Debecen DEBRECENI EGYETEM Eléleti Fizika Tanszék (Saile Konél MTA oktoa) Izotópalkalazási Tanszék (Kónya József ké. tu. oktoa) KLTE ATOMKI Közös Tanszék (Kiss Ápá Zoltán fiz. tu. oktoa) Kíséleti Fizikai Tanszék (Pálinkás József akaéikus) Sziláestfizikai Tanszék (Beke Dezsô fiz. tu. oktoa) Biofizikai Intézet (Szöllôsi János biol. tu. oktoa) KUTATÓINTÉZETEK MTA AtoagkutatóIntézet (Lovas Rezsô akaéikus) MTA Csillagászati Kutatóintézet Napfizikai Obszevatóiua (Luány Anás fiz. tu. kaniátusa) Gyô SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM Fizika Tanszék (Hováth Anás egy. ocens) Miskolc MISKOLCI EGYETEM Geofizikai Tanszék (Dobóka Mihály ûsz. tu. oktoa) Fizika Tanszék (Deeny Zoltán fiz. tu. kaniátusa) Fizikai Kéiai Tanszék (Kaptay Gyögy ûsz. tu. kaniátusa) Pécs PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM Biofizikai Intézet (Soogyi Béla egy. taná) Általános Fizika és Lézespektoszkópia Tanszék (Néet Béla egy. ocens) Eléleti Fizika Tanszék (Kopa Csaba egy. taná) Kíséleti Fizika Tanszék (Hebling János egy. ocens) Sopon NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipai Ménöki Ka, Fizika Tanszék (Papp Gyögy) MÉK Mosonagyaóvá (Dóka Ottó egy. ocens) GEO Székesfehévá (Csoásné Maton Melina fôisk. tanásegé) ATIF Gyô (Zábái Antal fôisk. ajunktus) Szege SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM Biofizikai Tanszék (Maóti Péte biol. tu. oktoa) Eléleti Fizikai Tanszék (Gyéánt Iván fiz. tu. oktoa) Kíséleti Fizika Tanszék (Szatái Sáno fiz. tu. oktoa) Optikai és Kvantuelektonikai Tanszék (Bo Zsolt akaéikus) MTA Lézefizikai Kutatócsopot (Bo Zsolt akaéikus) Szegei Csillagvizsgáló(Szatáy Káoly fiz. tu. kaniátusa) Általános Ovosi Ka, Ovosi Fizika Oktatási Csopot (Ringle Anás biol. tu. kaniátusa) Juhász Gyula Tanáképzô Fôiskola Ka, Fizika Tanszék (Nánai László fiz. tu. kaniátusa) KUTATÓINTÉZET SzBK Biofizikai Intézet (Oos Pál akaéikus) Veszpé VESZPRÉMI EGYETEM Fizika Tanszék (Szalai István egy. ocens) Fizikai Kéia Tanszék (Liszi János egy. taná) A FIZIKA TANÍTÁSA A. ÉVI EÖTVÖS-VERSENY FELADATA: A KEPLER-PROBLÉMA MÁGNESES TÉRBEN Pálfalvi László MTA PTE Nelineáis Optikai és Kvantuoptikai Kutatócsopot PTE, Kíséleti Fizika Tanszék A felaatok egolása soán sok esetben hasznos lehet olyan ószeek alkalazása, elyek túlutatnak a középiskolások eszköztáán. Ha egy pobléát általánosan kezelünk, az elei egolással egválaszolható kééseken túlutatókéések felvetésée és egválaszolásáa aóik lehetôség. Ezenkívül áutathatunk olyan általános évényû összefüggéseke, elyek a speciális esetbôl kiinulótágyalások soán ne keülnek 7 NEM ÉLHETÜNK FIZIKA NÉLKÜL FIZIKAI SZEMLE 5 /
felszíne. Még egy nagyon fontos szepont, hogy egy egzakt egolás segítség lehet eeényünk helyességének ellenôzéséhez is. A. évi Eötvös-veseny 3. felaata igen jópéla annak eonstálásáa, hogy az általános összefüggésekbôl hogyan juthatunk el az egyei esetekhez. A felaat így szólt: Elektonok ozgását vizsgáljuk hoogén ágneses tében, az eôvonalaka eôleges síkban. (Az elektont klasszikus töegpontnak tekintjük, elye csak elektoos és ágneses eôk hatnak.) a) Két, kezetben nyugvóelekton egyástól elég essze, távolsága helyezkeik el. Mekkoa azonos nagyságú, egyással ellentétes iányú sebességgel inítsuk el az elektonokat úgy, hogy távolságuk a ozgás soán ne változzék? b) Állanóaahat-e az távolság akko is, ha csak az egyik elektont lökjük eg? Milyen pályán ozog ekko a ensze töegközéppontja? Mekkoa az a iniális in távolság, aely ellett ilyen ozgás ég létejöhet? Ábázoljuk vázlatosan az elektonok pályáját ebben az esetben! Miko áll eg elôszö a eglökött elekton? Ha nincs jelen ágneses té, és a töltések ellentétes elôjelûek, akko a jól iset Keple-pobléa egolásáól van szó speciális kezôfeltételek ellett. Teészetesen ebben az esetben néhány alkéés ételetlenné válik. A szietikus inítás A felaat a) kéése ne túl nehéz, a szietia iatt a szituációkönnyen elképzelhetô, ai egy kis önbizalat a a késôbbiekhez. A egolás soán az e elei töltés alatt e = +,6 9 C-ot étünk. A kezetben távolságban lévô elektonok távolsága úgy aahat állanó, ha / sugaú köpályán ozognak a nyugaloban lévô töegközéppontjuk köül, azaz a ozgásegyenlet (. ába): ev B k e Innen kifejezve a kezôsebességet v = eb ± eb = v /. aóik, elybôl látszik, hogy inen > in = 8 k ke esetén két különbözô v esetén is létejöhet ugyanazon a köpályán töténô ozgás. = in esetén v = eb / aóik az inítási sebessége, < in esetén peig ne jöhet léte köozgás. B /3 () () v ev B ke /. ába. Az elektonokat azonos nagyságú, ellentétes iányú sebességgel inítjuk. Az általános egolás Most téjünk á a pobléa általános tágyalásáa! Jelöljük az elektonok helyvektoait -gyel, illetve -vel, sebességeiket peig v -gyel, illetve v -vel! A kezôfeltételek legyenek teljesen általánosak, csupán annyit kössünk ki, hogy inkét elekton sebessége eôleges legyen a ágneses tée! Mivel a ponttöltéseke hatóvalaennyi eô eôleges lesz a ágneses tée, biztosak lehetünk abban, hogy az elektonok a ágneses tée eôleges síkban fognak ozogni. Az elektonoka a ozgásegyenletek: ahol Vezessük be az = F c e v B, = F c e v B, F c = ke 3 ( ). = v atív helyvektot, illetve a töegközéppontba utató R = vektot int új változókat! A (3) és () egyenletekben az és ennyiségeket és a sebességeket kifejezve az és R új változókkal (5) és (6) felhasználásával, aj az egyenleteket összeava, a töegközéppont ozgásáa az R = e Ṙ B egyenlet aóik. Ez a ozgásegyenlet pontosan olyan, int egyetlen elekton ozgásegyenlete hoogén ágneses tében. Tehát a töegközéppont egyenletes köozgást fog végezni Ω = eb/ szögsebességgel. Fontos kieelni, hogy ez báy olyan kezôfeltétel ellett így van (ne csak olyanko, int ait a felaat b) észében kiónak), aiko is az elektonok kezôsebességei eôlegesek a ágneses tée. Az és R változókkal kifejezett (3) és () ozgásegyenleteket egyásból kivonva eljutunk a atív helyvekto ozgásegyenletéhez: (3) () (5) (6) (7) A FIZIKA TANÍTÁSA 75
= ke e ṙ B. 3 Láthattuk tehát, hogy a ozgásegyenletek szepaálónak a töegközépponti (7), illetve a atív (8) ozgás változói szeint. A (8) egyenlet egolásához nagy segítséget a a egaaóennyiségek iseete. Tujuk, hogy ágneses té hiányában a atív ozgáshoz tatozó enegia és az ε = µ ṙ N = µ ṙ U () ipulzusoentu egaa (ahol µ = / a eukált töeg). Vajon i a helyzet ágneses té jelenlétében? Ehhez a Lagange-függvény vizsgálatával juthatunk el legkönnyebben. A Lagange-függvény Minenekelôtt nézzük eg, hogy hoogén ágneses tében ozgó(egyetlen) elektonhoz ilyen Lagangefüggvény enelhetô! Általánosabb esetben, tetszôleges elektoágneses tében ozgóponttöltés Lagange-függvénye ne fejezhetô ki a ágneses inukcióval és az elektoos téeôsséggel, csak a potenciálokkal. Hoogén ágneses tében viszont találhatunk olyan B-vel kifejezhetô Lagange-függvényt, elybôl a helyes ozgásegyenlet száaztatható. A tée eôlegesen ozgó elekton esetén egy lehetséges Lagange-függvény az A = (x e y ) B (xy yx )= = e ṙ B ( ṙ ). x x, y y Eule Lagange-egyenletekbe behelyettesítve a (9)-ben egaott Lagange-függvényt, egkapjuk az x és y kooináta ozgásegyenleteit, elyek az = e ṙ B (8) (9) () () A töegközépponti (6) és atív (5) helyvektooka való áttééssel a ensze Lagange-függvénye: = TKP (3) töegközépponti és atív tag összegée szepaálóik, ahol és A atív ozgás TKP = Ṙ e B (R Ṙ ) = ṙ U() e B ( ṙ ). Az alábbiakban koncentáljunk a atív ozgása, hisz a töegközéppont ozgását á a (7) ozgásegyenlet alapján ételeztük! Mivel int koábban á elítettük az vekto síkozgást végez, éees bevezetni az és ϕ síkbeli polákooinátákat. Ezekkel a változókkal ṙ = ṙ ϕ, B ( ṙ) =B ϕ, illetve ivel a potenciál csak a két elekton távolságától függ U( )=U(). A atív ozgás Lagange-függvénye az és ϕ változókban A () kifejezést a = (ṙ ϕ ) U() egyenletbe behelyettesítve az egyenletée ϕ U ṙ eb ϕ. () (5) kooináta ozgás- ebϕ = (6) aóik. Mivel a () Lagange-függvény független a ϕ kooinátától, azaz /ϕ =, a ozgásegyenletnek a koponensegyenletei lesznek, tehát a egsejtett Lagange-függvény valóban helyes. Két elekton esetén, a Coulob-kölcsönhatást is figyelebe véve a Lagange-függvény ϕ egyenletbôl az következik, hogy az ϕ (7) = ṙ ṙ U ( ) e B ( ṙ ) e B ( ṙ ). () A = ϕ eb (8) ennyiség ozgásállanó. Eljutottunk tehát egy egaaóennyiséghez, ai nagyon fontos eeény a ké- 76 NEM ÉLHETÜNK FIZIKA NÉLKÜL FIZIKAI SZEMLE 5 /
Eszeint egy U eff ( ) effektív potenciálban töténô egyienziós ozgása sikeült eukálni a pobléát. A. ába vázlatosan utatja az effektív potenciált Ueff( ) U () =k e (3). ába. Az egyienziósa eukált ozgáshoz tatozó effektív potenciál int az elektonok távolságának a függvénye. sôbbiekhez. A Keple-pobléából iset, hogy ágneses té hiányában az N = ϕ ennyiség, a atív ozgáshoz tatozóipulzusoentu nagysága ozgásállanó. A (8) egyenletbôl látszik, hogy B esetén az ipulzusoentu kizáólag akko lesz ozgásállanó, ha kikötjük állanóságát, ai a felaat egyik feltétele. A (8) egyenletbôl az is következik, hogy állanóságaϕ állanóságát is aga után vonja, ai annyit jelent, hogy ha a atív ozgás köozgás, akko inenképp egyenletes is. A (7) egyenletben a eiválásokat elvégezve az ϕ ṙϕ ebṙ = (9) ozgásegyenlethez jutunk. Mivel a Loentz-eô unkája zéus, ezét váhatóan a atív ozgáshoz tatozó ε = ṙ ϕ U() enegia ozgásállanó, azaz ε =. () () A () kifejezést a () egyenletbe beíva, és felhasználva a (6) és (9) egyenleteket valóban az aóik, hogy a atív ozgás enegiája () ozgásállanó. Az enegiaegaaás vizsgálata évén is eljuthatunk aa a következtetése (), hogy ha = állanó( ṙ =), akko a ozgás egyenletes köozgás. A (8) egyenletbôl ϕ -t kifejezve, aj ()-ba beíva aóik, ahol ε = ε a kin ε a kin = ṙ és U eff () () Coulob-potenciál esetén. Figyelee éltó, hogy íg a Keple-pobléában (B =,U()= ke / ) csak ε < esetén lehet kolátos ozgás, ebben az esetben ne így van. A távolság állanóságának feltétele Kéés, hogy ekkoa felel eg a köozgásnak. Ekko, ahogy a. ábán is látszik azaz A 3 U eff () = =, e B 8 k e () (5) A (8) kifejezésben figyelebe véve, hogy =, ϕ = v /, aj A étékét beíva a (5) egyenletbe ev B k e =. aóik. Ez utóbbi egyenletbôl a atív sebessége = v (6) (7) v = eb ± eb ke =v aóik, ahol v á koábban () efiniált. Ebbôl az eeénybôl ugyanazt az feltételt kapjuk az állanótávolság egvalósíthatósági ta- toányáa, int a () egyenletbôl. A v =v eeény a felaat kéésénél általánosabb eseteke aja eg a választ: inen olyan kezôfeltétel esetén, aiko az elektonokat összekötô szakasza eôleges kezôsebességek olyanok, hogy a atív sebesség v a távolság állanóaa. Ez abban az esetben, iko az egyik elekton áll, nyilván azt jelenti, hogy a ásikat v sebességgel kell inítani. Ha tehát az elektonokat = in feltétel ellett az összekötô egyenese eôleges v és v (pl. ellentétes) sebességekkel inítjuk, > in = 8 k 3 B v = eb = v v. A atív ozgás szögsebessége: (8) U eff () = A eb U (). ω = ϕ = v = eb. (9) A FIZIKA TANÍTÁSA 77
y TKP etben álló, illetve a eglökött elekton pályáját. A göbe úgynevezett caioi vagy szívgöbe. Ilyen göbét í le egy ögzített koongon csúszásentesen göülô azonos sugaú koong egy keületi pontja. Az ábáól jól látható, hogy aíg a két elekton helyet cseél, aig a töegközéppont pontosan egysze köbejá. Újabb pobléák felvetése x 3. ába. Az elektonok helycseéje. A a kezetben elinított elekton (töö), az a kezetben álló(kitöltetlen). A töegközéppont szögsebessége peig: Ω = eb A töegközéppont V sebessége: =ω. V = Ω R = v v. (3) (3) A (8), (9), (3) és (3) összefüggéseket figyelebe véve a töegközéppont által leít köpálya sugaáa R = v v (3) aóik. A (3), (5) és (6) összefüggéseket felhasználva pélául a elekton helyvektoa (hasonlóképpen az elekton helye is) az iô függvényében egaható: (t) = v v cos(ω t), sin(ω t) cos(ω t), sin(ω t). (33) Most téjünk vissza a felaat szövegének egfelelôen aa az esete, aiko csak az egyik ( ) elektont lökjük eg (v =v )! Ekko a elekton sebességée v (t) =ṙ (t) = = Ω sin(ω t) sin(ω t), cos(ω t) cos(ω t) = = Ω sin Ω ω t, cos Ω ω t cos ω t (3) aóik. Az egyenletbôl látszik, hogy v akko lesz zéus, ha t = π ω =π eb = T, (35) azaz, aíg a töegközéppont egtesz egy teljes köt. A 3. ábán néhány nevezetes pontban feltüntettük a kez- Eigi eeényeinket felhasználhatjuk újabb pobléák felvetéséhez és egválaszolásához. Ahogy a Keplepobléa esetén is az egyik fô cél a pálya száaztatása, úgy ebben az esetben is lehetôség nyílik ee, noha az analitikus foában töténô egaás ne tiviális. A (8) egyenletbôl ϕ -ot, a () egyenletbôl ṙ -ot kifejezve, a (3) összefüggést felhasználva ϕ = ε A eb A eb (36) aóik. A (36) iffeenciálegyenletbôl az (ϕ) pályagöbe elvben száaztatható, hisz sikeült a pobléát kvaatúáa visszavezetni. Iset felaat annak kiszáítása, hogy egyástól távolsága elhelyezett ellentett ponttöltések (pl. elekton poziton pá) ennyi iô úlva találkoznak. A egolás különbözô intepetációi viszonylag közisetek. Újabb, éekes felaat lehet ennek a kéésnek a feltevése az Eötvös-veseny felaat köülényei között, azaz hoogén ágneses tében. Vegyük észe, hogy ez egint csak az általános pobléakö speciális esete ás kezôfeltételekkel. Ehhez a () egyenlet átenezett alakjából kapott = ε k e egyenletet kell egolani ε = U eff ( ) feltétel ellett. Összefoglalás A eb k e (37) Végezetül elonható, hogy a felaat összes kéésée válaszoltunk, ha ne is a feltevés soenjében, hane inkább ahogy a gonolatenet logikája azt egkívánta. A pobléakö általános tágyalása sok olyan éekesség eglátásáa aott lehetôséget, elyek egy elei egolás soán ne keülnek a felszíne. Ioalo HRASKÓ PÉTER: Eléleti echanika Egyetei tankönyv, PTE, 995. CSERTI JÓZSEF: A. évi Eötvös-veseny 3. felaata I.N. BRONSTEJN, K.A.SZEMENGYAJEV: Mateatikai zsebkönyv Mûszaki Kiaó, Buapest, 963. 78 NEM ÉLHETÜNK FIZIKA NÉLKÜL FIZIKAI SZEMLE 5 /