Gravitációs fényelhajlás gömbszimmetrikus téridőkben

SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi és Informatikai Kar ELMÉLETI FIZIKA TANSZÉK Fizika BSc Szakdolgozat Gravitációs fényelhajlás gömbszimmetrikus téridőkben Deák Bence Témavezető: Dr. Keresztes Zoltán 016

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés.... Reissner-Nordström fekete lyuk... 3. Fényelhajlás Reissner-Nordström téridőben másodrendig... 3 3.1 Lagrange formalizmus... 3 3. Geodetikus egyenletek... 8 4. A kozmológiai konstans szerepe a fényelhajlásban... 11 5. Schwarzschild metrika Eddington-Finkelstein koordinátákban... 14 5.1 Fényelhajlás Eddington-Finkelstein koordináta rendszerben... 15 6. Vaidya metrika... 18 6.1 Fényelhajlás Vaidya téridőben... 19 7. Összefoglalás... 5 8. Köszönetnyilvánítás... 5 9. Források... 6 10. Nyilatkozat... 6 1

1. Bevezetés Az Einstein által 1915-ben megalkotott általános relativitáselméletben a fény egy tömegpont mellett elhaladva, a tér görbületét követve elhajlik, a fény pályája geodetikus pálya. Ezt a jelenséget Albert Einstein jósolta meg, majd Eddingtonnak sikerült kimutatnia, az 1919- es napfogyatkozáskor. A távoli csillagoknak a Hold által letakart Nap mellett elhaladó fénysugarai 1,74 ívmásodperces elhajlást szenvedtek a Nap gravitációjának hatására, ahogy azt az általános relativitáselmélet előre jelezte. (A Newton fény-golyó elmélet ennek az értéknek a felét adta.) A téridő egyenlet az anyag energia-impulzus tenzorával (T ab ) összekapcsolódó Einstein egyenlet: G ab + Λg ab = 8πG c 4 T ab, (1) ahol G ab = R ab 1 g abr az Einstein-tenzor, ahol g ab a metrikus tenzor, R = R ab g ab a görbületi-skalár, Λ pedig a kozmológiai állandó Az Einstein-egyenletek azt fejezik ki, hogy az anyag hogyan görbíti maga körül a teret. A kozmológiai konstanst Einstein vezette be, hogy az Univerzum sztatikus lehessen. A sztatikus Univerzum modellje, Hubble felfedezésével tévesnek bizonyult. Edwin Hubble amerikai csillagász 199-ben felfedezte, hogy a galaxisok távolodnak tőlünk. Minél távolabb van tőlünk egy galaxis, annál nagyobb a vörös eltolódása, azaz annál nagyobb sebességgel távolodik tőlünk, ebből az következik, hogy táguló Univerzumban élünk. A Λg ab -tag tévedésnek bizonyult egészen 011-ig, amikor kiderült, hogy a Λ fontos paraméter az Univerzum fejlődése szempontjából. Ha az Einstein-egyenletben a Λg ab dominál, akkor egy exponenciálisan táguló Univerzumot kapunk, ez a de Sitter Univerzum. Dolgozatomban c=1=g egységet használtam a számolási eredmények bemutatásában.. Reissner-Nordström de Sitter fekete lyuk Ebben a fejezetben a fényelhajlást ismertetem gömbszimmetrikus Reissner-Nordström téridőben. A Reissner-Nordström fekete lyukat az m tömeg és a Q töltés paraméter jellemzik. Metrikája a következő: ds = fdt + f 1 dr + r dω, ()

ahol dω = dθ + sin θdφ². f pedig f(r) = 1 m r + Q r Λ 3 r. (3) A Λ = 0 a Reissner-Nordström metrika. A számolásokat ε és η paraméterek bevezetésével végzem el: ε = mb 1, η = qb. (4) Ezek a dimenziótlan paraméterek kicsik, bennük másodrendig fogunk sorfejteni. A Q² elektromos töltés helyett tekinthetünk egy q pozitív és negatív értéket egyaránt felvehető paramétert. Brán fekete lyukak esetében egy ilyen q ún. árapálytöltés paraméter jelenik meg. A fekete lyukhoz közel a q/r² es tag dominál. Nagy távolságra a fekete lyuktól a Λ kozmológiai konstansos tag fog dominálni, van egy kozmológiai horizont az r = 3/Λ nál. Ez az a távolság, amelynél messzebbről részecske a feketelyuk közeléből nem távozhat. Ha a kozmológiai konstansos tag nem szerepelne az f(r) ben, akkor a metrika r esetben a Minkowski-metrikával egyezik meg. A q > 0 esetében a metrika megegyezik a Reissner-Nordström téridővel. A q < m² esetnél a fekete lyuknak két eseményhorizontja van: r h = m ± m² q. A q = m² esetben a két eseményhorizont egybeesik (extremális Reissner-Nordström téridő): r h = m. A q > m² a téridő egy csupasz szingularitást ír le. Brán fekete lyuk és q < 0 esetén csak egy horizont van: r h = m + m + q 3. Fényelhajlás Reissner-Nordström téridőben másodrendig 3.1 Lagrange formalizmus Ezt a fejezetet a [3] és az [1] forrás felhasználásával dolgoztam fel. A Reissner Nordström-metrikát Hans Reissner és Gunnar Nordström nevéhez kapcsoljuk. A fény terjedése az alábbi Lagrange függvény segítségével számolható: L = ds dλ = ft + f 1 r + r (θ + sin θφ ), (5) 3

ahol λ egy időszerű paraméter és a pont a λ szerinti deriválást jelöli. Mivel az elektromágneses sugárzás a fénykúpon terjed, ahol ds² = 0., így L = 0. Ezt azonban csak a variáció elvégzését követően az Euler-Lagrange mozgás egyenletekben szabad felhasználni. A (t; r; θ; φ) változókra felírva az Euler-Lagrange egyenletek. L x a d L dλ x a = 0. (6) Először t-re: (ft ) = 0, (7) Amelyből ft = E következik. E az energiával áll kapcsolatban. r re felírva: f r t + r(θ + sin θφ ) (f 1 r) = 0, (8) θ ra r sinθcosθφ (r θ ) = 0. (9) A gömbszimmetria miatt az egyenlítői sík megválasztható oly módon, hogy θ₀ = π/ és θ 0 = 0 kezdőfeltételek teljesüljenek. Ekkor (r θ ) = 0, tehát r² θ állandó. Ha a θ ₀ = 0 kezdőfeltételt használjuk, akkor r² θ = 0, amiből θ = 0 következik. Tehát a részecske az egyenlítői síkban marad (Ha eltérülne fel vagy lefelé, akkor sérülne a tükrözési szimmetria.). Másképpen, mivel a téridő forgásszimmetrikus, ezért minden pályát átforgathatunk egyenlítői síkra. Ekkor a Lagrange függvény a következő alakú lesz. 0 = L = ft + f 1 r + r φ. (10) Látható, hogy t-től és φ től nem függ a kifejezés, t és φ ciklikus változók. φ re: (r φ ) = 0. 4 (11)

A (11)-es egyenlet integrálása után látszik, hogy r φ = J, ami az impulzusmomentummal áll kapcsolatban és megmarad a pálya mentén. Kihasználva, hogy ds² = 0, a radiális egyenlet: 0 = r E + J r f. Áttérve a λ szerinti deriválásról egy φ változó szerinti deriválásra, amelyre dφ bevezetve az r helyett az u = 1/r függvényt kapjuk, hogy dφ (1) = 1 teljesül és 0 = u E J + u f(u). (13) Mivel φ és φ csak konstansban különbözik, így továbbiakban nem teszek különbséget φ és φ között. A vessző a φ szerinti deriválást jelöli. A fényelhajlás geometriája az 1. ábrán látható. 1. ábra: Fényelhajlás geometriája. Az egyenletet φ szerint újra deriválva kapjuk, hogy 0 = u (u + uf + u df du ). (14) Körpályák kivételével, amikor u = 0. 5

u + uf + u df du = 0, (15) ahol f = 1 mu + qu, (16) u df du = mu + qu 3, (17) uf + u df du = u 3mu + qu 3. (18) A fentiek behelyettesítése után az u + u = 3mu² qu³ (19) eredményt kapjuk. Látható, hogy a kozmológiai állandót tartalmazó tag kiesik. Oldjuk meg a: u + u = 0 (0) homogén egyenletet. Ennek egy általános megoldása: u = Asinφ + Bcosφ. (1) Az integrálási konstansok a következő módon határozhatók meg. Ha φ π/, akkor r, u 0. Ezért A = 0. Amikor a φ = 0, akkor a foton és a feketelyuk centrumától való távolságot jelöljök b-vel, ami az úgynevezett impakt vagy ütközési paraméter. Így B = 1/b. Tehát a homogén egyenlet megoldása: u 0 = cosφ b. () A (19) egyenlet perturbatív megoldását keressük a következő alakban, ε és η kis paraméterek felhasználásával: u = u 0 + εu 1 + ηv 1 + ε u + η v + εηw + O(ε 3 ; η 3 ; εη ; ε η). 6 (3)

Ezt beírva a (19)-es egyenletben, az u₀ s tagok kiesnek. ε u₁" + u₁ = 3b ¹cos φ, (4) η v₁" + v₁ = b 1 cos³φ, ε² u₂" + u₂ = 3u₁[u₁(m qb ¹cosφ) + cosφ], η v₂" + v₂ = 3v₁[v₁(m qb ¹cosφ) + cos²φ], εη w₂" + w₂ = 6[u₁v₁(m qb ¹cosφ) + v₁cosφ + u₁cos²φ], Az mu 1 és az mv 1 mennyiségek ε rendűek, amíg qb 1 u 1 és qb 1 v 1 mennyiségek η rendűek. A (4)-es egyenletekben speciális zavaró függvények szerepelnek, amelyekben a differenciálegyenlet partikuláris megoldása a zavaró függvényhez hasonló szerkezetű lesz. Ezért általános alakban próbálkozunk felírni a zavaró függvényhez hasonló megoldást, majd az egyenletbe helyettesítve azt, a megfelelő együtthatók meghatározásával megkapjuk az inhomogén rész megoldását: u 1 = b 1 [C ε cos φ + 1 (3 cos φ)], (5) v 1 = b 1 [C η cos φ + 1 (cos 3φ 1φ sin φ)], 16 u = b 1 [C ε cos φ + C ε (3 cos φ) + 3 (cos 3φ + 0φ sin φ)], 16 v = b 1 [C η cos φ + 3 16 C η(cos 3φ + 1φ sin φ) + 1 ( 1 cos 3φ + cos 5φ 56 + 60φ sin φ 36φ sin 3φ 7φ cos φ], w = b 1 [C εη cos φ + C η (3 cos φ) + 3 16 C ε(cos 3φ 1φ sin φ) + 1 ( 60 + 31 cos φ cos 4φ + 1φ sin φ)]. 16 Az integrációs konstatnsok: C ε = C εη = 0, C η = 9 16, C ε = 37 16, C η = 71 7 56.

Így (4)-es egyenleteket megoldva a következő eredményt kapjuk: bu = cosφ + ε η (3 cosφ) (9cosφ cos3φ + 1φsinφ) 16 + ε η (37cosφ + 3cos3φ + 60φsinφ) + (71cosφ 48cos3φ 16 56 + cos5φ + 384φsinφ 36φsin3φ 7φ²cosφ) + εη ( 87 + 40cosφ cos4φ + 1φsinφ). 16 (6) Ha a fénysugarak a végtelenből érkeznek, akkor azt mondhatjuk, hogy u = 0 (r ) és a fénysugár eltérése az egyenes vonalú mozgástól nagyon kicsi lesz: φ = π/ + δφ, ahol δφ az elhajlítás szöge. Másodrendű közelítésben a következő alakban keressük: δφ = εα 1 + ηβ 1 + ε α + η β + εηγ + O(ε 3 ; η 3 ; ε η; εη ). (7) Az nulladrendű tagot Taylor sorba fejtve δφ-re és a (6)-ös egyenletbe φ = π -t helyettesítve a következő kifejezést kapjuk a fény elhajlására: δφ = 4ε 3π 4 η + 15π 4 105π ε² + η² 16εη 64 (8) 3. Geodetikus egyenletek Ebben a fejezetben az [1]-es forrás eredményeit számolom ki egy másik módszerrel. Ha egy részecske csak a gravitáció hatása alatt áll, akkor geodetikus pályákon fog mozogni. Ezek azok a pályák, amelyek az adott geometrián a leginkább egyenesnek tekinthetők. A geodetikus egyenlet azt fejezi ki, hogy a részecske hogyan mozog a görbült téridőben. A geodetikus egyenlet kovariáns alakja: V a a V b = 0. (9) Amely a következő alakba írható át: d X a dλ + Γ dxb dx c a bc dλ dλ = 0, (30) 8

ahol a = 0; 1; ; 3, λ a görbe paramétere. Γ bc a t pedig Christoffel szimbólumnak nevezzük. Γ bc a = 1 gad ( c g db + b g cd d g bc ). (31) A nem nulla Christoffel szimbólumok: Γ t rt = Γ t tr = 1 df f dr, (3) Γ r tt = f df dr ; Γ rr r = f ; Γ θθ r = rf; Γ r tt = rfsin θ, Γ θ θr = Γ θ rθ = 1 r ; Γ φφ θ = sinθcosθ, Γ φ φr = Γ φ rφ = 1 r ; Γ φ φθ = Γ φ θφ = cotθ. A nem nulla Christoffel szimbólumok geodetikus egyenletbe való behelyettesítés után a következő egyenleteket kapjuk, a=0-ra: d t dλ + 1 df dt dr f dr dλ dλ = 0. (33) Ez az egyenlet átírható a következő alakba. d ln dt dλ dλ f = 0, (34) ahol dt f = E. dλ (35) E az energiával áll kapcsolatban és megmarad a pálya mentén. a=1-re: d r dλ + f df dr (dt dλ ) 1 df f dr (dr dλ ) fr [( dθ dλ ) + sin θ ( dφ dλ ) ] = 0, (36) 9

a=-re: d θ cosθsinθ (dφ dλ dλ ) + dr dθ r dλ dλ = 0, (37) a=3-ra: d φ dθ + (cotθ dλ dλ + 1 dr r dλ ) dφ dλ = 0. (38) Az utóbbi átírható: d ln dφ dλ dλ r²sin²θ = 0 (39) alakba, ahol: dφ dλ r sin θ = J. (40) J az impulzusmomentummal áll kapcsolatban és megmaradó mennyiség. Felhasználva a gömbszimmetriát, a θ₀ = π és a θ₀ = 0 kezdeti feltételeket kapjuk, hogy θ = π bármely λ esetén. Tehát mindig az egyenlítői síkban történő mozgásokra hivatkozhatunk, ahogy ezt már az előző fejezetben is tettük. A további számolásokat a (36)-os egyenletből kiindulva végezzük el. E és J behelyettesítése után kapjuk, hogy: d r dλ + E df f dr + 1 df f dr (dr dλ ) f r 3 J = 0. (41) A (41)-es egyenletet szorozva f dr dλ -val, a következő alakba írható: d dλ [1 f (dr dλ ) E f + J r ] = 0. (4) A kapcsos zárójelben szereplő rész konstans és az a ds = 0 miatt nullával egyenlő: 10

1 f (dr dλ ) E f + J r = 0. (43) Áttérve a λ szerinti deriválásról a φ szerinti deriválásra és az u = 1 r változóra: u + uf + u df du = 0. (44) Ez az eredmény megegyezik a Lagrange-függvénnyel kapott (15)-ös egyenlettel. 4. A kozmológiai konstans szerepe a fényelhajlásban Ezt a fejezetet a [] forrás felhasználásával dolgoztam fel, Reissner-Nordström de Sitter téridőben. A geodetikus és az Euler-Lagrange egyenletekből származtatott (19)-es pálya egyenletben a Λ nem jelenik meg. Azonban, ahogy látni fogjuk a következő szakaszban, a kozmológiai állandó mégis szerepet játszik a fény elhajlásában. Az elhajlási szög meghatározásához a fény pályáját paraméterezzük r(φ) és φ -vel, ahol φ egy paraméter a görbe mentén úgy, hogy dφ = 1. Jelölje dφ Wa a pályához húzott koordináta érintő vektorát, míg, V a pedig a pályagörbe érintő vektorát. A. ábrán lévő Ψ szög meghatározható a radiális és az érintő vektorok skaláris szorzatából:.. ábra: A fényelhajlás geometriája, a V a és W a érintő vektorok és a közbetett Ψ szög g ab V a W b cosψ = g ab W a W b g ab V a V. b (45) 11

Itt W a = dxa dr, (45)(46) vagyis W r = 1; W φ = 0, és V a = dxa dφ, (47) amelyből V r = dr, és dφ Vφ = dφ = 1. Ezért: dφ g rr W r W r = 1 f ; g φφw φ W φ = 0, (48) g rr V r V r = 1 f (dr ; g dφ ) φφ V φ V φ = r, g rr V r W r = 1 dr f dφ ; g φφv φ W φ = 0. (49) (50) A behelyettesítések elvégzése után a következő eredményt kapjuk: cosψ = 1 dr f dφ 1 f 1 f (dr + r² dφ ) = [( dφ ) dr ( dr dφ ) + r f] 1, (51) amely átírható tanψ = 1 cos ψ cos ψ = rf 1 dr dφ (5) alakba. Számoljuk ki az elhajlási szöget. ψ 0 = ψ π φ=. A kettes szórzó a pálya szimmetriája miatt jelenik meg. 1

tanψ 0 π φ= ψ 0 π φ= = rf(r)1 π dr φ=. dφ (53) A (6)-os egyenlet felhasználásával kapjuk, hogy: b r φ=π/ = bu φ=π/ = ε 3π 8 η + 15π 8 ε + 105π 18 η 8εη, dr dφ φ=π/ = r dbu b dφ φ= π = r b [ 1 + ε + 9π 18 η 3π 4 εη], f(r) π φ= = (1 mu + qu Λ 1 3 u ) φ= π, (54) (55) (56) A behelyettesítéseket elvégezve és az egyszerűsítések után kapjuk, hogy ψ₀ π φ= = bu π φ= 1 (1 mu + qu Λ 1 3 u ) [1 ε 9π 18 η + 3π 4 εη] φ= π = = (ε 3π 8 η + 15π 8 ε + 105π 18 η 8εη) (1 4ε + 6π 8 εη Λb 3 (ε 3π 8 η) ) [1 ε 9π 18 η + 3π 4 εη] 1 (57) Az ε és η kis paraméterek szerinti sorfejtések elvégzése után a következő formulát kapjuk a fényelhajlásra. ψ 0 (ε 3π 8 η + 15π 8 ε + 105π 18 η 8εη) (1 Λb 6 (ε 3π 8 η) ). (58) A pálya szimmetriája miatt a fénysugár teljes elhalási szöge a Ψ₀ val egyezik meg. A kozmológiai konstans jelenléte miatt az r radiális távolság nem haladhatja meg a kozmológiai 13

horizont értékét r h = 3/Λ. A forrás, az elhajlító objektum és a megfigyelő is a kozmológiai horizonton belül helyezkedik el. 5. Schwarzschild metrika Eddington-Finkelstein koordinátákban Ez a fejezet a Vaidya téridő tárgyalásához nyújt segítséget és a [3] forrás alapján írtam meg. A Schwarzschild-metrika az Einstein-egyenletek statikus és gömbszimmetrikus megoldása. A Schwarzschild megoldást Karl Schwarzschild tiszteletére nevezzük Schwarzschild metrikának, mert ő volt aki először (1916-ban) talált egzakt megoldást az Einstein által publikált általános relativitáselméletben. A Schwarzschild fekete lyukat az m tömege jellemzi. Metrikája a következő alakú: ds = fdt + dr f + r (dθ + sin θdφ ), (59) ahol f = 1 m r. Könnyen belátható, hogy a metrikus tenzor komponensei divergálnak az r = 0 és az r = m pontokban. Az előbbi egy igazi szingularitás (az R görbületi skalár is divergens), utóbbi azonban egy ún. koordináta szingularitás. Például az Eddington Finkelstein koordinátákban az r = m helyen a metrika nem szinguláris. A koordináta transzformációhoz null (fényszerű) koordináták bevezetése szükséges: v = t + r, u = t r, (60) ahol v az avanzsált, u pedig a retardált idő, r pedig az ún. teknőc-koordináta: r = m + m ln r m, (61) így dr = dr 1 m r (6) A (60)-as egyenleteket egybe foglalva az ε = ±1 jelölés bevezetésével (ε = 1: avanzsált, ε = 1: retardált): 14

t = v ε [r + m ln ( r m 1)] dr dt = dv ε 1 m r (63) (64) A Schwarzschild ívelemnégyzet a t helyett bevezetett v koordinátában: ds = (1 m r ) dv + εdvdr + r (dθ + sin θdφ ). (65) Ahol ε = ±1. ε = 1 kimenő- és ε = 1 bemenő null koordináta estén. Ha ε = 1, akkor a v = konstans vonalak befele tartanak, míg az ε = 1 eset pedig a kifelé tartó v = konstans vonalakat írja le. Az ε = 1 és v = const esetben, ha a t nő, akkor r is növekedni fog. Tehát a v = const vonalak kimenők, így a v koordináta bemenő. Az ε = 1 és v = const esetben pedig, ha t nő, akkor r is csökkenni fog. Tehát v = const vonalak bemenők, így v kimenő null koordináta lesz. 5.1 Fényelhajlás Eddington-Finkelstein koordináta rendszerben Az elhajlási szög meghatározásához először felírjuk a Lagrange-függvényt: L = g ab dx a dλ dx b dλ, (66) ahol λ egy időszerű paraméter. Most L = f(r)v + εv r + r (θ + sin θφ ). (67) A következő lépésben felírjuk az Euler-Lagrange egyenleteket az (v; r; θ; φ) változokra, ahol x 0 = v, x 1 = r, x = θ és x 3 = φ. A Számolások során a θ = π, azaz egyenlítői síkon lévő pályákat vizsgálok. Ez a gömbszimmetria miatt megtehető az általánosság megsérülése nélkül. Így x = θ-ra az Euler-Lagrange egyenlet azonosan teljesül. Euler-Lagrange egyenletek: 15

L x a d L dλ x a = 0, (68) a=0-ra: ( fv + εr ) = 0, (69) így fv + εr = E. (70) E az energiával áll kapcsolatban és megmaradó mennyiség. Megmutatható (63)-as felhasználásával, hogy: fv + εr = E = ft. (71) a=1-re: f r v + rφ (εv ) = 0, (7) és a=3-ra: (r φ ) = 0 (73) A (73)-as egyenlet integrálása után kapjuk, hogy r φ = J. J az impulzusmomentummal áll kapcsolatban és megmarad a pálya mentén. (a = -re kaptuk volna a θ-ra vonatkozó Euler- Lagrange egyenletet). A (7)-es egyenletből kapjuk, hogy: v + ε f r v εrφ = 0. (74) Az E-re kapott (70)-es egyenletből kifejezve v t kapjuk, hogy: v = E f + εr f. (75) 16

Ezt λ szerint differenciálva: v = E f f r f εr r r f + εr f. (76) Ezt behelyettesítve (74)-be: ε r f E f f r r + ε f r [E f + r f εer J f ] ε r 3 = 0. (77) A (77)-es egyenletet szorozva r -tal kapjuk: r r f 1 f r f r + 1 f r E E J r f r 3 r = 0, (78) amely a következő alakba írható: d dλ [r E + J r f] = 0. (79) Felhasználva, hogy ds² = 0: r E + J r f = 0. (80) A kapott egyenlet megegyezik a (1)-es egyenlettel. A fenti egyenlet a radiális egyenlet első integrálja Mivel ebben az alakban nem tudjuk integrálni, ezért áttérünk a φ változó szerinti deriválásra és r helyett az u = 1 változóra, ahogy korábban. A számolások elvégzése után az r egyenlet a következőképpen alakul: u + u = 3mu. (81) Ebből a 3.1-es fejezet alapján az elhajlás alakja a következő lesz: δφ = 4ε (8) 17

6. Vaidya metrika Ezt a fejezetet a [3]-as, [4]-es, [5]-ös és [6]-os forrás alapján írtam meg. Az általános relativitáselméletben a Vaidya metrika leírja a nem üres külső téridőben lévő gömbszimmetrikus és nem forgó csillagot vagy fekete lyukat, amely sugárzást bocsájt ki vagy nyel el. Ezt az indiai fizikusról Prahalad Chunnilal Vaidya-ról nevezték el. A sugárzást elnyelő vagy kibocsájtó gömbszimmetrikus objektum körüli téridő ívelemnégyzete: ds = f(r, v)dv + εdvdr + r (dθ + sin θdφ ), (83) ahol ε = ±1 (ε = 1 kimenő- és ε = 1 bemenő Eddington-Finkelstein null koordináta estén), és: f(r; v) = 1 m(v) r. (84) A téridő annyiban különbözik a Schwarzshild téridőtől, hogy itt az m paraméter a v null koordináta függvénye. A vaidya metrika az Einstein-egyenletek olyan megoldása, ahol az energia-impulzus tenzor alakja a következő: T αβ = ε dm(v) dv 4πr δ α ν δ β ν (85) A gyenge energia feltétel előírja, hogy minden megfigyelő pozitív energiasűrűséget tapasztaljon, így dm(v) dv 0, ε = 1, (86) dm(v) 0, ε = 1. dv (87) Az utóbbi estet egy sugárzó csillagot ír le, ami a mi tanulmányunk témáját képezi. A következőkben feltesszük: 18

m(v) = M μv, (88) ahol dm dv = μ < 0. (89) Ami sugárzó csillagnak felel meg. 6.1 Fényelhajlás Vaidya téridőben A Vaidya téridőben mozgó fény Lagrange-függvénye: L = f(r; v)v + εv r + r (θ + sin θφ ). (90) A gömbszimmetria miatt hagyatkozhatunk egyenlítői pályákra.(θ = π ) A v szerinti variálással kapott egyenlet: f r v ( fv + εr ) = 0, (91) r-szerintivel: f r v + rφ (εv ) = 0, (9) φ-szerintivel: (r φ ) = 0. (93) Utóbbiból: r φ = J = const. (94) A (91)-be beírva a (94)-es egyenletet: fv + εv r + J r = 0. (95) 19

A (9)-es egyenletet behelyettesítve a (91)-es és a (9)-es egyenletbe: r εfv ε f v v ε f r r v = 0, v ε J r 3 + ε f r v = 0. (96) (97) A (97)-es egyenletből v t kifejezve és behelyettesítve (96)-ba kapjuk, hogy: r + J r ( f r ) ε f v v = 0 (98) Behelyettesítve f = 1 m(v)u t a (97)-es és (98)-as egyenletekben áttérve r helyett az u = 1 r változóra: v εj u 3 + εm(v)u v = 0, (99) u u u 3 + J [3m(v)u 4 u 3 ] + ε dm(v) dv uv = 0. (100) A (99)-es és (100)-as egyenletekben áttárve a φ változó szerinti deriválásra: u + 1 u (fu ) ε f u v (v ) = 0, v + v u u ε u ε f u u (v ) = 0. (101) (10) Bevezetve a következő kis paramétereket. Bennük sorfejtünk lineáris rendig. ε = M 0 b, η = μ( v 0). b (119) (103) Először a fenti két egyenlet megoldását keressük 0-ad rendben. A (101) 0-ad rendű megoldása ()-es egyenlettel egyezik meg. A (10)-es egyenlet: 0

v 0 + v 0 u 0 u 0 ε u 0 = 0. (104) Behelyettesítve u 0 t és u 0 t: v 0 tanφv εb cosφ = 0. (105) Ennek a megoldása v 0 (φ) = εb cosφ + c 1tanφ + c, (106) ahol c 1 = E J b = b ((13)-as egyenletbe a ()-es egyenletet a φ = 0-ban behelyettesítve: E J b = 1 ) és c = 0. Tehát a megoldás: v(φ) = b ( ε cosφ + tanφ). (107) A v (φ = π ) = -től a v (φ = π ) = 0-ig megy. A fény v = v 0 < 0-nál éri el a csillag sugárzási zónáját. A fény v = és v 0 között úgy mozog, mintha Schwarzsild téridőben lenne. Majd v 0 és 0 között a mozgásban szerepet játszik a sugárzás, mert a sugárzás egy része a részecske radiális távolságán kívülre kerül. Emiatt a részecske mozgása már nem lehet szimmetrikus, ahogy a Schwarzsild téridő szimmetrikus volt a φ = 0-ra, Az m(v) függvényben szereplő M paraméter jelenti azt a sugárzás által képviselt tömeget, ami a vizsgált fénysugár pályáján belül van v = 0 (φ = π )-kor. A számolásoknál a következő jelöléseket : v = v v 0, u = bu, (108) felhasználva (101) és (10)-ből: u + u (1 3m(v )u ) εu dm(v ) 3 (v ) = 0, dv (109) 1

v + v u ε u u ε u m(v )(v ) = 0, (110) ahol m(v ) = M μv = M 0 μ( v 0) (1 + v ), b (111) és m(v ) = M 0 b b μ( v 0) (1 + v ). b (11) Az ε és η bevezettett kis paraméterekkel: m(v ) = ε η(1 + v )Θ(1 + v ). b (113) A v = 1-nél érzékeli csak a részecske a sugárzás hatását, amit a Θ(1 + v ) fejez ki. A (113)-as egyenletet behelyettesítve a (109)-es és (110)-es:egyenletekbe: u + u (1 3[ε η(1 + v )]u ) εηu 3 v 0 b (v ) Θ(1 + v ) +εη(1 + v )δ(1 + v )u 3 v 0 b (v ) = 0. (114) Ahol xδ(x) = 0 egyenlőségből következik, hogy: εη(1 + v )δ(1 + v )u 3 v 0 (v ) = 0, b v + v u ε u u ε u m(v )(v ) = 0. (115) (116) A (114)-es egyenlet perturbatív megoldását keressük a következő alakban, ε és η kis paraméter felhasználásával: u = u 0 + εu Sch + ηu V. (117)

Hasonló alakot teszünk fel a v = v 0 + εv Sch + ηv V. v -nek ezt az alakját feltéve, láthatjuk, hogy (114)-nek ε és η-ban lineáris rendig történő megoldásához v -re csak a nulladrendű v 0(φ) ismeret szükséges. Ezt beírva a (114)-es egyenletbe. 0: u 0 + u 0 = 0, (118) ε: u Sch + u Sch = 3u 0, η: u V + u V = 3(1 + v M)u 0 Θ(1 + v ) ε ( v 0 b ) u 0 3 (v M ) Θ(1 + v ). Ennek a megoldása a következő: bu = cosφ + ε (3 cosφ) (119) + η {C 1 (φ 0 )cosφ + C (φ 0 )sinφ 3 cos φ + ( b v 0 ) [cosφ(4 3sinφ) ( b v 0 ) 1 sinφ cosφ ]}. Itt a C 1 (φ 0 ) és C (φ 0 ) konstansokban szereplő φ 0 jelöli azt a szöget, amikor a fénysugár találkozik a csillag sugárzási zónájával. Amiatt, hogy m(v) függvény folytonosan differenciállható v 0 -án keresztül, u V és u V -nek is folytonosnak kell lennie φ 0 -n keresztűl. Ezekből a feltételekből C 1 (φ 0 ) és C (φ 0 ) meghatározható. C 1 (φ 0 ) = cosφ 0sinφ 0 4cosφ 0 1 sinφ 0 + ( sin φ 0 + sinφ 0 1) cosφ 0 3 cos φ 0 sinφ 0 + 3cosφ 0 + 6cosφ 0 sin φ 0, (10) C (φ 0 ) = sin φ 0 4sinφ 0 cos φ 0 (1 + 6sinφ 0 ) = 1 [1 11 sin φ 0 3 cos φ 0 3 sin 3φ 0 ]. (11) 3

3.ábra: A fényelhajlás geometriája, a Ψ 01 és a Ψ 0 szög A fény elhajlásának a szögét a 4. fejezetben alkalmazott módszerrel határozom meg. Ebben az esetben a fény elhajlás két részből tevődik össze. A fény pályája nem szimmetrikus. A pálya első részén Schwarzshild téridőben halad és csak később éri el a sugárzást tartalmazó Vaidya régiót. ψ 0 a következő alakú ψ 0 = ψ 01 + ψ 0, (1) ahol ψ 01 és ψ 0 a 3. ábrán látható.a ψ 01 résznél csak a Schwarzsild megoldást használjuk fel ε-ban lineáris rendig. A 4. fejezetben alkalmazott (53)-as képlettet használva: ψ 01 π φ= = rf(r)1 π dr φ= dφ = (1 mu)1 u du dφ π φ= = ε (13) A ψ 0 résznél is hasonlóan járunk el, itt a Vaidya megoldást használjuk fel. ψ 0 = rf(r)1 dr dφ φ= π = u ₀ + εu Sch + ηu V u ₀ + εu Sch + (1 ηu V mu)1 π φ= = u 0 + εu Sch + 1 ηu V u 0 + εu Sch + [1 (ε η(1 + v )Θ(1 + v ))u ] π φ= ηu V = u 0 + εu Sch + ηu V u 0 + εu Sch + [1 (ε η)(u 0 + εu Sch + ηu V)] π φ= ηu V = (εu Sch + ηu V) φ=π/ = ε + ηc (φ 0 ) (14) Tehát Vaidya téridőben a fény elhajlási szöge a következő alakú lesz. 4

ψ 0 = ψ 01 + ψ 0 = 4ε + η [1 11 sin φ 0 3 cos φ 0 3 sin 3φ 0 ]. (15) A szerző ismerete szerint a (14)-ben szereplő ηc (φ 0 ) tag új eredmény. 7. Összefoglalás Dolgozatomban 3. fejezetében a fényelhajlással foglalkoztam Reissner-Nordström téridőben. A fényelhajlás szögét többféle módszerrel is meghatároztam. Az 3.1-es fejezetben árapálytöltésű brán fekete lyukas ( speciális Reissner-Nordström) metrikára felírtam a Lagrange függvényt. Utána Euler-Lagrange egyenletekből kaptam meg a megfelelő egyenleteket. A számítások során felhasználtam, hogy a θ szög konstans és φ és t ciklikus változó. A kapott egyenletet megoldva, megkaptam a fény elhajlási szögét Reissner-Nordström téridőben. Az ε és η kis paraméterekkel számoltam. A 3.-es fejezetben a geodetikus egyenletből indultam ki. A Christoffel szimbólumok meghatározása után felírtam az egyenleteket az (t; r; θ; φ) változókra. Az r változóra kapott egyenletből határoztam meg a fényelhajlást. A kapott eredmény megegyezett az első módszerrel kapott eredménnyel A 4. fejezetben a Reissner-Nordstör de Sitter téridőnél a kozmológiai állandó is megjelenik. Itt a fény pályáját paraméterezzük r(φ) és φ-vel. W a a pálya radiális, V a pedig a pálya érintő vektora. Az elhajlási szöget a radiális és az érintő vektorok skaláris szorzatából határoztam meg. Számolásaimmal reprodukáltam az irodalomban fellelhető kozmológiai konstans fényelhajláshoz történő járulékát. Az 5. és 5.1 fejezetekben a Schwarzschild metrikát írtam át Eddington-Finkelstein koordinátákba, majd az átírt metrikára, az Euler-Lagrange egyenletek felhasználásával meghatároztam a fény elhajlási szögét. A számolásokat első rendig végeztem el. A 6. és 6.1. fejezetekben az 5. és 5.1 fejezetekben kapott eredményeket határoztam meg Vaidya metrikába a 4. fejezet felhasználásával. A szerző ismerete szerint a (14)-ben szereplő ηc (φ 0 ) tag új eredmény. 8. Köszönetnyilvánítás Szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Dr. Keresztes Zoltánnak a hasznos tanácsokért, valamint instrukciókért. 5

9. Források [1] Gergely L Á, Keresztes Z and Marek D Class. Quantum Grav. 6 14500 (009) [] Rindler W and Ishak M PHYSICAL REVIEW D 76, 043006 (007) [3] Hobson M., Efstathiou G., Lasenby A.: General Relativity: An Introduction for Physisists (006) [4] Wang A and Wu Y, Gen. Relativ. Grav. 31, 107 (1999) [5] Gergely L Á, phys. Rev. D 68, 14011 (003) [6] Matthias B.: Lecture Notes on General Relativity (015), [http://www.blau.itp.unibe.ch/lecturenotes.html] 10. Nyilatkozat Alulírott Deák Bence Fizika BSc szakos hallgató (ETR azonosító: DEBVAAT.SZE) a Gravitációs fényelhajlás gömbszimmetrikus téridőkben című szakdolgozat szerzője fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem, hogy dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések általános szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelelő idézés nélkül nem használtam fel. Szeged, 016. év május hó 1. nap Deák Bence 6