NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Széchenyi Isván Gazdálkodás- és Szervezésudományok Dokori Iskola STATISZTIKAI IDŐSORELEMZÉS A TŐZSDÉN Dokori (PhD) érekezés Készíee: Hoschek Mónika A kiadvány a TÁMOP 4.. B-/--8 számú projek ámogaásával valósul meg. ISBN 978-963-334-4-9 SOPRON
Taralomjegyzék TARTALOMJEGYZÉK....................................................... ÁBRAJEGYZÉK............................................................. 4 TÁBLÁZATOK JEGYZÉKE................................................... 5 RÖVIDÍTÉSEK JEGYZÉKE................................................... 5 BEVEZETÉS................................................................ 6 ELŐREJELZÉSEK................................................... 7. Kvaliaív előrejelzés................................................. 7. Kvaniaív előrejelzés................................................ 7.. Kauzális módszerek................................................. 7... Többválozós regressziós modellek.................................... 7... Ökonomeriai modellek.............................................. 8...3 Többválozós Box-Jenkins modell..................................... 9.. Projekív módszerek................................................. 9... Deerminiszikus idősorelemzés....................................... 9... Kiegyenlíő eljárások..................................................3 Szochaszikus idősorelemzés.........................................3 ARMA modellek....................................................3. Sacionariás.......................................................3. Idenifikáció....................................................... 3.3.3 Becslés........................................................... 4.3.4 Diagnoszikai ellenőrzés............................................ 4.4 ARCH modellek................................................... 4 TŐZSDEI ELEMZÉS............................................... 6. A fundamenális elemzés............................................ 6. Technikai elemzés.................................................. 6 3 RAX............................................................. 8 4 ALKALMAZOTT MÓDSZEREK.................................... 4. Dekompozíció..................................................... 4.. Trendszámíás..................................................... 4... Lineáris rendszámíás.............................................. 4... Polinomiális rendek............................................... 4...3 A reziduális válozóra vonakozó feléelek eszelése.................... 4...4 Mozgóálagolás.................................................... 7 4.. Konjunkúra haás kiszűrése......................................... 8 4..3 Szezonaliás kiszűrése.............................................. 8 4..4 Spline............................................................ 9 4..5 Modellszelekciós kriériumok........................................ 33 4. ARMA modellek felépíése.......................................... 34 4.3 ARCH modellek felépíése.......................................... 37 4.4 Előrejelzések fajái................................................. 38
5 A VIZSGÁLAT.................................................... 39 5. A vizsgála árgya.................................................. 39 5. Deerminiszikus rendszámíás...................................... 39 5.. Lineáris rend..................................................... 39 5.. Polinomiális rendek............................................... 4 5..3 Ciklus haás kiszűrése.............................................. 47 5..4 Szezonális haás kiszűrése........................................... 49 5.3 Új ípusú spline-ok................................................. 5 5.4 A RAX ARMA modellje............................................ 54 5.4. Idenifikáció....................................................... 54 5.4. Becslés........................................................... 56 5.4.3 Ellenőrzés......................................................... 56 5.5 A RAX ARCH modellje............................................. 57 5.6 A RAX GARCH modellje........................................... 6 6 EREDMÉNYEK ÖSSZEGZÉSE, JAVASLATOK...................... 63 IRODALOMJEGYZÉK...................................................... 64
Ábrajegyzék. ábra: Időbeli előrejelzések csoporosíása...................................... ábra: RAX idősora 5. január 5. - 7. november 6.......................... 5 3. ábra: Tipikus auokorrelációs eseek......................................... 8 4. ábra: Homoszkedasziciás és heeroszkedasziciás............................ 3 5. ábra: Normál valószínűségi ábra............................................ 33 6. ábra: Előrejelzés az időben................................................. 48 7. ábra: A RAX alakulása. szepember 7 -. július 9...................... 49 8. ábra: A RAX idősorára illesze lineáris rend................................ 5 9. ábra: Lineáris modell vélelen agjai......................................... 5. ábra: A RAX volailiása. szepember 7-. július 9.................... 5. ábra: A maradékok eloszlása és Q-Q ploja.................................. 5. ábra: Polinomiális rendek................................................ 53 3. ábra: Polinomiális rendek maradék agjai................................... 54 4. ábra: Polinomiális rendek reziduumainak eloszlása és Q-Q ploja.............. 56 5. ábra: Öödfokú rend ACF és PACF függvénye PW regresszió uán............. 58 6. ábra: Öödfokú polinom, 5 agú mozgóálag és a ciklus....................... 59 7. ábra: Öödfokú polinom, agú mozgóálag és a ciklus...................... 59 8. ábra: Maradékagok (5,4; 5,;,4; ;).............................. 6 9. ábra: 9, és 44 spline-ból épíe rend..................................... 6. ábra: 9 agú spline-nal képze rendek vélelen agjai......................... 63. ábra: agú spline-nal képze rendek vélelen agjai........................ 63. ábra: 44 agú spline-nal képze rendek vélelen agjai........................ 64 3. ábra: A RAX korrelogramja és parciális korrelogramja........................ 65 4. ábra: Elsőrendűen differenciál RAX adaos ACF és PACF ábrája............... 66 5. ábra: A RAX volailiása. szepember 7. -. július 9................... 68 6. ábra: A RAX hozamok ACF és PACF függvényei............................. 68 7. ábra A RAX hozamnégyzeek ACF és PACF függvényei....................... 69 8. ábra: AR()+GARCH(,) modellnél reziduumok és sandardizál reziduumok eloszlása............................................... 7 9. ábra: AR()+GARCH(,) sandardizál reziduumainak Q-Q ploja............ 7 4
Táblázaok jegyzéke. Tábláza: Polinomiális rendek modellválaszási kriériumai 53. Tábláza: Negyedéves szezonális elérés adaok (5es és as mozgóálagra) 6 3. Tábláza: Különböző ARMA modellek modellszelekciós kriériumai 67 4. Tábláza: AR()+ARCH() modell eredményei 69 5. Tábláza: ARCH modellek modellszelekciós kriériumai 7 6. Tábláza: AR()+GARCH(,) modell 7 Rövidíések jegyzéke ACF - AuoCorrelaion Funcion, auokorrelációs függvény ADF Augmened Dickley-Fuller es, kierjesze Dickley-Fuller esz AIC Akaike Informaion Crierion, Akaike információs kriérium BLUE Bes Linear Unbiassed Esimaion, legjobb lineáris orzíalan becslés CORC Cochrane-Orcu eljárás DW - Durbin-Wason próba FAE Függelen és Azonos Eloszlású HQ- Hannan-Quinn crierion, Hannan-Quinn kriériumű KPSS - Kwiakowski-Phillips-Schmid-Shin esz LM - Lagrange Muliplikáor ML Maximum Likelihood OLS Ordinary Leas Squares, legkisebb négyzeek elve PACF Parial AuoCorrelaion Funcion, parciális auokorreláció függvény SIC Schwarz Informaion Crierion, Schwarz információs kriérium SSE =ESS sum of squares of error, exlpained sum of squares, hibák elérés négyzeöszszege, magyarázo négyzeösszeg SSR= RSS sum of squares of regression, residual sum of squares, regressziós elérés négyzeösszeg, reziduális négyzeösszeg WLS - Weighed Leas Squares, súlyozo legkisebb négyzeek módszere 5
BEVEZETÉS A őzsdei indexek éréke rendkívül fonos információ hordoz a befekeők számára. A dönéseiknél azonban a múla ükröző indexnél sokkal fonosabb lenne egy olyan muaóval rendelkezni, ami a jövő veíi előre. Erre a problémára ökélees megoldás még nem szülee. A saiszikában az idősor elemzés különböző módszereke alkalmaz az elmúl időszak endenciáinak, összefüggéseinek a felárására és egyben ámpono nyúj a jövő várhaó folyamaainak előreláásához. Kuaásom során az vizsgálam, hogy az előrejelzési módszereke felhasználva mennyire megbízhaó jövőbeni index érékeke lehe meghaározni. A célom az vol, hogy előrejelzés adjak az egyik magyar őzsdei index, a RAX érékének alakulására vonakozóan. Ahogyan a örénelem során minden eljárási módszer finomodo, ökéleesede, úgy a saiszikai előrejelzéseknél is megörén ez a válozás. A különböző előrejelzési módszereke felhasználva készíeem előrejelzés a 7-es évekig uralkodó deerminiszikus szemlélee köveve, majd a 8-as évek kedvel ARMA modelljeivel, míg uoljára a legfiaalabb módszercsalád, az ARCH modellek felhasználásával. A kuaás során döbbenem rá, hogy a magyar és a nemzeközi szakirodalom nem egységes az időbeni előrejelzések csoporosíása során, így először ebben kelle egy egységes rendszer lérehoznom. A disszeráció megírásához felhasznál könyvek, jegyzeek, cikkek jelölései egységes formára hozam. A ovábbiakban csak azon egyenleeknél hivakozom az eredei szerzőre, ahol nem közismer, álalánosan használ összefüggésről van szó. Az adaok feldolgozásához és a modellek felépíéséhez a GRELT (Gnu Regression, Economerics and Time-series Library) nevű ökonomeriai programo használam. A program ingyenesen hozzáférheő az inerneen, illeve egy korai verziója a Magyarországon forgalomban lévő ké nagy ökonomeriai könyv egyikéhez [55] mellékelve van. A splineokból felépíe rende MapleV 5 programcsomagban ír program segíségével haározam meg. hp://grel.sourceforge.ne/ 6
. ELŐREJELZÉSEK A magyar és a nemzeközi szakirodalomban az időben örénő előrejelzéseke különböző módon csoporosíják, különböző elnevezéseke használnak. Dolgozaomban megpróbálom ezeke közös nevezőre hozni és egy olyan oszályozás adni, amely mindké félnek elfogadhaó, a ké erüle felfogásá övözi. Abban mind a hazai mind pedig a külföldi szakírók egyeérenek, hogy az előrejelzés lehe kvaniaív és kvaliaív, azaz a számokon alapuló, illeve a minőségi... Kvaliaív előrejelzés Chafield [4] ez a ípus szubjekív előrejelzésnek hívja, hiszen a megkérdeze személyek apaszalaán, udásán, megérzésein alapszik. Ezek a megkérdezeek lehenek a menedzsmen agjai, piackuaók, szakérők. (Ezér alálkozhaunk ezzel a csoporal kollekív szakérői megkérdezés címen is.) A megkérdezeek minden eseben olyan személyek, akik a vizsgál erülee behaóan ismerik, és így képesek olyan dolgok, válozások megláására, előrejelzésére, amike mások nem udnának... Kvaniaív előrejelzés Ezek az előrejelzések már objekívebbek, hiszen a számok elemzésén alapszanak. Aól függően, hogy az ado jelenség oká vagy a múlbeli érékei ekini-e vizsgálaa alapjának ké nagy csoporra lehe oszani: Kauzális módszerek Projekív módszerek... Kauzális módszerek Ahogy az a módszercsalád megnevezéséből is lászik, i a jelenség okának a felárása a cél, és ha már ez megvan, akkor jöhe a jövő prognoszizálása. Mivel egy jelenségnek csak nagyon rikán van egyelen oka, így ezeke a módszereke öbbválozós modelleknek is szokás nevezni.... Többválozós regressziós modellek A regresszió-elemzés feladaa annak jellemzése, hogy a ényezőválozó (x) milyen módon, milyen örvényszerűség szerin feji ki haásá az eredményválozóra (y) (Ramanahan [37] ). A regressziószámíás során háromféle regresszióval alálkozhaunk: Analiikus regresszió - ami a megfigyel adaainkból számíunk ki egy előre meghaározo formula segíségével. Amikor a udományos éleben valaki a regresszió 7
kifejezéssel alálkozik, akkor o az analiikus regresszióval foglalkoznak. Ebben a regresszióban a legfonosabb a megfelelő függvényípus kiválaszása, majd pedig a kiválaszo függvény paraméereinek kiszámíása. A leggyakrabban használ függvényípusok a lineáris, exponenciális, haványkievős, polinomiális, hiperbolikus és a lin-log. Elmélei regresszió ami a feléeles várhaó érékkel definiálhaó, azaz y-nak x-re vonakozó elmélei regressziója y E( y x) Tapaszalai (empirikus) regresszió ami ulajdonképpen egy részálagokból képze saiszikai sor. A öbbválozós regressziónál a magyarázo válozóra (y) nem csak egy, hanem öbb magyarázó válozó ( x, x,, xk ) is haás gyakorol egy időben. A öbbválozós regressziós modellek közül a lineáris a legelerjedebb. Ennek nem csak az egyszerűsége, könnyű érelmezheősége az oka, hanem az is, hogy a legöbb közgazdasági folyama vagy jól közelíheő a lineáris regresszióval, vagy arra könnyen visszavezeheő. A öbbválozós lineáris regressziós modell álalános alakja: (..) ahol maradékag normális eloszlású valószínűségi válozó, amelyre E( x ), Var( x ) és Cov( s x ),minden s -re, azaz függelen és azonos eloszlású.... Ökonomeriai modellek Az ökonomeria a közgazdasági összefüggések, a gazdasági magaarás becslésével, a közgazdasági elméle és ények szembesíésével és hipoézisvizsgálaával, valamin a közgazdasági válozók viselkedésének előrejelzésével foglalkozik (Ramanahan [55] ) a saiszika eszközárá felhasználva. Az ökonomeriai elemzések első és legfonosabb feladaa a vizsgál folyamao jól 3 leíró modell elkészíése. Az ökonomeriai modellből nyer válozó endogén válozónak, az endogén válozókban fellépő örvényszerűségeke feláró válozóka pedig magyarázó válozóknak nevezzük. A modellben lehenek olyan válozók is, melyek éréke a modellen kívülről adódik, azaz ökonomeriai modellből nem levezeheő, ezeke hívjuk egzogén válozónak. Amennyiben ilyen egzogén válozók is jelen vannak a modellünkben, akkor az előrejelzésünk feléeles 4 lesz. Az ökonomeriai modellek fonos része a hibaag, amely a vizsgálai szemponból lényegelen válozók és az előre nem láhaó események összessége (Maddala [39] ). Az ilyen jellemzők leírására a szokásos jelölés a FAE. 3 A modell jósága mindig az elemzés végzőkől, a felépíe szemponrendszeről függ. Bizonyos szemponból lehe egy egyszerű modell is jó, valamikor viszon csak egy összee, sokényezős modell felel meg a vizsgála kriériumainak. 4 Feléeles előrejelzés: ha az eredményválozó azon feléelezés melle jelezzük előre, hogy a magyarázóválozók bizonyos érékekkel rendelkeznek (Ramanahran [55] ). Ha a modellből vagy egy segédmodellből kapjuk meg a magyarázóválozók éréké, akkor feléel nélküli előrejelzésről beszélünk. 8
...3. Többválozós Box-Jenkins modell G. E. Box és G. M. Jenkins 968-ban publikálák cikküke [6], melyben a... alfejezeben leír módszerüke ismereék. Ennek az eljárásnak a kierjeszése a öbbválozós modell, melyben a klasszikus ARMA modell bővíik ki, és amelye ranszfer funkciós modellnek nevezek el.... Projekív módszerek Ez a módszercsalád egyválozós. Az előrejelzések ezen ípusai az idősoroka használják fel, a múlból (min egyelen vizsgál válozóból) indulnak ki, az vizsgálják, majd pedig annak felhasználásával próbálnak a jövőre vonakozó prognózisoka adni. A múlnak ehá i kiemel jelenősége van. Ám amíg a projekív módszerek egyik csoporja elfogadja, hogy minden előre elrendel, deerminál, addig a másik csopor már nem gondolja, hogy elég a endenciák auomaikus jövőre való kiveíése.... Deerminiszikus idősorelemzés Minden előre elrendel, az események előre deerminál pályán mozognak. Ez a feléelezés kövei a deerminiszikus idősorelemzés. Amennyiben ez valóban így van, akkor a legfonosabb felada ennek az elrendel pályának a megismerése azér, hogy a jövő alakulásá képesek legyünk előre jelezni. Az előrejelzéshez ehá ismernünk kell az ú részei, elemei. Ehhez részeire kell bonanunk az idősor, azaz dekompozícióra van szükség. Az idősor négy része a rend, a ciklus, a szezon és a vélelen.. rend vagy alapirányza: az idősorban hosszabb időszakon arósan érvényesülő endencia, amely az idősor alakulásának a fő irányá, álalános színvonalá jeleni. Az alapirányza maga is öbb, hosszúávon érvényesülő ényező együes haásának a kövekezménye. Alapveően ársadalmi, gazdasági örvényszerűségek (pl.: demográfiai válozások, echnológiai válozások, preferenciákban bekövekező válozások, a piac növekedése, az infláció, a defláció) haározzák meg.. ciklus: a rend felei vagy alai arósabb, nem szabályos mozgás, így jelenésé csak hosszabb idősorok alapján lehe felfedni és anulmányozni. 3. szezonális vagy idényszerű ingadozás: azonos hullámhosszú és szabályos ampliúdójú, öbbnyire rövid ávú ingadozás. Azaz olyan rimikus ingadozás, amely szabályosan visszaérő időközönkén mindig azonos irányba éríi el az idősor éréké az alapirányzaól. A gazdasági idősorok szine mindegyike mua éves periódusokban ismélődő szezonális ingadozás és/vagy periodikus ingadozás. Az ingadozás lehe akár napi, hees, hónapos, aól függően, hogy mi okoza (pl.: évszakok válozása, ünnepek, ársadalmi szokások). 4. vélelen ingadozás: szabályalan mozgás, ami sok eseben nem mua semmilyen sziszemaikusságo. Sok, az idősor szemponjából nem jelenős ényező együes 9
haásá képviseli. Szabályalan jellege mia az idősorra gyakorol haásá a múlra ki udjuk muani, ám előre jelezni nem lehe 5. A dekompozíciós modelleknél az idősorok négy része egymással kéféle kapcsolaban lehe: Addiív modell: az idősor elemeinek haása összeadódik (..) Muliplikaív modell: az idősor elemeinek haása összeszorzódik (.3.) ahol y az idősor éréke ŷ a rend c a ciklus s a szezonális komponens a vélelen ingadozás i,,, n a periódusok száma j,,,m a perióduson belüli rövidebb időszakok száma A deerminiszikus eljárások a vélelennek igen kis jelenősége ulajdoníanak. Ám a vélelen képes az idősor elemei közül leginkább befolyásolni a közeljövő eseményei. Éppen ezér megbízhaó előrejelzések elsősorban hosszabb ávra készíheőek a dekompozíciós modellekkel.... Kiegyenlíő eljárások A projekív módszerek a múlból indulnak ki és annak ismereében képesek előrejelzések készíésére. Amíg a deerminiszikus modellek eleve elrendelnek ekinik a jövő, addig a kiegyenlíő eljárások már élnek azzal a feléelezéssel, hogy a múl nem minden elemének van ugyanolyan jelenősége, befolyásoló haása a jövőre. A simíó eljárások ehá figyelembe veszik az a ény, hogy a múlbeli események haása az idővel csökken, nem kell valamennyi már meglévő adao ugyanazzal a súllyal szerepeleni, szükség van a fokozaos felülvizsgálara. A simíó eljárások lényege, hogy a prognózis során a becsül ( ŷ ) és a megfigyel ( y ) érék közöi elérés, hibá ( e ), már beépíi a kövekező becslésbe, azaz előrejelzés korrigálja a korábban elkövee hibák érékével: yˆ ˆ y f ( e ) (.4.) Az a simíó paraméer, amely a simíás méréké adja meg, vagyis az, hogy a korábbi hibáka milyen mérékben vesszük figyelembe. Ha az éréke alacsony, akkor a hibá kevésbé épíi be, az idősorunk rendkívül kisimulha. Amennyiben azonban az éréke a maximumhoz, az -hez közelí, a hibá kellően figyelembe vesszük, ám ebben az eseben a vélelen ingadozások is kiszűrődnek és a endencia már nem rajzolódik ki megfelelően. Az f függvény legegyszerűbb esee, ha a simíó paraméer az elkövee hibával szorzódik össze. Az exponenciális kiegyenlíésnél a jelenhez közelebb eső eseményeknek nagyobb súly adhaunk, min a már múlba vesző adaoknak. Az egyszeres exponenciális simíás modellje rendelkezik a sziszemaikus anulás képességével (Ralph e. al.[54] ). Az egyszeres 5 Az...3-ban ismeree szochaszikus időelemzés éppen ezzel foglalkozik.
simíás csak abban az eseben használhaó, ha a vizsgál adaok nem muanak semmilyen szezonaliás és rend sem figyelheő meg. Készeres exponenciális simíásnál a simíás készer végezzük el egymás uán. Az ismer eljárások közül a ké leginkább elerjed számíási módo, a Brown-féle exponenciális simíás (Brown [] ) és a Hol-módszer (Hol [7] ) emelném ki. A Brown-féle simíás az egyszerűbb módszer, mer ennek során az egyszeres simíás kell készer egymás uán elvégezni, azaz a már kisimío idősor újra ugyanazzal az simíó paraméerrel ismé simíjuk. A Hol-módszer annyiban különbözik a Brown-féléől, hogy az első simíás uán a második simíás, amely a rende jelzi előre, már más simíó paraméerrel dolgozik....3. Szochaszikus idősorelemzés Sem a deerminiszikus modellek, sem a simíó eljárások nem helyeznek nagy hangsúly a vélelenre, azaz a szochaszikus agra. Ebben a fejezeben azoka a modelleke muaom be, amelyek éppen a vélelennek ulajdoníják a legnagyobb szerepe. Vélelen bolyongás Egy y folyamao vélelen bolyongásnak hívunk, amennyiben y y (.5.) formában írhaó fel, ahol konsans várhaó érékű, konsans varianciájú és auokorrelálalan, azaz valódi vélelen folyamao ír le 6. Auoregresszív modellek (AR) Amennyiben a vizsgál idősor sem rend-, sem ciklus-, sem pedig szezon-haás nem aralmaz, akkor az y adaaink jól modellezheőek az auoregresszív modellekkel : y y y p y p (.6.) ahol iszán fehér zaj folyama. Vagyis a magyarázo válozó kizárólag sajá korábbi érékeinek függvénye. Abban az eseben, amikor csak az előző időszaki érékkel van kapcsolaban, azaz csak egy periódussal késlelee a válozónk, akkor elsőrendű auoregresszív folyamaal állunk szemben: y y (.7.) Mozgóálag modellek Ha egy y válozó fehér zaj maradék agok lineáris kombinációjából áll, akkor q -ad rendű mozgóálag folyamaról beszélünk: y q q (.8.) ahol FAE fehér zaj. Az az összefüggés gyakran kicsi módosío formában írják fel: 6 Az ilyen vélelen folyamaoka fehér zajnak (whie noise) nevezi a szakirodalom.
y q q (.9.) ARMA modellek Az előző ké modellek egyesíése az auoregresszív mozgóálagolású ( ARMA) modell: y y y p y p q q (..) A folyama p számú auoregresszív és q számú mozgóálag ago aralmaz, így ennek jelölése ARMA ( p, q). Gazdasági idősorokkal kapcsolaos feladaok közül sok könnyen megoldhaó ARMA modellel, így ezekről a kövekező fejezeben részleesen számolok be..3. ARMA modellek Az ARMA modellek paraméereinek meghaározására és a kapo modellek jóságának ellenőrzésére G. E. P Box és G. M. Jenkins [7] 968-ban jelenee meg egy három lépésből álló megközelíés. Az első lépés az idenifikáció, majd a második a becslés és az uolsó a diagnoszikai ellenőrzés. A modellek ilyen formán örénő kialakíása olyannyira elerjed, hogy az idősorelemzés ezen ípusá gyakran hívják Box-Jenkins modellnek..3.. Sacionariás Az ARMA modellek felépíése során öbbször előkerül a sacionariás fogalma. Ha egy idősor maradék agjának várhaó éréke, varianciája, auokovarianciája 7 nem függ az időől, akkor az ado idősor sacionárius. Tehá E( ) és var( ) és cov(, k ) k ahol k a k -dik késleleéshez arozó auokorreláció éréke. A sacionárius folyama lefuása az időben sabil, nincs rendhaás. Az ilyen idősornak viszonylag nagy a rövid ávú előrejelezheősége. A sacionariásnak ké válozaa van, a rendsacionárius és a differenciasacionárius idősor. Trendsacionárius idősor: y (..) Az ilyen idősorokban lévő rende regressziós összefüggés alkalmazva szabad csupán kiszűrni. [43]. A rendsacionárius idősorokban az adaoka ér sokk haása idővel csökken, majd elesen el is űnik, lecseng. Differenciasacionárius idősor: y y i (..) i 7 Auokovariancia függelen az időől, ha ado hibaag nincs korrelációban egy előző hibaaggal.
A legöbb gazdasági idősor inkább diffrerenciasacionárius [39], hiszen a vizsgál válozóka ér sokkok haása arós. Ha az ilyen idősorokban rend van, akkor az csak differenciálással szabad kiszűrni..3.. Idenifikáció A Box-Jenkins modellezés első lépésében a feladaunk megalálni a apaszalai idősor legjobban leíró elmélei idősor. A munkában segíségünkre lehe, ha a megfigyel adaoka az idő függvényében ábrázoljuk. Ekkor szembesülheünk azzal a énnyel, hogy az idősorunkban milyen rend van. Amennyiben lineáris renddel van dolgunk, úgy elegendő az adasorunka differenciálni. A differenciál adaokból készíe ábránk már remélheőleg nem mua ovábbi rende. Ámennyiben mégis, isméel differenciálásra van szükség. Mivel a gazdasági idősorok álalában aralmaznak rende, így igen valószínű, hogy szükség lesz a differenciálásra. A apaszalaok alapján azonban készeri differenciálással a rend problémája megszűneheő, s az idősor ezálal sacionáriussá válik. Ha az ábránkon az adaok exponenciális növekedés muanak, akkor az adasor először logarimizálni kell, majd ezuán újabb ábrá kell készíeni. Ha az idősorunk szezonális komponens aralmaz, akkor a sacionariás kriériuma sérül. A legegyszerűbb mód ismé csak a differenciálás. -ed fokú differencia képzés az eseek nagy részében elegendő (amennyiben évszakok, negyedévek miai szezonális haás jellemző). Léeznek kifejezeen szezonaliás kezelő programok is, min a TRAMO / SEATS vagy az ARIMA. Az első lépésben nem csupán q és p paraméer kell előzeesen megbecsülnünk, hanem a differenciálások foká (d) is, amely beépül a modellünkbe, ami ezenúl ARIMA( p, d, q) 8 -nak fogunk hívni. A differenciálás szükségességé segí eldöneni a korrelogram (auokorrelációs függvény, ACF ) is, ami egy sor adaainak és a múlbeli érékeinek korrelációs együhaóinak, azaz az auokorrelációs együhaók ábrája (ACF grafikon). Amennyiben a kapo görbe csak lassan csökken, akkor bizosan szükséges legalább egy differenciálás. A differenciálás elvégzése uán, elkészíve a kövekező korrelogrammo, ismé csak a csökkenés méréké kell vizsgálni. Az auokorrelációs függvény felrajzolása abban is segí, hogy az mozgóálagolású ag q -fokára egy kezdei becslés udjunk adni. Ehhez a korrelogram alakjá kell csak megvizsgálni. Ha a korrelogram q -nál kisebb érékeknél nem mua semmilyen haározo alako, míg q -ól nagyobb érékekre nulla, akkor a késleleéseknek q - kell válaszani. Vagyis pl. elsőrendű mozgóálag folyama eseén kizárólag ez első érék nem nulla, az összes öbbi az. Az auoregresszív (AR) ag p kezdei érékének eldönésében a korrelogram helye egy másik függvény használunk, ez a parciális auokorreláció függvény (PACF). A PACF a magasabb rendű auokorrelációk haás megiszíja az alacsonyabb rendű auokorrelációk haásaiól. A parciális korrelogram éréke egy bizonyos késleleés uán nulla körül fog mozogni. Ez a késleleés lesz a p kezdei éréke. Azaz egy elsőrendű auokorrelációs 8 AuoRegressive Inegraed Moving Average auoregresszív inegrál mozgóálag 3
folyamanál a parciális korrelogram első eleme nem nulla, a öbbi mind nulla közelében marad. Ha egyik ábra sem muaja egyérelműen, hogy milyen rendű folyamao kellene vázolni, akkor a legegyszerűbb egy ARMA(, ) -el indíani a számíásainka..3.3. Becslés Ennél a lépésnél van szükség a konkré p és q érékek maghaározásra és álaluk a konkré modell érékeinek kiszámíására. Ehhez álalában maximum likelihood (ML) becslés használnak, amely egy rendkívül bonyolul folyama, ami azonban a saiszikai programok könnyedén elvégeznek. Így ebben a lépésben igazán sok eendő nincsen..3.4. Diagnoszikai ellenőrzés A program álal kiszámío modell nem bizos, hogy a legjobban illeszkedő, hiszen az első lépésben hibá köveheünk el. Éppen ezér van szükség az ellenőrzésre. Az első becslés elkészíése uán célszerű öbb másika is készíeni, úl- illeve alul- illeszeni a modell, ezálal meggyőződve arról, hogy melyik modell a leginkább megfelelő. Ha a eszek eredménye kielégíő, akkor jöhe egy végső lépés, az előrejelzés. A felépíe modellből elkészjük a ényleges előrejelzés, hiszen ez az idősorelemzés célja..4. ARCH modellek Az ARMA modellek nagy problémája, hogy a sacionariás szükséges hozzá. Ám a gazdasági éle és különösen a őzsde idősorainál a vélelen ag szórása nem állandó az időben. Ennek a problémának a feloldására alála ki Rober F. Engle az idősorelemzések szochaszikus családjának egy új elemé az ARCH modell. Az ARCH modellek rendkívül elerjedek a pénzügyi gyakorlaban. Ennek Engle [] szerin 3 oka van: - az előrejelezheelenség, azaz a nyereség méréke nehezen meghaározhaó, - a vasag szélek, vagyis a kiugró (oulier) érékek meglepően nagy száma, - a volailiás klaszereződése, ömörülése, amikor a csendes időszakoka exrém kiugró érékekkel eli időszak kövei. Ezeknek a jellemzőknek a kezelésére hozák lére az AuoRegressiv Condiional Heeroscedasiciy, auoregersszív feléeles heeroszkedasziciás modelleke (ARCH). A modell megnevezésében az auoregresszív arra ual, hogy az elérésválozó varianciája ado időponban az az megelőző elérésválozók négyzeéől függ. A feléeles jelző oka, hogy a magyarázó válozó, vagyis a variancia éréké egy segédmodellből kapjuk, hiszen variancia az előző időszaki varianciák függvénye. Ezen ulajdonság eredményezi az uolsó jelző, azaz a heeroszkedasziciás kifejezés, hiszen a varianciák nem állandóak. Az ARCH (q) modell három egyenleel írhaó le: 4
y c y y m (.3.) ahol ~ FAE(,) fehér zaj. Az első egyenleben a vizsgál válozó várhaó éréké adjuk meg. Láhaó, hogy a válozó sajá múlbeli érékeinek függvénye, ez ehá az auoregresszív ag. Amennyiben egy folyamaról van szó, akkor annak várhaó éréke a kövekezőre egyszerűsödik: y c y (.4.) Az elérésválozó ( ) éréké a második egyenleből kapjuk, ahol a vélelenről már egyérelműen lászik, hogy függelen, ám már nem azonos eloszlású, a feléeles varianciájuk az időben válozik. Az uolsó egyenleből a korábbi hibaag (innováció) haásá udhajuk meg. Amennyiben az előző elérés nagy vol, úgy az ado időszakra is nagy maradék várhaó, míg kicsi hibá kicsi köve. Az egyenleből szinén lászik, hogy az elérés előjele nem számí, hiszen a négyzees aggal az elűnik. Az időbeli előrejelzések neveinek egységesíése magával vona egy egységes oszályozás kialakíásá is. Ezen egységes oszályozási rendszer figyelheő meg az. ábrán. q q. ábra: Időbeli előrejelzések csoporosíása 5
. TŐZSDEI ELEMZÉS A őzsde olyan szerveze inézmény, ahol meghaározo szabályok szerin, felügyelen, bizonságosan és áláhaóan bonyolódnak az ügyleek, a folyamaosan érkező információk alapján pedig a befekeők pillanaonkén érékelik az érékpapíroka és egyéb őzsdei ermékeke (Royis [56] ). A különböző pénz- és őkepiaci ermékek érékelésének ké módja van: Fundamenális elemzés Technikai elemzés.. A fundamenális elemzés Fundamenum = alap, lain eredeű kifejezés. A fundamenális elemzés a vizsgál ermék alapjainak meghaározásával, elemzésével foglalkozik 3 különböző szinen: makroszin: nemzegazdaságok vagy nemzegazdaságok köré érini, mezoszin: a kibocsáó vállal szűkebb piaci környezeé érini, mikroszin: magá a kibocsáó vállalao érini. A makroszin a gazdasági helyze elemzéséből a piaci kiláások, konjunkúrák, recessziók leheőségének meghaározásából áll. Különösen nagy figyelme kell fordíani a poliikai helyze elemzésére, hiszen például egy várhaó kedvező örvényi szabályozás előnyösen érinhei a vizsgálaunk árgyá, míg egy megszoríó inézkedés az egész gazdaságo nehéz helyzebe hozaja. A vizsgálanak (amennyiben ez a vizsgál vállala szemponjából releváns) ki kell erjednie az országhaárokon úlra is, hiszen ma már globális szinen kell gondolkozni. A mezoszinen elsősorban versenyársainak a köré kell meghaározni, majd az ő helyzeüke, a vizsgál céghez való viszonyuka elemezni. Ezen a szinen kell foglalkozni a kereslee meghaározó fogyaszókkal, várakozásaikkal, elvárásaikkal is. A mikroszin a vállalkozás elemzi, vizsgálja haékonyságá, eredményességé erőforrásainak kihasználságá és innovációi. Különböző muaószámok alapján komple pénzügyi elemzéseke végeznek felárva a vizsgál vállala múljá, jelené és remélheőleg bepillananak a jövőjébe is. A fundamenális elemzés célja a vizsgál cég belső érékének meghaározása. Amennyiben ez az érék a cég ermékének piaci ára ala van, az az jeleni, hogy az árú felülérékel. Ilyenkor nagy valószínűséggel a kiválaszo insrumenum ára csökkenni fog, hogy a valódi éréké megközelíse. Amennyiben viszon a cég belső éréke magasabb, min a ermék piaci ára, azaz a ermék alulérékel, akkor várhaó az árak felé mozdulás... Technikai elemzés A fundamenális elemzés nagy háulüője, hogy megalapozo dönéshez a piac elmélyül ismereére van szükség. Ha valakinek nincs ideje, kedve ezzel bíbelődni, ám mégis szerené 6
a kiválaszo őzsdei erméke megismerni a befekeés elő, akkor kézenfekvő dönés a echnikai elemzés eszközárának beveése. A echnikai elemzés készíőke charisáknak szokák hívni őzsdés körökben. A név onnan ered, hogy ők ábráka (char) készíenek és ezeke elemezve próbálják dönéseike meghozni. Az ábrák készíésekor ké leheőség van. Készíheő: vonaldiagram, amiről ellenzői az állíják, hogy az információk nagy részé elfedi, miuán csak az ado napi, hei záró-/nyió-/maximum-/minimum áraka ábrázolja, japán gyerya diagram, mely egy ado napon örén valamennyi fonos esemény megmuaja számokban, azaz a záró-, nyió-, maximum-, minimum áraka is aralmazza szemlélees formában. A ké diagram közül mindenki a neki esző válaszhaja, ám az érdemes udni, hogy az elemezni kíván időszak hossza befolyásolja az ideális válaszás. Ha valaki rövid időszako kíván csak vizsgálni, akkor a gyerya diagram sok hasznos információval szolgálha. Néhány hónapnál hosszabb időáv eseén már echnikai nehézségekbe üközik az ábrázolás, ilyenkor célszerűbb a vonaldiagramo válaszani. A diagramok az egyszerű felrajzolásukkal sok minden elárulnak, ám a haékony kereskedéshez ennél öbbre van szükség. Ezér fejleszeék ki a különböző indikáoroka. A grafikonos echnikáknak az alapfeléelezése az, hogy a örénelmi részvényrendek ismélődnek, így felhasználhaóak előrejelzéshez (Hornsein [8] ). Erre az alapfeléelezésre épíem én is dolgozaoma, s ezér próbálok meg egy a múla minél jobban leíró modell felépíeni. 7
3. RAX Budapesi Érékőzsde Zárkörűen Működő Részvényársaság, Budapesi Érékőzsde Zr., Budapesi Érékőzsde, BÉT, A Tőzsde. Ezek mind ugyanannak a gazdasági ársaságnak a különböző megnevezései. A rendszerválás uán 99. június -én nyioa meg újra kapui hazánkban, Budapesen a őzsde. A világon minden őzsdén számolnak sajá indexe, indexeke. Ezek a muaók azzal a céllal jöek lére, hogy a őzsde álagos hangulaá, endenciájá a piaci szereplők számára közérheő módon megjelenísék. Vagyis az egyes vállalaok, befekeések érékének mérésén kereszül, a őzsdeindex segíségével összképe kapunk a gazdaság állapoáról, a befekeők várakozásairól. A Budapesi Érékőzsdén számío indexek közül a legismerebb a BUX, a BÉT hivaalos részvényindexe. A kis és közepes kapializációjú részvények indexe a BUMIX. A befekeési alapok számára jelenős index a RAX. Tanulmányomban a RAX hazai indexe, annak időbeli alakulásá vizsgálom, és próbálok meg a jövőbeli érékére vonakozóan becsléseke adni. Azér nem a BUX-o válaszoam, mer az már sokan, sok szemponból elemezék, míg a RAX a saiszikusok és más elemzők mosohagyermekének űnik. Miér lehe érdekes egy kisember számára a RAX? Mer az a Befekeési Alapkezelők és Vagyonkezelő Magyarországi Szövesége (BAMOSZ) álal kifejlesze index, mely a befekeési alapok számára benchmarkkén 9 szolgálha. Amikor az ember olyan szerencsés helyzeben van, hogy a mindennapi megélheéshez szükséges pénzén felül még megakaríása is képződik, akkor először is el kell dönenie, mi egyen a pénzével. Tarhaja a párnája ala. Ám ez nem úl bizonságos és ráadásul nem is hoz semmilyen haszno sem. Beehei a bankba a számlájára. Ha ez egy egyszerű folyószámla, akkor bár a pénze bizonságban van, viszon ezér cserébe csak igen kis hozamo bizosí. Annak, aki hajlandó némi kockázao is vállalni, hogy ezér nagyobb hozamo realizáljon, a legmegfelelőbb hely a őzsde. Ezzel csupán az a gond, hogy a legöbb ember nem éri, vagy ha éri is nem udja, nem akarja köveni a őzsde működésé napi szinen. Nos, az ilyen embereknek lehe egy kézenfekvő megoldás a befekeési alapba örénő inveszálás. A befekeési alapok a kockázao megoszják az egyes befekeési ípusok közö, ami egy kisbefekeőnek rendkívül idő-és kölség-igényes lenne. Ráadásul az alapok álal összegyűjö vagyonömeg diverzifikál befekeése mia bizonságosabb lesz a befekeés. Ahhoz, hogy ez a befekeés valóban bizonságos legyen, szükség van az alapok működésének örvényi szabályozására. A őkepiacról szóló. évi CXX. örvény szabályozza öbbek közö a Magyar Közársaság erüleén székhellyel rendelkező befekeési alapkezelő külföldön alapío fiókelepe álal végze befekeési alapkezelési evékenysége, a Magyar Közársaság erüleén végze befekeési alapkezelési evékenysége és a Magyar Közársaság erüleén székhellyel rendelkező befekeési alapkezelő haáron á örénő szolgálaás nyújásá. 9 Benchmark: olyan viszonyíási alapkén használ irányadó hozam vagy piaci index, amelyhez egy porfólió vagy befekeési alap eljesíményé mérik. Az Országos Beébizosíási Alap (OBA) 5. euró/ügyfél érékig bizosíja a visszafizeés a bank fizeésképelensége eseén. 8
A RAX, hivaalos nevén BAMOSZ Részvény Befekeési Alap Porfólió Index, egy milliárd forin érékű porfólió modellez úgy, hogy szerkezee és működése hasonlíson a befekeési alapoknak a örvényben előír összeéelre. Ennek érdekében az indexkosárba 3 részvény kerül előre meghaározo arányban, melyek:,5%,,5%,,5%, 8,5%, 8%, 7,5%, 7%, 6,5%, 6%, 5,5%, 5%, 4,5%, 4%. Vagyis 5 mf, 5 mf 5 mf, 85 mf, 8 mf, 75 mf, 7 mf, 65 mf, 6 mf, 55 mf, 5 mf, 45 mf és 4 mf érékben. Kosárba az a őzsdére bevezee örzs- és elsőbbségi részvény kerülhe bele az évi ké (március 3-i és szepember 3-i) felülvizsgálakor, amely az ado napon közkézhányaddal korrigál kapializáció alapján felállío rangsor első 3 helyén szerepel. A kosár újrasúlyozására, azaz a bennlévő részvények mennyiségének újraszámíására minden hónap végén sor kerül. A RAX éréké 999. február 5. óa haározzák meg napona egyszer, 6.3-kor. A báziséréke 998. január 7-én pon vol. Eddigi legmagasabb éréke 46, pon vol minegy három éve 7. július 3-án.. július 3. 9
4. ALKALMAZOTT MÓDSZEREK 4.. Dekompozíció A dekompozíciós modellek arra a felevésre épíenek, hogy az idősor négy elemből áll, melyeke egymás uán le lehe válaszani, s a folyama végén már csak a vélelen marad, ami nem udja jelenősen befolyásolni az idősor éréké. 4... Trendszámíás Ennek az első lépésnek az a lényege, hogy az idősorból a öbbi komponens haásá valahogyan kiszűrjük, az idősor kisimísuk. A ké leheséges módszer, a mozgó álagok módszere és az analiikus rendszámíás. Ha azzal a feléelezéssel élünk, hogy a arós irányzaunka valamilyen analiikusan leírhaó függvénnyel jól udjuk közelíeni, akkor ennek a függvénynek az előállíása a célja a rendszámíásnak. A ársadalmi-gazdasági jelenségek idősorai álalában a lineáris függvény melle az exponenciális, a logiszikus függvények, a hiperbola és a p-ed fokú polinom közelíi meg a legjobban. Mindegyik eseben más-más alapmodell állíhaó fel, amelyeke megoldva szinén meg udjuk haározni a rende. fied acual 8 6 RAX 4 8 máj. szep. 6 máj. szep. 7 máj. szep.. ábra: RAX idősora 5. január 5. - 7. november 6.
4... Lineáris rendszámíás A lineáris rende akkor alkalmazzuk, ha a grafikus ábránkon a szomszédos időszakok közöi válozás abszolú méréke bizonyos állandóságo mua (. ábra). A lineáris rend alapmodellje: yˆ (4..) ahol ŷ a -dik elem rendéréke az időválozók kifejező sorozaa a időponhoz arozó rendérék a rendfüggvény meredeksége, azaz időegység ala egy időszakra juó álagos növekedés méréke a -dik időponhoz arozó vélelen Az alapmodellben ismerelen paraméer ( o és ) alálhaó, amelyek meghaározásának legismerebb és egyben legegyszerűbb módja a legkisebb négyzeek módszere. Ezzel a módszerrel ugyanis az alapmodellben meglévő vélelen szerepé a minimálisra lehe csökkeneni és egy egyenlerendszer udunk felírni, aminek a megoldásai a kerese ismerelen paraméerek lesznek. AZ OLS eredményekén kapo ké paraméer ( ˆ ˆ, ) segíségével a rend felírhaó yˆ ˆ ˆ (4..) alakban, ahol a paraméerek érelmezheőek. a időponban muaja az eredményválozó éréké, míg a időegység alai eredményválozó válozás éréké adja meg. 4... Polinomiális rendek p -ed fokú polinomok közül a másodfokú, azaz a parabolá ismerjük és használjuk a leginkább. Egy olyan idősor jellemzésére, min amilyenek a gazdasági adaok, ennél magasabb fokszámú polinomiális rende kell alkalmazni. A polinomiális rendek alapmodellje: p y o p (4.3.) Figyelni kell arra, hogy az ismerelen paraméerek közvelenül nem érelmezheőek. A fokszám növelésével a reziduális variancia csökken, illeve ha úl magas lesz a fokszám, akár vélelen ingadozás is beépülhe az idősorba. 4...3. A reziduális válozóra vonakozó feléelek eszelése Miuán ellenőrizük, hogy a becsül összefüggésünk mennyire jó, célszerű megvizsgálni a számíások kezdeén megfogalmazo feléeleke. A számíás kriériumai közö szerepel négy, amelyek a maradékválozóra vonakoznak. Ezek megléének ellenőrzése diagnoszikai eszek segíségével örénik. Kivéve az első feléel, amely a hibaagok várhaó érékére OLS - Ordinary Leas Squares, azaz LNM - Legkisebb négyzeek módszere
vonakozik, ami OLS becslés esében mindig eljesül, így nem szokás ellenőrizni. A megvizsgálandó három előfeléel ehá: auokorreláció heeroszkedasziciás maradékok normális eloszlása. Auokorreláció Amikor az idősor egymás köveő maradékai közö korreláció van, akkor auokorrelációról beszélünk. Ez a kapcsola fennállha az egymás köveő agok közö, és ekkor elsőrendű auokorrelációról beszélünk. Léezik ezen kívül másod-, harmad-, p-ed fokú auókorreláció, ahol a reziduum és az az köveő második, harmadik, p-dik reziduum közö áll fenn szochaszikus kapcsola. Az auokorreláció kialakulásának öbb oka lehe. Legöbbször a függvényípus nem megfelelő kiválaszása vagy a szükséges magyarázóválozó szerepeeésének hiánya okozza 3. Az auokorreláció meglée már egy olyan egyszerű ábrán is jól lászik, ahol a maradékok érékei ünejük fel (lásd 3. ábra). Természeesen léeznek kvaniaív eszelési eljárások. Ezek közül a leginkább használ a Durbin-Wason próba [9] []. A próba azonban csak az elsőrendű auokorreláció eszelésére alkalmas. A magasabb rendű auokorreláció eszelésére alkalmasabb lehe az LM-próba, illeve az ezen alapuló Breusch Godfrey-próba [] [4]. A Box-Jenkins modellek harmadik lépése a diagnoszikai ellenőrzés, mely során az auokorreláció is ellenőrizni kell. Ehhez a lépéshez dolgozák ki a Box-Pierce esze, melynek ma inkább egy ovábbfejlesze válozaá, a Ljung-Box próbá alkalmazzák a saiszikusok, ha kifejezeen az auokorreláció eszelése a cél, hiszen i a nullhipoézis szerin a maradék ag WN. (A pormaneau próbákról részleesebben a 4.. fejezeben írok.) 3. ábra: Tipikus auokorrelációs eseek A Durbin-Wason próba menee:. Hipoézisek felállíása: H : H : ahol a -dik megfigyelésből kiindulva y x. 3 Az auokorrelációnak Kőrösi e. al. [36] ennél öbb oko sorol fel.
Auokorreláció fennállása eseén, azaz a reziduum éréke az előző reziduum és egy vélelen válozó ( ) függvénye. A nullhipoézis ehá az jeleni, hogy ké egymás köveő maradék közö nincs kapcsola, vagyis az induló regressziós feléel eljesül.. Minánk alapján a próbasaiszika érékének kiszámíása: A regressziós maradékból képze Durbin-Wason saiszika n d n (4.4.) éréke és 4 közé esik, méghozzá úgy hogy az eloszlás a d ponra szimmerikus. 3. Dönés a hipoézisekről: Ennél a esznél egy alsó ( d L ) és egy felső ( d U ) kriikus éréke haároznak meg, majd azok ismereében a dönési szabály megleheősen bonyolul: Ha d éréke a dl arományba esik, poziív auokorrelációról beszélünk Ha d éréke a dl du arományba esik, nem udunk dönés hozni (semleges zóna) Ha d éréke a du 4 d U arományba esik, nincs auokorreláció Ha d éréke a 4 du 4 d L arományba esik, nem udunk dönés hozni (semleges zóna) Ha d éréke a 4 dl 4 arományba esik, negaív auokorrelációról beszélünk A Breusch Godfrey-próba menee. Hipoézisek felállíása: H : p H : legalább egy ahol a -dik megfigyelésből kiindulva y x k xk (4.5.) auokorreláció fennállása eseén p p (4.6.) azaz a reziduum éréke az előző reziduumok és egy vélelen válozó ( ) függvénye. A nullhipoézis ehá az jeleni, hogy egymás köveő maradékok közö nincs kapcsola, azaz lineárisan függelenek.. Minánk alapján a próbasaiszika érékének kiszámíása: A regressziós maradékból képze Breusch Godfrey - próba saiszikája n R (4.7.) azaz a mina elemszám és a korrigálalan R szorzaa, ami egy p szabadságfokú eloszlás köve. i p 3
3. Dönés a hipoézisekről: A kriikus érék meghaározása uán amennyiben a számío saiszika nagyobb, min a kriikus ( n R p ), úgy az alaphipoézis eluasíjuk, azaz léezik valamilyen fokú auokorreláció a hibaagok közö. Auokorreláció fennállása eseén az OLS becslés elveszíi BLUE-ságá, így a közelíő érékek nem lesznek haásosak. Szinén gondo jelen ilyenkor, hogy a paraméerek szórásnégyzeei orzíoak, s így az illeszkedés jósági foka jelenősen fölé becsülheő. Az auokorrelációs probléma legegyszerűbben úgy szüneheő meg, ha egy másik modellformá válaszunk, vagy megvizsgáljuk, hogy mely fonos válozó hagyuk ki a modellből, ami így nem le megfelelő.. Heeroszkedasziciás Ha a maradékválozó különböző x i érékekhez arozó varianciája állandó, akkor homoszkedasziciásról beszélünk. Ezen feléel megléé könnyen ellenőrizhejük, ha ábrázoljuk a hibaényező. A 4. ábra első fele egy olyan esee mua, ahol eljesül a feléel, míg az ábra második felén jól láhaó, hogy x érékének növekedésével a hibaényező éréke is nő, azaz heeroszkedasziciás esee áll fenn. 4. ábra: Homoszkedasziciás és heeroszkedasziciás A homoszkedasziciás eszelésére alkalmas eljárások közül az LM próbák, azon belül is a Breusch-Pagan próba [] a leginkább használ, mer álalánosan alkalmazhaó. A próba háulüője hogy feléelezi a homoszkedasziciásra vonakozó előzees ismereek, előfelevések megléé. Ez a hibá küszöböli ki a Whie próba [6], mely szinén nagyminás LM próba. A Breusch-Pagan próba A próba során a modellünk a kövekező formában írhaó fel: y x x k xk (4.8.) ahol ( E x ) az elérésválozó szórásnégyzee: z z p zp (4.9.) ahol z ismer adaokkal rendelkező i válozó időponbeli megfigyel éréke. i 4
. Hipoézisek felállíása: H : i minden i,3,, p H : legalább egy i Amennyiben a számío érék az elfogadási arományba esik, a homoszkedasziciás feléele megvalósul. Amikor azonban a arományon kívül, az eluasíási arományba esik, heeroszkedasziciás esee áll fenn.. Minánk alapján a próbasaiszika érékének kiszámíása: SSR LM (4..) azaz a -re vonakozó segédregresszió regressziós elérés négyzeösszegének a fele, amely p szabadságfokú eloszlás köve. p 3. Dönés a hipoézisekről: A p kriikus érékének meghaározása uán akkor udjuk a nullhipoézi eluasíani, ha a számío saiszikánk éréke magasabb a áblázaból kikerese éréknél ( LM ). Whie próba p A próba során az feléelezzük, hogy var( i ) i f ( xi ), ahol x i az ismerelen válozó. A Whie próba kereében az maradékválozó négyzeére írunk fel egy segédregresszió, melyben a reziduumoka egy konsanssal, az összes magyarázóválozóval, azok négyzeeivel és a magyarázóválozók kereszszorzaaival magyarázzuk. Összesen p darab magyarázóválozónk van. Ha ehá csupán ké válozóval magyarázuk meg az eredmény: y x, akkor 3 ( c, x, x ), ha 3-mal y x x, akkor 6 ( c, x, x, x, x, xx ) ha 4-el y x x 3x3, akkor ( c, x, x, x3, x, x, x3, xx, xx3, x x3 ) válozóval udjuk a - magyarázni 4. A Whie próba elvégezheő úgy is, ha csupán a válozók négyzeei vesszük, a kereszszorzaoka nem. A próba menee megegyezik a korábban bemuao Breusch-Pagan próbáéval, a különbség csupán a eszsaiszikában van, amely i (4..) vagyis a mina elemszám és a segédregresszió korrigálalan R -ének szorzaa, ami egy p szabadságfokú p eloszlás köve. A homoszkedasziciás hiánya azér jelen gondo egy elemzés során, mer az alapösszefüggésünke nem lehe OLS módszerrel becsülni, hiszen az így már nem haásos. 4 Álalános szabály alapján, ha a konsanssal együ k számú magyarázó válozóval magyarázzuk az y -, ( k ) akkor k / számú magyarázóválozó (konsanssal együ!) szükséges a segédregresszióba. 5
Az ilyenkor alkalmazhaó becslési eljárás a WLS 5, azaz a súlyozo legkisebb négyzeek módszere és a maximum likelihood (ML) becslés. Heeroszkedasziciás eseén szinén problémá jelen, hogy a varianciákra vonakozó becslések nem orzíalanok, s így a szokásos szignifikanciákkal nem udunk dolgozni. 3. A hibaényező normaliása A maradék eloszlásáról feléelezzük, hogy normális. Ennek eljesülésé legkönnyebben normál valószínűségi ábra alapján ellenőrizhejük. Az ábrán a reziduumoka a normális eloszlás esén várhaó érékük ( e * i ) függvényében ábrázoljuk. A várhaó érék (4..) ahol: i - a reziduum sorszáma - normális eloszlás éréke helyen se - a reziduális szórás. Amennyiben az így kapo ábra közel lineáris (5. ábra), az mondhajuk, hogy a normaliás feléele eljesül. Ugyanerre a célra alkalmazhaó a Q-Q (quanile-quanile) plo, mely sokkal elerjedebb 6. 5. ábra: Normál valószínűségi ábra A normális eloszlás másik grafikus eszközzel is szemléleesen lehe megmuani. Ez a maradékok hiszogramja. Normális eloszlásnál a hiszogram haranggörbe alakú. 5 Weighed Leas Squares 6 Elsősorban annak köszönheően, hogy a saiszikai programcsomagok beépíe opciókén kínálják. 6
Amennyiben a vizuális élmény szerenénk számokkal is aláámaszani, akkor a legegyszerűbb megoldás egy illeszkedésvizsgála elvégzése, ahol a H hipoézisünk szerin a vizsgál mina normális eloszlás köve, míg az ellenhipoézis szerin nem. 4...4. Mozgóálagolás A rende a megfigyel idősor érékeinek álagolásával kell előállíani abban az eseben, ha feléelezzük a arós irányza léé, de nincs kellő ismereünk a vizsgál folyamaról vagy nem udunk analiikusan leírhaó függvény meghaározni a közép- vagy hosszú ávú ciklusok zavaró haása mia. A módszer lényege, hogy az idősor -dik eleméhez úgy udunk rendéréke rendelni, hogy annak bizonyos környezeében lévő elemeke álagoljuk. A gyakorlaban álalában m agú rende számíunk. Ké ese leheséges:. m páralan Ekkor m felírhaó ilyen alakban: m k y k y A rend álalános képlee: y (4.3.) ahol ŷ a -dik elem rendéréke y a -dik elem k és k n kell hogy érvényesüljön. m páros k ˆ... y... y k y k y k... y... y k y k Ekkor m k és yˆ, ahol ugyanannak k a feléelnek kell érvényesülnie, min az. esenél, azaz k és k n. Ebben a ké eseben egy dolog ugyanaz, méghozzá, hogy az első és az uolsó k elemre nem lehe mozgó rende meghaározni. A mozgóálagolás agszámá annak függvényében kell megadni, hogy a szezonaliás van-e a vizsgál idősorban. Ha ugyanis feléelezheő, hogy van, akkor célszerű m -e úgy megadni, hogy a periódus egész számú öbbszöröse legyen. Ekkor a mozgóálagolás kisimíja a periódus. Ellenkező eseben pedig vagy nem megfelelően simíana, vagy éppen újabb periódus generálna. k 7
4... Konjunkúra haás kiszűrése A szabályalan közép- vagy hosszú ávú ciklus meghaározásának is ké módja van, min ahogyan a rende is ké úon lehee kiszámíani. Mivel a ciklus az analiikus- és a mozgóálagolású rend összeveésével lehe meghaározni, így a ké módszer abban különbözik, hogy melyike végzem el először. Abban az eseben, ha a megfigyel idősor rendjé mozgóálagolással haározzuk meg, akkor a kapo rendérékekből kiindulva analiikus rende kell számíani. Ebben az eseben a ciklus a ké rend különbsége lesz. A másik ese, amikor az analiikus rend számíásával indíjuk az idősor elemzésé. Ilyenkor az illesze rende levonva az idősor elemeiből megkapjuk a ciklus, a szezonaliás és a vélelen együes éréké. Ebből mozgóálagolás segíségével haározhaó azán meg a kerese ényező, azaz a ciklus. A ké módszer nem egyforma, de egymáshoz igen közelálló eredményeke ad. Éppen ezér bármelyik használhaó. 4..3. Szezonaliás kiszűrése A rend és ciklus érékének meghaározása még nem elég egy megbízhaó előrejelzés készíéséhez. Felélenül ellenőrizni kell, hogy nem marad-e az idősorban még olyan elem, ami nem csak a vélelennel magyarázhaó, azaz nem marad-e szezon haás. Ahhoz, hogy a szezonaliás meg udjam haározni, ki kelle szűrni a öbbi komponens haásá. Ez úgy hajoam végre, hogy az idősor megiszíoam a rend és a ciklus haásáól, vagyis kivonam azoka az idősorból (ezzel lérehozva az egyedi szezonális eléréseke). A maradék azonban még aralmaza a vélelen. Ez a komponens úgy udam kiszűrni, hogy a különbségeke a megfelelő szezonokra nézve a periódusok (i) szerin álagolam. Azonban ekkor szükség vol még egy korrekcióra, és így marad meg végül az, ami megmuaja, hogy a szezonális haás mia az ado időszakban mennyivel ér el az idősor adaa az alapirányzanak megfelelő érékől. Mindezeke képleesen is megmuava: y ij yˆ ij c ij s j ij y ij sˆ s j korr n i n sˆ y j ij m j sˆ m j (4.4.) 8