Az anya-gyermek interakció újszerû statisztikai megközelítése*

Átírás

1 Az anya-gyerme interació újszerû statisztiai megözelítése* Hunyadi László CSc, a Budapesti Corvinus Egyetem tanára laszlo.hunyadi@sh.hu Kalmár Magda CSc, az ELTE egyetemi tanára almag@fre .hu Sipos Lilla, az ELTE egyetemi tanársegédje lillasipos@gmail.com Tóth Ildió PhD, az MTA Pszichológiai Kutatóintézet tudományos munatársa tothi@mtapi.hu A tanulmány egy pszichológiai utatás statisztiai vetületeit mutatja be. A utatás célja az volt, hogy öszszehasonlítsu az időre született, illetve a oraszülött gyermee esetén az anyá hogyan reagálna gyermeei ülönféle viseledésformáira a ülönböző szituációban. A vizsgálat során 4, illetve 30 anya-gyerme pár viseledését rögzítettü, egyenént mintegy 5-5 perces videóra, majd a videofelvétele alapján a jellegzetes viseledésformáat ódoltu, igyűjtöttü, csoportosítottu és statisztiailag elemeztü. Első lépésben iszűrtü a nem, vagy a nagyon is számban előforduló eseteet. A maradéra megvizsgáltu, hogy az egyes gyermei cselevésere az anya milyen strutúrában válaszol. A strutúrá összehasonlítását χ -próbá, valamint leíró mutató (orreláció, rangorreláció, távolságo, vetoro által bezárt szög) segítségével végeztü el. A strutúráon belül az egyes viseledése gyaoriságána összehasonlítását nagymintás Z-próbáal vizsgáltu. A tanulmány röviden ismerteti a vizsgálat fontosabb pszichológiai-szamai eredményeit is. A Függelében részletes levezetéssel igazolju, hogy a homogenitásvizsgálat χ -alapú tesztje evivalens egy megfelelően alalmazott, ugyancsa χ -bázisú függetlenségvizsgálattal. TÁRGYSZÓ: Strutúraelemzés. Pszichológia. Statisztiai próbá. * A tanulmányunban ismertetett vizsgálat az OTKA T 9517, T és F pályázato által támogatott utatás részét épezi. Kutatóhely: ELTE Pszichológiai Intézet. Köszönettel tartozun dr. Medgyesi Patríciána a oraszülött minta összegyűjtéséért és dr. Gervai Juditna, a Budapesti Családvizsgálat vezetőjéne a ontrollcsoport rendelezésünre bocsátásáért, a utatásban résztvevő családona szíves együttműödésüért, továbbá Roger Baeman professzorna a GSEQ-program hozzáférhetővé tételéért.

2 958 Hunyadi László Kalmár Magda Sipos Lilla Tóth Ildió Bár a pszichológia problémái, szemlélete és eszöztára eléggé távol állna a társadalmi-gazdasági elemzésetől, mégis létezi egy özös módszertani gyöér, amelyből e tudományterülete elemzési eszöze sarjad. Természetesen a statisztiáról van szó, amely látszólag távoli területeen is egymáshoz özel álló módszertani elemeet vonultat fel. Azoban az eseteben pedig, ahol valamely specifius probléma nem szoványos eszözö alalmazását igényli, a más területeen dolgozó statisztiusna érdemes jobban odafigyelni, hiszen ötleteet aphat, fogásoat tanulhat. Ez a nagy és általános statisztiai módszertani arzenál indított bennünet arra, hogy egy pszichológiai utatás statisztiai módszertanát bemutassu olyano számára, ai elsősorban a társadalmi és gazdasági alalmazáso területén műveli a statisztiát. 1. Bevezetés és problémafelvetés A pszichológia számára özhely, hogy a szülőhöz fűződő apcsolato a születést övető orai időszaban elsősorban az anyához ulcsjelentőségűe a gyermee fejlődésében. Mivel a apcsolato a özvetlen érintezés, az interació során alaulna, az anya-gyerme interació már évtizede óta a fejlődéspszichológiai utatás fontos területe. Az interació tanulmányozása nem egyszerű. Ami megfigyelhető, az az interació résztvevőine a viseledése. A tudományos vizsgálat mérést övetel; a méréshez a megfigyelő szubjetív észrevételeit objetív, megbízható adatoá ell alaítani. A viseledés mérése mint utatási terület soat öszönhet a videotechnia hozzáférhetővé válásána: a felvétele megállítható, lelassítható, visszajátszható, ami lehetővé teszi az eseménye pontosabb megítélését. Az elemzésre alalmas adato nyeréséne a problémáját azonban ez önmagában még nem oldja meg. Ehhez változóat ell épezni, ami viszont olyan ategóriarendszert igényel, amelyne alapján az előforduló ategóriá, a vizsgálat céljána megfelelően, egyértelműen ódolható. Az egyi lehetséges megözelítés a megfigyelt interació globális értéelése adott szemponto szerint (például az interació harmóniája, gördüléenysége stb.), illetve az egyes résztvevő viseledési stílusána (például az anyai elfogadás, a gyerme együttműödési észsége stb.) ugyancsa globális megítélése. A globális értéelés esetében mind a ategóriá egymástól való függetlensége, mind a megfigyelő szub-

3 Az anya-gyerme interació újszerû statisztiai megözelítése 959 jetivitásána izárása nehezen biztosítható. A mási jóval munaigényesebb út a viseledés pontos leírása, az ún. miroanalitius ódolás (Baeman Decner Quera [005]; Pare Tinsley [1987]). A résztvevő egymásra hatásána megragadása ami az interació lényege azonban nehéz módszertani probléma (Kelly Barnard [000]). Vizsgálatunban arra a érdésre eressü a választ, hogy mi a jelentősége az anya-gyerme interació alaulásában anna, ha a gyerme oraszülött. A oraszülöttség a fejlődés egyi leggyaoribb riziótényezője; nehezített feltételt teremt mind a gyerme, mind a család számára. Az idő előtt világra jött újszülött éretlen szervezete, idegrendszere számára a ülső örnyezet még nem adevát, a szülő pedig váratlan, aggodalomra oot adó és gondoal teli helyzetbe erülne. Korábbi utatásoból tudju, hogy enne hatása még hosszú idő elteltével is tetten érhető mind az anya, mind a gyerme viseledésében olyan eseteben is, amior a gyerme fejlődése megnyugtatóan alaul (Goldberg DiVitto [00], Kalmár Csiy [1999]). A megfigyelés során gyűjtött adatain feldolgozása után az elemzés ét ágon folytatódott. Az egyi irány a gyerme-anya interació időbeli lefutását, a cselevése egymásutániságát veszi célba. Ez az elemzés módszertanilag a szevenciaanalízis eszözét igényli, melyet elsősorban biológus utató fejlesztette i. Ez a utatás folyamatban van, de eredményeiről még orai lenne beszámolni. A utatás mási ága az interaciót jelen esetben elsősorban a gyerme viseledésére adott anyai reacióra helyezve a hangsúlyt az egyes eseménye gyaoriságána leszámolása nyomán hagyományos statisztiai elemzéssel igyeszi megözelíteni. Ez a feladat, bár elvben standard statisztiai eszözöet alalmaz, felvetett néhány olyan érdést, eredményezett olyan tapasztalatoat, amelye részletes módszertani értéelése és bemutatása a özvetlen szamabelieen túl a statisztiai módszereet más területeen alalmazó számára is tanulságos lehet. Ezért döntöttün úgy, hogy a utatás módszertani vonatozásait (és néhány fontosabb eredményét) statisztiai folyóiratban is özzé tesszü. Az eredménye részletes szamai bemutatása és értéelése természetesen pszichológiai szafolyóiratban megjelenő ci (vagy cie) témája is lehet. Enne megfelelően a jelen dolgozat szerezete a övetező. A bevezetőt övető, az írás özéppontjában álló. fejezet a vizsgálat módszereit mutatja be az adatgyűjtéstől az adatfeldolgozáson át az összehasonlítás alapjául szolgáló mutató részletes bemutatásáig. Ez a fejezet foglalozi azzal a érdéssel is, hogy a feladat során milyen módszertani tapasztalatoat szereztün a nagymintás statisztiá területén. A 3. fejezet a utatási eredményeből mutat be előzetes jelleggel néhányat, majd a 4. fejezet röviden összefoglalja az elmondottaat. A tanulmányhoz ét függelé apcsolódi, melye bizonyos módszertani részleteet világítana meg azo számára, ai ilyene iránt érdelődne.

4 960 Hunyadi László Kalmár Magda Sipos Lilla Tóth Ildió. A vizsgálat módszerei A utatás mint említettü ét ágon folyt. Az egyi ág a szevenciális analízisre, míg a mási a hagyományos statisztiai mutató és próbá iértéelésére épített. A ét vizsgálat adatbázisa azonban özös volt, ezért elsőént enne a özös adatbázisna a ialaítását mutatju be. Ezt övetően a hagyományos statisztiai elemzés módszereit ismertetjü: először azt, hogy miént töröltü adatbázisunból az irreleváns eseményeet, azaz azoat a gyerme-anya ombinációat, amelye igen ritán fordulna elő, így inább zavarjá, mintsem segíti a lényeges összefüggése felismerését. Ezután bemutatju az összehasonlítás céljára alalmazott mutatóat és teszteet. A fejezetet a módszertani tapasztalato összefoglalása zárja. Megemlítjü, hogy a módszertan egy érdees és evéssé ismert iágazását (melyre e vizsgálat számításai során derült fény) a Függelében mutatju be..1. Adatgyűjtés és -feldolgozás A vizsgálatban 7 anya-csecsemő pár vett részt. A minta ét alcsoportra oszli. 30 csecsemő oraszülött volt (gesztációs idő 8-33 hét özt (átlag 30,9 hét); születési súly gramm (átlagsúly 1467 gramm); fejlődési rendellenesség és súlyosabb ompliáció nem fordult elő). A oraszülötte életorát a várható születési időne megfelelő orrecióval számítottu i. A ontrollcsoportot 4 időre született csecsemő és édesanyju alottá, ai a Budapesti Családvizsgálat résztvevői özül (Gervai [005]) erülte i. Ebben a mintában a gyermee 37 hétnél hosszabb gesztációs időre, éretten, egészségesen születte, születési súlyu gramm özt volt (átlag = 341 gramm). Az anya-csecsemő interació megfigyelése a csecsemő 1 hónapos orában történt, a családo otthonában. A megfigyelést szabad játé- és struturált ( tanító ) játéhelyzeteben végeztü. A szabad játé során az anyáat arra buzdítottu, hogy természetesen viseledjene, mindent úgy csináljana, ahogy szota. Ezt egy struturált játéhelyzet övette, amelyhez minden anya egy új, a gyerme számára ismeretlen, otató jellegű játéot apott a vizsgálatvezetőtől. A játé jellege miatt (Montessori-torony vagy formabedobós) a feladatot az egyéves gyermee többsége először csa felnőtt segítséggel tudja megoldani. Az anyáat arra értü, hogy mutassá meg gyermeüne, hogyan ell játszani a játéal. A megfigyelési helyzeteet videofelvételre rögzítettü. A felvételeből az anya és a gyerme viseledéséne miroanalitius ódolásával nyertün adatoat. A ódolás alapját épező ategóriarendszer ialaításánál az interació szempontjából fontos viseledéseleme megragadása volt a cél.

5 Az anya-gyerme interació újszerû statisztiai megözelítése táblázat A vizsgálatban alalmazott ategóriá A ategória neve jelentése betűjele A gyerme Játszi saját ötlete alapján tevéenyedi; j Explorál új játéot eres, új tevéenységet ezdeményez; r Együttműödi érdelődéssel, örömmel fogadja el az anya ötletét, javaslatát; e Megfelel szót fogad, öveti az anya ötletét, utasítását lelesedés, pozitív m érzelme nélül. A fiziai ényszerítésne nem áll ellen, megadja magát; Negligál figyelmen ívül hagyja az anya új ötletét, nem azt csinálja, amit az n anya szeretne. Nem engedi magát izöenteni a figyelmi folyamatából; Opponál nem fogadja el az anya ötletét, utasítását. Atívan ellenáll, nyűgös o lesz, sír, szembeszegül. Tiltaozi a fiziai ényszerítés ellen; Passzív nem csinál semmit, bambul. p Egyéb y Az anya Követ öveti a gyerme figyelméne a fóuszát, a gyerme ötletét övetve lép be a játéba, elégedettségét fejezi i, ha a gyerme rossz- edvű, vigasztalja; Gazdagít saját ötletével egészíti i a gyerme játéát, ezáltal érdeesebbé téve g azt anélül, hogy izöentené a gyermeet a tevéenysé- géből; Utasít szóval irányít, felszólít, parancsol a gyerme tevéenységéhez u apcsolódóan; Elterel eltereli a gyerme figyelmét, izöenti a tevéenységéből, saját t ötlete alapján más tevéenység felé irányítja; Fiziailag ényszerít tettleg avatozi bele a gyerme tevéenységébe - aadályozza, f vagy cselevés elvégzésére ényszeríti; Negligál nem a gyermere figyel, de atív, mást csinál; n Passzív az anya nem vonódi be a játéba, legfeljebb nézi a gyermeet, p anélül, hogy érdelődést mutatna (de nem foglalozi mással). Egyéb x A videofelvétele ódolása az időhatáros eseménysorozat (Baeman [010]) eljárással történt. Mind az anya, mind a gyerme esetében rögzítésre erült minden olyan időpont, amior a viseledés megváltozott, azaz új ategóriába volt sorolható,

6 96 Hunyadi László Kalmár Magda Sipos Lilla Tóth Ildió majd a ezdőponto alapján másodpercenénti egységere apta egy-egy ódot. Egy időben egy személyne csa egyetlen ódja lehetett. Mivel a jelen elemzés célja az anyá interaciós viseledéséne feltárása volt, a viseledéspáro (interació) ialaításánál 1 másodperc ésleltetést alalmaztun, azaz az 1 másodperces eseménylistát az anya esetében egy egységgel eltoltu. (Emögött az a feltételezés húzódi meg, hogy az anya nagyjából 1 másodperc alatt reagál gyermee cselevésére.) A megfigyelés megbízhatóságána biztosítása érdeében a felvétele 14 százaléát ét független megfigyelő ódolta (időegység κ = 0,8). 1 A ódolás után az adatoat Excel táblában dolgoztu fel: mindét csoportban (ontrollcsoport/oraszülötte) és mindét szituációban (szabad játé/tanító játé) összesítettü a viseledéspáro előfordulásána gyaoriságát, így négy darab. 8 8 méretű táblázatot aptun. Az itt övetező. táblázatban megadju a feladat fontosabb és jellemző méreteit, illetőleg a 3. táblázatban bemutatun az adatfeldolgozásból egy részletet a ontrollcsoport és szabad játé esetén regisztrált viseledési pároból. A teljes táblaanyagot az érdelődő a szerzőnél megteintheti. A vizsgálat fontosabb méretparaméterei. táblázat Megnevezés Kontrollcsoport Koraszülötte Megfigyelése száma (anya-gyerme pár) 4 30 Feldolgozott eseménye összes száma (másodperc) Ebből: szabad játé tanító játé táblázat Részlet az adatbázisból: gyerme és anya néhány viseledéspárjána gyaorisága a ontrollcsoportban, szabad játé esetén Anya/Gyerme j m o y Összesen f t x Összesen A ódolás megbízhatóságát mérő mutatószámoról az F1. Függelében adun rövid ismertetést.

7 Az anya-gyerme interació újszerû statisztiai megözelítése A irreleváns esete szűrése A statisztiai értéelés első lépése az irreleváns esete elhagyása volt. Nyilvánvaló ugyanis, hogy vizsgált ategóriánént adódna olyan ombináció, amelye egyáltalán nem, vagy csa elhanyagolható számban fordulta elő. Ezeet nevezzü a ésőbbieben irreleváns esetene. Ezeet nyilvánvalóan célszerű törölni az elemzése megezdése előtt, hiszen az összehasonlításo során a is elemszámú cellá zavarjá, sőt esetenént lehetetlenné teszi a nagymintás eljáráso alalmazását. Az irreleváns esete iszűrését első lépésben ategóriánént (Szabad játé ontrollcsoport; Szabad játé oraszülött; Tanító játé ontrollcsoport; Tanító játé oraszülött) végeztü el a övetező módon. Nyilvánvalóan ieste azo a ombináció, amelye előfordulási gyaorisága 0 volt. Ezen túlmenően azonban töröltü azoat a ombinációat is, amelye esetében feltételezhető volt, hogy azo soasági előfordulása nagyon özel áll 0-hoz. Erre a övetező eljárást alalmaztu. Ismeretes, hogy az egyes ódpáro (diádo) előfordulása binomiális eloszlást övet: anna valószínűsége, hogy egy ódpár esetén éppen = 01,,,... előfordulást regisztrálun: ahol n Pr Y P P ( = ) = ( 1 ) P az ismeretlen soasági arány, n az összes megfigyelés száma (itt jellemzően nagy mint láttu ezres, sőt tízezres nagyságrendű). Elhanyagolhatóna teintettü az olyan előfordulásoat, amelye soasági aránya P 0001,, azaz 1 ezrelé. Ez mindenéppen szubjetív feltételezés, de szamailag elfogadhatóna tűni. Alapja az, hogy egyenletes eloszlás esetén egy pár előfordulásána valószínűsége P = 164, aminél legalább egy nagyságrenddel isebb határt szeretnén megszabni. Ez 0,001 és 0,00 özött lenne, amiből az alsó határt választottu. Ha ezt a iinduló pontot elfogadju, aor azt ell csa meghatároznun, hogy a szoásos 95 százaléos megbízhatósági szinten ez legfeljebb meora gyaoriságot jelent, és ahol az adott ódpár gyaorisága ennél isebb, azt 0-hoz özel állóna, elhanyagolhatóna teintjü és elhagyju. Mivel a minta nagy, a normális eloszláson alapuló özelítés bőségesen elegendő pontosságú. Ezért az np várható értéű és az np( 1 P) varianciájú normális eloszlású intervallum felső 5 százaléos határa: F = 0, 001 n + 1, 96 n 0, 001 0, 999.,

8 964 Hunyadi László Kalmár Magda Sipos Lilla Tóth Ildió Konrét eseteben eze a határo a övetező: szabad játé ontrollcsoport: 4,68 szabad játé oraszülött: 0,34 tanító játé ontrollcsoport: 19,75 tanító játé oraszülött: 0,95 Ezt a szabályt azonban nem alalmazhatju mereven, hiszen, ha valamely ódpár valamely csoportból azért erülne i, mert icsi az előfordulása, ám valamely mási csoportban a szerepe lényeges, megtartju. Így első lépésben csa azoat a diádoat töröljü, amelye minden csoportban a fenti orlátonál isebb gyaorisággal fordulna elő. A 64 érvényes párból 1 ilyet találtun. Határesetént megvizsgáltu azoat az eseteet is, amior a négy csoportból három esetében egyértelmű lenne anna elhagyása. Eor azt vizsgáltu, hogy a negyedi csoportban valóban (szignifiánsan) nagy-e az előfordulás. Enne érdeében nagymintás normális eloszláson alapuló tesztet észítettün a gyaoriságo értéelésére: H 0 :P 0001, H 1 :P > 0001,. Az eredményeet az empírius szignifianciaszinttel jellemezve azt aptu, hogy egy eset ivételével P < 001,, azaz a szoásos szinteen a próbá elutasítjá a nullhipotézist, azaz a gyaoriság nem elhanyagolható. Az egyetlen esetben, ahol ez étséges lehet (gyerme passzív, anya utasít, pu) P = 0008,, azaz szigorúbb értéeléssel aár ez is elhanyagolhatóna teinthető. Ez szamai döntés lehet. Ha ezt is elhagyju, aor a 64 párból 13 törölhető..3. Az összehasonlításo eszözei Az elemzés másodi, leglényegesebb része a szerezete összehasonlítása a gyermee aciói szerint: hogyan reagál ezere az anya a ülönböző szituációban. A vizsgálat során elsődlegesen a ontrollcsoporto és a oraszülötte csoportjában tapasztalt reació eltéréseit elemeztü. A felhasznált statisztiai módszere három csoportját ülönböztethetjü meg, eze a strutúra-összehasonlítás χ -alapú tesztjei; a strutúra-összehasonlítás teszteet iegészítő mutatói; az egyes strutúráon belül a páronénti összehasonlítás próbái.

9 Az anya-gyerme interació újszerû statisztiai megözelítése 965 A χ -alapú teszte Eze a számításo az egész vizsgálat legfontosabb elemei lehetnéne hiszen a strutúrá összehasonlítása a lényeg. Közelebbről, ez a feladat annyit tesz, hogy a gyermee viseledése szerint csoportosítottu szituációnént és csoportonént a mintáinat, és azt vizsgáltu meg, hogy egy-egy gyermei tevéenység esetén az anya ülönböző reacióina gyaorisága ülönbözi-e a ontrollcsoportban, illetve a oraszülötte csoportjában. Statisztiailag ez egy lasszius homogenitásvizsgálati feladat, amely cellánént elegendő nagyságú minta esetén χ -próbával tesztelhető. A javasolt próbafüggvény (például Hunyadi Vita [008]) χ 1 n n = nn + Yi Xi Y X i 1 nx n = i Y n i Y nx ~ χ ( 1 ). A pszichológiai statisztiai szairodalomban (Hajtmann [1971], Vargha [007]) ugyanerre a feladatra, némi átfogalmazással, a függetlenségvizsgálat χ -próbáját javasoljá. Mivel nem özismert, az F. Függelében részletesen bebizonyítju, hogy a étféle megözelítés evivalens. A strutúrá összehasonlításána leíró mutatói Az említett teszt mellett érdemlegesne tartju anna eredményeit az összehasonlítás leíró mutatóival is árnyalni. Eze iváltépp aor és azért alalmasa iegészítő összehasonlításra, amior a χ -teszte eredményei nem igazán segítene a prob- léma felderítésében (mint látni fogju, esetünben ez a helyzet). A leíró mutató (egy részü az SPSS-ben is számítható) első csoportjába a orrelációs mutató tartozna. Három leggyarabban alalmazott mutató a özismert Pearson-féle orrelációs együttható, amely valójában a lineáris apcsolato szorosságát mutatja, de ellő fenntartással ilyen eseteben is használható iegészítés gyanánt. Ennél a feladatnál használhatju a rangorreláció-együtthatóat is: a strutúráat úgy alaítju át rangszámoá, hogy a leggyaoribb anyai reaciót látju el 1-es ranggal, a másodi leggyaoribbhoz -t rendelün, és így tovább. A rango jellemezte strutúrá összehasonlítására a Spearman-, illetve a Kendall-féle rangorrelációs együtthatóat használtu, melye számítási módja rendre: Spearman: 6 ρ = 1 n n di i= 1 ( 1),

10 966 Hunyadi László Kalmár Magda Sipos Lilla Tóth Ildió ahol d i az i-edi pár rangszámaina ülönbsége. Kendall: τ = nc n 1 n n d ( 1), ahol n c az egybehangzó (concordant), n pedig az ellenmozgó (discordant) páro száma. d A orrelációs mutató jellemző módon úgy viseledne, hogy nagy (1-hez özel álló) értéei mutatjá a ét strutúra hasonlóságát, is értéei ( 1 örül) pedig azo lényeges eltérését. Eze a mutató bizonyos feltétele fennállása esetén tesztelhető, azonban egyrészt a feltétele elég szigorúa, másrészt a teszte nullhipotézise általában az, hogy a ét vizsgált objetum özt nincs apcsolat (azaz a orreláció 0). Számunra azonban nem ez a lényegi érdés, hanem az, hogy a apcsolat özel áll-e a töéletes hasonlósághoz, azaz a orrelációs együttható értée elegendően özel áll-e az 1-hez. Erre eddig érvényes tesztet sem találni, sem észíteni nem tudtun. Ezért, valamint azért, mert alalmazásu mindenéppen erőltetett lenne, ezeet a orrelációs mutatóat csa leíró módon, tájéozódás céljára használtu. A leíró mutató másodi csoportját a távolságmutató alotjá. Eze a ét összehasonlítandó strutúrát a megfelelő dimenziójú tér ét pontjána teinti, és eze távolságát méri. A több lehetséges távolság özül itt az eulideszi és a city-bloc (Manhattan) távolságoat teintettü, melye számítása rendre: ahol EU = i i i= 1 D p q, Eulideszi távolság: ( ) p i és q i a ét strutúra elemei, illetve Manhattan-távolság: D = p q, M i i i= 1 ahol p i és q i a ét strutúra elemei és i i i= 1 i= 1 p = q = 1.

11 Az anya-gyerme interació újszerû statisztiai megözelítése 967 A távolságmutató ülönbözőségi mutató, azaz is (0-hoz özel álló) értéei jelentene hasonlóságot a vizsgált strutúrá özt. Eze a mutató tesztelésre általában nem, illetőleg csa meglehetősen speciális feltétele mellett alalmasa. Valójában nem távolságmutató, mégis azoal együtt említjü a ét strutúrát leíró vetoro hajlásszögét. Ezt a mutatót leíró jelleggel gyaran alalmazzá szerezeti összehasonlításora (lásd például Frigyes [000]), tesztelésre azonban nem alalmas. Maga a mutató a övetező alaú: cosϕ= T p q p q, ahol p és q a ét strutúra vetorai, a nevezőben pedig azo normái szerepelne. Megjegyzendő, hogy a hajlásszög oszinusza nem más, mint a ét vetor (változó) nem centrális orrelációs együtthatója. Maga a ϕ szög a ét strutúra hasonlósága esetén 0 fo örüli, míg független strutúrá esetén 90 fo örül szóródi. A hasonló mutató özött még szóba jöhet a Theil-féle információelméleti mutató özül az I-divergencia, de azzal ezúttal nem számoltun. A strutúrá összehasonlítása elemenént Miután részben χ -próbával, részben leíró mutatóal jellemeztü az összehasonlítandó strutúrá hasonlóságát, illetve ülönbözőségét, további érdés, hogy a strutúrá mely elemei ülönbözne és melye oozzá leginább a teljes strutúra eltéréseit. Erre a célra binomiális eloszláson alapuló nagymintás Z-próbáat használtun. Eze próbafüggvénye py px p p p p + n n ( 1 ) ( 1 ) X X Y Y X alaú, ahol p X és p Y az összehasonlítandó százaléos arányszámo, n X és n Y pedig a mögöttü álló minta nagyságát jelöli. Eze a hányadoso elég nagy mintá esetén jól özelíthető standard normális eloszlással, így ezere nagymintás Z-próbáat végeztün. (A nullhipotézis ezúttal is az, hogy a ét arányszám megegyezi.) Y

12 968 Hunyadi László Kalmár Magda Sipos Lilla Tóth Ildió Megjegyezzü, hogy ez a próba evivalens a feladatra felírható méretű ontingenciatáblában végzett függetlenségvizsgálattal. Ez utóbbi ugyanis ugyanarra a feladatra egy 1 szabadságfoú χ -tesztet javasol, amelyne próbafüggvénye éppen a orábban definiált Z-változó négyzete. Ezzel a próbával a nullhipotézis tagadása (is p-érté) azt mutatja, hogy a szóban forgó arányszámo szignifiáns mértében eltérne egymástól, így ez a reláció oozhatja a strutúrá eltérését..4. Az összehasonlításo módszertani értéelése A számításo néhány tapasztalata, érdeessége, a megoldandó ellentmondáso a övetező volta: 1. A χ -próbá szinte mindenütt erősen tagadtá az azonos strutúrá nullhipotézisét. Az esete nagy részében a p-érté 0,01, de jellemző módon 0,0001 alatt volt. Enne valós és módszertani oai egyaránt lehetne. A valós o természetesen az, hogy a strutúrá erősen ülönbözne egymástól. Emellett, mint ismeretes, a hagyományos szignifiancia teszte igen nagy mintá esetén erősen torzítana a nullhipotézis elvetése felé, azaz már egészen is eltéréseet is szignifánsna jelezne. Mivel ez esetben tízezres (igen nagy) mintáin vanna, és a leíró jellegű mutató nem jelezne nagy struturális eltérést, alighanem ez az alacsony szignifiancia fő oa.. A többi szerezeti eltérésmutató (orreláció, rangorreláció, távolságo, szög) ugyanis elég nagy hasonlóságra utal. Az előző pontban említetteel összhangban mondhatju, hogy eze nem öveteztető szemléletűe, ezért eze nem mutatjá az említett nagymintás torzítást. A orreláció egyébént se jó mutató (lineáris), a rangorreláció alalmazása pedig issé erőltetett: a nagyobb gyaoriságú előforduláso állna előbb a rangsorban, ami csa áttételesen értelmezhető valódi rangsorna. A távolságo és a bezárt szög azonban alalmasna mutatozna ilyen értéelésre, és eze is azt mutatjá, hogy a strutúrá eltérése érzéelhető ugyan, ám orántsem annyira maráns, mint ahogy azt a homogenitásvizsgálat tesztje mutatja. 3. Ellentmondásna látszi az is, hogy míg a strutúrá a χ -teszt alapján nagyon eltérne, aad olyan eset is, ahol az eleme szintjén sehol sincs érdemleges (szignifiáns) eltérés. Ez magyarázható éppen úgy is, hogy az eltérése nem nagyo, de halmozódna, és ez az összesítésben már iugri, de az is lehet, hogy itt is egyszerűen a mintanagyság játéáról van szó. 4. Összegezve, az értéelésor ezeet együtt ell teinteni; nem szabad túl nagy szerepet tulajdonítani a nagyon is p-értéene ( χ ), valamelyest (összehasonlításban) lehet támaszodni a szögere és a rangorrelációra, és főleg a részletes étmintás Z-próbára.

13 Az anya-gyerme interació újszerû statisztiai megözelítése 969 Az elmondotta alátámasztására a 4. és 5. táblázato eredményei alapján megíséreljü a fenti módszertani öveteztetéseet interpretálni. 4. táblázat A gyerme játszi az anya reaciói strutúrájána eltérése a ontrollcsoport és a oraszülötte özt Szituáció χ p Pearson- Spearman- Kendall- Eulideszi Manhattan- -féle orreláció távolságo ϕ (fo) Szabad játé 783,3 0,0 0,9579 0,8571 0,7143 0,1761 0,379 14, Tanító játé 906,8 0,0 0,9688 0,814 0,7143 0,164 0,333 1,8 5. táblázat A gyerme játszi az anya ülönféle reacióina eltérése a ontrollcsoport és a oraszülötte özt (étmintás Z-próbá eredményei) Szituáció Próba mutatója A ategória f t n g p u Szabad játé Tanító játé Z = 4,7147 0,4318 1,8483 1,9476 6,9385 4,418 1,0645 p = 0,0000,6659 0,138 0,0503 0,0000 0,0000 0,87 Z = 5,869 0,50 0,775,7918 6,3749 5,6995 0,34 p = 0,0000 0,8011 0,4669 0,005 0,0000 0,0000 0,4669 Megjegyzés. A betű jelentését lásd az 1. táblázatnál. A 4. táblázat az összesített eredményt mutatja azoban az eseteben, amior a gyerme játszi. Példaént teintve a táblázat első sorát (szabad játé), az első ét oszlop azt mutatja, hogy a oraszülött gyermee és a ontrollcsoportba tartozó esetében az anyai válaszo lényegesen eltérne (magas χ -érté, és nagyon icsi p- érté), azaz a ét csoport özt szignifiáns a ülönbség. Ugyanaor a mindhárom orrelációs mutató arra utal, hogy elég nagy öztü a hasonlóság. A távolságo önmaguban nem, csupán összehasonlításban értelmezhető, ám a viszonylag is szög (14, fo) is arra utal, hogy a ét reacióstrutúra nem áll messze egymástól. Az ellentmondás oa az lehet, hogy a túl nagy minta indoolatlanul megnöveli a teszt esetében az eltérése jelentőségét, míg ez az effetus a leíró jellegű mutatónál nem jelentezi. Ezeet az eredményeet árnyalja az 5. táblázat szerint szabad játé esetén például három olyan anyai reaciót mutat meg (,g,p), ahol (5 százaléos szinten) szignifiáns az eltérés a ét csoport özt ( p < 0, 05 ), míg a többi reació esetén lé-

14 970 Hunyadi László Kalmár Magda Sipos Lilla Tóth Ildió nyeges eltérés nem tapintható i a oraszülötte és a ontrollcsoport özött. Úgy tűni, ez utóbbi eredmény összhangban van az előzőel, és oldja a orábban bemutatott ellentmondást. Hasonló módon elemezhető a többi szituációhoz, illetve a gyermee egyéb viseledéseihez tartozó anyai reació. Eze néhány fontosabb eredményét a övetező fejezetben mutatju be. 3. Eredménye A χ -próbá és a orreláció ellentmondóna látszó eredményei pszichológiai szempontból tanulságosa. A szignifiáns (és az esete többségében magas) orreláció és a icsi távolságo arra utalna, hogy vanna tipius anyai reació, amelye a gyerme adott viseledésére válaszént nagy valószínűséggel jelenne meg a gyerme születési státusától (riziómentes, időre született oraszülött) és a helyzettől (szabad játé tanító játé) függetlenül. Amior a gyerme játszi, új ötletet próbál i, vagy jóedvűen együttműödi, az anya a legtöbbször ehhez csatlaozi, öveti (j, r, e). Ha a gyerme figyelmen ívül hagyja (negligálja) az anya javaslatát vagy utasítását, az anya a legtöbbször továbbra is megpróbálja eresztülvinni a saját aaratát (elterel vagy utasít nt, nu), és többnyire aor is folytatja a beavatozást, ha a gyerme enged (mt). De ha az összes előforduló anyai viseledést teintjü, nem csa a leggyaoribbaat, az előfordulási mintázatoban jelentős ülönbségeet is találun, ez türöződi a szignifiáns χ -értéeben. Az eltérése hátterét illetően a étmintás Z-próbá eredményei adna támpontoat. Az időre született gyermee anyái soal többször gazdagítjá a gyerme tevéenységét; a Z-próba több gyermeód esetében is szignifiáns (jg, eg, mg, rg tanító, pg szabad). A oraszülötte anyái soal hajlamosabba passzívan szemlélni vagy negligálni a játszó gyermeet, azaz valami mással foglalatosodni (jp, jn; szabad játéban rn, rp is). A gyerme étféle viseledése esetén ülönösen érdeesen alaulna az anyai reació a csoport, illetőleg a helyzet függvényében. Az egyi az, amior a gyerme ellenezi (opponál). Az anyai reació mintázata szabad játénál nagyon hasonló a ét csoportban, a oraszülöttenél ezen a helyzet sem változtat (magas orreláció, icsi távolságo): az anyá leginább eltéríteni igyeezne a gyermeet fiziai ényszerítéssel (of) vagy szelídebb eszözöel (ot). A tanító játénál a ét csoport, a ontrollcsoporton belül pedig a étféle helyzet összehasonlítása alacsonyabb orrelációs együtthatót, nagyobb távolságot és eltérésszöget eredményezett. A Z-próba szignifiáns eredménye szerint ez főént abból adódhat, hogy a tanító helyzetben az időre született gyermee anyái legtöbbször engedne a gyermene (o). Csoporttól és helyzettől függetlenül a gyerme ellenezését az anyá nem negligáljá, és nem

15 Az anya-gyerme interació újszerû statisztiai megözelítése 971 szemléli passzívan. Emiatt az on és az op ombináció az elemzésben nem szerepelte (lásd az irreleváns esete szűrése című.. alfejezet). A mási érdees eset az, amior a gyerme passzív, bambul. Itt a orreláció alacsonyabba mind a ét csoport szabad játéban talált mintázatai özt, mind a oraszülöttcsoport ét helyzete özt. A tipius anyai reagálás a gazdagítás a gyerme előző tevéenységéből iindulva (pg), ivéve a oraszülötte anyáit, ai a szabad játéban inább saját ötletet vetne be a gyerme ativizálása érdeében (pt). A gyerme passzivitása esetében az egyetlen anyai viseledés, amelynél a Z-próba a ét csoport özt ülönbséget jelez, a gazdagítás, és ennél is csa a szabad játéban. Első ránézésre meglepő eredményne tűnhet, hogy a oraszülötte anyái aor is gyarabban mutatna elterelő viseledést, sőt fiziai ényszerítést is alalmazna, amior a gyermee az anyju előzőleg adott ötletét vagy utasítását elfogadva már együttműödne (a Z-próba szignifiáns az et és az e esetében). Erre mindét csoportban a szabad játé helyzetben hajlamosabba az anyá; tanító játénál ilyenor már többnyire gazdagítjá a tevéenységet, vagy öveti a gyerme ötletét (az eg és az e ombinációnál a étféle helyzetet összehasonlító a Z-próba eredménye szignifiáns). Eze után végig ell gondolnun, milyen választ sugallna eze az eredménye arra a érdésünre, hogy mennyiben számít az anya interaciós viseledése szempontjából a gyerme oraszülöttsége, továbbá, hogy milyen helyzetben történt az interació megfigyelése. Az eredménye alapján nem adható egyszerű, sematius válasz, és éppen ez emeli i az újszerű elemzési megözelítés jelentőségét. Egyfelől iderült, hogy az egyéves gyermeel folytatott játéban az anyá viseledéséne van egy sor tipius sajátossága, ami nem függ attól, hogy a gyerme szabadon játszi, vagy az anya egy bizonyos játé használatára próbálja tanítani. Számunra talán még fontosabb, hogy az sem befolyásolja lényegesen, ha a gyerme oraszülött. A gyerme viseledése anyai válaszo ombinációina gyaorisági mintázataira számított rangorrelációs együttható magasa (ez alól csa az az eset ivétel, amior a gyerme ellenezi, amint erről már orábban szó volt). Az alapvető hasonlóság igaz az anya szempontjából önnyű helyzetere (a gyerme játszi, új ötletet próbál i, tárggyal ismeredi, észségesen együttműödi), de igaz arra is, ha a gyerme éppen nem veszi figyelembe az anya javaslatát vagy utasítását. Ugyanaor egy olyan anyai viseledés terén, amely a gyerme fejlődése szempontjából ifejezetten edvezőne teinthető (a gazdagítás), egyértelmű a riziómentesen született gyermee előnye. A oraszülötte esetében a gondozás, nevelés nehezített indulása vezethet ahhoz, hogy az anyá evésbé résztvevő az interaciós helyzetben (soal többször fordul elő, hogy passzíva vagy mással foglalatosodna) amit más utató, öztü Goldberg, Lojase, Gartner és Corter [001], valamint Zelowitz és Papageorgiou [1996] is tapasztalta. Ugyancsa orábbi utatáso eredményeivel összhangban

16 97 Hunyadi László Kalmár Magda Sipos Lilla Tóth Ildió (Fiese, Poehlmann, Irwin, Gordon, Curry-Bleggi [001]) ebben a csoportban gyaoribba az olyan anyai reació, amelye az interacióban feszültséghez vezetne, vagy a ialault onflitust (amior a gyerme ellenezi) tovább élezi. Az interaciós mintázato alapvető hasonlóságaina megállapítása mellett eze figyelmeztető jele, amelyeet támpontént lehet használni a segítségnyújtáshoz olyan eseteben, amior az anya-gyerme apcsolat atipius feltétele özött ezdődi. 4. Összefoglalás Tanulmányunban az anya-gyerme interaciót utató pszichológiai vizsgálatról, anna is elsősorban statisztiai-módszertani vonatozásairól számoltun be. Az interaciós helyzet elemzésre ínálozó összefüggései özül a gyerme viseledéséne függvényében megjelenő anyai viseledést választottu i. A utatásban az anyá és egyéves gyermeei együttes játéát videóra rögzítettü, majd jellegzetes viseledésformáat definiálva, másodpercre bontva a vizsgált időszaot leszámoltu, hogy milyen gyaorisággal övetezne be a ontrollcsoportban, illetve a oraszülött gyermee esetében, ét ülönböző szituációban az egyes előre definiált interació. Így nagy, több tízezer elemből (elemi viseledési eseményeből) álló mintáat aptun. A mintáat először szűrtü, azaz eltávolítottu az elő nem forduló, illetve a ritán előforduló eseményeet. Ezt övetően a ét csoport mintázatát hasonlítottu össze globálisan a χ -alapú homogenitásteszttel, valamint leíró szemléletű orrelációs, illetve távolságmutatóal. A részletes, az eltérése szerezetére és oaira is utaló vizsgálato eszöze az arányo összehasonlítására alalmas étmintás binomiális próba nagymintás Z- özelítése volt. Az eredménye részletes bemutatása nem enne a tanulmányna a tárgya azt pszichológiai szafolyóiratban szándéozun publiálni. Ezért itt csa előzetesen mutattun be belőlü néhányat. Munán legfontosabb tanulsága számunra az, hogy az egyéves gyermeel folytatott játéban az anyá viseledéséne van egy sor tipius sajátossága, amelyet nem befolyásol az, hogy a gyerme oraszülött. Emellett azonban figyelemre méltó néhány eltérés is, ami arra utal, hogy az anyá és a oraszülött gyermee özt zajló interació evésbé harmonius. A oraszülötte anyáinál többször fordul elő, hogy nem vonódna be a gyerme játéába, hajlamosabba passzívan szemlélni a gyermeet, vagy valami mással foglalatosodni; ezzel szemben az időre született gyermee anyái soal inább gazdagítjá a gyerme tevéenységét. A oraszülötte esetében gyaoribba a feszültséghez vezető vagy feszültséget fenntartó anyai reació is. A helyzettől, vagyis attól, hogy a gyerme

17 Az anya-gyerme interació újszerû statisztiai megözelítése 973 szabadon játszi, vagy az anya egy adott játé használatára tanítani próbálja, az anyá viseledése evéssé függ. Tisztában vagyun azzal, hogy az anyá interaciós viseledésében talált eltérése magyarázatát illetően óvatosna ell lennün; a viseledést számos egyéb tényező is befolyásolhatta, amelyere a jelen vizsgálat nem terjedt i. A szairodalom tanúsága szerint a utató érdelődése és ennél fogva az elemzési mód többnyire az egyes háttértényezőel összefüggésbe hozható ülönbségere irányul. Ezért tulajdonítun jelentőséget anna, hogy az itt bemutatott elemzési megözelítés alalmas arra is, hogy feltárja az anyá egyéves gyermeeiel zajló interaciói folyamán mutatott viseledéséne tipius jellegzetességeit. A tanulmány Függeléében, egyebe özt, megmutatju, hogy a homogenitásvizsgálatra alalmazott és a függetlenségvizsgálatra épülő próba, valamint a homogenitásvizsgálat ismert χ -próbája azonos. Ez az eredmény didatiai szempontból tarthat számot érdelődésre, hiszen a mutat rá. χ -próbacsalád evéssé ismert összefüggéseire Függelé F1. A ódolás megbízhatóságát jellemző mutatószámoról Az empírius utatásoban, amior ét bíráló objetumoat értéel, a bíráló véleménye azonosságána, illetve ülönbözőségéne mérésére ülönféle mutatószámoat fejlesztette i. Mivel a társadalom- és gazdaságstatisztiai, illetőleg öonometriai elemzéseben szinte ismeretlene eze a mutató, röviden bemutatju őet. Ezene a mutatószámona a özös iinduló eleme a széles örben használt Cohen-appa ( κ ). A mutató definiciója: Pr a κ = ( ) Pr ( e), 1 Pr ( e) ahol Pr ( a ) az egyező véleménye tényleges valószínűsége (relatív gyaorisága), Pr ( e ) pedig az egyező véleménye beövetezéséne elméleti valószínűsége, feltéve az ismert peremvalószínűségeet és a véleménye függetlenségét. A mutató a véleménye teljes egybeesése esetén maximumát, az 1 értéet veszi fel, ha az egybeesés csa annyi, amennyi véletlenül is beövetezne, a mutató értée 0, ellentétes véleménye esetén jellemzően κ < 0 is adódhat. κ nagyobb értéei a bíráló jobb összhangját jeleni.

18 974 Hunyadi László Kalmár Magda Sipos Lilla Tóth Ildió A mutató csa ét bíráló esetén érvényes, de ülönféle iterjesztései több bíráló esetére is használható. Tesztelése nem jellemző, mert eloszlására még szimulációs eredménye sem igen állna rendelezésre. Ezért csa hüvelyujjszabályo létezne megítélésére. Egy ilyen szerint, ha értée 0,4 alatt van, aor a véleménye egyezése gyenge, 0,4 és 0,75 özött özepes, míg 0,75 feletti értéei iváló egyezésre utalna. Vizsgálatun során a ódolás munafázisában volt szüségün ilyen, a független értéelése (ódoláso) egyezését jellemző mutatószámra, hiszen ezzel tudtu ellenőrizni a ódolás minőségét. A Cohen-appa eredeti változata feltételezi, hogy a ódolt eseménye diszréte és egymástól jól elülöníthető. Mivel azonban időben lejátszódó eseményeet ódoltun, figyelemmel ellett lennün arra, hogy ezeet az eseményeet a ét ódoló némi időbeli elcsúszással észleli, illetve rögzíti. Ezért az eredeti appa helyett anna másodperc toleranciaintervallummal számított időegység-appa (time unit κ ) változatát használtu (Baeman [010]). Ez a mutató a megadott intervallumon belüli időbeli eltéréseet isímítja, és ezt övetően alalmazza rá az eredeti Cohenappa számítását. A számításoat a GSEQ-programmal végeztü. Mivel viszonylag tág toleranciaintervallumot adtun meg, az egybeesése száma és aránya megnő, azonban a apott 0,8 érté még ebben az esetben is igen jó egyezésre utal, azaz a ódolás aligha tartalmaz számottevő hibát. F. A étféle χ -próba azonossága A homogenitásvizsgálat valójában arra szolgál, hogy ét független minta alapján megállapítsa, a ét minta származhat-e azonos eloszlású soaságból. A feladatra a társadalmi-gazdasági elemzése során egy speciális, e célra ialaított χ -próbát használna. Ugyanaor a pszichológiai sza- irodalomban mértéadó önyve (Hajtman [1971] és Vargha [007]) a ét független mintás homogenitásvizsgálatot visszavezetté függetlenségvizsgálatra, a övetező logia mentén. Rendezzü el a ét összevetendő, egyenént -elemű mintát egy -méretű ontingenciatáblázatba. A ontingenciatáblában szereplő ét ismérv egyie legyen a mintában vizsgált ismérv, a mási pedig a rendező ismérv azaz, amelyi szétválasztja a ét mintát. (Legegyszerűbb esetben ezt 0,1-es dummy változóval lehet megragadni.) Ha a ét ismérv a rendező és a vizsgált ismérve függetlene, aor ebből az övetezi, hogy a ét minta is független lesz a rendezéstől, így származhatna azonos eloszlásból. Ezért a szerző arra a öveteztetésre jutna, hogy a homogenitásvizsgálatot egy tiszta illeszedésvizsgálattal lehet (és ell) elvégezni, ha a χ -próba elvégzéséne feltét- elei (azonos ategóriá, cellánént és összességében elegendően nagy mintá) fenn állna. Bár a ét módszer látszólag elég messze áll egymástól, némiépp meglepő, hogy valójában egymással evivalense. A ét módszer azonosságána belátására a Budapesti Corvinus Egyetem statisztiaotatásában használt Bologna-tanönyv (Hunyadi Vita [008]) jelöléseit használju. Eze szerint a tiszta illeszedésvizsgálat esetében egy r c méretű ontingenciatáblába rendezzü a mintában megfigyelt gyaoriságoat, és azoat nij -vel jelöljü, ahol i = 1,,...r és j = 1,,...,c. Eor az ajánlott próbafüggvény: r c n ij χ = n 1, /1/ i= 1 j= 1nn i..j

19 Az anya-gyerme interació újszerû statisztiai megözelítése 975 ami a nullhipotézis (függetlenség) alatt nagy minta esetén ν ( r 1)( c 1) = szabadságfoú χ - eloszlást övet. (Hunyadi Vita [008] 15. old.) Ugyanaor a homogenitás vizsgálatára az e területen (is) használatos tanönyve (például Préopa [196]) a övetező nagymintás próbát ajánljá. Teintsün ét soaságot, és azoból egy-egy mintát. Az alalmazott ategóriá száma legyen, az első mintában előforduló gyaoriságoat jelöljü rendre n Y,n 1 Y,,n Y módon, az összes gyaoriságot pedig ny -nal. Hasonlóan a mási minta gyaoriságait n X,n 1 X,,n X -val, eze öszszegét pedig nx -szel jelöljü. Ilyen jelöléseel a javasolt próbafüggvény: Yi Xi χ = nn Y X i 1 ny n = i X n i Y nx 1 n n +, // ami nagy mintá esetén jó özelítéssel ν = 1 szabadságfoú χ -eloszlást övet. Ha a ét, látszólag nagyon ülönböző /1/ és // formula azonosságát belátju igazolju az említett gondolatmenetet, ugyanaor szép példát találun arra, hogy jóllehet ét ülönböző szaterület ugyanazt a problémát eltérő gondolodással özelíti meg, az alalmazott eszözöön eresztül találozhatna. A ét formula azonosságána belátásához úgy ell átalaítani a jelölésrendszert, hogy az azonos fogalma ölcsönös megfeleltetése biztosítva legyen. Ezért a homogenitás vizsgálatára vezessü be övetező jelöléseet: Kategóriá 1. minta. minta 1. n 11 n 1 n. 1. n 1 n n. n n 1 n. n 1. n. n A ét jelölés özti megfeleltetés jól látható a övetező táblázatból: Kategóriá Y-minta X-minta 1. Y 1. Y n n X n 1. 1 n n X n. n n Y X n 1. n. n n

20 976 Hunyadi László Kalmár Magda Sipos Lilla Tóth Ildió Kiindulásul onretizálju az /1/ formulát a táblázatoban bemutatott esetre: n ij n ij χ = n 1 = n 1 nn nn, i= 1 j= 1 i..j j= 1i= 1 i..j az összegzés sorrendjéne megfordításával. Fejtsü i most a jobb oldali formulát úgy, hogy a belső összegzést részletezzü, a ülsőt csa jelezzü! n11 n 1 χ = n + + ( ) + + ( ) 1 nn nn.. 1 A /3/ A szögletes zárójelben (a j szerinti összegzés miatt) számú olyan szerezetű tag van, mint A, ezért egyelőre elegendő A-t alaítgatni. Közös nevezőre hozás, bővítés, valamint az n. 1 = n11+ n1összefüggés alalmazása után: A n1n1. n n nnn nn = = ( 1.. ) n11 + n1 ( nn ) ( ) 1.. nn 1.. B B n n n n n n n n = C. n1. + n. A továbbiaban alaítsu át C-t úgy, hogy bővítjü = 1-gyel! n 1 n11n. + n1n1. + n11n1. n. + n1n1. n. ( 1.. ) C = /4/ n nn Nevezzü el a számlálót SZ-ne, és bővítsü ± n11n1n1. n. -tal! Eor azt apju, hogy ( ) ( ) SZ = n n n n n n + n n + n n n + n + n. Térjün vissza most a /4/-re, ahol SZ1 SZ 1 SZ1 SZ C = + n nn nn ( ) ( ) SZ1 n11n. n1n 1. n11 n 1 és ahol = = ( ) 1.. nn nn n n, nn 1.. n11 n1 n. 1 SZ ( + ) továbbá ( ) nn ( nn ) = =. nn