Rácsséták bijektív leszámlálása. Doktori értekezés tézisei

Átírás

1 Rácssétá bijetív leszámlálása Dotori érteezés tézisei Nagy Gábor Témavezető: Dr. Hajnal Péter egyetemi docens Matematia- és Számítástudományo Dotori Isola Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatiai Kar Bolyai Intézet Szeged 2014

2 1. Bevezetés Az érteezésben ét olyan problémaört vizsgálun a bijetív ombinatoria eszözeivel, melye rácssétára vonatozó összeszámlálási feladatohoz vezetne. A 2. fejezet fő eredménye Shapiro páros indexű Catalan-számora vonatozó onvolúciós formulájána bijetív bizonyítása, amelyet Stanley is feladatént tűzött i. Bizonyításun egyi övetezményeént a özépső binomiális együttható alternáló onvolúciós formulájána elemi levezetését is megapju. A 3. fejezetben síbeli szimmetrius véletlen sétá egy az x-tengellyel vett első metszéspont eloszlására vonatozó onvexitási tulajdonságát igazolju, majd teintjü a probléma magasabb dimenziós megfelelőjét is. Vizsgálatain motivációja az, hogy az alaptételből egy harmonius mértée sűrűségfüggvényére vonatozó friss eredmény új bizonyítása nyerhető. A disszertáció a szerző [1] [4] publiációin alapul. A tézisfüzetben található számozáso és jelölése megegyezne az érteezésben használtaal (a hivatozáso számozását leszámítva). 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója 1 Az n-edi Catalan-számon az 2n ) n+1( n számot értjü, melyet Cn -nel jelölün a továbbiaban. Stanley több mint 200 evivalens ombinatorius definíciót gyűjtött össze [16, 15]. Ez a szám is mutatja, hogy a Catalan-számo alapvető ombinatorius mennyisége [10], többe özött öszönhetően a özöttü fennálló C 0 = 1; C n+1 = C C n reurzív összefüggésne, mely az összeszámlálási problémában gyaran megjeleni. Shapiro 2002-ben észrevette, hogy a Catalan-számo generátorfüggvényéne zárt alajából önnyen adódi [10; 123. o.] az alábbi tetszetős onvolúciós azonosság: = Tétel. (Shapiro [15; 6.C18], Nagy [2], Hajnal Nagy [1]) C 2 C 2n 2 = 4 n C n. (2.2) =0 Azonban az egyszerű ala és a nem elemi bizonyításo tömörsége ellenére ezt nehéz ombinatorius eszözöel igazolni, Stanley Bijective Proof Problems gyűjteményében is megoldatlanént szerepel [14]. (Megjegyezzü, hogy Andrews 2011-ben megfogalmazta a formula egy q-analógját, melyet ombinatoriusan is igazolt [5].) A 2. fejezet fő eredménye, hogy a (2.2) azonosságot először belátju elemi ombinatorius eszözöel a 2.2. alfejezetben 1

3 a [2] publiáció gondolatmenetét övetve, majd teljesen bijetív bizonyítást adun rá a 2.3. alfejezetben Hajnal Péterrel özös [1] ciün alapján. Uta ettős leszámlálásával fogun érvelni, ahol egy út alatt felfelé és lefelé lépése sorozatát értjü. Bár ezzel formálisan 1-dimenziós sétáat definiáltun, útjainat a síon szemléltetjü a szoásos módon: Amennyiben másént nem jelezzü, az uta az origóból indulna, és egy felfelé lépésne az (1, 1) lépés, egy lefelé lépésne pedig az (1, 1) lépés felel meg. Szüségün lesz a övetező fogalomra is: Egy út páros-metsző, ha soha nem lép (4 + 2, 0) alaú pontban az x-tengelyre ( Z). A Shapiro-azonossághoz társított összeszámlálási probléma alapja az az észrevétel, hogy az origóból a (4n, 0) pontba menő páros-metsző uta számát éppen a C 2n Catalan-szám adja meg (ld Lemma). Ez egy 1981-ben itűzött American Mathematical Monthly feladat [12], melyne 1987-ben publiáltá egy bijetív bizonyítását [11], amiben megadna egy bijeciót a megszámolandó uta halmaza és a 4n hosszú Dyc-uta halmaza özött. Az utóbbi halmaz elemszáma pedig özismerten C 2n. (Egy út Dyc-út, ha az origóból indítva az x-tengelyen végződi, de soha nem megy az x-tengely alá. Továbbá egy út hossza alatt mindig a lépései számát értjü.) Ebből önnyen övetezi (2.2) bal oldalána egy ombinatorius értelmezése, egy analóg állítással együtt (itt és a ésőbbieben is élün a B n := ( 2n n ) jelöléssel): 2.5. Követezmény. (Nagy [2]) a) n =0 C 2C 2n 2 az origóból a (4n + 1, 1) pontba menő páros-metsző utaat számolja meg. b) n =0 C 2B 2n 2 a 4n hosszú páros-metsző utaat számolja meg. Tehát (2.2) bizonyításához azt ell megmutatni, hogy a jobb oldal, a 4 n C n mennyiség is a övetezmény a) pontjában szereplő utaat számolja meg. Először a övetezmény ét pontja özötti apcsolatra világítun rá. Egyszerű számolás mutatja, hogy a b) pontban szereplő onvolúció éppen az a) pontban szereplő onvolúció (n + 1)-szerese: 2.6. Lemma. (Nagy [2]) C 2 B 2n 2 = (n + 1) =0 C 2 C 2n 2. Másszóval, a 2.5. Követezmény egyszerre interpretálja ombinatoriusan a Shapiro-azonosság bal oldalát, és anna (n + 1)-szeresét. Ebből reurzív módon összeszámlálhatju a övetezményben szereplő utaat: 2.7. Lemma. (Nagy [2]) a) Az origóból a (4n + 1, 1) pontba menő páros-metsző uta száma 4 n C n. b) A 4n hosszú páros-metsző uta száma 4 n B n. 2 =0

4 A 2.5. Követezmény, a 2.6. Lemma és a B n = (n+1)c n összefüggés alapján a ét állítás evivalens. A b) pontot nem nehéz teljes inducióval bizonyítani a ét pont evivalenciát is felhasználva. Összefoglalva, tehát ettős leszámlálással igazoltu Shapiro formuláját; és egyúttal az alábbi evivalens alaját is, melyet algebrailag a ét oldal (n + 1)-gyel való szorzásával apun (2.2)- ből: C 2 B 2n 2 = 4 n B n. (2.4) =0 A 2.3. alfejezetben áttérün a Shapiro-azonosság bijetív bizonyítására. (A C n Catalan-számra a 2n hosszú Dyc-uta számaént teintün.) Figyelembe véve, hogy a 2.5. Követezményt bijetíven igazoltu, célun eléréséhez elegendő özvetlen bijetív bizonyítással igazolni a 2.7.a Lemmát, vagyis megmutatni, hogy a 2.5. Követezmény a) pontjában szereplő (0, 0) (4n+1, 1) páros-metsző uta száma 4 n C n. Ezen uta halmazát H-val jelölve, az alfejezetben onstruálun egy ψ: H D 4 bijeciót, ahol D 4 egy alalmas 4 n C n elemű halmaz: D 4 a 2n hosszú 4-címézett Dyc-uta halmaza, ahol a 4-címézett Dyc-út olyan Dyc-út, amelyne párosadi pozícióban álló lépései címézette az 0, 1, 2, 3 címé valamelyiével, a páratlanadi lépése pedig címézetlene. A ψ leépezés definíciója hosszú folyamat, lemmá jelzi onstrución fontosabb állomásait ( Lemma). A lényegi lépés előészítéseént egy egyszerű techniai átalaítást és egy tömörítési eljárást hajtun végre, melyne eredménye egy H E 3 bijeció, ahol az E 3 halmaz azon (címézett, általánosított) utaat tartalmazza, amelye rendelezne a övetező három tulajdonsággal: (i) A (0, 1) pontból indulva a (2n, 1) vagy (2n, 1) pontban végződne; (ii) minden párosadi lépésü vagy (1, ±3) hosszú lépés, vagy az 1,2,3 címé valamelyiével ellátott (1, ±1) rövid lépés (és minden páratlanadi lépésü címézetlen rövid lépés); (iii) soha nem lépne az x-tengelyre (de átugorhatjá azt). Látni fogju, hogy E3 és D 4 útjaina 1,2,3 címéitől bizonyos értelemben elteinthetün. Jelölje E az E3 -beli utaból a címé elhagyásával nyert uta halmazát, és legyen D 2 a D 4 -beli utaból az 1,2,3 címé elhagyásával nyert jelölt Dyc-uta halmaza. Tehát E azon (0, 1) (2n, ±1) (címézetlen) utaat tartalmazza, amelye soha nem lépne rá az x-tengelyre, továbbá a hagyományos (1, ±1) rövid lépéseen túl tartalmazhatna (1, ±3) hosszú lépéseet is, izárólag páros pozícióban; D 2 pedig azon 2n hosszú Dyc-uta halmaza, amelyeben minden párosadi lépés vagy jelölt (0 címéjű) vagy jelöletlen (címézetlen). Meggondolható, hogy a hiányzó E3 D 4 bijeció megonstruálásához elegendő egy alábbi tulajdonságú E D 2 bijeciót megadni: 3

5 2.10. Lemma. (Hajnal Nagy [1]) Létezi olyan φ: E D 2 bijeció, hogy minden E E útra a φ(e) jelölt Dyc-útban ugyanannyi jelölt lépés van, mint ahány hosszú lépés szerepel E-ben. Ez a bijetív bizonyítás ulcslemmája. Két fő fázisból áll az E E φ(e) onverzión. Először E-ben lecseréljü az x-tengelyt átugró hosszú lépéseet jelölt (rövid) lépésere, és az eredetileg x-tengely alatt haladó része x-tengelyre való türözésével elérjü, hogy a apott E + út végig szigorúan az x-tengely fölött haladjon. (Ez az egyszerűbb rész.) Megmutatju, hogy a szóba jöhető E + uta mindegyie felépíthető egyszerű strutúrájú építőelemeből, mely felépítés a Dyc-utana megfeleltethető zárójelsorozato zárójelpároá bontásána egy iterjesztése. A másodi fázisban az E + út építőelemeit átalaítju egy előre meghatározott eljárás szerint, és az így apott (D 2 -beli) jelölt Dyc-utat rendeljü hozzá E-hez. A bizonyítás részleteiből iolvasható ét övetezmény: Követezmény. (Hajnal Nagy [1]) Jelölje E (n) azon (0, 1) (2n, ±1) (címézetlen) uta halmazát, amelye soha nem lépne az x-tengelyre, és a páros pozícióban állhatna hosszú lépése is. (Ez a orábbi E halmaz, csa megjelenítjü n-et a jelölésben.) a) Az E (n)-beli uta száma 2 n C n. b) Azon E (n)-beli uta száma, amelyeben hosszú lépés van, ( n ) Cn. c) Speciálisan, azon E (n)-beli uta száma, amelyeben n hosszú lépés van (tehát váltaozva öveti egymást rövid és hosszú lépése), C n. d) n 1 esetén a C n Catalan-szám megszámolja azon (0, 0) (n, 1) utaat, amelye megengedett lépései (1, ±1) és (1, ±2), továbbá a ezdőpontot leszámítva soha nem lépne az x-tengelyre Követezmény. Jelölje E (n) azon (0, 1)-ból induló, 2n hosszú (címézetlen) uta halmazát, amelye soha nem lépne az x-tengelyre, és a páros pozícióban állhatna hosszú lépése is. a) Az E (n)-beli uta száma 2 n B n. b) Azon E (n)-beli uta száma, amelyeben hosszú lépés van, ( n ) Bn. A 2.4. alfejezetben az eddigie néhány további övetezményét ismertetjü. (Ezen eredménye esetén is a ombinatorius bizonyításoon van a hangsúly, generátorfüggvényeel nem nehéz őet belátni.) Először egy techniai jellegű onvolúciós formulát bizonyítun, melyből reurzív módon levezethető a Shapiro-azonosság (2.4) evivalens alaja Lemma. (Nagy [2]) Tetszőleges rögzített n esetén 2 i+j+=n C 2i C 2j B 2 = B 2n+1, ahol az i, j, futó indexe nemnegatív egésze. 4

6 A tétel c) pontjában meghatározzu a páros indexű B n számo onvolúciójána zárt alaját is: =0 B 2 B 2n 2 = 16n + 4 n B n. 2 Enne egy evivalens megfogalmazását, a özépső binomiális együttható alternáló onvolúciós formuláját látju be ombinatorius módon: Tétel. (Spivey [13], Nagy [2]) B 2 B 2n 2 =0 n 1 =0 Uta ettős leszámlálásával igazolju a B 2 B 2n 2 =0 n 1 =0 B 2+1 B 2n 2 1 = 4 n B n. B 2+1 B 2n 2 1 = C 2 B 2n 2 alaot, mellyel visszavezetjü a problémát (2.4)-re. Bizonyításun tehát más utat övet, mint Spivey 2012-ben özzétett elegáns bizonyítása [13], mely véletlen színezett permutáció segítségével érvel. A 2.5. alfejezetben ét sejtést fogalmazun meg számítógépes vizsgálatain alapján. Eze imondásához szüségün lesz a övetező jelölésre, melyet a páros-metsző uta halmazához hasonlóan definiált útosztályo leírására használun: Egy b 0, b 1,..., b n sorozatra jelölje P[b 0 b 1... b n ] azon 2n hosszú, origóból induló (hagyományos) uta halmazát, amelye elerüli a {(2i, 0) : b i = 0} halmaz összes pontját, ugyanaor a {(2i, 0) : b i = 2} halmaz legalább egy pontjára rálépne. Első sejtésün a 2.7. Lemma általánosítása (mindét alpontban az első egyenlőség a érdéses, a másodi egyszerű): Sejtés. (Hajnal Nagy [1]) =0 a) P[(1 0 ) n ] = P[10 n n n 1 ] = 4 2n n 1 2C n 1, b) P[(1 0 ) n ] = P[10 n 1 2n n 1 ] = 4 2n n 1 B n. A ét alpont evivalenciáját is megmutatju, így elegendő lenne az egyiet igazolni. Másodi sejtésünben hasonló a P úthalmazt definiáló tiltássorozat, és a sejtett elemszám is: Sejtés. a) P[1( ) n ] = P[10 n n ] = 4 2n 2C n 1, b) P[1( ) n ] = P[10 n 1 2n ] = 4 2n B n. 5

7 3. Diszrét véletlen sétá egy onvexitási tulajdonsága A 3. fejezetben szimmetrius véletlen sétáal foglalozun. A utatás előzménye egy síbeli harmonius mértéere vonatozó 2012-beli folytonos eredmény [6], melyne új, diszrét megözelítéssel dolgozó bizonyítását publiáltu Toti Vilmossal [4]. (A harmonius analízisben fontos szerepet betöltő harmonius mértée [8] definiálható Brown-mozgás segítségével, a Brownmozgás pedig approximálható diszrét véletlen sétáal.) A benyújtott [4] publiáció diszrét, ombinatorius eredményeit dolgozza fel a fejezet, ezenfelül ismertetjü a Szalai Attilával özösen elért általánosításoat [3]. Bevezetjü a szüséges fogalmaat. A Z 2 -beli séta egy Q 0, Q 1, Q 2... véges vagy végtelen pontsorozat Z 2 -ben (Q i Z 2 ), ahol a Q i+1 Q i vetor a (0, 1), (0, 1), (1, 0), ( 1, 0) vetoro (lépése) valamelyie, minden i-re. (Analóg módon definiálju a Z d -beli sétáat is: d dimenzióban 2d megengedett lépés van, a standard bázisvetoro, és azo ellentettjei.) Az adott Q 0 ezdőpontú (szimmetrius) véletlen séta egy olyan Q 0 ezdőpontú végtelen séta, melyne lépéseit véletlenül, uniform módon választju meg, egymástól függetlenül. A fejezet alaperedménye a [4] publiáció főlemmája: 3.1. Tétel. (Nagy Toti [4]) Legyen p anna a valószínűsége, hogy a (0, 1) pontból induló Z 2 -beli véletlen séta a (, 0) pontban lép először az x-tengelyre ( Z). Eor a (p ) =0 sorozat onvex, vagyis p 1 2 (p 1 + p +1 ) teljesül 1 esetén. A 3.2. alfejezetben ismertetjü a tétel egy elemi, számolásmentes bizonyítását. A p valószínűség iszámításánál nyilvánvalóan elegendő a sétá első x-tengelymetszetig tartó szaaszával foglalozni, ezért bevezetjü a övetező elnevezéseet és jelöléseet: Azt mondju, hogy egy (véges, nem véletlen) ( 1, h) ( 2, 0) séta pozitív, ha a végpontját leszámítva mindig az x-tengely fölött tartózodi. W ( 1,h) 2 -vel jelöljü a ( 1, h) ( 2, 0) pozitív sétá halmazát, a W ( 1,h) 2 [l] halmaz pedig ezen sétá özül az l hosszúaat tartalmazza, ahol egy séta hossza a lépései száma. A p valószínűséghez hozzájáruló sétáat első lépésü, és az első x-tengelymetszetig tartó szaaszu szerint osztályozva önnyen látható, hogy a 3.1. Tétel bizonyításához elegendő a övetezőt megmutatni: 3.2. Lemma. (Nagy Toti [4]) Bármely egész számra létezi hossztartó W (0,2) W (1,1) W ( 1,1) injetív leépezés. Vagyis tetszőleges Z és l N esetén W (0,2) [l] W (1,1) [l] + W ( 1,1) [l]. Bizonyításént megadun egy egyszerű injeciót, amely egy W (0,2) -beli séta épét vagy bizonyos jobbra és felfelé lépése felcserélésével, vagy bizonyos jobbra és lefelé lépése felcserélésével állítja elő. (Geometriailag látványosabb injeciót váraozásainal ellentétben nem találtun.) Ezenívül vá- 6

8 zolju a 3.1. Tétel további bizonyítási módjaina ezdő lépéseit: Toti Vilmos eredeti megoldását, mely Fourier-együttható vizsgálatára vezet, illetve ét számolós ombinatorius gondolatmenetet a 3.2. Lemma igazolására. A 3.3. alfejezetben megvizsgálju a magasabb ezdőpontból indított véletlen sétá x-tengellyel vett első metszéspontjána eloszlását onvexitás szempontjából, és analóg eredményre jutun: 3.3. Tétel. (Nagy Szalai [3]) Jelölje p h anna a valószínűségét, hogy a (0, h) pontból induló Z 2 -beli véletlen séta a (, 0) pontban lép először az x-tengelyre, és legyen h 2 rögzített. Eor a ( p) h ( ) =h 2 sorozat onvex, vagyis ph p h 1 + p h +1 teljesül h 1 esetén. 1 2 A h = 1 esethez hasonló megfontoláso után megállapítju, hogy elegendő a 3.2. Lemma alábbi megfelelőjét igazolni: 3.4. Lemma. (Nagy Szalai [3]) Legyen adott h 2 és h 1. Eor létezi hossztartó, injetív W (0,h 1) W (0,h+1) W (1,h) W ( 1,h) leépezés. Vagyis tetszőleges l N esetén W (0,h 1) [l] + W (0,h+1) [l] W (1,h) [l] + W ( 1,h) [l]. A bizonyításban egy W W (0,h 1) W (0,h+1) séta épét attól függően definiálju, hogy a (h, 0), (h, 2h), ( h, 2h) és ( h, 0) csúcso által meghatározott négyzet valamelyi átlójára, vagy valamelyi oldalára lép-e először W. Az egyszerűbb eset az, amior valamelyi átlóra; ilyenor egy türözést hajtun végre. Abban az esetben, amior valamelyi négyzetoldalra lép először W (ez csa a felső oldal lehet), aor a övetező segédlemma által megadott injeció felhasználásával határozzu meg W épét úgy, hogy összességében egy 3.4. Lemmát igazoló leépezést definiálun. A segédlemma a 3.2. Lemma általánosítása, a bizonyítása is analóg módon történi: 3.5. Lemma. (Nagy Szalai [3]) Tetszőleges olyan h,, m egészere, melyere h 1 és h < m < h, létezi hossztartó W (m,2h) W (h,h+m) W ( h,h m) injeció. A probléma folytonos változata azt sugallja, hogy a 3.3. Tétel nem éles. Ezért megvizsgálju, hogy módszerünel (a 3.4. Lemma erősítésével) tudun-e (h 2)-nél isebb üszöbértétől ezdve onvexitást bizonyítani valamely h-ra, illetve onávitást tudun-e igazolni valamely intervallumon. A válasz nemleges, ennél ifinomultabb megözelítés ell. Azonban eözben önmaguban is érdees eredményehez jutun, amelyene nem látju egyszerű ombinatorius oát. (Csa számolással tudju igazolni őet, mely azon alapul, hogy az n hosszú (a, b) (c, d) pozitív sétá száma felírható zárt alaban [7] és [9] szerint, lásd 3.7. Lemma.) A apott eredménye a övetező: 7

9 3.6. Tétel. (Nagy Szalai [3]) Legyen h 2 és rögzített, valamint jelölje rendre V l, illetve F l azon l hosszú, W (0,h) -beli sétá számát, amelye ezdő lépése vízszintes (balra vagy jobbra lépés), illetve függőleges (felfelé vagy lefelé lépés). Eor l = h 2 2 esetén V l = F l ; l h 2 2 esetén V l F l ; l h 2 2 esetén V l F l. Továbbá, ha l h 2 2, aor V l = F l csa V l = F l = 0 esetén fordulhat elő, azaz csa aor, ha l olyan, hogy W (0,h) [l] = Lemma. (Nagy Szalai [3]) Legyen h 2 és rögzített, valamint jelölje J l (illetve L l ) azon l hosszú, W (0,h) -beli sétá számát, amelye ezdő lépése jobbra lépés (illetve lefelé lépés). Eor l = (h )(2h 1) esetén J l = L l ; l (h )(2h 1) esetén J l L l ; l (h )(2h 1) esetén J l L l. Továbbá, ha l (h )(2h 1), aor J l = L l csa J l = L l = 0 esetén fordulhat elő. A 3.4. alfejezetben a probléma magasabb dimenziós változatát tárgyalju. A sorozato onvexitásána megfelelője a (diszrét) szubharmoniusság lesz: Azt mondju, hogy az f: Z n R diszrét függvény (loálisan) szubharmonius a Z n pontban, ha f() 1 2n j N() f(j), ahol N() a pont Z n -beli szomszédaina halmaza, azaz a standard bázisvetoroat e 1,..., e n -nel jelölve, N() := { ± e i : i = 1,..., n}. A övetező valószínűségeet vizsgálju tetszőleges rögzített d 2 dimenzióban: Adott h N és = ( 1,..., d 1 ) Z d 1 esetén legyen p h anna az eseményne a valószínűsége, hogy Z d -ben a (0,..., 0, h) pontból induló véletlen séta a ( 1,..., d 1, 0) pontban lép először az x d = 0 hipersíra. A 3.1. Tétel magasabb dimenziós megfelelője a övetező tétel, melyet Toti Vilmos bizonyított: Tétel. (Nagy Toti [4]) A Z d 1 p 1 függvény szubharmonius minden 0 pontban. A tétel visszavezethető a síbeli esetre. Analóg módon apju a 3.3. Tétel magasabb dimenziós változatát: Tétel. (Nagy Szalai [3]) A Z d 1 p h függvény szubharmonius a [h 1, ) d 1 Z d 1 halmaz pontjaiban tetszőleges rögzített h 2 esetén. 8

10 Az érteezés alapját épező publiáció [1] P. Hajnal & G. V. Nagy: A bijective proof of Shapiro s Catalan convolution, Electron. J. Combin. 21 (2014), Issue 2, Paper #P2.42, [2] G. V. Nagy: A combinatorial proof of Shapiro s Catalan convolution, Adv. in Appl. Math. 49 (2012), [3] G. V. Nagy & A. Szalai: On the convexity of a hitting distribution for discrete random wals, Acta Sci. Math. (Szeged), elfogadva (2014). [4] G. V. Nagy & V. Toti: A convexity property of discrete random wals, benyújtva (2014). Hivatozáso [5] G. E. Andrews: On Shapiro s Catalan convolution, Adv. in Appl. Math. 46 (2011), [6] D. Beno, P. Dragnev & V. Toti: Convexity of harmonic densities, Rev. Mat. Iberoam. 28 (2012), [7] W. Brecenridge, H. Gastineau-Hills, A. Nelson, P. Bos, G. Calvert & K. Wehrhahn: Lattice paths and Catalan numbers, Bull. Inst. Combin. Appl. 1 (1991), [8] J. B. Garnett & D. E. Marshall: Harmonic measure, Cambridge University Press, Cambridge, [9] R. K. Guy, C. Krattenthaler & B. E. Sagan: Lattice paths, reflections, & dimension-changing bijections, Ars Combin. 34 (1992), [10] T. Koshy: Catalan numbers with applications, Oxford University Press, Oxford, [11] W. Nichols: A path bijection, Amer. Math. Monthly 94 (1987), [12] L. W. Shapiro: Problem E2903, Amer. Math. Monthly 88 (1981), 619. [13] M. Z. Spivey: Combinatorial interpretation of the alternating convolution of the central binomial coefficients, [14] R. P. Stanley: Bijective proof problems, [15] R. P. Stanley: Catalan addendum, [16] R. P. Stanley: Enumerative combinatorics, Vol. 2, Cambridge University Press, Cambridge,