Newton korai matematikai. Newton-kurzus,

Átírás

1 Newton korai matematikai munkáss ssága Newton-kurzus,

2 Az óra szerkezete I. Newton matematikai forrásai II. III. IV. Avagy milyen keretek között k indult a tevékenys kenysége Kvadratúrák, binomiális tételt tel Avagy hozzáá áállás, kiinduló problémák, első sikerek Az analízis alaptétele tele Avagy egy egységes ges módszertan m szület letése A fluxióelm elméletlet Avagy a módszertan m elméleti leti alapvetése és s problémái

3 I. Newton matematikai forrásai 1661: Cambridge, Trinity College 1664: elkezd matematikával foglalkozni, és s egy ideig gyakorlatilag semmi mással. m Két K év v alatt a semmiből valósz színűleg kora legügyesebb gyesebb matematikusává képzi magát. Forrásai: Descartes: La GéomG ométrie (2.) latin kiadás: Franz van Schooten, 1661 Ebben egyéb b munkák összefoglalói, főként f François Viète John Wallis: Arithmetica Infinitorum,, 1655 (De a matematika nagykönyvét,, Eukleidész Elemekjét ekkor még m g nem ismeri újszerű keretben dolgozik)

4 I.1. A klasszikus matematika Az antik matematikai tradíci ció = az Elemekben ábrázolt matematika: Kizárólag geometria: minden matematikai probléma geometriai kontextusban lép l p fel Nem numerikus: nem konkrét t mennyiségi viszonyokra kíváncsi, hanem tetszőleges nagyságok összefüggéseire Szigorúan demonstratív: minden állítást bebizonyít Axiomatikus-dedukt deduktív: az állításokat visszavezeti egymásra és s végül v l néhány n ny közös k s alapáll llításra 17. sz.: a csalhatatlan észhasználat és s az általa előáll llított megkérd rdőjelezhetetlen, biztos mintaképe De: semmit sem tudnak hozzátenni, sőt s

5 I.2. A modern matematika sz.: Főként F arab hagyományon alapuló algebrista tradíci ció feléled: led: Mennyiségek közötti k viszonyok kifejezése mennyiségek manipuláci ciójának segíts tségével Gyakorlat által motivált számítások, sok, számmisztika és -szimbolika Barkácsolás :: nincs egységes ges módszertan, m nincsenek bizonyítások, hiányzik az egyetemesen érvényes igazságok kimutatásának igénye 17. sz. (főként eleje): alantas, megbízhatatlan, mesterségbeli ügyeskedés, s, nem tudomány De: rohamosan fejlődik

6 I.2/a. François Viète ( ) 1603) 16. sz. vége: v minden fennmaradt antik matematikai műm feldolgozásra kerül + az arab matematika is + ezen is túllépnek: harmad- és s negyedfokú egyenletek megoldásai ars analyticae : : betűalgebra magánhangz nhangzókkal az ismeretlent, mássalhangzm ssalhangzóval az ismertet paraméter ter-szerű elgondolás: általános megoldások Trigonometrikus megoldások algebrai egyenletekhez pl. egy 45-öd d fokú egyenlet m.o.-a a ilyen úton: nagy siker Másod- és s harmadfokú egyenletek gyökei és s együtthat tthatói közti összefüggések ( Viete( Viete-formulák ) Egyenletek általános kezelése, szimbolikus, algebrai jellegű matematikai gondolkodás

7 I.2/b. René Descartes ( ) 1650) La GéomG ométrie: : eredetileg az Értekezés s a módszerrm dszerről függelékének szánja A legforradalmibb műm a korban (v.ö.. pl. Fermat), és s a legnagyobb hatással van a század zad 2. felére Apollóniosz, Papposz stb. belátásainak rendszerezése se és egységes ges keretbe ágyazása: analitikus geometria őse A A geometria bármely b problémája visszavezethető erre a tételre: telre: bizonyos vonalak hosszának ismerete elegendő a megszerkesztéshez. shez. vonalszakaszokat konkrét t mennyiségekkel reprezentál, és s a probléma megoldását t algebrai egyenletekkel végzi v el (ahány ismeretlen vonal, annyi egyenlet) + görbék algebra és s geometria egysége ge

8 La GéomG ométrie

9 I.2/c. John Wallis ( ) 1703) Arithmetica Infinitorum: : görbg rbék k alatti területek és görbékhez húzott h érintők végtelen kis részekre való osztás s révén r n (Cavalieri módszere m algebrásítva) Végtelen sorokkal operál Megmutatja pl.: az x n görbe alatti terület x n+1 /n+1 egész kitevőkre kre (az első 9 esetre megnézni, majd általánosít) Fő problémája: a kör k r területe Newton pontosan ezekből l a problémákb kból l indul ki

10 Wallis levél

11 II. Kvadratúrák, binomiális tételt tel Eleinte: Kúpszeletek K szerkesztése se és s sokféle algebrai kifejezése Descartes alapján 6 hónap h után: görbg rbék k vizsgálat latára általános algebrai módszereket dolgoz ki Haveing y e nature of a crooked line expressed in Algebr: termes to find its axes, to determin it & describe it geometrically &c. Görbület vizsgálata közelk zelítő (simuló) ) körökkel: k kkel: Descartes + érintő szerkesztése se egy adott pontban Kvadratúrák: görbg rbék négyszögesítései,, vagyis a görbe g alatti terület kiszámítása sa egyenlő terület letű téglalap szerkesztésével (Wallis) Nem a klasszikus geometria felől l közelk zelít t (alig ismeri)

12 II.1. A kör k négyszögesítése A negyedkört kifejező egyenlet: y = (1 - x 2 ) ½ Wallis problémája: Tudjuk, hogy (1 - x 2 ) 0 alatti terület x (1 - x 2 ) 1 alatti terület x - x 3 /3 (1 - x 2 ) 2 alatti terület x - 2x 3 /3 + x 5 /5 (1 - x 2 ) 3 alatti terület x - 3x 3 /3 + 3x 5 /5 - x 7 /7 stb. Hogyan lehet ebből l (1 - x 2 ) ½ esetére interpolálni? lni? Wallis adott egy megoldást. Newton egy általánosabbat, amiből l elég g messzire tudott továbbl bblépni

13 II.1/a. Az együtthat tthatók k táblt blázata [0] [1] [2] [3] [4] [5] x x 3 / x 5 / x 7 / Milyen szabályosságot látunk? (Pl. az oszlopok 11 hatványai )

14 II.1/b. A keresett összefüggés Newton nem a Pascal-háromsz romszögre mozdul rár Az első tag együtthat tthatója mindig 1, a másodikm sodiké mindig n Összefüggés: (n - 0)/1 (n - 1)/2 (n - 2)/3 ez alapján n jönnek j ki az együtthat tthatók Pl. n = 4 esetén - harmadik együtthat ttható: : (4-0)/1 (4-1)/2 = 4 3/2 = 6 - negyedik együtthat ttható: : 6 (4-2)/3 = 6 2/3 = 4 - ötödik együtthat ttható: : 4 (4-3)/4 = 4 1/4 = 1 - hatodik együtthat ttható: : 1 (4-4)/5 = 4 0 = 0 és s innentől l 0. Honnan tudjuk? Ránézett, R és s bejött tt

15 II.1/c. Interpoláci ció a körrek Ez már m nyilván érvényes törtkitevt rtkitevőkre kre is, pl. ½-re. Így a (1 - x 2 ) ½ alatti terület: x - (1/2)x 3 /3 - (1/8)x 5 /5 - (1/16)x 7 /7 - (5/128)x 9 / Míg g az egész kitevők k esetén n a sor mindig véges, v törtkitevőknél l végtelen v sorokat kapunk végtelen sorral közelíthetjük itt π értékét De Newton egyáltal ltalán n nem számolta ki: tökéletesen t megbízott módszerm dszerében a jól j l ismert érték k kiszámítása sa nem lenne kihívás

16 II.2. A logaritmus kvadratúrája Ugyanígy támadjuk t meg a hiperbolát: ez eddig senkinek sem sikerült Az y = 1/x görbg rbét t nem érdemes: az x 0, x 1, x 2 alatti terület x 1 /1, x 2 /2, x 3 /3,, de ebből l nem látszik, l mi lenne a x -1 alatti terület: x 0 /0??? Ehelyett toljuk el egy kicsit: y = 1/(1 + x) Ehhez: (1 + x) 0 kvadratúrája x (1 + x) 1 kvadratúrája x + x 2 /2 (1 + x) 2 kvadratúrája x + 2 x 2 /2 + x 3 /3 (1 + x) 3 kvadratúrája x + 3 x 2 /2 + 3 x 3 /3 + x 4 /4 stb.

17 II.2/a. Az együtthat tthatók k táblt blázata [0] [1] [2] [3] [4] [5] x x 2 / x 3 / x 4 /

18 II.2/b. Extrapoláci ció Itt most nem kettő közé kell interpolálni, lni, hanem hátrafelé extrapolálni lni egyet ez könnyebbk Ha az első sorban 1 lesz (mind mindenütt), akkor a második sorban -11 kell: feltesszük, folytatódik erre a Pascal-háromszög (vagyis egy szám és s a fölötte f lévől összeadva a számt mtól l jobbra lévőt l t adja ki) Ezért a 3. sorban 1 kell, a 4.-ben -1, stb. Tehát (1 + x) -1 alatti terület: x - x 2 /2 + x 3 /3 - x 4 /4 + Ismét t végtelen v sort kaptunk! Itt már m érdemes számításokat sokat végezni: v 55 jegy pontosságra logaritmus-sz számítások sok könnyedk nnyedén Megj.: egy éve foglalkozik matekkal, teljesen önállóan, nincs még m g BA-je sem

19 II.2/c. Logaritmusszámítások sok

20 II.3. Az általános módszer m Tudjuk, hogy x n alatti terület x n+1 /n+1 (negatív v kitevőkre kre is) Tudjuk, hogy ha a görbe g polinomiális, lis, akkor a kvadratúra egyenlő a tagok alatti területek összegével Ha x az első hatványon van a nevezőben, vagy törtkitevt rtkitevős s a kifejezés, akkor végtelen v sor, és s tagonként nt kell számolni (b + x) m/n együtthat tthatóit eszerint keressük: k: 1 m (m - n) (m - 2n) (m - 3n) 1 n 2n 3n 4n Később: tovább általánosodik (pl. ha x és s y ugyanabban a tagban megjelenik, és s nem fejezhetők k ki egymás s explicit függvényeként )

21 II.3/a. A binomiális tétel t tel szerepe Lényeg: görbg rbék k kifejezhetők k végtelen v sorokkal újabb algebrai reprezentáci ció a geometriai vonalakra A végtelen v sorok ugyanolyan törvt rvényeknek engedelmeskednek, mint a véges v mennyiségek az algebrában ban ( ( műveletek, egyenletek, stb.) nem pusztán közelítések A binomiális tétel t tel [(b[ + x) m polinom alakjában az együtthat tthatók k meghatároz rozása] általánosítása sa a dolog motorja Elősz ször r Leibniz-cel közli k egy 1676-os levélben lben Elősz ször r Wallis Algebra-jában ban jelenik meg (1685) V.ö.:.: Newton keveset és s vonakodva publikál

22 II.3/b. Végtelen sorok Amit a szokásos sos Analízis képes k egyenletek által elvégezni véges számú tagokkal (már r amennyiben ez lehetséges), ugyanazt elvégezhetj gezhetjük k végtelen v egyenletek által is, ezért nem tettem kérdk rdésessé,, hogy ezt is Analízisnek kell nevezni. Ugyanis ezek a gondolatmenetek nem kevésb sbé bizonyosak, mint a másikak, m sem az egyenletek nem kevésb sbé pontosak, bár r mi, halandók, kiknek gondolkodása szűk k keretek közék szorult, sem kifejezni, sem pedig felfogni nem tudjuk ezen egyenletek minden tagját (De De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas)

23 III. Az analízis alaptétele tele Cavalieri, Wallis, stb.: a görbg rbék k alatti területet sok, oszthatatlanul kis terület összegeként képzeltk pzelték k el ( infinitezimálisok ) Newton: hasonló módon, de nála n nem statikus kis területek vannak, hanem mozgás által meghatározott dinamikus összegzések sek egyre erősödő mechanikai motiváci ció A végtelenül l kis szakaszok helyett pillanatnyi sebességekkel dolgozik ezzel persze nem kerülte ki az infinitezimálisokat: a pillanatnyi sebesség g az infinitezimálisan kis idő alatt megtett út az idő a matematikában is alapvetővé válik Semmi ilyesmi nincs: tart a nullához hoz, határérték,, stb.: ezek későbbi k fogalmak

24 III.1. Az érintő meghatároz rozása Tfh. (1) y = a x m Ekkor kis o növekmény: (2) y + o q/p = a (x a + o) m Tudjuk, hogy (2) jobb oldala: a x m + a a m o x m-1 + blabla o 2 x m-2 + blablabla o 3 x m-3 + (2) (1): o q/p = a a m o x m-1 + blabla o 2 x m-2 + blablabla o 3 x m-3 /o : q/p = a m x m-1 + blabla o x m-2 + blablabla o 2 x m-3 Mivel o végtelen kicsi, ezért a meredekség: q/p = a m x m-1

25 III.2. A növekmn vekmények módszerem Észre kell vennünk: nk: Elősz ször, hogy azok a tagok mindig eltűnnek, ahol o nem szerepel, mert ezek megfelelnek az eredeti egyenletnek. Másodszor, M ha a maradék k Egyenletet leosztjuk o-val, akkor azok a tagok szintén n eltűnnek, amelyekben o megmarad, mert ezek végtelenv gtelenül l kicsik. Harmadszor, hogy a végül v l megmaradó tagok olyan formájúak lesznek, amilyeneknek lenniük k kell a kiinduló szabály alapján. n. (1665. november 13: Hogyan találjuk ljuk meg testek sebességét t azon vonal alapján, amelyet leírnak rnak egyike a rendszerező jegyzeteinek)

26 III.3. A görbe g meghatároz rozása területb letből Legyen a görbe g alatti terület: (1) z = a x m (2) z + o y y = a (x a + o) m Ismét t (2) jobb oldala: a x m + a a m o x m-1 + blabla o 2 x m-2 + blablabla o 3 x m-3 + (2) (1): o y = a a m o x m-1 + blabla o 2 x m-2 + blablabla o 3 x m-3 /o : y = a m x m-1 + blabla o x m-2 + blablabla o 2 x m-3 Mivel o végtelen kicsi, ezért a keresett görbe: g y = a m x m-1

27 III.4. Egységes ges matematikai terület A fenti példp ldák k megmutatják: a két k t probléma (érint( rintő meghatároz rozása és s terület kiszámítása) sa) egymás inverze a kettő együtt egy egységes ges területet körvonalazk ( analízis alaptétele tele : : differenciálás és s integrálás s kapcsolata) Megjegyzés: bár b r a fenti ismertetés s kicsit csal (III.3( kicsit későbbi (1669), egyszerűbb az 1665-ös s próbálkoz lkozásoknál), hasonló felismeréseket seket tesz a korban elősz ször r konkrét esetekben (parabola, hiperbola, stb.), majd általános megfogalmazásokat dolgoz ki Ezután n 3-43 évig alig nyúl l matematikához (és( s ha igen, akkor annak mechanikai motiváci ciója van), és s jój ideig erre támaszkodik (bár r az alapokat újra és újra próbálja tisztába tenni igen sokáig nem publikálja) lja)

28 III.5. A géniusz g Newton Nincs oly göbe g vonal, légyen l az bármely b háromtagh romtagú egyenlettel kifejezett, még m g ha benne az ismeretlen mennyiségek hatnak is egymásra [ ],[ melyről l kevesebb mint egy negyedóra fele alatt meg ne tudnám m mondani, hogy négyzetesn gyzetesíthető-e, e, vagy hogy mely legegyszerűbb figurákkal összevethető,, legyenek e figurák k kúpszeletek k vagy bármi b mások. m És s ekkor közvetlen k és s rövid r úton (megkockáztatom, a legrövidebben, melyet a dolgok természete megenged az általános számára) össze is hasonlítom őket (1676, egy Collinsnak írt levél) l) Ez a zsenitudat 1666-ra kifejlődik benne, önálló matematikai sikereinek köszk szönhetően, en, aztán élete végéig v ott is marad

29 IV. Fluxióelm elméletlet Próbálkoz lkozások az új j matematikai elmélet let letisztázására: 1. De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (Analízis végtelen v sok tagú egyenletek segíts tségével), 1669 (publikálva: lva: 1711) 2. Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (A fluxiók és a végtelen v sorok módszere), m 1671 (publ.: 1736) 3. Tractatus de Quadratura Curvarum (Értekezés s a görbg rbék kvadratúrájáról), 1676 (publ: 1704, az Opticks függeléke) 4. Wallis Algebra-jában ban (1685) Newton elősz ször r publikálta lta a fluxióelm elméletet letet (második kiadás s latinul: 1693) 5. Principia Mathematica Philosophiae Naturalis,, 1687

30 IV.1. Fluxiók, fluensek 1671: o már r nem x növekmn vekménye, hanem végtelenül l kis időintervallum intervallum minden változv ltozó időfügg ggő lesz Ha x és y a fluens ( foly( folyó ó ) ) mennyiségek, akkor ezek változásának sebességei, a fluxiók és (és s ezek változv ltozásának sebességei és s, stb.) (Sőt: adott x-et x fluxiónak tekintve a hozzá tartozó fluens, annak a fluense, stb.) y + o = (x + o) m - ebből l itt is kijön: = m xm n-1 A módszer m gyakorlatilag ugyanaz, de a nézet n kicsit eltér: időbeli változv ltozások mennek végbe v egyre inkább a fizikához közelk zelít t az elmélet let Cél: megszabadulni az oszthatatlanoktól, l, de ez sikertelen

31 IV.2. Fluxiók és s a mozgás Itt nem úgy kezelem a matematikai mennyiségeket, mint amik nagyon kis részekbr szekből állnak, hanem mint amiket folytonos mozgás s határoz meg. A vonalakat nem a részek r összetétele, tele, hanem pontok mozgása hozza létre, l a felületeket leteket a vonalak mozgása, a testeket a felületek letek mozgása, a szögeket a szárak forgása, az időtartamokat a folyamatos fluxio A fluxiók k nem mások, m tetszőleges közelítéssel, mint a folyó mennyiségek idő szerinti növekményei, olyan kicsik és s olyannyira egyenlők, mint amennyire lehetséges, és, hogy pontosan fogalmazzunk, a szület letőben lévől növekmények első arány nyában állnak, mégis kifejezhetők k bármely b vonallal, amely arányos velük. k. (Tractatus de Quadratura Curvarum)

32 IV.3. Az alapprobléma Hiába próbál l megszabadulni tőle, t a kis o növekmény ott van, még m g ha növekmn vekmények születőben lévől arány nyáról beszél l is: ez az oszthatatlanok feltételez telezése Márpedig mi az az o,, amit egyszer végesnek v tekintünk nk és leosztunk vele, máskor m meg végtelenv gtelenül l kicsinek és elhanyagoljuk? Bár r az elmélet let sikeres és s rengeteg problémát t jól j l kezel, az alapok továbbra is kérdk rdésesek maradnak (Leibniz felépítésében hasonló módon) Az alapok tisztázására több t mint 150 (!) évet kell várni: v határért rték-fogalom letisztázása, sa, ε-δ nyelv megalkotása, stb. (Cauchy, Weierstrass)

33 IV.4. Berkeley kritikája Egy alapos, részletekbe r menő filozófiai fiai kritika: Az analizáló,, 1734 Az elme számára nehéz, hogy világos ideákat formáljon az idő legkisebb részecskr szecskéiről, vagy az ezekben létrejl trejövő legkisebb növekményekről; s még m g inkább, hogy felfogja a momentumokat, azaz a fluens mennyiségek növekmn vekményeit in situ nascendi,, tehát t létrejl trejöttük legkezdetén, mielőtt még m g véges v mennyiségekk gekké válnának. nak. Ennél l is nehezebbnek látszik l felfogni az ilyen szület letőben levő,, befejezetlen entitások elvont sebességeit. A sebességek sebességei, a másodm sod-, harmad-,, negyed- és ötödrendű sebességek stb. azonban, ha nem tévedek, teljességgel meghaladják k az emberi felfogóképess pességet. get. De mik ezek a fluxiók? Az eltűnőben levő növekmények sebességei. És s mik ezek az eltűnőben levő növekmények? Se nem véges v mennyiségek, se nem végtelenv gtelenül l kicsinyek, még m g csak nem is semmik. Mi mások m lennének nek tehát, t, mint a kimúlt mennyiségek kísértetei? k rtetei?

34 IV.5. A későbbi k matematikai stílus 1670-es évek: fokozatosan elhidegül l a szimbolikus analízis zis algebrai stílus lusától, l, és s ezzel az egész modern matektól, miközben beleszeret a görög g g geometriába Világos, hogy a módszerm dszerük k [az ókoriaké] ] sokkal elegánsabb, mint a kartézi ziánus. Ő [Descartes] egy algebrai kalkulus segíts tségével jutott eredményre, melyet ha szavakra írnánk nk át t (követve az ókoriak gyakorlatát), t), akkor oly fárasztf rasztó és s szövev vevényes lenne feladatunk, hogy hányinger h fogna el bennünket nket (1670) A Principia már r geometriai úton fejti ki az elméletet: letet: az analízis csak heurisztika,, felfedezés, de nem biztos tudás Mikor az 1699-ben kezdődő,, Leibniz-cel folytatott prioritási vita hatására publikálni lni kezdi korábbi eredményeit, azokat meghamisítja, geometrizálja, átírja a gyanús s részeketr A fontos eredmények algebrista korszakából l származnak, de befolyásos korában antimodernista, reakciós attitűd

35 A Principia