Tartalom Robusztus stabilitás Additív hibastruktúra Multiplikatív hibastruktúra 2015 1
Robusztus stabilitás Szabályozási rendszer tervezésének gyakorlati problémája az, hogy az aktuális rendszer G(s) átviteli függvényének pontos alakja nem ismert, s emiatt helyette annak közelítő, ún. névleges (nominális) G N (s) modelljét kell felhasználni. Ekkor a C(s) szabályozót a névleges modell alapján kell megtervezni úgy, hogy az ne csak a névleges modell, hanem az aktuális rendszer stabilitását is garantálja. Ezt robusztus stabilitásnak nevezzük. 2015 2
Robusztus stabilitás D(s) R(s) E(s) C(s) U(s) G(s) Y (s) R(s) E(s) C(s) U(s) GN (s) D(s) Y (s) 2015 3
Robusztus stabilitás A modell és a rendszer közötti hiba meghatározására általános megoldás nincs, különböző szerkezetű lehetőségek közül az additív, illetve a multiplikatív hibastruktúra a legismertebb. A névleges modell felhasználásával szabályozott rendszer G HN (s) hurokátviteli függvénye a következő : G HN (s) = C(s)G N (s), 2015 4
Robusztus stabilitás míg a kompenzált aktuális rendszer G H (s) átviteli függvénye: G H (s) = C(s)G(s), ahol C(s) a soros kompenzátor átviteli függvényét reprezentálja. 2015 5
Additív hibastruktúra 1. Definíció: Additív hibastruktúra A G(s) aktuális rendszer és a G N (s) névleges rendszer közötti eltérést additív hibastruktúrájúnak nevezzük, ha a következő összefüggés teljesül: G(s) = G N (s) + A (s), ahol A (s) az additív hiba átviteli függvénye. 2015 6
Additív hibastruktúra G(s) A (s) U(s) Y (s) G N (s) 2015 7
Additív hibastruktúra Az additív hibastruktúrában a A (iω) hibafüggvény ismeretlen ugyan, de abszolút értékére a gyakorlati problémákban ismert felső határ adható meg: A (iω) < d A (ω). Tegyük fel, hogy a G HN (s) kompenzált névleges rendszer stabilis. Vizsgáljuk meg, hogy a G H (s) aktuális rendszer stabilitásához milyen feltételnek kell teljesülnie! 2015 8
Additív robusztussági teszt 1. Állítás Legyen G N (s) az ismert névleges modell, amelyet a tervezett C(s) soros kompenzátor stabilizál. Tegyük fel, hogy a névleges modell és az aktuális rendszer közötti additív hiba felső korlátját a teljes ω frekvenciatartományban ismerjük. 2015 9
Additív robusztussági teszt Ekkor a névleges modellre tervezett szabályozó az aktuális rendszer stabilitását is biztosítja, ha a következő feltétel teljesül: 1 d A (ω) > C(iω) 1 + G HN (iω) Ez a robusztus stabilitás feltétele additív hibastruktúra esetén. 2015 10
Additív robusztussági teszt 1. Bizonyítás G H (iω) = C(iω)(G N (iω) + A (iω)) G H (iω) = C(iω)G N (iω) +C(iω) A (iω) G H (iω) G HN (iω) = C(iω) A (iω) De csak a d A (ω) A (iω) felső korlát ismert, így: G H (iω) G HN (iω) C(iω) d A (ω) 2015 11
Additív robusztussági teszt Nyquist stabilitási kritériuma alapján kritikus határpont (a stabilitás határa) a G H (iω) = 1 pont. Így vizsgálandó a G HN (iω) és a 1 pont közötti különbség. Ha ez a különbség nagyobb, mint C(iω) d A (ω) akkor a tényleges rendszer Nyquist diagramja a -1 pontot nem öleli körbe, mert G H (iω) G HN (iω) C(iω) d A (ω) < 1 G HN (iω) 2015 12
Additív robusztussági teszt C(iω) d A (ω) < 1 G HN (iω) = 1 + G HN (iω) d A (ω) < 1 + G HN(iω) C(iω) 1 d A (ω) > C(iω) 1 + G HN (iω) d A (ω)-nak csak nagysága ismert, iránya nem, így G H (iω) legrosszabb esete a G HN (iω) pontok köré rajzolt C(iω) d A (ω) sugarú körök burkológörbéje. 2015 13
Additív robusztussági teszt 2015 14
Multiplikatív hibastruktúra 2. Definíció: Multiplikatív hibastruktúra A G(s) aktuális rendszer és a G N (s) névleges rendszer közötti eltérést multiplikatív hibastruktúrájúnak nevezzük, ha a következő összefüggés teljesül: G(s) = G N (s)(1 + M (s)), ahol M (s) a multiplikatív hiba átviteli függvénye. 2015 15
Multiplikatív hibastruktúra G(s) M (s) U(s) Y (s) G N (s) 2015 16
Multiplikatív hibastruktúra multiplikatív hibastruktúrában M (iω) stabilis átviteli függvény ismeretlen ugyan, de abszolút értékére a gyakorlati problémákban ismert felső határ adható meg: M (iω) < d M (ω) Tegyük fel, hogy a G HN (s) kompenzált névleges rendszer stabilis. Vizsgáljuk meg, hogy a G H (s) aktuális rendszer stabilitásához milyen feltételnek kell teljesülnie! 2015 17
Multiplikatív robusztussági teszt 2. Állítás Legyen G N (s) az ismert névleges modell, amelyet a tervezett C(s) soros kompenzátor stabilizál. Tegyük fel, hogy a névleges modell és az aktuális rendszer közötti multiplikatív hiba felső korlátját a teljes ω frekvenciatartományban ismerjük. 2015 18
Multiplikatív robusztussági teszt Ekkor a névleges modellre tervezett szabályozó az aktuális rendszer stabilitását is biztosítja, ha a következő feltétel teljesül: 1 d M (ω) > G HN (iω) 1 + G HN (iω) Ez a robusztus stabilitás feltétele multiplikatív hibastruktúra esetén. 2015 19
Multiplikatív robusztussági teszt 2. Bizonyítás G H (iω) = C(iω)G N (iω)(1 + M (iω)) G H (iω) = C(iω)G N (iω) +C(iω)G N (iω) M (iω) G H (iω) G HN (iω) = G HN (iω) M (iω) 2015 20
Multiplikatív robusztussági teszt Hasonlóan az additív teszt bizonyításához, az aktuális G H (iω) rendszer stabilis marad minden ω frekvencián, ha teljesül a következő egyenlőtlenség: G HN (iω) d M (ω) < 1 + G HN (iω) d M (ω) < 1 + G HN (iω) G HN (iω) 2015 21
Tervezés konzervatív feltétellel A gyakorlati tervezéskor a pontról - pontra való összevetés helyett használható az alábbi két konzervatív feltétel: inf ω inf ω 1 d A (ω) > sup ω 1 d M (ω) > sup ω C(iω) 1 + G HN (iω) G HN (iω) 1 + G HN (iω) 2015 22
Példa Példa: Robusztus stabilitási teszt alkalmazása Tételezzük fel, hogy a szabályozni kívánt rendszert a 15(s + 5) G(s) = (s + 1)(s 2 + 3s + 25) átviteli függvény írja le. A feladat, hogy a rendszer egy egytárolós névleges közelítő modelljének ismerete alapján, tervezzük meg a zárt rendszert úgy, hogy a stabilitás megtartása mellett a lehető legnagyobb legyen a körerősítés. 2015 23
Példa Az alkalmazható szabályozó egyszerű arányos tag lehet. A modell vagy az ún. névleges rendszer átviteli függvénye: G N (s) = 3 s + 1 2015 24
Példa R(s) E(s) U(s) 3 Y (s) C = A C s + 1 R(s) E(s) U(s) 15(s + 5) Y (s) C = A C (s + 1)(s 2 + 3s + 25) 2015 25
Példa Megoldás M (s) = G(s) G N(s) G N (s) = s2 + 2s s 2 + 3s + 25 A névleges modellel a névleges zárt szabályozási kör struktúrálisan stabilis, tehát bármilyen nagy A c körerősítés mellett a névleges zárt rendszer stabilis marad. Egy adott érték feletti erősítés azonban a valódi zárt rendszert már destabilizálja. 2015 26
Példa A robusztus stabilitás feltétele: sup ω G HN (iω) 1 + G HN (iω) < 1 sup ω M (iω) ahol G HN (iω) = A c G N (iω) a névleges hurokátviteli függvény. 2015 27
Példa Megrajzolva a M (iω) Bode-diagramját, leolvashatjuk az ω szerinti maximális értéket, így teljesül, hogy M (iω) < 1,86. 60 Bode diagram 40 20 a(ω) [db] 0 20 40 1/ M A c =0.1 60 A c =0.3876 A c =10 80 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 ω (lg) [rad/sec] 2015 28
Példa A tesztben szereplő kiegészítő érzékenységi függvény: T N (iω) = 3A c iω+1 1 + 3A c iω+1 = 3A c iω + 1 + 3A c sup ω T N (iω) = 3A c 1 + 3A c 2015 29
Példa Ebből következik, hogy a robusztus stabilitás olyan A c szabályozó erősítésekre teljesül, amelyekre 3A c < 1 1 + 3A c 1,86 A c < 0,3876 2015 30