Newton korai matematikai munkássága. Newton-kurzus,

Átírás

1 Newton korai matematikai munkássága Newton-kurzus,

2 Az óra szerkezete I Newton matematikai forrásai II III IV Avagy milyen keretek között indult a tevékenysége Kvadratúrák, binomiális tétel Avagy hozzáállás, kiinduló problémák, első sikerek Az analízis alaptétele Avagy egy egységes módszertan születése A fluxióelmélet Avagy a módszertan elméleti alapvetése és problémái

3 I Newton matematikai forrásai 66: Cambridge, Trinity College 664: elkezd matematikával foglalkozni, és s egy ideig gyakorlatilag semmi mással m Két K év v alatt a semmiből valósz színűleg kora legügyesebb gyesebb matematikusává képzi magát Forrásai: Descartes: La Géométrie (2) latin kiadás: Franz van Schooten,, 66 Ebben egyéb b munkák összefoglalói, főként f François Viète John Wallis: Arithmetica Infinitorum,, 655 (De a matematika nagykönyvét,, Eukleidész Elemekjét ekkor még m g nem ismeri újszerű keretben dolgozik)

4 I A klasszikus matematika Az antik matematikai tradíci ció = az Elemekben ábrázolt matematika: Kizárólag geometria: minden matematikai probléma geometriai kontextusban lép l p fel Nem numerikus: nem konkrét t mennyiségi viszonyokra kíváncsi, hanem tetszőleges nagyságok összefüggéseire Szigorúan demonstratív: minden állítást bebizonyít Axiomatikus-dedukt deduktív: az állításokat visszavezeti egymásra és s végül v l néhány n ny közös k s alapáll llításra 7 sz: a csalhatatlan észhasználat és s az általa előáll llított megkérd rdőjelezhetetlen, biztos mintaképe De: semmit sem tudnak hozzátenni, sőt s

5 I2 A modern matematika sz: Főként F arab hagyományon alapuló algebrista tradíci ció feléled: led: Mennyiségek közötti k viszonyok kifejezése mennyiségek manipuláci ciójának segíts tségével Gyakorlat által motivált számítások, sok, számmisztika és -szimbolika Barkácsolás :: nincs egységes ges módszertan, m nincsenek bizonyítások, hiányzik az egyetemesen érvényes igazságok kimutatásának igénye 7 sz (főként eleje): alantas, megbízhatatlan, mesterségbeli ügyeskedés, s, nem tudomány De: rohamosan fejlődik

6 I2/a François Viète (54-63) 63) 6 sz vége: v minden fennmaradt antik matematikai műm feldolgozásra kerül + az arab matematika is + ezen is túllépnek: harmad- és s negyedfokú egyenletek megoldásai ars analyticae : : betűalgebra magánhangz nhangzókkal az ismeretlent, mássalhangzm ssalhangzóval az ismertet paraméter ter-szerű elgondolás: általános megoldások Trigonometrikus megoldások algebrai egyenletekhez pl egy 45-öd d fokú egyenlet mo-a ilyen úton: nagy siker Másod- és s harmadfokú egyenletek gyökei és s együtthat tthatói közti összefüggések ( Viete( Viete-formulák ) Egyenletek általános kezelése, szimbolikus, algebrai jellegű matematikai gondolkodás

7 I2/b René Descartes (596-65) 65) La Géométrie: : eredetileg az Értekezés s a módszerrm dszerről függelékének szánja A legforradalmibb műm a korban (v( vö pl Fermat), és s a legnagyobb hatással van a század zad 2 felére Apollóniosz niosz, Papposz stb belátásainak rendszerezése se és egységes ges keretbe ágyazása: analitikus geometria őse A A geometria bármely b problémája visszavezethető erre a tételre: telre: bizonyos vonalak hosszának ismerete elegendő a megszerkesztéshez shez vonalszakaszokat konkrét t mennyiségekkel reprezentál, és s a probléma megoldását t algebrai egyenletekkel végzi v el (ahány ismeretlen vonal, annyi egyenlet) + görbék algebra és s geometria egysége ge

8 I2/c John Wallis (66-73) 73) Arithmetica Infinitorum: : görbék alatti területek és görbékhez húzott érintők végtelen kis részekre való osztás révén (Cavalieri( módszere algebrásítva) Végtelen sorokkal operál Megmutatja pl: az x n görbe alatti terület x n+ /n+ egész kitevőkre (az első 9 esetre megnézni, majd általánosít) Fő problémája: a kör területe Newton pontosan ezekből l a problémákb kból l indul ki

9 II Kvadratúrák, binomiális tétel Eleinte: Kúpszeletek szerkesztése és sokféle algebrai kifejezése Descartes alapján 6 hónap után: görbék vizsgálatára általános algebrai módszereket dolgoz ki Haveing y e nature of a crooked line expressed in Algebr: termes to find its axes, to determin it & describe it geometrically &c Görbület vizsgálata közelítő (simuló) körökkel: Descartes + érintő szerkesztése egy adott pontban Kvadratúrák: görbék négyszögesítései, vagyis a görbe alatti terület kiszámítása egyenlő területű téglalap szerkesztésével (Wallis( Wallis) Nem a klasszikus geometria felől közelít (alig ismeri)

10 II A kör négyszögesítése A negyedkört kifejező egyenlet: y = ( - x 2 ) ½ Wallis problémája: Tudjuk, hogy ( - x 2 ) alatti terület x ( - x 2 ) alatti terület x - x 3 /3 ( - x 2 ) 2 alatti terület x - 2x 3 /3 + x 5 /5 ( - x 2 ) 3 alatti terület x - 3x 3 /3 + 3x 5 /5 - x 7 /7 stb Hogyan lehet ebből ( - x 2 ) ½ esetére interpolálni? Wallis adott egy megoldást Newton egy általánosabbat, amiből elég messzire tudott továbblépni

11 II/a Az együtthatók táblázata [] [] [2] [3] [4] [5] x - x 3 / x 5 / x 7 /7 4 5 Milyen szabályosságot látunk? (Pl az oszlopok hatványai )

12 II/b A keresett összefüggés Newton nem a Pascal-háromsz romszögre mozdul rár Az első tag együtthat tthatója mindig, a másodikm sodiké mindig n Összefüggés: (n - )/ (n - )/2 (n - 2)/3 ez alapján n jönnek j ki az együtthat tthatók Pl n = 4 esetén - harmadik együtthat ttható: : (4 - )/ (4 - )/2 = 4 3/2 = 6 - negyedik együtthat ttható: 6 (4-2)/3 = 6 2/3 = 4 - ötödik együtthat ttható: : 4 (4-3)/4 = 4 /4 = - hatodik együtthat ttható: (4-4)/5 = 4 = és s innentől l Honnan tudjuk? Ránézett, R és s bejött tt

13 II/c Interpoláció a körre Ez már m nyilván érvényes törtkitevt rtkitevőkre kre is, pl ½-re Így a ( - x 2 ) ½ alatti terület: x - (/2)x 3 /3 - (/8)x 5 /5 - (/6)x 7 /7 - (5/28)x 9 /9 - Míg g az egész kitevők k esetén n a sor mindig véges, v törtkitevőknél l végtelen v sorokat kapunk végtelen sorral közelíthetjük itt π értékét De Newton egyáltal ltalán n nem számolta ki: tökéletesen t megbízott módszerm dszerében a jól j l ismert érték k kiszámítása sa nem lenne kihívás

14 II2 A logaritmus kvadratúrája Ugyanígy támadjuk meg a hiperbolát: ez eddig senkinek sem sikerült Az y = /x görbét nem érdemes: az x, x, x 2 alatti terület x /, x 2 /2, x 3 /3, de ebből nem látszik, mi lenne a x - alatti terület: x /??? Ehelyett toljuk el egy kicsit: y = /( + x) Ehhez: ( + x) kvadratúrája x ( + x) kvadratúrája x + x 2 /2 ( + x) 2 kvadratúrája x + 2 x 2 /2 + x 3 /3 ( + x) 3 kvadratúrája x + 3 x 2 /2 + 3 x 3 /3 + x 4 /4 stb

15 II2/a Az együtthatók táblázata [] [] [2] [3] [4] [5] x x 2 / x 3 /3 3 6 x 4 /4 4 5

16 II2/b Extrapoláció Itt most nem kettő közé kell interpolálni, lni, hanem hátrafelé extrapolálni lni egyet ez könnyebbk Ha az első sorban lesz (mind mindenütt), akkor a második sorban - kell: feltesszük, folytatódik erre a Pascal-háromszög (vagyis egy szám és s a fölötte f lévől összeadva a számt mtól l jobbra lévőt l t adja ki) Ezért a 3 sorban kell, a 4-ben -, stb Tehát ( + x) - alatti terület: x - x 2 /2 + x 3 /3 - x 4 /4 + Ismét t végtelen v sort kaptunk! Itt már m érdemes számításokat sokat végezni: v 55 jegy pontosságra logaritmus-sz számítások sok könnyedk nnyedén Megj: egy éve foglalkozik matekkal, teljesen önállóan, nincs még m BA-je sem

17 II2/c Logaritmusszámítások

18 II3 Az általános módszer Tudjuk, hogy x n alatti terület x n+ /n+ (negatív kitevőkre is) Tudjuk, hogy ha a görbe polinomiális,, akkor a kvadratúra egyenlő a tagok alatti területek összegével Ha x az első hatványon van a nevezőben, vagy törtkitevős a kifejezés, akkor végtelen sor, és tagonként kell számolni (b + x) m/n együtthatóit eszerint keressük: m (m - n) (m - 2n) (m - 3n) n 2n 3n 4n Később: tovább általánosodik (pl ha x és s y ugyanabban a tagban megjelenik, és s nem fejezhetők k ki egymás s explicit függvényeként )

19 II3/a A binomiális tétel szerepe Lényeg: görbg rbék k kifejezhetők k végtelen v sorokkal újabb algebrai reprezentáci ció a geometriai vonalakra A végtelen v sorok ugyanolyan törvt rvényeknek engedelmeskednek, mint a véges v mennyiségek az algebrában ban ( ( műveletek, egyenletek, stb) nem pusztán közelítések A binomiális tétel t tel [(b[ + x) m polinom alakjában az együtthat tthatók k meghatároz rozása] általánosítása sa a dolog motorja Elősz ször Leibniz-cel közli egy 676-os levélben lben Elősz ször Wallis Algebra-jában ban jelenik meg (685) Vö: : Newton keveset és s vonakodva publikál

20 II3/b Végtelen sorok Amit a szokásos Analízis képes egyenletek által elvégezni véges számú tagokkal (már amennyiben ez lehetséges), ugyanazt elvégezhetjük végtelen egyenletek által is, ezért nem tettem kérdésessé, hogy ezt is Analízisnek kell nevezni Ugyanis ezek a gondolatmenetek nem kevésbé bizonyosak, mint a másikak, sem az egyenletek nem kevésbé pontosak, bár mi, halandók, kiknek gondolkodása szűk keretek közé szorult, sem kifejezni, sem pedig felfogni nem tudjuk ezen egyenletek minden tagját (De De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas)

21 III Az analízis alaptétele Cavalieri, Wallis,, stb: a görbg rbék k alatti területet sok, oszthatatlanul kis terület összegeként képzeltk pzelték k el ( infinitezimálisok ) Newton: hasonló módon, de nála n nem statikus kis területek vannak, hanem mozgás által meghatározott dinamikus összegzések sek egyre erősödő mechanikai motiváci ció A végtelenül l kis szakaszok helyett pillanatnyi sebességekkel dolgozik ezzel persze nem kerülte ki az infinitezimálisokat lisokat: : a pillanatnyi sebesség g az infinitezimálisan kis idő alatt megtett út az idő a matematikában is alapvetővé válik Semmi ilyesmi nincs: tart a nullához hoz, határérték,, stb: ezek későbbi k fogalmak

22 III Az érintő meghatározása Tfh () y = a x m Ekkor kis o növekmény: (2) y + o q/p = a (x + o) m Tudjuk, hogy (2) jobb oldala: a x m + a m o x m- + blabla blabla o 2 x m-2 + blablabla blablabla o 3 x m-3 + (2) (): o q/p = a m o x m- + blabla blabla o 2 x m-2 + blablabla blablabla o 3 x m-3 /o : q/p = a m x m- + blabla blabla o x m-2 + blablabla blablabla o 2 x m-3 Mivel o végtelen kicsi, ezért a meredekség: q/p = a m x m-

23 III2 A növekmények módszere Észre kell vennünk: nk: Elősz ször, hogy azok a tagok mindig eltűnnek, ahol o nem szerepel, mert ezek megfelelnek az eredeti egyenletnek Másodszor, M ha a maradék k Egyenletet leosztjuk o-val, akkor azok a tagok szintén n eltűnnek, amelyekben o megmarad, mert ezek végtelenv gtelenül l kicsik Harmadszor, hogy a végül v l megmaradó tagok olyan formájúak lesznek, amilyeneknek lenniük k kell a kiinduló szabály alapján n (665 november 3: Hogyan találjuk ljuk meg testek sebességét t azon vonal alapján, amelyet leírnak rnak egyike a rendszerező jegyzeteinek)

24 III3 A görbe meghatározása területből Legyen a görbe alatti terület: () z = a x m (2) z + o y = a (x + o) m Ismét t (2) jobb oldala: a x m + a m o x m- + blabla blabla o 2 x m-2 + blablabla blablabla o 3 x m-3 + (2) (): o y = a m o x m- + blabla blabla o 2 x m-2 + blablabla blablabla o 3 x m-3 /o : y = a m x m- + blabla blabla o x m-2 + blablabla blablabla o 2 x m-3 Mivel o végtelen kicsi, ezért a keresett görbe: g y = a m x m-

25 III4 Egységes matematikai terület A fenti példp ldák k megmutatják: a két k t probléma (érint( rintő meghatároz rozása és s terület kiszámítása) sa) egymás inverze a kettő együtt egy egységes ges területet körvonalazk ( analízis alaptétele tele : : differenciálás és s integrálás s kapcsolata) Megjegyzés: bár b r a fenti ismertetés s kicsit csal (III3( kicsit későbbi (669), egyszerűbb az 665-ös s próbálkoz lkozásoknál), hasonló felismeréseket seket tesz a korban elősz ször r konkrét esetekben (parabola, hiperbola, stb), majd általános megfogalmazásokat dolgoz ki Ezután n 3-43 évig alig nyúl l matematikához (és( s ha igen, akkor annak mechanikai motiváci ciója van), és s jój ideig erre támaszkodik (bár r az alapokat újra és újra próbálja tisztába tenni igen sokáig nem publikálja) lja)

26 III5 A géniusz Newton Nincs oly göbe vonal, légyen az bármely háromtagú egyenlettel kifejezett, még ha benne az ismeretlen mennyiségek hatnak is egymásra [ ], melyről kevesebb mint egy negyedóra fele alatt meg ne tudnám mondani, hogy négyzetesíthető-e,, vagy hogy mely legegyszerűbb figurákkal összevethető, legyenek e figurák kúpszeletek vagy bármi mások És ekkor közvetlen és rövid úton (megkockáztatom, a legrövidebben, melyet a dolgok természete megenged az általános számára) össze is hasonlítom őket (676, egy Collinsnak írt levél) Ez a zsenitudat 666-ra kifejlődik benne, önálló matematikai sikereinek köszönhetően, aztán élete végéig ott is marad

27 IV Fluxióelmélet Próbálkozások az új matematikai elmélet letisztázására: De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (Analízis végtelen sok tagú egyenletek segítségével), 669 (publikálva: 7) 2 Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (A fluxiók és a végtelen sorok módszere), 67 (publ( publ: 736) 3 Tractatus de Quadratura Curvarum (Értekezés a görbék kvadratúrájáról), 676 (publ( publ: : 74, az Opticks függeléke) 4 Wallis Algebra-jában (685) Newton először publikálta a fluxióelméletet (második kiadás latinul: 693) 5 Principia Mathematica Philosophiae Naturalis,, 687

28 IV Fluxiók, fluensek 67: o már r nem x növekmn vekménye, hanem végtelenül l kis időintervallum intervallum minden változv ltozó időfügg ggő lesz Ha x és y a fluens ( folyó ó ) ) mennyiségek, akkor ezek változásának sebességei, a fluxiók és (és s ezek változv ltozásának sebességei és s, stb) (Sőt: adott x-et x fluxiónak tekintve a hozzá tartozó fluens, annak a fluense, stb) y + o = (x + o) m - ebből l itt is kijön: = m xm n- A módszer m gyakorlatilag ugyanaz, de a nézet n kicsit eltér: időbeli változv ltozások mennek végbe v egyre inkább a fizikához közelk zelít t az elmélet let Cél: megszabadulni az oszthatatlanoktól, l, de ez sikertelen

29 IV2 Fluxiók és a mozgás Itt nem úgy kezelem a matematikai mennyiségeket, mint amit nagyon kis részekből állnak, hanem mint amiket folytonos mozgás határoz meg A vonalakat nem a részek összetétele, hanem pontok mozgása hozza létre, a felületeket a vonalak mozgása, a testeket a felületek mozgása, a szögeket a szárak forgása, az időtartamokat a folyamatos fluxio A fluxiók nem mások, tetszőleges közelítéssel, mint a folyó mennyiségek idő szerinti növekményei, olyan kicsik és olyannyira egyenlők, mint amennyire lehetséges, és, hogy pontosan fogalmazzunk, a születőben lévő növekmények első arányában állnak, mégis kifejezhetők bármely vonallal, amely arányos velük (Tractatus de Quadratura Curvarum)

30 IV3 Az alapprobléma Hiába próbál megszabadulni tőle, a kis o növekmény ott van, még ha növekmények születőben lévő arányáról beszél is: ez az oszthatatlanok feltételezése Márpedig mi az az o,, amit egyszer végesnek tekintünk és leosztunk vele, máskor meg végtelenül kicsinek és elhanyagoljuk? Bár az elmélet sikeres és rengeteg problémát jól kezel, az alapok továbbra is kérdésesek maradnak (Leibniz felépítésében hasonló módon) Az alapok tisztázására több mint 5 (!) vet kell várni: határérték-fogalom letisztázása, ε-δ nyelv megalkotása, stb (Cauchy( Cauchy, Weierstrass)

31 IV4 Berkeley kritikája Egy alapos, részletekbe menő filozófiai kritika: Az analizáló,, 734 Az elme számára nehéz, hogy világos ideákat formáljon az idő legkisebb részecskéiről, vagy az ezekben létrejövő legkisebb növekményekről; s még inkább, hogy felfogja a momentumokat, azaz a fluens mennyiségek növekményeit in situ nascendi,, tehát létrejöttük legkezdetén,, mielőtt még véges mennyiségekké válnának Ennél is nehezebbnek látszik felfogni az ilyen születőben levő, befejezetlen entitások elvont sebességeit A sebességek sebességei, a másod-, harmad-,, negyed- és ötödrendű sebességek stb azonban, ha nem tévedek, teljességgel meghaladják az emberi felfogóképességet De mik ezek a fluxiók?? Az eltűnőben levő növekmények sebességei És mik ezek az eltűnőben levő növekmények? Se nem véges mennyiségek, se nem végtelenül kicsinyek, még csak nem is semmik Mi mások lennének tehát, mint a kimúlt mennyiségek kísértetei?

32 IV5 A későbbi matematikai stílus 67-es évek: fokozatosan elhidegül a szimbolikus analízis algebrai stílusától, és ezzel az egész modern matektól, miközben beleszeret a görög geometriába Világos, hogy a módszerük [az ókoriaké] sokkal elegánsabb, mint a kartéziánus Ő [Descartes] egy algebrai kalkulus segítségével jutott eredményre, melyet ha szavakra írnánk át (követve az ókoriak gyakorlatát), akkor oly fárasztó és szövevényes lenne feladatunk, hogy hányinger fogna el bennünket (67) A Principia már geometriai úton fejti ki az elméletet: az analízis csak heurisztika, felfedezés, de nem biztos tudás Mikor az 699-ben kezdődő, Leibniz-cel folytatott prioritási vita hatására publikálni kezdi korábbi eredményeit, azokat meghamisítja, geometrizálja,, átírja a gyanús részeket A fontos eredmények algebrista algebrista korszakából származnak, de befolyásos korában antimodernista,, reakciós attitűd