KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7
VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek pedig valós számok Jelölése: (1) Ezt a függvényt szokás skalártérnek is mondani Az (1) függvény szintfelületei az felületek (C állandó) Az u függvény deriváltja a (2) vektor (gradiens vektor) Az u függvény e irányban vett iránymenti deriváltja a (3) skaláris szorzat (e egységvektor) A gradiens formális jelölése lehetséges módon (olv "nábla u"), ahol (4) A vektor önmagával vett skaláris szorzata a (4/a) Laplace-operátor, és Legyen a g görbe egyenlete Ekkor az u skalár-vektor függvény g görbe menti, ívhossz szerinti vonalintegrálja: (5) Látható, hogy integrálás előtt az függvénynél elvégeztük az helyettesítést Szokás azt mondani, hogy a függvényt lokalizáltuk a görbére Valójában a függvény leszűkítéséről van szó Ha, akkor az (5) integrál értéke a görbe ívhosszával egyenlő Ha u = f(x, y) kétváltozós függvény, g pedig az (x, y) -síkban fekvő görbe, akkor
(6) Ha, akkor ez geometriailag a g vezérgörbéjű, z -tengellyel párhuzamos alkotójú henger palástjából annak a darabnak a felszínével egyenlő, amely a z = 0 sík és a z = f(x, y) felület közé esik Az u függvény g görbe menti, x, y, ill z koordináta szerinti vonalintegrálja:,, ill (7) Legyen az F felület egyenlete integrálja: Ekkor az u függvény F felületre vonatkozó felszíni, (8) ahol T az F felületdarabnak megfelelő tartomány, a t, v síkon Ha az F felület egyenlete z = f(x, y), akkor a (8) integrál a következő alakú lesz: (8/a) Az u függvény F felületre vonatkozó, az (x, y), (x, z), ill (y, z) koordinátasíkon való vetület szerint vett felületi integrálja: ill (9) A vektor-vektor függvény értelmezési tartománya is, értékkészlete is vektorokból áll Jelölése: (10) Ezt a függvényt szokás vektortérnek is mondani A v vektor-vektor függvény divergenciája:, (11) rotációja: (12) Ha, akkor a vektorteret forrásmentesnek, ha, akkor örvénymentesnek mondjuk A v vektor-vektor függvény g görbe menti (skalár értékű) vonalintegrálja: (13) A v függvény F felületre vonatkozó (skalár értékű) felületi integrálja:, (14)
ahol a felület egyenlete, T pedig a felületdarabnak megfelelő tartomány Ha a felület egyenlete z = f(x, y), akkor felfelé mutató normális esetén df (15) A Gauss-Osztrogradszkij-tétel Legyen div v folytonos az F sima felülettel határolt zárt V térrészben Ekkor, (16) ahol a df felületi normálvektor kifelé mutat (külső normális) A Stokes-tétel Legyen folytonos a korlátos, sima F felület pontjaiban Ekkor, (17) ahol g az F felület(darab) határgörbéje, amely df irányából szembenézve, az óramutató járásával ellentétes irányítású A Stokes-tétel síkbeli alakjához jutunk, ha v = (P(x, y), határolt T része Ekkor a Green-formulának nevezett tétel: pedig az (x, y) - síknak a g görbével (18) Ha, vagyis v örvénymentes, akkor az vonalintegrál független a görbe alakjától, annak értéke csak a g görbe kezdőpontjától és végpontjától függ Ilyenkor a teret potenciálosnak is mondjuk Ekkor létezik olyan u(r) skalárvektor függvény, ún potenciálfüggvény, hogy grad u(r) = v (r), és (19) Itt A a g görbe kezdőpontja, B pedig végpontja A potenciálfüggvény a grad u = v feltételből határozható meg Ez a feltétel az alábbi egyenletekre vezet: (20) 2 MINTAPÉLDÁk Megoldások: láthatók nem láthatók 1 Írjuk fel az függvény szintfelületeinek egyenletét Megoldás A szintfelületek egyenlete u(x, y, z) = C Tehát formálisan írjunk u helyébe C -t Ekkor, azaz Ez a szintfelületek egyenlete Ezek a
felületek forgási paraboloidok C különböző értékeihez különböző felületek tartoznak Például C = 4 esetben a 2 Írjuk fel az alábbi függvények gradiensét: a) ; b) Megoldás Használjuk a (2) képletet: a) ; b) 3 Számítsuk ki az alábbi függvények adott a irányú iránymenti deriváltját az adott helyen a),, b) ; Megoldás Használjuk a (3) formulát a), Az irányt most az a vektorral adtuk meg, amely azonban nem egységvektor Vegyük ezért ennek az egységvektorát, és legyen most ez az e egységvektor, azaz Az iránymenti derivált: b), Az irány most a grad u vektor iránya Ennek egységvektora lesz az e vektor, azaz Ekkor a (3) képlet szerint:
4 Számítsuk ki az függvény g görbe menti, ívhossz szerinti vonalintegrálját, ha g az r = (cos t, sin t, t) csavarvonal íve Megoldás Az (5) képletet használjuk A görbe skaláris egyenletrendszere: x = cos t, y = sin t, z = t Ekkor, 5 Számítsuk ki az körhenger palástjából annak a résznek a felszínét, amely a z = 0 és a z = 2 x síkok közé esik (48 ábra) 48 ábra Megoldás A (6) formulát használjuk arra az esetre, amikor u = 2 x, a görbe paraméteres egyenletrendszere pedig: x = 2cos t, y = 2sin t Ekkor A palást felszíne: 6 Számítsuk ki az alábbi vonalintegrálokat a megadott görbék mentén: a), g : r = (sin t, cos t, t);
b), g : r = (a(t t), a(1 cos t), 0), c), g : x = a cos t, y = a sin t, z = bt, Megoldás Használjuk a (7) képleteket a) Most zárt görbe mentén kell integrálni, így az integrálás határai 0 és x = sin t, y = cos t, z = t, dx = cos t dt Elvégezve a lokalizálást: x + y + z = sin t + cos t sin t = cos t Így az integrál: b) x = a(t t), y = a(1 t), dx = a(1 t)dt, dy = a sin t dt Ezeket a helyettesítéseket elvégezve, az integrál: c) Elvégezve a lokalizálásokat, és figyelembe véve, hogy dx = sin t dt, dy = a cos t dt, dz = b dt, az integrál: 7 Számítsuk ki az alábbi felszíni integrálokat: a), ahol F az x + y + z = 2 síknak az első térnyolcadba eső része; b), ahol F a egyenlőtlenséggel meghatározott test (kúptest) határa Megoldás Használjuk a (8/a) képletet: a) Itt u = x + y + z, a felület egyenlete pedig Ekkor, u leszűkítése a felületre (a lokalizált u): u = x + y + = 2 Az integrációs tartomány (a felületdarab vetülete vetülete az (x, y) - síkra) a 49 ábrán látható
49 ábra Az integrál: b) A test határa a kúpfelület része ( ), és a z = 1 magasságban lévő körlap ( ) A 410 ábra az (x, z) síkkal való metszetet mutatja 410 ábra Az integrált ennek megfelelően két részletben számítjuk Az felület esetében,, Az felület esetén, Alaptartomány mindkét esetben az körlap Az integrál: 8 Számítsuk ki az alábbi, vetület szerint vett felületi integrálokat:
a), ahol F az x + y + z = 2 síknak az első térnyolcadba eső része; b), ahol F a egyenlőtlenséggel meghatározott test (kúptest) határa Megoldás Használjuk a (9) képleteket: a) Legyen most a felület egyenlete y = Ekkor u = 2 Az alaptartomány a felület (x, z) - síkon lévő vetülete Ez a 49 ábrán látható háromszög, csak az y tengely szerepét a z tengely veszi át Az integrál: b) A 7b) példához hasonlóan az integrált két részletben számítjuk: 9 Számítsuk ki az alábbi vektor-vektor függvények divergenciáját és rotációját Számítsuk ki a divergenciát és rotációt a pontban is: a) v = r = (x, y, z), (2; ; 5); b), ( ; 1; 4); c), P(0; 2; ); d), (1; ; 3) Megoldás Használjuk a (11) és (12) képleteket a),, b),,,
c), d),, 10 Számítsuk ki az alábbi függvények vonalintegrálját a megadott görbék mentén: a) v = (x y, y z, z x), g : r = (cos t, sin t, cos t), ; b),, z = 0,, ; c) v = (2y, 3z, x), g a, pontokat összekötő szakasz Megoldás Használjuk a (13) képletet úgy, hogy a v függvényt lokalizáljuk a g görbére a) A görbe egyenletéből látható, hogy x = cos t, y = sin t, z = cos t, dx = t dt, dy = cos t dt, dz = t dt v = (cos t sin t, sin t cos t, cos t cos t) Az integrandusz: Az integrál: b) A görbe origó középpontú, a sugarú kör első síknegyedbeli része Paraméteres egyenletrendszere: x = a cos t, y = a sin t, z = 0, Az integrál:, dx = sin t dt, dy = a cos t dt, dz = 0
c) Előbb írjuk fel a 1; 1; 2), (2; ; 4) pontokat összekötő görbe (egyenes) egyenletét Az irányvektor: Az egyenes egyenlete: Mivel dx = dt, dy = 4dt, dz = 2dt, az integrál: azaz x = 1 + t, y = 1 4t, z = 2 + 2t, ) 11 Számítsuk ki az alábbi függvények felületi integrálját felfelé mutató felületi normális mellett: a) v = (x + 1; y + z; x + y + z), a felület pedig az x + y + z = 2 síknak az első térnyolcadba eső része (411 ábra); b) v = r = (x, y, z), a felület pedig az, félgömb; c) v = (2x, x + y, z), a felület pedig az r = (u cos v, u sin v, av) csavarfelület, része 411 ábra Megoldás Használjuk a (14) és (15) képleteket a) v lokalizálva a z = 2 x y felületre: v = (x + 1; y + 2 x y; x + y + 2 x y) = (x + 1; 2 x; 2) A felfelé mutató df vektor a (15) szerint: df Az integrálási tartomány a 49 ábrán látható Az integrál: b) A felső félgömb egyenlete: Mivel,, a felfelé mutató df vektor
df Az integrandusz: Az alaptartomány az körlap, így az integrál: c) A felület paraméteres egyenletrendszere: x = u cos v, y = u sin v, z = av A felületre lokalizált v vektor: v = (2u cos v, u cos v + u sin v, av) A felfelé mutató df vektor: Az integrandusz: Az integrál: 12 Számítsuk ki a Gauss-Osztrogradszkij-tételben szereplő integrálokat, ha, és a V térrészt a paraboloid és a z = 0 sík határolja Megoldás A V térrész (x, z) - síkkal való metszete a 412 ábrán látható 412 ábra
Előbb kiszámítjuk a tétel bal oldalán álló hármas integrált div v = 1 + 2 + 2 = 5, Itt kihasználtuk azt, hogy a T tartomány az körlap A tétel jobb oldalán szereplő integrált két részletben kell számítani, mert a V térrészt határoló felület két részből áll A kifelé mutató normális miatt a paraboloidhoz tartozó vektor felfelé mutat, a z = 0 síkhoz tartozó pedig lefelé (412 ábra) Ennek megfelelően, A paraboloidra lokalizált v vektor és skaláris szorzata: A z = 0 síkra lokalizált v vektor és skaláris szorzata: A tétel jobb oldalán szereplő integrál: 13 Gauss-Osztrogradszkij-tétel felhasználásával számítsuk ki a v = (2x + z, y, x függvény felületi integrálját az gömbfelületre, kifelé mutató normális mellett Megoldás A felületi integrál helyett számítsuk ki div v hármas integrálját Mivel div v = 2 + 1 = 2, ezért Itt kihasználtuk azt, hogy értéke a V gömbtest térfogatával egyenlő 14 Számítsuk ki a Stokes-tételben szereplő integrálokat, ha
v = ), a felület pedig a paraboloid része Megoldás A felület és annak határgörbéje a 413 ábrán látható A határgörbe egy 2 sugarú kör Paraméteres egyenletrendszere: x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 0 A görbére lokalizált v vektor: v =(4 cos t sin t, 2 sin t, 2 cos t) 413 ábra A bal oldali integrál: A jobb oldali integrálhoz állítsuk elő a rot v vektort Ez a vektor most nem függ z -től, ezért a lokalizált rot v = (1; 0; 1) A g görbe irányításának megfelelően a df vektort felfelé kell irányítani, ezért df = (x, y, 1)dx dy Így a jobb oldali integrál: 15 A Stokes-tétel felhasználásával számítsuk ki a v = (2xy,, 2z + y) vektortér vonalintegrálját a g zárt görbére nézve, ha g az ellipszis Megoldás A vonalintegrál helyett számítsuk ki a a tétel jobb oldalán szereplő integrált:
16 Számítsuk ki az vonalintegrál értékét, ha a g görbe az O(0; 0), A(1; 0), B(1; 1) csúcspontú háromszög (414 ábra) Megoldás Itt P = 2 + y, Q = 5x y, A vonalintegrál a (18) felhasználásával: 17 Vizsgáljuk meg, hogy van-e potenciája a v = (2xy,, 2z + y) vektortérnek Ha van, akkor határozzuk meg a potenciálfüggvényt és számítsuk ki v vonalintegrálját az A(2; ; 3), B(1; 0; ) pontokat összekötő tetszőleges görbe mentén Megoldás Potenciál akkor létezik, ha A 15 példában láttuk, hogy, tehát van potenciál Az u potenciálfüggvényt abból a feltételből határozzuk meg, hogy grad u = v Ez a (20) egyenletekre vezet Jelen esetben,, Látható, hogy az u függvényt annak deriváltjaiból kell előállítani Az első egyenletet integrálva:, ahol nyilván függhet y -tól és z -től Deriváljuk ezt az u függvényt y szerint Ekkor
Ezt felhasználva, Deriváljuk ezt z szerint Ekkor Ezt felhasználva,, ahol tetszőleges állandó Ellenőrzés: A v vonalintegráljának értéke ekkor nem függ a görbe alakjától, csupán a kezdő- és a végpont helyzetétől A (19) szerint 3 FELADATOk 1 Írja fel az alábbi skalárvektor függvények szintfelületeinek egyenletét: a) ; b) u = z y; c) ; d) u = x + y + z 2 Írja fel az alábbi függvények gradiensét: a) ; b) u = z y; c) ; d) u = x + y + z 3 Számítsa ki az alábbi függvények a irányú iránymenti deriváltját (adott helyen): a),, ; b),, 4 Számítsa ki az alábbi, ívhossz szerinti vonalintegrálokat: a),, ; b),, ; c), ahol g az kör
5 Számítsa ki az homogén tömegeloszlású csavarvonal íve súlypontjának koordinátáit 6 Számítsa ki annak a hengerpalástnak a felszínét, amelyet az hengerből a z = xy nyeregfelület és a z = 0 sík az első térnyolcadban kimetsz 7 Számítsa ki az alábbi vonalintegrálokat: a), ha g az görbe íve; b), ha g az zárt görbe 8 Számítsa ki a skalár-vektor függvény felszíni integrálját az r = (u cos v, u sin v, v) csavarfelület, darabjára nézve 9 Számítsa ki a függvény felületi integrálját (az (x, y) - síkon való vetület szerint) az r = (u cos v, u sin v, v) csavarfelület, darabjára nézve, felfelé mutató normális mellett 10 Határozza meg az alábbi vektorterek divergenciáját és rotációját: a) ; b) 11 a) b) div grad 12 Számítsa ki az alábbi vektor-vektor függvények adott g görbe menti (skalár értékű) vonalintegrálját: a), g :, ; b) v = (x, x + y, xyz), g : r = (cos t, sin t, t), 13 Számítsa ki az alábbi vektorterek (skalár értékű) felületi integrálját felfelé mutató felületi normális mellett: a), ahol a felület a 2x + 2y + z = 6 sík első térnyolcadba eső része; b) v = r = (x, y, z), ahol a felület a kúppalást része; c), ahol a felület az gömbfelület első térnyolcadba eső része 14 Számítsa ki a vektortér felületi integrálját (átáramlási feleslegét) az gömbfelületre, kifelé mutató felületi normális mellett 15 Számítsa ki a Gauss-Osztrogradszkij-tételben szereplő integrálokat az alábbi v vektortér és V térrész esetén: a) v = (2, x + y, ), V :,, ; b),, 16 A Gauss-Osztrogradszkij-tétel alkalmazásával számítsa ki a vektortér felületi integrálját az, félgömbfelület és az körlap által alkotott zárt felületre nézve
17 Számítsa ki a Stokes-tételben szereplő integrálokat az alábbi v vektortér és F felület esetén: a), F : 2z =, ; b), F : z =,, 18 A Stokes-tétel alkalmazásával számítsa ki az vonalintegrált, ahol g az A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(0; 0; a) háromszög 19 Számítsa ki a Green-formula alkalmazásával az vonalintegrált, ha a g görbe a, parabolalemez határa 20 Vizsgálja meg, hogy van-e potenciálja az alábbi vektortereknek Ha van, akkor állítsa elő a potenciálfüggvényt, majd számítsa ki a vektortér (skalárértékű) vonalintegrálját az adott A, B pontokat összekötő görbe mentén: a), A(2; 0; 0), B(0; 1; 2); b), A(1; ; 5), B(3; 0; ); c), A(2; 0; ), B(1; 3; ); d) v = (2x + y; x ; z), A( ; 4; 0), B(2; 1; 3) Megoldások 1 a) ; b) ; c) ; d) x + y + z = C 2 a) grad u = u = 2x i + 2y j + 2z k = (2x, 2y, 2z) = 2r; b) grad u = u = i j + k = (,, 1); c) grad u = u = 2x i + 2y j + k = (2x, 2y, 1); d) grad u = u = i + j + k = (1; 1; 1) 3 a) grad u = (2x, 2y, 2) = (4; ; 2),, ; b) grad u = 4 a), ;
b) ; ; c) x = 2cos t, y= 2sin t, ds = 2dt, 5 A súlypont koordinátái:,,, ahol s a g görbe ívhossza Ez jelen esetben, mivel Az integrálok:,, A súlypont koordinátái:,, 6 Használjuk a (6) képletet: x = 2cos t, y = 2sin t, ds = 2dt, xy = 4cos t sin t, így a palástfelszín (415 ábra): 415 ábra 7 a) x = t,,, dx =dt, ;
b) x = sin t, y = cos t, z = sin t, dy = t dt, 8 Alkalmazzuk a (8) formulát (l a 11 c) mintafeladatot), így Az integrál: 9 A (9) formulát alkalmazzuk Ennek a csavarfelületnek Descartes-koordinátás egyenlete: z = arctg Így az integrál: A feladat megoldható a következőképpen is: dxdy nem más, mint a tengelyre való vetületének abszolút értéke Ez jelen esetben u du dv Ez felhasználva, vektor z 10 a) div v = v = 2x + 2y + 2z, ; b) div v = yz + 3 + 2z, 11 a) grad u =, div grad u = 30 xy + 6z De eljárhatunk a következőképpen is:
div grad u = ; b) div grad 12 a) ; b) 13 Alkalmazzuk a (14) és (15) formulát a) A z = 6-2x - 2y felület esetén (a felfelé mutató) df = (2; 2; 1)dx dy (416 ábra) 416 ábra Így b),
417 ábra A 417 ábrán látható, hogy a kúp palástján támadó vektorok párhuzamosak a támadásponthoz tartozó alkotóval, így merőlegesek df re Ekkor pedig vdf = 0, ezért az integrál értéke is nulla c) A gömbfelület vektor egyenlete: r = (cos u cos v, cos u sin v, sin u) 418 ábra A felfelé mutató normális: Figyelembe véve, hogy, 14 Az előző feladat mintájára:
15 a) Előbb kiszámítjuk a tétel bal oldalán szereplő hármas integrált A V térrész a 419 ábrán látható A vektortér divergenciája: div v = 4 óa jobb oldali felületi integrált a V térrészt határoló felületek mindegyikére ki kell számítani, ügyelve arra, hogy df kifelé mutasson 419 ábra z = 1, d v = (3x, x + y, ),, y = 0, df = (0; ; 0)dx dz, v = (2x, x, z ),, y = 1, df = (0; 1; 0)dx dz, v = (2x, x + 1, z ),, x = 0, df = ( ; 0; 0)dydz, v = (, y, z ),, z = 0, df = (0; 0; )dxdy, v = (2x, x + y, ), Tehát a jobb oldali integrál (a fenti öt integrál összege):
, amely egyezik a bal oldali integrál értékével b) A jobb oldali integrál: Itt kihasználtuk azt, hogy a gömbfelületen 16 A felületi integrál helyett a tétel bal oldalán álló hármas integrált számítjuk ki Mivel div v =, 17 a) A felület a paraboloid része Határgörbéje az,, z = 2 kör (420 ábra) 420 ábra E körre lokalizálva a v vektorteret, A bal oldali integrál: rot v = Ez lokalizálva a felületre:
(rot v) A jobb oldali integrál: b) A felület és határgörbéje a 421 ábrán látható 421 ábra A határgörbe két részből áll ( és ) egyenlete: r = (2 cos t, 2 sin t, 4),, egyenlete: r = (t, 0, t ), A bal oldali integrál: A felület egyenlete, df = ( x, y, 1)dx dy rot v =, (rot v) = (2y, 1, ) A jobb oldali integrál: 18 A vonalintegrál helyett a tétel jobb oldalán szereplő felületi integrált számítjuk
422 ábra A három pontra illeszkedő sík (422 ábra) egyenlete x + y + z = a, azaz z = a, df = (1, 1, 1)dx dy, rot v = 2(1, 1, 1) Az integrál: 19 A vonaintegrál helyett a (18) formula jobb oldalán szereplő integrált számítjuk ki A T tartomány a 423 ábrán látható Jelen esetben,,, Így 423 ábra a) rot v =, tehát van potenciál Legyen a potenciálfüggvény u Ekkor,, Az első egyenletet integrálva, Innen
, és Ez utóbbi egyenletből Végeredményben A vonalintegrál értéke a potenciálkülönbséggel egyenlő, azaz b) rot v =, tehát nincs potenciál c) rot v = v 0 van potenciál,, d) rot v = v =, tehát van potenciál Ha a potenciálfüggvény u, akkor,, Innen A vonalintegrál: Digitális Egyetem, Copyright Kovács Béla, 2011