Véletlen és determinisztikus fraktálok
|
|
- Zsuzsanna Péter
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet Sztochasztika Tanszék Véletlen és determinisztikus fraktálok PhD tézisfüzet Móra Péter Témavezet : Prof. Simon Károly 2013
2 Tartalomjegyzék Bevezetés 1 1 A Sierpinski-háromszög Hausdor-mértéke Önhasonló halmazok A Sierpinski-háromszög Hausdor-mértékének becslése Bevezetés Véletlen Cantor halmazok különbsége Eredmények Bevezet Saját eredmény Az F F típusú véletlen Cantor halmaz különbség Általánosítás Véletlen Sierpinski-sz nyegek összege Eredmények Irodalomjegyzék 16 i
3 Bevezetés A tézisben közölt legfontosabb eredményeim a fraktálok témaköréb l származnak (lásd: 1., 2., 3. fejezet). Ezen kívül 3 cikkben voltam társszerz, amelyek parkettázással és kölcsönösen torzítatlan bázisokkal kapcsolatosak. Ezen területekhez történ hozzájárulásom kevésbé fontos, ezért a tézisben csak egy rövid összefoglalót adok az eredményekr l (lásd: 4. és 5. fejezet). Az 1. fejezet tartalmazza az els eredményemet [12] a fraktálok területér l: javítottam a Sierpinski-háromszög (Λ) Hausdor-mértékének alsó becslésén. A Sierpinski-háromszöget az alábbi módon konstruálhatjuk meg: vegyük az 1 oldalhosszúságú egyenl oldalú háromszöget, és hagyjuk el az azonos középponttal rendelkez fejjel lefelé fordított fele akkora háromszöget, majd ismételjük ezt a lépést az így megmaradt 3 háromszögre, ahogyan az 1. és a 2. ábra mutatja. E 3 E 33 E 31 E 32 E 1 E 2 E 13 E 11 E 12 E 23 E 21 E ábra. Az 1., 2. és 3. szint háromszögek A továbbiakban feltesszük, hogy a Sierpinski-háromszög átmér je 1. A Sierpinski-háromszög az egyik legismertebb fraktál, a Hausdor-dimenzió és mérték (a deníciókért lásd: 1.1. fejezet) a legfontosabb mér számai a fraktáloknak. A Sierpinski-háromszöget deniáló iterált függvényrendszer teljesíti a nyílt halmaz feltételt. Ezért Hutchinson tétele szerint a Hausdordimenziója s = log 3/ log 2, és az s dimenziós Hausdor-mértéke H s (Λ) pozitív és véges. Mivel a Sierpinski-háromszög kiemelt szerepet játszik számos alkalmazásban, ezért kívánatos lenne, ha jobban megértenénk a 1
4 2. ábra. A Sierpinski-háromszög méretét. Éppen ezért az utóbbi két és fél évtizedben több kísérlet történt a Sierpinski-háromszög s dimenziós mértékének pontosabb kiszámolására: 1987-ben Marion [10] megmutatta, hogy fels becslés ben Z. Zhou [16, 17] ezt megjavította re, majd kés bb 0.89-re ben Z. Zhou és Li Feng bebizonyították [18], hogy H s (Λ) A legjobb ismert fels becslés , amelyet Wang Heyu és Wang Xinghua [15] publikált 1999-ben kínaiul ben B. Jia, Z. Zhou és Z. Zhu [8] megmutatták, hogy a 0.5 alsó becslés a Sierpinski-háromszög s dimenziós Hausdor-mértékére ben R. Houjun és W. Weiyi [5] megjavították ezt az eredményt re. Végül 2006-ban B. Jia, Z. Zhou és Z. Zhu [9] belátták, hogy alsó becslés. Az 1. fejezet f eredménye: H s (Λ) A nehézséget a geometria adja. Az s dimenziós Hausdor-mértéket a következ módon deniáljuk: H s (Λ) = lim inf { A k s, ahol A k < δ és Λ δ 0 k=1 } A k, (0.0.1) mely képletben az A k jelölés alatt az A k halmaz átmér jét értjük. Ahhoz, hogy megbecsüljük a Hausdor-mértéket, meg kell értenünk mi a legideálisabb lefedés (0.0.1) értelmében. A legkézenfekv bb lefedés a n. szint háromszögekkel történhetne (1. ábrán látható egyenl oldalú háromszögek). Ez esetben az s dimenziós Hausdor-mértékre 1-et kapnánk. Más részr l tudjuk, hogy H s (Λ) < Ezért nem a legtermészetesebb lefedés a legjobb, és ez teszi nehézzé a problémát. Az alsó becslés megjavításához számítógéppel támogatott bizonyítást adok. k=1 2
5 A 2. fejezetben két véletlen Cantor halmaz különbségét tekintjük. Ez egy közös munka Simon Károllyal és B. Solomyakkal [13], amely kiegészíti Simon Károly és M. Dekking [2] korábbi munkáját. A motivációt J. Palis által kérdezett probléma adta. Két halmaz halmazelméleti különbségén a következ kifejezést értjük: F 2 F 1 = {y x : x F 1, y F 2 } Sejtés (Palis). Az F 2 F 1 halmaz tipikusan kicsi abban az értelemben, hogy Leb(F 2 F 1 ) = 0, vagy nagy és F 2 F 1 tartalmaz intervallumot. T.A. Moreira és J.C. Yoccoz [14] belátták Palis sejtését tipikus nem lineáris determinisztikus C 2 síkbeli Cantor halmazokra, azonban a probléma nyitva maradt lineáris Cantor halmazokra. Megmutatjuk, hogy az önhasonló véletlen Cantor halmazoknak egy természetes családjára el fordul, hogy F 2 F 1 halmaznak majdnem biztosan pozitív Lebesgue mértéke van, de majdnem biztosan nem tartalmaz intervallumot. Legyen M 2 természetes szám és p = (p 0,..., p M 1 ) [0, 1] M egy tipikusan nem valószín ségi vektor. Az els lépésben felosztjuk az I = [0, 1] intervallumot M darab egyenl részre: I 0,..., I M 1. Ezután megtartjuk az I k = [ k, ] k+1 M intervallumot pk valószín séggel egymástól függetlenül k = 0,..., M 1 esetén. Az els közelítése a véletlen Cantor halmaznak F 1 : az els lépés során megtartott intervallumok uniója. A második lépésben minden az els lépésben megtartott I k intervallumra elismételjük ugyanezt a lépést I k -ra I helyett. Így a második szinten lév [ k1 I k1 k 2 := M + k 2 M, k 1 2 M + k 2 M + 1 ] 2 M 2 intervallumot csak akkor tarthatjuk meg, ha korábban megtartottuk I k1 - et az els lépésben. Ebben az esetben annak a feltételes valószín sége, hogy megtartjuk az I k1 k 2 intervallumot (feltéve, hogy I k1 -et beválasztottuk) p k2. Minden választás minden korábbi választástól függetlenül történik. A véletlenszer en megtartott I k1 k 2 intervallumok unióját a véletlen Cantor halmaz F 2 második szint közelítésnek nevezzük. Ezen lépéseket folytatva k n = (k 1,..., k n ) esetén az n. lépés után megmaradt I kn := [ k 1 M k n M n, k 1 M k n M n + M n], intervallumok unióját hívjuk F n -nek, a véletlen Cantor halmaz n. szint közelítésének. Az F véletlen Cantor halmaz deníciója: F := F n. n=1 3
6 Legyen F 1 és F 2 két egymástól független példánya F -nek a fenti konstrukció alapján. A szerz k [2]-ben feltételeket adnak, melyek teljesülése esetén F 2 F 1 majdnem biztosan tartalmaz intervallumot (feltéve, hogy F 1, F 2 ). Másrészr l arra is feltételeket adnak, melyek teljesülésekor int(f 2 F 1 ) = majdnem biztosan. Folyatva ezen kutatást a 2. fejezetben a véletlen Cantor halmazok ugyanezen családját vizsgáljuk és feltételt adunk, amely teljesülése esetén az F 2 F 1 különbség Lebesgue mértéke majdnem biztosan pozitív. A tételek eredményeit felhasználva tudunk konstruálni olyan véletlen Cantor halmaz családot, amelyre a fenti Palis sejtés nem igaz. A 3. fejezetben egy még nem publikált eredményt közlünk, amelyben két véletlen d dimenziós Sierpinski-sz nyeg (denícióért lásd: 3. fejezet) összegét vizsgáljuk, ez egy magasabb dimenziós kiterjesztése a korábbi munkáknak. Habár a bizonyítások menete analóg a korábbiakkal, magasabb dimenzióban lényegesen technikaibb a probléma, amit a típusok nagy száma okoz. A [2] cikkben található tételek általánosításaként feltételeket adunk, amelyek mellett az összeg tartalmaz bels pontot. Egy másik tételben elégséges feltételt adunk arra, hogy az összeg tartalmaz egy adott fraktált. Ezt felhasználva könnyen készíthetünk olyan esetet, ahol az összeadandók egyike sem tartalmazza a Sierpinski-háromszög kicsinyített mását, de az összeg majdnem biztosan igen (feltéve, hogy nem üresek az összeadandó halmazok). Ebben a példában az összeadandó halmaz kicsi marad abból a szempontból, hogy majdnem biztosan nem tartalmaz bels pontot. Ezek a tételek további jelölést igényelnek, ezért csak a 3. fejezetben tárgyaljuk ket. 4
7 1. fejezet A Sierpinski-háromszög Hausdor-mértéke 1.1. Önhasonló halmazok Az {f 1, f 2,..., f m } rendszert iterált függvényrendszernek nevezzük, ha az f 1, f 2,..., f m : R d R d függvények kontrakciók. A tézisben csak azzal az esettel foglalkozunk, amikor ezen f 1, f 2,..., f m függvények hasonlóságok, azaz i = 1, 2,..., m esetén f i (x) f i (y) = c i x y, ahol c i < 1. Hutchinson [6] egyik tétele szerint ekkor létezik egy egyértelm nem üres kompakt F halmaz, amelyik teljesíti az alábbi egyenl séget: k f i (F ) = F. (1.1.1) i=1 Ezt az F halmazt az iterált függvényrendszer attraktorának hívjuk. Az attraktort gyakran nevezik fraktálnak ezen önhasonló tulajdonsága miatt. Minden s 0 esetén deniáljuk az F halmaz s dimenziós Hausdormértékét: H s (F ) := lim inf { } A k s, ahol A k < δ és F A k δ 0 k=1 mely formulában az A k módon jelöljük az A k halmaz átmér jét. Az F halmaz Hausdor-dimenziója: k=1 dim H (F ) = inf{s : H s (F ) = 0} = sup{s : H s (F ) = }. 5
8 1.2. A Sierpinski-háromszög Hausdor-mértékének becslése Bevezetés A Λ Sierpinski-háromszög konstrukciója a következ : vegyük az egységnyi ) oldalú egyenl oldalú háromszöget, melynek a csúcsai (0, 0), (1, 0),, ( 1 2, 3 2 és hagyjuk el a fele akkora fejjel lefelé álló háromszöget a közepér l, majd ismételjük ezt a lépést a megmaradt háromszögekre végtelen sokszor, ahogyan az 1. és a 2. ábrákon látható. A H s (Λ) becslésének megjavításához B. Jia [7] tételét fogjuk felhasználni. A tétel kimondásához szükségünk a következ deníciókra. Jól ismert (lásd: [3]) és könnyen belátható, hogy ahol Λ = 3 S i (Λ), i=1 ( 1 S 1 (x, y) = 2 x, 1 ) 2 y, ( 1 S 2 (x, y) = x, ) 2 y, ( 1 S 3 (x, y) = ) 3 2 x, y. ( 1 2, 3 2 Legyen E az egységnyi oldalhosszú ) egyenl oldalú háromszög, melynek a csúcsai: (0, 0), (1, 0),. Deniáljuk az n. szint háromszögeket minden (i 1... i n ) {1, 2, 3} n esetén a következ módon: E i1...i n := S i1...i n (E) = S i1 S in (E) Minden i 1,..., i n esetén deniáljuk az n. szint cilinder halmazokat: F i1...i n := S i1...i n (Λ) = S i1 S in (Λ). Legyen µ az egyenletes eloszlás a Sierpinski-háromszögön, azaz minden n esetén adott i 1... i n esetén µ(e i1...i n ) = µ(f i1...i n ) = 1 3 n. 6
9 B. Jia jelölését követve bevezetünk egy sorozatot: a n = min k n j=1 (n) j s k n /3 n = min kn j=1 (n) j s µ( k n j=1 (n) j ), (1.2.1) { } ahol a minimumot minden nem üres (n) 1,..., (n) k n n-edrend háromszögre vesszük. Könny belátni, hogy az a n sorozat nem növekv (lásd: [7]). Ezen felül B. Jia megmutatta (lásd: [7]), hogy az a n sorozat fels becslés a Sierpinski-háromszög Hausdor-mértékére, továbbá mutatott egy alsó becslést is a n segítségével: Tétel (B. Jia). A Sierpinski-háromszög Hausdor-mértéke teljesíti a következ egyenl tlenségeket: a n e s ( 1 2) n H s (Λ) a n (1.2.2) Következmény. Az Tétel következménye, hogy az a n sorozat konvergál H s (Λ) értékéhez. Sajnos reménytelennek látszik a n értékének kiszámolása n 6 esetén. B. Jia [7] kiszámolta a 1 és a 2 értékét, mi ki tudtuk számolni a 3, a 4 és a 5 értékét, de ezáltal (1.2.2) egyenletb l csak H s (Λ) > 0.54 következik, amely nem javít az eddig ismert legjobb alsó becslésen. Ezért a tétel közvetlen felhasználása helyett alsó becslést adunk a n értékeire minden n-re. Az Következmény értelmében így alsó becslést kapunk H s (Λ) értékére is. A tézis és alfejezetében egy komplikált algoritmussal megmutatjuk, hogy a n 0.77 teljesül minden n N esetén. Felhasználva az Következményt adódik az alsó becslés: Tétel. H s (Λ) Az tétel második egyenl tlenségét felhasználva a tézis alfejezetében adunk egy fels becslést H s (Λ) értékére: mutatunk néhány ügyesen megválasztott háromszöget a 30. szinten. Ez a kollekció fels becslés a 30 -on, így belátjuk, hogy H s (Λ) teljesül ben két kínai matematikus [15] ennél jobb fels becslést publikált, ám a publikációjuk csak kínaiul jelent meg. 7
10 2. fejezet Véletlen Cantor halmazok különbsége 2.1. Eredmények Legyen F 1 és F 2 két független példánya a Bevezetésben konstruált véletlen Cantor halmaznak. Az F 2 F 1 különbségének Lebesgue-mértékével kapcsolatos eredményeinket az alábbiakban tárgyaljuk. További eredményeink vannak F F típusú különbségekre és a determinisztikus esetre Bevezet A véletlen Cantor halmazoknak a [2] cikkben használt denícióját használjuk. Adott egy M 2 természetes szám és egy p = (p 0,..., p M 1 ) [0, 1] M vektor, ami általában nem valószín ségi vektor. A konstrukció lépései a Bevezet ben megtalálhatóak. Ebben a fejezetben, amennyiben nem jelezzük másként, mindig két F 1, F 2 független véletlen Cantor halmaz halmazelméleti különbségét tekintjük. Ahogyan korábban bevezettük, jelöljük az n-edik szint közelítést F1 n és F2 n halmazokkal. Két független Cantor halmazok által generált (Ω, F, P) valószín ségi tér pontos deníciója megtalálható [2] cikkben. Ismert (lásd: [2, Fact 2]) és könnyen belátható, hogy Ha M 1 k=0 F 2 F 1 = P roj 45 (F 1 F 2 ). p k < M, akkor az F 2 F 1 véletlen Cantor halmazok különbségének Hausdor-dimenziója kisebb, mint 1 (lásd: [2]). 8
11 Vezessük be a γ k ciklikus autokorrelációs együtthatókat a következ módon: γ k := M 1 j=0 p j p j+k ( mod M) minden k = 0,..., M Tétel (Dekking, Simon [2]). Feltéve, hogy F 1, F 2, (a) ha γ k > 1 minden k-ra, akkor F 2 F 1 tartalmaz intervallumot majdnem biztosan, (b) ha létezik k {0,..., M 1} úgy, hogy γ k és γ k+1 kisebbek 1-nél, akkor F 2 F 1 majdnem biztosan nem tartalmaz intervallumot Saját eredmény Eredményünk kimondásához szükséges még egy deníció: u k := { p0 p k + + p M k 1 p M 1, ha 0 k < M; 0, ha k = M. (2.1.1) Vegyük észre, hogy γ k = u k + u M k Tétel. Tegyük fel, hogy Γ := γ 0... γ M 1 > 1, (A1) (A2) és minden 0 k M 1 esetén min(u k, u k+1 ) > 0 vagy min(u M k, u M k 1 ) > 0. Ekkor feltéve, hogy F 1, F 2 igaz, majdnem biztosan teljesül. Leb(F 2 F 1 ) > Megjegyzés. A tétel második feltétele technikai feltétel, ám ha minden p 0,... p M 1 valószín ség pozitív, akkor ez teljesül Megjegyzés. Az eredményünk majdnem éles. Ugyanis a tételünk azt mondja ki, hogy ha a γ i sorozat mértani közepe nagyobb 1-nél és (A2) teljesül, akkor az F 2 F 1 különbségnek pozitív a Lebesgue-mértéke. Másrészr l tudjuk [2], hogy ha a számtani közép kisebb 1-nél, akkor dim H F 1 + dim H F 2 < 1, azaz Leb(F 2 F 1 ) = 0. 9
12 Megjegyzés. Dekking és Grimmett egy hasonló problémát vizsgáltak [1]: egy magasabb dimenziós véletlen Cantor halmaznak az ortogonális projekciójának Lebesgue mértékér l adtak állításokat. A kódolás leírásához elágazó folyamatot használtak véletlen környezetben. Mi hasonló módszert használunk, ám a mi esetünkben a vetítés 45. Ez két különböz típushoz vezet, és külön gyelnünk kell a függetlenség problémájára. Emiatt a [1] cikkben bevezetett eljárás lényegesen bonyolultabb formában jelenik meg a mi bizonyításunkban. A [2] cikk f eredményéb l és a tételünkb l következik, hogy a Palis sejtése (0.0.1) nem igaz általában: Következmény. Legyen M = 3 és Ebben az esetben: (p 0, p 1, p 2 ) = (0.52, 0.5, 0.72). γ 0 = p p p 2 2 = , γ 1 = γ 2 = p 0 p 1 + p 1 p 2 + p 2 p 0 = , A véletlen Cantor halmazok különbsége nem tartalmaz intervallumot majdnem biztosan (lásd: Tétel (a) része). Másrészr l a szorzat γ 0 γ 1 γ 2 = nagyobb, mint 1. Ezért Tételünkb l következik, hogy a különbség majdnem biztosan pozitív Lebesgue-mérték, feltéve, hogy nem üres egyik halmaz sem Megjegyzés. Feltéve, hogy F, igaz az, hogy (lásd: [4], [11]) ( M 1 ) dim H F = log p i / log M majdnem biztosan. Az (A1)-es feltétel következménye M 1 i=0 p i > M, ezért feltéve, hogy F nem üres, dim H F > 1/2 igaz majdnem biztosan Megjegyzés (Determinisztikus eset). Tegyük fel, hogy a p i valószín ségek mindegyike 0 vagy 1. Jelöljük F halmazzal az így létrejött Cantor halmazt. Ezt az esetet már részletesen tárgyalták [2, Section 8], ám nem jelölték a bizonyításban [2, Theorem 2], hogy Palis sejtése teljesül ebben a speciális esetben. Azaz vagy Leb(F F ) = 0 vagy F F áll fenn. i=0 10
13 Az F F típusú véletlen Cantor halmaz különbség Tétel. Ha a Tétel (A1) és (A2) feltételei teljesülnek, akkor feltéve, hogy az összeadandó halmazok nem üresek teljesül majdnem biztosan. Leb(F 1 F 1 ) > Általánosítás Tekintsük ugyanazt a problémát, mint a Tételben, de tegyük fel, hogy a véletlen Cantor halmazok konstrukciójánál különböz paramétereket használunk, ezek legyenek p = (p 0,..., p M 1 ) és q = (q 0,..., q M 1 ). Így annak a valószín sége, hogy I i1...i k intervallumot megtartjuk p ik az F 1 halmaz esetén és q ik az F 2 halmaz esetén (feltéve, hogy I i1...i k 1 intervallumot beválasztottuk). Követve [2, Section 4.4] jelölését legyen γ k := M 1 j=0 q j p j+k ( mod M). Ekkor a Tétel általánosítható erre az esetre: Tétel. Legyen F 1, F 2 két véletlen Cantor halmaz a fenti konstrukcióval. Tegyük fel, hogy az alábbiak teljesülnek: Γ := γ 0... γ M 1 > 1, (Ã1) (Ã2) és minden 0 k M 1 esetén 0 < p k és 0 < q k. Ekkor feltéve, hogy F 1, F 2 teljesül, majdnem biztosan teljesül. Leb(F 2 F 1 ) > 0 11
14 3. fejezet Véletlen Sierpinski-sz nyegek összege 3.1. Eredmények Ebben a fejezetben Simon Károly és M. Dekking [2] munkáját egészítjük ki számos módon. Žk azt vizsgálták, hogy két 1 dimenziós véletlen Cantor halmaz különbsége tartalmaz-e intervallumot. A kutatásuk folyatásaként hasonló eredményeket bizonyítunk magasabb dimenzióban. A lényegi újítás a típusok bevezetése, amelyek segítségével leírhatjuk a szorzat halmaz és egy hipersík metszetét, amely az 1 dimenziós esetnél sokkal komplikáltabb. Ebben a fejezetben az összeget vizsgáljuk a különbség helyett. Amíg a különbség 1 dimenzióban jól prezentálható jobb és bal háromszögekkel, nem használhatjuk ezt a megközelítést magasabb dimenzióban. Kényelmesebb az összeg használata ezen struktúrák leírására, ha a dimenzió 1-nél nagyobb. A magasabb dimenziós véletlen Cantor halmazokat Sierpinski-sz nyegnek hívjunk, és az alábbi módon konstruáljuk meg. Legyen d > 0 és M 2 egész szám. Leírjuk a d dimenziós, M részre bontott, p(i) [0, 1] valószín ségek által deniált (ahol i = (i 0, i 1,..., i d 1 ) Γ = {0, 1,..., M 1} d ) véletlen Sierpinski-sz nyeget, jelöljük F -fel. Az F 0 = I = [0, 1] d halmazt hívjuk 0. szint közelítésnek. Particionáljuk fel I-t M d egyenl kockára: [ ] [ ] [ i (1) 0 I i1 := M, i(1) i (1) 1 M M, i(1) (1) i d 1 M M, i(1) d ] M ahol i 1 = (i (1) 0, i (1) 1,..., i (1) d 1 ) Γ. Az els lépésként minden i 1 Γ esetén tartsuk meg az I i1 kockát p(i 1 ) valószín séggel, a többi választástól függetlenül. A megmaradó halmazt hívjuk F 1 -nek, ez az 1. szint közelítése F -nek. 12
15 A megmaradt I i1 halmazokon folytassuk ezt a lépést egymástól függetlenül: a második lépésként minden i 2 = (i (2) 0,..., i (2) d 1 ) Γ esetén az ] ] I i1,i 2 = [ i (1) 0 M + i(2) 0 1 M, i(1) 0 2 M + i(2) M 2 [ i (1) d 1 M + i(2) d 1 1 M, i(1) d 1 2 M + i(2) d M 2 kockát megtartjuk p(i 2 ) valószín séggel (feltéve, hogy az I i1 kockát megtartottuk az els lépésben). Ezen megtartott kockák unióját hívjuk F 2 -nek, az F halmaz második szint közelítésének. Minden választás a korábbi választásoktól függetlenül történik. A kapcsolódó valószín ségi mértéket és várható értéket jelöljük P, illetve E bet kkel. A végtelen sok lépés után megmaradó halmazt jelöljük F = n=1 módon, ez az F a {p(i)} i Γ valószín ségek által generált véletlen Sierpinskisz nyeg. Ha a valószín ségek közül legalább két darab 1, a többi valószín ség pedig 0, akkor a megmaradó halmazt determinisztikus Sierpinski-sz nyegnek nevezzük. Továbbá, ha egyik valószín ség sem 0 vagy 1, akkor a megmaradó halmazt szigorúan véletlen Sierpinski-sz nyegnek nevezzük (ebben az esetben pozitív valószín séggel üres halmazt kapunk). A 3.1. ábra a determinisztikus, a 3.2. ábra a szigorúan véletlen esetre mutat példát. F n 3.1. ábra. Az F 1, F 2, F 3, F 4 halmazok, amikor d = 2, M = 2 és p((0, 0)) = p((0, 1)) = p((1, 0)) = 1, p((1, 1)) = 0. Ebben az esetben az F halmaz a Sierpinski-háromszög Deníció. Legyen n > 0 egész. Az alábbi vektorokat n. szint rács vektoroknak nevezzük: {( v0 M, v 1 n M,..., v ) } d 1 v n M n 0,..., v d 1 N. 13
16 3.2. ábra. Az F 1, F 2, F 3, F 4 halmazok d = 2, M = 2, p((0, 0)) = p((1, 1)) = 0.8 és p((1, 0)) = p((0, 1)) = 0.2 paraméterek mellett Deníció. Azt mondjuk, hogy az A halmaz reguláris pozícióban tartalmaz egy G Sierpinski-sz nyeget, ha létezik n > 0 és egy n. szint v rács vektor, hogy az alábbi teljesül: 1 M n G + v A. Ebben a fejezetben az F 1 + F 2 = {x + y x F 1, y F 2 } összeget vizsgáljuk, ahol a tagok paraméterei M 1, d 1, illetve M 2, d 2. Az F 1 és F 2 Sierpinski-sz nyegek mindig függetlenek. A 3.3. ábra szemléltet egy összeget. Ezenfelül vizsgálunk egy determinisztikus fraktált M 3 és d 3 paraméterekkel. A továbbiakban mindig feltesszük, hogy M 1 = M 2 = M 3 és d 1 = d 2 = d 3 fennáll. + = 3.3. ábra. Példa F 3 1 és F 3 2 realizációjára és az összegükre. Ez egy 2 dimenziós eset, ahol M 1 = M 2 = Tétel. Legyen G tetsz leges determinisztikus Sierpinski-sz nyeg és ε > 0. Ekkor léteznek {p(i)} i Γ, {q(i)} i Γ valószín ségek úgy, hogy ezen valószín ségek által deniált F 1 és F 2 véletlen Sierpinski-sz nyegekre az alábbi pontok teljesülnek. 14
17 1. Az F 1 és F 2 halmazok szigorúan véletlen Sierpinski-sz nyegek, azaz egyik {p(i)} i Γ, {q(i)} i Γ valószín ség sem 0 vagy Ha F 1, F 2, akkor F 1 +F 2 tartalmazza a G halmaz kicsinyített képét majdnem biztosan. 3. dim H (F 1 + F 2 ) < dim H G + ε majdnem biztosan. 4. Az F 1, F 2 halmazok majdnem biztosan nem tartalmazzák a G halmaz kicsinyített képét Következmény. Léteznek F 1 és F 2 szigorúan véletlen Sierpinskisz nyegek a síkon úgy, hogy F 1 + F 2 összeg majdnem biztosan tartalmazza a Sierpinski-háromszög kicsinyített képét (feltéve, hogy egyik összeadandó sem az üres halmaz), de F 1 + F 2 majdnem biztosan nem tartalmaz bels pontot. Továbbá az F 1 és F 2 halmazok nem tartalmazzák a Sierpinski-háromszög kicsinyített képét majdnem biztosan Megjegyzés. A tézis 3.2. fejezete tartalmazza a [2] cikk tételeinek általánosításait. Ezen tételek kimondásához további deníciók szükségesek. Bevezetjük γ(k) értékét minden k = (k 0, k 1,..., k d 1 ) { 1, 0,..., M 1} d esetén, ez fontos szerepet fog játszani: γ(k) := p((x 0, x 1,..., x d 1 ))q((y 0, y 1,..., y d 1 )) x 0 +y 0 {k 0,k 0 +M}. x d 1 +y d 1 {k d 1,k d 1 +M} ahol az x 0,..., x d 1, y 0,..., y d 1 egész számok. Ezen változók az el z fejezetben és [2] cikkben felhasznált ciklikus autokorrelációs együtthatók általánosításai. Legyen F 1 és F 2 két független véletlen Sierpinski-sz nyeg, amelyet a {p(i)} i Γ, {q(i)} i Γ szigorúan pozitív valószín ségek deniálnak. A [2] cikk 1. tételének magasabb dimenziós általánosításai: Tétel. 1. Ha minden {p(i)} i Γ, {q(i)} i Γ valószín ségek pozitívak és γ(j) > 1 minden j esetén, akkor F 1 +F 2 majdnem biztosan tartalmaz bels pontot feltéve, hogy az összeadandóak nem üresek. 2. Ha létezik j = (j 0,..., j d 1 ) Γ úgy, hogy max γ((j 0 b 0,..., j d 1 b d 1 )) < 1 b 0,b 1,...,b d 1 {0,1} akkor F 1 + F 2 majdnem biztosan nem tartalmaz bels pontot. 15
18 Irodalomjegyzék [1] F.M. Dekking, and G. R. Grimmett. Superbranching processes and projections of random Cantor sets. Probab. Theory Related Fields, 78, (1988), 3, [2] F.M. Dekking, K. Simon, On the size of the algebraic dierence of two random Cantor sets. Random Structures and Algorithms, 32, (2008) [3] K. Falconer, Fractal geometry, Wiley, [4] K.J. Falconer, Random fractals, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., Vol. 100 (1986), No.3, [5] R. Houjun, W. Weiyi, An Approximation Method to Estimate the Hausdor Measure of the Sierpinski Gasket, Analysis in Theory and Applications, vol 20 (2004), no 2, [6] J. E. Hutchinson, Fractals and Self-similarity, Indiana Univ. Math. J., 30 (1981), [7] B. Jia, Bounds of Hausdor measure of the Sierpinski gasket, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 330 (2007), no. 2, [8] B.Jia, Zuoling Zhou, Zhiwei Zhu, A lower bound for the Hausdor measure of the Sierpinski gasket, Nonlinearity, 15 (2002), [9] B. Jia, Zuoling Zhou, Zhiwei Zhu, B., A New Lower Bound of the Hausdor Measure of the Sierpinski Gasket, Analysis In Theory And Applications, 22(2006), no. 1, [10] J. Marion, Mesures de Hausdor d'ensembles fractals, Ann. Sci. Math. Quebec, 11 (1987),
19 [11] R. Mauldin, S. C. Williams, Random recursive constructions: asymptotic geometric and topological properties, Trans. Amer. Math. Soc., Vol (1986), no. 1, [12] P. Móra, Estimate of the Hausdor measure of the Sierpinski triangle, Fractals, Volume: 17, Issue: 2 (2009) pp [13] P. Móra, K. Simon, B. Solomyak The Lebesgue measure of the algebraic dierence of two random Cantor sets. Indagationes Mathematicae, Volume 20, Issue 1, March 2009, [14] C. G. Moreira, J.-C. Yoccoz, Stable intersections of regular Cantor sets with large Hausdor dimensions. Ann. of Math. (2), 154(1), 4596, [15] Wang Heyu, Wang Xinghua, Computer search for the upper estimation of Hausdor measure of classical fractal sets II Analysis of the coding and lattice tracing techniques for Sierpinski gasket as a typical example, Chinese J. Num. Math. and Appl., 21(1999), 4, [16] Zuoling Zhou, Hausdor measures of Sierpi«ski gasket, Sci. China, A 40 (1997), [17] Zuoling Zhou, The Hausdor measures of the Koch curve and Sierpi«ski gasket, Prog. Nat. Sci., 7 (1997), [18] Zuoling Zhou, Li Feng, A new estimate of the Hausdor measure of the Sierpi«ski gasket, Nonlinearity, 13 (2000),
Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
RészletesebbenFraktálok. Klasszikus fraktálpéldák I. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék
Fraktálok Klasszikus fraktálpéldák I Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 86 Bevezetés. 2 of 86 TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés. Az önhasonlóságról intuitív módon Klasszikus
RészletesebbenVéletlen fraktálok. Diplomamunka. Témavezet : Írta: Beringer Dorottya. Elekes Márton, egyetemi adjunktus Analízis tanszék.
Véletlen fraktálok Diplomamunka Írta: Beringer Dorottya Matematikus szak Témavezet : Elekes Márton, egyetemi adjunktus Analízis tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2011 Tartalomjegyzék
RészletesebbenFRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
Példák fraktálokra I Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. február 1. Vázlat 1 Mi a fraktál? 2 A konstrukció Egyszerű tulajdonságok Triadikus ábrázolás Transzlációk
RészletesebbenHierarchikus skálafüggetlen gráfok generálása fraktálokkal
Hierarchikus skálafüggetlen gráfok generálása fraktálokkal Komjáthy Júlia Simon Károly Sztochasztika Tanszék Matematika Intézet Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem www.math.bme.hu/~komyju www.math.bme.hu/~simonk
RészletesebbenVéletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenFraktálok. Löwy Dániel Hints Miklós
alkalmazott erjedéses folyamat sajátságait. Továbbá nemcsak az alkoholnak az emberi szervezetre gyakorolt hatását tudjuk megfigyelni (például a szomszéd dülöngélését és kurjongatását), hanem az alkoholnak
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenFraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.
Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenDiszkrét démonok A Borsuk-probléma
A Borsuk-probléma Bessenyei Mihály DE TTK Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör (megnyitó el adás) Debrecen, 2017. október 16. Bevezetés Magyarázat a címhez... Napjainkban
RészletesebbenA különböz lerajzolásokhoz különböz metszési szám tartozik: x(k 5, λ) = 5,
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Gráfok metszési paramétere és alkalmazásai 2013. El adó: Hajnal Péter 1. Gráfok metszési száma Az el adás a metszési szám nev gráfparaméterr l szól.
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
RészletesebbenNégyzetfraktálok. Fábián János
Négyzetfraktálok Fábián János Matematika BSc, tanári szakirány Szakdolgozat Témavezet : Buczolich Zoltán Egyetemi tanár Analízis Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest, 2016.
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. középszint
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebbenismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
RészletesebbenModern matematikai paradoxonok
Modern matematikai paradoxonok Juhász Péter ELTE Matematikai Intézet Számítógéptudományi Tanszék 2013. január 21. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 1 / 36 Jelentés Mit jelent a paradoxon
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenOnline algoritmusok. Algoritmusok és bonyolultságuk. Horváth Bálint március 30. Horváth Bálint Online algoritmusok március 30.
Online algoritmusok Algoritmusok és bonyolultságuk Horváth Bálint 2018. március 30. Horváth Bálint Online algoritmusok 2018. március 30. 1 / 28 Motiváció Gyakran el fordul, hogy a bemenetet csak részenként
RészletesebbenKözepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán
Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör Megnyitója Debrecen, 015. szeptember 7. AGH-egyenl tlenség Tétel Értelmezzük
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
Részletesebben2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
RészletesebbenDiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
RészletesebbenMérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer
RészletesebbenA maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás
RészletesebbenPénzügyi matematika. Vizsgadolgozat I. RÉSZ. 1. Deniálja pontosan, mit értünk amerikai vételi opció alatt!
NÉV: NEPTUN KÓD: Pénzügyi matematika Vizsgadolgozat I. RÉSZ Az ebben a részben feltett 4 kérdés közül legalább 3-ra kell hibátlan választ adni ahhoz, hogy a vizsga sikeres lehessen. Kett vagy kevesebb
RészletesebbenFunkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér
Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =
Részletesebben1. David Blackwell tétele
SZAKDOLGOZAT Rejtett Markov láncok entrópiája és önkonformis mértékek Torma Lídia Boglárka Témavezet k: Simon Károly, egyetemi tanár Komjáthy Júlia, tudományos munkatárs BME Matematika Intézet, Sztochasztika
RészletesebbenHalmazelméleti alapfogalmak
Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenEseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
RészletesebbenFormális nyelvek - 9.
Formális nyelvek - 9. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Véges
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenA Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:
A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt rövid kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
Részletesebben(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak
(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak osztályozása) March 21, 2019 Markov-láncok A Markov-láncok anaĺızise főként a folyamat lehetséges realizációi valószínűségeinek kiszámolásával foglalkozik. Ezekben
RészletesebbenDeníciók és tételek a beugró vizsgára
Deníciók és tételek a beugró vizsgára (a szóbeli viszgázás jogáért) Utolsó módosítás: 2008. december 2. 2 Bevezetés Számítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést,
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
Részletesebben9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában
9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának
RészletesebbenFraktálok. Bevezetés. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék Tavasz
Fraktálok Bevezetés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014-2015 Tavasz TARTALOMJEGYZÉK 1 of 51 Előzetes a bevezetőhöz 2 of 51 Előzetes ELŐZETES Mivel foglalkozunk, mivel nem Előzetes a bevezetőhöz
RészletesebbenJulia halmazok, Mandelbrot halmaz
2011. október 21. Tartalom 1 Julia halmazokról általánosan 2 Mandelbrot halmaz 3 Kvadratikus függvények Julia halmazai Pár deníció Legyen f egy legalább másodfokú komplex polinom. Ha f (ω) = ω, akkor ω
RészletesebbenKonvex testek közelítése politópokkal. Vígh Viktor. Doktori értekezés tézisei. Témavezet : dr. Fodor Ferenc
Konvex testek közelítése politópokkal Doktori értekezés tézisei Vígh Viktor Témavezet : dr. Fodor Ferenc Matematika- és Számítástudományok Doktori Iskola SZTE TTIK, Bolyai Intézet, Geometria Tanszék 2010
RészletesebbenSkalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.
1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége
RészletesebbenA matematika nyelvér l bevezetés
A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenWigner tétele kvantummechanikai szimmetriákról
Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet és MTA-DE "Lendület" Funkcionálanalízis Kutatócsoport, Debreceni Egyetem 2014. Október 30. Elméleti Fizika Szeminárium A tétel története Wigner tétele Tétel Legyen
Részletesebbenés annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?
3. 3. Probléma (T): Található-e minden L véges hálóhoz egy G véges csoport és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?
RészletesebbenA Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:
A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt kis kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum 12
RészletesebbenOpkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
RészletesebbenALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha
ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig
RészletesebbenRészletes Önéletrajz
Részletes Önéletrajz Név: Dr. Simon Károly Születési év: 1961 Jelenlegi pozíció: Tanszékvezető egyetemi tanár a BME Matematikai Intézet Sztochasztika Tanszékén Vendég Professzor, Lengyel Tudumányos Akadémia
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenCentrális határeloszlás-tétel
13. fejezet Centrális határeloszlás-tétel A valószínűségszámítás legfontosabb állításai azok, amelyek független valószínűségi változók normalizált összegeire vonatkoznak. A legfontosabb ilyen tételek a
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
RészletesebbenZH feladatok megoldásai
ZH feladatok megoldásai A CSOPORT 5. Írja le, hogy milyen szabályokat tartalmazhatnak az egyes Chomskynyelvosztályok (03 típusú nyelvek)! (4 pont) 3. típusú, vagy reguláris nyelvek szabályai A ab, A a
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenSúlyozott automaták alkalmazása
Súlyozott automaták alkalmazása képek reprezentációjára Gazdag Zsolt Szegedi Tudományegyetem Számítástudomány Alapjai Tanszék Tartalom Motiváció Fraktáltömörítés Súlyozott véges automaták Képek reprezentációja
RészletesebbenJármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János
BUDAPESTI MŐSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI KAR JÁRMŐELEMEK ÉS HAJTÁSOK TANSZÉK Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János Budapest 2008
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenFRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található.
FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok Czirbusz Sándor 010. április 16. I. rész Feladatok A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. 1. Példák fraktálokra 1.1. A Cantor - halmaz 1.1.1. Feladat. Igazoljuk,
RészletesebbenGeometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!
RészletesebbenGeometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenHatározatlansági relációk származtatása az
az állapottér BME TTK Matematikus MSc. 1. évf. 2012. november 14. Vázlat: Történeti áttekintés Nemkommutatív (kvantum) valószín ségelmélet Az állapottér geometriája: Az állapottér mint Riemann-sokaság
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
Részletesebben1. Online kiszolgálóelhelyezés
1. Online kiszolgálóelhelyezés A probléma általános deníciójának megadásához szükség van a metrikus tér fogalmára. Egy (M, d) párost, ahol M a metrikus tér pontjait tartalmazza, d pedig az M M halmazon
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenVéletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10.
2. rész 2012. december 10. Határeloszlás tételek a bolyongás funkcionáljaira 1 A bolygó pont helyzete: EX i = 0, D 2 X i = EX 2 = 1 miatt i ES n = 0, D 2 S n = n, és a centrális határeloszlás tétel (CHT)
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
RészletesebbenA TANTÁRGY ADATLAPJA
A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény Babeș-Bolyai Tudományegyetem 1.2 Kar Matematika és Informatika 1.3 Intézet Magyar Matematika és Informatika 1.4 Szakterület
RészletesebbenAlap fatranszformátorok II
Alap fatranszformátorok II Vágvölgyi Sándor Fülöp Zoltán és Vágvölgyi Sándor [2, 3] közös eredményeit ismertetjük. Fogalmak, jelölések A Σ feletti alaptermek TA = (T Σ, Σ) Σ algebráját tekintjük. Minden
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
Részletesebben