kapcsolatos problémák

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet Sztochasztika Tanszék Additív reprezentáció függvényekkel kapcsolatos problémák tézisfüzet Rozgonyi Eszter Témavezető: Dr. Sándor Csaba 2015

Bevezetés A PhD disszertációban additív reprezentáció fügvényekkel és azok tulajdonságaival kapcsolatos eredményeket bizonyítunk. Jelölje N a nemnegatív egész számok halmazát, és legyen h 2 rögzített egész szám. Jelölje A = {a 1, a 2,... }, (0 a 1 < a 2 <... ) a nemnegatív egész számok egy végtelen sorozatát. Ekkor n = 0, 1, 2,... esetén az h,a (n), R(2) h,a (n) és R(3) h,a (n) reprezentáció függvények a következő egyenletek megoldásainak számát jelölik a i1 + + a ih = n, a i1,..., a ih A, a i1 + + a ih = n, a i1,..., a ih A, a i1 a ih, a i1 + + a ih = n, a i1,..., a ih A, a i1 < < a ih a fenti sorrendnek megfelelően. (Az első esetben az összeadandók sorrendje számít, azaz egy szám h-as h! megoldást jelent és a tagok között lehetnek egyenlőek. A második esetben az összeadandók sorrendje nem számít, azaz egy szám h-as egy megoldást jelent, és az elemek között lehetnek egyenlőek. A harmadik esetben is egy szám h-as egy megoldást jelent csak, de az összeadandók között nem lehetnek egyenlőek.) A különböző reprezentáció függvények között természetesen létezik kapcsolat. Például h = 2 esetben: { R (2) (n) = R (3) (n) + 1 ha n páros és n A 2 R (3) (n) különben A legtöbb esetben azon a reprezentáció függvényre vonatkoztatjuk az eredményünk, amire a legtermészetesebb vagy a legkézenfekvőbb. Az additív reprezentáció függvényeket már többen, több különböző aspektusból vizsgálták. Az első kérdés, ami felmerült ebben a témakörben az az, hogy R (i) (n) valamely i = 1, 2, 3 lehet-e konstans. Azaz konstruálhatóe olyan nemtriviális A halmaz, amire igaz, hogy egy bizonyos küszöbindextől kezdve ugyanazt az értéket veszi fel R (i) (n) valamely i = 1, 2, 3? A válasz NEM mindhárom esetben. Akkor mekkora hibataggal lehet az (n) függvények átlaga konstans? A híres Erdős Fuchs tétel [ErFu] ad választ erre a kérdésre. Nem túlzás azt állítani, hogy ez a tétel jelenti az additív reprezentáció függvényekkel kapcsolatos kutatások kezdetét. Ezt az eredményt azóta már többen, többféle módon általánosították. A kezdetek óta mr rengeteg olyan kérdés és azokra vonatkozó eredmény van a szakirodalomban, amik ezen függvények tulajdonságaival kapcsolatosak (pl. [ErRe], [HalRo]). Például Erdős Pál megmutatta, hogy létezik olyan A N sorozat, hogy minden n-re (n) = Θ(log n). Vagy például Erdős

Pál, Sárközy András és T. Sós Vera az (n) függvény monotonitási és regularitási tulajdonságait is vizsgálták ([ErSa85], [ErSa86], [ErSaTSos87] és [ErSaTSos85]). A reprezenáció függvényekkel kapcsolatban inverz kérdéseket is feltehetünk. Azaz mit tudunk mondani az A és B halmazokról, ha csak a reprezentáció függvényeikről rendelkezünk némi információval. Nathanson [Nat78] volt az első, aki ehhez hasonló kérdéseket vizsgált. A disszertációban általánosítjuk és kiterjesztjük Erdős és Nathanson egyes eredményeit generátor függvény módszer illetve valószínűségi véletlen módszerek segítségével. Emellett additív komplementumokkal, Sidon bázisokkal illtve a reprezentáió függvények (Abel-)csoportokon való viselkedésével is foglalkozunk. A következő néhány fejezetben egy rövid összefoglalót adunk a konkrét eredményekről. Az 1. fejezetben az Erdős Fuchs tétel megfordítását terjesztjük ki az h,a (n), h > 2 reprezentáció függvényre. A 2. fejezetben Nathanson eegy eredményét általánosítjuk, ami inverz kérdéssel kapcsolatos. A 3. fejezetben Chen és Fang egy additív komplementumokkal kapcsolatos sejtésére adunk választ. A 4. fejezet a reprezentáció függvények (Abel-) csoportokon vett tulajdonságaival foglalkozik. Végül az 5. fejezetben egy olyan Sidon-halmaz létezését bizonyítjuk, ami egyben negyedrendű aszimptotikus bázis. Ebben az összefoglalóban a bizonyítások részleteit nem közöljük, tekintve a terjedelem szabta határokat. A legtöbb esetben csak néhány mondatban bemutatjuk a bizonyítás(ok)ban használt főbb ötleteket, eszközöket. 1. Erdős Fuchs tétel megfordításának általánosítása Ezen fejezet eredménye a méltán híres Erdős Fuchs tételhez kpacsolódik. Az eredmény a [RoSa13] cikkben található meg. r > 0 esetén jelölje N(r) az origó középpontú r sugarú körben található rácspontok számát. A híres Gauss-féle körprobléma sejtése alapján N(r) = r 2 π + O(r 1/2+ε ). Napjainkban a legjobb eredmény Huxley [Hux] nevéhez kötődik, ami alapján O(r 1/2+ε ) helyett O(r 131/208 ) írható. A másik irányból Fourier analízis segítségével Hardy [Har] bebizonyította, hogy N(r) = r 2 π + O(r 1/2 (log r) 1/4 ) nem állhat fenn kellően nagy r esetén. 2

Jelölje A = {0 a 1 a 2... } a nemnegatív egészek halmazát. Ezen A halmazra is definiálhatjuk az h,a (n) reprezentáció függvényt (azaz R(1) h,a (n) jelöli az a i1 + +a ih = n, a i1,..., a ih A egyenlet megoldásainak a számát). Ezen definíció segítségével felírható, hogy N(r) = n r 2 (n), ahol A = {0, 1, 1, 4, 4, 9, 9, 16, 16,... }. Ugyanakkor mostantól A-ban az egyértelműség kedvéért nem engedünk meg egyenlő elemeket, azaz feltesszük, hogy A = {0 a 1 < a 2 <... }. [ErFu]-ben (1956), Erdős és Fuchs bebizonyították, hogy tetszőleges A sorozatra és c > 0 konstansra, N (n) = cn + o(n 1 4 (log N) 1 2 ) nem állhat fenn kellően nagy N esetén. Ez a tétel azt mutatja tehát, hogy (n) nem viselkedik nagyon átlagosan, szabályosan. Noha itt o(n 1 4 (log N) 1 2 ) valamivel gyengébb eredmény, mint Hardy O(r 1 1 2 (log r) 4 ) -es korlátja a körproblémára, de az Erdős Fuchs tétel nemnegatív egészek tetszőleges A sorozatára igaz, és nem csak a négyzetszámokra. Jurkat (napjainkig nem publikálta), és később 1990-ben Montgomery és Vaughan [MoVa] tovább javították ezt az eredményt. Ezek alapján a következő formula N (n) = cn + o(n 1 4 ) nem állhat fenn tetszőleges A sorozat és c > 0 konstans esetén minden kellően nagy N-re. Napjainkban több különböző általánosítása, illetve kiterjesztése is létezik az Erdős Fuchs tételnek [CheTa11], [Hor01], [Hor02], [Hor04], [Ta09]. Például Tang [Ta09] 2009-ben megmutatta, hogy h,a (n) nem viselkedhet nagyon átlagosan, szabályosan. Azaz h 2 esetén tetszőleges A sorozatra N h,a (n) = cn + o(n 1 4 ) c > 0 konstans esetén nem állhat fenn. A fordított irányban Vaughan kérdezte először, hogy létezik-e olyan A sorozat és c > 0 konstans, hogy N (n) = cn + O(N 1 4 +ε ). 3

Valószínűségi érvelés felhasználásával Ruzsa [Ru97] adott választ erre a kérdésre 1997-ben. Pontosabban bebizonyította a létezését a nemnegatív egészek egy olyan A halmazának, amire N (n) = π 4 N + O(N 1 4 log N) fennáll minden N 2 esetén. Természetesen felmerül Ruzsa eredményének kiterjesztése is a h > 2 esetre. 2012-ben Dai és Pan [DaPa] kiterjesztették Ruzsa eredményét a következő módon: 1.1. Tétel. (Dai, Pan, 2012) Legyen h 2 egész szám és β < h pozitv valós szám. Ekkor létezik a pozitív egészek olyan végtelen A = {a 1 < a 2 < a 3 <... } sorozata, amire ( ) N h,a (n) CN β = ahol C pozitív konstans. O N β β(h+β)/h2 log N ha h > 2β, ( O N β 3β/(2h) ) log N ha h < 2β, O ( N β 3/4 log N ) ha h = 2β, A β = 1 esetben sikerült ezen a becslésen javítani. 1.2. Tétel. (Rozgonyi, Sándor, 2013) Minden h 2 egész szám esetén létezik nemnegatív egészek olyan A = {a 1 < a 2 < a 3 <... } sorozata, amelyre N ( ) h,a (n) = N + O 1.5 1 N h log N. (1.1) A 1.2 tétel bizonyításában a Ruzsa által a [Ru97] cikkben követett utat követjük. A véletlen módszer kulcslépése az A sorozat véletlen konstrukciója. Ahhoz, hogy A-t meg tudjuk adni, előbb definiáljuk a nemnegatív egészek egy monoton növő, végtelen S = {s 0, s 1, s 2,... } sorozatát. Majd ezt követően az A halmaz n. elemét az {s n, s n +1,..., s n+1 } elemek közül választjuk véletlen módszerrel. Jelölje E n annak a várható számát, hogy hányszor fordul elő n az A halmazban. Ezeket az E n értékeket tehát úgy választjuk meg, hogy E( h,a (n)) = 1 n N 4

teljesüljön. kapjunk Ha nem törődünk a függőséggel, akkor a következő formulát E( h,a (n)) (i 1,...,i h ) i 1 + +i h =n E i1 E i2... E ih. Tehát meg kell oldanunk a következő egyenletrendszert ahhoz, hogy megkaphassuk E n -t: E i1 E i2... E ih = 1, n N. Ekkor ( ) h E n z n = gy (i 1,...,i h ) i 1 + +i h =n ( (i 1,...,i h ) i 1 + +i h =n E i1 E i2 E ih )z n = ( ) E n z n = (1 z) 1 1 h = h ( z) n. n Ezek alapján E n természetese választása a következő ( ) E n = ( 1) n 1 h = 1 h + 1 2h + 1 (n 1)h + 1. n h 2h 3h nh Ezek felhasználásával S-et a következő módon definiáljuk. következőt { m } s n = min m : E k > n. k=0 z n = 1 1 z. Jelölje s n a (A precíz becslés itt s n = c 1 (n c 2 ) h + O(1), ahol c 1 = c 1 (h) > 0 és c 2 = c 2 (h) > 0.) Tehát az A véletlen sorozatot a következő véletlen módszerrel kapjuk az s n elemekből: s n k=0 E k n ha a = s n, E a ha s n < a < s n+1, P(a n = a) = s n+1 1 (n + 1) E k ha a = s n+1, k=0 0 különben. 5

A Hoeffding-egyenlőtlenség és a Borel Cantelli lemma segítségével megmutatjuk, hogy 1 valószínűséggel ez az A halmaz eleget tesz az 1.2 Tételnek. A bizonyítás fő nehézsége, hogy az általunk definiált valószínűségi változókat független változók összegére kell bontanuk, emiatt van szükség hosszú, analitikus számolásokra. 2. Nathanson egy tételének általánosítása és kapcsolódó problémák Ebben a fejezetben különböző additív reprezentáció függvényekkel kapcsolatos inverz problémákkal foglalkozunk. Precízebben mondva szeretnénk mondani valamit az adott halmazok struktúrájáról akkor, ha csak a reprezentáció függvényeikről rendelkezünk információkkal. Az ilyen kérdésekkel először Nathanson foglalkozott. Ezen szakasz legfőbb eredménye az ő tételének egy kiterjesztése a h-tagú reprezetnáció függvényekre. A fejezet alapját a [KiRoSa14a], [RoSa14] cikkek képezik. Generátor függvények segítségével Nathanson a következő eredményt bizonyította [Nat78]-ban. Legyen F A, F B és T egészek véges halmaza. Ha F A - ban és F B -ban minden modulo m vett maradékosztály ugyanannyiszor fordul elő, akkor azt mondjuk, hogy F A F B (mod m). Ha az a + t n (mod m), ahol a F A, t T egyenlet megoldásainak száma megegyezik a b + t n (mod m) ahol b F B, t T egyenlet megoldásainak a számával minden n modulo m maradékosztály esetén, akkor azt mondjuk, hogy F A +T F B +T (mod m). 2.1. Tétel. (Nathanson, 1978) Legyen A és B nemnegatív egészek végtelen halmaza, A B. Ekkor (n) = 2,B (n) egy bizonyos küszöbindextől kezdve akkor és csak akkor ha léteznek N, m pozitív egészek és F A, F B, T véges halmazok, hogy F A F B {0, 1,..., N} és T {0, 1,..., m 1} úgy, hogy F A + T F B + T (mod m), illetve A = F A C és B = F B C, ahol C = {c > N : c t (mod m) valamely t T }. (1) R Nyilvánvaló, hogyr (2) (n) = (n) (1) R és R (3) 2 (n) = (n), így a 2 2.1 Tételben szereplő A, B halmazokra fennáll R (2) (n) = R(2) 2,B (n) és R(3) (n) = (n) is egy adott küszöbindextől kezdve. Könnyű látni, hogy a 2.1 Tételben R (3) 2,B lévő A és B halmazok szimmetrikus differenciája véges. Sárközy andrás kérdezte, hogy létezik-e nemnegatív egészek olyan végtelen A és B halmaza, 6

amelyek szimmetrikus differenciája végtelen, azaz s (A B) \ (A B) = R (i) (n) = R(i) 2,B (n) ha n n 0, valamely i = 1, 2, 3 esetén. i = 1-re a válasz nem (lásd [Do]). i = 2-re Dombi Gergely [Do], míg i = 3-ra Y. G. Chen and B. Wang [CheWa] bizonyította, hogy a nemnegatív egészek halmaza partícionálható két olyan A és B részhalmazra, hogy R (i) (n) = R(i) 2,B (n) minden n n 0 esetéb. [Lev]-ben Lev adott egy közös bizonyítást az imént említett két eredményre. Generátor függvények segítségével Sándor Csaba [Sa] leírta azon A N halmazokat amikre vagy R (2) (n) = R(2) 2,N\A (n) minden n n 0 vagy R (3) (n) = R(3) 2,N\A (n) minden n n 0. [Ta08]-ban M. Tang adott elemi bizonyítást Sándor Csaba eredményére. Emellett Y. G. Chen és M. Tang is tanulmányozott hasonló kérdéseket [CheTa09]-ben. Legyen C egészek véges halmaza. Jelöljenek F A (z), F B (z), T (z) polinomokat, és A(z), B(z) hatványsorokat, amik együtthatói egyaránt C-ből vannak (azaz A(z) = a n z n, ahol a n C és z komplex szám, z = r e 2πiθ ). Ezek a sorok konvergensek a nyílt egységkörön. Ha C = {0, 1} akkor az A, B, F A, F B és T N halmazok generátor függvényei ezen polinomok és hatványsorok speciális esetei. Használjuk a következő jelölést: A(z) B(z) jelenti azt, hogy A(z) B(z) = P (z), ahol P (z) polinom. Ezen jelölések segítségével Nathanson tételét a következő ekvivalens formába írhatjuk át: 2.2. Tétel. (Nathanson, 1978-ekvivalens forma) Legyenek A(z) = a n z n, B(z) = b n z n, a n, b n {0, 1}. Ekkor A(z) 2 B(z) 2 akkor és csak akkor ha léteznek N 0, m pozitív egészek és polinomok mn 0 1 mn 0 1 m 1 F A (z) = d n z n, F B (z) = e n z n, d n, e n {0, 1} és T (z) = t n z n, t n {0, 1} hogy A(z) = F A (z) + T (z)zmn 0 és B(z) = F 1 z m B (z) + T (z)zmn0 1 z m 7

és fennáll. 1 z m T (z) (FA (z) F B (z)) Kiss Sándor, Rozgonyi Eszter és Sándor Csaba [KiRoSa14a] sejtették, hogy Nathanson tétele a következő módon általánosítható. 2.1. Sejtés. (Kiss, Rozgonyi, Sándor, 2014) Legyen h 2, és legyenek A, B nemnegatív egsézek véges halmaza, A B. Ekkore h,a (n) = R(1) h,b (n) egy bizonyos küszöbindextől kezdve akkor és csak akkor ha léteznek N 0, m pozitív egészek és F A, F B, T véges halmazok, hogy F A F B {0, 1,..., mn 0 1}, T {0, 1...., m 1}, és A = F A {km + t : k N 0, t T }, B = F B {km + t : k N 0, t T }, (1 z m ) h 1 T (z) h 1 (F A (z) F B (z)), teljesül, ahol F A (z), F B (z) és T (z) az F A, F B függvényeit jelentik. és T halmazok generátor Hatványsorok segítségével, a 2.1 sejtést a következő ekvivalens alakba írhatjuk. 2.2. Sejtés. (2.1 sejtés ekvivalens alakja) Legyenek A(z) = a n z n, B(z) = b n z n, a n, b n {0, 1} hatványsorok. Ekkor A(z) h B(z) h akkor és csak akkor, ha léteznek N 0, m egészek és mn 0 1 mn 0 1 m 1 F A (z) = d n z n, F B (z) = e n z n, d n, e n {0, 1}, T (z) = t n z n, t n {0, 1} polinomok, hogy és teljesül. A(z) = F A (z) + T (z)zmn 0 és B(z) = F 1 z m B (z) + T (z)zmn0 1 z m (1 z m ) h 1 T (z) h 1 (F A (z) F B (z)) A 2.2 sejtést igazoltuk h = p s esetben, ahol p prímet jelöl. (Generátor függvények segítségével [KiRoSa14a]-ben bebizonyítottuk a 2.1 sejtés szükséges feltételét és bizonyítottuk a sejtést a h = 3 esetben is.) 8

2.3. Tétel. (Rozgonyi, Sándor, 2014) Legyen h = p s, ahol p prím és legyen C Z véges halmaz, ahol C modulo p inkongruens egészeket tartalmaz. Legyenek A(z) = a n z n, B(z) = b n z n, a n, b n C hatványsorok. Ekkor A(z) h B(z) h akkor és csak akkor ha mn 0 1 mn 0 1 léteznek N 0, m pozitív egészek illetve F A (z) = d n z n, F B (z) = e n z n, d n, e n C és T (z) = és fennáll. m 1 t n z n, t n C polinomok, hogy A(z) = F A (z) + T (z)zmn 0 1 z m, B(z) = F B (z) + T (z)zmn 0 1 z m (1 z m ) h 1 T (z) h 1 (F A (z) F B (z)) 2.4. Következmény. Ha C = {0, 1}, akkor azt kapjuk, hogy a2.1 sejtés igaz a h = p s esetben. Ahhoz, hogy be tudjuk bizonyítani a 2.3 tételt, a következő három lemmát kell igazolni. 2.5. Lemma. (szükséges feltétel) Legyen C egészekből álló halmaza. Tegyük fel, hogy léteznek olyan N 0, m pozitív egészek, illetve F A (z) = d n z n, F B (z) = e n z n, d n, e n C mn 0 1 mn 0 1 és T (z) = és m 1 t n z n, t n C polinomok, hogy A(z) = F A (z) + T (z)zmn 0 and B(z) = F 1 z m B (z) + T (z)zmn0 1 z m fennáll. Ekkor A(z) h B(z) h. (1 z m ) h 1 T (z) h 1 (F A (z) F B (z)) A következő példa megmutatja, hogy tetszőleges C Z, C 2 halmaz és h 2 esetén léteznek különböző A(z), B(z) hatványsorok, amelyek együtthatói C-beliek, és igaz rájuk, hogy A(z) h B(z) h. 9

2.6. llítás. Legyen C Z, C 2. Ekkor léteznek olyan A(z) = B(z) = B(z) h. a n z n, b n z n, a n, b n C hatványosork, hogy A(z) B(z) és A(z) h 2.3 tétel bizonyítása során csak a következő lemméban használjuk ki azt a tényt, hogy h prímhatvány. 2.7. Lemma. Legyen h = p s és legyen C Z olyan halmaz, hogy elemei inkongruensek modulo p. Legyenek A(z) = a n z n, B(z) = b n z n, a n, b n C hatványsorok. Ekkor A(z) h B(z) h -ből következik, hogy A(z) B(z). A 2.7 lemma azon feltétele, hogy C inkongruens egészeket tartalmaz p lényeges. Ennek fontosságára Ruzsa Z. Imre is rámutatott a következő azonossággal. ( 1 + 2z4 1 z 2 ) 2 ( 2z 5 1 z 2 ) 2 = 1 4z 4 4z 6. Ez azt jelenti, hogy léteznek olyan A(z), B(z) hatványsorok, hogy az együtthatóik a C = { 1, 0, 2} halmazból vannak úgy, hogy A(z) 2 B(z) 2, de A(z) B(z), mert 1 + 2z4 1 z 2z5 2 1 z = 1 + 2 ( 1) n z n. 2 Ruzsa z. Imre példáját a következő konstrukcióval általánosíthatjuk. 2.8. llítás. Legyen h prím. Ekkor létezik olyan C h = {c 1, c 2,..., c h+1 }, c 1,..., c h+1 Z halmaz, hogy c 1,... c h egy modulo h teljes maradékrendszert alkotnak, és léteznek A(z) = a nz n, B(z) = b nz n, a n, b n C h hatványsorok, hogy A(z) h B(z) h de A(z) B(z). 2.9. Lemma. Legyen C egészek véges halmaza, legyenek A(z) = B(z) = n=4 a n z n, b n z n, a n, b n C hatványsorok. Ha A(z) h B(z) h és A(z) B(z) fennállnak, akkor léteznek olyan N 0, m pozitív egészek illetve F A (z) = 10 mn 0 1 d n z n,

mn 0 1 F B (z) = e n z n, d n, e n C és T (z) = m 1 t n z n, t n C polinomok, hogy és A(z) = F A (z) + T (z)zmn 0 1 z m, B(z) = F B (z) + T (z)zmn 0 1 z m (1 z m ) h 1 T (z) h 1 (F A (z) F B (z)). (2.1) 2011-ben, Yang [Ya11] generátor függvények használata nélkül bizonyította a 2.1 tételt. Ebben a cikkében a következő problémát vetette fel. Probléma. (Yang, 2011) Hap 3 prím és A nemnegatív egészek végtelen sorozata, akkor létezik nemnegatív egészek olyan B halmaza, A B hogy p,a (n) = R(1) p,b (n) minden elég nagy n-re? Megmutattuk, hogy a Yang kérdésére a válasz nem. Azaz 2.10. Tétel. (Kiss, Sándor, Rozgonyi, 2014) minden pozitív p 2 prím esetén létezik nemnegatív egészek olyan végtelen A sorozata, hogy nemnegatív egészek tetszőleges végtelen B sorozata esetén, ahol A B, következik, hogy p,a (n) R(1) p,b (n) végtelen sok pozitív n esetén. Emellett megvizsgáltunk még néhány ehhez hasonló kérdést és a következő eredményeket kaptuk. 2.11. Tétel. (Kiss, Sándor, Rozgonyi, 2014) Minden pozitív H 2 egész esetén létezik nemnegatív egészek olyan végtelen A, B halmaza, ahol A B, hogy R (l) h,a (n) = R(l) h,b (n), minden l = 1, 2, 3 és 2 h H esetén egy bizonyos küszöbindextől kezdve. Az l = 1 speciális esetben a 2.11 tétel nem terjeszthető ki végtelen sok h-ra. 2.12. Tétel. (Kiss, Sándor, Rozgonyi, 2014) Ha nemnegatív egészek valamely végtelen A és B halmazaira a h,a (n) = h,b (n), valamely n n 0(h) esetén végtelen sok h 2 egészre, akkor A = B. Ezen tételek bizonyításai általában a generátor függvény módszeren, illetve a körosztási polinomok bizonyos tulajdnoságain alapulnak. 11

3. Additív kiegészítő halmazok A fejezet alapja a [KiRoSa14b] cikk. Legyenek A N és B N véges vagy végtelen halmazok. Jelölje R A+B (n) azt a reprezentáció függvényt, ami megadja a következő egyenlet megoldásainak számát Legyen a + b = n, a A, b B. A(n) = a n a A 1 and B(n) = b n b B Azt mondjuk, hogy a B N halmaz az A N halmaz additív kiegészítője, ha minden elég nagy n N előállítható a + b = n alakban, ahol a A, b B. Azaz R A+B (n) 1 minden n n 0. Az additív kiegészítők fontos része az additív számelméletben, az elmúlt néhány évtizedben többen, több különböző aspektusból is tanulmányozták [Dan], [Nar], [Ru99], [SaSze]. [SaSze]-ben Sárközy és Szemerédi bebizonyították Danzer egy sejtését [Dan], pontosabban szólva bebizonyították, hogy tetszőleges végtelen elemszámú A és B additív komplementumok esetén, ha 1. lim sup x + A(x)B(x) x 1, akkor lim inf(a(x)b(x) x) = +. x + [CheFa10]-ben Chen és Fang tovább javították ezt az eredményt. k bebizonyították, hogy tetszőleges végtelen elemszámú A és B additív komplementumok esetén, ha lim sup x + A(x)B(x) x > 2, or lim sup x + A(x)B(x) x < 5 4, akkor lim (A(x)B(x) x) = +. x + A másik irányból [CheFa11]-ben bebizonyították hogy tetszőleges a 2 esetén léteznek végtelen elemszámú A és B additív komplementum halmazok, hogy A(x)B(x) lim sup = 2a + 2 x + x a + 2, 12

de végtelen sok pozitív egész x-re A(x)B(x) x = 1 áll fenn. [CheFa13]-ban azt az esetet vizsgálták, amikor A elemszáma véges. Ez az eset jelentősen különbözik a végtelen elemszámú esettől. Chen és Fang bebizonyították, hogy tetszőleges A és B additív kiegészítő halmazok esetén, ahol A < + vagy B < +, ha lim sup x + A(x)B(x) x > 1, akkor lim (A(x)B(x) x) = +. x + Azt is bebizonyították, hogy ha A = {a + im s + k i m s+1 : i = 0,..., m 1}, ahol A = m, a, s 0 és k i aegészek, akkor létezik A-nak olyan B additív kiegészítője, hogy A(x)B(x) x = O(1) fennáll. Abban a speciális esetben, amikor A elemszáma 3 bebizonyították, hogy ha A nem {a + i3 s + k i 3 s+1 : i = 0, 1, 2} alakú, ahol a, s 0 és k i egészek, akkor tetszőleges B A-hoz tartozó additív kiegészítő halmazra lim (A(x)B(x) x) = + x + áll fenn. Chen és Fang a következőt sejtették [CheFa13]-ben. 3.1. Sejtés. (Chen, Fang, 2013) Ha nemnegatív egészek A halmaza nem a következő alakú A = {a + im s + k i m s+1 : i = 0,..., m 1}, ahol a, m > 0, s 0 és k i egészek, akkor tetszőleges B A-hoz tartozó additav kiegészítőre lim (A(x)B(x) x) = +. x + Ezt a sejtést sikerült igazolni akkor, amikor A elemszáma prím: 3.1. Tétel. (Kiss, Rozgonyi, Sándor, 2014) Legyen p pozitív prím, és legyen A nemnegaítv egészek halmaza, ahol A = p. Ha A nem a következő alakú A = {a + ip s + k i p s+1 : i = 0,..., p 1}, (3.1) ahol a > 0, s 0 és k i egészek, akkor tetszőleges B A-hoz tartozó additav kiegészítőre lim (A(x)B(x) x) = +. (3.2) x + 13

Ha A elemszáma összetett szám, akkor meg tudjuk cáfolni a 3.1 sejtést: 3.2. Tétel. (Kiss, Rozgonyi, Sándor, 2014) Tetszőleges n > 0 összetett szám esetén léteznek olyan A és B halmazok, hogy A = n, B additív kiegészítője A-nak, A nem a következő alakú A = {a + in s + k i n s+1 : i = 0,..., n 1}, (3.3) ahol s 0, a > 0, és k i egészek, hogy áll fenn. A(x)B(x) x = O(1) a bizonyítésokban itt is a generátos függvény módszert, illetve a körosztási polinomok bizonyos tulajdonságait használjuk. 4. Reprezentáció függvények csoportokon A reprezentáció függvények tulajdonságait (Abel-)csoportokon is vizsgálhatjuk. A fejezet alapját itt a [KiRoSa14c] cikk képezi. Legyen X egy additív félcsoport. Legyenek Let A 1,..., A h X nem üres részhalmazai, míg legyen x az X félcsoport egy eleme. Az A halmaz számosságát A jelöli. Ekkor a rendezett reprezentáció függvényt a következő módon definiálhatjuk R A1 + +A h (x) = {(a 1,..., a h ) A 1 A h : a 1 + + a h = x}. Ha A i = A, ahol i = 1,..., h, akkor h,a (x) = {(a 1,..., a h ) : a i A, a 1 + + a h = x}. Legyen X egy additív Abel félcsoport. Ekkor egy A X részhalmazra jelölje A h az A halmaz elemeiből képezett összes h-ast. Két (a 1,..., a h ) A h és (a 1,..., a h ) Ah h-as ekvivalens, ha létezik egy α : {1,..., h} {1,..., h} permutáció, hogy a α(i) = a i, ahol i = 1,..., h. Két másik reprezentáció függvény is definiálható ebben az esetben, ahogyan azt már a bevezetésben is említettük. Az R (2) h,a (x) reprezentáció függvény számolja azon (a 1,..., a h ) h-asok ekvivalencia osztályait, ahol a 1 + + a h = x. Az R (3) h,a (x) reprezentáció függvény számolja azon (a 1,..., a h ) h-asok ekvivalencia osztályait, amelyek páronként különböző A-beli elemeket tartalmaznak úgy, hogy a 1 + + a h = x. Könnyen látható, hogy az R (2) h,a (x) és R(3) h,a (x) reprezetnáció függvényeket csak Abel csoportokon értelmes vizsgálni. 14

R (2) (x) és R(3) (x) alternatív módon is definiálható. Jelölje ekkor és D A (x) = #{a : a A, a + a = x}, R (2) (x) = 1 2 R(1) (x) + 1 2 D A(x) (4.1) R (3) (x) = 1 2 R(1) (x) 1 2 D A(x). (4.2) Legyen X = N. Sárközy vetette fel azt a kérdést, léteznek-e A és B halmazok, hogy a szimmetrikus differenciájuk végtelen (azaz A B = ) és ekkor R (i) (n) = R(i) 2,B (n), i = 1, 2, 3-ra minden kellően nagy n-re. i = 2 Dombi [Do] bebizonytotta, hogy a válasz a kérdésre igen, míg i = 1 esetén a válasz nem. Az i = 3 esetbe Chen és Wang [CheWa] bebizonyította, hogy a természetes számok két A és B részhalmazra oszthatóak úgy, hogy R (3) (n) = R(3) 2,B (n) teljesül egy bizonyos küszöbindextől kezdve. Lev [Lev]és tőle függetlenül Sándor [Sa] leírta az összes olyan A N részhalmazt, amire R (2) (n) = R(2) 2,N\A (n) vagy R(3) (n) = R(3) 2,N\A (n) minden elég nagy n-re. A precíz tételek a következőek. 4.1. Tétel. (Lev, Sándor, 2004) Legyen X = N és legyen N pozitív szám. Ekkor az R (2) (n) = R(2) 2,N\A (n) egyenlőség teljesül minden n 2N 1-re pontosan akkor, ha A [0, 2N 1] = N és 2m A m A, 2m + 1 A m A, ahol m N. 4.2. Tétel. (Lev, Sándor, 2004) Legyen X = N és legyen N pozitív szám. Ekkor az R (3) (n) = R(3) 2,N\A (n) egyenlőség teljesül minden n 2N 1-re pontosan akkor, ha A [0, 2N 1] = N and 2m A m A, 2m + 1 A m A, ahol m N. Tang [Ta08] elemi bizonyítást adott Lev és Sándor s eredményeire. [CheYa12a], [CheYa12b], [CheYa13], [Ya14] cikkekben Chen és Yang ehhez hasonló kérdéseket vizsgált súlyozott reprezentáció függvényekkel kapcsolatban. A fentiekhez hasonló eredményeket nem lehet bizonyítani (n) reprezentáció függvényre, mert (n) pontosan akkor páratlan, ha n A, így vagy R(1) 2 (2m) vagy 2,N\A (2m) páratlan. Ebben az esetben a következő nemtriviális eredmény mondható. 4.3. Tétel. (Kiss, Rozgonyi, Sándor, 2014) Legyen X = N. Az R A+B (n) = R N\A+N\B (n) egyenlőség fennáll egy bizonyos küszöbindextől kezdve akkor és csak akkor ha N \ (A B) = A B <. 15

A modularis kérdésre chen és Yang adott választ [CheYa12a]-ben. 4.4. Tétel. (Chen, Yang, 2012) Legyen X = Z m. Az (n) = R(1) 2,Z m\a (n) egyenlőség fennáll minden n Z m -re pontosan akkor, ha m páros és A = m. 2 4.5. Tétel. (Chen, Yang, 2012) Legyen X = Z m. Ekkor i {2, 3} esetben az R (i) (n) = R(i) 2,Z m\a (n) egyenlőség fennáll minden n Z m esetén pontosan akkor, ha m páros és t A t + m 2 A for t = 0, 1,..., m/2 1. Mi kiterjesztettük ezeket a tételeket teszőleges G csoportra, és ezen túl a második tétel kiterjeszthető véges Abel csoportra is. (Mostantól a csoportokat, részcsoportokat és részhalmazokat nyomtatott nagy betűkkel jelöljük) 4.6. Tétel. (Kiss, Rozgonyi, Sándor, 2014) Legyen X = G véges csoport. Ekkor (i) Ha létezik olyan g G elem, amire az R A+B (g) = R G\A+G\B (g) egyenlőség teljesül, akkor A + B = G. (ii) Ha A + B = G, akkor az R A+B (g) = R G\A+G\B (g) egyenlőség teljesül minden g G esetén. A 4.5 tételt a következő módon általánosíthatjuk. 4.7. Tétel. (Kiss, Rozgonyi, Sándor, 2014) Legyen X = G véges csoport és h 2 rögzített egész szám. (i) Ha az h,a (g) = R(1) h,g\a (g) egyenlőség fennál minden g G elem esetén, akkor G elemszáma páros, és A = G 2. (ii) Ha h páros, és A = G, akkor az R(1) h,a (g) = R(1) h,g\a (g) egyenlőség 2 fennáll minden g G esetén. Megjegyezzük, hogy az az eset, amikor h páratlan, még mindig nyitott kérdés. Páratlan h esetén csak a következő gyengébb eredményt tudjuk bizonyítani. 4.8. Tétel. (Kiss, Rozgonyi, Sándor, 2014) Legyen X = Z m és h > 2 rögzített páratlan egész. Ha A Z m úgy, hogy such that A = m 2, akkor létezik olyan g Z m elem amire az h,a (g) h,z m\a (g) egyenlőség teljesül. 16

rdekes probléma egy véges G Abel-csoport összes olyan particionálásnak karakterizálása, amire az h,a i (g) = h,a j (g) egynlőség fennáll minden g G elem esetén. A másik két típusú reprezentáció függvény esetén a következőt mondhatjuk. 4.9. Tétel. (Kiss, Rozgonyi, Sándor, 2014) Legyen X = G véges Abel-csoport. Ekkor i {2, 3} esetben az R (i) (g) = (g) egyenlőség fennáll minden g G elem esetén pontosan akkor, ha D A (g) = D G\A (g) minden g G-re. R (i) 2,G\A A bizonyítások ezen fejezetben bizonyított tételek esetében is jórészt a generátor függvény módszeren alapulnak. 5. Sidon halmazok, amik egyben aszimptotikus bázisok is A fejezet alapja a [KiRoSa14d] cikk. Legyen A = {a 1, a 2,... }, a 1 < a 2 <... pozitív egészek végtelen sorozata. Egy pozitív egészek (véges vagy végtelen) A halmaza Sidon halmaz, ha minden a + b alakban előálló szám, ahol a, b A, a b különböző. Vagy más szavakkal A Sidon halmaz, ha minden pozitív egész n-re R (2) (n) 1 fennáll. Egy A N halmaz h-assdrendű aszimptotikus bázis, ha minden elég nagy pozitív egész n előállítható h darab A-beli szám összegeként. Vagy más szóval egy A N halmaz h-assdrendű aszimptotikus bázis, ha létezik olyan n 0 pozitív egész, hogy if there R (2) h,a (n) > 0 teljesül minden n > n 0 estén. A [ErSaTSos94a] és [ErSaTSos94b] cikkekben Erdős Pál, Sárközy András and T. Sós Vera azt sejtették, hogy létezik olyan Sidon-halmaz, ami egyben harmadrendű aszimptotikus bázis. Ez probléma Sárközy egy másik cikkében, [Sar]-ban is felmerül. Az könnyen bizonyítható, hogy nincs olyan Sidon halmaz, ami másodrendű aszimptotikus bázis lehet (lásd [GrHaHePi]). Néhány évvel ezelőtt J. M. Deshouillers és A. Plagne konstruáltak egy olyan Sidon halmazt, ami egyben 7-edrendű aszimptotikus bázis is [DesPla]. A [Kis] cikkben Kiss Sándor egy 5-ödrendű Sidon bázis létezését bizonyította. Mi végül ezt az eredményt javítottuk tovább azzal, hogy bebizonyítottuk létezik olyan Siodn halmaz, ami egyben egyedrendű aszimptotikus bázis. (A bizonyítás véletlen módszeren alapul.) 5.1. Tétel. (Kiss, Rozgonyi, Sándor, 2014) Létezik olyan Sidon halmaz, ami negyedrendű aszimptotikus bázis. 17

Meg kell jegyeznünk, hogy velünk egyidőben Javier Cilleruelo [Cil] egy hajszálnyival erősebb eredményt kapott. Mégpedig megkonstruált egy olyan 3 + ε rendű Sidon bázist. Ez pontosan azt jelenti, hogy minden ε > 0 estén létezik pozitív egészek olyan A Sidon halmaza, hogy minden elég nagy egész n felírható n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 alakban, ahol a 1, a 2, a 3, a 4 A és a 4 n ε. az eredményét tőlünk függetlenül, más véletlen módszer alkalmazásával érte el. Az Erdős Rényi véletlen módszerről Az additív szémelméletben sokszor előfordul, hogy olyan sorozat létezését kell bizonyítani, ami valamilyen tulajdonsággal rendelkezik. Az egyik lehetséges út ahhoz, hogy erre a kérdésre választ adhassunk az, hogy konstruálunk egy a kellő tulajdonságokkal rendelkező halmazt. De ha ez a direkt módszer nem vezet közvetlenül célra, akkor bizonyítható az is, hogy 1 valószínűséggel létezik egy ilyen halmaz. Az ilyen jellegű egzisztencia tételek Erdős és Rényi nevéhez kötődnek. Ezek a tételek jelentik az úgynevezett valószínűségi módzser alapjait. Ezen módszernek egy nagyszerű összfoglalója található meg a Halberstam Roth könyben [HalRo]. JelöljeΩ a pozitív egészek sorozatainak szigorúan növő halmazát. A továbbiakban denote P(E) jelöli egy E esemény valószínűségét, míg E(ξ) egy ξ valószínűségi változó várható értékét. A következő lemma központi szerepet játszik az ilyen jellegű bizonyításokban. 5.2. Lemma. Legyenek θ 1, θ 2, θ 3,... valós számok úgy, hogy 0 θ n 1 (n = 1, 2,...). Ekkor létezik olyan (Ω, X, P) valószínűségi mező, amire igazak, hogy: (i) Minden n N esetén az E (n) = {A : A Ω, n A} esemény mérhető, és P(E (n) ) = θ n. (ii) Ekkor az E (1), E (2),... események függetlenek. Ez a tétel és a bizonyítása megtalálható [HalRo]-ben (142. oldal). Jelölje egy E (n) esemény karakterisztikus függvényét t (A,n) (vagy t n ha az A halmaz nyilvánvaló). Más szóval t (A,n) (t n ) bool változó azt jelenti, hogy: t (A,n) = t n = { 1 ha n A 0 ha n / A. Sőt valamely A = {a 1, a 2,... } Ω esetén jelölje r h,a (n) az a i1 + a i2 +... + a ih = n egyenlet megoldásaonak számát, ahol a i1,..., a ih A, 1 a i1 < 18

a i2... < a ih < n fennáll (ez valójában az R (3) h,a (n) reprezentáció függvény). Legyen r h,a (n) = t (A,ai1 )t (A,ai2 )... t (A,aih ). (5.1) (a i1,a i2,...,a ih ) 1 a i1 <...<a ih <n a i1 +a i2 +...+a ih =n Jelölje rh,a (n) n azon (5.1) alakban előálló reprezentációinak számát, amiben van legalább két egyforma elem. Ekkor igaz a következő h,a (n) = h! r h,a(n) + r h,a(n). (5.2) A (5.2) formulából következik, hogy a bizonyításban elegendő r h,a (n)-t használni h,a (n) helyett. Emellett (5.1)-ből látható, hogy r h,a(n) véletlen változók összege. Ugyanakkor h > 2 esetén ezek a változók nem függetlenek, mivel ugyanaz a t (A,ai ) több tagban is előfordul. Ezen probléma feloldására léteznek különböző valószínűségszámítási módszerek. Mi most J. H. Kim and V. H. Vu módszerét használjuk. A következőkben adunk egy rövid összefoglalót erről. Az érdeklődő olvasó részleteket a [KimVu], [TaoVu], [Vu00a], [Vu00b] cikkekben talál. Tegyük fel, hogy t 1, t 2,..., t n független, véletlen bináris változók (azaz minden t i {0, 1}-beli). (gy is tekinthetünk ezen t i változókra, mint karakterisztikus függvényekre.) Tekintsük az Y = Y (t 1,... t n ), ahol t 1, t 2,..., t n n változós, k-ad fokú polinomot (a polinom fokszáma ebben az esetben megegyezik a monomok maximális fokszámával). Az Y polinom teljesen pozitív, ha Y = i e iγ i alakba írható, ahol minden e i pozitív és Γ i néhány t j szorzata. Sőt Y reguláris, ha minden együtthatója 0 és 1 közötti.y -t egyszerűnek hívjuk, ha minden monomja ngyzetmentes (azaz nem tartalmaz t 2 i alakú tagot) és Y homogén, ha minden monomjának ugyanakkora a fokszáma. gy például egy bool változókból álló polinom automatikusan reguláris és egyszerű, de nem feltétlenül homogén. Tetszőleges α = (α 1,..., α n ) N n multi index esetén Y α (Y ) parciális deriváltja a következő módon definiálható ( ) α1 ( ) αn α (Y ) = Y (t 1,... t n ). t 1 t n Például ha Y = t 1 t 2 2 és α 1 = (1, 1) vagy α 2 = (1, 2), akkor α 1 = 2t2 vagy α 2 = 2. Ha α a nullvektor, akkor α (Y ) = Y. Jelölje α rendjét α = α 1 + + α n. Ekkor tetszőleges d 0 esetén legyen E d (Y ) = max α: α =d E ( α Y ). Tehát ez azt jelenti, hogy E 0 (Y ) = E(Y ) és E d (Y ) = 0 ha d meghaladja Y fokát. Emellett definiáljuk E d (Y ) = max d de d (Y )-t is. A következő eredmény Kim-től és Vu-tól származik 19

5.3. Tétel. (J. H. Kim and V. H. Vu, 2000) Legyen k 1 és Y = Y (t 1,..., t n ) t 1,..., t n n darab bool váltó teljesen pozitív polinomja. Ekkor létezik olyan csak k-tól függő C k > 0 konstns (itt k a polinom fokszáma) hogy ( ) ) P Y E(Y ) C k λ k 1 2 E 0 (Y )E 1 (Y ) = O k (e λ 4 +(k 1) log n minden λ > 0 esetén. Lásd [KimVu]-t a bizonyításért. Informálisan ez a téel azt jelenti,h ogy ha Y deriváltjai átlagosan kisebbek, mint Y önmaga és Y fokszáma kicsi, akkor Y a várható értéke körül koncentrálódik. Bizonyítás vázlata. Definináljuk a 5.2 lemma -beli θ n sorozatot a köetkező módon θ n = n 5 7. (5.3) Azaz P ({A : A Ω, n A}) = n 5 7 n N esetén. Adott A Ω halmaz esetén jelölje a B halmaz a következőt B = {b : b A, a, a, a A : b + a = a + a, a, a, a < b}. (5.4) gy A \ B Sidon halmaz lesz. Tehát azt fogjuk bebizonyítani, hogy A \ B 1 valószínűséggel egyben negyedrendű aszimptotikus bázis is. Azaz ez azt jelenti, hogy létezik olyan N 0 pozitív egész, hogy 1 valószínűséggel r 4,A\B (n) > 0 fennáll minden n N 0 esetén. Mivel r 4,A\B (n) = r 4,A (n) ( r 4,A (n) r 4,A\B (n) ), így ha alsó becslést adunk r 4,A (n)-ra és felső becslést adunk ( r 4,A (n) r 4,A\B (n) ) - re, akkor ezzel együtt alsó becslést kapunk r 4,A\B (n)-ra. Formálisan azt fogjuk bebizonyítani, hogy léteznek olyan C 1 és N 1 pozitav konstansok, hogy 1 valószínűséggel r 4,A (n) > C 1 n 1 7, n N1, (5.5) és léteznek olyan C 2 és N 2 pozitív konstansok, hogy 1 valószínűséggel r 4,A (n) r 4,A\B (n) < C 2 (log n) 6,5, n N 2. (5.6) Ahhoz, hogy (5.5)-t és (5.6)-t bebizonyítsuk, használjuk a 5.3 tételt és sok-sok analitikus számolást. 20

6. Összefoglalás Végezetül elmondhatjuk, hogy a disszertációban különböző aspektusokból vizsgáltuk a reprezentáció függvényeket és a kapcsolódó problémákat, mint például Sidon halmazok, additív kiegészítők stb. Elmondhatjuk, hogy ezen általunk és korábban mások által elért hasonló eredmények is azt mutatják, hogy az additív reprezentáció függvények fontos területe az additív számelméleti kutatásoknak. További jövőbeni kutatásokhoz is számos nyitott kérdés létezik még. Például még mindig nyitott kérdés az, hogy az Erdős Fuchs tétel megfordítása esetén elérhető a jelenlegitől jobb hivatag vagy sem. h = 2 esetben az alsó és felső becslések élesek, ráadásul h > 2 esetben Tang ugyanazt az alsó becslést bizonyította mint ami h = 2 esetben is fennáll. Ezel szemben a legjobb ismert felső becslés O(N 1.5 h log N), ami elég messze van az N 1 4 nagyságrendtől. Ugyanakkor az biztosan állítható, hogy jobb becslés eléréséhez más valószínűségi módszerekre van szükség. További érdekes kérdés, hogy a 2.1 sejtés igaz-e abban az esetben, ha h összetett szám (nem prímhatvány). Jelenleg nem tudjuk bizonyítani ezt az esetet, sőt azt is elképzelhtőnek tartjuk, hogy ebben az esetben nem igaz a sejtés. Additív kiegészítp halmazokkal kapcsolatban is feltehetünk Chen és Fang eredményeihez hasonló kérdéseket, sőt tovább tanulmányozhatjuk a reprezentáció függvények tulajdonságait Abel-csoportokon is. Például a 4.7 is még mindig nyitott probléma abban az esetben, ha h páratlan. Emellett érdekes probléma egy véges G Abel-csoport összes olyan particionálásnak karakterizálása, amire az h,a i (g) = h,a j (g) egyenlőség fennáll minden g G elem esetén. Természetesen a harmadrendű Sidon bázis létezése továbbra is egy jelentős nyitott kérdés. J. Cilleruelo már bizonyította ennek moduláris változatát, azaz megmutatta, hogy minden elég nagy N esetén a Z N ciklikus csoport tartalmaz olyan S Z N Sidon halmazt, ami harmadrendű aszimptotikus bázis Z N -ben. gy talán van arra némi remény, hogy ugyanez bizonytható a pozitív egészek körében is, esetlegesen más vaószínűségi módszerek használatával. UGyanakkor ez jelenleg nagyon nehéz feladatnak tűnik. Tehát ezek alapján elmondható, hogy a disszertáció eredményei érdekesek, napjainkban is kutatnak ezekben a témakörökben, ás számos további lehetőség van a továbblépésre. 21

Hivatkozások [CheFa10] Yong-Gao Chen, J.-H. Fang, On additive complements I., Proceedings of the American Mathematical Society, 138, (2010), 1923 1927. [CheFa11] Yong-Gao Chen, J.-H. Fang, On additive complements II., Proceedings of the American Mathematical Society, 139, (2011), 881 883. [CheFa13] Yong-Gao Chen, J.-H. Fang, On finite additive complements, Discrete Mathematics, 313, (2013), 595 598. [CheTa09] Yong-Gao Chen, Min Tang, Partitions of natural numbers with the same representation functions, Journal of Number Theory, 129, (2009), 2689 2695. [CheTa11] Yong-Gao Chen, Min Tang, A quantitive Erdős-Fuchs theorem and its generalization, Acta Arithmetica, 149, (2011), 171 180. [CheWa] Yong-Gao Chen, Bin Wang, On additive properties of two special sequences, Acta Arithmetica 110.3, (2003), 299 303. [CheYa12a] Q.-H. Yang, F.-J. Chen, Partitions of Z m with the same representation functions, Australas Journal of Combinatorics, 53, (2012), 257 262. [CheYa12b] Q.-H. Yang, Y.-G. Chen, Partitions of the natural numbers with the same weighted representation functions, Journal of Number Theory, 132, (2012), 3047 3055. [CheYa13] Q.-H. Yang, Y.-G. Chen, Weighted representation functions on Z m, Taiwanese Journal of Mathematics, 17, (2013), 1311 1319. [Cil] J. Cilleruelo, Sidon basis, arxiv: 1304.5351 [DaPa] L. X. Dai and H. Pan, On the inverse Erdős-Fuchs theorem, Journal of Number Theory, 140, (2014), 1 12. [Dan] L. Danzer, Über eine Frage von G. Hanani aus der additiven Zahlentheorie, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 214-215, (1964), 392 394. [DesPla] J. M. Deshouillers, A. Plagne, A Sidon basis, Acta Mathematica Hungarica, 123, (2009), 233 238. [Do] G. Dombi, Additive properties of certain sets, Acta Arithmetica, 103.2, (2002), 137 146. 22

[ErFu] P. Erdős and W.H.J. Fuchs, On a problem of additive number theory, Journal of London Mathematical Society, 31, (1956), 67-73. [ErRe] P. Erdős and A. Rényi, Additive properties of random sequences of positive integers, Actha Arithemtica, 6, (1960), 83 110. [ErSa85] P. Erdős, A. Sárközy, Problems and result on additive properties of general sequences I., Pacific Journal, 118, (1985), 347 357. [ErSa86] P. Erdős, A. Sárközy, Problems and result on additive properties of general sequences II., Acta Mathematica Hungarica, 48, (1986), 201 211. [ErSaTSos85] P. Erdős, A. Sárközy, V. T. Sós, Problems and results on additive properties of general sequences IV., Number Theory, Proceedings, Ootacamund, India, 1984, Lecture Notes in Mathematics, 1122, Springer Verlag, (1985), 85 104. [ErSaTSos87] P. Erdős, A. Sárközy, V. T. Sós, Problems and results on additive properties of general sequences III., Studia Scientiarum MAthematicarum Hungarica, 22, (1987), 53 63. [ErSaTSos94a] P. Erdős, A. Sárközy, V. T. Sós, On additive properties of general sequences, Discrete Mathematics, 136, (1994), 75 99. [ErSaTSos94b] P. Erdős, A. Sárközy, V. T. Sós, On sum sets of Sidon sets I., Journal of Number Theory, 47, (1994), 329 347. [GrHaHePi] G. Grekos, L. Haddad, C. Helou, J. Pihko, Representation functions, Sidon sets and bases, Acta Arithmetica, 130.2, (2007), 149 156. [HalRo] H. Halberstam, K. F. Roth, Sequences, Springer - Verlag, New York, 1983. [Har] G. H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares, Quarterly Journal of Mathematics, 46, (1915), 263 283. [Hoe] W. Hoeffding, Probability inequalities for sums of bounded random variables, Journal of the American Statistical Association, 58, (1963), 13 30. [Hor01] G. Horváth, On a generalization of a theorem of Erdős and Fuchs, Acta Mathematica Hungarica, 104, (2004), 27 37. 23

[Hor02] G. Horváth, On a theorem of Erdős and Fuchs, Acta Arithemtica, 103, (2002), 321-328. [Hor04] G. Horváth, An improvement of an extension of a theorem of Erdős and Fuchs, Acta Mathematica Hungarica, 92, (2001), 83-110. [Hux] M. N. Huxley, Integer Points, exponential sums and the Riemann zeta function, Number theory for the millennium II, (Urbana, IL, 2000) A K Peters, Natick, MA, 2002, 275 290 [KimVu] J. H. Kim and V. H. Vu, Concentration of multivariate polynomials and its applications, Combinatorica, 20, (2000), 417 434. [Kis] S. Z. Kiss, On Sidon sets which are asymptotic bases, Acta Mathematica Hungarica, 128, (2010), 46 58. [KiRoSa14a] S. Z. Kiss, E. Rozgonyi, Cs. Sándor, Sets with almost coinciding representation functions, Bulletin of the Australian Math. Soc., 89, (2014), 97 111. [KiRoSa14b] S. Z. Kiss, E. Rozgonyi, Cs. Sándor: On additive complement of a finite set, Journal of Number Theory, 136, (2014), 195 203 [KiRoSa14c] S. Z. Kiss, E. Rozgonyi, Cs. Sándor: Groups, partitions and representation functions, Publicationes Mathematicae Debrecen, 85, (2014), 425 433 [KiRoSa14d] S. Z. Kiss, E. Rozgonyi, Cs. Sándor: On Sidon sets which are asymptotic bases of order 4, Functiones et Aproximatio Comm. Math., 51, (2014), 393 413. [Kro] L. Kronecker, Zwei sätse über Gleichungen mit ganzzahligen Coefficienten, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 53, (1857), 173 175. [Lev] V. F. Lev: Reconstructing integer sets from their representation functions, Electronic Journal of Combinatorics, 11, (2004), R78. [LiNie] R. Lidl, H. Niederreiter, Finite Fields, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 20 Second edition. Cambridge University Press Cambridge, 1997 [MoVa] H. L. Montgomery and R. C. Vaughan, On the Erdős-Fuchs theorem, in A Tribute to Paul Erdős (A. Baker, B. Bollobás, and A. Hajnal, Eds.), Cambridge University Press, Cambridge, (1990), 331 338, 24

[Nar] Narkiewicz, Remarks on a conjecture of Hanani in additive number theory,colloquium Mathematicum, 7, (1959/60), 161 165. [Nat78] M. B. Nathanson, Representation functions of sequences in additive number theory, Proceedings of the American Mathematical Society, 72, (1978), 16 20 [Nat96] M. B. Nathanson, Additive Number Theory The Classical Bases, Springer, 1996 [RoSa13] E. Rozgonyi, Cs. Sándor: A converse to an extension of a theorem Erdős and Fuchs, Journal of Combinatorics and Number Theory, 5 Vol. 3. (2013), 151 163 [RoSa14] E. Rozgonyi, Cs. Sándor: An extension of a Nathanson s Theorem, Combinatorica, accepted [Ru97] Imre Z. Ruzsa, A converse to a theorem of Erdős and Fuchs, Journal of Number Theory, 62, (1997), 397 402. [Ru99] I. Z. Ruzsa, Additive completion of lacunary sequences, In: Paul Erdős and his mathematics, Budapest, 1999. [Sa] Cs. Sándor, Partitions of natural numbers and their representation functions, Integers, 4, (2004), A18. [Sar] A. Sárközy, Unsolved problems in number theory, Periodica Mathematica Hungarica, 42 (1-2), (2001), 17 35. [SaSze] A. Sárközy, E. Szemerédi, On a problem in additive number theory, Acta Mathematica Hungarica, 64, (1994), 237 245. [Ta08] Min Tang, Partitions of the set of natural numbers and their representation functions, Discrete Mathematics, 308, (2008), 2614 2616. [Ta09] Min Tang, On a generalization of a theorem of Erdős and Fuchs, Discrete Mathematics, 309, (2009), 6288 6293. [TaoVu] T. Tao, V. H. Vu, Additive Combinatorics, Cambridge University Press, 2006. [Var84] S.R.S. Varadhan, Large deviations and Applications, Philadelphia: Society for industrial and applied mathematics, Philadelphia, 46, (1984) 25

[Vu00a] V. H. Vu, On the concentration of multi - variate polynomials with small expectation, Random Structures and Algorithms, 16, (2000), 344 363. [Vu00b] V. H. Vu, Chernoff type bounds for sum of dependent random variables and applications in additive number theory, Number theory for the millennium, III (Urbana, IL, 2000), A K Peters, Natick, MA, 2002, 341 356 [Ya11] Quan-Hui Yang, Another Proof of Nathanson s Theorems, Journal of Integer Sequences, 14, (2011) [Ya14] Q.-H. Yang, Representation functions with different weights, Colloquium Mathematicumn, to appear. 26