rado, Intersection theorems for systems of nite sets, Quart. J. Math. Oxford Ser. ( 1 (1961, [10] J. Csima és Z. Füredi, Coloring Finite Incidence Structures, Graphs and Combinatorics ( [11] P. Frankl, Multiply-intersecting families, J. Combin. Theory, Ser. B 53 (1991, [1] P. Frankl, Extremal set systems, in: Handbook of Combinatorics, Vol. 1,, pp , R. Graham, M. Grötschel and L. Lovász Eds., Elsevier, Amsterdam, [13] P. Frankl és Z. Füredi, Families of nite sets with missing intersections, in: Finite and innite sets, Vol. I, II (Eger, 1981, pp , Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 37, North-Holland, Amsterdam, [14] P. Frankl és R. M. Wilson, Intersection theorems with geometric consequences, Combinatorica, 1(4 (1981, [15] Z. Füredi, On a problem of Deza and Frankl, Ars Combinatortia, 13 (198, 1- [16] Z. Füredi és Zs. Katona, Multiply intersecting families of sets, Journal of Combinatorial Theory, Series A, Vol 106/ (004,

24 [17] V. Grolmusz, Set-systems with restricted multiple intersections and explicit Ramsey hypergraphs, Electronic J. of Combinatorics, 9 (00, R8. [18] V. Grolmusz és B. Sudakov, k-wise Set-intersections and k-wise Hammingdistances, J. Combin. Theory Ser. A 99 (00, no. 1, [19] Hans-Dietrich O.F. Gronau, An extremal set problem, Studia Sci. Math. Hungar, 15 (1980, [0] J. W. P Hirschfeld és L. Storme, The packing problem in statistics, coding theory and nite projective spaces. R. C. Bose Memorial Conference (Fort Collins, CO, 1995 J. Statist. Plann. Inference 7 (1998, no. 1-, [1] J. W. P Hirschfeld és L. Storme, The packing problem in statistics, coding theory and nite projective spaces: update ls/ [] Gy. Katona, Intersection theorems for systems of nite sets, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 15 (1964, [3] Zs. Katona, 3-wise exactly 1-intersecting families of sets, Graphs and Combinatorics 1 (005, [4] Zs. Katona, Intersecting families of sets, no l containing two common elements, Discrete Math. 6 (001, [5] K.N. Majumdar, On some theorems in combinatorics relating to incomplete block designs, Ann. Math. Stat. 4 (1953, [6] Th. Motzkin, The lines and planes connecting the points of a nite set, Trans. Amer. Math. Soc. 70 (1951, [7] L. Pyber, An extension of a Frankl-Füredi theorem, Discrete Math. 5 (1984, [8] B. Qvist, Some remarks concerning curves of the second degree in a nite plane, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. 134 (195 [9] G. V. Ramanan, Proof of a conjecture of Frankl and Füredi, J. Combin. Theory, Ser. A 79 (1997, [30] D. K. Ray-Chaudhuri és R. M. Wilson, On t-designs, Osaka J. Math. 1 (1975,

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus Síktopológiák a Sorgenfrey-egyenes ötletével Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus 1. Bevezetés A Sorgenfrey-egyenes

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Online jegyzet az Egészérték Programozás I. és II. tárgyhoz

Online jegyzet az Egészérték Programozás I. és II. tárgyhoz Online jegyzet az Egészérték Programozás I. és II. tárgyhoz Király Tamás, Kis Tamás és Szeg László October 25, 2013 Egészérték programozás I. vizsgatematika 2013. tavasz 1. Az egészérték lineáris programozási

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

8. előadás EGYÉNI KERESLET

8. előadás EGYÉNI KERESLET 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép

Részletesebben

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai.

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. Halmazok Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. 1. lapfogalmak halmaz és az eleme fogalmakat alapfogalmaknak tekintjük, nem deniáljuk ket. Jelölés: x H,

Részletesebben

Az univerzális gráf. 1. Bevezet. Maga Péter, Pongrácz András

Az univerzális gráf. 1. Bevezet. Maga Péter, Pongrácz András Az univerzális gráf Maga Péter, Pongrácz András 1. Bevezet A véletlen gráfok elméleti és gyakorlati jelent sége egyaránt számottev. Az ismeretségi hálózatok, az internetes weboldalak kapcsolatrendszere

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

Hálók kongruenciahálója

Hálók kongruenciahálója Hálók kongruenciahálója Diplomamunka Írta: Skublics Benedek Témavezet : Pálfy Péter Pál Eötvös Loránd Tudományegyetem Matematikai Intézet 2007 Tartalomjegyzék Bevezetés 1 1. Hálók kongruenciái 3 1.1. A

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1 2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Nagy V. Gábor SZTE Bolyai Intézet Eötvös Loránd Kollégium, Matematika Műhely Szeged, 2013. október 25. ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés 1/21 Definíció. A G 1,...,

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8.

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8. Pénzügyi matematika Medvegyev Péter 13. szeptember 8. Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében a Corvinus egyetemen tartott matematikai el adásaim kib vített verziója. A

Részletesebben

Számításelmélet 2 - El adás jegyzet

Számításelmélet 2 - El adás jegyzet Számításelmélet 2 - El adás jegyzet Rózsa Gábor 2007. els félév 1 Bevezetés Ajánlott irodalom: Katona-Recski: Bevezetés a véges matematikába Rónyai-Ivanyos-Szabó: Algoritmusok Lovász: Aloritmusok bonyolultsága

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Párosítások 2012. november 19. Előadó: Hajnal Péter 1. Alapfogalmak Emlékeztető. Legyen G egy gráf, E(G) a G élhalmaza, V (G) gráfunk csúcshalmaza.

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Arató Miklós, Prokaj Vilmos és Zempléni András 2013.05.07 Tartalom Tartalom 1 1. Bevezetés, véletlen kísérletek 4 1.1 Bevezetés...................................

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1

Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1 Elekes Gyuri és az illeszkedések Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1 On the number of high multiplicity points for 1-parameter families of curves György Elekes, Miklós Simonovits and Endre

Részletesebben

Vass Balázs. Online algoritmusok árverési feladatokban

Vass Balázs. Online algoritmusok árverési feladatokban Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Vass Balázs Online algoritmusok árverési feladatokban BSc Szakdolgozat Témavezet k: Kovács Erika Renáta Long Tran-Thanh ELTE, Operációkutatási Tanszék

Részletesebben

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Telefonszám(ok) +36-93-502-916 Mobil +36-30-396-8675 Fax(ok) +36-93-502-900. Egyetem u. 10., 8200 Veszprém. Tehetséggondozás (matematika)

Telefonszám(ok) +36-93-502-916 Mobil +36-30-396-8675 Fax(ok) +36-93-502-900. Egyetem u. 10., 8200 Veszprém. Tehetséggondozás (matematika) Europass Önéletrajz Személyi adatok Vezetéknév(ek) / Utónév(ek) Bujtás Csilla Telefonszám(ok) +36-93-502-916 Mobil +36-30-396-8675 Fax(ok) +36-93-502-900 E-mail(ek) Szakmai tapasztalat bujtas@dcs.vein.hu

Részletesebben

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei K házi-kis Ambrus, Klebniczki József Kecskeméti F iskola GAMF Kar Matematika és Fizika Tanszék, 6000 Kecskemét, Izsáki út 10. Véges transzverzális

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i ) 6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével

Részletesebben

Kombinatorikus kerese si proble ma k

Kombinatorikus kerese si proble ma k Eo tvo s Lora nd Tudoma nyegyetem Terme szettudoma nyi Kar Lenger Da niel Antal Matematikus MSc Kombinatorikus kerese si proble ma k Szakdolgozat Te mavezeto : Katona Gyula egyetemi tana r Sza mı to ge

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Játékelmélet és pénzügyek

Játékelmélet és pénzügyek Játékelmélet és pénzügyek Czigány Gábor 2013. május 30. Eötvös Lóránd Tudományegyetem - Budapesti Corvinus Egyetem Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Témavezet : Dr. Csóka Péter Tartalomjegyzék

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta

Részletesebben

Gáspár Csaba. Analízis

Gáspár Csaba. Analízis Gáspár Csaba Analízis Készült a HEFOP 3.3.-P.-004-09-00/.0 pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Gáspár Csaba Szili László, egyetemi docens c Gáspár Csaba, 006. Tartalomjegyzék. Bevezetés 5. Alapvető

Részletesebben

Gyakorló feladatok ZH-ra

Gyakorló feladatok ZH-ra Algoritmuselmélet Schlotter Ildi 2011. április 6. ildi@cs.bme.hu Gyakorló feladatok ZH-ra Nagyságrendek 1. Egy algoritmusról tudjuk, hogy a lépésszáma O(n 2 ). Lehetséges-e, hogy (a) minden páros n-re

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Klasszikus alkalmazások

Klasszikus alkalmazások Klasszikus alkalmazások Termelésoptimalizálás Hozzárendelési probléma: folytonos eset Arbitrázsárazás p. Termelésoptimalizálás A gazdasági élet és a logisztika területén gyakran találkozunk lineáris optimalizálási

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

Kártyajátékok és bűvésztrükkök

Kártyajátékok és bűvésztrükkök Szalkai Balázs, Szalkai István : Kártyajátékok és bűvésztrükkök Közismert, hogy nagyon sok bűvésztrükk matematikai alapokon nyugszik, a kártyaés egyéb játékok matematikai elemzéséről nem is szólva. Nem

Részletesebben

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT I. rész: Az alábbi 4 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egy idegen nyelvekkel kapcsolatos online kérdőívet hetven SG-s töltött ki. Tudja, hogy minden

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Játékelmélet jegyzet

Játékelmélet jegyzet Játékelmélet jegyzet Végh László (veghal@cs.elte.hu) Pap Júlia (papjuli@cs.elte.hu) Király Tamás (tkiraly@cs.elte.hu) 2014. december 12. Bevezetés Játékelmélet alatt sok, egymással lazán vagy szorosabban

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Válasz Páles Zsolt opponensi véleményére

Válasz Páles Zsolt opponensi véleményére Válasz az opponenseknek Köszönöm az opponensek elismerő szavait és a játékelmélet szerepének az értekezésen túlmutató pozitív értékelését. A bírálatra válaszaimat a bírálóknak külön-külön tételesen, az

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

PROGRAMOZÁS 1. kötet TERVEZÉS

PROGRAMOZÁS 1. kötet TERVEZÉS Gregorics Tibor PROGRAMOZÁS 1. kötet TERVEZÉS egyetemi jegyzet 2011 1 ELŐSZÓ TARTALOM ELŐSZÓ... 4 BEVEZETÉS... 6 I. RÉSZ PROGRAMOZÁSI FOGALMAK... 9 1. ALAPFOGALMAK... 10 1.1. Az adatok típusa... 10 1.2.

Részletesebben

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

Erd os-szekeres-t ıpus u t etelek konvex lemezekre

Erd os-szekeres-t ıpus u t etelek konvex lemezekre Erdős-Szekeres-típusú tételek konvex lemezekre Fejes Tóth Gábor, Rényi Intézet f(n) a legkisebb természetes szám, amelyre teljesül, hogy bármely f(n) általános helyzetű pont között a síkon van n, amelyek

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................

Részletesebben

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99 JUNIOR, 990-9. sz, els forduló. Adott két pozitív valós szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az összegük kisebb, mint a szorzatuk, akkor az összegük nagyobb 4-nél. (N. Vasziljev, 4 pont) 2. Egy szabályos háromszög

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM KLASSZIFIKÁCIÓ AZ ADATBÁNYÁSZATBAN

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM KLASSZIFIKÁCIÓ AZ ADATBÁNYÁSZATBAN EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM KLASSZIFIKÁCIÓ AZ ADATBÁNYÁSZATBAN SZAKDOLGOZAT Készítette: Bényász Melinda Matematika Bsc Matematikai elemz szakirány Témavezet : Kósa Balázs Informatikai Kar Információs

Részletesebben

3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, RC és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió)

3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, RC és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió) 3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, R és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió Zoli 2009. október 28. 1 Tartalomjegyzék 1. Frekvenciafüggő elemek, kondenzátorok és tekercsek:

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

Bevezetés a Gröbner-bázisok elméletébe

Bevezetés a Gröbner-bázisok elméletébe Bevezetés a Gröbner-bázisok elméletébe Oktatási segédlet a Komputer algebra c. tárgyhoz Felszeghy Bálint Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Alapfogalmak és a Gröbner-bázisok elemi tulajdonságai 5 2.1. Jelölések..............................

Részletesebben

PILÓTA NÉLKÜLI REPÜLŐGÉPEK ÚTVONALTERVEZÉSE DIGITÁLIS DOMBORZAT MODELL ALKALMAZÁSÁVAL

PILÓTA NÉLKÜLI REPÜLŐGÉPEK ÚTVONALTERVEZÉSE DIGITÁLIS DOMBORZAT MODELL ALKALMAZÁSÁVAL Horváth Zoltán PILÓTA NÉLKÜLI REPÜLŐGÉPEK ÚTVONALTERVEZÉSE DIGITÁLIS DOMBORZAT MODELL ALKALMAZÁSÁVAL A pilóta nélküli repülő eszközök (UAV) alkalmazása számos előnyt rejt magában. Az alkalmazók épségének

Részletesebben

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok

Részletesebben

Párhuzamos algoritmusmodellek Herendi, Tamás Nagy, Benedek

Párhuzamos algoritmusmodellek Herendi, Tamás Nagy, Benedek Párhuzamos algoritmusmodellek Herendi, Tamás Nagy, Benedek Párhuzamos algoritmusmodellek írta Herendi, Tamás és Nagy, Benedek Szerzői jog 2014 Typotex Kiadó Kivonat Összefoglaló: Napjainkban a számítások

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN)

KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN) 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május. KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN) EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

Részletesebben

Ütemezések speciális rugalmas gyártórendszereken

Ütemezések speciális rugalmas gyártórendszereken Ütemezések speciális rugalmas gyártórendszereken Diplomamunka Írta: Korbács Kitti Alkalmazott matematikus szak Témavezet : Kovács Gergely, f iskolai docens Operációkutatási Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I.

Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Tudományos Diákköri Konferencia Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I. Szöghézag és a beépítésből adódó szöghiba vizsgálata

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Szeminárium-Rekurziók

Szeminárium-Rekurziók 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az

Részletesebben

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 2016 Fazekas, Berzsenyi Budapest Berzsenyi Dániel Gimnázium Fazekas Mihály Gimnázium Budapest 2. javított kiadás 2016. március 1115. Technikai el készítés, tördelés:

Részletesebben

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

3. Strukturált programok

3. Strukturált programok Ha egy S program egyszerű, akkor nem lehet túl nehéz eldönteni róla, hogy megold-e egy (A,Ef,Uf) specifikációval megadott feladatot, azaz Ef-ből (Ef által leírt állapotból indulva) Uf-ben (Uf által leírt

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben