Kivont játéklmélt kölsönhtásink ntómiáj Szbó György T EK F Honlp: http://www.nrgi.mt.hu/~szbo/ H-55 Budpst POB. 49 Hungry tomoktól sillgokig ETE Budpst 7.. 6. - Evolúiós játéklmélt és izik kpsolt - Párkölsönhtás és mátriok - Koordinátrndszr lorgtás (új bázisvktorok és bázismátriok) -kttő- három- és n-strtégiás játékok komponnskr bontás - Összgzés: négy lmi játék tuljdonsági Jvsolt irodlom (honlpról ltölthtő): Phys. Rp. 64 (6) -6 PRE 9 (5) 8 PRE 95 (7) 3 Társk: Borsos István Király Blázs Bodó King Hódsági Kristó Bunth Grgly.
Kétstrtégiás volúiós játéklmélti modllk játékosok gy négyztrás pontjin vnnk (priodikus htárltétl N ) z kvivlns játékosok két lhtségs strtégi vlmlyikét hsználják zz s vgy és tljs rndszr állpot : S (s s Játéklmélti modllk Fiziki modllk Játékos: bktérium (mutáns vgy nm mutáns) kristálylült: tom vgy ürs élőlény (rgdozó vgy zsákmány) spin: vgy mbr (tisztsségs vgy élősködő) émhidrogén: H vgy ürs z játékos hszn (vgy iziki rndszr nrgiáj) s -től és szomszédoktól ügg: N ) U 4 δ s s δ hol b d nyrménymátri. potniáljátékoknál létzik gy V(S) potniál mink változás z s s strtégiváltásnál mggyzik z játékos nyrményénk változásávl zz V ~ (S ) V ~ (S) 4 δ s s 4 δ s δ s δ
Kétstrtégiás volúiós játéklmélti modll (olyttás) H nyrménymátri szimmtrikus (b vgy T ) kkor V ~ (S) s Vs hol párkölsönhtás potniálmátri: V δ δ V potniálmátri és zzl gyütt tljs rndszr potniálj zonbn kkor is létzht h T. Ezn potniáljátékoknál rndszr mimális potniál értékét gy olyn kitűntttt Nsh-gynsúlyi állpotbn éri l mi mgll iziki rndszrk lpállpotánk. H potniáljátékoknál z volúiós olymtot gy olyn (logit) olymt sorozt szbályozz minél véltlnül válsztott játékos strtégiáját s -ről s -r változttj w(s s ) p[u (s' ) / K] p[u (s ) / K] s vlószínűséggl (K zj rősség) kkor rndszr Boltzmnn-loszlásb jlődik zz z S állpot vlószínűség: Z ( ) p(v ~ (S)/ K) hol Z p S Kövtkzmény: trmodinmiki vislkdés s p(v ~ (S)/ K) Például: sim sim sim3 sim5 sim6
Koordinátrndszr Péld: kétdimnziós vktor tér z r(y) vktor grikus mgjlnítés z r(y) vktort líthtjuk ortogonális bázisvktorok összgként: r hol y y () Sklárszorzt(ok): () y() és y () r r y y (y) () (y) () y y y () () () () () () és
Koordinát rndszr lorgtás Φ szöggl z új bázisvktorok: u (osφsin Φ) és mibn r u u v v v ( sin ΦosΦ) z u és v komponnsk értékét sklárszorztok diniálják: u r v r u u v v u v u v (y) (osφsin Φ) (y) ( sin ΦosΦ) os os Φ sin Φ sin Φ és Φ és y bázisvktorok és gyütthtóik jlntés h ɸ45 o u () és v y y ( ) ill. r () ( ) számpár hlytt zok átlgát és különbségét hsználjuk jllmzésbn.
Kétstrtégiás játék lmi össztvői kölsönhtást z mátri írj l mi össztvőkr bonthtó. Például Egy másik lhtőség (koordinátrndszr lorgtás négydimnziós prmétrtérbn): d b d b Ezk z ortogonális lmi mátriok (játékok) didikus szorztként is értlmzhtők: második és hrmdik komponnst hlyttsíthtjük z lábbi két lmi játékkl hol két lmi vktor ortogonális gymásr mrt 4 d b 4 d b 4 d b 4 d b d b ( ) ( ) ( ) ( ) és
z új ortogonális bázisvktorok (bázismátriok) mlltt mgllő gyütthtók érték: (p) (p) αp hol αp és B (p) (p) p bázismátriok áltl diniált lmi játékok: Konstns járulék (irrlváns tg) V Koordináiós játék Játék mikor nyrményünk sk önmgunktól ügg i j ij B ij V Játék mikor nyrményünk sk másiktól ügg V Igzi kölsönhtást sk koordináiós játék képvisl. V T Ez viszont lht vonzó (kordináiós játék) vgy tszító (nti-koordináiós játék) jllgű Kövtkzmény: -s játékok potniáljátékok és lképzhtők z Ising-modllr Sokrészskés iziki modllk részhlmz z volúiós játéklméltbn
Hsonló módon bonthtó komponnsk (lmi játékok) összgér mindn szimmtrikus n-strtégiás mátrijáték n strtégi stébn γ p p (p) hol p K n Kérdés: Hogyn válsszunk hsznos lmi játékokt zz gy ortogonális (vgy nm-ortogonális d tljs) bázis mátri hlmzt? Cél: áthtóvá tnni jllgébn zonos illtv különböző kölsönhtásokt htőségk: - Fourir komponnskr bontás - didikus szorztr bontás - gyéb diszkrét sorjtésk - szimmtriák mgjlnítés (kár z ortogonlitás ldásávl)
szimmtrikus 33-s (nn-s) mátrijátékok gy lhtségs ortonormált bázis: j i ij (l) (k) (kl) d és d : szorzt didikus hol p(kl) és kl n (k) lht hgyományos Crtsin koordinátrndszr k-dik bázisvktor zz n3-nál gy élszrű válsztás: ) ( kkor () () () (3) () () (kl) (kl) (kl) kl () () () () () () (3) () () ) ( ) ( kkor γ
Tipikus kölsönhtások 33-s mátrijátékoknál: ) Irrlváns tg ( átlgnyrmény ): potniál: V (v) (v) () () () () (v) és γ ) Játék társüggő nyrménnyl: V (r) α α α3 (r) () () (3) γ γ γ3 α α α3 α α α3 n i j ij ) Játék önüggő nyrménnyl. potniál: V (sl) (sl) (sl)t (sl ) γ () γ () γ 3 (3) Nins igzi párkölsönhtás ugynkkor mindgyik potniáljáték. (v) rész (r) -nk és (sl) -nk is. Emitt zk gyütt gy 5-dimnziós ltrt lkotnk ( α α α3 3) d i α i i 3 i 3 3
Tipikus kölsönhtások 33-s mátrijátékoknál (olyttás) mrdék bázismátriok didikus lkj: mindgyiknk idtrtozik trnszponáltj is Ezn párokból képzhtünk szimmtrikus: és ntiszimmtrikus bázismátriokt: 3) szimmtrikus össztvők lkotják koordináiós játékokt (kl) (lk) (k) (l) (l) (k) (k) (l) (l) (k) [ ] [ ] (k) (l) (l) (k) kl > δ (oor) γ () γ 33 δ 3 ( γ (33) 3 γ 3 δ )[ 3 (3) (3) ] δ δ δ δ3 3 δ δ δ δ 3 3 δ δ δ 3 3 3 δ 3 Tuljdonságok: mátri szimmtrikus potniál: V (oor) (oor) mátri mindn sorábn és oszlopábn z lmk összg null (z biztosítj z ortogonlitást z ön- és társüggő komponnskr) lmi komponns koordináiós kölsönhtás gy strtégipár között 3 strtégipár ill. 3 ilyn lmi koordináiós játék létzik
szimmtrikus nyrménymátri kövtkzményi Ekkor T d mindn mátri lbonthtó gy szimmtrikus és gy ntiszimmtrikus mátri összgér: Kövtkzményk: két játékos nyrmény zonos > gyéni érdk közösségi érdk V (s) (s) T T ( ) ( ) nins társdlmi dilmm h m(v ij ) i*j* kkor z (i*j*) strtégipár gy kitűntttt Nsh gynsúly mi zonos iziki rndszrk lpállpotávl h i*j* kkor mindnki z i* strtégiát válsztj > homogén (rndztt) lpállpot h i* j* kkor két kvivlns lrásrndztt lpállpot [(i*j*) vgy (j*i*)] vgy rusztráió sokszrplős rndszrkbn logit szbály > Boltzmnn-loszlás > trmodinmiki vislkdés
Tipikus kölsönhtások 33-s mátrijátékoknál (olyttás II) Egy ntiszimmtrikus bázismátri: 4) Ciklikus dominni Kő-ppír-olló játék Tuljdonságok: mátri ntiszimmtrikus: (yl) - (yl)t (zérusösszgű játék) nyrményk összg null mindn sorbn és oszlopbn (mitt ortogonális (yl) mindhárom lőző össztvőr nm létzik potniál mrt KP OP OK PK PO KO KP váltások során z ktív játékos mindig nyr. () (3) (3) () [ ] - kvrt Nsh gynsúly > sok strtégi gyüttlétzés (biodivrzitás) (yl) z komponns mgkdályozz trmodinmiki vislkdést n3-nál sk gy ilyn iklikus komponns létzik Ez bázismátri gy iklikus irányított grá szomszédsági mátri - (yl) : dominni irány llntéts Összsítv: (r) (sl ) (v) (oor) (yl) és nins potniál h (yl)
Szimmtrikus háromstrtégiás mátrijáték ntiszimmtrikus össztvői [ ] b b b T Grá rprzntáióbn: mrőlgs bázismátriok/gráok [ ] ε h h h 3 T z ön-és társüggő illtv iklikus komponnsk gyütts járulék: (h h h 3 ) 3 hirrhikus össztvő közül sk kttő üggtln! hirhikus komponnsk okozhtják társdlmi dilmmákt. z lső hirrhikus tg z () strtégipár válsztását diktálj mrt V ) (h
Szimmtrikus n-strtégiás mátrijáték lmi komponnsi Négyél kölsönhtás típus lináris kombináiój: Koordináiós kölsönhtás létzht n(n-)/ strtégipár között. Ezk z össztvők nm mrőlgsk gymásr d üggtlnk zz lináris kombináióik mgdják z össz lhtségs koordináiós játékot. (yl) (oor) (v) ) (sl (r) α α α α α α α α α (v) (v) n n n ) (sl n n n (r) O O O hol O O O δ δ δ 3 3 (oor)
Függtln iklikus össztvők szimmtrikus n-strtégiás mátrijátékbn Grá rprzntáióbn: z -s és bármlyik j>i> strtégihárms kő-ppír-olló játék Ez 3 grá diniálj z n4 st iklikus össztvőit Összsn (n-)(n-)/ ilyn háromstrtégiás kő-ppír-olló játék létzik. Ezk z össztvők nm mrőlgsk gymásr d üggtlnk zz lináris kombináióik mgdják z össz lhtségs irányított hurkot. (Kirhho törvény) Például:
Függtln hirrhikus össztvők szimmtrikus n-strtégiás mátrijátékbn Grá rprzntáióbn: z i-dik strtégi urlj z összs többit Nins kivétlzés: z urlkodó strtégi mindnki mástól zonos összgt vsz l. n ilyn össztvő létzik d zk összg null zz nm üggtlnk gymástól. Bármlyik (n-) össztvő zonbn kiszíti hirrhikus dominni prmétr-ltrt. átri rprzntáióbn z lső össztvő: és így tovább V (h) (h) O O O O Ez tg z gyéni érdkn krsztül hjtj játékosokt z () válsztásár nyrménnyl még kkor is h többi komponns lpján játékosok másik strtégipárt (i*j*) válsztnánk. Ez társdlmi dilmmák hjtórj ( potniáljátékokon blül)!
Kölsönhtások összonódás iklikus komponnsknél láttuk hogy bármilyn irányított hurok (vgy zok összg) összrkhtó olyn irányított háromszögkből mlyknk vn gy közös sús. közös sús lht grá bármlyik pontj. Kövtkzmény - h rndszrbn vn gy kő-ppír-olló komponns kkor sok ilyn vn (n>3); - h viszont gy üggtln bázisrndszr összs komponns hiányzik kkor (yl) stb. H nyrménymátri gytln (nmdigonális) komponnsét változttjuk kkor változik mgllő ntiszimmtrikus komponns is mi mg után vonj hirhikus és sok iklikus komponns változását. Grá rprzntáióbn:
négyél kölsönhtás dimnziój n strtégiánál.) Játékok mikor nyrménym sk másiktól ügg: n bázismátri n prmétr.) Játékok mikor nyrménym sk tőlm ügg: n bázismátri n prmétr d gy dimnzió közös z lőzővl 3.) Koordináiós kölsönhtás dimnzió: n(n-)/ (különböző strtégipárok szám) 4.) Ciklikus dominni dimnzió: (n-)(n-)/ z szám zonos Kirhho törvénykből szármztthtó üggtln és lénygs (nm triviálisn ltűnő) hurkok számávl n: nins iklikus dominni ( szimmtrikus játékoknál) n3: kő-ppír-olló játék képvisli z gytln dimnziót n4: 3 üggtln kő-ppír-olló
négyél kölsönhtás kövtkzmény térbli rndszrkbn n strtégiánál Játékok társüggő nyrménnyl: mindnki véltlnül válszt strtégiát Játékok önüggő nyrménnyl: lég gy játékos mgtrtását kiszámítni mrt többi ugynúgy vislkdik Koordináiós kölsönhtás: gy koordináiós vgy ntikoordináiós pár: Ising modll smlgs strtégiákkl több koordináiós komponns: rndztt-rndztln átmnt Potniáljáték: (z lőző három lináris kombináiój) mindig vn lglább gy tiszt Nsh gynsúly létzik gy lpállpotnk mgllő Nsh gynsúly [m(v ij ) htározz mg] rndztt-rndztln átmnt h logit szbálynál nő zj trmodinmiki vislkdés z ntiszimmtrikus hirhikus össztvő társdlmi dilmmát rdményzht z hiányzik iziki (részskékből álló) rndszrkbn sim
négyél kölsönhtás kövtkzmény (olyttás) Ciklikus dominni: mgkdályozz potniál létzését és trmodinmiki vislkdést áltlábn kvrt Nsh-gynsúly > sokélség mgőrzés biodivrzitás önszrvző mintáztok (élő rndszrk) sim Újdonságok iziki rndszrkhz képst: társdlmi dilmmák ( hirrhikus össztvők okozhtják) élő rndszrkr jllmző önszrvződés és sokélség mgőrzés Köszönöm igylmt