A szochaszikus idősorelemzés alapjai Ferenci Tamás BCE, Saiszika Tanszék amas.ferenci@medsa.hu 2011. december 19.
Taralomjegyzék 1. Az idősorelemzés fogalma, megközelíései 2 1.1. Az idősor fogalma................................... 2 1.2. Deerminiszikus és szochaszikus idősorelemzési megközelíések......... 4 1.2.1. Deerminiszikus idősorelemzés........................ 4 1.2.2. Szochaszikus idősorelemzés......................... 5 1.3. Egy példa a ké filozófiára: a deerminiszikus és a szochaszikus rend..... 5 2. Sacionariás 9 2.1. A sacionariás fogalmának szükségessége...................... 9 2.2. Erős és gyenge sacionariás.............................. 11 2.2.1. Erős sacionariás............................... 11 2.2.2. Gyenge sacionariás.............................. 12 2.3. Sacionárius idősorok nevezees jellemzői....................... 13 2.4. A sacionariás ellenőrzése, sacionarizálás, rend- és differenciasacionárius idősorok 15 1
1. fejeze Az idősorelemzés fogalma, megközelíései Ebben a fejezeben elsőkén definiáljuk az idősor fogalmá (1.1. pon), majd bemuajuk az idősorok elemzésével foglalkozó ké alapveő megközelíési módo (1.2. pon). 1.1. Az idősor fogalma Az idősor fogalmá megragadhajuk sokasági (elmélei idősor) és mina (empirikus idősor) szemléleben. Sokasági érelemben idősornak nevezzük valószínűségi válozók egy indexel {Y, N} családjá 1, ahol a indexe idő -nek fogjuk nevezni. (Az indexelés, amire az egyes valószínűségi válozóknál az alsó index ual, a valószínűségi válozók közö egy sorrende állí fel: Y 1 előbb van, Y 2 később.) Ilyen érelemben ez ehá lényegében valószínűségi válozók egy sorbarendeze halmaza. Jelenhei például Y a nap végi OTP záróárfolyamo, a nap végi HUF/EUR árfolyamo, a évbeli magyarországi gabonaermelés sb. Néha az is hasznos lesz, ha úgy gondolunk erre, min egy öbbdimenziós valószínűségi válozóra, melynek Y -k a komponensei (csak épp, szemben a szokásos öbbdimenziós eloszlásokkal, a sorrendjünk nem indifferens). N a leheséges időponok halmaza; ez a közgazdasági gyakorlaban legöbbször diszkré, nagyon gyakran egy véges halmaz, például N = {1, 2,..., T }. Ekkor ehá T számú időponunk van, melyeke 1-ől T -ig indexelünk; a valószínűségi válozóink így ehá: Y 1, Y 2,..., Y T. (Műszaki és ermészeudományos gyakorlaban előfordulnak folyonos indexhalmazok is, pl. lehe N = R +. Mi ilyen, ún. folyonos idejű idősorokkal a ovábbiakban nem foglalkozunk, csak diszkré idejűekkel, és az egyszerűség kedvéér azon belül is az N = {1, 2,..., T } eseel.) Lehe például az indexelés jelenése az, hogy = 1 a jövő héfői OTP záróárfolyam, = 2 a jövő keddi sb., és T = 5 (azaz a jövő hé ö munkanapjára vonakozó OTP záróárfolyam az idősorunk). Mina megközelíésben idősornak az a y 1, y 2,..., y T saiszikai adasor (adabázis) nevezzük, amelynek az megfigyelési egységei sorbarendezeek, valamilyen időponhoz kööek. (I már láhaóan alkalmazuk az a konvenció, hogy az időponjaink az {1, 2,..., T } halmaz elemei.) Míg ehá az előbbiekben valószínűségi válozók (sorbarendeze) sorozaával van dolgunk, i már konkré számok (sorbarendeze) sorozaával. Nyilvánvaló, hogy ez uóbbi az előbbi egy realizációja. (Ponosan ugyanúgy, ahogy az 1406 eladásra kínál lakás is egy-egy, összesen 1406 realizáció a kínálai ár, alaperüle sb. válozók (ismerelen) együes eloszlásából.) 1 Ponosan ugyanez a fogalma a valószínűségszámíásban szochaszikus folyamanak szokás nevezni. 2
1. FEJEZET. AZ IDŐSORELEMZÉS FOGALMA, MEGKÖZELÍTÉSEI 3 Ez uóbbi megjegyzés rögön muaja az idősorelemzés legnagyobb problémájá (és egyben persze kihívásá): az, hogy a gyakorlai feladaokban az egyes időponokhoz arozó valószínűségi válozónkra csak egy realizációnk lesz! Nem hogy 1406 miná nem veheünk a valószínűségi válozóból, de keő sem. (Aligha lehe a holnapi OTP-záróárfolyam, min valószínűségi válozóból ké miná venni... ) Szokás ez, nagyon alálóan, a reprodukálhaalanság problémájának is nevezni. Mindezeke példázza az 1.1. ábra 2, mely az OTP 2010 évi záróárai ábrázolja. 2010-ben összesen 254 kereskedési nap vol a BÉT-en, ez ehá egy T = 254 elemű idősor; január 4- ől (az első kereskedési napól) 1-gyel kezdve, minden kereskedési napon egyesével növekvően indexelhejük. A feniek fényében világos, hogy az OTP záróárfolyamainak alakulásá elvileg egy 254-dimenziós valószínűségi válozó írja le; az ábrán ennek egyelen realizációja láhaó... ami egyúal bizonyosan az egyelen léező realizáció is erre az idősorra. 7500 Az OTP záróárai (BÉT), 2010 7000 6500 Záróár [F] 6000 5500 5000 4500 febr. márc. ápr. máj. jún. júl. aug. szep. ok. nov. dec. Dáum 1.1. ábra. Az OTP 2010 évi záróárai a BÉT-en Ennek megfelelően ehá soha ne felejsük el, hogy az empirikus idősor, hiába is áll 254 számból, valójában egyelen realizáció csak épp egy 254-dimenziós valószínűségi válozóból. (Ahogy például a kínálai ár, alaperüle, szobaszám együes eloszlásából ve egyelen realizáció is három számból áll.) A feni ábrázolás az juaja kifejezésre, hogy az idősoros adaok specialiása (szemben a lakásos példával), hogy a valószínűségi válozó komponensei közö (és így persze a realizál komponensei közö is) sorrendezés van: az ábrázolásnak csak úgy van érelme, ha erre 2 Az ábrázolás elvileg nem eljesen korrek, hiszen ez az idősor ugyebár diszkré, ezér az egyes ponoka nem köhenénk össze, ám i olyan sok időponunk van, hogy ez lényeges hibá nem jelen (amúgyis szabad szemmel szine megkülönbözeheelenül közel lennének a ponok).
1. FEJEZET. AZ IDŐSORELEMZÉS FOGALMA, MEGKÖZELÍTÉSEI 4 ekineel vagyunk; nyilván az ábra is e sorbarendezés figyelembevéelével készül. A feniek mind ún. egyválozós idősorok volak, hiszen skalárérékű valószínűségi válozóka, ill. realizáljaika vizsgáluk. Természeesen semmi akadálya annak, hogy ehelye vekorérékű valószínűségi válozókra érjünk á (pl. OTP árfolyam és HUF/EUR árfolyam együes vizsgálaa), ilyen öbbválozós idősorról szokás beszélni. Ez egy még izgalmasabb, és persze bonyolulabb maemaikai formalizmusú erüle, hiszen ilyenkor nem csak a különböző időponok közöi, hanem a különböző válozók közöi kapcsola kérdésé is kezelni kell. Mi mos egyválozós idősorokkal fogunk foglalkozni. 1.2. Deerminiszikus és szochaszikus idősorelemzési megközelíések Az idősorok elemzésének ké alapveő megközelíése, módszerana alakul ki: a deermiszikus (1.2.1. alpon) és a szochaszikus (1.2.2. alpon) idősorelemzés. Megjegyezzük, hogy valójában mindkeő az ún. időarományon örénő elemzés kaegóriájába esik (mivel azon alapulnak, hogy az idősor külöböző időponokhoz arozó érékei közö eremenek kapcsolao). Tágabban szemlélve, az idősorelemzés másik nagy kaegóriája a frekvenciaarományon örénő elemzés, ezzel azonban nem fogunk részleeiben foglalkozni. A frekvenciaarományon örénő elemzés lényege (némiképp leegyszerűsíve), hogy az idősor Fourierranszformációval szinuszhullámok összegére bonja. Beláhaó, hogy idősorok egy széles csoporja ekvivalensen reprezenálhaó úgy, hogy megadjuk, hogy az egyes frekvenciájú szinuszhullámoka milyen súllyal kell kombinálni, hogy megkapjuk az idősor. (Az ekvivalens reprezenáció ala az érjük, hogy oda-vissza á lehe érni a ké leírás közö.) Ez uóbbira szokák az mondani, hogy időaromány helye frekvenciaarományon íruk fel az idősor; ebből is sok hasznos és érdekes kövekezeés lehe levonni. Ez a módszeran szokák spekrális elemzésnek is nevezni. 1.2.1. Deerminiszikus idősorelemzés Az ún. deerminiszikus idősorelemzés azon a felevésen nyugszik, hogy az idősor alakíó ényezők, elvileg legalábbis, eljeskörűen számbaveheőek, és ez alapján az idősor alakulása, elvileg legalábbis, ökélees ponossággal felírhaó lenne. A vélelennek csak annyiban ju szerep, hogy valami ákozo pech folyán a gyakorlai eseekben ez a eljeskörű felírás soha nem valósul meg (korláozoak a mérési leheőségek, korláozo a udásunk, hibával udunk csak mérni sb.), emia a valóság mindig elér a modell szerini becslésünkől. (Vegyük észre, hogy ez az elérés eljesen analóg a kereszmeszei regresszió elérésválozójával, amiben szinén a feni okok miai hibá sűríeük.) Azonban, és ez nagyon fonos, ebben a modellezési filozófiában a vélelen szerepe i vége is ér: kialakíja az ado időszakbeli ponos éréke (elérve valamennyivel a becslésünkől), ám ennyi, a későbbi időszakokra ennek már nincs haása! (Természeesen a későbbi időponokban is lesz elérés, ehá o is szerepe kap a vélelen, ám ez már az előző(ek)ől függelenül alakul minha minden időpillanaban pénzfeldobásszerűen dönenénk a ényleges érék becsülől való eléríéséről.) Ez a filozófia a dekompozíciós idősormodellek felé mua, melyek különböző, elérő aralmú komponensekre próbálják bonani az idősor (melyekől az idősor valamilyen függvényszerű módon függ). A legnépszerűbb modellben szokás beszélni pl. rendről (hosszú ávú alapirányza), ciklusról (éven úli ingadozás a rend körül) és szezonaliásról (évszakról-évszakra ingadozó, ehá éven belüli elérés a rend és ciklus szerini érékől). Amennyiben felesszük, hogy ezek addiíve evődnek össze, úgy az idősormodellünk a kövekezőképp néz ki: Y = R + C + S + u,
1. FEJEZET. AZ IDŐSORELEMZÉS FOGALMA, MEGKÖZELÍTÉSEI 5 ahol R, C és S a rend, a ciklus és a szezonaliás rendre, u pedig a már emlíe elérésválozó. Ezek a komponensek klasszikus saiszikai (jellegében deskripív saiszikai) módszerekkel (pl. analiikus rendszámíás) becsülheőek. A deerminiszikus idősorelemzéssel (mellyel elsősorban hosszúávú előrejelzések adása a cél), a ovábbiakban nem foglalkozunk. 1.2.2. Szochaszikus idősorelemzés A szochaszikus idősorelemzés alapveő filozófiai elérése, hogy bár ez a modell is adni fog egy becsül éréke az idősor ado időponbeli érékére, és feléelezi, hogy a valós érék eől vélelen módon elér, ám abból indul ki, hogy ennek a vélelen elérésnek később is haása van: az idősor későbbi alakulásá is befolyásolja. Úgy is szokák mondani, hogy az idősor fejlődésében öngeneráló haások érvényesülnek: egy ado időpillanabeli (vélelen) elérés befolyásolja a későbbi érékeke is, ehá a vélelennek folyamaépíő szerepe van. E megközelíés nagy sikerrel alkalmazák különböző közgazdasági (kiemelen: pénzügyi) idősorok modellezésére; elsősorban rövid ávra. 1.3. Egy példa a ké filozófiára: a deerminiszikus és a szochaszikus rend Mos megnézünk egy egyszerű példá, mely közvelenül a ké modellezési iskola felevései szemlélei, ám a későbbiek szemponjából is nagyon jól fog jönni. Vegyük a kövekező ké idősor-specifikáció: Y (D) = α + u, Y (S) = α + Y (S) 1 + u, Y 0 = 0. (Láhaó, hogy mindké idősor a sokaságban 3 specifikáluk.) Az egyszerűség kedvéér feléelezzük, hogy u N ( 0, σ 2), mégpedig különböző -kre függelenül. Első ránézésre öbb hasonlóság is felfedezheő a ké specifikáció közö. Mindké idősor a 0- ból indul (a 0 időpillanaban) és érezheő, hogy mindkeőre igaz, hogy egy időszakkal később várhaóan α-val nagyobb éréke vesznek fel. (Az α ermészeesen lehe negaív is.) Hogy ez az állíás precízebben is megfogalmazzuk, vegyük észre, hogy az Y (S) behelyeesíheünk (hiszen ha Y (S) Y (S) = α + Y (S) 1 + u = α + = α + Y (S) 1 + u, akkor nyilván Y (S) 1 = α + Y (S) ( α + Y (S) 2 + u 1 ) + u = [ ( ) ] = α + α + α + Y (S) 3 + u 2 + u 1 + u =... = α + definíciójába rekurzíve 2 + u 1 sb.): u i. Az inuiív észrevéelünke ehá ( úgy fogalmazhajuk meg mos már precízen, hogy EY (D) = E (α + u ) = α és EY (S) = E α + ) i=1 u i = α, ehá várhaóérékben minden időpillanaban ugyanaz a ké idősor éréke. (Kihasználuk, hogy összeg várhaóéréke a várhaóérékek összege, illeve, hogy konsans várhaóéréke sajá maga és Eu i = 0.) 3 Ponosan innen lászik az is, hogy az Y 0 = 0 ermészeesen nem az jeleni, hogy az Y 0 az a 0 (min valós szám), hiszen az Y -k valószínűségi válozók, ez ehá úgy érendő, hogy az Y 0 az az elfajul valószínűségi válozó, mely 1 valószínűséggel a 0 éréke veszi fel. i=1
1. FEJEZET. AZ IDŐSORELEMZÉS FOGALMA, MEGKÖZELÍTÉSEI 6 Ez egy nagyon komoly megállapíás, ám van különbség is a ké idősor fejlődése közö. Ez rögön világos lesz, ha felírjuk ( a szórásnégyzee egy álalános időponra: D 2 Y (D) = D 2 (α + u ) = σ 2 és D 2 Y (S) = D 2 α + ) i=1 u i = σ 2. (Kihasználuk, hogy konsans minden valószínűségi válozóól függelen (és szórásnégyzee nulla), és hogy függelen valószínűségi válozók összegének szórásnégyzee a szórásnégyzeek összege.) A ké idősor ehá várhaóérékban ugyan azonos, ám Y (S) egyre nagyobb kilengésekkel ingadozik ezen várhaóérék körül, míg Y (D) állandóakkal. Megjegyezzük, hogy mivel nyilván mind Y (D), mind Y (S) normális eloszlású (hiszen a normális eloszláscsalád zár a konvolúcióra és a konsanssal elolásra), így a feni ké megállapíással eljesen le is íruk az idősoroka. (Hiszen egy normális eloszlás egyérelműen meghaároz várhaóéréke és varianciája.) A fenieke számíógépes szimulációval szemlélehejük: vélelenszámgeneráorral előállíunk u N ( 0, σ 2) számoka, majd így lejászhajuk egy leheséges lefuásá az idősornak. (Mind Y (D) -, mind Y (S) - szimulálhajuk ilyen módon.) E megközelíés előnye, hogy míg valós sziuációban nem ismerjük a sokasági eloszlás (épp ennek meghaározása lesz a felada), csak egy realizála (ső, idősorelemzésnél bizosan legfeljebb egy realizáljá láhajuk az ismerelen sokasági eloszlásnak), addig ebben az eseben ismerjük, ső, mi haározzuk meg (a vélelenszámgeneráor beállíásával) a sokasági eloszlás. Ennek megfelelően ermészeesen ebben az eseben veheünk akárhány realizála a sokasági eloszlából (egyszerűen újra lefuajuk a szimuláció). Ez szemlélei az 1.2. ábra, melyen 9-9 realizála ábrázolunk a Y (D) (kékkel) és Y (S) (pirossal) idősorokból α = 1, σ 2 = 9 paraméerek melle. (A jobb áekinheőség vége csak 3-3 realizála ábrázolunk egy grafikonon.) Megjegyezzük, hogy ezeke a lefuásoka szokás rajekóriának is nevezni. Az ábra anulságosan igazolja vissza mindaz, ami eddig elmélei úon levezeünk. Egyrész jól lászik, hogy várhaóérékben ényleg egyezik a ké idősor (már ennyi ábrából is érezheő, hogy az y = x egyenes körül ingadoznak); és az is ökéleesen lászik, hogy míg Y (D) állandó szórással ingadozik ezen egyenes körül, addig Y (S) egyre nagyobb szórással ( legyezőszerűen kiágul ezen egyenes körül). Mos már elárulhajuk, hogy Y (D) - szokás deerminiszikus rendnek, Y (S) -e pedig szochaszikus rendnek nevezni. (A rend elnevezés jogosságá épp a várhaóérékek alakulásáról e megállapíásunk indokolja.) Már a specifikációkból is láhaó, hogy a deerminiszikus rend alakulása a deerminiszikus idősorelemzési iskola premisszái eljesíi, a szochaszikus rend a szochaszikus idősorelemzésié. És ebből egy újabb fonos, aralmi kövekezeés vonhaunk le az idősorok fejlődésének jellegzeességeire vonakozóan. A deerminiszikus rend alakulásá úgy lehe elképzelni, hogy a -edik időponban fellépünk az α ponba, majd egy N ( 0, σ 2) vélelenszám szerin perurbáljuk a pozíciónka. A szochaszikus rend eseén az előző pozícióból fellépünk α- és uána éríjük el a pozíciónka egy N ( 0, σ 2) vélelenszám szerin. (Mindezek a mos ismer sokasági specifikációból világosak.) Hogy mi a különbség? Ha a vélelengeneráor pon egy nagyon nagy, vagy nagyon kicsi éréke dob ki, az ugyan kiugró pozíció fog eredményezni, ám ennek deerminiszikus rendnél semmilyen jelenősége nincs a későbbiek szemponjából (eől függelenül α-be lépünk és generálunk újra vélelenszámo a kövekező időponban), addig szochaszikus rend eseén nagyon is van: az egész folyama a kiugró pozícióól folyaódik ovább! Ez legjobban alán a legalsó részábra legfelső rajekóriáján lászik: miuán a 25. időpillanaban egy nagy poziív vélelenszámo kapunk, a nagy kiugrás nem egyszeri vol (ahogy deerminiszikus rend eseén le volna), hanem lényegében elolódo az idősor, és onnan folyaódo az épülése. Mindez a specifikációból kövekezik, ermészeesen. Az is mondhanánk, hogy a szochaszikus rend eseén az idősorba beépülnek a sokkok, míg a deerminiszikus rendbe nem.
1. FEJEZET. AZ IDŐSORELEMZÉS FOGALMA, MEGKÖZELÍTÉSEI 7 100 80 60 40 20 20 40 60 80 100 120 100 80 60 40 20 20 40 60 80 100 120 100 80 60 40 20 1.2. ábra. Y (D) 20 40 60 80 100 (kék) és Y (S) (piros) szimulál lefuása 100 időegységre Ez a példa jól szemlélei, hogy mi kell az ala éreni, hogy egy idősorban a vélelennek folyamaépíő szerepe van, hogy öngeneráló haások érvényesülnek. Megjegyezzük, hogy az Y = Y 1 +u specifikáció szokás vélelen bolyongásnak (RW, random walk) is nevezni, hiszen Y felfoghaó úgy is, min egy objekum ( a bolyongó ) érbeli helyzee. Azaz: a bolyongó kezdeben az origóban áll, minden időpillanaban előveszi a vélelenszámgeneráorá, és annyi lép felfelé, amennyi a vélelenszám-generáor mua. (Ez ermészeesen
1. FEJEZET. AZ IDŐSORELEMZÉS FOGALMA, MEGKÖZELÍTÉSEI 8 negaív is lehe.) Ez ehá egy ún. egydimenziós bolyongás. Az Y = α + Y 1 + u ípusú folyama neve elolásos vélelen bolyongás (RWD, random walk wih drif), hiszen ilyenkor a bolyongó először deerminiszikusan felfelé lép α- (elolás, sodródás ) és uána nézi meg a vélelenszámgeneráorá. RWD-folyamaokra a feniekben már láunk példáka, az 1.3. ábrán pedig 5 szimulál RW-folyama rajekóriájá láhajuk. Érdemes ellenőrizni a megbeszél ulajdonságok eljesülésé! Ezen folyamaoknak a valószínűségszámíásban van nagy jelenőségük. 40 20 20 40 60 80 100 20 40 60 1.3. ábra. Vélelen bolyongás (RW) szimulál rajekóriái
2. fejeze Sacionariás A sacionariás az idősorelemzés egyik alapveő fogalma; lényegében egy megköés jelen az idősor valószínűségi srukúrájára nézve. E megköés azér szükséges, hogy az idősor saiszikai eszközökkel kézbenarhaó legyen. (És mer épp emia a későbbi ismereendő módszeran is sacionárius idősoroka fog igényelni.) A 2.1. ponban megindokoljuk, hogy miér szükséges ez a fogalom, mi a bevezeésének a logikája. Ez köveően, a 2.2. ponban precízen is bevezejük a ké, gyakran használ sacionariás fogalma, majd a 2.3. ponban megmuajuk pár nevezees jellemzőjé a sacionárius idősoroknak. Ez már csak azér is fonos, mer a későbbiek szine kizárólag ilyen idősorokkal fogunk dolgozni. A 2.4. ponban megmuajuk, hogy az idősorok sacionariásá hogyan udjuk megvizsgálni. Ez azér különösen fonos, mer a későbbiekben, amin már ualunk is rá, sacioner idősorokra lesz szükségünk a modellépíéshez. Emia i árgyaljuk az a másik nagyon fonos kérdés is, hogy mi a eendő nem-sacioner idősorok eseén, hogyan udjuk őke sacioner idősorrá ranszformálni ( sacionarizálás ). 2.1. A sacionariás fogalmának szükségessége Hasonlóan a kereszmeszei adaelemzéshez, idősoros eseben is az lehe a célunk, hogy a mina alapján rekonsruáljuk az ismerelen háéreloszlás, amiből a mina származik. Az idősor eljes leírásá az adja, ha megadjuk a komponenseinek, ehá az egyes időponhoz arozó valószínűségi válozóknak az együes eloszlásá. Jegyezzük meg, hogy az egyes időponok önmagában ve eloszlása nyilván kevés, hiszen ezekből semmi nem udunk az időponok közöi kapcsolaokról. Gondoljunk akár csak a legegyszerűbb esere: T = 2 és az idősor eloszlása kédimenziós normális. A 2.1. ábra ké ilyen esee szemléle, a kédimenziós sűrűségfüggvény szinvonalakkal megjeleníve. A ké ese jellegzeessége, hogy mindké veülei eloszlásuk (ehá: mindké időponban az ado időponra önmagában ve eloszlás) ponosan ugyanaz (ez szemléleendő az ábrán szinén felüneük ezeke a veülei eloszlásoka, mégpedig pon úgy, ahogy a kédimenziós eloszlás le kéne veíeni ), mégis a ké idősor aralma drámaian elérő: nagyon nem mindegy, hogy ha a részvény ado napi árfolyama az álagánál magasabb, akkor a kövekező napi várhaóan álagánál alacsonyabb, vagy pon hogy magasabb lesz... Kicsi precízebb valószínűségszámíási erminológiával megfogalmazva: a ké eloszlás várhaérék-vekora és szórásnégyzeei eljesen azonosak, ami elér, az a kovariancia (és így persze a korreláció is). Az is világos mellesleg valószínűségszámíásból, hogy kizárólag akkor mondhajuk, hogy a veülei eloszlások elégségesek, ha az egyes időponok füg- 9
2. FEJEZET. STACIONARITÁS 10 gelenek (hiszen ekkor az együes sűrűségfüggvény 1 előállíhaó a veülei sűrűségfüggvényekből, egyszerű szorzással). Ez nyilván irreális felevés a legöbb gyakorlai eseben. Minden információ álalánosságban csak az együes eloszlás hordoz. 0.15 0.10 0.05 y 2 2 4 6 8 10 y 10 8 6 4 2 0 1234567 x 2 y 10 8 6 4 2 0 1234567 x 2 0.15 0.10 0.05 y 2 2 4 6 8 10 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 x 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 x 2.1. ábra. Ké kédimenziós normális eloszlás sűrűségfüggvénye (szinvonalakkal) és veülei eloszlásaik (szemléleesen o, ahová ényleg veíeni lehene a kédimenziós felülee); úgy, hogy az eloszlások mindké veülei eloszlása ponosan egyezik, mégis drámaian elérőek aralmilag Az 1. fejezeben mondoak szerin azonban az együes eloszlás meghaározására szemben a kereszmeszei eseel semmilyen reményünk nincs: míg 1406 mina alapján a 7 válozónk együes eloszlása jól rekonsruálhaó, addig i, egyelen mina lévén, lényegében semmi nem udunk mondani az együes eloszlásról. Ső, nem csak az együes eloszlásról nem udunk érdemben nyilakozni, de még a veülei eloszlásokról (i: az idősornak az egyes időponokban önmagában ve eloszlásairól) sem: egyelen realizációból érelmesen még várhaóéréke sem udunk mondani, nemhogy eloszlás rekonsruálni. Ebből ehá világos, hogy az idősorelemzéssel csak úgy udunk érdemben ovábbhaladni, ha az együes eloszlásra bizonyos megköéseke eszünk. Ez fog elvezeni minke a sacionariás fogalmához. Először egy rávezeő problémával kezdünk. Tegyük fel, hogy valaki megkér minke, hogy adjuk meg a 2010. január 4.-i OTP záróárfolyam várhaóéréké. (Ez az Y 1 az 1.1. ábra példáján.) Ahogy már monduk, ovábbi megköés nélkül ez a felada reményelen, hiszen arra a valószínűségi válozóra egyelen minánk van (y 1 = 5492), amiből, érelmesen legalábbis, nem lehe várhaóéréke becsülni. (Min ahogy semmi más sem.) Tegyük fel azonban, hogy valaki megsúgja, hogy az együes eloszlás olyan, hogy minden veülei eloszlásnak (ehá minden nap záróárának) ugyanaz a várhaóéréke. Ekkor már draszikusan más a helyze! Ha ugyanis ez a felevés igaz, akkor ermészeesen a második (vagy bármelyik más) időponbeli realizáció is ugyanúgy használhaó a várhaóérék becslésére, min az első napi; azaz: a különböző naphoz arozó érékeke összeönhejük a várhaóérék becslé- 1 Mi mos csak olyan idősorokkal foglalkozunk, melyeknél a valószínűségi válozó eloszlása folyonos, és így léezik sűrűségfüggvény.
2. FEJEZET. STACIONARITÁS 11 séhez. Márpedig 254 érékből nagyon is lehe várhaóéréke becsülni! E felevés híján azonban a külöböző időponbeli érékeke nem használhauk volna fel együ. Ez a példa rámua arra, hogy ha bizonyos megszoríásoka eszünk (a példában: hogy minden veülei eloszlás várhaóéréke ugyanaz), akkor a kezdeben reményelen feladao kezelheővé esszük (legalábbis bizonyos szemponok szerin). E kiköések eljesülésé persze valahogy ellenőrizni kell, de erre majd később, a 2.4. ponban érünk vissza. 2.2. Erős és gyenge sacionariás Mos bevezejük, a feniek álal moiválva, idősorok sacionariásának fogalmá. (Jobban mondva fogalmai, mer öbb sacionariási fogalma is definiálni fogunk.) Előe még emlékezeünk arra, hogy egy öbbdimenziós eloszlás veüleének néhány kiválaszo komponensének együes eloszlásá nevezzük. Például az X, Y, Z, V valószínűségi válozókból (min komponensekből) álló öbbdimenziós (négydimenziós) valószínűségi válozónak 4 darab egydimenziós veülei eloszlása van (az X, az Y, a Z és a V válozók (önmagában ve) eloszlása), 6 darab kédimenziós veülei eloszlása van (az X, Y, X, Z, X, V, Y, Z, Y, V és Z, V párok együes eloszlása) és így ovább. (Természeesen, min az ez a példa is muaja, a veülei eloszlás is lehe öbbdimenziós, azaz egy együes eloszlás veülei eloszlása is jelenhe együes eloszlás.) 2.2.1. Erős sacionariás Kezdjük egy nagyon erős megköéssel. Egy idősor erős érelemben sacionáriusnak (vagy: erős érelemben sacionernek) nevezünk, ha minden véges dimenziós veüleének együes eloszlása (ehá: akárhány elemű veüleről van szó, és ezeke az elemeke akárhogy válaszjuk ki az idősor komponensei (azaz időponjai) közül) elolásinvariáns, minden érelmes elolásra. Például mondjuk az, hogy háromdimenziós veüleek együes eloszlására vagyunk kíváncsiak; egy ilyen leheséges veüle például az Y 1, Y 3 és Y 7 együes eloszlása. Ha az erős sacionariás fennáll, akkor e három együes eloszlásának ugyanannak kell lennie, min Y 2, Y 4 és Y 8 együes eloszlásának, vagy épp Y 12, Y 14 és Y 18 együes eloszlásának, vagy épp Y 212, Y 214 és Y 218 együes eloszlásának, és egyálalán: minden más, elolással kijelöl időpon együes eloszlásának. (Elolással kijelölés i olyan, minha egy ablako mereven végigolnánk az idősoron, ehá az egyes időponok közi különbségeknek ugyanannyinak kell lenniük.) És ennek ermészeesen nem csak a háromdimenziós veüleekre kell eljesülnie, hanem az egydimenziósokra, a kédimenziósokra,... és az n 1 dimenziósokra is. (Azér kelle úgy fogalmaznunk, hogy minden érelmes elolásra, mer nem véges idősoroknál ez az ablako nyilván nem olhajuk ki az idősoron úlra.) Precízen megfogalmazva: k 1 eseén 1, 2,..., k -ra Y 1, Y 2,..., Y k együes eloszlása megegyezik Y 1+h, Y 2+h,..., Y k +h együes eloszlásával, h-ra (ha az i szereplő komponensek mind az idősor részei). Ez a feléel (már a kvanorok számából is érezheően... ) rendkívül soka köveel meg. Vegyük észre például, hogy ennek része az előző pon végének példa-megköése: a definíció k = 1-gyel alkalmazva az kapjuk, hogy erős sacionariás eseén minden egyes időponban ponosan ugyanannak kell lennie az idősor ado időponbeli (veülei) eloszlásának. (Így nyilván a várhaóérékének, és egyálalán, minden momenumának is ugyanannak kell lennie, minden időponban.) Ennek megfelelően, ha egy idősor erősen sacioner, az rendkívüli módon megkönnyíi az elemzésé. Nem csak a várhaóérékének becsléséhez használhaó fel együ az összes időponbeli érék (ehá y 1, y 2,..., y T ), de a szórásnégyzeének, ferdeségének sb., ehá álalában, bármilyen momenumának becsléséhez, ső: a definíció k = 2-re alkalmazásából lászik, hogy az egymás köveő időponok kédimenziós eloszlása is ugyanaz, ehá minden időpon és a rákövekező időpon közi
2. FEJEZET. STACIONARITÁS 12 korreláció is ugyanaz kell legyen (függelenül aól, hogy melyik ez a ké időpon, csak az számí, hogy egymás uániak legyenek), és ennek becsléséhez felhasználhajuk az (y 1, y 2 ), (y 2, y 3 ),..., (y T 1, y T ) érékeke. Ső, a keő különbségű időponok eloszlása is azonos, függelenül aól, hogy melyek a konkré időponok (csak az számí, hogy időkülönbségük keő legyen), így korrelációjuk is azonos, és emia e korreláció (szokák úgy is hívni: a keő késleleéshez arozó korreláció) becsléséhez felhasználhaóak az (y 1, y 3 ), (y 2, y 4 ),...,(y T 2, y T ) párok érékei, és így ovább. (Tehá például minden háromdimenziós (sb.) veülei eloszlás is azonos lesz, elolásól függelenül, csak ezek nem bírnak olyan nagy gyakorlai jelenőséggel, nincs is olyan közismer leírójuk, min kédimenziósoknál a korreláció.) 2.2.2. Gyenge sacionariás Az láhaó, hogy a felvázol problémá az erős sacionariás elfogadása megoldja, csak épp ezzel bizonyos érelemben áesünk a ló úloldalára : az erős sacionariás olyan komplex köveelményrendszer, hogy ellenőrzése lényegében reményelen minából. Éppen emia, a gyakorlai alkalmazásokban ehelye inkább egy gyengíe válozaá szokás használni. A gyengíés moivációja, hogy csak azoka a köveelményeke hagyjuk meg az erős sacionariásból, amelyek kézzelfoghaó saiszikai jellemzőkhöz kapcsolódnak: például a kédimenziós eloszlásoknak van gyakorlai jelenőségük (fonos leírójuk kovariancia/korreláció), ám a három (és öbb) dimenziós eloszlásoknak nincs ilyen jellemzőjük, ezér keőnél nagyobb dimenziójú veüleekre egyálalán nem eszünk kiköés. Ső, az egy- és kédimenziós eloszlásoknál is enyhíünk a feléeleken: nem az eloszlások eljes egyezőségé köveeljük meg, csak az első és második momenumban örénő egyezés. (Kédimenziós eseben az első momenumnak nincs érelme, a második momenum pedig a kovariancia lesz.) Mindezeke összefoglalva, és precízzé éve: egy idősor gyenge érelemben sacionáriusnak (vagy gyenge érelemben sacionernek) nevezünk, ha a kövekező három feléel eljesül rá: 1. Minden időponban ugyanaz az idősor várhaóéréke, ehá léezik a közös m EY i várhaóérék. 2. Minden időponban ugyanaz az idősor szórásnégyzee, ehá léezik a közös σ 2 D 2 Y i szórásnégyze. 3. Ké időpon közi kovariancia kizárólag a ké időpon külöbségéől (a késleleésől) függ, ehá cov (Y i, Y i+k ) = E [(Y i EY i ) (Y i+k EY i+k )] γ k, minden i-re. Azonnal láhaó, hogy egy-az-egyben az erős sacionariás köveelményei isméelük meg, csak épp mindössze egy- és kédimenziós veüleekre, és mindössze első ké momenumban örénő egyezésre. (Szokás a gyenge sacionariás kovariancia-sacionariásnak is nevezni.) Észreveheő mellesleg, hogy ez a gyengíés ponosan összhangban van azzal, ami akkor ennénk, ha udnánk, hogy az idősor öbbdimenziós normális eloszlású (és így persze minden veülei eloszlása is (öbbdimenziós) normális). Ekkor ugyanis egyrész az első ké momenum eljesen meghaározza az eloszlás, másrész pl. négy időpon együes eloszlása eljesen deerminál, ha ismerjük a belőlük kiválaszhaó összes pár eloszlásá. (Hiszen az egyes időponok várhaóérékén úl csak a kovarianciamárixra van szükségünk (e keő eljeskörűen leír egy öbbdimenziós normális eloszlás), márpedig az páronkén számolhaó.) Magyarán: öbbdimenziós normális eloszlásnál semmilyen plusz nem jelen a keőnél öbb elemű veüleek, illeve a keőnél nagyobb momenumok ismeree. A feniekből ehá világos, hogy az erős sacionariás fogalma valóban erősebb: az erősebb sacionariás implikálja a gyengé. A fordío irány álalában nem áll fenn (ehá a ké fogalom
2. FEJEZET. STACIONARITÁS 13 nem ekvivalens), de az előző bekezdés fényében világos, hogy speciálisan öbbdimenziós normális eloszlású idősorra (ún. Gauss-folyama) igen, o ehá e ké fogalom egybeesik. A ovábbiakban, ha nem mondunk más, sacionariás ala gyenge sacionariás fogunk éreni. A 2.2. ábra példá mua egy sacioner idősorra: ado, bizosan sacioner sokasági specifikációból 2 szimulációval generálunk három rajekóriá. Érdemes megfigyelni a sacionariási köveelmények ránézésre örénő eljesülésé: nem úgy űnik, minha a rajekóriáknak lenne rendjük és szinén nem űnik úgy, minha a szórás válozna. (Az auokorrelációk időfüggésé nyilván kevésbé lehe szabad szemmel megíélni.) 10 5 20 40 60 80 100 5 10 2.2. ábra. Példa sacionárius idősorra: három szimulál rajekória az Y = 0,5+0,7 Y 1 +u, u N (0, 3), beláhaóan sacionárius specifikációból 2.3. Sacionárius idősorok nevezees jellemzői Gyenge sacionariás fennállása eseén az egyes megköések logikusan dikálnak bizonyos jellemzőke az idősorra vonakozóan. A kövekezőkben ezeke fogjuk sorra venni. Ha egy idősor sacioner, úgy az előzőek alapján beszélheünk az egyes komponenseinek közös m EY i várhaóérékéről. Ennek becslése mina alapján nyilván: m = 1 T T y i. i=1 2 Ez a specifikáció egy ún. AR(1) folyama, melye később fogunk árgyalni, i mos csak annyi fonos, hogy bizonyosan sacioner. Konkré specifikációja: Y = 0,5 + 0,7 Y 1 + u, u N (0, 3).
2. FEJEZET. STACIONARITÁS 14 Ha egy idősor sacioner, úgy az előzőek alapján beszélheünk az egyes komponenseinek közös σ 2 D 2 Y i szórásnégyzeéről. Ennek becslése mina alapján nyilván: σ 2 = 1 T T (y i m). i=1 (I már kihasználuk, hogy a gyenge sacionariás mia léezik közös várhaóérék.) Sokkal izgalmasabb a korreláció kérdése. Először is jegyezzük meg, hogy a különböző időponok (min az idősor egyes komponens valószínűségi válozói) közöi korreláció auokorrelációnak szokás nevezni (az auo ual arra, hogy az idősor szinjén önmagával ve korrelációról van szó). A gyenge sacionariás ehá az köi ki, hogy az Y és Y k közöi auokorreláció kizárólag a k különbségől (a késleleésől) függ, -ől nem. Kézenfekvő akkor, hogy erre a késleleésől függő mennyiségre külön elnevezés vezessünk be. Egy idősor auokovariancia-függvényének nevezzük a γ k = cov (Y 1, Y 1+k ) kifejezés, mely láhaóan k függvénye. Megisméeljük, hogy ez a definíció gyenge sacionariás eseén jogos, hiszen cov (Y 1, Y 1+k ) = cov (Y 2, Y 2+k ) =... = cov (Y T k, Y T ), azaz álalában cov (Y 1, Y 1+k ) = cov (Y 1+h, Y 1+h+k ) minden érelmes h elolásra. Az auokovariancia függvény becslése minából: γ k = 1 T k (y i m) (y i+k m). T k i=1 (A gyenge sacionariás feléelezése mia ermészeesen ámaszkodhaunk arra, hogy léezik közös várhaóérék.) Az auokovarianciának ugyanaz a baja, min kereszmeszei esenél a kovarianciának: a száméréke önmagában kevese mond. Emia, szinén a kereszmeszei esehez hasonlóan, be szokás vezeni az auokorreláció fogalmá, ami gyenge sacionariás eseén nyilván r k = γ k σ, minából 2 becsül éréke előállíhaó az eddigiek felhasználásával: r k = γ k σ 2. Ez szokás auokorreláció-függvénynek (ACF, auocorrelaion funcion) nevezni. (Emia néha r k helye az AC k megnevezés is használják.) Az ACF kézenfekvően ábrázolhaó grafikusan, ha a vízszines engelyen k leheséges érékei, a függőleges engelyen pedig az e késleleésekhez arozó auokorreláció ábrázoljuk. (r 0 = 1 nyilván, ezér ez nem szokás külön felüneni.) Ez az ábrá, mely ermészeesen diszkré függvény lesz, és így oszlopdiagrammal vagy hasonló módon jeleníheő meg, korrelogramnak szokás nevezni. A 2.3. ábra a 2.2. ábra kék színnel jelöl idősorának korrelogramjá muaja. Szinén szokak beszélni egy idősor parciális auokorrelációs függvényéről (PACF, parial auocorrelaion funcion). Emlékezheünk rá, hogy a parciális auokorreláció nem ké válozó, hanem ké válozó és válozók egy halmaza közö érelmezzük; aralma: a ké válozó közi kapcsola erőssége és iránya ha a közük a megado válozókon kereszül erjedő haásoka kiszűrjük. (Ezúal sem fonos, hogy ez ponosan hogyan valósíhajuk meg, mindenesere megvalósíhajuk. I ermészeesen csak lineáris haásokról beszélünk.) A PACF-függvény is ké időpon közö számoljuk, a kérdés már csak az, hogy mik a kiszűr válozók. A válasz kézenfekvő: a ké időpon közöi időponok (min valószínűségi válozók). Ennek megfelelően a 0 késleleéshez arozó PACF szükségképp 0, az 1 késleleéshez arozó PACF pedig r 1 (hiszen ilyenkor nincs mi kiszűrni). A PACF az ACF-hez hasonlóan becsülheő minából, ezzel mos nem foglalkozunk.
2. FEJEZET. STACIONARITÁS 15 ACF for Y_ = 0,5 + 0,7 * Y_{-1} + u_ 0,4 +- 1,96/T^0,5 0,2 0-0,2-0,4 ACF for Y_ = 0,5 + 0,7 * Y_{-1} + u_ 0 5 10 15 20 0,4 lag +- 1,96/T^0,5 0,2 0 PACF for Y_ = 0,5 + 0,7 * Y_{-1} + u_ 2.3. ábra. A 2.2. ábra kék színű idősorának korrelogramja (ACF-függvénye) -0,2 0,4 +- 1,96/T^0,5-0,4 0,2 A 2.4. ábra mua egy parciális auokorrelációs (PACF) függvény, ezúal is a 2.2. ábra kék idősorának példáján. (Tehá ez, és az előző korrelogram összeveheő, olyan érelemben, hogy ugyanahhoz az idősorhoz aroznak.) Érdemes ellenőrizni előbbi megjegyzésünke arról, hogy az 0 0 5 10 15 20 lag 1 késleleéshez -0,2 arozó ACF és PACF megegyezik. -0,4 PACF for Y_ = 0,5 + 0,7 * Y_{-1} + u_ 0 5 10 15 20 0,4 lag +- 1,96/T^0,5 0,2 0-0,2-0,4 0 5 10 15 20 lag 2.4. ábra. A 2.2. ábra kék színű idősorának parciális auokorrelációs (PACF) függvénye 2.4. A sacionariás ellenőrzése, sacionarizálás, rend- és differenciasacionárius idősorok A kövekező felada