Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08.
Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben lévő ágzt, melyek mindegyike egy-egy jószágot termel; sját jószágánk termeléséhez minden ágztnk szüksége vn inputr leglább egy másik ágzt jószágából; minden ágztnk z áltl előállított jószágból ki kell elégítenie többi ágzt igényeit és egy bizonyos külső igényt is (végső kereslet); Lin. egyenletrendszerek /2
Adtok: Leonteff-modellek (folyt.) ij : j-edik jószág egységnyi mennyiségének előállításkor z i-edik jószágból felhsznált mennyiség; (i,j =,,n) input (vgy termelési) együtthtók b i :z i-edik jószág iránti külső igény; (i =,,n) végső kereslet Problém: Mennyit termeljenek z egyes ágztok z egyes jószágokból, hogy többi ágzt igényét és végső keresletet biztosítni tudják? Lin. egyenletrendszerek /3
Leontieff-modellek (folyt.) Legyen x,,x n z egyes jószágokból előállított mennyiség. Feltesszük, hogy z input követelmények egyenesen rányosk megtermelt outputokkl, zz x j mennyiségű j-edik jószág előállításához z i- edik jószágból felhsznált mennyiség: ij x j. H z egyes jószágokból x,,x n mennyiségeket állítunk elő, kkor ehhez z i-edik jószágból felhsznált összmennyiség: i x + i2 x 2 + + in x n Az i-edik jószágr vontkozó kereslet és kínált egyensúly szerint: x i = i x + i2 x 2 + + in x n +b i Lin. egyenletrendszerek /4
A Leontieff-rendszerek áltlános lkj A teljes modell: x = x + 2 x 2 + + n x n +b x 2 = 2 x + 22 x 2 + + 2n x n +b 2... x n = n x + n2 x 2 + + nn x n +b n Rendezve z egyenletrendszert: ( ) x 2 x 2 n x n = b 2 x +( 22 ) x 2 2n x n = b 2 n x n2 x 2 +( nn ) x n = b n Lin. egyenletrendszerek /5
Leontieff-modellek (folyt.) Megjegyzés: A fenti lineáris egyenletrendszer olyn (x,, x n ) megoldás érdekel bennünket, hol z x i értékek nemnegtívk. Lin. egyenletrendszerek /6
Lin. egyenletrendszerek /7 Lineáris egyenletrendszerek áltlános lkj Áltlános (részletes) lk: m egyenlet n ismeretlen: x,,x n Jelölések: m n mn m n n n n b x x b x x b x x = + + = + + = + +......... 2 2 2 M = = = = = n m mn n n m m x x b b M M M M M 2 2 2 x, b,,...,,
Lin. egyenletrendszerek áltlános lkj (folyt.) Tömörebb lk: Jelölés: x + 2 x 2 +... + x = b n n A = m Tömör lk: M...... n M mn A x = m n b együtthtómátrix Lin. egyenletrendszerek /8
Homogén és inhomogén egyenletrendszerek Homogén egyenletrendszer: Az A x = b lineáris egyenletrendszert homogénnek nevezzük, h b = o. Inhomogén egyenletrendszer: Az A x = b lineáris egyenletrendszert inhomogénnek nevezzük, h b o. Megjegyzések: Az A x = o homogén lineáris egyenletrendszer mindig megoldhtó, z x = o megoldásvektort triviális megoldásnk nevezzük. Az A x = b lineáris egyenletrendszert konzisztensnek nevezzük, h megoldhtó, inkonzisztensnek, h nem oldhtó meg. Lin. egyenletrendszerek /9
A megoldhtóság feltétele Lineáris egyenletrendszerek megoldhtóságánk szükséges és elégséges feltétele:. Az A x = b lin. egyenletrendszer megoldhtó b vektor előáll z A együtthtómátrix oszlopvektorink lineáris kombinációjávl. 2. Az A x = b lin. egyenletrendszer megoldhtó r (A) = r ([A,b]), hol [A,b] z egyenletrendszer kibővített mátrix:... [ A,b] = M M M. m... n mn b b m m ( n+ ) Lin. egyenletrendszerek /0
Lin. egyenletrendszer megoldás Lin. egyenletrendszer megoldás : Tegyük fel, hogy z A x = b lin. egyenletrendszer megoldhtó, zz r (A) = r ([A,b]) = k. Jelölje B m k z A együtthtómátrix k db lin. független oszlopvektorából felépülő mátrixot, továbbá R m (n-k) z A együtthtómátrix mrdék n-k db oszlopvektorából felépülő mátrixot. A megfelelő indexű ismeretlenek lkossák z x B és x R vektorokt. Ekkor: B x B + R x R = b Lin. egyenletrendszerek /
Lin. egyenletrendszer megoldás (folyt.) Mivel B oszlopvektori z A együtthtómátrix oszlopvektorink egy mximális lin. független részhlmzát képezik, így z R oszlopvektori és b vektor előállnk B oszlopvektorink lineáris kombinációjávl. Ezért vn olyn D mátrix és d vektor, melyekre: R = B D és b = B d, hol: D mátrix z R oszlopvektorink B oszlopvektorir vontkozó koordinátáit trtlmzz, d vektor b vektornk B oszlopvektorir vontkozó koordinátáit trtlmzz. Így: B x B + B D x R = B d, ebből: B(x B + D x R d) = o. Lin. egyenletrendszerek /2
Lin. egyenletrendszer megoldó képlete Innen, mivel B oszlopvektori lin. függetlenek: x B + D x R d = o, zz: x B = d D x R megoldó képlet x B : kötött ismeretlenek vektor x R : szbd ismeretlenek vektor A szbd ismeretlenek számát z egyenletrendszer szbdsági fokánk hívjuk. Lin. egyenletrendszerek /3
Megoldásvektorok szám Homogén lin. egyenletrendszer megoldásvektorink számár vontkozó állítások:. Az A x = o homogén lin. egyenletrendszernek csk triviális megoldás vn r(a) = n, hol n z ismeretlenek szám. 2. Az A x = o homogén lin. egyenletrendszernek vn triviálistól különböző megoldás is r(a) < n, hol n z ismeretlenek szám. Megjegyzés: ebben z esetben z egyenletrendszernek végtelen sok megoldásvektor vn. Lin. egyenletrendszerek /4
Homogén-inhomogén egyenletrendszer-pár Homogén-inhomogén egyenletrendszer megoldáshlmzi közötti kpcsolt: Tekintsük z A x = o és A x = b homogén-inhomogén egyenletrendszer-párt. Jelölje M 0 homogén egyenletrendszer megoldáshlmzát, M z inhomogén egyenletrendszer megoldáshlmzát, x 0 z inhomogén egyenletrendszer egy rögzített megoldásvektorát. Ekkor: M = M 0 +{x 0 }. Lin. egyenletrendszerek /5
Lineáris egyenletrendszerek: összefogllás Megoldásvektorok szám Nincs megoldás (Az e. r. nem oldhtó meg.) db. megoldásvektor (Az e.r. egyértelműen megoldhtó.) Homogén lin. e.r. A m n x = o ------- r(a) = n M 0 = {o} Inhomogén lin. e.r. A m n x = b r(a) < r([a,b]) M = r(a) = r([a,b]) = n M = {x 0 } Végtelen sok megoldásvektor r(a) < n M 0 r(a) = r([a,b]) < n M = M 0 +{x 0 } Lin. egyenletrendszerek /6
A Crmer-szbály Tekintsük z A x = b lin. egyenletrendszert, hol z A együtthtómátrix négyzetes: A = [ 2 n ] n n. Legyen D = det(a), D = det([b 2 n ]), D 2 = det([ b n ]), D n = det([ 2 b]). Ekkor: D x k = D k, k =,,n. Lin. egyenletrendszerek /7
A Crmer-szbály következményei Következmények:. H D 0, kkor z egyenletrendszer egyértelműen megoldhtó és megoldásvektor k-dik komponense: x k = D k / D, k =,,n. 2. H D=0 és vlmely k-r D k 0, kkor z egyenletrendszer nem oldhtó meg. 3. H D=D = =D n = 0 és r(a) = r([a,b]), kkor z egyenletrendszernek végtelen sok megoldásvektor vn. (Ebben z esetben megoldásvektorok előállításár Crmer-szbály nem lklms.) Lin. egyenletrendszerek /8
A Crmer-szbály következményei (folyt.) 4. Az A x = o homogén lin. egyenletrendszernek csk triviális megoldás vn D 0. 5. Az A x = o homogén lin. egyenletrendszernek létezik triviálistól különböző megoldás is D=0. (Ebben z esetben z egyenletrendszernek végtelen sok megoldásvektor vn, de ezeket Crmer-szbállyl nem tudjuk előállítni.) Lin. egyenletrendszerek /9