Bevezetés a számításelméletbe II. 1. zh,

Átírás

1 Bvztés számításlmélt II. 1. zh, Kukutyinn rnszámok ht krktr l állnk, minn krktr z ngol áéé 26 t jénk vlmlyik vgy gy 0 és 9 közti számjgy. Három krktrnk t nk, háromnk pig számnk kll lnni, zn kívül z gytln kikötés, hogy h három t áll gymás mlltt, kkor zok nm lhtnk gyormák (jó rnszám pélául 37AAG1, nm jó ABCD85 és 35HHH2). Hányél rnszám htó mg Kukutyinn? (A végrmény számszr értékét nm kll mgni, zonn mgolásól ki kll rüljön, hogy hogyn lhtn zt kiszámolni gy olyn számológéppl, mly sk négy lpm vltt ismri.) 2. Egy 100 súsú összügg, gyszr gránk 102 él vn. Mutssuk mg, hogy kkor vn grán 3 páronként különöz kör. (Két kör kkor különöz, h nm pontosn ugynzon élk lkotják.) 3. Egy 100 súsú G összügg grá élit z 1 és 2 súlyokkl súlyoztuk úgy, hogy z 1 súlyú élk részgráj (vgyis z grá, mlynk súsi zonosk G súsivl, sk G 1 súlyú élit trtlmzz) 7 komponns l áll. Htározzuk mg G gy minimális összsúlyú szít ájánk súlyát. 4. Döntsük l, hogy z lái grá síkrjzolhtó-. g h 5. Döntsük l, hogy z lái gránk vn- Hmilton-kör, illtv Hmilton-útj. 6*. Egy 20 súsú gyszr grán minn sús ok 8. Mutssuk mg, hogy grához hozzá lht vnni pontosn 20 élt úgy, hogy kpott grá gyszr mrjon és lgyn Eulr-körsétáj. Minn lt 10 pontot ér, lértv sillgos ltot is. A sillgos ltért kpott pontok ugynúgy számítnk zh pontszámá, mint töi ltért kpott pontok. Részn hlys vgy nm tljs mgolásokért részpontszám htó, inoklás nélküli rményközlésért nm jár pont. A olgoztr minnki írj rá nvét, Nptun-kóját és gykorltvzt jénk nvét. Jó munkát!

2 Bvztés számításlmélt II. 2. zh, Egy gyszr grán pontosn gy pártln kör vn. Htározzuk mg grá kromtikus számát. 2. Egy 8 súsú tljs gráól töröljük gy 6 súsú kör élit. Htározzuk mg kpott grá kromtikus számát. 3. Egy páros grán két pontosztály lgyn A = { 1, 2,..., 8 } és B = { 1, 2,..., 8 } Minn 1 i 8 és 1 j 8 stén i kkor lgyn szomszéos j -vl, h jor lát htó mátrix i-ik soránk és j-ik oszlopánk krsztz ésén álló lm 1-s. Ajunk mg grán gy mximális párosítást és gy minimális logó súshlmzt A VIK-s gólyálon 12 lány és 198 ú vsz részt. A szrvz k így 12 (úlány) párt szrtnénk összállítni nyitótánhoz úgy, hogy minnki ismr ssl tánoljon. Minn lány lglá 11 út ismr, úk közül viszont minnki lglj 11 lányt ismr (z ismrtségk kölsönösk). Biztosn össz tuják- állítni szrvz k 12 párt? 5. Ajunk mg z lái hálóztn gy mximális olymot és gy minimális s-t vágást. s (16) (16) (10) (13) (4) (2) (8) (6) (10) (7) (18) (16) t 6*. Egy 10 súsú gyszr gránk 40 él vn. Htározzuk mg lgngyo olyn k számot, mlyr grá iztosn k-szorosn pontösszügg. Minn lt 10 pontot ér, lértv sillgos ltot is. A sillgos ltért kpott pontok ugynúgy számítnk zh pontszámá, mint töi ltért kpott pontok. Részn hlys vgy nm tljs mgolásokért részpontszám htó, inoklás nélküli rményközlésért nm jár pont. A olgoztr minnki írj rá nvét, Nptun-kóját és gykorltvzt jénk nvét. Jó munkát!

3 Bvztés számításlmélt II. pótzárthlyi ELSŽ zh pótlás, Kukutyinn rnszámok ht krktr l állnk, minn krktr z ngol áéé 26 t jénk vlmlyik vgy gy 0 és 9 közti számjgy. Az Y t lglj gyszr szrplht rnszámn, zn kívül más kikötés nins. Hányél rnszám htó mg Kukutyinn? (A végrmény számszr értékét nm kll mgni, zonn mgolásól ki kll rüljön, hogy hogyn lhtn zt kiszámolni gy olyn számológéppl, mly sk négy lpm vltt ismri.) 2. Egy 100 súsú összügg, gyszr gránk 100 él vn. Mutssuk mg, hogy kkor vn grán 3 páronként különöz szít. (Két szít kkor különöz, h nm pontosn ugynzon élk lkotják.) 3. Döntsük l, hogy z lái grá síkrjzolhtó-. g h i 4. Egy 20 súsú gyszr grán minn sús ok 6. Mutssuk mg, hogy grához hozzá lht vnni pontosn gy élt úgy, hogy kpott grá gyszr mrjon és lgyn Eulr-sétáj. 5. Döntsük l, hogy z lái gránk vn- Hmilton-kör, illtv Hmilton-útj. 6*. Egy húsz súsú, gyszr grán minn ok lglá 9. Mutssuk mg, hogy grához hozzá lht vnni gy élt úgy, hogy kpott gránk lgyn Hmilton-útj. Minn lt 10 pontot ér, lértv sillgos ltot is. A sillgos ltért kpott pontok ugynúgy számítnk zh pontszámá, mint töi ltért kpott pontok. Részn hlys vgy nm tljs mgolásokért részpontszám htó, inoklás nélküli rményközlésért nm jár pont. A olgoztr minnki írj rá nvét, Nptun-kóját és gykorltvzt jénk nvét. Jó munkát!

4 Bvztés számításlmélt II. pótzárthlyi MÁSODIK zh pótlás, Egy 99 súsú gyszr grán két sús ok 3, töi sús ok 4. Mutssuk mg, hogy gránk vn pártln kör. 2. Egy 8 súsú tljs gráól töröljük két pontiszjunkt 3 súsú kör élit. Htározzuk mg kpott grá kromtikus számát. 3. Az 5 súsú tljs grá gy élét mguplázzuk (vgyis z élt két párhuzmos élll hlyttsítjük). Htározzuk mg kpott grá élkromtikus számát. 4. Döntsük l, hogy z lái grá intrvllumgrá-. 5. Ajunk mg gy minimális logó ponthlmzt z lái grán. i g h 6* n VIK-s gólyálon 601 lány és 601 ú vsz részt, minnkink lglá 300 llnkz nm ismr s vn (z ismrtségk kölsönösk). Biztosn össz lht- állítni 601 olyn ú-lány párt, hol párok tgji ismr sök? Minn lt 10 pontot ér, lértv sillgos ltot is. A sillgos ltért kpott pontok ugynúgy számítnk zh pontszámá, mint töi ltért kpott pontok. Részn hlys vgy nm tljs mgolásokért részpontszám htó, inoklás nélküli rményközlésért nm jár pont. A olgoztr minnki írj rá nvét, Nptun-kóját és gykorltvzt jénk nvét. Jó munkát!

5 Bvztés számításlmélt II. láíráspótló vizsg ELSŽ zh pótlás, Hány olyn hétjgy szám vn, mlyn nyols számjgy pontosn háromszor orul l? (A végrmény számszr értékét nm kll mgni, zonn mgolásól ki kll rüljön, hogy hogyn lhtn zt kiszámolni gy olyn számológéppl, mly sk négy lpm vltt ismri.) 2. Egy 23 súsú gyszr grán minn sús ok lglá 7. Mutssuk mg, hogy árhogy válsztunk ki grá súsi közül hármt, lsz köztük két olyn, mlyk között vn grán út. 3. Egy tíz súsú, gyszr, összügg, élsúlyozott grán három él súly 1, négy él súly 2, töi él súly 3. Mutssuk mg, hogy gránk vn olyn szít áj, mlynk súly lglj Döntsük l, hogy z lái grá síkrjzolhtó-. g h 5. Lglá hány élt kll z lái grához hozzávnni, hogy kpott grá gyszr mrjon és lgyn Eulr-körsétáj? 6*. Egy húsz súsú, gyszr grán és komplmntrén gyütt is sk kétél okszám orul l. Tujuk még, hogy grán tíznél kis okú súsok klikkt lkotnk. Mutssuk mg, hogy gránk vn Hmilton-útj. Minn lt 10 pontot ér, lértv sillgos ltot is. A sillgos ltért kpott pontok ugynúgy számítnk zh pontszámá, mint töi ltért kpott pontok. Részn hlys vgy nm tljs mgolásokért részpontszám htó, inoklás nélküli rményközlésért nm jár pont. A olgoztr minnki írj rá nvét, Nptun-kóját és gykorltvzt jénk nvét. Jó munkát!

6 Bvztés számításlmélt II. láíráspótló vizsg MÁSODIK zh pótlás, Egy 10 súsú tljs gráól töröljük két olyn 3 súsú kör élit, mlyknk pontosn gy közös sús vn. Htározzuk mg kpott grá kromtikus számát. 2. Az 5 súsú tljs grá gy 5 hosszú körénk minn élét mguplázzuk (vgyis z élkt két párhuzmos élll hlyttsítjük). Htározzuk mg kpott grá élkromtikus számát. 3. Döntsük l, hogy z lái grá intrvllumgrá-. g 4. Ajunk mg gy mximális párosítást z lái grán. g i h j k 5. A 6 súsú tljs gráól törlünk két nm stlkozó élt. Htározzuk mg zt lgngyo k számot, mlyr kpott grá k-szorosn élösszügg. 6*. Egy 99 súsú gyszr grán minn sús ok pontosn 6. Mutssuk mg, hogy gránk lglá két pártln kör vn. Minn lt 10 pontot ér, lértv sillgos ltot is. A sillgos ltért kpott pontok ugynúgy számítnk zh pontszámá, mint töi ltért kpott pontok. Részn hlys vgy nm tljs mgolásokért részpontszám htó, inoklás nélküli rményközlésért nm jár pont. A olgoztr minnki írj rá nvét, Nptun-kóját és gykorltvzt jénk nvét. Jó munkát!

7 Áltlános lplvk. Bvztés számításlmélt I. Zárthlyi ltok pontozási útmuttó márius 16. A pontozási útmuttó élj, hogy jvítók olgoztokt gységsn értékljék. Ezért z útmuttó minn lt (lglá gy lhtségs) mgolásánk gonoltit és z zkhz rnlt részpontszámokt közli. Az útmuttónk nm élj ltok tljs érték mgolásánk részlts lírás; lírt lépésk gy mximális pontszámot ér mgolás vázltánk tkintht k. Az útmuttón ltüntttt részpontszámok sk kkor járnk mgolónk, h kpsolóó gonolt gy áttkintht, világosn lírt és mginokolt mgolás gy lépésként szrpl olgoztn. Így pélául z nygn szrpl ismrtk, níiók, tétlk puszt lírás zok lklmzás nélkül nm ér pontot (még kkor sm, h gyéként vlmlyik lírt tény mgolásn vlón szrphz jut). Annk mérlglés, hogy z útmuttón ltüntttt pontszám ntik gylmvétlévl mgolónk (részn vgy gészén) jár-, tljs mértékn jvító htáskör. Részpontszám jár minn olyn ötltért, részmgolásért, mly l olgoztn lírt gonoltmnt lklms kigészítésévl lt hiátln mgolás voln kphtó. Az útmuttón szrpl részpontszámok szükség stén tová is oszthtók. Az útmuttón lírttól ltér jó mgolás trmésztsn mximális pontot ér. Minn lt 10 pontot ér. A vizsgjgy olgozt pontszám számít l, így olgoztokr osztályztot nm unk. 1. Kukutyinn rnszámok ht krktr l állnk, minn krktr z ngol áéé 26 t jénk vlmlyik vgy gy 0 és 9 közti számjgy. Három krktrnk t nk, háromnk pig számnk kll lnni, zn kívül z gytln kikötés, hogy h három t áll gymás mlltt, kkor zok nm lhtnk gyormák (jó rnszám pélául 37AAG1, nm jó ABCD85 és 35HHH2). Hányél rnszám htó mg Kukutyinn? (A végrmény számszr értékét nm kll mgni, zonn mgolásól ki kll rüljön, hogy hogyn lhtn zt kiszámolni gy olyn számológéppl, mly sk négy lpm vltt ismri.) Döntsük l l ször, hogy mlyik hlyr krül szám és mlyikr t. Ez ( ) 6 3 = = 20 móon lhtségs, hiszn ht hly közül válsztjuk zt hármt, hov (monjuk) t krül. E l 20 lrnzés l 4 olyn, mlyn három t gymás mlltt áll (1,2,3,; 2,3,4; 3,4,5; 4,5,6 hlyk). A mrék 16 lrnzés stén továi kikötés nins, vgyis minn t t 26-, minn számot 10- élképp válszthtunk. Az l áson tnultk szrint, vgy józn szünkt hsználv z összsn lht ségt jlnt. A 4 kllmtln lrnzés stén nm lht három t zonos, t k thát ( )- élképp válszthtók, hiszn z összs lht ségk szám 26 3, három gyorm t t pig 26- élképp válszthtjuk. A számok kkor is élképp válszthtók, n z stn thát összsségén 4 ( ) 10 3 lht ségk szám. Ahhoz, hogy végrményt mgkpjuk, két stn (vn, illtv nins gymás mlltt három t ) kpott lht ségk számát össz kll ni, hiszn két st közül pontosn z gyik kövtkzik. A végrmény thát ( ) Aki inomiális gyütthtó kiszámításáról smmit nm ír, ttól vonjunk l 1 pontot, nm kll viszont lvonni körmlés részltink (pl = ) lhgyásáért. 2. Egy 100 súsú összügg, gyszr gránk 102 él vn. Mutssuk mg, hogy kkor vn grán 3 páronként különöz kör. (Két kör kkor különöz, h nm pontosn ugynzon élk lkotják.) 1

8 Mivl grá összügg, vn szít áj, lgyn gy ilyn F. F 100 súsú, thát 99 él vn. Lgynk grá F -n nm szrpl éli 1, 2, 3. Ekkor z F -hz i -t hozzávév összügg, 100 él gráot kpunk, mlyn tnultk szrint kll lgyn kör. Mivl i nm él F -nk, z F + i grá körén nm szrpl j, h i j, így z F + 1, F + 2, F + 3 gráokn kpott körök különöz k, mivl ltot mgolottuk. 3. Egy 100 súsú G összügg grá élit z 1 és 2 súlyokkl súlyoztuk úgy, hogy z 1 súlyú élk részgráj (vgyis z grá, mlynk súsi zonosk G súsivl, sk G 1 súlyú élit trtlmzz) 7 komponns l áll. Htározzuk mg G gy minimális összsúlyú szít ájánk súlyát. Els mgolás. A Kruskl-lgoritmus minimális összsúlyú szít át tlál, zt ogjuk hsználni. Az lgoritmus minig z gyik lgkis súlyú olyn élt vszi á, mi már vttkkl nm lkot kört. Ezért G stén ig og 1 súlyú élkt vnni, míg létzik két olyn sús, mik ktuálisn különöz komponnsn vnnk és 1 súlyú él köti össz kt. Amíg vtt 1 súlyú élk 7-nél tö komponnst lkotnk, lsz ilyn él, vgyis z lgoritmus z 1 súlyú élk áltl lkotott részgrá komponnsink gy-gy (1 súlyú élk l álló) szít áját tlálj mg utás zon szkszán, mikor 1 súlyú élkt vsz (zt is mg lht monni, hogy z hány lépést jlnt: 93-t, zt zn ponton nm muszáj tuni). A továikn z lgoritmus 2 súlyú élkt og vnni, mégpig 6 rot (hiszn nnyi kll hhoz, hogy z ktuálisn 7 komponns l álló r l lgyn). A szít ánk 99 él vn, mi l 6 súly 2, töié 1, így z összsúly 105. Másoik mgolás. A szít (is) sk 1 és 2 súlyú élk l állht, 2 súlyú él l pig lglá 6 rr vn szükség, hiszn z összs 1-s élt lhsználv is 7 komponnst kpunk, thát ármly szít súly lglá = 105. Másrészt 6 r 2 súlyú élll tuunk szít át gyártni. Vgyük l ször z 1 súlyú élk komponnsink gy-gy szít áját. Mivl z rti grá összügg, z l áson tnultk szrint zt 7 komponns r t ki tujuk gészítni ává és hhz 6 élr lsz szükség. Az így kpott 99 él és lglj (igzáól pontosn) 6 r 2 súlyú élt trtlmz, thát súly lglj 105. Ezk lpján minimális összúlyú szít súly pontosn Döntsük l, hogy z lái grá síkrjzolhtó-. g h A grá nm síkrjzolhtó, mrt vn olyn részgráj, mi topologikusn izomor K 3,3 grál. Az,, súsok lkotják K 3,3 gyik osztályát,,, g súsok másikt. Az és g közti összkötttés h súson krsztül, és súsok közti összkötttés súson krsztül vlósul mg ( töi 2

9 összkötttés közvtln). (10 pont) H vlki tuj, hogy mit kén krsni, (próálkozások llnér) nm tlálj, kkor (min ségt l ügg n) 1-3 pontot kpjon. Aki mgállpítj, hogy K 5 -öt nm érms krsni, z plusz 2 pontot kpht. Aki zt gyli mg, hogy h súsot lvév és z g élt grá rkv olyn gráot kpunk, mi pontosn kkor síkrjzolhtó, h z rti is z volt, szintén kpht 2 plusz pontot. Ennk vlmivl gyngé vrziójáért, miszrint h sús iztosn nm lsz K 3,3 súsi közt, szintén járht 1 plusz pont. 5. Döntsük l, hogy z lái gránk vn- Hmilton-kör, illtv Hmilton-útj. Hmilton-útj vn gránk, gy ilyn mgásáért 2 pont jár. Hmilton-kör viszont nins, mrt 4 r 5 okú súsot lhgyv grá 5 komponnsr sik szét, vgyis grá nm tljsíti z l áson tnult szükségs ltétlt. (8 pont) Máshogy is mg lht inokolni, hogy gránk nins Hmilton-kör, trmésztsn z is 8 pontot ér (h jó). Aki tuj, hogy mit kén krsni, (próálkozások llnér) nm tlálj, z (min ségt l ügg n) 1-3 pontot kpjon. 6*. Egy 20 súsú gyszr grán minn sús ok 8. Mutssuk mg, hogy grához hozzá lht vnni pontosn 20 élt úgy, hogy kpott grá gyszr mrjon és lgyn Eulr-körsétáj. A grá komplmntrén minn sús ok 11. A komplmntrr így tljsül Dir-tétl ltétl, vgyis hogy minn sús ok lglá súsok számánk l. Mivl komplmntr gyszr grá is, így Dir-tétl szrint vn Hmilton-kör. E körnk gytln él sm szrpl z rti grán, vgyis zkt grához vév gyszr gráot kpunk, mlyn minn sús ok ktt vl ngyo z rtinél, zz 10. A kpott grán minn ok páros és grá összügg (hiszn trtlmz Hmilton-kört, mit épp most rktunk l), így tnult tétl szrint vn Eulr-körsétáj. 3

10 Bvztés számításlmélt I. Zárthlyi ltok pontozási útmuttó április 20. Áltlános lplvk. A pontozási útmuttó élj, hogy jvítók olgoztokt gységsn értékljék. Ezért z útmuttó minn lt (lglá gy lhtségs) mgolásánk gonoltit és z zkhz rnlt részpontszámokt közli. Az útmuttónk nm élj ltok tljs érték mgolásánk részlts lírás; lírt lépésk gy mximális pontszámot ér mgolás vázltánk tkintht k. Az útmuttón ltüntttt részpontszámok sk kkor járnk mgolónk, h kpsolóó gonolt gy áttkintht, világosn lírt és mginokolt mgolás gy lépésként szrpl olgoztn. Így pélául z nygn szrpl ismrtk, níiók, tétlk puszt lírás zok lklmzás nélkül nm ér pontot (még kkor sm, h gyéként vlmlyik lírt tény mgolásn vlón szrphz jut). Annk mérlglés, hogy z útmuttón ltüntttt pontszám ntik gylmvétlévl mgolónk (részn vgy gészén) jár-, tljs mértékn jvító htáskör. Részpontszám jár minn olyn ötltért, részmgolásért, mly l olgoztn lírt gonoltmnt lklms kigészítésévl lt hiátln mgolás voln kphtó. Az útmuttón szrpl részpontszámok szükség stén tová is oszthtók. Az útmuttón lírttól ltér jó mgolás trmésztsn mximális pontot ér. Minn lt 10 pontot ér. A vizsgjgy olgozt pontszám számít l, így olgoztokr osztályztot nm unk. 1. Egy gyszr grán pontosn gy pártln kör vn. Htározzuk mg grá kromtikus számát. Mivl grán (nvzzük G-nk) vn pártln kör, nm lht páros grá, kromtikus szám thát lglá 3. Hgyjunk l pártln kör l gy élt és nvzzük kpott gráot H-nk. H-n már nins pártln kör, zért páros grá, vgyis kromtikus szám lglj 2. Tkintsük H-nk gy jó 2-színzését és tgyük vissz z élt, mj színzzük át gyik végpontját gy hrmik, új színr. Így G-nk gy jó színzését kpjuk, vgyis G kromtikus szám lglj 3. A kpott két slés l óik, hogy G kromtikus szám pontosn Egy 8 súsú tljs gráól töröljük gy 6 súsú kör élit. Htározzuk mg kpott grá kromtikus számát. Lgynk 6 súsú kör súsi sorn,,,,,, grá mrék két sús g és h. Ekkor z,, élk gyik sm szrpl G-n, így jó színzést kpunk, h z és súsokt 1-sr, és súsokt 2-sr, z és súsokt 3-sr, g-t 4-sr, h-t pig 5-ösr színzzük. A grá kromtikus szám thát lglj 5. Az,,, g, h súsok gy 5 súsú klikkt lkotnk grán, honnn kövtkzik, hogy kromtikus szám lglá 5. A két slés l óik, hogy kromtikus szám pontosn 5. 1

11 3. Egy páros grán két pontosztály lgyn A = { 1, 2,..., 8 } és B = { 1, 2,..., 8 }. Minn 1 i 8 és 1 j 8 stén i kkor lgyn szomszéos j -vl, h jor láthtó mátrix i- ik soránk és j-ik oszlopánk krsztz ésén álló lm 1-s. Ajunk mg grán gy mximális párosítást és gy minimális logó súshlmzt A mátrix lpján könnyn lln rizht, hogy 1, 3, 6, 1, 3, 7, 8 gy (7 lm ) logó ponthlmz páros grán, mrt nm érinttt sorok és oszlopok krsztz ésén minn lm 0. Az ( 1, 4 ), ( 2, 1 ), ( 3, 2 ), ( 4, 7 ), ( 5, 8 ), ( 6, 5 ), ( 7, 3 ) élhlmz gy (7 lm ) párosítás, hiszn smlyik két élnk nins közös végpontj. A mgott logó ponthlmz, illtv párosítás izonyítj, hogy τ(g) 7, illtv ν(g) 7, honnn ν(g) τ(g) összüggés szrint ν(g) = τ(g) = 7 és így mgott párosítás mximális, mgott logó ponthlmz pig minimális. Mgjgyzés. A mximális párosítást és minimális logó ponthlmzt trmésztsn érms z l áson tnult lgoritmussl krsni; zonn (hogy z ntik l is látszik) gy tljs érték mgoláshoz nm ltétlnül szükségs (ár z stlgs hiák mitt mégis élszr ) nnk lépésit okumntálni. A másoik és ngyik részpontszámnál prsz máshogy is inokolhtunk, s t ki ( olgoztn) mggy z n monstrálj, hogy érti, hogy miért logó ponthlmz, illtv üggtln z élhlmz, z mgkphtj pontokt. 4. A VIK-s gólyálon 12 lány és 198 ú vsz részt. A szrvz k így 12 (ú-lány) párt szrtnénk összállítni nyitótánhoz úgy, hogy minnki ismr ssl tánoljon. Minn lány lglá 11 út ismr, úk közül viszont minnki lglj 11 lányt ismr (z ismrtségk kölsönösk). Biztosn össz tuják- állítni szrvz k 12 párt? Lgyn L lányok, F úk hlmz és lgyn G z páros grá, mlynk L és F z osztályi, két sús között pig kkor vzssn él, h mgll ú és lány ismri gymást. A lt nnk löntésévl kvivlns, hogy n páros grán vn- L-t párosítás. A Hll-tétl szrint hhz lég zt látni, hogy minn X L stén N(X) X. H 1 X 11, kkor z tljsül, hiszn minn L-li sús ok lglá 11, így N(X) mért is lglá 11 ( ltétl prsz X = 0 stén is tljsül; mgállpítás hiányáért n vonjunk l pontot). Az X = 12, vgyis X = L stt kll még lln riznünk. Világos, hogy N(L) 11, hhoz thát, hogy Hll-ltétl n tljsüljön, z kén, hogy N(L) = 11 lgyn. Ez pig pontosn kkor tljsül, h L-n minn sús ok pontosn 11 és min 12 L-li sús ugynzzl 11 F -livl vn összkötv. Ekkor zonn zn 11 F -li sús ok 12 lnn, mi mgott ltétl szrint lhttln, thát vn L-t párosítás. 5. Ajunk mg z lái hálóztn gy mximális olymot és gy minimális s-t vágást. 2

12 (16) (10) (8) (13) (18) s (16) (4) (2) (10) (6) (7) (16) t Tkintsük kövtkz olymot: (s) = 16, (s) = 4, (s) = 10, () = 8, () = 8, () = 13, (t) = 15, () = 2, () = 8, () = 5, () = 7, (t) = 15. Az olym érték 30. Tkintsük most z s,,,, súsok áltl mghtározott vágást. Ennk kpitás z,,, élk összkpitás, zz szintén 30. Tujuk, hogy ármly olym érték lglj kkor lht, mint ttsz lgs vágás kpitás, így 30 érték vágás izonyítj, hogy mgott olym mximális, 30 érték olym pig izonyítj, hogy mgott vágás minimális. A vágás kpitásánk kiszámításáért kkor jár pont, h kirül, hogy mly élk milyn tit klltt összni hhoz, hogy kijöjjön 30-s érték. Az utolsó 3 pont nnk jár, ki (érmn) inokolj, hogy mgott olym mximális és mgott vágás minimális. (Pélául For-Fulkrson tétl mitt olym mximális önmgán nm érmi inoklás.) A olym mximlitás mlltt trmésztsn lht úgy is érvlni, hogy 30 érték olymhoz trtozó (hlysn lrjzolt) sgégrán már nins jvító út. A jvítóuts lgoritmus hlys lklmzásáért kkor is komoly részpontszámok htók, h végrmény nm hlys (prsz gy z jünk mg ról, hogy nm lvi hiáról vn szó). Nm jár érmi pontszám ugynkkor tlálomr vtt olymok és/vgy vágások krsgéléséért, h z nm vzt rményr. 6*. Egy 10 súsú gyszr gránk 40 él vn. Htározzuk mg lgngyo olyn k számot, mlyr grá iztosn k-szorosn pontösszügg. A 10 súsú tljs gránk 45 él vn, így mi gráunkt (hívjuk G-nk) tljs gráól 5 él lhgyásávl kpjuk. A K 10 grán ármly két u, v sús között vn 9 (ls lg) pontiszjunkt út: z uv éln kívül mrék 8 sús ármlyikén krsztül vzt gy két él út u és v között. Az 5 él lhgyás l 9 útól lglj 5-öt érint (hiszn prsz smlyik ktt nk nins közös él), vgyis G-n ármly két sús közt vzt 4 pontiszjunkt út, így G Mngr vontkozó tétl szrint 4-szrsn pontösszügg (hhz még z is kll, hogy lgyn lglá 5 sús, mi prsz tljsül; mgállpítás hiányáért n vonjunk l pontot). Mivl z 5 lhgyott él stlkozht ugynhhoz súshoz, lképzlht, hogy G-nk vn 4 okú sús, kkor G 5-szörösn már nm lht pontösszügg (hiszn 4 okú sús szomszéit lhgyv G szétsik), így krstt mximum 4. A 4-összügg ség mlltt érvlhtünk kövtkz képp is: h G nm 4-összügg, kkor l tuunk hgyni 3 pontot úgy, hogy G szétssn. A 3 lhgyott pontr lglj 24 él illszkik (lglj 3 él mgy köztük, és lglj 3 7 l lük másik 7 sús), így mrék (nm összügg ) gránk lglá 16 él vn. 3

13 E l llntmonásr ogunk jutni, mrt gy 7 súsú, 16 él gyszr grá minig összügg : nyilván lthtjük, hogy sk két komponns vn, mlyk 1 és 6, 2 és 5, vgy 3 és 4 súsúk: gyik stn sm kphtunk 15-nél tö élt (z ls stn 15, másoikn 11, hrmikn 9 él lht lglj mrék grán). 4

14 Bvztés számításlmélt I. Pótzárthlyi ltok, ls zh pótlás pontozási útmuttó május 8. Áltlános lplvk. A pontozási útmuttó élj, hogy jvítók olgoztokt gységsn értékljék. Ezért z útmuttó minn lt (lglá gy lhtségs) mgolásánk gonoltit és z zkhz rnlt részpontszámokt közli. Az útmuttónk nm élj ltok tljs érték mgolásánk részlts lírás; lírt lépésk gy mximális pontszámot ér mgolás vázltánk tkintht k. Az útmuttón ltüntttt részpontszámok sk kkor járnk mgolónk, h kpsolóó gonolt gy áttkintht, világosn lírt és mginokolt mgolás gy lépésként szrpl olgoztn. Így pélául z nygn szrpl ismrtk, níiók, tétlk puszt lírás zok lklmzás nélkül nm ér pontot (még kkor sm, h gyéként vlmlyik lírt tény mgolásn vlón szrphz jut). Annk mérlglés, hogy z útmuttón ltüntttt pontszám ntik gylmvétlévl mgolónk (részn vgy gészén) jár-, tljs mértékn jvító htáskör. Részpontszám jár minn olyn ötltért, részmgolásért, mly l olgoztn lírt gonoltmnt lklms kigészítésévl lt hiátln mgolás voln kphtó. Az útmuttón szrpl részpontszámok szükség stén tová is oszthtók. Az útmuttón lírttól ltér jó mgolás trmésztsn mximális pontot ér. Minn lt 10 pontot ér. A vizsgjgy olgozt pontszám számít l, így olgoztokr osztályztot nm unk. 1. Kukutyinn rnszámok ht krktr l állnk, minn krktr z ngol áéé 26 t jénk vlmlyik vgy gy 0 és 9 közti számjgy. Az Y t lglj gyszr szrplht rnszámn, zn kívül más kikötés nins. Hányél rnszám htó mg Kukutyinn? (A végrmény számszr értékét nm kll mgni, zonn mgolásól ki kll rüljön, hogy hogyn lhtn zt kiszámolni gy olyn számológéppl, mly sk négy lpm vltt ismri.) H z Y gyszr szrpl rnszámn, kkor hlyét htélképp válszthtjuk ki, mrék 5 hlyr pig hlynként 35-élképp válszthtunk, vgyis z 5 hlyr összsn élképp (ismétléss vriáió). Olyn rnszám thát, mlyn z Y gyszr szrpl, összsn él vn, hiszn z Y 6 lhtségs hlyénk mingyikéhz 35 5 rnszám trtozik (és zk prsz min különöz k). H z Y nm szrpl rnszámn, kkor minn krktr 35-él lht, ilyn rnszám thát 35 6 vn (ismétléss vriáió). A lglj gy Y-t trtlmzó rnszámok szám zk lpján , hiszn ltétl szrint z Y vgy gyszr vgy nullszor szrplht rnszámn (és két lht ség közül prsz sk z gyik tljsülht). 2. Egy 100 súsú összügg, gyszr gránk 100 él vn. Mutssuk mg, hogy kkor vn grán 3 páronként különöz szít. (Két szít kkor különöz, h nm pontosn ugynzon élk lkotják.) H 100 súsú grá lnn, kkor 99 él lnn, gráunk thát nm, így kll lgyn kör, mivl összügg. H l kör l lhgyunk gy élt, kkor (z l áson tnultk szrint) grá összügg mr, és tö kör már nm lht, hiszn kkor még l tunánk hgyni l l élt úgy, hogy összügg 1

15 mrjon, kkor 98 él összügg gráot kpnánk, mi z l áson tnultk szrint nm lhtségs. A kpott grá thát z rti grá szít áj. Az rti grá minn kör lglá három él l áll (mivl grá gyszr ), vgyis z lhgynó élt lglá háromélképp válszthtjuk, s így lglá három különöz szít át kphtunk. 3. Döntsük l, hogy z lái grá síkrjzolhtó-. g h i Els mgolás. Mgjuk grá gy olyn részgráját, mi topologikusn izomor K 3,3 grál. A,, súsok lkotják K 3,3 gyik osztályát, z,, g súsok másikt, zn kívül részgrán szrpl még h és z i pont. A részgrá éli mgott osztályok közt mn élk, g él kivétlévl, mi nins grán, hlytt gh, hi, i élkt vsszük. Ez részgrá skugyn topologikusn izomor K 3,3 -ml, hiszn két osztály közötti élk g él kivétlévl szrplnk grán, g él pig két ponttl losztv szrpl. Mivl gránk vn K 3,3 -ml topologikusn izomor részgráj, Kurtowski-tétl (könny irány) szrint nm síkrjzolhtó. H vlki nti gonoltmnt gys lmit (kár gy mggy z rjzzl) przntálj, kkor mgkphtj vontkozó pontokt. A Kurtowski-tétlt nm muszáj névvl mlítni, z, hogy min lpul kövtkzttés, kll hogy szrpljn. H vlki zt muttj mg, hogy gránk nins K 5 -tl topologikusn izomor részgráj, K 3,3 -ml topologikusn izomor részgráot nm tlálj mg, kkor mgállpításért kpjon 2 pontot. Másoik mgolás. A grá gyszr és nins nn háromszög, hiszn páros grá:,,, h súsok lkotják z gyik osztályt, töi sús másikt. H thát síkrjzolhtó lnn, kkor z l áson tnultk szrint lglj 2n 4 = 14 él lhtn (hol n súsok szám), mi llntmonás, hiszn gránk 15 él vn. 4. Egy 20 súsú gyszr grán minn sús ok 6. Mutssuk mg, hogy grához hozzá lht vnni pontosn gy élt úgy, hogy kpott grá gyszr mrjon és lgyn Eulr-sétáj. Egy gránk kkor és sk kkor vn Eulr-sétáj, h összügg (gész pontosn lglj gy komponnsén vn él, z pró ponttlnságért n vonjunk l pontot) és lglj két sús ok pártln. Bárhogy is vszünk hozzá gráunkhoz gy élt, lglj két pártln okú sús kltkzik (s t, h gylünk z gyszr ségr, kkor pontosn ktt ), kérés thát z, hogy z él hozzávétlévl grntálhtó-, hogy grá összügg lgyn. A gránk nm lht 3 vgy tö komponns, mivl minn komponnsén lglá 7 sús vn, hiszn gy lglj 6 súsú komponnsn grá gyszr ség mitt nm lhtn minn ok 2

16 6. A grá thát vgy összügg, vgy két komponns vn. Az ls stn z igik szrint gy ttsz lgs nm húzott él vétlévl lérht, hogy grá gyszr mrjon és lgyn Eulrsétáj. A másoik stn pig két komponns gy-gy sús közé kll élt húznunk, kkor kpott grá már összügg lsz és nyilván gyszr mr. 5. Döntsük l, hogy z lái gránk vn- Hmilton-kör, illtv Hmilton-útj. Jó Hmilton-út 2 pont. A 6 okú és két 5 okú súsot lhgyv grá 4 komponnsr sik szét, így tnultk szrint nins Hmilton-kör. (8 pont) 6*. Egy húsz súsú, gyszr grán minn ok lglá 9. Mutssuk mg, hogy grához hozzá lht vnni gy élt úgy, hogy kpott gránk lgyn Hmilton-útj. Vgyünk hozzá grához két új súsot, mlykt kössünk össz z összs régi súsl. A kpott gránk 22 sús vn és minn ok lglá 11. Mivl grá gyszr is, A Dir-tétl szrint vn gy C Hmilton-kör. A két újonnn hozzávtt súsot lhgyv C két útr sik szét, mlyk z rti grá összs súsát trtlmzzák. A két út gy-gy végpontj közé gy élt lvév Hmilton-utt kpunk. 3

17 Bvztés számításlmélt I. Pótzárthlyi ltok, másoik zh pótlás pontozási útmuttó május 8. Áltlános lplvk. A pontozási útmuttó élj, hogy jvítók olgoztokt gységsn értékljék. Ezért z útmuttó minn lt (lglá gy lhtségs) mgolásánk gonoltit és z zkhz rnlt részpontszámokt közli. Az útmuttónk nm élj ltok tljs érték mgolásánk részlts lírás; lírt lépésk gy mximális pontszámot ér mgolás vázltánk tkintht k. Az útmuttón ltüntttt részpontszámok sk kkor járnk mgolónk, h kpsolóó gonolt gy áttkintht, világosn lírt és mginokolt mgolás gy lépésként szrpl olgoztn. Így pélául z nygn szrpl ismrtk, níiók, tétlk puszt lírás zok lklmzás nélkül nm ér pontot (még kkor sm, h gyéként vlmlyik lírt tény mgolásn vlón szrphz jut). Annk mérlglés, hogy z útmuttón ltüntttt pontszám ntik gylmvétlévl mgolónk (részn vgy gészén) jár-, tljs mértékn jvító htáskör. Részpontszám jár minn olyn ötltért, részmgolásért, mly l olgoztn lírt gonoltmnt lklms kigészítésévl lt hiátln mgolás voln kphtó. Az útmuttón szrpl részpontszámok szükség stén tová is oszthtók. Az útmuttón lírttól ltér jó mgolás trmésztsn mximális pontot ér. Minn lt 10 pontot ér. A vizsgjgy olgozt pontszám számít l, így olgoztokr osztályztot nm unk. 1. Egy 99 súsú gyszr grán két sús ok 3, töi sús ok 4. Mutssuk mg, hogy gránk vn pártln kör. Egy gránk kkor és sk kkor vn pártln kör, h grá nm páros, zt kll thát mgmuttnunk, hogy szón orgó grá nm páros. Tgyük l zért inirktn, hogy grá páros. Ekkor níió szrint súsi szétoszthtók gy A és gy B osztályr úgy, hogy élk sk A és B között mnnk. A grá élszám kkor nyilván zonos z A-li és B-li súsok okszámösszgévl, z két összg thát gymássl is zonos. A két 3 okú súsnk mitt külön osztály kll krülni, llnkz stn n z osztályn, mly nm jut 3 okú sús okösszg 4-gyl oszthtó lnn, míg másikn nm. Mivl 4 okú súsok szám pártln, nm krülht minkét osztály ugynnnyi l lük, vgyis két osztály okösszg (noh moulo 4 zonosk) nm lht zonos. Ezzl llntmonásr jutottunk, mi igzolj, hogy grá nm lht páros. 2. Egy 8 súsú tljs gráól töröljük két pontiszjunkt 3 súsú kör élit. Htározzuk mg kpott grá kromtikus számát. Lgynk két 3 súsú kör súsi,,, illtv,,, grá mrék két sús g és h. Ekkor z,,, illtv,, élk gyik sm szrpl G-n, így jó színzést kpunk, h z,, súsokt 1-sr,,, súsokt 2-sr, g-t 3-sr, h-t pig 4-sr színzzük. A grá kromtikus szám thát lglj 4. Az,, g, h súsok gy 4 lm klikkt lkotnk grán, honnn kövtkzik, hogy kromtikus szám lglá 4. 1

18 A két slés l óik, hogy kromtikus szám pontosn Az 5 súsú tljs grá gy élét mguplázzuk (vgyis z élt két párhuzmos élll hlyttsítjük). Htározzuk mg kpott grá élkromtikus számát. Az 5 súsú tljs grán minn ok 4, és grá gyszr is, így Vizing-tétl szrint 5-élszínzht. A húzott plusz élt nyilván színzhtjük gy htoik színnl, így kéréss grá élkromtikus szám lglj 6. A gránk 11 él vn, mximális párosítás mért pig 2. Ez utói zért érks, mrt ármly élszínzés gy osztály párosítás, zért 5 szín nm lég z élszínzéshz, hiszn 5 színnl lglj 10 élt színzhtünk mg. Az élkromtikus szám így pontosn Döntsük l, hogy z lái grá intrvllumgrá-. A grá intrvllumgrá, nnk igzolásár mg kll ni gy lklms intrvllumrnszrt (lég gy jó rjz). H sk (jó) rjz szrpl, z ugynkkor nm 10 pont, hnm sk 8. A mrék 2 pont nnk jár, ki világossá tszi, hogy érti, mit izonyít rjz, pl. zzl mószrrl hogy mgtlált vgy monjuk zzl, hogy lírj: sikrült pontoknk úgy mgllttni intrvllumokt, hogy szomszéos pontoknk mgll k nm iszjunktk, nm szomszéosk mg iszjunktk. A sikrtln próálkozásokért is járhtnk részpontok, kkor is, h vlki zt próálj igzolni, hogy grá nm intrvllumgrá. Különösn értékln k nm triviális trükkök: két (vgy még inká három) nm összkötött ponthoz trtozó intrvllumok lvétl. Aki sk színzés sgítségévl próál nm válsz mlltt érvlni, z mx 2 ( inká sk 1) pontot kpjon, ki ugynzzl érvln z ign válsz mlltt, z prsz 0-t. 5. Ajunk mg gy minimális logó ponthlmzt z lái grán. i g h A {,, g, h} hlmz gy 4 lm logó ponthlmz grán, mrt minn élnk lglá z gyik végpontját trtlmzz. Az, h, ig, élhlmz gy 4 lm párosítás, 2

19 hiszn smlyik két élnk nins közös végpontj. A mgott logó ponthlmz, illtv párosítás izonyítj, hogy τ(g) 4, illtv ν(g) 4, honnn ν(g) τ(g) összüggés szrint ν(g) = τ(g) = 4 és így mgott logó ponthlmz minimális. Azt, hogy τ(g) 4, prsz másképp is izonyíthtjuk. Pl. gránk 16 él vn és minn sús ok lglj 5, vgy mgmutthtjuk zt is, hogy α(g) 5 és hsználhtjuk z ls Glli-tétlt. A izonyítás mg minn stn 6 pontot ér, h vlki sk z α(g) + τ(g) = 9 gynl ségt írj l, z l 1-t kpjon. 6* n VIK-s gólyálon 601 lány és 601 ú vsz részt, minnkink lglá 300 llnkz nm ismr s vn (z ismrtségk kölsönösk). Biztosn össz lht- állítni 601 olyn ú-lány párt, hol párok tgji ismr sök? Lgyn L lányok, F úk hlmz és lgyn G z páros grá, mlynk L és F z osztályi, két sús között pig kkor vzssn él, h mgll ú és lány ismri gymást. A lt nnk löntésévl kvivlns, hogy n páros grán vn- tljs párosítás. A Hll-tétl (vgy Fronius-tétl) szrint z kkor és sk kkor lsz így, h minn X L stén N(X) X. 301 lm X stén zonn lképzlht, hogy N(X) < X. Osszuk L-t gy L 1 és gy L 2 hlmzr, F -t gy F 1 és gy F 2 hlmzr úgy, hogy L 1 = F 1 = 300, L 2 = F 2 = 301 és prsz L 1 L 2 = L, F 1 F 2 = F tljsüljön. Lgynk továá ismr si z összs L 1 -li lánynk z összs F 2 -li úk és lgynk ismr si z összs L 2 -li lánynk z összs F 1 -li úk. Ekkor minnkink lglá 300 llnkz nm ismr s vn (gész pontosn vgy 300 vgy 301), 300 = N(L 2 ) < L 2 = 301 mitt gránk nins tljs párosítás. H vlki nm tlálj mg jó pélát, mgállpítj, hogy 300-nál kis mért X hlmzt nm érms krsni, z zért kpht 1 pontot. 3