Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8.

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai Kar e-mail: szederkenyi@itk.ppke.hu PPKE-ITK, 2013. április 18. Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 1 / 39

Tartalom 1 Problémafelvetés, teljes állapotvisszacsatolás 2 Pólusáthelyezéses szabályozó (pole-placement controller) tervezése 3 Szabályozótervezési példák 4 Duális probléma: állapotmegfigyelő (state observer) tervezése 5 Állapotmegfigyelési példa 6 Állapotmegfigyelő és állapotvisszacsatolás kombinációja Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 2 / 39

1 Problémafelvetés, teljes állapotvisszacsatolás 2 Pólusáthelyezéses szabályozó (pole-placement controller) tervezése 3 Szabályozótervezési példák 4 Duális probléma: állapotmegfigyelő (state observer) tervezése 5 Állapotmegfigyelési példa 6 Állapotmegfigyelő és állapotvisszacsatolás kombinációja Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 3 / 39

Általános problémafelvetés Adott egy SISO LTI rendszer (A,B,C) mátrixokkal (a pólusok A-tól (a(s)-től) függnek) előírt (kívánt) pólusok, melyeket az α(s) polinom határoz meg úgy, hogy deg a(s) = deg α(s) = n Kiszámítandó egy teljes állapotvisszacsatolás úgy, hogy a zárt rendszer pólusai éppen α(s) gyökei. Részprobléma: olyan visszacsatolás, amely stabilizálja a(z eredetileg instabil) rendszert. Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 4 / 39

Zárt LTI rendszerek 1 Statikus lineáris teljes állapotvisszacsatolás: ahol k R r n, ha x R n és u R r u = kx + v, Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 5 / 39

Zárt LTI rendszerek 2 A SISO LTI rendszer mátrixai: (A,B,C) ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t) y(t), u(t) R, x(t) R n A R n n, B R n 1, C R 1 n statikus lineáris teljes állapotvisszacsatolás: v = u + kx (u = v kx) k = [ ] k 1 k 2... k n k R 1 n (sorvektor) Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 6 / 39

Zárt LTI rendszerek 3 Zárt rendszer Azaz: ẋ(t) = (A Bk)x(t)+Bv(t) y(t) = Cx(t) A = A B k, B = B, C = C Karakterisztikus polinomok Visszacsatolás nélküli (szabályozatlan) rendszer: Visszacsatolt (szabályozott) rendszer: a(s) = det(si A) a c (s) = det (si A+Bk) Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 7 / 39

1 Problémafelvetés, teljes állapotvisszacsatolás 2 Pólusáthelyezéses szabályozó (pole-placement controller) tervezése 3 Szabályozótervezési példák 4 Duális probléma: állapotmegfigyelő (state observer) tervezése 5 Állapotmegfigyelési példa 6 Állapotmegfigyelő és állapotvisszacsatolás kombinációja Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 8 / 39

Bass-Gura formula Számítsuk ki a következő determinánst [ M1 M det 2 M 3 M 4 ] két ekvivalens módon det(m 1 )det(m 4 M 3 M 1 1 M 2) = det(m 4 )det(m 1 M 2 M 1 4 M 3) Alkalmazzuk: a következőt kapjuk: [ si A B det k 1 ] det(si A)det(1+k(sI A) 1 B) = 1 det((si A)+B 1 1 k) Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 9 / 39

Rezolvens formula a(s) = s n + a 1 s n 1 + +a n (si A) 1 = 1 a(s) (sn 1 I + s n 2 (A+a 1 I)+s n 3 (A 2 + a 1 A+a 2 I)+... Bizonyítás: (si A)(sI A) 1 = (si A) 1 a(s) (sn 1 I + s n 2 (A+a 1 I)+s n 3 (A 2 + a 1 A+a 2 I)+...) = = 1 s n I s n 1 A+s n 1 A a(s) } {{ } +a 1 s n 1 I s n 2 A 2 s n 2 a 1 A+... = 0 a(s) a(s) I = I Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 10 / 39

Pólusáthelyezés 1 det(si A) det(1+k(si A) 1 B) = 1 det((si A)+B 1 1 k) a(s)(1+k(si A) 1 B) = det(si A+Bk) α(s) = a(s)(1+k(si A) 1 B) α(s) a(s) = a(s)k(si A) 1 B A rezolvens formulával (si A) 1 = 1 a(s) (sn 1 I + s n 2 (A+a 1 I)+s n 3 (A 2 + a 1 A+a 2 I)+... kapjuk, hogy (α 1 a 1 )s n 1 +(α 2 a 2 )s n 2 +...(α n a n ) = = kbs n 1 + k(a+a 1 I)Bs n 2 +... Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 11 / 39

Pólusáthelyezés 2 (α 1 a 1 )s n 1 +(α 2 a 2 )s n 2 +...(α n a n ) = kbs n 1 +k(a+a 1 I)Bs n 2 +... polinom-egyenlet α 1 a 1 = kb α 2 a 2 = kab + a 1 kb = a 1 kb + kab α 3 a 3 = ka 2 B + a 1 kab + a 2 kb = a 2 kb + a 1 kab + ka 2 B.. α a = k [ B AB A 2 B... A n 1 B ] 1 a 1 a 2... a n 1 0 1 a 1... a n 2 0 0 1... a n 3.............. Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 12 / 39

Pólusáthelyezéses szabályozó α a = k [ B AB A 2 B... A n 1 B ] 1 a 1 a 2... a n 1 0 1 a 1... a n 2 0 0 1... a n 3.............. Ha S irányítható akkor α a = kct T l k = (α a)t T l C 1 Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 13 / 39

Controller form realizáció ahol A c = ẋ(t) = A c x(t)+b c u(t) y(t) = C c x(t) a 1 a 2... a n 1 0... 0............, B c =...... 0 0.. 1 0 C c = [ ] b 1 b 2... b n Az átviteli függvényt alkotó polinomok a(s) = s n + a 1 s n 1 +...+a n 1 s + a n és b(s) = b 1 s n 1 +...+b n 1 s + b n H(s) = b(s) a(s) 1 0... 0 Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 14 / 39

Pólusáthelyezéses szabályozó controller form esetén A c B c k c = (a 1 + k c1 ) (a 2 + k c2 )... (a n + k cn ) 1 0... 0.................. 0 0.. 1 0 a zárt rendszer karakterisztikus polinomja, α(s): α(s) = det(si (A c B c k c )) = s n +(a 1 + k c1 )s n 1 +...+(a n + k cn ) az állapotvisszacsatolás k c együtthatói: k c = α a Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 15 / 39

1 Problémafelvetés, teljes állapotvisszacsatolás 2 Pólusáthelyezéses szabályozó (pole-placement controller) tervezése 3 Szabályozótervezési példák 4 Duális probléma: állapotmegfigyelő (state observer) tervezése 5 Állapotmegfigyelési példa 6 Állapotmegfigyelő és állapotvisszacsatolás kombinációja Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 16 / 39

Példa 1 Rendszer: RLC kör. A nyitott kör (u = 0V ) válasza x(0) = [1 1] T kezdeti érték esetén. (Pólusok: 5 ± 8.6603i) 1.5 i [A] u C [V] 1 0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 17 / 39

Példa 2 A zárt kör előírt pólusai: 10, 12. Visszacsatolási erősítés: k = [1.2 0.2]. Rendszerválasz: 1.2 1 i [A] u C [V] 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0 0.5 1 1.5 idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 18 / 39

Példa 3 A szabályozáshoz szükséges bemenet(i feszültség): 0.6 u be 0.4 0.2 0 feszültség [V] 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.5 1 1.5 idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 19 / 39

Példa 4 A zárt kör előírt pólusai: 1+3i, 1 3i. Visszacsatolási erősítés: k = [ 0.8 0.9]. Rendszerválasz: 3 i [A] u C [V] 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 20 / 39

Példa 5 A szabályozáshoz szükséges bemenet: 2.5 u be 2 1.5 feszültség [V] 1 0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 21 / 39

Példa 6 Rendszer: inverz inga Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 22 / 39

Példa 7 Állapotvektor: x = x 1 x 2 x 3 x 4 = y θ ẏ θ (1) Egyensúlyi pont: x = [0 0 0 0] T A linearizált állapottér-modell mátrixai: A = 0 0 1 0 0 0 0 1 0 mg M 0 0 0 (M+m)g ML 0 0, B = 0 0 1 M 1 ML Paraméterek: m = 0.5 kg, M = 0.1 kg, L = 1 m, g = 10 m s 2, C = I 4 4 Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 23 / 39

Példa 8 A szabályozatlan rendszer pólusai: λ 1 =0, λ 2 =0, λ 3 = 7.746, λ 4 = 7.746 Cél: stabilizáló szabályozás A zárt rendszer számára előírt pólusok: κ 1 = κ 2 = κ 3 = κ 4 = 1 A kiszámított visszacsatolási erősítés: k = [ 0.01 6.61 0.04 0.44] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 24 / 39

Példa 9 A szabályozott rendszer működése (szimuláció: Faludi Gábor) ipend_pp-1.avi Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 25 / 39

1 Problémafelvetés, teljes állapotvisszacsatolás 2 Pólusáthelyezéses szabályozó (pole-placement controller) tervezése 3 Szabályozótervezési példák 4 Duális probléma: állapotmegfigyelő (state observer) tervezése 5 Állapotmegfigyelési példa 6 Állapotmegfigyelő és állapotvisszacsatolás kombinációja Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 26 / 39

Állapotmegfigyelő: problémafelvetés Ismétlés: Ha egy (A, B, C) állapottér-modell megfigyelhető, akkor a bemenet (u) és kimenet (y) ismeretében kiszámítható a rendszer kezdeti (és így minden további) állapota. Problémák: A bemenet és kimenet mérése általában nem pontos, és a számításhoz kellenek a kimenet 1., 2.,..., (n 1). deriváltjai A rendszermodell általában nem tökéletes Cél: olyan eszköz (állapotmegfigyelő) tervezése, amelyhez nincs szükség a kimenet 0.-nál magasabb fokú deriváltjaira, és amelynek becslése aszimptotikusan tart a tényleges állapotvektor értékéhez. Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 27 / 39

Az állapotmegfigyelő algebrai alakja állapottér-modell: ẋ = Ax + Bu y = Cx ˆx = Aˆx + Bu + L(y Cˆx) ˆx = (A LC)ˆx +[B L][ u y ] becslési hiba: és e = x ˆx ė = (A LC)e Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 28 / 39

Az állapotmegfigyelő struktúrája Az állapotmegfigyelő megvalósítása (az algebrai egyenletekből látható): Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 29 / 39

Az állapotmegfigyelő kiszámítása Emlékeztető: pólusáthelyezésnél a zárt rendszer rendszermátrixa A c = A Bk. (adott: A,B, kiszámítandó: k, feltétel: (A,B) irányítható ) Állapotmegfigyelő rendszermátrixa: A o = A LC. (adott: A, C, kiszámítandó: L, feltétel:?) Megoldás: A T o = AT (LC) T = A T C T L T Tehát L a pólusáthelyezéses szabályozás számítási algoritmusával kiszámítható úgy, hogy a becslő pólusai (A o sajátértékei) tetszőlegesek legyenek (azaz az állapotbecslő stabil legyen). Feltétel: [C T A T C T... (A n 1 ) T C T ] = O T n teljes rangú, azaz a rendszer megfigyelhető. Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 30 / 39

1 Problémafelvetés, teljes állapotvisszacsatolás 2 Pólusáthelyezéses szabályozó (pole-placement controller) tervezése 3 Szabályozótervezési példák 4 Duális probléma: állapotmegfigyelő (state observer) tervezése 5 Állapotmegfigyelési példa 6 Állapotmegfigyelő és állapotvisszacsatolás kombinációja Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 31 / 39

Példa 1 RLC kör, mért kimenet: u C, azaz C = [0 1] Az állapotbecslő előírt sajátértékei: 10, 12 Az állapotbecslő kiszámított L mátrixa: L = [ 10 12] T Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 32 / 39

Példa 2 A rendszerre adott bemenet: 1 u be 0.8 feszültség [V] 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 33 / 39

Példa 3 Az állapotbecslő működése: 2 1.5 i u C i becsült u C becsült 1 0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 34 / 39

Példa 4 Becslési hiba: 1 e 1 0.9 e 2 0.8 0.7 becslési hiba 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 35 / 39

1 Problémafelvetés, teljes állapotvisszacsatolás 2 Pólusáthelyezéses szabályozó (pole-placement controller) tervezése 3 Szabályozótervezési példák 4 Duális probléma: állapotmegfigyelő (state observer) tervezése 5 Állapotmegfigyelési példa 6 Állapotmegfigyelő és állapotvisszacsatolás kombinációja Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 36 / 39

Szeparációs elv Probléma: mi történik, ha az állapotbecslőt és a szabályozót összekapcsoljuk (dinamikus kimenet-visszacsatoláskor)? Szeparációs elv: stabilizáló állapotvisszacsatolásból és stabil állapotbecslőből álló zárt rendszer aszimptotikusan stabil, ugyanis a zárt rendszer dinamikája a következő: [ ẋ ė ] = [ A BK BK 0 A LC ] [ x e Azaz a stabilizáló állapotvisszacsatolás (K) és a stabil állapotbecslő (L) egymástól függetlenül külön-külön megtervezhető. Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 37 / 39 ]

Szeparációs elv Számítás: ẋ = Ax + Bu, u = Kˆx, és: e = x ˆx Ebből: u = K(x e) = Kx + Ke, és ẋ = Ax + B( Kx + Ke) = (A BK)x + BKe (2) ė = (A LC)e (3) Sajátértékekre vonatkozó összefüggés: ([ ]) A BK BK λ i = λ 0 A LC j (A BK) λ k (A LC), és tudjuk, hogy A BK ill. A LC stabilitási mátrixok. Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 38 / 39