1. Permutációk MATEMATIKA

Átírás

1 7_Matematia :47 Page 7 I. Kombinatoria Az előző éveben már találoztun olyan összeszámlálási feladatoal, ahol az összes esete számát ellett meghatároznun. Foglaloztun a halmazo elemeine sorba rendezésével, a ülönböző sorba rendezése számána meghatározásával. Találoztun iválasztási feladatoal, és összeszámoltu az összes lehetséges iválasztás számát. Egyszerű eseteben eze önnyen elvégezhető volta, de ha a lehetősége száma nagyon nagy, aor az összeszámlálást nehezebben tudju elvégezni. Most felelevenítjü és rendszerezzü az eddig tanultaat, majd a ülönböző típusoat általánosítju.

2 8 MATEMATIKA I. KOMBINATORIKA. Permutáció Nagyon so esetben apun olyan érdést, amior bizonyos esete összeszámlálása a feladat. Az előző évben az ilyen érdéseet rendszereztü, megvizsgáltu a megoldáshoz vezető utaat. Az idén ezeet felelevenítjü, majd új ismereteel is bővítjü tudásunat.. példa A méteres sífutás döntőjében nyolcan állna rajthoz. Mindegyi sportoló iváló teljesítményre épes, így a verseny végeredményét csa jósolgatni lehet. Hány ülönböző imenetele lehet enne a döntőne? A döntő résztvevői egy nyolcelemű halmazt alotna. A érdés az, hogy hányféle sorrendje lehet egy nyolcelemű halmaz elemeine. Az első helyre a nyolc versenyző bármelyiét gondolhatju. A másodi helyre már csa hét versenyző valamelyie erülhet. Így az esete száma hétszereződi, azaz eddig 8 7 lehetőség van. Ezt továbbgondolva apju, hogy a nyolc versenyző sorrendje , azaz 4 -féle lehet.. példa Egy matematiai észletben számártyá található. Az általános isolában a gyeree ivette a észletből db -es, db -es, db 4-es és db 5-ös számjegyet tartalmazó ártyát. Számolju össze, hogy hányféle hétjegyű számot rahatna i ezen számártyá felhasználásával! Ha hét ülönböző számjegyün lenne, aor azo összes lehetséges sorrendje 7$ 6$ 5$ 4$ $ $, azaz 54-féle lenne. Így az 54 lehetőségben nagyon so azonos szám van. Képzeljü el, hogy az -ese ülönböző színűe. Például az 45 és a 45 is azonos. Vagyis minden lehetséges hétjegyű számot, azaz 6-szor számoltun össze. Ugyanígy gondolodva a -es számjegye miatt minden hétjegyű számot, azaz -szer számoltun össze. Eze alapján a érdésre a válaszun: 7$ 6$ 5$ 4$ $ $ 54 = = 4. $ $ $ $ 6$ n fatoriális Permutáció Az első n pozitív egész szám szorzatát n fatoriálisna nevezzü. Röviden így írju: $ $ $ f $ ^n- h$ n = n!. Megállapodás szerint:! =,! =. Legyen n db ülönböző elemün. Ezene egy sorrendjét az n elem egy permutációjána nevezzü. Az összes permutációina számát P n -nel jelöljü. Permutáció száma n ülönböző elem permutációina száma: P n = n!. Ha n darab, nem mind ülönböző tárgy ismétléses permutációina számát szeretnén meghatározni, aor tudnun ell, hogy az ismétlődőből mennyi van. Legyen ezeből rendre n, n,, n darab egyforma.

3 n P,, f n n -val jelöljü azt a számot, amely megadja, hogy n elemet hányféleéppen rahatun sorba, ha özülü n, n,, n darab egyforma. I. KOMBINATORIKA MATEMATIKA 9 n! =, ahol n, n,, n az ismét- n! $ f $ n! n elem ismétléses permutációina száma: P lődő eleme számát jelenti. n, f, n n Ismétléses permutáció száma Feladato. K Számítsu i! a)! ; b) 5! ; c)! + 6! + 9! ; d) 77! $ 87! $ 97!. 998! 47! $!! 76! $ 86! $ 96!. K Hozzu egyszerűbb alara! a) ^n-h! ^n-h^n-h; b) ^n- h! ^n+ hn; ^n + h! ^n + h! c) ; d) ; ^n + h ^n + h! e) n! + ^n+ h! ; f) ^n+ h! - n!.. K Hány permutációja van a a) MISKOLC; b) BUDAPEST szó betűine? 4. K Hány permutációja van az a) EGER; b) HATVAN; c) TATA szó betűine? Hány darab olyan tízjegyű szám van, amelyben minden számjegy pontosan egyszer sze- 5. K repel? 6. K Hányféleéppen lehet sorba rani 5 ülönböző almát és 6 ülönböző örtét, ha az almá mindig a sor elején vanna? 7. K Egy automatába bedobtun db százas és 7 db étszázas pénzérmét. Hányféle sorrendben tehettü ezt meg? 8. K A páratlan számjegye mindegyiéne felhasználásával hány darab a) ötjegyű; b) ötjegyű, hárommal osztható; c) ötjegyű, 9-re végződő; d) ötjegyű, -mal ezdődő szám észíthető?

4 MATEMATIKA I. KOMBINATORIKA 9. K A páros számjegye mindegyiéne felhasználásával hány darab a) ötjegyű; b) ötjegyű, ilenccel osztható; c) ötjegyű 4-gyel osztható; d) ötjegyű, -zel osztható szám észíthető?. K Hányféle sorrendben rahatju i a magyar ártyából a nyolc piros és a nyolc ma lapot, ha egymás után ülönböző színű lapona ell övetezni? További feladato: Matematia gyaorló és érettségire felészítő feladatgyűjtemény II. 5 6., 84.. K Egy 8 tagú társaság egy ere asztalnál foglal helyet. Hányféleéppen ülhetne le, ha a szée nem számozotta?. K Hány eleme volt a halmazna, ha az adott elemszámot -mal csöentve a permutáció száma a 6-adára csöent?. Variáció. példa Hány darab hárombetűs (nem feltétlenül értelmes) szó épezhető az ISKOLA szó betűiből, ha minden szóban egy betű csa egyszer szerepelhet? Három betűt ell iválasztanun, de az is fontos, hogy milyen sorrendbe tesszü ezeet. Az első helyre bármelyiet tehetjü a hat betű özül, a másodi helyre eggyel evesebb a választási lehetőségün. Ez eddig 6 5 eset. A harmadi helyre már csa négy lehetőségün marad. Ez négyszerezi az eddigi esete számát. Vagyis 6 5 4, azaz megfelelő szó épezhető. V n -val jelöljü azt a számot, amely megadja, hogy n ülönböző elemből hányféleéppen választhatun i ( n) elemet az összes lehetséges sorrendben. Variáció száma n ülönböző elem -ad osztályú ismétlés nélüli variációina száma: V n n n n! n = $ ^ -h$ f $ ^ - + h=, ahol n és pozitív egésze, és n. ^n - h!. példa Egy pénzérmével háromszor dobun. Hányféle dobássorozat alaulhat i, ha a dobáso sorrendjét is figyelembe vesszü? Adju meg ezeet a dobássorozatoat! Egy dobás alalmával ét lehetőség van: fej vagy írás. Jelöljü ezeet F és I betűel! Ezeből a betűből ell hármas csoportoat észítenün, olyan módon, hogy a sorrend is számít. Elészíthetjü a lehetősége gráfját:

5 Első dobás F I I. KOMBINATORIKA MATEMATIKA Másodi dobás F I F I Harmadi dobás F I F I F I F I Vagyis az összes esete száma: = = 8. Az ábráról önnyen leolvashatju az eseteet: FFF, FFI, FIF, FII, IFF, IFI, IIF, III. V ^ i h n -val jelöljü azt a számot, amely megadja, hogy n ülönböző elemből a sorrend figyelembevételével hányféleéppen választhatun i darabot (egy elemet többször is választhatun). n ülönböző elem -ad osztályú ismétléses variációina száma: Vn ^ih= n, ahol n és pozitív egésze. Ismétléses variáció száma Feladato. K Egy vetéledőn a döntő szereplői az első és a másodi helyért versenyezne. Tudju, hogy pontosan 56 lehetőség van a ét ülönböző díj megszerzésére. Egy versenyző maximum egy díjat aphat. Hányan szerepelne a döntőben?. K Hány darab háromjegyű szám épezhető a 4 68 szám számjegyeine a felhasználásával, ha a számjegye a) nem ismétlődhetne; b) ismétlődhetne?. E Hány darab legfeljebb ötjegyű, természetes szám írható fel a hetes számrendszerben? 4. K Írju fel a KERT szó betűiből épezhető hárombetűs (nem feltétlenül értelmes) szavaat, ha minden betű csa egyszer szerepelhet egy szóban! 5. K Az isolai Ki mit tud? döntőjébe tizenét tanuló jutott. Az első öt helyezett ap öt ülönböző díjat. Hányféle sorrend alaulhat i? 6. K Hány ember indulhat azon az úszóversenyen, ahol az arany-, ezüst-, bronzérme iosztása -féleéppen történhetne? 7. K Egy rejtvénypályázatra 6 jó megfejtés érezett. A helyes megfejtést beüldő özött sorsolással iosztana ülönböző díjat. Egy megfejtő maximum egy díjat aphat. Hányféle eredményt hozhat a sorsolás? 8. K Hány olyan ötjegyű szám van, amelyben minden számjegy ülönböző? 9. K Egy 8 fős osztályban az óra elején a tanár bejelenti, hogy ma hárman fogna felelni. Hányféleéppen alaulhat a felelő sorrendje?. K Egy szarendelésen 4 orvos rendel párhuzamosan egymás melletti rendelőben. Az érező betege bármelyi orvoshoz bejelentezhetne a sorszámu leadásával. Hányféleéppen jelentezhet valamely napon az első beteg a 4 orvosnál? További feladato: Matematia gyaorló és érettségire felészítő feladatgyűjtemény II

6 MATEMATIKA I. KOMBINATORIKA. Kombináció. példa Hány darab háromszöget határoz meg darab olyan pont a síban, amelye özül semelyi három nincs egy egyenesen? Három pontot iválasztun, és azo egyértelműen meghatározna egy háromszöget, hiszen semelyi három nincs egy egyenesen. Ha a iválasztott ponto sorrendjére is figyelün, aor az összes eset száma: 99. Ezeben az eseteben három pont minden lehetséges sorrendje szerepel, pedig a három pont iválasztásaor nem érdees a sorrend. Bármilyen sorrendben is választottu i őet, ugyanazt a háromszöget határozzá meg. Mivel három pontot -féle sorrendben tudun iválasztani, ezért az összes esete száma: $ $ 99 = $ $ C n -val jelöljü azt a számot, amely megadja, hogy n elemből hányféleéppen választhatun i ( n) elemet a sorrend figyelembevétele nélül. Kombináció száma n elem -ad osztályú ombinációina száma: n C n! nn $ f $ n n = =, ahol n és pozitív egésze és n.! n- = ^ - h ^ - + h ^ h $ f $ n Megállapodás: C n = =, C = =. Két fontos összefüggés, amelyeet már az előző tanévben tanultun: n n, = n - n + n n = +. - OLVASMÁNY. példa Egy öttagú család hűtőszerényéne ajtaját étszer nyitottá i rövid időn belül. Hányféle változatban történhetett ez meg, ha ugyanaz a személy étszer is inyithatta az ajtót, és a sorrendet nem vesszü figyelembe? A család tagjait jelölje: A, B, C, D, E. Ebből az öt elemből ell ettes csoportoat épeznün úgy, hogy egy elem étszer is szerepelhet, és a sorrendjü nem lényeges. A lehetséges eseteet fel tudju sorolni: AA, AB, AC, AD, AE, BB, BC, BD, BE, CC, CD, CE, DD, DE, EE. Vagyis 5-féle változatban nyithattá i a hűtőszerény ajtaját.

7 I. KOMBINATORIKA MATEMATIKA. példa Egymás mellett elhelyeztün 4 osarat. Hányféleéppen helyezhetün el ezeben egyforma almát? A osaraat egymás mellé helyeztü, így azo megülönböztethető, az almá azonban egyformá. Két elhelyezést aor teintün ülönbözőne, ha legalább egy osárban megváltoztatju az almá számát. Minden elhelyezést a és a 5 jeleel fogun megadni. Ha az első osárba nem erül alma, aor jellel ezdün, ha erül bele alma, aor annyi 5 jelet rajzolun, ahány alma az első osárban van, majd ezután jel övetezi. Ezután annyi 5 övetezi, amennyi alma a másodi osárban van. Ha ebben a osárban nincs alma, aor ét jel lesz egymás mellett. Ezt folytatva minden elhelyezést darab 5 és darab ír le. Például a jelsorozat jelentése: az első osárban 4 db, a másodiban db, a harmadiban db, a negyediben db alma található. Összesen annyi elhelyezése lesz az almána, ahányféleéppen a darab 5 és a darab jel egymás mellé írható. Azaz ahányféleéppen a hely özül iválasztható az a hely, ahová a jel tehető. Ez elem -adosztályú ombinációina számával egyenlő: C $ $ = = = 86. $ $ Vagyis 86-féleéppen helyezhetjü el a almát a 4 osárban. Az előző példát általánosságban így fogalmazhatju meg: Egymás mellett elhelyeztün n darab osarat. Hányféleéppen helyezhetün el ezeben darab egyforma almát? Ha gondolatmenetünet n-re és -ra alalmazzu, aor: n - n Cn = , n - de ezt tudju a övetező alaban is írni: n Cn = A ombinációna ezt a sajátos fajtáját ismétléses ombinációna nevezzü. n n elem -adosztályú ismétléses ombinációina száma: Cn ^ ih = e + - o, ahol n és pozitív egésze. Ismétléses ombináció száma Megjegyzés A. példában is ismétléses ombináció szerepelt. Ott öt elem másodosztályú ismétléses ombinációina számát határoztu meg. Mivel az esete száma nem volt túl so, ezért egyesével meg tudtu számolni. A éplet ismeretében most már így is eljárhatun: 5 6 C i $ ^ h = e + - o= = = 5. $ 4. példa Képzeljü el az ötös lottó játéna a övetező módosítását: az első 9 pozitív egész szám özül ell bejelölni 5 darabot, de egy számot többször is választhatun. (A nyerőszámona nem feltétlenül ell öt ülönböző számna lenni, elépzelhető, hogy a,,,, vagy aár a 89, 89, 89, 89, 89 lesz a nyerő.) Hány darab játészelvényt ellene itöltenün, ha biztosan szeretnén egy telitalálatosat? Ez hányszor több, mint amennyi a hagyományos ötös lottón ellene a biztos telitalálathoz?

8 4 MATEMATIKA I. KOMBINATORIKA Az így módosított játéban 9 elem 5-ödosztályú ismétléses ombinációiról van szó. Eze száma: C i ^ h $ $ $ $ = = = = $ $ $ 4 $ 5 9 A hagyományos ötös lottó esetén ez a szám: C $ $ $ $ = =. 5 $ $ $ 4 $ 5 94 $ 9 $ 9 $ 9 $ 9 C9 5 ^ih Eze alapján: $ $ $ 4$ 5 94 $ 9 $ 9 $ 9 $ 9 = =.,5. C9 5 9 $ 89 $ 88 $ 87 $ 86 9 $ 89 $ 88 $ 87 $ 86 $ $ $ 4$ 5 Vagyis a módosított játé esetén b.,5-szor több szelvényre lenne szüség a biztos telitalálathoz, mint a hagyományos változatban. Feladato. K Egy 8 fős osztály tanulói özül 6 tanuló épviseli az osztályt egy rendezvényen. a) Hányféleéppen választható i ez a 6 tanuló? b) Hányféleéppen választható i az a tanuló, ai nem vesz részt ezen a rendezvényen?. K Számítsu i! a) ; b) ; c) ; d) K Az ötös lottó hazán egyi legrégebbi számsorsjátéa: ilencven számból ötöt ell megjelölni. A játéos aor nyer, ha a isorsolt öt szám özül legalább ettőt eltalált, és aor ér el telitalálatot, ha az általa megjelölt mind az öt szám egyezi a isorsolt nyerőszámoal. Ez a lasszius lottó már 957 óta játszható ebben a formában. Hány darab ülönböző-féleéppen itöltött lottószelvény épzelhető el egy játéhéten úgy, hogy azon a) pontosan ét találat legyen; b) ne legyen találat; c) ne legyen nyeremény? 4. K A hatos lottó játéban negyvenöt számból hatot ell megjelölni. A játéos aor nyer, ha a isorsolt hat szám özül legalább hármat eltalált, és aor ér el telitalálatot, ha az általa megjelölt mind a hat szám egyezi a isorsolt nyerőszámoal. A sorsoláson már ihúztá a,, 4 számoat. Hányféleéppen épzelhető el most a telitalálatos szelvény? 5. K A sandináv lottó játéban harmincöt számból hetet ell megjelölni. A sorsoláson hét számot géppel, hét számot ézzel húzna i. Aor nyer a játéos, ha bármelyi isorsolt hét számból legalább négy találata van. Egy szelvény az iersorsolás mindét számsorsolásán automatiusan részt vesz, és aár mindét sorsoláson lehet találata. a) Ha valai a 6,, és 5 számoat minden szelvényen be szeretné jelölni, aor összesen hány játészelvényt tudna ülönböző módon itölteni? b) Egy játéosna az ötödi nyerőszám ihúzása után öt találata van. Minimum hány szelvénnyel játszhatott, ha már biztosan tudja, hogy lesz telitalálata? További feladato: Matematia gyaorló és érettségire felészítő feladatgyűjtemény II , 79., E A 4 fős osztályban jelölt van az osztálytitári tisztség betöltésére. Mindeni (a jelölte is) egy jelöltre szavazna. Hányféle eredménye lehet a szavazásna? 7. E A lapos magyar ártyából 5 lapot osztun. Hányféle eset lehetséges, ha csa a színeet vesszü figyelembe?

9 I. KOMBINATORIKA MATEMATIKA 5 4. Binomiális tétel Két tag négyzetre emelését, ét tag öbre emelését már a orábbi éveben megtanultu: (a + b) = a + ab + b. (a + b) = a + a b + ab + b. (a + b) (a + b) Ezehez az azonosságohoz úgy jutottun, hogy a ét-, illetve a háromtényezős szorzatot a szorzáso és az összevonáso elvégzése után rendezett többtagú ifejezésént írtu fel. Ezt a módszert bármilyen pozitív egész itevő esetén alalmazhatju.. példa Írju fel rendezett többtagú ifejezésént az (a + b) 4 hatványt! 4 ^a+ bh = ^a+ bh ^a+ bh = ^a + ab+ b h^a + ab+ b h= 4 4 = a + a b+ a b + a b+ 4a b + ab + a b + ab + b = 4 4 a + 4a b+ 6a b + 4ab + b. Nagyobb itevő esetén egyre hosszadalmasabb lesz a számítás. Keressün mási utat!. példa Írju fel rendezett többtagú ifejezésént az (a + b) 6 hatványt! 6 Tudju, hogy ^a+ bh = ^a+ bh^a+ bh^a+ bh^a+ bh^a+ bh^a+ bh. A hat tényező ét-ét tagja (a és b) özül minden lehetséges módon össze ell szoroznun egyet-egyet. A övetező esete adódna: Ha a-t 6 tényezőből választju, aor b-t -ból. Eor a szorzat: a 6. Ha a-t 5 tényezőből választju, aor b-t -ből. Eor a szorzat: a 5 b. Ha a-t 4 tényezőből választju, aor b-t -ből. Eor a szorzat: a 4 b. Ha a-t tényezőből választju, aor b-t -ból. Eor a szorzat: a b. Ha a-t tényezőből választju, aor b-t 4-ből. Eor a szorzat: a b 4. Ha a-t tényezőből választju, aor b-t 5-ből. Eor a szorzat: ab 5. Ha a-t tényezőből választju, aor b-t 6-ból. Eor a szorzat: b 6. Eze a szorzato leszne (megfelelő együtthatóval) a eresett rendezett többtagú ifejezés tagjai. Az együtthatói adjá meg, hogy a hat tényezőből hányféleéppen lehet iválasztani azoat, amelye a megfelelő számú b tényezőt adjá. Például, ha a hat tényezőből darab b-t választun, aor ez ombináció számána meghatározását jelenti. Hányféleéppen tudju iválasztani a hat darab (a + b) tényezőből azt a ettőt, amelyiből a b-t választju? Ezt -féleéppen tehetjü meg, vagyis az a 4 b együtthatója 6 5 lesz. Az összes együtthatót ilyen módon meghatározzu: e 6,,,,,,. o= = 6 = 5 = = 5 = e 6 o= Tehát: ^a+ bh = a + 6a b+ 5a b + a b + 5a b + 6ab + b.

10 6 MATEMATIKA I. KOMBINATORIKA Binomiális együttható A matematiai szairodalom a éttagú ifejezéseet binomna mondja. Ezért a binomo hatványozásaor megjelenő együtthatóat binomiális együtthatóna nevezzü. Az n és n a természetes számo, és # n. Binomiális tétel Bizonyítható, hogy ezeel az együtthatóal az (a + b) éttagú ifejezés n =,,, itevőjű hatványai mind felírható: ^a+ bh = a+ b = a+ b; ^a+ bh = a + ab+ b = a + ab+ b ; ^a+ bh = a + a b+ ab + b = a + a b+ ab + b ; Az általános esetet a binomiális tételben fogalmazzu meg: (a + b) n Az a és b tetszőleges valós számo összegéne az n pozitív egész itevőjű hatványát a övetező módon számíthatju i: n n n a b ab n n a n- b. a n- b n n ab n ^ + h = + + f+ + f+ A tétel például teljes inducióval bizonyítható, de ettől most elteintün. n n Tudju, hogy = =, továbbá a = b =, ezért a tétel jobb oldalán szereplő ifejezés n első és utolsó tagját a n, illetve b n alaban is írhatju. Ha az eddigiehez még hozzátesszü, hogy ^a+ bh = =, aor a binomiális együtthatóat soronént felírva a övetező elrendezést apju: Tudju, hogy minden sorban az első és az utolsó szám. Amelyi sorban csa egy szám van, azt nevezhetjü nulladi sorna, így minden binomiális együttható annyiadi sorban van, amennyi a felső szám értée. n + n n Az előző lecében láttu, hogy = +, ezért a fenti elrendezésben a soro - bármely nem szélső száma a felette balról és jobbról álló ét szám összege lesz.

11 I. KOMBINATORIKA MATEMATIKA 7 4 Például: = +. Így a binomiális együtthatóat gyorsan fel tudju írni A éttagú ifejezése hatványozásaor apható együtthatóna ezt az elrendezését Pascalháromszögne nevezzü.. példa A Pascal-háromszög segítségével írju fel rendezett többtagú ifejezésént a (x + ) 7 hatványt! A Pascal-háromszög hatodi sorát már meghatároztu: A tanult módon a hetedi sor a övetező lesz: Eze alapján: ^x+ h 7 = ^xh $ ^xh 6 + $ ^xh $ ^xh $ ^xh + $ ^xh + 7 $ ^xh+ = = 8x x x x 4 + 8x + 84x + 4x+. Pascal-háromszög A Pascal-háromszögben nagyon so érdeesség felfedezhető. Példaént mutatun egyet! Adju össze soronént a számoat, és vizsgálju az így apott összegeet: + = + + = = = = Eze az összege ettőne a hatványai lette: =, =, 4 =, 8 =, 6 = 4, Az eddig apott ettőhatványo esetén a itevő pontosan a megfelelő sor sorszámával azonos. Az így ialaított sejtésünet a övetező példában igazolju. Blaise Pascal (6 66) francia matematius, fizius és író apja neveléséne hatására már fiatalorában szellemileg nagyon gyorsan fejlődött. Egyi leghíresebb tételét (a úpszeletebe írt hatszögeről szólót) tizenhat évesen fedezte fel. 5 éves orában a Port Royal-i olostorba vonult, de azután sem hagyott fel a tudománnyal és az irodalommal. A binomiális együtthatóat tanulmányozva módszert adott a iszámításura. (Ezt Kínában már jóval orábban ismerté, de az együttható özötti törvényszerűségeet számunra a Pascal-háromszög mutatja igen szemléletesen.) Pascal matematiai munássága nagyon sorétű volt. 4. példa Igazolju, hogy a Pascal-háromszög n-edi sorában a számo összege n lesz! Írju fel a binomiális tételt a =, b = esetén: n n n n. n n- n n ^ + h = $ $ + $ $ + f + $ $

12 8 MATEMATIKA I. KOMBINATORIKA Vagyis valóban igaz: n n n n = + + f +. n A özépori ínai matematiában az aritmetiai és algebrai feladato mellett ombinatoriai jellegű érdése is felbuanta. Kombinatoriáról mint a matematia egyi önálló ágáról Fermat, Pascal, Jacob Bernulli és Leibniz munássága óta beszélhetün. Az 78-as éveig a matematiána ez az ága nem fejlődött tovább. Eor Németországban ialault egy omoly fejlődést mutató isola. A övetező nagy felvirágzást a XX. század hozta. Az 95- es évetől a számítógépe olyan ombinatoriai feladato megoldását tetté szüségessé, amelye ialaítottá a ombinatorius algebrát. Enne az irányzatna egyi legnagyobb épviselője Erdős Pál (9 996) volt. Világszerte elismert ezen a területen Lovász László (948 ) tevéenysége is. Lovász László Feladato. K Írju fel rendezett többtagú ifejezésént a övetező hatványoat! a) ^x + h 4 ; b) x 6 5 ^ - h ; c) ^x+ yh ; d) ^x- yh 4.. K Írju fel a övetező hatványo rendezett többtagú alajában a hatodfoú tag együtthatóját! a) ^x + 5h 6 ; b) ^x -h 9 ; c) ^x - h 8 ; d) ^x + h 7. További feladato: Matematia gyaorló és érettségire felészítő feladatgyűjtemény II. 9., 9.. K Adju meg egy binomiális együtthatóval a övetező összegeet! a) ; b) E Igazolju, hogy az n elemű halmaz részhalmazaina száma n lesz! 5.E Igazolju, hogy ha a Pascal-háromszög n-edi sorában a számoat váltaozó előjellel öszszeadju, aor -t apun!

13 7_Matematia 5... :6 Page 9 II. Gráfo A. osztályban már megismeredtün a gráfoal. Megtanultu a legfontosabb alapfogalmaat: az egyszerű gráf, a teljes gráf, az összefüggő gráf fogalmát. Megismertü a gráf pontjai foszámána jelentését, és e fogalom használatát a ülönböző gráfelméleti érdése és gyaorlati problémá megoldásában. Ebben a fejezetben először összefoglalju a már tanult legfontosabb fogalmaat, tételeet, majd új gráfelméleti fogalmaal és azo használatával ismeredün meg, özülü először az Euler-vonallal. 76-ban Leonhard Euler azt a felérést apta, hogy tervezzen Königsberg városában egy olyan sétautat, mely a várost átszelő Pregel folyó mind a 7 hídján átvezet úgy, hogy minden hídon egyszer és csa egyszer halad eresztül. E probléma megoldásával született meg maga a gráfelmélet. Ebben a fejezetben mi is átteintjü e probléma megoldásána lényegét. Ezt övetően a fagráfoal és az irányított gráfoal, valamint eze néhány egyszerű gyaorlati alalmazásával találozhatun.

14 MATEMATIKA II. GRÁFOK. Mit tanultun a gráforól? (Ismétlés) Az előző évben már megismeredtün a gráfelmélet legfontosabb alapfogalmaival, tételeivel. Mielőtt tovább vizsgálódun a gráfo világában, foglalju össze ezeet az alapvető ismereteet! Gráf Gráf Legyen adott n darab pont (n > ) és e pontoból vett pontpáro özül néhányat összeötő vonal. (Lehetséges, hogy minden pontpárt összeötöttün, de az is lehet, hogy egyet sem; az is előfordulhat, hogy valamely ét pontot több vonallal is összeötöttün.) Az ilyen alazatot gráfna nevezzü. A ponto a gráf pontjai (csúcsai), a vonala a gráf élei. Többszörös él Többszörös él Ha egy gráf valamely ét csúcsát egynél több él öti össze, aor azoat többszörös élne nevezzü. Huroél Huroél Ha egy gráfban valamely él ét végpontja egybeesi, aor ezt huroélne nevezzü. Egyszerű gráf Egyszerű gráf Egy gráfot egyszerű gráfna nevezün, ha sem többszörös élt, sem huroélt nem tartalmaz. Összefüggő gráf Összefüggő gráf Egy gráf összefüggő, ha bármely csúcsából bármely csúcsába eljuthatun éleen eresztül. Mint láttu, nagyon fontos és hasznos fogalom számunra a gráf csúcsaina a foszáma. A gráf csúcsaina foszáma A gráf csúcsaina foszáma A gráf pontjaina (csúcsaina) foszáma a érdéses pontból iinduló éle száma. Ha egy pont foszáma (azaz egyetlen él sem indul i belőle), aor e pontot izolált pontna nevezzü. Észrevettü, hogy bármely gráfban a csúcso foszámána az összege egyenlő az éle számána étszeresével. Enne pedig egyenes övetezménye, hogy bármely gráfban a páratlan foú csúcso száma páros. Egy fontos speciális gráf a teljes gráf. Teljes gráf Teljes gráf Egy egyszerű gráfot teljes gráfna nevezün, ha bármely ét ülönböző csúcsa össze van ötve egy éllel. A teljes gráf csúcsai és élei özötti fontos összefüggés: nn ^ -h Az n pontú teljes gráf éleine a száma:.

15 II. GRÁFOK MATEMATIKA Nézzün minderre néhány egyszerű példát!. példa Rajzoljun olyan 7 pontú gráfot, melyben az egyes csúcso foszáma a) 6, 5, 5, 4,,, ; b) 6, 6, 4,,,,.. (6) (5) (5) a) Érdemes iindulni a legmagasabb foú csúcsból, hiszen az enne megfelelő pont minden más ponttal össze van ötve. Eztán már önnyen elészíthetjü a megfelelő ábrát. (. ábra) b) Ilyen gráf nem létezi. Ha ugyanis valamely csúcs foszáma 6, aor az azt jelenti, hogy ez a csúcs minden más csúccsal össze van ötve. Esetünben ét darab ilyen csúcs van, vagyis e ét csúccsal minden más csúcs össze van ötve. Tehát minden csúcs foszáma legalább, vagyis nem lehet olyan csúcs, melyne foszáma. () () () (4). példa Hány pontú lehet az a teljes gráf, melyben az éle száma ötne többszöröse? Ha az éle száma osztható öttel, aor valamely pozitív egész számra nn ^ - h = 5, azaz nn ^ - h=. A apott egyenlet bal oldala ét szomszédos egész szám, így valamelyi biztosan páros. Eze szerint vagy n, vagy n - öttel osztható szám ell, hogy legyen. n = m vagy n- = 5m, ahonnan n = 5m+. Eze szerint az n pontú teljes gráf éleine a száma aor és csa aor osztható öttel, ha n osztható öttel vagy n öttel osztva maradéot ad.. példa Egy nyugdíjaslub ét lubvezetője irándulást szervezett, melyen rajtu ívül még nyugdíjas vett részt. A ét lubvezető mindenit ismert a társaságban. A nyugdíjaso özül heten volta olyano, ai özül mindeni mindenit ismert. A többie a lubvezetőn ívül senit sem ismerte a társaságban. Találozásor, ai nem ismerté egymást, ézfogással bemutatozta egymásna. Hány ézfogás történt? Ha elépzeljü a társaság ismeretségi gráfját, aor ebben a ét lubvezető foszáma. Azon 7 nyugdíjas foszáma, ai özül mindeni mindenit ismer 8, hiszen minden ilyen nyugdíjasna megfelelő pontból 6 + él indul i. A további 5 nyugdíjasna megfelelő csúcs foszáma, hiszen ő csa a lubvezetőet ismeri. Eze szerint ebben a gráfban az éle száma (a csúcso foszámai összegéne a fele): $ + 7$ 8+ 5$ = 46. Azt ell iszámítanun, hány élt ell még berajzolnun ebbe a gráfba, hogy teljes gráf legyen. Mivel a 4 pontú teljes gráf éleine a száma: 4 $ = 9, így még 9-46 = 45 új él ell, hogy teljes gráfot apjun. Tehát a feltételeből övetezi, hogy összesen 45 ézfogásra erült sor.