Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
|
|
- Erzsébet Fábián
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Termzettudományi Kar Dolecsek Máté Matematikus MSc Véges halmazok additív multiplikatív felbontása F p -ben Szakdolgozat Témavezető: Gyarmati Katalin egyetemi docens, Sárközy András Professor Emeritus Algebra Számelmélet Tanszék Budapest, 015 1
2 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőimnek, Gyarmati Katalinnak Sárközy Andrásnak az érdekes témafelvetért, a konzultációkért a sok segítségért, ami nélkül ez a szakdolgozat nem kzülhetett volna el.
3 Tartalomjegyzék Bevezető 4 1. Primitív halmazok F p -ben 5. Az előző 3 kritérium összehasonlítása Adott rzhalmazt tartalmazó primitív halmaz léteze Összeghalmazok elemszámára vonatkozó alsó felső becsl 5. F p adott rzhalmazának legnagyobb reducibilis rzhalmaza 8 6. k-primitív k-reducibilis halmazok Kvadratikus maradékok additív felbontása 41 3
4 Bevezető A következő definíciókat 1948-ban H. H. Ostmann vezette be vizsgálta őket a nem negatív egz számok körében. Definíció: Legyen G egy additív félcsoport A, B 1,...,B k rzhalmazai G-nek, úgy hogy B i i = 1,,..., k. Ha A = B 1 + B B k akkor azt mondjuk, hogy ez egy additív k-felbontása A-nak, ha pedig A = B 1 B... B k, akkor ezt A egy multiplikatív k-felbontásának nevezzük. Definíció: Egy nemnegatív egzekből álló véges, vagy végtelen C halmazt reducibilisnek nevezünk, ha létezik additív -felbontása, azaz C = A + B, ahol A B. Ha nem létezik ilyen felbontás, akkor C-t primitívnek nevezzük. Számos szép eredmény született végtelen halmazok esetében, majd Sárközy András elkezdte vizsgálni a véges esetet is a modulo p (p prím) maradékosztályok additív, illetve multiplikatív csoportjában. Alon, Granville Ubis bizonyították, hogy F p -nek kevesebb, mint (1, 960) p+o(p) darab reducibilis rzhalmaza van. A szakdolgozat ebbe a témakörbe ad betekintt főleg Gyarmati Katalin Sárközy András munkásságán keresztül. 4
5 1. Primitív halmazok F p -ben 1.1. Tétel (K. Gyarmati, A. Sárközy): Legyen A = {a 1,..., a t } F p. Tegyük fel, hogy léteznek olyan 1 i < j t indexek, hogy Ekkor A primitív. a i + a j a k / A k-ra, melyre 1 k t k = i, k = j (1.1) a i a j + a k / A k-ra, melyre 1 k t k = j. (1.) Bizonyítás: Tegyük fel indirekt, hogy A teljesíti a feltételeket, de nem irreducibilis, azaz léteznek B F p C F p rzhalmazok, hogy A = B + C, B, C. (1.3) Vagyis a i A a j A elemekre (1.3) szerint létezik b u B, b v B, c x C, c y C, hogy Két eset lehetséges. a i = b u + c x (1.4) a j = b v + c y. (1.5) 1. eset: Tegyük fel, hogy b u = b v c x = c y. Ekkor (1.3), (1.4) (1.5) miatt a i + a j = (b u + c x ) + (b v + c y ) = (b u + c y ) + (b v + c x ) = a r + a s (1.6) a r A, a s A. c x = c y (1.4) miatt a i = a r, illetve b u = b v (1.5) miatt a j = a r, vagyis (1.6)-ból kapjuk, hogy a i + a j a r = a s A, ami ellentmond a feltételnek.. eset: Tegyük fel, hogy b u = b v. (1.7) Ekkor (1.5) a következő alakban írható a j = b u + c y. Mivel B, így létezik b B hogy b = b u. (1.8) 5
6 Tehát (1.3) miatt a p = b + c x A (1.9) a q = b + c y A. (1.10) (1.4), (1.5), (1.7), (1.9) (1.10)-ből következik, hogy ezért a i a j = (b u b v ) + (c x c y ) = c x c y = a p a q ahol (1.5), (1.7), (1.8) (1.10) miatt a i a j + a q = a p A (1.11) a q = b + c y = b u + c y = b v + c y = a j. (1.1) Ekkor (1.11) ellentmond (1.)-nek. A c x = c y eset hasonló gondolatmenettel bizonyítható. 1.. Következmény: Ha p = 4k + 1 alakú prím A F p, melyre A = {0, 1} {a F p : ( p a a 1 ) = 1, ( p ) = 1, a = 1, a = }, akkor A primitív. Bizonyítás: Az A halmaz konstrukciója miatt 0 A 1 A. Megmutatjuk, hogy az (1.1) tétel feltételei teljesülnek az a i = 0 a j = 1 választásokkal, vagyis 1 a k / A, a k = 0, 1 (1.13) a k 1 / A, a k = 1. (1.14) Nézzük először (1.13)-t. Ha a k A a k = 0 a k = 1, akkor ( a k p ) = 1 ( a k 1 p ) = 1. Mivel p = 4k + 1 alakú prím, így ( 1 a k p ) = ( 1 p )( 1 a k p ) = ( a k 1 p ) = 1. Így az A definíciójából következik, hogy 1 a k A akkor áll fenn, ha 1 a k = 0, vagy 1 a k = 1, vagyis a k = 1, vagy a k = 0. De feltettük, hogy a k = 0, 1, ezért (1.13) teljesül. Nézzük (1.14)-t. Ha a k A a k = 1, akkor vagy ( a k 1 p ) = 1, vagyis 6
7 1 + a k / A vagy a k = 0, ezért 1 + a k = 1, ami megint azt jelenti, hogy teljesül a feltétel Következmény: Ha A = {x 1, x,..., x t } F p egy Sidon sorozat, akkor A primitív. ( Egy A = {x 1, x,..., x t } sorozat Sidon-sorozat, ha az a i + a j összegek különbözőek minden 1 i < j t esetén) Bizonyítás: Ha A = 1, vagy A =, akkor A primitív. Ha A >, akkor a i -t a j -t az (1.1) tételben válasszuk úgy, hogy a i = a 1 a j = a. Ekkor az (1.1) tételben leírt (1.1) (1.) feltételek teljesülnek a Sidon-sorozat definíciója miatt Tétel (K. Gyarmati, A. Sárközy): Ha A F p A = {0} A 0, ahol A 0 ( p 3, p 3 ) (1.15) A > 4, (1.16) akkor A primitív. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy A teljesíti az (1.15) feltételt, de reducibilis, vagyis léteznek B F p C F p rzhalmazok, hogy A = B + C, hogy B C. (1.17) Mivel 0 A, ezért (1.16) miatt létezik b 0 B c 0 C, hogy 0 = b 0 + c 0. Legyen B = B + { b 0 } C = C + { c 0 } így 0 B 0 C. Ezért (1.17) miatt B + C = B + C = A, B = B, C = C. (1.18) Legyen B = {0, b 1, b,...b r } C = {0, c 1, c,..., c s }, ahol 0 < b 1 < b <... < b r < p 0 < c 1 < c <... < c s < p, (1.19) r 1, s 1, illetve (1.16) (1.18) miatt Ebből következik, hogy (r + 1)(s + 1) = B C A > 4. 7
8 r, (1.0) vagy s teljesül. Feltehetjük, hogy (1.0) teljesül. Ekkor (1.18) (1.19)- ből azt kapjuk, hogy i = 1,,...r esetén b i = b i + 0 B + C = A, 0 < b i < p (1.1) c 1 = c B + C = A, 0 < c 1 < p. (1.) Az A konstrukciója miatt (1.1) (1.)-ből következik, hogy (1.18) miatt pedig p 3 < b i + c 1 < 4p 3, (1.3) b i + c 1 B + C = A. (1.4) De szintén A konstrukciójából adódik, hogy csak egy elem van a ( p intervallumban, nevezetesen p, de ekkor (1.3) (1.4)-ből b i + c 1 = 0 i = 1,,..., r. Vagyis (1.0)-ból i = 1 i = -re kapjuk, hogy b 1 + c 1 = b + c 1, tehát b 1 = b, ami ellentmond (1.19)-nek. 3, 4p 3 ) 1.5. Tétel (K. Gyarmati, A. Sárközy): Legyen A F p d F p -re az a a = d, a, a A megoldás számát jelölje f (A, d). Ha akkor A primitív. max d F p f (A, d) < A 1, (1.5) Bizonyítás: Tegyük fel, hogy léteznek olyan B F p C F p halmazok, hogy fennáll. Feltehetjük, hogy A = B + C B, C (1.6) B C. (1.7) 8
9 (1.6) (1.7)-ből kapjuk, hogy így A = B + C ((b, c) : b B, c C) = B C B, (1.5) (1.8)-ból következik, hogy max d F p A 1 B. (1.8) f (A, d) < B. (1.9) Legyen c c két C-beli különböző elem. Így (1.6) miatt minden b B-re a = b + c A a = b + c A. Erre az (a, a ) párra, kapjuk, hogy a a = (b + c) (b + c ) = c c (1.30) különböző b-re különböző megoldásokat kapunk. Vagyis az (1.30) megoldások száma legalább akkora, mint a B halmaz elemszáma: f (A, c c ) B. (1.31) c = c -re c c = 0, így (1.30) ellentmond (1.9)-nek Tétel (K. Gyarmati, A. Sárközy): Ha k 0 elég nagy k olyan pozitív egz, hogy akkor létezik egy A F p, hogy A reducibilis. max d F p k 0 < k < 1 p 1 4, (1.3) A = k, (1.33) f (A, d) = A 1 (1.34) Bizonyítás: Legyen m = k. Az {1,,..., N} halmazból kiválasztható maximális Sidon sorozat számossága (1 + o(1))n 1. Ezért elég nagy k-ra létezik egy Sidon-sorozat B = {b 1, b,..., b k } {1,,..., m 1} B = k(= ( m ) 1 ). (1.35) Legyen C = {c 1, c,..., c k } = {mb 1, mb,...mb k } 9
10 A = B + C. (1.36) Ekkor A reducibilis minden a A a következő alakban írható (1.3) miatt a = b i + c j = b i + mb j, i, j {1,,..., k} (1.37) 0 < b i < m, 0 < b j < m 0 < b i + mb j < m + m(m 1) < m = 8k 4 < p. (1.38) (1.37) (1.38) egyértelműen meghatározzák b i -t c j -t, ezért A = B + C = B C = k (1.39) ez bizonyítja (1.33)-t. Legyen d F p olyan, hogy f (A, d) > 0, vagyis létezik a, a A, hogy a a = d. Legyen a a (1.37) alakú. Ekkor ahol (1.3) miatt d = a a = (b i1 b i ) + m(b j1 b j ) = u + mv, (1.40) 0 b i1 b i = u < m (1.41) 0 b j1 b j = v < m (1.4) d u + mv < m + m(m 1) < m = 8k 4 < p. (1.43) (1.41), (1.4) (1.43) miatt d u-t v-t (1.40)-ben egyértelműen meghatározza. Ha u = b i1 b i = 0 v = b j1 b j = 0 akkor B Sidon tulajdonsága miatt az (u, v) pár a b i1, b i, b j1, b j elemeket így az a a elemeket is egyértelműen meghatározza, így f (A, d) = 1. Ha u = b i1 b i = 0 v = b j1 b j = 0, akkor i = i 1 -t k módon választhatjuk meg, míg v a j-t j 1 -t egyértelműen meghatározza, ezért (1.39) miatt f (A, d) = k = A 1. (1.44) Hasonlóan, ha u = 0 v = 0, akkor j = j 1 -t is k módon választhatjuk meg, míg i 1 i megint egyértelműen meghatározott, vagyis (1.44) megint teljesül ez bizonyítja (1.36)-t is. 10
11 . Az előző 3 kritérium összehasonlítása Jelölje F 1, F F 3 azon F p -beli halmazokat, melyek kielégítik az 1.1, tétel feltételeit jelölje L 1, L L 3 a legnagyobb rzhalmazt, mely az F 1, F F 3 -hoz tartozik..1. Tétel (K. Gyarmati, A. Sárközy): 1, F 1 p O(1) (.1) L 1 = p + O(1) (.), F = p 3 +O(1) (.3) L = p 3 + O(1) (.4) 3, F 3 exp((1 + o(1))p 3 logp) (.5) L 3 (1 + o(1))p 3 (.6) Bizonyítás: 1, Legyen B = {b : p 3 b p 3, b, b = 0, }. Legyen A 0 B vegyük az A = A 0 {0, 1} halmazt. Belátjuk, hogy az A halmaz az a i = 1 az a j = 0 választással kielégíti az (1.1) (1.) feltételeket, vagyis A F 1. Tehát azt kell belátni, hogy illetve 1 a / A, ha a A a = 0, 1, (.7) 1 + a / A, ha a A a = 0. (.8) Ha a A, a = 0, 1 a A 0 B akkor 11
12 p 1 1 a, 1 + a p 1 a páros, így 1 a 1 + a páratlan, ezért nem elemei A 0 -nak, így (.7) (.8) következik. Ha a = 1, akkor a + 1 =, de ez se eleme A 0 -nak így (.8) ismét fennáll. Mivel B = p O(1), ezért A 0 B halmaz p O(1) módon választható ki, így (.1) teljesül, mert A = A 0 {0, 1}. Legyen A 0 = B. Így A = B {0, 1} F 1, ez pedig ad egy alsó becslt L 1 -re, vagyis L 1 p + O(1). (.9) A felső becslhez legyen a i a j rögzített jelöljük az 1.1 tétel feltételeit kielégítő halmazt A-val. Ekkor (1.) miatt minden c, d F p párra, melyre a i + a j c = d fennáll, csak az egyik tartozhat A-ba. Legfeljebb p+1 ilyen pár van (beleszámítva a (c, d) párt is) F p minden eleme egy párhoz tartozik. Ezért A legfeljebb p+1 + = p + O(1) így L 1 p + O(1) is teljesül, ami (.9)-cel együtt bizonyítja (.)-t., Az (1.15) feltételt kielégítő A-k száma megegyezik azon A 0 F p halmazok számával, melyre A 0 ( p 3, p 3 ) fennáll, vagyis ezek száma a maximális elemszámra: p 3 p 3 +O(1) = p 3 O(1) A {0} + A {a : p 3 a < p 3 } = p 3 + O(1) Ebből a kettőből következik (.3)-t (.4)-t. 3, Ha A F 3 akkor (1.5) teljesül, tehát De d F p d F p f (A, d) < A 1 1 = (p 1) A. (.10) d Fp f (A, d) = ((a, a ) : a, a A, a a = d) = d Fp = {(a, a ) : a, a A, a = a } = A ( A 1). (.11) (.10) (.11)- ből kapjuk, hogy A 1 ( A 1) < p 1. (.1) Tegyük fel (.6)-tal ellentétben, hogy létezik ɛ > 0, hogy végtelen sok prímre létezik A F 3, hogy 1
13 A > (1 + ɛ)p 3. (.13) (.1) (.13)-ból következik, hogy (1 + ɛ) 1 p 1 3 ((1 + ɛ)p 3 1) < p 1, amiből (1 + ɛ) 3 (1+ɛ) 1 p 3 < 1 1 p (.14) következik. De p esetén a baloldal határértéke (1 + ɛ) 3 > 1, míg a jobboldal határértéke 1, így elég nagy p-re a (.14) egyenlőtlenség nem teljesülhet ez az ellentmondás bizonyítja (.6)-t. (.6)-ból következik, hogy L 3 ( ) p F 3 {A : A F p, A L 3 } = L k=1 3 ( ) p p = p L3+1 = exp((1 + o(1))p 3 logp) L 3 ez bizonyítja (.5)-t.. Állítás: Elég nagy p-re az 1.1, tételek függetlenek, vagyis található olyan A F p halmaz, ami a három tétel közül egynek a feltételeit teljesíti, de egy másik tétel feltételeit ezek közül nem teljesíti. Bizonyítás: Létezik sok olyan A Sidon-sorozat, hogy A (0, p 3 A > 1. Ezek a halmazok eleget tesznek az 1.5 tétel feltételeinek, de nem elégítik ki az 1.4 tétel feltételeit. Kimutatható, hogy majdnem minden A F p halmaz, melyre A = [ 1 n 3 ] teljesül, eleget tesz a következő egyenlőtlenségnek f (A, d) < A 1 d F p, egy ilyen halmaz eleget tesz az 1.5 tétel feltételeinek, de nem tesz eleget az 1.1 tétel feltételeinek. Vegyük a következő halmazt A = {0} {a : p 3 < a < p 3 }. 13
14 Elég nagy p-re ez a halmaz eleget tesz az 1.4 tétel feltételeinek. Ugyanakkor, ha a i, a j A, akkor a i A, mert A minden elemének az ellentettjét is tartalmazza. Ha most az 1.1 tételbeli a k = a i elemet vesszük a k -nak, akkor a i a j + a k = a i a j a i = a j A teljesül, vagyis erre a halmazra az 1.1 tétel (1.1) feltétele nem teljesül. 14
15 3. Adott rzhalmazt tartalmazó primitív halmaz léteze 3.1 Tétel (K. Gyarmati, A. Sárközy): Legyen egy prím legyen A F p, hogy p > 39 (3.) A < 1 3 p 5. (3.3) Ekkor van olyan x F p \ A elem, hogy az A {x} halmaz primitív. Bizonyítás: Nevezzünk egy x F p elemet jónak, ha x / A A {x} primitív, egyébként nevezzük az x-et rossznak. Azt kell megmutatni, hogy legalább egy jó elem van vagyis, hogy a rossz elemek száma kevesebb, mint p. Egy x F p rossz, ha vagy x A, (3.4) x / A A {x} reducibilis. (3.5) Jelölje B a (3.5)-t kielégítő elemek halmazát. Azt kell megmutatni, hogy A + B < p. (3.6) A következőkben B méretét becsüljük. Ha x kielégíti (3.5)-t, akkor léteznek olyan C, D F p halmazok, hogy feltehetjük, hogy A {x} = C + D, C, D ; (3.7) Ekkor létezik c 0 C d 0 D, hogy (3.7)-ből következik, hogy létezik C D. (3.8) c 0 + d 0 = x. (3.9) c 1 C, c 0 = c 1. (3.10) d 1 D, d 0 = d 1. (3.11) 15
16 Először tegyük fel, hogy (3.9), (3.10) (3.11)-ből következik, hogy vagyis vagy A 3. (3.1) x = c 0 + d 1 = a 1 A, (3.13) x = c 1 + d 0 = a A (3.14) c 1 + d 1 A {x}, c 1 + d 1 = a 3 A, (3.15) c 1 + d 1 = x. (3.16) Ha (3.15) teljesül akkor (3.9), (3.13) (3.14) miatt kapjuk, hogy így a 1 + a = (c 0 + d 1 ) + (c 1 + d 0 ) = (c 0 + d 0 ) + (c 1 + d 1 ) = x + a 3, a 1 + a a 3 = x, (3.17) míg ha (3.16) teljesül, akkor (3.9), (3.13) (3.14) miatt így a 1 + a = (c 0 + d 1 ) + (c 1 + d 0 ) = (c 0 + d 0 ) + (c 1 + d 1 ) = x, a 1 +a = x (3.18) teljesül. (3.17)-ben az (a 1, a, a 3 ) hármasok száma legfeljebb A 3, míg (3.18)- ban az (a 1, a ) párok száma A, így (3.1) miatt az x lehetséges értékeinek száma: B A 3 + A = 36, (3.19) ugyanakkor (3.), (3.1) (3.19)-ből következik, hogy (3.6) következik ebből (3.)-ből. A + B = 39 16
17 Maradt az az eset, amikor A 4. (3.0) Minden d D-re kapjuk, hogy (d + c 1 ) (d + c 0 ) = c 1 c 0 ( = 0 (3.10) miatt). A = A {x}, (3.7)-ből kapjuk, hogy d + c 0 A d + c 1 A, így a 0 = d + c 0, a 1 = d + c 1 e = c 1 c 0 jelölekkel a 1 a 0 = (d + c 1 ) (d + c 0 ) = c 1 c 0 = f, a 0, a 1 A (3.1) Ennek a megoldás halmaznak az elemszámát f (A, f )-vel jelöltük minden d D egy megoldást határoz meg, így f (A, f ) D adódik. (3.1)-ben az a 0 = x, vagy a 1 = x értékektől eltekintve (3.1) megoldásai megoldásai az a 1 a 0 = f, a 0, a 1 A egyenletnek is így ennek az egyenletnek legalább f (A, f ) f (A, f ) D (3.) megoldása van. Legyen F azon f F p elemek halmaza, amelyek eleget tesznek (3.)-nek. (.11)-hez hasonlóan kiszámolható, hogy f F p Másrzt F definíciója miatt f F p f (A, f ) f F Ebből (3.7), (3.8) (3.0) miatt f F p f (A, f ) = A A. (3.3) f (A, f ) ( C ) = F ( D ). f F f (A, f ) F ( A {x} 1 ) = F ( A + 1) 1 ) F (( A + 1) 1 ( A + 1) ) = (1 (3.3) (3.4)-ből következik, hogy ) F ( A + 1) 1 > 1 10 F A 1.(3.4)
18 F < 10( A 3 A 1 ). (3.5) Ha c 1 d 0 olyan elemek F p -ben, melyek megjelennek (3.9)-ben (3.10)- ben, akkor (3.7), (3.9) (3.10) miatt kapjuk, hogy c 1 + d 0 = a A. Ekkor (3.9) miatt x = c 0 + d 0 = (d 0 + c 1 ) (c 1 c 0 ) = a f B, ahol a A f F. Itt a-hoz legfeljebb A érték f -hez legfeljebb F érték tartozik, így a B elemszáma (3.3), (3.5) (3.6) miatt B A F. (3.6) A + B A + A F < A + 10 A 5 < 11 A 5 < 11 p < p Ez bizonyítja (3.6)-t A 4-re is. A következő tételhez előbb egy lemmát bizonyítunk be. 3. Lemma: Legyen p 3 egy prím A F p. Tegyük fel, hogy léteznek u, v F p elemek, hogy u / A + A, v / A A 3v+u / A (3.7) teljesül. Ekkor A-hoz hozzáadva legfeljebb két elemet F p \ A-ból egy olyan B halmazt kapunk, amely primitív. Bizonyítás: Legyen A = {a 1, a,...a s }. Legyen u, v olyan mint (3.7)-ben legyen 3 5 Ekkor (3.7) miatt a s+1 = u+v a s+ = u v. a s+1 + a s+ = u / A + A, a s+1 a s+ = v / A A, a s+1 a s+ = 3v+u / A, vagyis a s+1 + a s+ a k / A, ha 1 k s 18
19 a s+1 a s+ + a k / A, ha 1 k s + 1 Így az (1.1) tételből i = s + 1 j = s + választással adódik, hogy az A {a s+1, a s+ } halmaz primitív. [ 3+ 5 A p 3.3 Tétel (K. Gyarmati, A. Sárközy): Legyen p 3 egy prím A F p. ] Ekkor kitörölve legfeljebb elemet A-ból legfeljebb két elemet hozzáadva F p \ A-hoz keletkezik egy B halmaz, mely primitív. [ Bizonyítás: Ha A ] 5 A p, akkor p A elvéve A 1 elemet A-ból olyan halmazt kapunk, ami csak egy elemet tartalmaz, vagyis a kapott halmaz irreducibilis. Tegyük fel, hogy A < 3 5 p. (3.8) Először azt bizonyítjuk, hogy létezik A A egy u F p elem, hogy Legyen d F p -re Ekkor Másrzről pedig azaz u / A + A A A A p. (3.9) h(a, d) = {(a, a ) : a + a = d, a, a A}. d F p h(a, d) = d F p Legyen u F p olyan elem, hogy (a 1, a 1 ), (a, a ),..., (a t, a t ) az a,a A,a+a =d 1 = 1 = A. a,a A p min d F p h(a, d) d F p h(a, d) = A, min h(a, d) A d F p p. (3.30) h(a, u) = min d F p h(a, d) = t. (3.31) 19
20 a + a = u a, a A egyenlet megoldásai. (3.30) (3.31) miatt t = h(a, u) A p. Az A = A \ {a 1, a,..., a t } halmazon az a + a = u egyenlet nem oldható meg, így u / A + A. Ez bizonyítja (3.9)-t. Vegyünk egy olyan halmazt egy olyan u F p elemet, mely teljesíti (3.9)-t. Azt bizonyítjuk, hogy létezik egy A A halmaz egy v F p elem, hogy v / A A, A A 1+ 5 u+3v / A (3.3) A p A 3+ 5 A p. (3.33) Mivel A A, ezért (3.9) miatt u / A + A (3.34) teljesül. Legyen f (A, d), mint az 1.5 tételben legyen G = {v F p : u+3v A }. Mivel u rögzített, így teljesül. Továbbá G A A (3.35) f (A, d) = d F p \G d F p \G 1 a,a A, a a =d d F p De (3.35) (3.36) miatt 1 = 1 = A A. (3.36) a,a A, a a =d a,a A (p A ) min f (A, d) (p G ) min f (A, d) d F p \G d F p f (A, d) A. \G d F p \G (3.37) 0
21 (3.8) (3.37)-ből következik, hogy min f (A, d) d F p \G A p A A p 3 5 p Legyen v F p \ G egy olyan elem, melyre (b 1, b 1 ), (b, b ),..., (b s, b s ) a A p. (3.38) f (A, v) = min f (A, d) = s (3.39) d F p \G b b = v b, b A egyenlet megoldásai. (3.38) (3.39) miatt Az s = f (A, v) 1+ 5 A p (3.40) A = A \ {b 1, b,..., b s } (3.41) halmazon a b b = v egyenlet nem oldható meg, így v / A + A (3.4) v F p \ G a G definíciója miatt u+3v / A. Mivel A A azt kapjuk, hogy u+3v / A. (3.43) Tehát (3.3) (3.33) következik (3.40), (3.41), (3.4) (3.43)-ból. Így A A egy olyan halmaz u, v F p olyan elemek, melyekre u / A + A, v / A A u+3v, / A A A 3+ 5 A p. A 3. lemmát használva adódik, hogy legfeljebb két elemet hozzá adva A -hoz F p \ A -ból egy primitív halmazt kapunk. 1
22 4. Összeghalmazok elemszámára vonatkozó alsó felső becsl 4.1 Tétel (Cauchy-Davenport-Chowla tétel): Legyen p prím, A, B F p, A = k > 0, B = l > 0. Ekkor A + B min(p, k + r 1) (4.1) 1. bizonyítás: Legyen p rögzített tegyük fel, hogy van olyan A B, amelyre (4.1) nem igaz nevezzük rossznak az ilyen halmazpárokat. Tekintsünk egy olyan A, B rossz halmazpárt, melyre B = l a lehető legkisebb. 1. eset: Ha k + l 1 > p, akkor B-ből hagyjunk el k + l 1 p(< r) elemet a maradék halmazt jelöljük B -vel. Ekkor A + B A + B < min(p, k + l 1) = p = min(p, A + B 1), vagyis az A, B is rossz halmazpár, de 0 < B < B miatt ez ellentmond B minimalitásának.. eset: Tegyük fel, hogy k + l 1 p. k l, mert k < l esetén A B szerepcseréje ellentmondana B minimalitásának, l = 1 esetén pedig (4.1)-ben egyenlőség áll, azaz A B nem lenne rossz halmazpár. Mivel l k + l 1 p, ezért k < p is teljesül. Feltehetjük, hogy 0 B, mert B minden eleméhez ugyanazt az értéket hozzáadva A, B A + B nem változik. Legyen b = 0 tetszőleges rögzített eleme B-nek. Ekkor A + b = {a + b a A} A, ellenkező esetben ugyanis A + b = A teljesülne, így a két oldalon álló halmazok elemeinek összege megegyezne: a = (a + b) = kb + a, kb = 0, a A a A a A ami k < p b = 0 miatt nem lehet. Vagyis van olyan a 1 A b 1 B, hogy a 1 + b 1 / A. Legyen A = A {a 1 + b b B, a 1 + b / A} B = {b a 1 + b A}. A = k B = l esetén k + l = k + l 0 < l < l, mert 0 B, de b 1 / B. Kell még, hogy A + B A + B. Legyen a + b A + B. Ha a A, akkor a + b A + B. Ha a = a 1 + b, akkor a + b = (a 1 + b) + b = (a 1 + b ) + b A + B,
23 hiszen B definíciója miatt a 1 + b A. Ezek alapján A + B A + B < min(p, k + l 1) = k + l 1 = k + l 1 = min(p, k + l 1), tehát A B is rossz pár l < l, ami ellentmond B minimalitásának, vagyis a tétel igaz. A. bizonyításhoz az Alon-féle Nullstellensatz következményét használjuk. Az Alon-féle Nullstellensatz a gyűrű elméleti Hilbert-féle nullhelytétellel mutat rokonságot így szól: F tetszőleges test, g i = s Si (X i s) i = 1,...n S i F adottak. Ha az f polinom eltűnik a g i -k közös gyökein, akkor f = i=1 n h ig i i-re degh i deg f -degg i. Ennek egy következménye a következő: legyen az f (x 1,...x n ) polinom egy főtagja αx t 1 1 x t...x t n n. Legyenek S 1,..., S n F, S i > t i, akkor f nem tűnhet el az egz S 1 S... S n halmazon.. bizonyítás: A bizonyításban az előző következményt használjuk fel. I. eset: k + l > p, ekkor minden g F p -re A (g B) = 0, vagyis a = g b, tehát a + b = g. II. eset: tegyük fel, hogy A + B k + l. Ekkor A + B C, ahol C = k + l. Nézzük a következő polinomot: c C (x + y c) = F(x, y). F eltűnik az A B halmazon deg F = (k 1) + (l 1). Kell még, hogy x k 1 y l 1 együtthatója nem nulla. Ennek a tagnak az együtthatója ( k+l k 1 ), ami nem nulla, mert k + l < p, de ez ellentmond a következménynek. A 4.1 egyenlőtlenség éles, ugyanis, ha A = {0, 1,..., k 1} B = {0, 1,..., r 1}, akkor k + r p + 1 esetén A + B = {0, 1,..., k + r }, tehát A + B = k + r 1 Az A = B speciális estben a 4.1 egyenlőtlenség az A + A min(p, k 1) becslt adja ez is éles az A = {0, 1,...k 1} halmazt véve. 4. Tétel (Alon, Granville, Ubis): Legyen G egy n rendű Abel-csoport A G A = k. Ekkor n ( ) n #{A + B : B G} n min l k [ j j=0 l ] min{ n j, [ jk k l+1 ] } (4.) 3
24 Bizonyítás: Egy adott B halmazból mohón válasszunk ki elemeket a következőképpen: elsőnek választunk egy b 1 B elemet, majd b B legyen olyan, hogy maximalizálja az (A + {b }) \ (A + {b 1 }) halmazt, majd b 3 B legyen olyan, hogy maximalizálja az (A + {b 3 }) \ (A + {b 1, b }) halmazt így tovább. Jelöljük B l -lel azon b i -k halmazát, amelyre A + {b 1, b,..., b i } legalább l elemmel többet tartalmaz, mint A + {b 1, b,..., b i 1 } tegyük fel, hogy B j + A = j. Definíció szerint l B l B j + A = j, vagyis B l [ j l ] Így B l -t maximum j i [ l ] (n i ) féleképpen választhatjuk meg. j l n, ha l így ) i [ j l ] ( n i ( ) n n [ j l ] Meghatározzuk, hogy adott B l mellett A + B-re hány lehetőségünk van. Mivel B l + A B + A G, ezért az ilyen A + B-k száma az olyan H halmazok száma, melyekre B l + A H G teljesül, ami n j. Legyen C = B l + A D olyan halmaz, melyre ha d D teljesül, akkor r(d) k + 1 l, ahol r(d) a c a = d, c C, a A egyenlet megoldásszámát jelöli. Ha b B \ B l, akkor r(b) = (b + A) (B l + A) k + 1 l így b D teljesül. Mivel (B \ B l ) D, így legfeljebb D darab B \ B l halmaz van így legfeljebb ennyi A + B alakú halmaz van. Kaptuk, hogy így D D (k + 1 l) r(d) = A C = kj d G kj k+1 l, ebből pedig (4.) következik. 4.4 Tétel (I. Z. Ruzsa): Legyen G egy nem feltétlenül kommutatív csoport A, B, C véges rzhalmazai G-nek. Ekkor A B C A B A C 4
25 teljesül. Bizonyítás: Legyenek a A, b B C. Ezeket az (a, b) párokat fogjuk injektíven beleképezni az (A B) (A C) halmazba. B elemei legyenek b 1, b,...,b n. Egy adott (a, b) párhoz, nézzük azokat az y B, c C elemeket, melyekre b = y c teljesül. Ekkor y = b i valamilyen i-re, legyen ez az i minimális feleltessük meg az (a, b) párnak az (a y, a c) párt. Vegyünk egy másik párt (a, b ) legyen b = y c. Ha a y = a y, a c = a c teljesül, akkor kapjuk, hogy y c = y c, de y minimális volt, így y = y, tehát c = c a = a, vagyis a leképez injektív. 4.5 Következmény: Ha A = m, 3A αm, akkor A + A α m A következő tételhez előbb egy lemmát mondunk ki. 4.6 Lemma: Legyen d egz X 1,...X d tetszőleges halmazok, B X 1... X d egy véges rzhalmaza legyen B i X 1... X i 1 X i+1... X d projekció. Ekkor B d 1 d i=1 B i teljesül. Bizonyítás: A lemmát d-re szerinti indukcióval bizonyítjuk. d = -re az állítás nyilvánvaló. Legyenek a {b 1, b,..., b t } elemek olyanok, amik előfordulnak, mint egy B-beli elem első koordinátája particionáljuk a B halmazt az első koordináta szerint, tehát ahol B = B(b 1 ) B(b )... B(b t ), B(b i ) = {(b i, x, x 3,..., x d ) = b : b B} Az indukciós hipotézis miatt kapjuk, hogy vagyis B(b i ) d B(b i )... B(b i ) d, B(b i ) d d 1 ( B(bi )... B(b i ) d ) 1 d 1 5
26 Triviális, hogy B(b i ) B 1 is teljesül ezért B(b i ) ( B(b i )... B(b i ) d ) 1 d 1 B1 1 d 1 Ezt a Hölder-egyenlőtlenséget használva a következőt kapjuk: B = t B(b i ) B 1 d 1 1 i=1 B 1 1 d 1 d j= ez bizonyítja az állítást. ( t i=1 t i=1 ( B(b i )... B(b i ) d ) 1 j=1 ( B(b i ) j ) 1 d 1 = d B j 1 d 1 d Tétel (K. Gyarmati, M. Matolcsi, I. Z. Ruzsa): Legyenek A 1, A,...,A k véges, nem üres rzhalmazai egy kommutatív félcsoportnak. S = A 1 + A A k, S i = A A i 1 + A i A k Ekkor S ( k i=1 S i ) 1 k 1. Bizonyítás: Soroljuk fel az A 1, A,...,A k halmazok elemeit valamilyen sorrendben: Minden s S-re nézzük azt az A 1 = {c 11, c 1,..., c 1t1 } A = {c 1, c,..., c t }.. A k = {c k1, c k,..., c ktk } s = c 1i1 + c i c kik ( A A k ) felbontást, ahol az összeadandó tagok sorszáma a lexikografikus rendez szerint minimális. Nézzük a következő függvényt: f : S A 1... A k, f (s) = (c 1i1, c i,..., c kik ) A 1... A k 6
27 Ez jól definiált az S halmazt egy B A 1... A k halmazba képezi úgy hogy, B = A A k teljesül. A 4.6 lemmát a B halmazra alkalmazva kapjuk, hogy B k 1 B 1 B... B k teljesül. Ezért elég megmutatni, hogy B j A 1 + A A j 1 + A j A k Ez az egyenlőtlenség pedig következik abból, hogy a B j -ben lévő elemek koordinátáinak összege különbözik. Valóban, tegyük fel, hogy z = z B j elemekre z = (c 1i1, c i,..., c j 1ij 1, c j+1ij+1,..., c kik ), z = (c 1i 1, c i,..., c j 1i, c j 1 j+1i j+1,..., c ki ), k c 1i1 + c i c kik = c 1i + c 1 i c ki k Feltehetjük, hogy (i 1, i,..., i j 1, i j+1,...i k ) < (i 1, i,..., i j 1, i j+1,...i k ) a lexikografikus rendez szerint. z B j, ezért létezik egy d A j elem, hogy (c 1i 1 Tehát létezik u S, hogy, c i,..., c j 1i, d, c j 1 j+1i j+1,..., c ki ) B. k u = c 1i + c 1 i c j 1i + d + c j 1 j+1i j+1 f (u) = (c 1i 1, c i,..., c j 1i, d, c j 1 j+1i j c ki, k,..., c ki ) B. k teljesül. Mivel c 1i1 + c i c kik = c 1i + c 1 i c ki, ezért k u = c 1i1 + c i c j 1ij 1 + d + c j+1ij c kik is teljesül, azonban d = c jij -re (i 1, i,..., i j 1, i j, i j+1,...i k ) < (i 1, i,..., i j 1, i j, i j+1,...i k ) teljesül a lexikografikus rendezben, de ekkor f definíciója miatt f (u) = (c 1i, c 1 i,..., c j 1i, d, c j 1 j+1i,..., c j+1 ki ), ami ellentmondás. Ezzel a tételt bizonyítottuk. k 7
28 5. F p adott rzhalmazának legnagyobb reducibilis rzhalmaza Ha A Sidon-sorozat, akkor minden rzsorozata is Sidon-sorozat az 1.3 következmény miatt primitív, így A-nak nincs reducibilis rzhalmaza. Van olyan Sidon-sorozat F p -ben, melynek a számossága (1+o(1))( p ) 1 (ezt Erdős Turán bizonyította) Ezért van olyan A F p rzhalmaz, hogy A > c 1 p 1 A nem tartalmaz reducibilis rzhalmazt. Ugyanakkor igaz a következő tétel: 5.1 Tétel (K. Gyarmati, A. Sárközy): Ha A F p olyan rzhalmaz, hogy A A > p 1, (5.1) akkor A tartalmaz egy M reducibilis rzhalmazt, melyre a következő teljesül: ha M = B + C, akkor M B A A p 1, (5.) B (5.3) C =. (5.4) Bizonyítás: Legyen f (A, d), mint az 1.5 tételben, ekkor fennáll a következő: f (A, d) = {(a, a ) : a, a A, a a = d} = d Fp d Fp = {(a, a ) : a, a A, a = a } = A A. (5.5) Legyen d 0 F p olyan elem, melyre f (A, d) maximális: f (A, d 0 ) f (A, d), minden d F p. Ekkor (5.5)-ből kapjuk, hogy vagyis A A = d F p f (A, d) d F p f (A, d 0 ) = (p 1) f (A, d 0 ) A A p 1 f (A, d 0 ). (5.6) Legyen B = {a : a, a + d 0 A} C = {0, d 0 }. Ekkor 8
29 B + C = B + {0, d 0 } = B (B + {d 0 }) A, így (5.6)-ból B + C B = {a : a, a + d 0 A} = f (A, d 0 ) A A p 1, (5.7) (5.3) következik (5.1) (5.7)-ből, illetve (5.) is fennáll. 9
30 6. k-primitív k-reducibilis halmazok Definíció: Egy A F p halmazt k-primitívnek nevezünk, ha minden B F p olyan halmaz primitív, melyre D(A, B) k. (D(A, B) jelöli a két halmaz szimmetrikus differenciáját) 6.1 Tétel (K. Gyarmati, A. Sárközy): Legyen A F p legyen f (A, d), mint az 1.5 tételben. Ha max d F p f (A, d) < A 1 3 (6.1) k N olyan, hogy akkor A k-primitív. k A 1 4, (6.) Bizonyítás: Azt kell megmutatni, hogy minden olyan B F p halmaz primitív, melyre teljesül. Az 1.5 tétel miatt elég megmutatni, hogy max d F p D(A, B) k (6.3) f (B, d) < B 1. (6.4) Hogy ezt megmutassuk, egy felső becslt adunk f (B, d)-re, vagyis az olyan (b, b ) párok számára, melyekre b, b B (6.5) b b = d (6.6) teljesül, ahol d F p rögzített. Mivel B = (A B) (B \ A), ezért bármely b, b párra, mely eleget tesz az (6.5) (6.6) feltételeknek eleget kell tennie a következő feltételek egyikének: b, b A B A, b b = d, (6.7) b B \ A, b = b d, (6.8) 30
31 b B \ A, b = b + d. (6.9) (6.1) miatt a (6.7)-t kielégítő b, b párok száma legfeljebb f (A, d) < 1 3 A 1. Sőt a (6.8)-t kielégítő b-k száma legfeljebb B \ A D(A, B) k b egyértelműen meghatározza a b = b d értéket, így (6.8)-nak legfeljebb k megoldása van ugyanígy az (6.9)-nek is legfeljebb k megoldása van. Felhasználva (6.)-t azt kapjuk, hogy A B (A \ B)-ből kapjuk, hogy amiből (6.) (6.3) felhasználásával f (B, d) < 1 3 A 1 + k 5 6 A 1. (6.10) A B + A \ B B + D(A, B), B A D(A, B) A k A 1 4 A 1 A 1 4 A = 3 4 A.(6.11) (6.10) (6.11)-ből következik, hogy f (B, d) < 5 6 A ( 4 3 B ) 1 = ( 5 7 ) 1 B 1 < B 1. Ebből pedig következik (6.4). Következmény: Ha A F p Sidon-sorozat A 16 k = [ 1 4 A 1 ] teljesül, akkor A k-primitív. Definíció: Ha p egy prím, akkor legyen M(p) a legnagyobb olyan pozitív egz, melyre létezik k-primitív halmaz F p -ben. 6. Tétel (K. Gyarmati, A. Sárközy): p esetén 0.009p < M(p) < 4 1 p. (6.1) Bizonyítás: Először a felső korlátot látjuk be. Legyen K(A) = max{k : k N, A k-primitív}, így M(p) = max A F p K(A). K(A) definíciójából kapjuk, hogy minden reducibilis A F p halmazra 31
32 D(A, A ) K(A) + 1, vagyis D(A, A ) 1 K(A). Vagyis a felső korlát igazolásához azt kell megmutatni, hogy minden A F p rzhalmazhoz van egy A rzhalmaz, hogy Két esetet különböztetünk meg. 1. eset: Ebből következik, hogy D(A, A ) 1 < 1 4 p. (6.13) A > p 1. (6.14) A A > 4p A 3p > p 1, vagyis az (5.1) feltétel teljesül, ezért az 5.1 tétel alkalmazható. Legyen B + C az 5.1 tételben megkapott reducibilis halmaz ott megadott felbontása legyen A = B + C. Ekkor A reducibilis (5.) miatt kapjuk, hogy D(A, A ) = A \ (B + C) = A B + C A A A p 1 = ( A (p 1) 1 (p 1) 1 ) + p A p 1 p p p 1 = p ( 1 p ) < p ez bizonyítja (6.13)-t. 3
33 . eset: tegyük fel, hogy A p 1. Vegyük a következő halmazt: A = {0, 1, } = {0, 1} + {0, 1}. Ekkor A reducibilis p > 100 esetén a következőt kapjuk: D(A, A ) = A \ A + A \ A A + A p < p 5 + p 30 < p 4 ez bizonyítja a felső korlátot ebben az esetben is. Ezzel a (6.1) felső korlátját bizonyítottuk. Az alsó korlát bizonyításához a következő, Alon, Granville Ubis által bizonyított tételt fogjuk felhasználni: F p reducibilis rzhalmazainak száma kevesebb, mint 1, 960 p, ha p elég nagy.* A (6.1) állítással ellentétben tegyük fel, hogy legyen M(p) 0.009p (6.15) k = [0.009p] + 1. (6.16) Ekkor M(p) definíciója (6.15) miatt nincsen k-primitív A F p rzhalmaz erre a k-ra. Jelöljük R p -vel F p reducibilis rzhalmazainak halmazát. Minden A F p rzhalmazra létezik egy R = R(A) R p, hogy D(A, R) k. (6.17) Rögzített R F p rzhalmazra legyen A(R) azon A F p rzhalmazok halmaza, melyre (6.17) teljesül. Ha R rögzített, akkor minden A A(R) megkapható R-ből pontosan i darab elem megváltoztatásával, ahol i k. Ezt az i darab elemet ( p i ) féleképpen tudjuk kiválasztani. Ezért azt kapjuk, hogy A(R) = k i=0 ( ) p (k + 1) i ( ) p. (6.18) k Mivel minden A F p rzhalmazhoz van R F p, hogy A A(R), így (6.18) (*) miatt kapjuk, hogy p = {A : A F p } = R Rp {A : A A(R)} ( ) ( ) ( p p p = (k + 1) R p < (k + 1) k k k R R p A(R) R R p (k + 1) vagyis 33 ) 1, 960 p,
34 (k + 1) ( p k ) > ( 1,960 )p. (6.19) A továbbiakhoz felhasználjuk a következő lemmát, amit a Stirling formulával lehet bizonyítani. Lemma: Legyen 0 a < b ɛ > 0. Ekkor létezik egy pozitív szám δ = δ(a, b, ɛ) egy pozitív egz m 0 (a, b, ɛ), hogy ha m m 0 (a, b, ɛ), u bm < δm v am < δm, akkor ( u v ) < (bd( a b )+ɛ)m teljesül, ahol d(x) = log 1 (x log x + (1 x)log(1 x)), ha 0 < x < 1 d(0) = d(1) = 0. Ekkor (6.16) miatt a lemmából (m = u = p, v = k, a = 0, 009, b = 1 választásokkal) következik, hogy p esetén (k + 1) ( p k ) < (d(0,009)+o(1))p (6.0) teljesül. (6.19) (6.0)-ból következik, hogy vagyis 1,906 d(0,009), (log ) d(0,009) + log 0, ,009 log 0,009-0,9971 log 0, log 0, (6.1) Ugyanakkor egy kis számolással látható, hogy (6.1) bal oldala kisebb nullánál, ezért a (6.1) egyenlőtlenség nem állhat fenn. Ez az ellentmondás bizonyítja, hogy (6.15) sem áll fenn ezzel kz az alsó korlát bizonyítása is. Emlékeztetünk, hogy egy A F p halmazról akkor mondjuk, hogy k- reducibilis, ha létezik additív, vagy multiplikatív k-felbontása. Persze, ha egy halmaz k-reducibilis, akkor l-reducibilis is, minden 1 < l k számra is. Az alábbi tételben ennek a fordítottját vizsgáljuk. 34
35 6.3 Tétel (K. Gyarmati, A. Sárközy): Legyen p > prím A olyan rzhalmaza F p -nek, amely alakú, ahol ahol r 1, továbbá A = {0, 1} A 0 (6.) A 0 [ p 4, p ), (6.3) A 0 = r j=1 {a j, a j + 1,..., a j }, (6.4) a j > a j, j = 1,,..., r (6.5) a j+1 a j +, j = 1,,..., r 1. (6.6) Ekkor A -reducibilis, de nem 3-reducibilis. Jelöljük G-vel azon halmazok halmazát, melyek a fent leírt alakúak. Ekkor G > p 8 Bizonyítás: Legyen B = {0} ( r j=1 {a j, a j+1,..., a j 1}). Ekkor A = {0, 1} + B egy nem triviális felbontása A-nak. Tegyük fel, hogy A 3-reducibilis, vagyis A = B + C + D (6.7) teljesül, ahol B, C, D B, C, D F p. 0 A (6.7) miatt létezik b B c C d D, hogy 0 = b + c + d. Ekkor B = B {b}, C = C {c}, D = D {d} halmazokra teljesül, hogy A-nak egy nem triviális 3-felbontása A = B + C + D (6.8) 0 B, C, D (6.9) Mivel (6.8) A-nak egy nem triviális 3-felbontása, ezért léteznek nem nulla b B, c C d D elemek. Ekkor (6.8) a b, c, d nem nulla elemekre azt kapjuk, hogy 35
36 {b, c, d, b + c, b + d, c + d, b + c + d } {0, b } + {0, c } + {0, d } B + C + D = A. (6.30) Három esetet különböztetünk meg. 1. eset: Tegyük fel, hogy b, c d közül egyik sem 1. Mivel egyik sem nulla, ezért (6.) (6.3) miatt vagyis b, c, d A \ {0, 1}. p 4 b, c, d < p, p b + c, b + d, c + d < p. (6.31) (6.30) (6.31)-ből kapjuk, hogy b + c, b + d, c + d A [ p, p), de (6.) (6.3) miatt A [ p, p) üres, tehát ellentmondásra jutottunk.. eset: Tegyük fel, hogy b = 1, de c d nem 1. (a többire ugyanígy megy) Ekkor a c -re d -re tett feltétel miatt miatt ezért (6.), (6.3) (6.30) miatt vagyis c, d / {0, 1}, c, d A \ {0, 1} = A 0 [ p 4, p ), p 4 c, d < p, p c + d < p. (6.3) Így (6.30) (6.3) miatt újra kapjuk, hogy c + d A [ p, p), ami megint ellentmondás. 3. eset: Tegyük fel, hogy b, c d közül legalább két darab egyes szerepel, feltehetjük, hogy b = c = 1. Ekkor (6.30) miatt Mivel p > 9, így b + c = A. 36
37 A (1, p 4 ), de (6.) (6.3) miatt A (1, p 4 ) üres, vagyis ellentmondásra jutottunk. Mindhárom esetben ellentmondásra jutottunk, így (6.7) nem állhat fenn, vagyis A nem 3-reducibilis. G > p 8 igazolásához nézzük az összes nem üres E 0 [ p 4, 3p 8 ) F p (6.33) halmazt egy ilyen E 0 halmazt írjunk fel a következőképpen: ahol E 0 = r j=1 {e j, e j + 1,..., e j }, (6.34) e j e j, j = 1,,...r (6.35) e j+1 e j +, j = 1,,...r 1. (6.36) Jelölje H ezen rzhalmazok halmazát. Minden E 0 H halmazhoz konstruálunk egy A 0 = A 0 (E 0 ) halmazt a következő módon. Először az a j a j elemeket definiáljuk j = 1,,...r esetén: a j = e j + (j 1) a j = e j + j, j = 1,,..., r. (6.37) Legyen A 0 = A 0 (E 0 ), mint (6.4)-ben A = A(E 0 ), mint (6.)-ben. Ekkor (6.33), (6.34), (6.35), (6.36) (6.37) miatt (6.4), (6.5) (6.6) teljesül. a A 0 -ra kapjuk, hogy Sőt (6.33)-(6.37)-ből következik, hogy 3p 8 > e r = r j=1 vagyis p > miatt (e r 1 j e j) + r < 1 (3p 8 j=1 a e 1 p 4. (6.38) (e j+1 e j ) + e 1 [ ] p ) (3p így minden a A 0 -ra kapjuk, hogy 37 r 0 + j=1 r 1 + j=1 8 p 3 ) + 1 < p 4 8, [ ] p = (r 1) + 4 [ ] p 4
38 a a r = e r + r < 3p 8 + p 8 = p. (6.39) Ezért (6.3) következik (6.38) (6.39)-ből. Tehát minden A = A(E 0 ) halmaz eleget tesz (6.)-(6.6)-nak, így ők elemei G-nek. Ha E 0 E 0 különböző elemei H-nak akkor A(E 0 ) = A(E 0 ), ezért H = G. H = {n:n N, p 3p 4 n< 8 } 1 p > p 8. Vagyis G > p 8 Ezzel kz a 6.3 tétel bizonyítása. A következő tételben a legnagyobb olyan k számot becsüljük, melyre F p egy adott rzhalmazának létezik k-reducibilis rzhalmaza. Definíció: Ha G egy additív csoport, d N y,x 1, x,...x d G-nek elemei, akkor a H = {y + d ɛ i x i : ɛ i {0, 1}, i = 1,,...d} 6.40 i=1 halmazt d-dimenziós Hilbert kockának nevezzük. 6.4 Lemma: Ha N > N 0, E {1,,..., N} olyan, hogy E N 4 5 (6.41) d = [ 11 log(3n) 10log ], (6.4) log(3n/ E ) akkor létezik d-dimenziós H Hilbert kocka, melyre x i = x j, 1 i < j d H E teljesül. 6.5 Tétel (K. Gyarmati, A. Sárközy): Ha p > p 0 prím, A F p, olyan, hogy A p 4 5 (6.43) k = [ 11 log(3p) 10log ], (6.44) log(3p/ A ) 38
39 akkor A-nak van k-reducibilis B rzhalmaza. Bizonyítás: Az állítás bizonyításához A minden elemét reprezentáljuk a legkisebb pozitív egszel modulo F p. Az így keletkezett halmazt jelöljük A -vel. (6.43) (6.44) miatt alkalmazhatjuk a 6.4 lemmát a p = N, A = E k = d szereposztással. Kapjuk, hogy létezik egy d-dimenziós Hilbert kocka H, melyre H A teljesül. Ha a maradékosztályokat y,x 1, x,...x k jelöli akkor H = {y + k ɛ i x i : ɛ i {0, 1}, i = 1,,...k} A. i=1 Ha B 1 = {y, y + x 1 } B i = {0, x i }, i =,..., k, akkor H = B 1 +B +...+B k A, tehát H egy k-reducibilis rzhalmaza A-nak. A továbbiakban egy B + C = R A F p felbontásban a B C méretét becsüljük. Ehhez először egy lemmát mondunk ki. 6.6 Lemma: Ha D 1, D,...D t rzhalmazai F p -nek D 1 = D =... = D t =, akkor D 1 + D D t min{t + 1, p} Bizonyítás: A Cauchy-Davenport tételből (4.1 tétel) indukcióval következik. 6.7 Következmény: Ha A F p, p k a (6.43) (6.44) feltételeknek eleget tesznek, akkor A-nak létezik egy R reducibilis rzhalmaza, hogy esetén R = B + C (6.45) min{ B, C } [ k ] + 1 (6.46) Bizonyítás: (6.46) a B i halmazok definíciójából következik. A következőkben a célunk, hogy a min{ B, C } számra adjunk pontosabb alsó korlátot. Definíció: Ha a H Hilbert kocka olyan, hogy a d i=1 ɛ ix i (ɛ i {0, 1}, i = 1,,...d) összegek páronként különböznek, vagyis H = {y + d ɛ i x i : ɛ i {0, 1} i = 1,,..., d} = d, i=1 39
40 akkor H-t egy nem-degenerált d-dimenziós Hilbert kockának nevezzük. 6.8 Lemma: Ha N > N 0, E {1,,...N} (6.41) teljesül d-t (6.4) definiálja, akkor létezik egy nem-degenerált d-dimenziós Hilbert kocka E-ben. Bizonyítás: Megtalálható Gyarmati Katalin Sárközy András: On reducible and primitiv subsets of F p, II című cikkében. 6.9 Tétel (K. Gyarmati, A. Sárközy): Ha A F p, p k a (6.43) (6.44) feltételeknek eleget tesznek, akkor A-nak létezik egy R reducibilis rzhalmaza, hogy esetén R = B + C (6.47) min{ B, C } [ k ] (6.48) Bizonyítás: A 6.8 lemma szerint A tartalmaz egy nem-degenerált d-dimenziós Hilbert kockát H = {y + d i=1 ɛ i x i : ɛ i {0, 1} i = 1,,..., d} A (6.49) Ekkor B 1 = {y, y + x }, B i = {0, x i } R = H halmazokra véve a B = B 1 + B B [ k ] C = B [ k ] B k 1 + B k halmazokat kapjuk, hogy (6.47) következik H definíciójából, illetve B C nem-degenerált Hilbert kockák [ k ] k [ k ] [ k ] dimenziókkal, ezért elemszámuk eleget tesz a (6.48) feltételnek. 40
41 7. Kvadratikus maradékok additív felbontása Először bevezetünk néhány jelölt: ha G véges Abel-csoport f, g egy G-ből C-be képező függvény, akkor ( f g)(x) = y G f (y)g(x y), jelölje χ az F p Legendre-szimbólumát, f, g jelöli két komplex függvény skaláris szorzatát, f, 1 = f, g pedig az l norma négyzete. 7.1 Tétel (A. Sárközy, Shkredov): Legyen p prím R F p kvadratikus maradékok halmaza. Ha A + A = R, akkor p = 3 Ha A A = R, akkor p = 3, 7, 13, ahol A A = {a + a : a, a A, a = a } Bizonyítás: Megtalálható Shkredov: Sumsets in quadratic residues című cikkében, itt a terjedelemre való tekintettel nem bizonyítjuk. A következő tételhez kimondunk két lemmát, melyek a bizonyítása megtalálható Shkredov: Sumsets in quadratic residues című cikkében. 7. Lemma: Legyenek g, h : F p C komplex függvények. Ekkor g(x)h(y)χ(x + y) g (p h h ) 1 g h p 1 x,y ((g χ) (h χ))(x) = p(h g) g h. 7.3 Lemma: Legyen c egy egz szám α : G Z egy függvény. Ekkor α α = c x c x α(x) (c 1) x:0<α(x) <c α(x) α(x) + {x : α(x) = k} (k ck) k 7.4 Tétel (C. Bachoc, M. Matolcsi, I. Z. Ruzsa): Legyen p prím, R F p kvadratikus maradékok halmaza, A F p. Ha A A R {0} teljesül akkor: 41
42 illetve p A + A 1, ha A páros p A + A, ha A páratlan Bizonyítás: Legyen A = a legyen ɛ(x) olyan függvény, melyre (A χ)(x) = (a 1)A(x) + ɛ(x), (7.1) ahol ɛ(x) = 0, ha x A. A 7. lemma szerint Sőt ɛ = pa a a(a 1), ɛ = a(a 1). ɛ(x) = R (x A) a (7.) minden x / A elemre. Először legyen a egy páros szám. Ekkor (7.) szerint ɛ(x) értéke minden x-re páros (ɛ(x) = 0, ha x A). A 7.3 lemmát alkalmazva c = -vel kapjuk, hogy vagyis ɛ = pa a a(a 1) a(a 1) p a + a 1 amint állítottuk. Tegyük fel, hogy a páratlan 1-nél nagyobb szám. ɛ(x) = 0 az A halmazon, de a (7.) formula szerint minden más x-re ɛ(x) páratlan. Először belátjuk, hogy létezik olyan x / A, melyre ɛ(x) = 1 teljesül. Ha nem így lenne, akkor (7.1) miatt A, χ = ɛ, χ = pa(0) a (a 1) A, χ (7.3) Eltolással elérhetjük, hogy 0 A teljesüljön így A, χ = a 1. Behelyettesítve (7.3)-ba kapjuk, hogy p = a, ami ellentmondás. Legyen p k = {x F p : ɛ(x) = k}, k Z. Ekkor p 0 = a p l = 0 minden l nem nulla egzre. A 7.3 lemma feltételét c = -re alkalmazva felhasználva, hogy p 1 kisebb p 1 -nél a következőhöz jutunk: ɛ = pa a a(a 1) = ɛ + (k + k)p k a(a 1) p p k = k k = 1,0 más szóval = a(a 1) + 3p 4p 1 3a a(a 1) + p + 3a p a + a 4 + p+ a. Kis számolás után kapjuk, hogy p a + a teljesül, feltéve, hogy a > 1. Ezzel kz a bizonyítás. 4
43 Irodalomjegyzék -Gyarmati Edit, Freud Róbert: Számelmélet -Gyarmati Katalin, Sárközy András: On reducible and primitiv subsets of F p, I -Gyarmati Katalin, Sárközy András: On reducible and primitiv subsets of F p, II -Elekes György: Sums versus products -Noga Alon, Andrew Granville, Adrián Ubis: The number of sumsets in a finite field -Ruzsa Imre: Sumsets and structure -Shkredov: Sumsets in quadratic residues 43
minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
Részletesebben2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
RészletesebbenNEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL
NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL SZAKDOLGOZAT Készítette: Farkas Mariann Matematika BSc Tanári szakirány Témavezető: Pappné Dr. Kovács Katalin, egyetemi docens Algebra és Számelmélet Tanszék Eötvös
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenPolinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós
Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben= 1, azaz kijött, hogy 1 > 1, azaz ellentmondásra jutottunk. Így nem lehet, hogy nem igaz
Egyenlőtlenség : Tegyük fel, hogy valamilyen A,B,C számokra nem teljesül, azaz a bal oldal nagyobb. Mivel ABC =, ha az első szorzótényezőt B-vel, a másodikat C-vel, a harmadikat A-val szorozzuk, azaz az
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenTartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
RészletesebbenSzámelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
Részletesebben1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
RészletesebbenFormális nyelvek - 9.
Formális nyelvek - 9. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Véges
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
RészletesebbenZárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.
Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj
RészletesebbenVizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat
8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenA 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz
RészletesebbenPolinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
Részletesebben3. Feloldható csoportok
3. Feloldható csoportok 3.1. Kommutátor-részcsoport Egy csoport két eleme, a és b felcserélhető, ha ab = ba, vagy átrendezve az egyenlőséget, a 1 b 1 ab = 1. Ezt az [a,b] = a 1 b 1 ab elemet az a és b
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenParaméteres és összetett egyenlôtlenségek
araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenWaldhauser Tamás december 1.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba
RészletesebbenOSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az
RészletesebbenGy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
Részletesebben13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste
13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebbenilletve a n 3 illetve a 2n 5
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
Részletesebbenösszeadjuk 0-t kapunk. Képletben:
814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
Részletesebben6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
Részletesebben1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
RészletesebbenParaméteres és összetett egyenlôtlenségek
araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:
Részletesebbenút hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.
1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenAlgoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
Részletesebben5. Az Algebrai Számelmélet Elemei
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
RészletesebbenAz állítást nem bizonyítjuk, de a létezést a Paley-féle konstrukció mutatja: legyen H a
. Blokkrendszerek Definíció. Egy (H, H), H H halmazrendszer t (v, k, λ)-blokkrendszer, ha H = v, B H : B = k, és H minden t elemű részhalmazát H-nak pontosan λ eleme tartalmazza. H elemeit blokkoknak nevezzük.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
RészletesebbenFonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein
A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás (infinite descent) egy indirekt bizonyítási módszer, ami azon alapul, hogy a természetes számok minden
Részletesebben