Bevezetés az elméleti zikába
|
|
- Ágnes Orbánné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Elméleti hidrodinamika Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011
2 TARTALOMJEGYZÉK 1. Hidrodinamika Tömeg mérleg. A kontinuitás törvénye Impulzus mérleg. A uidumok mozgásegyenlete Energia mérleg. Energiamegmaradás törvénye Hidrodinamikai egyenletek Hidrodinamika: részletesebb tárgyalásmód (Landau alapján) A kontinuitási egyenlet Az Euler-egyenlet Hidrosztatika A Bernoulli-egyenlet Az energiaáram Az impulzusáram A cirkuláció megmaradása Súrlódó folyadékok mozgásegyenletei Energiadisszipáció összenyomhatatlan folyadékban Áramlás csövekben A hang Hanghullámok
3 6 TARTALOMJEGYZÉK
4 1. FEJEZET Hidrodinamika A hidrodinamika a uidumok mechanikája. Feltételezzük, hogy nem lép fel (reverzibilis) nyírófeszültség a közegben. Ennek következményeként közeli pontok egymástól távol kerülhetnek és mint ilyen a közeg nem tekinthet rugalmasnak. A rendszer dinamikáját a mérlegegyenleteken keresztül közelítjük meg Tömeg mérleg. A kontinuitás törvénye m ρ, j rev = 0, eltekintve a részecske diúziótól j irrev = 0 ρ + (vϕ) = 0 (1.1) ρ + ρ v + v ρ = 0 (1.) Szubsztanciális derivált: dρ = ρ v. dt (1.3) Összenyomhatatlan uidum esetén dρ dt = 0 1 v = Impulzus mérleg. A uidumok mozgásegyenlete p π impulzus s r ség, π i impulzus árams r ség Π ij 1 A fentiek megfogalmazhatóak a deformációtenzor segítségével is: π i + i(v i π i + Π ij ) = 0) (1.4) ρ ρ = V V = u kk = u, ahol úgy a u = v t deformáció mint a ρ = dρ/dt t s r ség változás ugyanazon t id alatt jön létre. Elosztva az egyenletet t-vel, megkapjuk a 1.3 egyenletet. 7
5 8 FEJEZET 1. HIDRODINAMIKA F Di = P D = d [ dt σ ij ds j = ] πdv = σij x j dv = Π ij = σ ij + σ ij Izotróp uidumban nincs nyírás és: σ ij = pδ ij π i + j(v j π i σ ij ) = 0 (1.5) π + j (v j π i ) = i p (1.6) Ideális folyadék mozgásegynlete (Euler egyenlet): π = ρv (1.7) ρv + j(v j v i ρ) = i p (1.8) v + (v )v = p ρ (1.9) ρ v i + ρ v i + v i( j v j ρ) + v j ρ j v i = i p (1.10) ρ v i + v i ( j v j ρ) = 0 = ρ v + ρ(v )v = p (1.11) Energia mérleg. Energiamegmaradás törvénye Ezek s r ségei: e = π ρ + ɛ energias r ség Energiaárams r ség adiabatikus állapotváltozás (nincs h tágulás) Teljesítmény: W = F v, de dt = dl dt = W ; 1 V e + j e = 0 (1.1) j i e = v i e σ ij v j (1.13) dr = σ ij du ij (1.14) de dt = d dt ( ) E = F V V v = f v f i = σ ij x j (1.15) e + i(ev i + pv i ) = 0 (1.16) ( ) [( ) ] ρv ρv + ɛ + i + ω v i = 0 (1.17)
6 Hidrodinamikai egyenletek Tömegmegmaradás: Impulzusmegmaradás (Euler-egyenlet): ρ + (ρv) = 0 (1.18) v + (v )v = p ρ (1.19) Energiamegmaradás: ρ, v, p, ɛ 6 ismeretlen ( ) ρv + ɛ [( ) ] ρv + + ɛ v = (pv) (1.0) pv = νrt ν = m mu (1.1) ɛ = ɛ(p, ρ) (1.) Például ideális gázak esetén: ɛ = i p, ahol i a szabadsági fokok száma. E = ν i RT = i pv Hidrodinamika = megmaradási törvények + lokális egyensúly Lokális egyensúly megbomlását az intenzív mennyiségek er s térbeli és id beli változása okozza. A lokális egyensúly csökkenésével plusz irreverzibils áramok jelennek meg (transzport jelenségek) és az állapotegyenlet is egyre kevésbé lesz érvényes. Navier-Stokes egyenlet (viszkózus hidrodinamika): Π ij - impulzus árams r ség σ ij - feszültség tenzor (reverzibilis) Π ij = σ ij + σ ij (1.3) σ ij - viszkozitási tenzor (irreverzibils) σ ij v i x j σ ij = γ ijkl v i x j Hooke törvény levezetése alapján: σ ij = a v ( k vi δ ij + b + v ) j x j x i (1.4)
7 10 FEJEZET 1. HIDRODINAMIKA
8 . FEJEZET Hidrodinamika: részletesebb tárgyalásmód (Landau alapján) A hidrodinamika a folyadékok mechanikája..1. A kontinuitási egyenlet A folyadék mechanika tárgya a folyadékok és gázok mozgásának vizsgálata. A tanulmányozott jelenségek makroszkopikus jelleg ek, a folyadékot folytonos közegnek tekintjük.ez azt jelenti, hogy minden kis térfogatelem még elegend en sok molekulát tartalmaz.ha a folyadék egy részecskéjének elmozdulásáról beszélünk, nem egy különálló molekula mozgására gondolunk, hanem nagyszámú molekulát tartalmazó térfogatelem helyváltoztatására, amihez a folyadékmechanikában egy molekula mozgását társítjuk. Mozgó folyadék állapota matematikailag a folyadék sebességeloszlását leíró v(x, y, z, t) függvény és két tetsz leges termodinamikai mennyiségmondjuk a p(x, y, z, t) nyomás és a ρ(x, y, z, t) s r ségsegítségével adható meg.tudjuk, hogy két tetsz leges termodinamikai mennyiség ismeretében az összes többi meghatározható az anyag állapotegyenlete alapján, tehát öt mennyiség ( a v sebesség három komponense, a p(x, y, z, t) nyomás és a ρ(x, y, z, t) s r ség) megoldása a mozgó folyadék állapotát egyértelm en meghatározza. Mindezek a mennyiségek általában az x, y, z koordináták és a t id függvényei. Hangsúlyozzuk, hogy a v(x, y, z, t) a folyadék áramlásának sebessége a tér valamennyi (x, y, z) pontjában adott t id pillanatban vagyis nem az id múlásával helyet változtató folyadékrészecskére, hanem a tér egyes pontjaira vonatkozik. ugyanez igaz a p és ρ mennyiségekre is. Tekintsünk egy V 0 térfogatú tartományt.a benne lev folyadékmennyiség V 0 ρ dv.e térfogatot határoló felület df elemén egységnyi id alatt ρvdf folyadékmennyiség áramlik át;a df elemi vektor abszolút értéke a felület területével egyezik meg meg, df iránya pedig a felület külsó normálisának iránya.ez azt jelenti, hogy ρvdf a folyadék kiáramlása esetén pozitív, beáramláskor pedig negatív.az id egység alatt kiáramló folyadékmennyiség tehát ρv df, az integrálást a V 0 térfogat felületére végezzük. 11
9 1FEJEZET. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAU ALAPJÁN) Másrészt a folyadékmennyiség csökkenése a vizsgált tartományban így írható : ρ dv. E két mennyiséget egyenl né téve, azt kapjuk, hogy ρdv = ρv df. A felületre vonatkozó integrált a GaussOsztrogradszkij-tétel alkalmazásával térfogati integrálá alakíthatjuk : ρv df = (ρv)dv, amivel ( ) ρ + (ρv) dv = 0. Az egyenl ség tetsz leges V 0 térfogatra igaz, így fennáll ρ + (ρv) = 0 ami a kontinuitási egyenlet. Átírhatjuk az alábbi alakba is : A ρ + ρ v + v ρ = 0. j = ρv vektort (tömeg-)árams r ség-vektornak nevezzük. A kontinuitási egyenlet kifejezi az anyagmegmaradást. Megemlitjük, hogy bármely megmaradó mennyiségnek megfelel egy hasonló kontinuitási egyenlet. Ilyenkor ρ az illet mennyiség s r ségét fejezi ki... Az Euler-egyenlet Tekintsünk a folyadék belsejében egy tartományt. E térfogatra ható teljes er a nyomásnak a kiszemelt felületre vett p df integráltjaként számítható ki. Ezt térfogati integrállá alakíthatjuk : p df = p dv. Ez azt jelenti, hogy a folyadék minden dv térfogatelemére a folyadék szomszédos részei dv p er t fejtenek ki.más szóval, a folyadék egységnyi térfogatára p er hat. Felírhatjuk a folyadék egy térfogatelemének mozgásegyenletét : ρ dv dt = p.
10 .. AZ EULER-EGYENLET 13 ahol és dv = v v v dt + dx v + dy + dz x y z = v dt + (dr )v dv dt = v + (v )v. Visszahelyetteítve a mozgásegyenletbe, az adódik, hogy v + (v )v = 1 ρ p. Ez a folyadék keresett mozgásegyenlete, amelyet el ször L.Euler vezetett le 1755-ben. Az Euler egyenlet a folyadékmechanika egyik alapegyenlete. Ha a folyadék nehézségi er térben van, valamennyi térfogatelemére még ρg gravitációs er hat. A mozgásegyenlet ebben az esetben : v + (v )v = p ρ A mozgásegyenlet levezetése során nem vettük gyelembe az energiadisszipációt, amely mozgó folyadékban, a bels surlódás(viszkozitás) és a különböz részek közötti h csere miatt mindig felléphet.ennek következtében az itt levezetett egyenlet a folyadékok olyan mozgására vonatkozik, amelynek során a h vezetéssel és viszkozitássl kapcsolatos folyamatokat gyelmen kivul hagyjuk.ha ez a közelítés jogos, az áramló közeget ideális folyadéknak nevezzük. Ha a folyadék különböz részei között nincs h csere, a mozgás adiabatikus.az ideális folyadék áramlását tehát adiabatikus folyamatnak kell tekinteni.a folyadék egységnyi tömegének entrópiáját s-sel jelölve : A fenti derivált így írható : ds dt = 0 s + (v )s = 0. Kombinálva a tömeg-kontinuitási egyenlettel megkapjuk az entrópia-kontinuitás egyenletet : ρs + (ρsv) = 0. ahol ρsv az entrópia-árams r ség.ha, mint általában, egy kezdeti pillanatban az entrópia a folyadék minden pontjában azonos, a folyadék mozgása során mindenütt ugyanakkora és id nben állandó marad.az adiabaticitás egyenlete az s = const alakban írható.a következ kben ezt az egyenletet használjuk. Teljesülése estén a mozgást izentropikusnak nevezzük.a mozgás izentropikus jellegét kihasználva, a mozgásegyenletet átalakíhatjuk. E célból használjuk a következ jól ismert termodinamikai összefüggést: dw = T ds + V dp, + g
11 14FEJEZET. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAU ALAPJÁN) ahol w a folyadék egységnyi tömegének entalpiája, V = 1/ρ fajlagos térfogat.mivel s = const,egyszer en írhatjuk, hogy dw = V dp = 1 ρ dp, vagy p/ρ = w. A mozgásegyenletet írhatjuk : v + (v )v = w. Érdemes az Euler-egyenlet egy másik alakját is felírni.a vektoranalízis képletének alkalmazásával a következ 1 v = v ( v) + (v )v v + 1 v v ( v) = w alakra hozhatjuk. A rotáció operátort az egyenlet mindkét oldalára alkalmazva, a v = (v v) összefüggéshez jutunk, amely csak a sebességet tartalmazza. A fent levezetett mozgásegyenletekhez meg kell még adni a folyadékot határoló felületeken érvényes határfeltételeket. Ideális folyadék esetén ezek a határfeltételek azt az egyszer tényt tükrözik, hogy a folyadék nem áramlik át a szilárd falon.ez annyit jelent, hogy a sebesség normális komponense a rögzített fal mentén elt nik : v n = 0. Általános esetben, ha a határfelület mozgását megengedjük, v n a felület sebességének megfelel összetev jével egyezik meg. Két, egymással nem kevered folyadék elválasztó felületén egyrész a nyomások megegyeznek, másrészt az egyes folyadékok áramlási sebességének a közös határfelület normálisa irányába es komponensei egyenl k A hidrodinamikai egyenletek teljes rendszere öt egyenletb l áll(az öt mennyiségnek megfelel en (v, p, ρ). Ideális folyadék esetén az egyenletek : Euler-egyenletek, kontinuitási egyenlet valamint a mozgás adiabatikus jellegét kifejez egyenlet..3. Hidrosztatika A nyugvó folyadék Euler-egyenletei, homogén gravitációs er térben : p = ρg.
12 .3. HIDROSZTATIKA 15 Ez az egyenlet meghatározza a folyadék mechanikai egyensúlyát.ha a folyadék s r sége az egész vizsgált térfogatban állandónak tekinthet, a fenti egyenlet egyszerüen integrálható. A z tengelyt függ legesen irányítva, azt kapjuk, hogy : amib l p x = p y = 0, p = ρgz + const. p z = ρg, Ha a nyugvó, h magasságban elhelyezked, szabad felületére annak minden pontjában azonos, p 0 nagyságú nyomás hat, akkor : p = p 0 + ρg(h z). Nagy folyadéktömeg esetén a folyadék ρ s r sége nem tekinthet állandónak; ez különösen a gázok esetében bizonyul lényegesnek(pl. az atmoszféra). Tegyük fel, hogy a folyadék nemcsak mechanikai, hanem termikus egyensúlyban is van. Ez esetben a h mérséklet ugyanakkora a folyadék minden pontjában, így a fenti egyenlet az alábbi módon integrálható. Használjuk a jól ismert dφ = s dt + V dp termodinamikai összefüggést, ahol Φ a folyadék egységnyi tömegére vonatkozó termodinamikai potenciál. Állandó h mérsékleten dφ = V dp = 1 ρ dp. Ez azt mutatja, hogy az 1 ρ p kifejezés a vizsgált esetben Φ-vel helyettesíthet, tehát az egyensúlyi egyenlet a következ alakot ölti : Φ = g. A negatív z tengely irányába mutató állandó g er azonban alakban írható, tehát g = (gz) (Φ + gz) = 0 amib l azt kapjuk, hogy hogy a vizsgált folyadék egész térfogatában Φ + gz = const; Belátható hogy nehézségi er térben a nyomás csak z függvénye lehet, amiböl következik, hogy ρ is csak z-töl függ. Az el bbi kett miatt a h merséklet ugyancsak z függvénye.tehát nehézségi er térben egyensúlyi állapotban lev folyad nyomása, s r sége és h mérséklete csak a magasságtól függ.ha két egyenl magasságban lev pont között például h mérséklet-különbség lép fel, a mechanikai egyensúly lehet sége kizárt. Végül, származtassuk le egy, nehézségi er által összetartott igen nagy folyadéktömeg (csillag) egyensúlyi egyenleteit.legyen ϕ a folyadék által keltett nehézségi er tér potenciálja. Ez eleget tesz a következ egyenletnek : ϕ = 4 πgρ
13 16FEJEZET. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAU ALAPJÁN) itt G a Newton-féle gravitációs állandó. A gravitációs tér térer sége ϕ, így a ρ tömegre ható er ρ ϕ. Az egyensúlyi egyenlet : p = ρ ϕ. Ezt az egyenl séget ρ-val osztva, mindkét oldalt szorozva -val a következ alakban kapjuk az egyenletet : ( ) 1 ρ ϕ = 4πGρ. Itt csak mechanikai egyensúlyról van szó,az egyenlet származtatásakor a teljes termikus egyensúly fennállását sehol sem használtuk ki. Ha a test nem forog, az egyensúlyi alak gömb, a s r ség- és nyomáseloszlás gömbszimmetrikus.az egyenlet gömbi koordinátákban ekkor így írható : ( ) r 1 r d dr ρ dp dr = 4πGρ..4. A Bernoulli-egyenlet A folyadékmechanika egyenletei jelent sen egyszer södnek stacionárius áramlás esetén.az áramlást stacionáriusnak nevezzük, ha az áramlási sebesség a folyadék által elfoglalt térrész minden pontjában id ben állandó.más szóval, v csak a koordináták függvénye, tehát v = 0. Ekkor a mozgásegyenlet így módosul : 1 v v v = w. Az áramvonal olyan görbe, amelynek bármely pontjában vett érit je minden id pillanatban megadja a folyadék sebességének irányát az illet pontban.az áramvonalakat a következ dierenciálegyenlet-rendszer határozza meg : dx v x = dy v y = dz v z. Stacionárius áramlás esetén az áramvonalak id ben állandók, és egybeesnek a folyadékrészek pályájával. Szorozzuk meg a mozgásegyenletet az áramvonal érint egységvektorával;jelölje ezt a vektort l. Ismeretes, hogy a gradiensvektor egy adott irányú vetülete megegyezik a megfelel irány menti deriválttal. A w vektor érint irányú vetülete ennek megfelel en w l.minthogy a v v a v sebességre mer leges,l irányú vetülete elt nik. Az el bbi egyenlet tehát így alakul : ( ) v l + w = 0 Eredményünk, hogy a v + w mennyiség egy áramvonal mentén állandó : v + w = const.
14 .5. AZ ENERGIAÁRAM 17 Az állandó értéke minden áramvonal mentén más és más. Ez az összefüggés a Bernoulliegyenlet. Ha az áramlás nehézségi er térben jön létre a mozgásegyenlet jobb oldalához hozzá kell adni a g nehézségi gyorsulást.irányitsuk a z tengelyt függ legesen felfelé.a g és l irányok által bezárt szög cosinusa a dz deriválttal egyezik meg, vagyis g-nek l-re való vetülete : dl g dz dl. Ennek a felhasználásával azt kapjuk,hogy ( ) v l + w + gz = 0 Így a módosított Bernoulli-egyenlet szerint egy áramvonal mentén adódik. v + w + gz = const.5. Az energiaáram Tekintsü egy a térben rögzített térfogatelemet, és vizsgáljuk meg, hogyan változik az id ben e térfogatot kitölt folyadék energiája. A folyadék egységnyi térfogatának energiája : ρ v + ρε ahol az els tag a mozgási energia, a második pedig a bels energia ( ε az egységnyi tömeg folyadék bels energiája).az energia megváltozása ( ) ρv + ρε. Az els tag deriváltja : ρv = v ρ v + ρv, vagy a kontinuitási egyenlet és a mozgásegyenlet felhasználásával : ρv = v ρv v p ρv(v )v. Az utolsó tagba behelyettesítjük a v(v )v = 1 v v összefüggést, és a dw = T ds + 1 ρ dp termodinamikai képlet felhasználásával a nyomás gradiensét a ρ w ρt s kifejezéssel helyettesítjük;így adódik. ρv = v ρv ρv ) (w + v + ρt v s
15 18FEJEZET. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAU ALAPJÁN) A ρε derivált kiszámításához felhasnáljuk a dε = T ds pdv = T ds + p ρ dρ termodinamikai összefüggést. Mivel ε + p ρ = ε + pv az egységnyi tömeg w entalpiája,azt kapjuk, hogy d(ρε) = εdρ + ρdε = wdρ + ρt ds, amivel (ρε) = w ρ s + ρt = w ρv ρt v s. Az egyes tagokat megfelel en csoportosítva, az energia megváltozása így adódik : ( ) ) ) ρv + ρε = (w + v ρv ρ(v ) (w + v, amib l végül is kapjuk, hogy ( ) ρv + ρε { ( )} v = ρv + w. A kapott egyenl ség zikai jelentésének megállapítása céljából integráljuk valamilyen térfogatra, majd a jobb oldalon állót felületi integrálá alakítva : ) ( ) v ( ρv + ρε dv = ρv + w A bal oldalon kiszemelt, térben rögzített térfogatelem energiájának id egység alatti megváltozása áll.a jobb oldali felületi integrál tehát a vizsgált térfogatból az id egység alatt kimen energia mennyis;g;t adja meg. Ennek megfelel en a ( ) v ρv + w kifejezést energiaáram-s r ség vektornak nevezhetjük.ennek abszolút értéke megadja a sebességre mer legesen elhelyezked egységnyi felületen az id egység alatt átáramló energia mennyiségét.az energiaáram fogalmát N. Umov vezette be 1874-ben. Annak, hogy az energiaáram kifejezésében a w entalpia és nem az ε bels energia szerepel, egyszer zikai jelentése van.behelyettesítve a w = ε + p ρ kifejezést, a zárt felületen áthaladó teljes energiaáram így írható : ( ) v ρv + ε df pv df. df. Az els tag a felületen áthaladó folyadéktömeg által szálított (kinetikus plusz bels )energia. A második tag a zárt felület belsejében lev folyadék nyomóereje által végzett munka.
16 .6. AZ IMPULZUSÁRAM Az impulzusáram A folyadék egységnyi térfogatának impulzusa ρv. Számítsuk ki ennek id egységre es megváltozását, a ρv mennyiséget.a számolást tenzorjelölések használatával végezzük el. Azt kapjuk, hogy Használjuk a kontinuitási egyenletet és az Euler-egyenletet a következ alakban : Ekkor az adódik, hogy ρv i = ρ v i + ρ v i. ρ = ρv k v i = v v i k 1 p. ρ x i ρv i = ρv k v i p x i v i ρv k Az utolsó kifejezés els tagját így írhatjuk : Ezzel adódik, és a P ik tenzor deniciója : p x i = δ ik p. ρv i = P ik P ik = pδ ik + ρv i v k. = p ρv i v k. x i P ik zikai jelentésének a megvilágítása céljából a fenti egyenletet integráljuk valamilyen térfogatra : Pik ρv i dv = dv. A jobb oldalon álló integrált a GaussOstrogradszkij-tétel felhasználásával felületi integrállá alakítjuk : ρv i dv = P ik df k. A jobb oldalon álló integrál a kiszemelt térfogatból id egység alatt kiáramló impulzust jelenti.következésképpen, P ik df k a df felületelemen átmen impulzus i-edik komponense.ha df k komponenst n k df alakba írjuk, azt kapjuk, hogy P ik n k az i-edik impulzuskomponens felületegységére es áramvektor. A P ik -t impulzusáram-s r ség tenzornak nevezzük.
17 0FEJEZET. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAU ALAPJÁN).7. A cirkuláció megmaradása A zárt görbére vett Γ = v dl integrált az illet görbére vonatkozó sebességcirkulációnak (vagy egyszerüen cirkulációnak) nevezzük. Vizsgáljunk a folyadékban adott id pillanatban egy zárt görbét.ezt a görbét folyadékrészecskék együttesének tekintjük.ezek a részecskék id ben elmozdulnak, így az egész görbe változtatja a helyzetét. Nézzük meg, hogyan változik a cirkuláció.más szóval, számítsuk a d v dl dt id deriváltat.a circuláció megváltozását a folyadék áramlásban részt vev görbe mentén kivánjuk meghatározni.a koordináták szerinti deriválást δ-val jelöljük,d-t fenntartjuk az id derivált jelzésére.a görbe dl ívelemét e hosszuság két végpontja helyvektorának δr különbségeként is felírhatjuk.írjuk tehát a cirkulációt a következ alakba : v δr. Az integrál id szerinti dierenciálásakor gyelembe kell venni, hogy nemcsak a sebesség, hanem maga az integrációs görbeis változik. d dv v δr = dt dt δr + v dδr dt. A v sebesség azonban az r helyvektor id szerinti deriváltja, így v dδr dt = vδ dr dt = vδv = δ v. Minthogy a teljes dierenciál zárt görbére vett integrálja elt nik, a második integrál nem ad járulékot, ezért d dv v δr = dt dt δr. Az integrál kiszámításához felhasználjuk a dv dt dv dt = w. gyorsulásnak kifejezését : A sokes-tétel alkalmazásával (tekintetbe véve, hogy w = 0) : dv dt δr = dv δf = 0. dt.8. Súrlódó folyadékok mozgásegyenletei Most rátérünk a mozgés során fellép energiadiszipációs folyamatok tanulmányozására. Ezek a folyamatok a mozgás termodinamikai irreverzibilitásának megnyilvánulásai,
18 .8. SÚRLÓDÓ FOLYADÉKOK MOZGÁSEGYENLETEI 1 melyek a bels súrlódás (viszkozítás) és a h vezetés miatt mindig fellépnek.a súrlódó folyadékáramlását leíró egyenlethez úgy juthatunk, hogy az ideális folyadék mozgásegyenletébe új tagokat vezetünk be.a kontinuitási egyenlet bármilyen folyadék esetén érvényes. Az Euler-egyenlet azonban módosításra szorul. Az ideális folyadék impulzusáramával kapcsolatban láttuk, hogy ρv i = P ik aholp ik az ideálisimpulzusáram-s r ség tenzor.a súrlódó folyadék mozgásegyenletét úgy állíthatjuk el, hogy a fenti ideális impulzusáramhoz egy σ ik tagot adunk, amely a viszkózusirreverzibilis impulzusátadásnak felel meg.így tehát súrlódó folyadékokbvégül, származtassuk le egy, nan az impulzusáram-s r ség tenzort a következ alakban írjuk : Az itt szerepl P ik = pδ ik + ρv i v k σ ik = σ ik + ρv i v k. σ ik = pδ ik + σ ik tenzort feszültségtenzornak nevezzük,σ ik -neve viszkozitási feszültségtenzor. Aσ ik általános alakját a következ megfontolások segítségévelhatározhatjuk meg.egy folyadékban bels súrlódás csak akkor lép fel, ha a folyadék különböz részei különböz sebességgel mozognak, azaz a folyadék szomszédos tartományai egymáshoz képest mozognak.ennek következtében σ ik a sebességnek a koordináták szerinti deriváltjaitól függ.ha a sebességgradiensek nem túlságosan nagyok, feltehetjük,hogy a bels súrlódás miatti impulzusátadás csak a sebesség els deriváltjaitól függ. Ebben a küzelítésben σ ik -nak v i -tól való függése lineárisnak tekinthet. vi -töl független tagok nem szerepelhetnek σ ik kifejezésében,mert a viszkozitási feszültségtenzor komponenseinek v = const esetén el kell t nniük.megjegyezzük továbbá, hogy σ ik -nek akkor is nullává kell válnia, ha a folyadék mint egész forog, mert ekkor bels súrlódás nem léphet fel.ω szögsebesség homogén forgás esetén a v sebesség az Ω vecr vektorszorzattal egyenl. A v i + v k x i összegek a vi deriváltaknak olyan lineáris kombinációi, amelyek elt nnek, ha v = Ω r.ezért σ ik a vi deriváltaknak éppenezekb l a szimmetrikus kombinációiból épithet fel.. A tanulmányozott jelenségek makroszkopikus jelleg ek, a folyadékot folytonos közegnek tekintjük.ez azt jelenti, hogy minden kis térfogatelem még elegend en sok molekulát tartalmaz.ha a folyadék egy részecskéjének elmozdulásáról beszélünk, nem egy különálló molekula mozgására gondolunk, hanem nagyszámú molekulát tartalmazó térfogatelem helyváltoztatására, amihez a folyadékmechanikában egy molekula mozgását társítjuk. A fenti követelményeknek eleget tev legáltalánosabb másodrend tenzor a következ : ( σ ik vi = a + v ) k + b v l δ ik, x i x l ahol a és b függetlenek a sebességt l(,ez az állitás csak izotróp folyadékokban igaz ahol a, b skalárok).célszer σ ik -t a következ alakban felírni : ( σ ik vi = η + v k ) x i 3 δ v l v l ik + ζδ ik x l x l.
19 FEJEZET. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAU ALAPJÁN) Az η és ζ mennyiségek a bels súrlódási együtthatók.bebizonyítható, hogy η > 0, ζ > 0. A súrlódó folyadék mozgásegyenlete most már úgy állítható el, hogy a ( ) vi ρ + v v i k = p x i Euler-egyenlet jobb oldalához hozzáadjuk a σ ik ( ) vi ρ + v v i k = p x i + { η ( vi + v k tagot. azt kapjuk, hogy x i 3 δ v l ik x l )} + x i ( ζ v ) l. x l Ez a súrlódó folyadék legáltalánosabb mozgásegyenlete,η és ζ általában a nyomás és a h mérséklet függvénye.az esetek többségében a bels súrlódási együtthatók változása a folyadékban jelentéktelen, tehát jó közelítéssel állandóknak tekinthet k. Ezért De σ ik ( v i = η x + v k v l k x i 3 x i x l ( + ζ + η 3 = η v i x k v l x l v, ) + ζ x i v l x l = (.1) ) x i v l x l. (.) v i x v i. k Súrlódó folyadék mozgásegyenletét tehát vektoralakban így írjuk : ρ [ v + (v )v ] = p + η v + ( ζ + η 3 ) ( v). Ha a folyadék összenyomhatatlannak tekinthet, v = 0, a mozgásegyenletét a következ képpen írhatjuk : v + (v )v = 1 ρ p + η ρ v. Ez a NavierStokes-egyenlet.Összenyomhatatlan folyadék feszültségi tenzora a következ egyszer alakot ölti : ( vi σ ik = pδ ik + η + v ) k. x i Látható, hogy összenyomhatatlan folyadék esetén a bels súrlódást egyetlen állandó írja le.minthogy egy folyadék igen sokszor összenyomhatatlannak tekinthet, gyakran csak ez az η, ún.dinamikai viszkozitás, együttható jut szerephez. A ν = η ρ hányadost kinematikai viszkozitásnak nevezzük. Megjegyezzük, hogy a gázok dinamikai viszkozitása adott h mérsékleten független a nyomástól. A nyomás épp úgy kiküszöbölhet a NavierStokes-egyenletb l mint korábbanaz Euler-egyenletb l.az egyenletre a rotáció operátort alkalmazva, azt kapjuk, hogy v = (v v) + ν v.
20 .9. ENERGIADISSZIPÁCIÓ ÖSSZENYOMHATATLAN FOLYADÉKBAN 3 A peremfeltétellel kapcsolatban azt mondhatjuk, hogy a szilárd test felületével érintkez folyadék nem mozdul el, mintha oda lenne ragasztva.tehát a szilárd test mentén a folyadék sebességének eltünését követelik meg : v = 0. Mozgó felület esetében v a szilárd felület mozgássebességével egyezik meg.könnyen felírhatjuk a folyadékba merül szilárd test felületére ható er kifejezését. Egy felületelemre ható er az adott elemen átmen impulzusáram. A df felületelemen átmen impulzusáram : P ik df k = (ρv i v k σ ik )f k. Az egységnyi felületre ható P er így adódik : P i = σ ik n k = pn i σ ikn k, mivel a felületen v = 0. Az els tag a szokásos folyadéknyomás, a második a felületre ható súrlódási er. Hangsúlyoznunk kell, hogy az n vektor a folyadékfelület küls nortmális irányú egységvektora, azaz a szilárd test felületének bels normálisa..9. Energiadisszipáció összenyomhatatlan folyadékban A bels súrlódás energiadisszipációval jár, ami végül h vé alakul.az összenyomhatatlan folyadék teljes kinetikus energiája : E kin = ρ v dv. Számítsuk ki az energia id szerinti deriváltját. Írhatjuk, hogy ρv = ρv v i i, ahol a vi derivált a NavierStokes-egyenlet alapján : Végül azt kapjuk, hogy v i = v v i k 1 p + 1 σ ik. ρ x i ρ ρv = ρv(v )v v p + v σ ik i = (.3) x ( k v = ρ(v ) + p ) + (vσ ) σ v i ik. (.4) ρ Összenyomhatatlan folyadékban azonban v = 0, ezért a jobb oldal els tagját divergencia formájában írhatjuk: ρv = [ ( v ρv + p ) ] (vσ ) ρ σ ik v i.
21 4FEJEZET. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAU ALAPJÁN) ( ) v A divergencia alatti mennyiség a folyadékban haladó energiaáram. A ρv + p ρ tag a tömeg mozgásával kapcsolatos energiaáram, és megegyezik egy ideális folyadék energiaáramával. A második tag (vσ ) a bels súrlódással kapcsolatos energiaáram. Valóban a bels súrlódás σ ik impulzusáramot kelt; az impulzusátadás mindig energiamozgással járe, és az energiaáramot az impulzusáramot a sebességgel való szorzással kapjuk. Az el z egyenletet V térfogatra integrálva, azt kapjuk, hogy ρv [ ( v dv = ρv + p ) ] (vσ ) df σ v i ik dv. ρ Ha az integrált a folyadék egész térfogatára kiterjesztjük, a felületre való összegezés nullát ad(a sebesség a végtelenben elt nik),és a folyadékban az egységnyi id alatt disszipálódó energia kifejezése a következ : Ė kin = σ ik v i dv. Összenyomhatatlan folyadék esetén a σ ik tenzort az el z rész alapján deniálja, tehát σ ik v i = η v ( i vi + v ) k. x i Könnyen ellen rizhet, hogy ez a kifejezés felírható az alábbi alakban: ( η vi + v ) k. x i Az energiadisszipációt összenyomhatatlan folyadék esetén tehát így kapjuk : Ė kin = η ( vi + v ) k dv. x i A disszipáció a mechanikai energia csökkenését jelenti, azaz hogy az η együttható mindig pozitív. Ėkin < 0. Innen látható,.10. Áramlás csövekben Vizsgáljuk meg az összenyomhatatlan viszkózus folyadék áramlásának néhány egyszer esetét. 1. Tekintsünk két párhuzamos egymáshoz képest állandó u sebességgel mozgó síklap közé zárt folyadékot. Az x, z tengelyeket az egyik síkban vesszük fel úgy, hogy az x tengely mutasson az u sebesség irányába.nyilvánvalóan minden mennyiség csak az y koordinátától függ, és a folyadéksebessége mindenütt azonos irányú az x tengellyel.stacionárius mozgás esetén dp dy = 0, d v dy = 0. (Akontinuitási egyenlet azonosan teljesül.)ebb l p = const,v = ay + b adódik.az y = 0 és y = h síkokon (h a két felület közötti távolság) rendre v = 0 és v = u.ebb l az adódik, hogy v = y h u.
22 .10. ÁRAMLÁS CSÖVEKBEN 5 A sebességeloszlás a folyadékban tehát lineáris.a folyadék átlagsebességét így deniáljuk : esetünkben v = 1 h h 0 v = 1 u. Az érint irányú er pedig (azy = 0 síkban) : v dy, σ xy = η dv dy = ηu h..tekintsünk ezután két rögzített, párhuzamos sík között nyomáskülönbség hatására végbemen áramlást.koordináta-rendszerünket válasszuk ugyanúgy mint az el bbi esetben.a NavierStokes-egyenletb l azt kapjuk, hogy(asebesség nyilvánvalóan csak az y koordinátától függ) v y = 1 p η x, p y = 0. Az els egyenlet jobb oldala csak x-t l függ,bal oldala pedig csak y-tól.ebb l következik, hogy mindkét oldal állandó.tehát dp dx = const, azaz a nyomás az áramlás irányába fektetett x koordináta lineáris függvénye.a sebességre az adódik, hogy v = 1 dp η dx y + ay + b. Az a és b állandók a v = 0, ha y = 0 vagy y = h határfeltételekb l határozhatók meg. Végeredményként azt kapjuk, hogy a sebesség értéke : v = 1 dp η dx [ h 4 ( y h ) ]. A sebességeloszlás a folyadékrétegre mer leges irányban parabolikus, maximuma a réteg közepén van. Az áramlás átlagsebességét a v = 1 h h 0 v dy összefüggés alapján számítjuk : v = h p 1η x. képlet alap- Számítsuk ki a rögzített síkokra ható súrlódási er t aσ xy ján.behelyettesítés után σ xy = h dp dx adódik. = η v y y=0
23 6FEJEZET. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAU ALAPJÁN) 3. Végül vizsgáljuk meg a folyadék stacionárius áramlását egy tetsz leges (de végig azonos) keresztmetszet cs ben. Az x koordinátát mérjük a cs tengelye mentén. Nyilvánvaló, hogy a folyadék v sebessége mindenütt x irányú, és csak y és z függvénye. A kontinuitási egyenlet azonosan teljesül, és a NavierStokes-egyenletek y és z komponensei megint a p y = p z = 0 összefüggére vezetnek, azaz a nyomás a cs keresztmetszete mentén állandó. A stacionárius egyenlet x komponense : v y + v z = 1 dp η dx. Ebb l ismét dp p dx = const következik;ezért a nyomásgradienst l alakban írhatjuk, ahol p a cs végei közötti nyomáskülönbség, l a cs hossza. A folyadék sebességeloszlása a cs ben egy kétdimenziós v = const típusú egyenletb l határozható meg. Ezt az egyenletet a keresztmetszet kerületén teljesül v = 0 határfeltétel gyelembevételével kell megoldani. Foglalkozunk egy kör keresztmetszet cs vel. Vezessünk be polárkoordinátákat, az origót helyezzük a kör középpontjába. Szimmetriaokokból v = v(r). A Laplace-operátor polárkoordinátás alakjának használatával azt kapjuk, hogy ( 1 d r dv ) = p r dr dr ηl. Integrálás után v = p 4ηl r + a ln r + b adódik.az a állandót nullának kell választani, minthogy a sebesség minden pontban, a középpontot is beleértve, véges.a b állandót a v = 0, ha r = R feltételb l határozhatjuk meg.végeredményünk : v = p 4ηl (R r ). A sebességeloszlás ismétn parabolikus.könnyen meghatározhatjuk a cs egy síkmetszetén id egység alatt átáramló Q folyadékmennyiséget (ezt nevezzük hozamnak). A πr dr gy r alakú felületelemen egy másodperc alatt ρ πrv dr folyadékmennyiség halad át. Ezért a fenti összefüggés felhasználásával Q = πρ R 0 rv dr. Q = π p 8νl R4 adódik.látjuk, hogy az egységnyi id alatt átáramló folyadékmennyiség a cs sugarának negyedik hatványával arányos (ez a Poiseuille-törvény)..11. A hang Hanghullámok Most rátérünk az összenyomható folyadék áramlásának vizsgálatára.az összenyomható folyadék kis amplitúdójú rezg mozgását hanghullámnak nevezzük.a hanghullám váltokozva s r södést és ritkulást okoz a folyadék minden pontjában.
24 .11. A HANG 7 Minthogy az oszcillácviók kicsik, a v sebesség is kicsi, úgyhogy az Euler-egyenletben a (v )v tag elhanyagolható.a p és ρ változókat p = p 0 + p, ρ = ρ 0 + ρ alakba írhatjuk,ahol a ρ 0 és a p 0 állandóaz egyensúlyi s r ség és nyomás,ρ és p ezek megváltozása a hanghullámban (ρ ρ 0, p p 0 ).A ρ + ρv = 0 kontinuitási egyenletbe beírva, a másodrendben kicsiny tagok(ρ, p, v els rendben kicsik)elhagyásával azt kapjuk, hogy Hasonlóan a ρ + ρ 0 v = 0. v Euler egyenlet a fenti közelítésben a + (v )v = p ρ v + p ρ 0 = 0 egyenletre redukálódik. A fenti linearizált mozgásegyenletek csak akkor alkalmazhatók hanghullámok leírására, ha teljesül a v c feltétel, azaz a folyadékrészecskék sebessége a hanghullámban kicsi a hangsebességhez képest.ezt a feltételt például ρ ρ 0 feltételb l kaphatjuk.az el z két egyenletben a v, p és ρ ismeretlen függvények szerepelnek.ezek közzül egyet kiküszöbölhetünk mivel az ideális folyadékban terjed handhullám adiabatikus állapotváltozást eredményez.ezért a kis p nyomásváltozás és a kis ρ s r ségváltozás kapcsolata így írható : ( ) p p = ρ ρ. s Ebb l az egyenletb l ρ alakját a fenti egyenletbe írva, azt kapjuk, hogy p ( ) p + ρ 0 div v = 0. ρ 0 A v és p ismeretleneket tartalmazó egyenletrendszer a hanghullámot teljesen meghatározza. Valamennyi ismeretlen mennyiséget leírhatjuk egyetlen függvény segítségével, ha bevezetjük a v = ϕ sebességpotenciált.azt kapjuk, hogy p = ρ ϕ, ami összekapcsolja p -t és ϕ-t (itt és az alábbiakban a rövidség kedvéért elhagyjuk p 0 és ρ 0 indexét).a fenti egyenletekb l a ϕ potenciálra vonatkozó ϕ c ϕ = 0
25 8FEJEZET. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAU ALAPJÁN) egyenletet kapjuk;itt bevezettük a c = ( ) p ρ s jelölést.a fenti lineáris homogén másodrend parciális dierenciálegyenletet hullámegyenletnek szokás nevezni.erre a gradiens operátort alkalmazva, azt kapjuk, hogy a vecv sebesség mindhárom komponense kielégíti a hullámegyenletet,id szerinti deriválásáv pedig beláthatjuk, hogy a p nyomás (és vele ρ is ) szintén eleget tesz a hullámegyenletnek. Tekintsünk egy olyan hanghullámot, amelyben minden mennyiség egyetlen koordinátától, mondjuk x-t l függ. Ez azt jelenti, hogy az áramlás teljesen homogén az yz síkban. Az ilyen hullámot síkhullámnak nevezzük. A hullámegyenlet ekkor így írható : ϕ x 1 ϕ c = 0. Az egyenlet megoldása céljából x és t helyett bevezetjük az új ξ = x ct, η = x + ct változókat. Az egyenlet a ϕ η ξ = 0 alakot ölti. Két egymásutánni integrálás után ϕ = f 1 (ξ) + f (η) = f 1 (x ct) + f (x + ct). A többi mennyiség (p, ρ, v) oszlását egy síkhullámban hasonló alakú függvények írják le.az f 1 (x ct) függvé egy úgynevezett haladö síkhullámot ír le, amely a pozitív x tengely irányában terjed. Az f (x + ct) nyilvánvalóan ellenkez irányban terjed hullámot ír le. A v = ϕ sebesség három összetev je közül csak v x = ϕ x különbözik nullától.tehát a hanghullámban a folyadék sebessége a terjedés irányába mutat. Ezxért a folyadékban terjed hanghullámokat longitudinálisnak mondjuk.a haladó síkhullámban a v x = v sebesség egyszer kapcsolatban áll a p nyomással és a ρ s r séggel. ϕ = f(x ct)-t írva, v = ϕ x = f (x ct) és p = ρ ϕ = ρcf (x ct). A két kifejezést összevetve, azt találjuk, hogy v = p ρc. Felhasználva a p = c ρ egyenletet következik, hogy v = cρ ρ. Az adiabatikus és az izotermikus kompresszibilitás kapcsolata ( ) p = c ( ) p p. ρ c v ρ Határozzuk meg a handsebességet ideális gázban. Az állapotegyenlet : s pv = p ρ = RT µ, T
26 .11. A HANG 9 ahol R a gázállandó, µ pedig a molekulasúly. A hangsebességre az alábbi kifejezést kapjuk : c = γ RT µ, ahol γ = cp c V.A hangsebesség gázokban nagyságrendileg megegyezik a molekulák h mozgásának átlagsebességével.adott h mérsékleten c független a nyomástól. Rendkivül fontos az úgynevezett monokromatikus hullámok esete,amikor minden mennyiség az id egyszer periodikus (harmonikus) függvénye. Az ilyen függvényt általában célszer egy komplex mennyiség valós részeként felírni.a sebességpotenciál például ϕ = Re{ϕ 0 (x, y, z)e iωt } alakba írjuk, ahol ω a hullám frekvenciája. A ϕ 0 függvény kielégíti a ϕ 0 + ω c ϕ 0 = 0 egyenletet. Tekintsünk egy, a pozitív x tengely irányában terjed monokromatikus haladó síkhullámot. Ilyen hullámban minden mennyiség csak (x ct)-t l függ, úgyhogy a potenciál ϕ = Re{Ae iω(t x c ) } alakú, ahol A egy állandó, az ún. komplex amplitudó. Ezt A = ae iα alakba írva, ahol a és α valós állandók, azt kapjuk, hogy ( ω ) ϕ = a cos c x ωt + α. Az a állandó a hullám amlitudója, a cosinus argumentumát pedig fázisnak nevezzük. A k = ω c n = π λ n vektor neve hullámvektor, n-nel a terjedés irányába mutató egységvektort jelöljük.ezzel így is írható : ϕ = Re{Ae i(kr ωt) }. A monokromatikus hullámok tanulmányozása nagyon fontos, mert bármilyen hullám felírható különböz hullámvektorú és frekvenciájú monokromatikus síkhullámok súlyozott összegeként. Egy hullám monokromatikus hullámokra való felbontása egyszer en egy Fourier-sorba vagy -integrálba történ kifejtés (úgynevezett spektrálfelbontás). E kiejtés egyes tagjai a hullám monokromatikus komponensei vagy Fourier-komponensei.
mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati
ϕ t + j ϕ = 0 mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati sűrűsége j ϕ - a ϕ-hez tartozó áramsűrűség j ϕ = vϕ + j rev + j irr vϕ - advekció j rev - egyéb reverzibilis áram
RészletesebbenElőszó.. Bevezetés. 1. A fizikai megismerés alapjai Tér is idő. Hosszúság- és időmérés.
SZABÓ JÁNOS: Fizika (Mechanika, hőtan) I. TARTALOMJEGYZÉK Előszó.. Bevezetés. 1. A fizikai megismerés alapjai... 2. Tér is idő. Hosszúság- és időmérés. MECHANIKA I. Az anyagi pont mechanikája 1. Az anyagi
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Merev test mozgása Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011 TARTALOMJEGYZÉK 0.1. Alapfogalmak,jelölések............................
RészletesebbenSzilárd testek rugalmas alakváltozásai Nyú y j ú tás y j Hooke törvény, Hooke törvén E E o Y un un modulus a f eszültség ffeszültség
Kontinuumok mechanikája Szabó Gábor egyetemi tanár SZTE Optikai Tanszék Szilárd testek rugalmas alakváltozásai Nyújtás l l = l E F A Hooke törvény, E Young modulus σ = F A σ a feszültség l l l = σ E Szilárd
RészletesebbenAz Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér
RészletesebbenTermodinamikai bevezető
Termodinamikai bevezető Alapfogalmak Termodinamikai rendszer: Az univerzumnak az a részhalmaza, amit egy termodinamikai vizsgálat során vizsgálunk. Termodinamikai környezet: Az univerzumnak a rendszeren
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
RészletesebbenHIDROSZTATIKA, HIDRODINAMIKA
HIDROSZTATIKA, HIDRODINAMIKA Hidrosztatika a nyugvó folyadékok fizikájával foglalkozik. Hidrodinamika az áramló folyadékok fizikájával foglalkozik. Folyadékmodell Önálló alakkal nem rendelkeznek. Térfogatuk
RészletesebbenA Maxwellegyenletek. Elektromágneses térjellemz k: E( r, t) és H( r, t) térer sségek, D( r, t) elektromos eltolás és B( r, t) mágneses indukció.
A Maxwellegyenletek Elektromágneses térjellemz k: E( r, t) és H( r, t) térer sségek, D( r, t) elektromos eltolás és B( r, t) mágneses indukció. Milyen általános, a konkrét szituációtól (pl. közeg anyagi
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenFolyadékok áramlása Folyadékok. Folyadékok mechanikája. Pascal törvénye
Folyadékok áramlása Folyadékok Folyékony halmazállapot nyíróerő hatására folytonosan deformálódik (folyik) Folyadék Gáz Plazma Talián Csaba Gábor PTE ÁOK, Biofizikai Intézet 2012.09.12. Folyadék Rövidtávú
Részletesebben{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek
1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és
RészletesebbenHidrosztatika, Hidrodinamika
Hidrosztatika, Hidrodinamika Folyadékok alaptulajdonságai folyadék: anyag, amely folyni képes térfogat állandó, alakjuk változó, a tartóedénytől függ a térfogat-változtató erőkkel szemben ellenállást fejtenek
RészletesebbenBevezetés a görbe vonalú geometriába
Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1.(a) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően
RészletesebbenAlkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz
Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,
RészletesebbenHidraulika. 1.előadás A hidraulika alapjai. Szilágyi Attila, NYE, 2018.
Hidraulika 1.előadás A hidraulika alapjai Szilágyi Attila, NYE, 018. Folyadékok mechanikája Ideális folyadék: homogén, súrlódásmentes, kitölti a rendelkezésre álló teret, nincs nyírófeszültség. Folyadékok
RészletesebbenDR. BUDO ÁGOSTON ' # i. akadémikus, Kossuth-díjas egyetemi tanár MECHANIKA. Kilencedik kiadás TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST
DR. BUDO ÁGOSTON ' # i akadémikus, Kossuth-díjas egyetemi tanár MECHANIKA Kilencedik kiadás TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST 1991 TARTALOMJEGYZÉK Bevezette 1.. A klasszikus mechanika feladata, érvényességi határai
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenElméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport
Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport MECHANIKA I. 1. Definiálja a helyvektort! 2. Mondja meg mit értünk vonatkoztatási rendszeren! 3. Fogalmazza meg kinematikailag, hogy mikor
RészletesebbenAz elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
RészletesebbenFolyadékok és gázok mechanikája
Folyadékok és gázok mechanikája Hidrosztatikai nyomás A folyadékok és gázok közös tulajdonsága, hogy alakjukat szabadon változtatják. Hidrosztatika: nyugvó folyadékok mechanikája Nyomás: Egy pontban a
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenFelületi feszültség: cseppfolyós-gáz határfelületen a vonzerő kiegyensúlyozatlan: rugalmas hártyaként viselkedik.
Felületi feszültség: cseppfolyós-gáz határfelületen a vonzerő kiegyensúlyozatlan: rugalmas hártyaként viselkedik. Mérése: L huzalkeret folyadékhártya mozgatható huzal F F = L σ két oldala van a hártyának
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
RészletesebbenHajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)
RészletesebbenReológia Mérési technikák
Reológia Mérési technikák Reológia Testek (és folyadékok) külső erőhatásra bekövetkező deformációját, mozgását írja le. A deformációt irreverzibilisnek nevezzük, ha a az erőhatás megszűnése után a test
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
RészletesebbenAz éjszakai rovarok repüléséről
Erről ezt olvashatjuk [ ] - ben: Az éjszakai rovarok repüléséről Az a kijelentés, miszerint a repülés pályája logaritmikus spirális, a következőképpen igazolható [ 2 ].. ábra Az állandó v nagyságú sebességgel
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kúpszeletek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 6 TARTALOMJEGYZÉK Azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete
RészletesebbenA mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája
A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton
RészletesebbenFizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK február 13.
Fizika Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK 017. február 13. A lejtő mint kényszer A lejtő egy ún. egyszerű gép. A következő problémában először a lejtőt rögzítjük, és egy m tömegű test súrlódás nélkül lecsúszik
RészletesebbenSimított részecskedinamika Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)
Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) Áramlások numerikus modellezése II. Tóth Balázs BME-ÉMK Vízépítési és Vízgazdálkodási Tanszék Numerikus módszerek Osztályozás A numerikus sémák két csoportosítási
RészletesebbenGyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)
2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,
RészletesebbenElektromágneses hullámok
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (a) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: 2015. október 3. 1 A Maxwell-egyenletek (1) (2) (3) (4) E: elektromos térerősség D: elektromos eltolás H: mágneses
RészletesebbenKirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)
3. Gyakorlat 29A-34 Egy C kapacitású kondenzátort R ellenálláson keresztül sütünk ki. Mennyi idő alatt csökken a kondenzátor töltése a kezdeti érték 1/e 2 ed részére? Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény)
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenMechanika IV.: Hidrosztatika és hidrodinamika. Vizsgatétel. Folyadékok fizikája. Folyadékok alaptulajdonságai
016.11.18. Vizsgatétel Mechanika IV.: Hidrosztatika és hidrodinamika Hidrosztatika és hidrodinamika: hidrosztatikai nyomás, Pascaltörvény. Newtoni- és nem-newtoni folyadékok, áramlástípusok, viszkozitás.
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1. (b) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1. (b) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 Síkhullámok végtelen kiterjedésű, szilárd izotróp közegekben (1) longitudinális hullám transzverzális
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenNyújtás. Ismétlés. Hooke-törvény. Harántösszehúzódás: nyújtásnál/összenyomásnál a térfogat növekszik/csökken
Ismétlés Mozgó vonatkoztatási rendszerek Szilárd testek rugalmassága. (nyújtás és összenyomás, hajlítás, nyírás, csavarás) A rugalmassági állandók közötti összefüggések. Szilárd testek viselkedése az arányossági
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenLendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.
Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg
RészletesebbenMolekuláris dinamika I. 10. előadás
Molekuláris dinamika I. 10. előadás Miről is szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten minden részecske mozgását szimuláljuk? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok,
RészletesebbenVégeselem analízis. 1. el adás
Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)
RészletesebbenKvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje
Kvantummechanika gyakorlat 015 1. Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje 1. Mutassuk meg, hogy A és B tetsz leges operátorokra igaz, hogy e B A e B = A + [B, A] + 1![ B, [B, A] ] +....
Részletesebben1. Mi a termodinamikai rendszer? Miben különbözik egymástól a nyitott és a zárt termodinamikai
3.1. Ellenőrző kérdések 1. Mi a termodinamikai rendszer? Miben különbözik egymástól a nyitott és a zárt termodinamikai rendszer? Az anyagi valóság egy, általunk kiválasztott szempont vagy szempontrendszer
Részletesebben2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
RészletesebbenMatematika A1. 8. feladatsor. Dierenciálás 2. Trigonometrikus függvények deriváltja. A láncszabály. 1. Határozzuk meg a dy/dx függvényt.
Matematika A 8. feladatsor Dierenciálás Trigonometrikus függvények deriváltja. Határozzuk meg a dy/d függvényt. a) y = 0 + 3 cos 0 3 sin b) y = sin 4 + 7 cos sin c) y = ctg +ctg sin )+ctg ) d) y = tg cos
RészletesebbenTermodinamika (Hőtan)
Termodinamika (Hőtan) Termodinamika A hőtan nagyszámú részecskéből (pl. gázmolekulából) álló makroszkópikus rendszerekkel foglalkozik. A nagy számok miatt érdemes a mólt bevezetni, ami egy Avogadro-számnyi
RészletesebbenLássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben
Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma
RészletesebbenA kémiai kötés eredete; viriál tétel 1
A kémiai kötés ereete; viriál tétel 1 Probléma felvetés Ha egy molekula atommagjai közötti távolság csökken, akkor a közöttük fellép elektrosztatikus taszításhoz tartozó energia n. Ugyanez igaz az elektronokra
RészletesebbenPÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE
PÉLÁ ERŐTÖRVÉNYERE Szabad erők: erőtörvénnyel megadhatók, általában nem függenek a test mozgásállapotától (sebességtől, gyorsulástól) Példák: nehézségi erő, súrlódási erők, rugalmas erők, felhajtóerők,
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenHidrosztatika. Folyadékok fizikai tulajdonságai
Hidrosztatika A Hidrosztatika a nyugalomban lévő folyadékoknak a szilárd testekre, felületekre gyakorolt hatásával foglalkozik. Tárgyalja a nyugalomban lévő folyadékok nyomásviszonyait, vizsgálja a folyadékba
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenA +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra
. Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától
RészletesebbenDinamika. p = mυ = F t vagy. = t
Dinamika Mozgás, alakváltozás és ennek háttere Newton: a mozgás természetes állapot. A témakör egyik kulcsfontosságú fizikai mennyisége az impulzus (p), vagy lendület, vagy mozgásmennyiség. Klasszikus
Részletesebben3.1. ábra ábra
3. Gyakorlat 28C-41 A 28-15 ábrán két, azonos anyagból gyártott ellenállás látható. A véglapokat vezető 3.1. ábra. 28-15 ábra réteggel vonták be. Tételezzük fel, hogy az ellenállások belsejében az áramsűrűség
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenBMEGEÁTAT01-AKM1 ÁRAMLÁSTAN (DR.SUDA-J.M.) 2.FAKZH AELAB (90MIN) 18:45H
BMEGEÁTAT0-AKM ÁRAMLÁSTAN (DR.SUDA-J.M.).FAKZH 08..04. AELAB (90MIN) 8:45H AB Név: NEPTUN kód:. Aláírás: ÜLŐHELY sorszám PONTSZÁM: 50p / p Toll, fényképes igazolvány, számológépen kívül más segédeszköz
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
Részletesebben1. fejezet. Gyakorlat C-41
1. fejezet Gyakorlat 3 1.1. 28C-41 A 1.1 ábrán két, azonos anyagból gyártott ellenállás látható. A véglapokat vezető réteggel vonták be. Tételezzük fel, hogy az ellenállások belsejében az áramsűrűség bármely,
RészletesebbenMechanika. Kinematika
Mechanika Kinematika Alapfogalmak Anyagi pont Vonatkoztatási és koordináta rendszer Pálya, út, elmozdulás, Vektormennyiségek: elmozdulásvektor Helyvektor fogalma Sebesség Mozgások csoportosítása A mozgásokat
Részletesebben1. ábra. 24B-19 feladat
. gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
Részletesebbenazonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra
4. Gyakorlat 31B-9 A 31-15 ábrán látható, téglalap alakú vezetőhurok és a hosszúságú, egyenes vezető azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra. 31-15 ábra
RészletesebbenA bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása
A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása Geometriai alapok. A kúpszeletek polárkoordinátás egyenlete A síkbeli másodrend görbék közül az ellipszist, a hiperbolát és a parabolát mondjuk
RészletesebbenFIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens
FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin egyetemi docens Fontos tudnivalók e-mail: racz.ervin@kvk.uni-obuda.hu web: http://uni-obuda.hu/users/racz.ervin/index.htm Iroda: Bécsi út, C. épület, 124. szoba Fizika II. - ismertetés
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenGeometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy
RészletesebbenAtomok és molekulák elektronszerkezete
Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenEuleri és Lagrange szemlélet, avagy a meteorológia deriváltjai
Euleri és Lagrange szemlélet, avagy a meteorológia deriváltjai Mona Tamás Időjárás előrejelzés speci 3. előadás 2014 Differenciál, differencia Mi a különbség f x és df dx között??? Differenciál, differencia
Részletesebbena térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.
2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3
RészletesebbenEgy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása
1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenFolyadékáramlás. Orvosi biofizika (szerk. Damjanovich Sándor, Fidy Judit, Szöllősi János) Medicina Könyvkiadó, Budapest, 2006
14. Előadás Folyadékáramlás Kapcsolódó irodalom: Orvosi biofizika (szerk. Damjanovich Sándor, Fidy Judit, Szöllősi János) Medicina Könyvkiadó, Budapest, 2006 A biofizika alapjai (szerk. Rontó Györgyi,
RészletesebbenTizenegyedik gyakorlat: Parciális dierenciálegyenletek Dierenciálegyenletek, Földtudomány és Környezettan BSc
Tizenegyedi gyaorlat: Parciális dierenciálegyenlete Dierenciálegyenlete, Földtudomány és Környezettan BSc A parciális dierenciálegyenlete elmélete még a özönséges egyenleteénél is jóval tágabb, így a félévben
RészletesebbenSEMMELWEIS EGYETEM. Biofizikai és Sugárbiológiai Intézet, Nanokémiai Kutatócsoport. Zrínyi Miklós
SEMMELWEIS EGYETEM Biofizikai és Sugárbiológiai Intézet, Nanokémiai Kutatósoport Transzportjelenségek az élő szervezetben I. Zrínyi Miklós egyetemi tanár, az MTA levelező tagja mikloszrinyi@gmail.om RENDSZER
Részletesebben1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel
1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel Munkavégzés, teljesítmény 1.1. Feladat: (HN 6B-8) Egy rúgót nyugalmi állapotból 4 J munka árán 10 cm-rel nyújthatunk meg. Mekkora
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenFizika A2 Alapkérdések
Fizika A2 Alapkérdések Összeállította: Dr. Pipek János, Dr. zunyogh László 20. február 5. Elektrosztatika Írja fel a légüres térben egymástól r távolságban elhelyezett Q és Q 2 pontszer pozitív töltések
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenA mikroskálájú modellek turbulencia peremfeltételeiről
A mikroskálájú modellek turbulencia peremfeltételeiről Adjunktus Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Áramlástan Tanszék 27..23. 27..23. / 7 Általános célú CFD megoldók alkalmazása
RészletesebbenLagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását
Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális
Részletesebben1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1
1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 Kérdések. 1. Mit mond ki a termodinamika nulladik főtétele? Azt mondja ki, hogy mindenegyes termodinamikai kölcsönhatáshoz tartozik a TDR-nek egyegy
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben