Elméleti Mechanika A jegyzet és vetített tematika az ELTE fizika BSc. másodéves hallgatói számára Györgyi Géza 2018. január 24. 17:53:02 Nem végleges anyag, fejlesztés alatt áll.
i Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 1.1. A tantárgy............................................... 1 1.2. A jegyzet................................................ 1 1.3. A vetített anyag............................................ 2 1.4. Alap és emelt szintek, vizsgák..................................... 2 1.5. Köszönetnyilvánítás........................................... 3 1.6. Irodalom................................................ 4 2. Bevezetés 5 2.1. Nagyságrendek............................................. 5 2.2. A klasszikus mechanika érvényessége................................. 6 2.3. Jelölések................................................ 7 3. Newton törvényei () 8 4. Galilei-féle relativitás () 13 5. Gyorsuló koordinátarendszerek, mozgásegyenletek átszámítása 14 5.1. Transzlációsan gyorsuló rendszer ().................................. 14 5.2. Forgó rendszer azonos origóval ()................................... 14 5.2.1. Vektorok transzformációja................................... 15 5.2.2. Sebességek átszámítása..................................... 16 5.2.3. Általános vektor időderiváltjának átszámítása......................... 17 5.2.4. Gyorsulások átszámítása.................................... 18 5.3. Tehetetlenségi gyorsulások és erők ()................................. 20 5.4. Tehetetlenségi erők a Földön...................................... 21
2018. január 24. 17:53:02 ii TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 5.4.1. A Föld forgása és szöggyorsulása................................ 21 5.4.2. Tehetetlenségi erők becslése.................................. 21 5.4.3. A Coriolis-erő hatásai...................................... 23 6. Bevezetés a mechanika variációs elveibe 27 6.1. A variációszámítás elemei....................................... 27 6.1.1. Funkcionálok ()........................................ 27 6.1.2. A variációszámítás alapfeladata ().............................. 28 6.1.3. Jelölések, elnevezések...................................... 29 6.1.4. Stacionaritás ()........................................ 31 6.1.5. Diszkretizáció, Euler Lagrange-egyenlet............................ 32 6.1.6. A stacionárius érték mint a határok függvénye......................... 34 6.1.7. Variációs probléma nem rögzített határpontok mellett..................... 36 6.1.8. A legrövidebb út a síkon.................................... 38 6.1.9. Az Euler Lagrange-egyenlet diszkretizáció nélkül ().................... 41 6.1.10. Speciális esetek ()....................................... 45 6.1.11. Példák............................................. 46 6.1.12. Értelmezés........................................... 51 6.1.13. Kiterjesztések ()........................................ 51 6.1.14. Kényszerfeltételek és a Lagrange-féle multiplikátorok módszere ().............. 53 6.1.15. Láncgörbéhez vezető ekvivalens variációs problémák...................... 58 6.1.16. Általános potenciálban függő kötél, az általános potenciálbeli brahisztokron probléma, valamint a Fermat-elv ekvivalenciája (*).............................. 60 6.2. Lagrange-féle mechanika........................................ 65 6.2.1. Potenciálos erők hatására mozgó tömegpontok........................ 65 6.2.2. A Hamilton-elv Descartes-koordinátákkal........................... 68 6.2.3. Általános koordináták bevezetése holonom kényszerekhez................... 70
2018. január 24. 17:53:02 iii TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 6.2.4. Hamilton-elv holonom mellékfeltételek mellett: mozgásegyenletek általános koordinátákkal. 72 6.2.5. Hamilton-elv holonom mellékfeltételek mellett II: a Lagrange-multiplikátorok módszere... 74 6.2.6. A mozgásegyenlet transzformációja általános koordinátákra: a kényszererők eliminálása... 75 6.2.7. Az általános koordináták szerinti stacionaritási feltétel éppen a mozgásegyenlet........ 76 6.2.8. Funkcionálderiválás láncszabályának közvetlen levezetése (*)................. 77 6.2.9. Hamilton-elv általános koordinátákkal, tetszőleges végpontok mellett (*)........... 78 6.2.10. Értelmezés........................................... 78 6.2.11. A Hamilton-elv előnyei:..................................... 79 6.2.12. Megmaradási tételek...................................... 80 6.2.13. Példák a Lagrange-féle mechanikára.............................. 82 7. Egydimenziós konzervatív rendszer 91 7.1. Mozgásegyenlet és energiamegmaradás ().............................. 91 7.2. A mozgásegyenlet megoldása ()................................... 93 7.3. Fázistér I.: pályák globális szemléltetése ().............................. 95 7.3.1. Harmonikus oszcillátor..................................... 95 7.3.2. Általános potenciál....................................... 96 7.4. Inverz probléma: a periódusidőből visszakövetkeztetünk a potenciálra (*).............. 98 7.5. Anharmonikus oszcillátor periódusideje: perturbációszámítás és dimenzióanalízis........... 101 7.5.1. Perturbált harmonikus potenciál................................ 101 7.5.2. Periódusidő sorfejtése - vezető korrekció............................ 102 7.5.3. Dimenzióanalízis: periódusidő a tiszta hatvány potenciálban.................. 105 7.6. Fázistér II.: stabilitásvesztés, bifurkációk................................ 105 7.6.1. Másod-negyedfokú potenciál.................................. 106 7.6.2. Vasvilla (pitchfork) bifurkáció................................. 107 7.6.3. Első-harmadfokú potenciál................................... 107 7.6.4. Tangens bifurkáció....................................... 109
2018. január 24. 17:53:02 iv TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 7.7. Síkinga................................................. 111 7.7.1. Mozgásegyenlet......................................... 111 7.7.2. Kis rezgések.......................................... 112 7.7.3. Fázistér szerkezete....................................... 112 7.7.4. Időfüggés............................................ 114 7.7.5. Lengések periódusideje..................................... 114 7.8. Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel............................... 117 7.8.1. Harmonikus gerjesztés ()................................... 118 7.8.2. Általános gerjesztés: megoldás Fourier-transzformációval................... 119 7.8.3. Általános gerjesztés: megoldás Green-függvénnyel....................... 120 7.8.4. Rezonáns gerjesztés....................................... 123 7.9. Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása....................... 125 7.9.1. Másod-harmadfokú potenciál.................................. 125 7.9.2. Másod-negyedfokú potenciál (*)................................ 127 7.9.3. Általános perturbáció: a szukcesszív approximáció módszere Green-függvénnyel (*)..... 129 8. Csillapított mozgások 132 8.1. Súrlódási erő sűrű közegben ().................................... 132 8.2. Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange Rayleigh-formalizmus............... 132 8.2.1. Disszipációs függvény descartes-i koordinátákkal........................ 132 8.2.2. Disszipációs függvény általános koordinátákkal (*)...................... 134 8.2.3. A disszipatív mozgásegyenlet összefoglalása.......................... 136 8.2.4. Az energia megváltozása.................................... 136 8.3. Csillapított harmonikus oszcillátor ()................................. 139 8.3.1. Gyenge csillapítás (2ω 0 > α).................................. 139 8.3.2. Erős csillapítás (2ω 0 < α)................................... 141 8.3.3. Anharmonikus határeset (2ω 0 = α).............................. 142
2018. január 24. 17:53:02 v TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 8.4. Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor ()........................... 144 8.4.1. Harmonikus gerjesztés..................................... 144 8.4.2. Általános gerjesztés....................................... 148 9. Síkmozgások 2D 150 9.1. Potenciálmozgás csillapítással..................................... 150 9.2. Lissajous-görbék............................................ 151 9.3. Anharmonikus potenciálok....................................... 153 10. Centrális mozgások 154 10.1. Alapok ()............................................... 154 10.2. Síkbeli mozgás ()........................................... 155 10.3. Hatvány potenciál........................................... 156 10.4. Kepler-mozgás ()........................................... 159 10.5. A pályák alakja............................................. 159 10.5.1. A hodográf........................................... 160 10.5.2. A pályák polárkoordinátás egyenlete ()............................ 160 10.5.3. Energia ()........................................... 161 10.5.4. Derékszögű koordinátás egyenlet ().............................. 162 10.6. A pályák fajtái ()........................................... 163 10.7. Kepler törvényei ().......................................... 164 10.8. Ellipszispályák időfüggése....................................... 165 10.8.1. Egzaktul............................................ 165 10.8.2. Perturbációszámítással ɛ szerint (*).............................. 166 10.8.3. Bolygók excentricitása..................................... 168 10.8.4. Újabb mozgásállandó: a Laplace Runge Lenz-vektor..................... 168 10.9. Szórásszámítás............................................. 169 10.9.1. A V (r) = αm /r potenciál................................... 169
2018. január 24. 17:53:02 vi TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 10.10. Hatáskeresztmetszet.......................................... 170 10.11. Rutherford-szórás............................................ 173 10.12. Fázistér................................................. 174 11. Fizikai dimenziók 177 11.1. Mozgásegyenletek dimenziótlanítása, mechanikai hasonlóság..................... 177 11.2. Dimenzióanalízis a szórásszámításban................................. 178 12. Pontrendszerek: szimmetriák és megmaradási tételek 179 12.1. A Lagrange-függvény megváltozása a koordináták transzformációjakor................ 179 12.2. Időeltolás................................................ 180 12.3. Koordinátatranszformációk....................................... 180 12.3.1. Térbeli eltolás.......................................... 181 12.3.2. Térbeli forgatás......................................... 181 12.4. Általános szimmetria.......................................... 182 12.5. Összefoglalás............................................. 182 12.6. Kéttestprobléma ().......................................... 184 13. Kényszerek 186 13.1. Virtuális elmozdulások és a D Alembert-elv.............................. 186 13.1.1. Tömegpont........................................... 186 13.1.2. Felülethez kötött tömegpont.................................. 187 13.1.3. Pontrendszer több holonom kényszer hatása alatt....................... 188 13.2. Egyensúly: a virtuális munka elve................................... 189 13.3. Kényszerek fajtái............................................ 190 13.4. Anholonom kényszerek: a Lagrange-féle elsőfajú mozgásegyenletek.................. 191 13.5. Energiatétel kényszerek jelenlétében.................................. 192 13.6. Kényszerek általános koordináták között................................ 193
2018. január 24. 17:53:02 vii TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 13.6.1. Holonom kényszerek multiplikátorokkal............................ 193 13.6.2. A megoldás módszere (*)................................... 194 13.6.3. Anholonom kényszerek: a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletek (*).......... 194 13.7. Példák................................................. 196 13.7.1. Anholonom-szkleronom kényszer: guruló korong........................ 196 13.7.2. Mozgás síkgörbén általános potenciálban........................... 197 13.7.3. Mozgás felületen gravitáció jelenlétében. (*).......................... 199 14. Kis rezgések az egyensúly körül 201 14.1. Sajátrezgések konzervatív, időfüggetlen rendszerben.......................... 201 15. A Hamilton-függvény és a kanonikus formalizmus 206 15.1. Legendre-transzformáció egy változóban................................ 206 15.2. Legendre-transzformáció több változóban............................... 207 15.3. Paramétertől való függés........................................ 207 15.4. Hamilton-egyenletek potenciálmozgásokra............................... 208 15.5. Időbeli változás a pálya mentén.................................... 210 15.6. Ciklikus koordináta........................................... 210 15.7. Részleges Legendre-transzformált: a Routh-függvény (*)....................... 210 15.8. Példák a hamiltoni mechanikára.................................... 212 15.8.1. Egydimenziós potenciálmozgás................................. 212 15.8.2. Tömegpont kúpfelületen: centrális mozgás........................... 212 15.8.3. Csillapított harmonikus oszcillátor (*)............................. 213 15.8.4. Inhomogén tömegmátrix.................................... 214 15.8.5. Töltött részecske mozgása elektromágneses térben...................... 214 15.9. Variációs elv a fázistérbeli trajektóriák felett.............................. 215 15.10. Liouville tétele............................................. 216 15.11. Poisson-zárójelek (*).......................................... 216
2018. január 24. 17:53:02 viii TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 15.11.1. Definíció............................................ 216 15.11.2. Tulajdonságai.......................................... 217 15.11.3. Mozgásállandók......................................... 217 15.11.4. Tömegpont impulzusmomentuma............................... 218 15.12. Hatásfüggvény és a Hamilton Jacobi-egyenlet............................. 219 15.12.1. Hatásfüggvény, avagy eikonál.................................. 219 15.12.2. Hamilton Jacobi-egyenlet................................... 219 15.13. Hamilton Jacobi-egyenlet vizsgálata, példák............................. 220 15.13.1. A trajektória meghatározása (*)................................ 220 15.13.2. Optikai és mechanikai Fermat-elvek.............................. 221 15.14. Adiabatikus invariáns (*)........................................ 224 15.14.1. Időfüggetlen potenciál..................................... 224 15.14.2. Fázistérbeli terület....................................... 225 15.14.3. Lassan változó paraméter.................................... 226 15.14.4. Harmonikus oszcillátor és az 1/r potenciál........................... 227 15.14.5. Kvantummechanikai kitekintés: a korrespondencia elv..................... 229 16. Merev testek 230 16.1. Szögsebesség invarianciája ()..................................... 230 16.2. Tehetetlenségi nyomaték tenzor ().................................. 230 16.3. Impulzusmomentum ()........................................ 233 16.4. Mozgásegyenletek ()......................................... 233 16.4.1. Teljes impulzus......................................... 233 16.4.2. Teljes impulzusmomentum................................... 234 16.4.3. Szögparaméterek, energiamegmaradás............................. 234 16.5. Lagrange-formalizmus......................................... 235 16.6. Erőmentes pörgettyűk ()....................................... 236
2018. január 24. 17:53:02 ix TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 16.6.1. Gömbi pörgettyű........................................ 236 16.6.2. Rotátor............................................. 236 16.6.3. Szimmetrikus pörgettyű.................................... 237 16.7. Euler-egyenletek: a szögsebesség időfüggése a főtengelyrendszerben ()............... 238 16.8. Súlyos pörgettyű Euler Lagrange-féle leírása.............................. 240 16.8.1. Euler-szögek.......................................... 240 16.8.2. Euler-féle szögsebességek.................................... 241 16.9. A szimmetrikus súlyos pörgettyű mozgásegyenletei.......................... 243 16.10. A precesszió szemléletes magyarázata................................. 249 16.11. Aszimmetrikus erőmentes pörgettyű.................................. 252 17. Egydimenziós rugalmas kontinuum 254 17.1. Előfeszített rugókkal kapcsolt testek: 2D lánc és folytonos határesete, a hiperlineáris húr...... 254 17.2. Hamilton-elv a kontinuum mechanikában............................... 256 17.3. A kontinuum Hamilton-elv kiterjesztései................................ 257 17.3.1. Magasabb dimenziók...................................... 258 17.3.2. Magasabb deriváltak...................................... 259 17.4. A húr kis rezgései: harmonikus közelítés................................ 260 17.5. Hullámegyenlet ()........................................... 261 17.5.1. Haladó megoldás........................................ 261 17.5.2. Szabad vég........................................... 262 17.5.3. Rögzített vég.......................................... 262 17.5.4. Megoldás Fourier-sorral rögzített végek mellett........................ 263 18. Vékony rudak hajlítása () 266 18.1. A Lagrange-féle sűrűségfüggvény és a mozgásegyenlet harmonikus közelítésben........... 266 18.2. Két végén feltámasztott, előfeszítésmentes rúd behajlása....................... 268 18.3. Befogott, súlytalan rúd szabad végét húzzuk merőlegesen....................... 270
2018. január 24. 17:53:02 x TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 18.4. Hosszirányban összenyomott rúd Euler-féle instabilitása........................ 271 19. Kétdimenziós kontinuum: membránok (*) 272 19.1. Feszített membránok transzverzális rezgései.............................. 272 20. Háromdimenziós rugalmas kontinuum, a deformáció és a feszültség tenzora () 274 20.1. A deformációtenzor definíciója.................................... 274 20.2. A deformációtenzor értelmezése.................................... 275 20.3. Rugalmas energia............................................ 276 20.4. Mozgásegyenletek a lineáris rugalmasságtanban............................ 278 20.4.1. Rugalmasságtan feszültségtenzora............................... 278 20.4.2. Lagrange-sűrűség és mozgásegyenlet.............................. 278 20.4.3. Feszültségtenzor értelmezése.................................. 279 20.5. Izotrop rugalmas közeg mozgásegyenlete............................... 281 21. Hullámok rugalmas testekben () 286 21.1. Longitudinális hullám.......................................... 286 21.2. Torziós hullám............................................. 286 21.3. Térbeli hullámegyenlet......................................... 287 21.4. Belső csillapodás............................................ 288 22. Áramló közegek alapfogalmak és mozgásegyenletek () 291 22.1. Kontinuitás............................................... 291 22.2. Állapotegyenlet............................................. 292 22.3. Hidrodinamikai derivált......................................... 292 22.4. Feszültségtenzor............................................ 292 22.5. Navier Stokes-egyenlet......................................... 293 22.6. Összefoglalva.............................................. 294
2018. január 24. 17:53:02 xi TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 23. Ideális ill. összenyomhatatlan folyadék () 295 23.1. Ideális: nem súrlódó, adiabatikus.................................... 295 23.2. Összenyomhatatlan, súrlódó...................................... 295 23.3. Ideális, összenyomhatatlan....................................... 296 24. Bernoulli-egyenlet ideális folyadékban () 296 24.1. Stacionáris áramlás konzervatív erőtérben............................... 296 24.2. Összenyomhatatlan folyadék...................................... 297 24.3. Nyomási függvény barotrop közegben................................. 297 24.4. Bernoulli-törvény barotrop folyadékban................................ 298 24.5. Mikor tekinthető összenyomhatatlannak egy áramlás?......................... 298 25. Örvényesség, cirkuláció 300 25.1. Örvényvektor.............................................. 300 25.2. Időfüggő Bernoulli-törvény örvénymentes áramlásban......................... 301 25.3. Örvényvonal, cső és fonal..................................... 301 25.4. Thomson (Kelvin) örvénytétele súrlódó közegre............................ 302 26. Síkbeli áramlások - örvénymentes, összenyomhatatlan, stacionárius 303 26.1. Sebességpotenciál és áramlási függvény................................ 303 26.2. Komplex függvények.......................................... 304 26.3. Komplex sebesség........................................... 304 26.4. Példák................................................. 305 26.5. Cirkuláció................................................ 306 A. A forgásmátrix időderiváltjai és a tehetetlenségi erők 309 A.1. Két dimenzió.............................................. 309 A.2. Három dimenzió............................................ 309
2018. január 24. 17:53:02 xii TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK A.2.1. Az ortogonális mátrix kettős szerepe.............................. 309 A.2.2. A forgásmátrix differenciálegyenlete, és ennek megoldása egyenletes forgás esetén...... 310 A.2.3. Gyorsulások átszámítása: a hagyományos módszer....................... 312 B. Egydimenziós mozgások 312 B.1. Mozgás fordulópont közelében..................................... 312 B.1.1. Közel lineáris potenciál..................................... 313 B.1.2. A fordulópont lokális maximum: közel kvadratikus potenciál................. 314 B.2. A mozgásegyenlet megoldása részletesen............................... 314 B.3. Mozgás potenciálgödör alján: a harmonikus oszcillátor........................ 316 B.3.1. Mozgásegyenlet......................................... 316 B.3.2. A harmonikus oszcillátor mozgásegyenletének megoldása................... 317 B.3.3. Az energiamegmaradás alapján................................. 317 B.3.4. Exponenciális próbafüggvény behelyettesítésével........................ 318 B.3.5. Periódusidő........................................... 319 B.3.6. Általános kvadratikus potenciál................................. 319 B.4. Periódusidő általános alakja negyedfokú perturbáció mellett...................... 319 B.4.1. Amplitúdófüggés........................................ 320 B.4.2. Energiafüggés.......................................... 320 B.4.3. Nagy kitérések......................................... 321 B.4.4. "Lágyuló" potenciál: ɛ < 0.................................... 321 B.4.5. Globális függvénymenet..................................... 322 B.5. Optimalizált perturbációszámítás................................... 322 B.5.1. Kvadratikus perturbáció: a rugóállandót perturbáljuk..................... 323 B.5.2. Módosítjuk a perturbálatlan potenciált............................. 323 B.5.3. A hiba minimalizálása..................................... 324 C. Hamiltoni mechanikai kiegészítés 326
2018. január 24. 17:53:02 xiii TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK C.1. Tömör jelölés a szimplektikus mátrix segítségével........................... 326 C.2. Mozgásállandók generálása....................................... 327 C.2.1. Kapcsolat a kvantummechanikával............................... 328
2018. január 24. 17:53:02 1 1. Előszó 1 ELŐSZÓ 1.1. A tantárgy Az ELTE fizikus képzésének része több mint fél évszázada az Elméleti Mechanika, mely a négy féléven keresztül előadott Elméleti Fizika sorozat első tantárgya. Jelenleg az A jellel különböztetjük meg a kisebb óraszámban, nem fizikus szakirányú hallgatóknak előadott B tárgytól. Az Elméleti Mechanika A kurzust jelenleg a második évfolyam első félévében tartjuk. Ezt megelőzik és megalapozzák az első évben az ELTE fizika BSc. alap ill. emelt szintű, pont- és kontinuummechanika, valamint a matematikai módszereket tárgyaló kurzusok. Az Elméleti Mechanika A nagyrészt az első évben megismert témaköröket, fizikai rendszereket tárgyalja azzal a különbséggel, hogy itt egyrészt variációs elvekre építünk, másrészt egyes jelenségeket részletesebben leírunk. Mivel az elsős mechanika kurzusok óraszámának 2/3-a áll a rendelkezésünkre, több ott tárgyalt részt nem, vagy rövidebben említünk. Számos fogalom bevezetésekor is építünk az első éves anyagra. Példaként említjük a rugalmas feszültség tenzorát, melyet az elsős kurzus definiált és fizikai jelentését megvilágította, e jegyzetben pedig a feszültségtenzort a korábbi tárgyalásnál lényegesen rövidebb módon, klasszikus térelméleti, variációs alapon vezetjük be, majd ennek a korábbival való ekvivalenciáját mutatjuk ki. 1.2. A jegyzet Míg számos kiváló mechanika tankönyv létezik, az ELTE-n előadott Elméleti Mechanika A tárgyból eddig nem adtak közre jegyzetet. E hiányt igyekszünk most pótolni. A tárgyat Tél Tamás professzor adta elő korábban, a szerző az ő órajegyzetére és más tankönyvekre támaszkodott, valamint a saját kútfejéből merített. Lelkes és felkészült hallgatók a kurzus nagy részét L A TEX-be írták, s ez képezte az itt közreadott jegyzet alapját. A jegyzetet jelenleg is fejlesztjük, véleményeket, jelzéseket hibákról, vagy éppen jónak ítélt részekről szívesen veszünk.
2018. január 24. 17:53:02 2 1.3 A vetített anyag 1 ELŐSZÓ 1.3. A vetített anyag Az Elméleti Mechanika A tematikájának több elsős kurzuséval való terjedelmes átfedése indokolja a vetítéses előadást. Amellett, hogy a korában elhangzott alapokat rövidebb idő alatt idézhetjük fel a vetítés segítségével, az előadó az új részek magyarázatára, megvilágítására nagyobb figyelmet és hangsúlyt fordíthat. Jelen jegyzet egyben a vetített előadás diasorozata, nem olyan részletes, mint egy könyvszerű jegyzet, de törekedtünk arra, hogy önállóan is használható legyen. Az előadás hallgatóságának az ajánljuk, hogy a diákon általában a címeket, egyenleteket, listákat, ábrákat, és a színnel kiemelt szavakat figyeljék. Hosszabb, egybefüggő szöveget ne kezdjenek olvasni, a magyarázat az előadó dolga. A szövegben jelöltük, hogy a 2017/18. tanév őszi félévének során mikor tárgyaltunk valamely anyagrészt. Például a 2017.09.12 2017.09.15 jelzésig jutottunk a szept. 12-i előadás végén, s onnan folytattuk a 15-i óra elején. 1.4. Alap és emelt szintek, vizsgák A 2017-18. tanévtől kezdve az Elméleti Mechanika A kettéválik alap- és emelt szintű kurzusokra. E jegyzetben (*) jelöli az emelt szint fejezeteit. Az elsős matematikai módszerek, és alap ill. emelt szintű mechanika kurzusokon ismertetett anyaggal jelentősen átfedő szakaszokra a () jel hívja fel a figyelmet. A vizsgaanyag alap szinten a jegyzet (*)-gal nem jelölt fejezetei, emelt szinten az összes, melyekből arányos terjedelmet választunk kidolgozandó tételül a vizsgázó hallgatónak. A függelék nem vizsgaanyag, de ha valaki abból is tájékozott, azzal javíthat az eredményén. A hallgatónak a jegyzetben nem szereplő, azon túlmutató elméleti mechanikai ismeretei tovább emelhetik a vizsga fényét. A jegyzetben számos gyakorló feladat szerepel, [1-7] nehézségi fokokkal. A vizsgán mellékkérdésként gyakorló példát is feltehetek.
2018. január 24. 17:53:02 3 1.5 Köszönetnyilvánítás 1 ELŐSZÓ 1.5. Köszönetnyilvánítás Elsősorban Tél professzornak jár köszönet a kurzus előző változatának kidolgozásáért és anyagának továbbadásáért. E jegyzet korábbi alakján társszerzőként szerepelt, azonban nevét az anyag jelentős átalakulásának indokával a legnagyobb sajnálatomra levetette, ezért rá most e kiemelt köszönet hivatkozik. Kézirat alapján az anyag nagy részét L A TEX-be jegyezték és számos ábrát készítettek Balogh Ferenc, Bíró Gábor, Fábián Gábor, Kapás Kornél, Kálmán Dávid, Kukucska Gergő, Márkus Bence Gábor hallgató kollégák, munkájukért fogadják hálás köszönetem. E kurzus gyakorlatvezetőivel is számos hasznos beszélgetést folytattam, közülük ki szeretném emelni a diszkussziókat Lukács Árpáddal, Török Csabával és Vigh Mátéval.
2018. január 24. 17:53:02 4 1.6 Irodalom 1 ELŐSZÓ 1.6. Irodalom Forrásainkat és az ajánlott irodalmat az alábbi jegyzékben soroltuk fel. Nagy Károly: Elméleti Mechanika, Tankönyvkiadó (TKK) 1985, 2002 Budó Ágoston: Mechanika, Tankönyvkiadó 1965 Landau Lifsic [LL1]: Elméleti Fizika I., Mechanika, TKK 1974 Landau Lifsic: Elméleti Fizika VI., Hidrodinamika, TKK 1980 Landau Lifsic: Elméleti Fizika VII., Rugalmasságtan, TKK 1974 R. Feynman: Mai Fizika 1., 2., 7. kötet, Műszaki Kiadó 1968 Tél Gruiz: Kaotikus Dinamika, 3. fejezet, Nemzeti TKK 2002 Kecskés Lajos: Egy Ölnyi Végtelen, Nemzeti TKK 2002 Gnädig Honyek Vigh: 333+ Furfangos feladat fizikából, Typotex 2017 Jánossy Tasnádi: Vektorszámítás 1.,Vektor- és tenzoralgebra, TKK 2002 Jánossy Tasnádi: Vektorszámítás 2., Vektorok és tenzorok differenciálása, TKK 1989 Jánossy Gnädig Tasnádi: Vektorszámítás 3., Vektorok integrálása, TKK 2002 Wikipédia
2018. január 24. 17:53:02 5 2. Bevezetés 2 BEVEZETÉS 2.1. Nagyságrendek Röviden áttekintjük a távolság és idő nagyságrendjeit. Távolságok (m) Kvark 10 18 (attométer, jele "am"; atten dánul 18) Atommag sugara 10 15 (femtométer, jele "fm", alternatív neve "fermi"; femten dánul és norvégül 15) Fényév (kb. a Naprendszer gravitációs sugara) 10 16 (10 peta; a görög "penta"-ból az "n"-et elhagyva) Tejút átmérője 10 21 (zetta; heptá görögül 7, az első betű "z"-re cserélve, hogy az ABC végére kerüljön) Az Univerzum megfigyelhető átmérője 10 27 (100 G fényév) Ismeretterjesztő könyv: Ph. Morrison: "Powers of Ten". Fordítás: "A tízes hatalma" :? Idők (s) Elemi részecske élettartama 10 24 (jokto; októ görögül 8) Univerzum életkora 10 17 (100 peta) (14 Gév) Sebességek (m/s) c = 3 10 8 > v
2018. január 24. 17:53:02 6 2.2 A klasszikus mechanika érvényessége 2 BEVEZETÉS 2.2. A klasszikus mechanika érvényessége Közepes távolságok 10 6 m < l < 10 16 m Kvantummechanika Általános relativitáselmélet Közepes idők 10 6 s < t < 10 13 s Lassú (nemrelativisztikus) mozgás v < 10 5 m/s Folytonos mozgás ideája: t 0. A limesz absztrakció, a valóságban lim l t nem létezik [ t > 10 8 s] Fizikai mennyiség: Amelyet mérési utasítással definiálhatunk. A mechanika alapmennyiségei: távolság, idő, tömeg. Tapasztalatok összegzése: A tér euklideszi, 3 dimenziós, homogén, izotrop. Az idő 1 dimenziós, homogén, és független a tértől.
2018. január 24. 17:53:02 7 2.3 Jelölések 2 BEVEZETÉS 2.3. Jelölések A skalárokat egyszerű dőlt szimbólumok jelölik, pl. a, ω (2.1) a vektorokat vastag dőltek, pl. a, A, ω, 0, (2.2) ahol az utolsó a nullvektor. A mátrixok jele álló vastag, pl. A, Ω, 1, (2.3) az utóbbi az egységmátrix. Az időderivált gyakran pont, pl. df/dt = f = (f), (2.4) míg más argumentum szerinti derivált lehet vessző, pl. df/dx = f. (2.5) A deriváltban és integrálban használt d betű áll, ugyanis nem önálló mennyiséget jelöl, hanem a differencia kezdőbetűje. Parciális deriváltakat többféleképpen rövidíthetünk, mint pl. f/ x = x f = f x. (2.6) Az utóbbi különösen tömör, figyelmeztetés után fogjuk alkalmazni, nem összetévesztendő komponenst jelölő indexszel. Az ebből következik ill. a megfelelnek egymásnak jelei ill.. (2.7)
2018. január 24. 17:53:02 8 3. Newton törvényei () 3 NEWTON TÖRVÉNYEI () Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia [=fizika] matematikai alapelvei) Nem az eredeti alakjukat adjuk meg. 1. ábra. Az első kiadás címlapja (1687) Definíció: Inercia (tehetetlenségi) rendszer az, amelyben minden magára hagyott test megőrzi sebességét. I. törvény: Létezik inerciarendszer. A következő törvény inerciarendszerben érvényes. (A II. törvény inerciarendszerhez kötött, a III-IV. minden rendszerben fennáll.) II. törvény: gimnáziumban is tanultuk 2017.09.12 2017.09.15
3 NEWTON TÖRVÉNYEI () 2018. január 24. 17:53:02 9 Newton: "A sebesség, amelyet egy adott erő létre tud hozni adott anyagon, egyenesen arányos az erővel és az idővel, továbbá fordítottan arányos az anyaggal." Formulával: az anyag itt anyagmennyiséget, azaz tömeget jelent. Ma használt ekvivalens alakjai F = ma = m d2 r dt 2 ahol a jobb végi kifejezésben a p = mv impulzus szerepel. v F t m, (3.1) = m r = dp dt, (3.2) Természetesen a fenti formula csak akkor alkalmazható törvényként, ha a benne szereplő mennyiségek definiáltak. Az r(t) trajektóriát kimérhetjük, ezért értjük, azonban mit jelent F és m? Próbatest: az egységnyi tömegű etalon (m p = 1) legyen 1l víz. Definíció: Az erő a próbatest gyorsulása F = a p Ennek alapján erőtörvények állapíthatók meg, pl. F (r, v, t), egyszerű esetben F (r), ez a sztatikus erőtér, ld. a 2. ábrát. Az erőmérést alakváltozásra is visszavezethetjük, ennek révén dinamométer kalibrálható, s más, akár nem sztatikus erőt is mérhetünk. A 3.2 törvényhez a következőképpen juthatunk el. Különböző testekre ható azonos erők: Bizonyosodjunk meg dinamométerrel arról, hogy a testekre azonos erők hatnak (pl. azonosan deformált rugók ereje, azonosan feltöltött testekre ható elektrosztatikus tér). A megfigyelések szerint azonos erővel hatva különböző testekre ezek azonos irányú de különböző nagyságú gyorsulást szenvednek (ld. 3. ábrán egy adott helyen).
3 NEWTON TÖRVÉNYEI () 2018. január 24. 17:53:02 10 2. ábra. Sztatikus erőtér: különböző helyeken különböző erők hatnak. 1 m m m 3. ábra. Különböző tömegű testek gyorsulásai adott sztatikus erőtérben az 1. és 2. helyen (a jobb láthatóság kedvéért az azonos helyhez tartozó vektorokat elcsúsztatva ábrázoltuk). 2 m m m Különböző (ismert) erők: Ha az 1,2,... helyeken ugyanazon anyagra (tömegpontra) különböző erők hatnak, akkor F 1 a 1 = F 2 a 2 azaz e hányadosok azonosak! Egy másik anyagi pontra = = m, (3.3) F 1 a 1 = F 2 a 2 = = m, (3.4)
3 NEWTON TÖRVÉNYEI () 2018. január 24. 17:53:02 11 s hasonlót kapunk további pontokban, azaz fenti hányadosok a testekre jellemző állandók. Emlékezzünk arra, hogy a gyorsulások mérésének nincs elvi akadálya. Ha azonos pontokban különböző testekre különböző erők hatnak, azaz az m testre ható erő az i. helyen F i, s a gyorsulás ott a i, akkor is azt tapasztaljuk, hogy a testre jellemző állandó. F 1 a 1 = F 2 a 2 = = m (3.5) Valamely erő mellett megmérhetjük egy test tehetetlen tömegét, m = erő / gyorsulás, majd ennek felhasználásával, további erők hatásainak a leírásához használhatjuk az F = ma törvényt. Tehát ez először definíció az m méréséhez, azután az m és az F ismeretében pedig a gyorsulást megadó mozgástörvény. A fizikai törvények általában egyrészt kísérletileg definiálják a bennük szereplő mennyiségek egy részét, másrészt, ezek megismerése után, jóslatot tesznek további kísérletek kimenetelére. Ha az F (r, v, t) függvény ismert, akkor másodrendű differenciálegyenletet kapunk pontszerű testek r(t) trajektóriájára. A kezdeti feltételek (KF): r(0), v(0), ezek általában a mozgást egyértelműen meghatározzák Arisztotelésztől Keplerig sokan feltételezték az F v arányosságot. Ez nem egyezett a tapasztalattal, ezért próbálkoztak különféle F f(v) alakokkal. Mai szemmel nyilvánvaló, hogy ilyen feltevések nem elfogadhatók: elsőrendű differenciálegyenletben az r(0) elég lenne a mozgás meghatározásához, ezért a ferde hajítás sokféle pályáját sem magyarázná meg. Newton deizmusa: Isten teremt és kezdeti feltételeket ad. Erre miért nem hivatkoznak a kreacionisták? Pedig tudós vallotta, ezért jó példa lehetne a hívő álláspontra, azaz a teremtésre, melyet a fizika törvényeinek megfelelő mozgás követ. Azért nem idézik, mert a csillagok és naprendszerek keletkezésének elmélete általánosan elfogadott, még ha a részleteken folyik is vita.
3 NEWTON TÖRVÉNYEI () 2018. január 24. 17:53:02 12 Megjegyzés: Elvileg semmi sem zárja ki, hogy magasabb rendű differenciálegyenlet írja le a mozgást, a másodrendűt a tapasztalat tünteti ki. III. törvény Hatás-ellenhatás elve Megfigyelés: Két kölcsönható test gyorsulásai ellentétes irányúak és nagyságuk fordítottan arányos a tömegeikkel. A II. törvény szerint ebből következően az egyikre ható erő éppen ellentétes a másikra hatóval. A B 4. ábra. F AB = F BA Erővel testek hatnak más testekre. A II. törvényben F egy kiszemelt testre ható erő, amely testnek a gyorsulását okozza. A III. törvény szerint ha két test hat kölcsön, akkor megjelenik a másik testre ható F erő. Hangsúlyozzuk a nyilvánvalót, éspedig a két erő nem ugyanazon testre hat. Ha érdeklődő gyereknek magyarázzuk az erő-ellenerő elvét, az visszakérdezheti, hogy mi gyorsítja a testeket, hiszen ellentétes erők ugyanazon testre hatva nyomban kioltanák egymást. Természetesen különböző testekre ható erők ellentétéről beszélünk. Megjegyzés: Két mozgó töltés között ható Lorentz-erők a III. törvényt általában nem teljesítik. Ez azzal kapcsolatos, hogy nemcsak egymásnak, hanem a térnek is impulzust adnak át, mely jelenségről részletesen az elektrodinamika ad számot. IV. törvény: Ugyanazon testre ható erők vektoriálisan összeadódnak. Kettőnél több test páronkénti kölcsönhatásakor az egy testre ható erőket vektoriálisan összeadva kapjuk az erre ható teljes F erőt, mely a gyorsulását okozza. Ennek nem egyetlen ellenereje van, hanem a III. törvény páronként érvényes, azaz a teljes F -et összetevő erők ellenerői mintegy szét vannak osztva a többi test között.
2018. január 24. 17:53:02 13 4. Galilei-féle relativitás () 4 GALILEI-FÉLE RELATIVITÁS () A K inerciarendszer, a K hozzá képest egyenletes v 0 sebességgel mozog: r 0 (t) = v 0 t (4.1) Mivel a gyorsulás a második derivált, ezért a második Newton-törvény alakja a két rendszerben azonos, tehát K is K' K 5. ábra. A mozgást különböző koordinátarendszerekből írhatjuk le. Itt K egyenletes relatív sebességgel mozog K-hoz képest, nem fordul el. inerciarendszer. Megjegyzés: F nem függ a vonatkoztatási rendszertől, pl. alakváltozás méri.
5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 2018. január 24. 17:53:02 14 Galilei-transzformáció a = d2 r dt 2 r = r v 0 t, t = t, = d dt ( r v 0 ) = r = a. (4.2) Mivel m a testre jellemző: F = ma = ma = F. (4.3) Tehát ha K inerciarendszer, akkor K is az. 5. Gyorsuló koordinátarendszerek, mozgásegyenletek átszámítása Ugyanazon fizikai hely K-ban r, K -ben r. 5.1. Transzlációsan gyorsuló rendszer () A K gyorsul, de nem forog K-hoz képest 5.2. Forgó rendszer azonos origóval () r = r 0 + r a = a 0 + a. (5.1) A forgásmátrix alábbi tulajdonságai a vektorszámítás kurzuson szerepeltek, melyeket itt a tehetetlenségi erők levezetésében játszott szerepük miatt idézünk fel. Egyes technikai részleteket az A függelékbe gyűjtöttünk.
5.2 Forgó rendszer azonos origóval () 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 2018. január 24. 17:53:02 15 5.2.1. Vektorok transzformációja A K és K egymáshoz képest el van forgatva míg origóik egybeesnek, s ugyanazon hely mért komponenseiből áll az r ill. az r. Ezeket lineáris transzformáció köti össze r = Or, (5.2) ahol O valamely 3 3-as mátrix. Más szóval, az r és az r ugyanazon "fizikai" vektor K ill. K -beli reprezentációja, melyet két dimenzóban a 6. ábra illusztrál. y y r K x 6. ábra. Koordinátarendszer forgatása két dimenzióban: ugyanazon vektornak az r = (x, y) a K, az r = (x, y ) a K -ben mért koordinátái. ϕ K x Az elforgatott koordinátarendszerben a vektorok hossza és az általuk bezárt szögek nem változnak, azaz az (5.2) kifejezésben bevezetett O a skalárszorzatot invariánsan hagyja r 1 r 2 = Or 1 Or 2 = r 1 O T Or 2 = r 1 r 2 O T O = 1 O T = O 1 ortogonális mátrix, (5.3) ahol 1 az egységmátrix. Az ortogonalitás feltétele ugyanez magasabb dimenziókban. Az A függelékben néhány részlettel egészítjük ki a forgatások tárgyalását.
2018. január 24. 17:53:02 16 5.2 Forgó rendszer azonos origóval () 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 5.2.2. Sebességek átszámítása Ha a forgatás időfüggő, akkor a sebesség K-beli komponensekkel írva v = r = (Or ) = Or + Or = v ( ) + OO T r. (5.4) Az időderivált és az időfüggő forgatás természetesen nem felcserélhető. Az (5.4) egyenlet jobb végén új vesszős jelölést vezettünk be, azaz v ( ) = Or. (5.5) Ez (5.2) szerint a K -höz képesti időderivált, azaz az r sebesség a K-beli komponensekkel felírva. Ha következetesen akarjuk jelölni, a v ( ) vektornak a K -beli komponensei r = v ( ) lenne, ilyet alább nem használunk. Tankönyvekben előfordul az (5.5) kifejezésre a v jelölés, de ez ebben a jegyzetben a v vektor K -beli komponenseit jelenti. Vizsgáljuk (5.4) második tagját. Az ortogonalitás OO T = 1 feltételét deriválva kapjuk ( OO T ) = 0 OO T + O O T = OO T + ( OO T ) T = 0. (5.6) Felhasználtuk, hogy mátrixokra is alkalmazható a deriválás szorzatszabálya, valamint azt, hogy a deriválás és a transzponálás felcserélhető. Vezessük be az Ω = OO T (5.7) mátrixot, melyre (5.6) alapján nyerjük Ω = Ω T, (5.8)
2018. január 24. 17:53:02 17 5.2 Forgó rendszer azonos origóval () 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... azaz az Ω mátrix antiszimmetrikus, részletesen 0 ω 3 ω 2 Ω = ω 3 0 ω 1. (5.9) ω 2 ω 1 0 Az (5.4) egyenletet tehát ekképpen írhatjuk v = v ( ) + Ωr = v ( ) + ω r (v 1 = v ( ) 1 + ω 2 r 3 ω 3 r 2, etc.) (5.10) 5.2.3. Általános vektor időderiváltjának átszámítása Az (5.10) kifejezés nemcsak a helyvektorra, hanem általános b vektorra is érvényes b = Ob + ω b, azaz v b = v ( ) b + ω b, (5.11) ahol a b sebessége v b. Az egyenletekben a K rendszerben mért koordináták szerepelnek. Ha b együtt forog K -vel, akkor nyilván v ( ) b = 0 és ezért b = ω b. Ezzel lényegében azt mutattuk meg, hogy a forgás egy adott pillanatban a szögsebesség vektorával jellemezhető, mely csupán az O forgásmátrixtól és a deriváltjától függ, viszont független attól, milyen b vektor forgását írjuk le. A 7. ábra mutatja a koordinátarendszerek egy általános helyzetét. Összefoglalásképpen, egy vektor v b sebessége az ω-vel forgó koordinátarendszerhez viszonyított sebességének és a forgásból származó sebességének az összege. E vektorokat bármely koordinátarendszerből leírhatjuk, az (5.11) formulában a K rendszerbeli alakjuk szerepelt. Tankönyvekben elterjedten a v ( ) b mennyiségre a d b/dt formulát is használják, nem magától értetődő jelölés.
5.2 Forgó rendszer azonos origóval () 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 2018. január 24. 17:53:02 18 y y ω K x K x z z 7. ábra. Az ω értelmezése: K forog K-hoz képest az ω pillanatnyi szögsebesség vektor körül. 5.2.4. Gyorsulások átszámítása Először vizsgáljuk a szöggyorsulás vektorát β = ω = Oω + ω ω = Oω = β ( ), (5.12) tehát a K-beli és a K -beli szöggyorsulás ugyanazon fizikai vektor. Ezalatt azt értjük, hogy K-beli és a K -beli komponenseit egymásba az O mátrix transzformálja, mely tulajdonság az ω-val nem párhuzamos vektorok sebességeire nem áll fenn.
2018. január 24. 17:53:02 19 5.2 Forgó rendszer azonos origóval () 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... A K rendszerbeli gyorsulás a = r = d2 dt 2 Or = d dt (O r + Or ) = }{{} Or + 2Or }{{} + Or }{{}, (5.13) a ( ) 2Ωv ( ) OO T r ahol a K -beli gyorsulás K-beli reprezentációját a ( ) -vel jelöltük. Az (5.7) definíciót differenciálva nyerjük Ω = ( OO ) T = OO T + O O T. (5.14) Az egységmátrix 1 = O T O alakját beillesztjük a második tagba, azután az Ω (5.7) definíciójának, majd az antiszimmetriájának felhasználásával nyerjük OO T = Ω O O T = Ω OO T OO T = Ω ΩΩ T = Ω + Ω 2. (5.15) Ezt az (5.13)-ba helyettesítve a gyorsulás átszámításának képletéhez jutunk a = a ( ) + 2Ωv ( ) + Ωr + Ω 2 r. (5.16) Itt az a ( ) a forgó K koordinátarendszerben észlelt gyorsulás, azaz a K -höz viszonyított sebesség K -höz viszonyított deriváltja, a K-beli komponenseivel értve. Minden vektort a K-beli komponenseivel értettünk. Az (5.16) egyenletet az Ωv ( ) = ω v ( ), azonosságok alapján vektor alakban írhatjuk Ωr = β r, Ω 2 r = ω (ω r) (5.17) a = a ( ) + 2ω v ( ) + β r + ω (ω r). (5.18) Ha a K transzlációsan is gyorsul a 0 -lal K-hoz képest, akkor (5.18) nyilvánvalóan kiegészül a = a 0 + a ( ) + 2ω v ( ) + β r + ω (ω r). (5.19)
2018. január 24. 17:53:02 20 5.3 Tehetetlenségi gyorsulások és erők () 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 5.3. Tehetetlenségi gyorsulások és erők () Most a K -beli gyorsulást fejezzük ki, melyre kapjuk (5.18) alapján a ( ) = a a 0 + 2v ( ) ω + r β ω (ω r). (5.20) Itt az a ( ) mellett a tehetetlenségi gyorsulás tagok jelennek meg. Elnevezéseik: a 0 : transzlációs tehetetlenségi r β : Euler- 2v ( ) gyorsulás. (5.21) ω : Coriolis- ω (ω r) : centrifugális A K-beli gyorsulás (5.18) képletében megjelenő ω (ω r) a centripetális gyorsulás, a centrifugális ellentettje. Az előző a valódi gyorsulás egy összetevője, míg a második a forgó rendszerben észlelt gyorsulás egy tagja. A centrifugális gyorsulást kifejthetjük ekvivalens formulákkal Ω 2 r = ω (ω r) = ω 2 r ω(ω r) = (ω 2 1 ω ω)r = ω 2 P r = ω 2 r, (5.22) ahol a diadikus szorzat jelölése, a P definíciója leolvasható, azaz az ω tengelyre merőlegesen vetítő projektor, és r az r-nek az ω-ra merőleges komponense. Az utóbbi nagysága r = ρ a forgástengelytől mért távolság, mellyel a centrifugális gyorsulás gimnáziumból ismert képlete ω 2 ρ. 5.1. Gyakorló feladat. Mutassuk meg (5.22) alapján számítással, miszerint P rd = r sin ϕ, ahol ϕ a tengely és az r által bezárt szög (a) a kettős keresztszorzatból, azaz a második formulából; (b) P definíció jából. [1-1] Az (5.20) egyenlet alapján megadhatjuk a II. Newton-törvényt gyorsuló koordinátarendszerre. Felhasználva, hogy F = ma, a K -ben észlelt (tömeg gyorsulás)-ra kapjuk ma ( ) = F ma 0 + 2m(v ( ) ω) + m(r β) mω (ω r). (5.23)
5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 2018. január 24. 17:53:02 21 Eszerint az F -hez tehetetlenségi erők adódnak, melyeket a gyorsulásokhoz hasonlóan nevezünk. Emlékeztetünk arra, hogy minden tag komponenseit K-ban értettük. A II. Newton-törvény tehát gyorsuló koordinátarendszerben úgy egészítendő ki, hogy a valóságos erőkhöz a fenti tehetetlenségi erőket hozzáadjuk. Megjegyzés: Az F erő "fizikai" vektor, átszámítása K és K között a komponensek ortogonális transzformációjával történik. 5.4. Tehetetlenségi erők a Földön 5.4.1. A Föld forgása és szöggyorsulása 2017.09.15 2017.09.19 A földi tehetetlenségi erők becsléséhez a szögsebesség és szöggyorsulás numerikus értékeire van szükségünk. A Föld szögsebessége ω F = 2π 24ó = 2π 86400s = 7, 27 10 5 s 1. (5.24) Elsősorban az árapály jelenség hatására a Föld forgása lassul, a szöggyorsulás átlagos értéke β F = 4, 8 10 22 s 2 ω F (t) ω F (0) + β F t. (5.25) Százmillió évenként kb. 40 perccel hosszabbodik a nap, a hosszabbodás mértéke most 15 25µs/év. Jelentősek az ingadozások, például az eljegesedéskori jégsapkák leolvadását követően a kéreg emelkedett. Ezért az elmúlt tízezer évben a Föld lapultsága csökkent, ez a forgást gyorsító hatás. 5.4.2. Tehetetlenségi erők becslése A keringés hatása a forgáshoz képest elhanyagolható. Az egyenlítőn a legnagyobb a centrifugális gyorsulás. Nehézségi gyorsulás: 10 m/s 2.
5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 2018. január 24. 17:53:02 22 8. ábra. É D irányban mozgó tömegpont: milyen irányú a Coriolis gyorsulás? Centrifugális: ωf 2 R F sin ϑ 0, 034 sin ϑ m/s 2, ahol ϑ-t a 8. ábra mutatja és R F = 6371 km a Föld átlagos sugara. A Coriolis-gyorsulás É D irányú mozgás esetén (v = 10 m/s-ot véve): 2vω F cos ϑ 14, 5 10 4 cos ϑ m/s 2. Euler-gyorsulás: β F R F sin ϑ 10 15 sin ϑ m/s 2. A Coriolis-gyorsulás okozta relatív hiba a gravitációs gyorsuláshoz képest: 15 10 4 /10 0, 15 A Föld inerciarendszer 3 jegy pontosságig. Eötvös-effektus: NY K irányú mozgás hatására változik a súly. Ezt többféleképpen magyarázhatjuk, pl. (a) a Földhöz rögzített rsz.-ben a felszínre merőleges Coriolis-erő komponens jelent meg; (b) azon rsz. szögsebessége, melyben a test nyugszik, módosult az ω F -hez képest, ezért a centrifugális erő változott. 5.2. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy forgó gömb felszínén a Coriolis-gyorsulás helyi vízszintes síkbeli vetületének nagysága mindig 2vω F cos ϑ a sebesség irányától függetlenül! [3] 5.3. Gyakorló feladat. Keringési gyorsulások: Becsüljük meg azt a tehetetlenségi gyorsulást a Földön, amely (a) a Földnek a Nap körüli, (b) a Földnek a Föld-Hold rendszer közös tömegközéppontja körüli, (c) a Naprendszernek a Galaktika centruma körüli keringéséből származhat! Miképpen módosul az (5.23) földi mozgásegye nlet, ha az a-b hatásokat figyelembe vesszük (ezek az árapály erők)? A szükséges adatoknak nézzenek utána. [1-2-2-2]
5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 2018. január 24. 17:53:02 23 5.4.3. A Coriolis-erő hatásai É D mozgás az É/D-i féltekén jobbra/balra tér el, ld. 9. ábra. Ez minden irányú mozgásra is érvényes, pl. ilyenkor a vasúti kerekek a jobb/bal oldalon erősebben kopnak. A kádban lefolyó víz merre örvénylik? Északi féltekén balra? A Simpson család egyik epizódjában is előkerül: Ausztráliában fordítva? Ez legenda, a Coriolis-hatás csekély, más perturbáció határozza meg az örvénylés irányát! 9. ábra. Különböző féltekéken mozgó test pályájának eltérülése; ciklonban és anticiklonban a levegő forgásiránya felülről nézve melyik féltekén milyen irányú a csavarodás? Örvények Ciklon: felfelé áramlás beszívja a felszíni levegőt, alacsony nyomású; ha tenger felett keletkezik, akkor páradús, felhőképen jól látható. Anticiklon: lefelé áramlás körül alakul ki, magas nyomású, száraz, ezért a felhőképen nem jelenik meg. Különböző féltekéken ellenkező a forgásirány, melyet a Coriolis-eltérítés állít be. Tipikus szélirányok Passzátszél (trade wind) a Föld felszínén. Futóáramlat (jet stream) 7-16 km magasságban.
5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 2018. január 24. 17:53:02 24 ~30 Eq. 10. ábra. (a) Az egyenlítői felmelegedés hatására kialakuló feláramlás és a kb. 30 szélességen zajló leáramlás következtében létrejövő légkörzések, az ún. Hadley-cellák átlagos szerkezete a forgástengelyt tartalmazó sík metszetében, napéjegyenlőség idején. (A jelölt szög földrajzi szélesség.) (b) A passzát és nyugati szelek iránya a Föld felületén a délre ill. északra áramló légtömegekre ható Coriolis-erő következménye. (c) 3d szemléltetés (NASA). A valóságban a sarkokhoz közeli cellahatárok nem körök, hanem időben változó, szabálytalanul kanyargó vonalak. Az innen leváló ciklonok a mérsékelt égövre vándorolva ezek időjárására lényeges hatást gyakorolnak.
5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 2018. január 24. 17:53:02 25 11. ábra. Felhőképek 2016.08.20-án Európa fölött. A baloldali ciklon pozitív irányban forog, a jobb alsó száraz terület anticiklonális, a peremén kivehető a negatív forgásirány.[az Országos Meteorológiai Szolgálat met.hu veboldaláról.
5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 2018. január 24. 17:53:02 26 12. ábra. Hurrikán folyosó a Karib-tenger fölött, 2017.09.08-án. Balról jobbra Katia, Irma és José, a Coriolis-erő által irányított passzátszéllel érkeztek kelet felől, jól kivehető pozitív forgásirányuk, melyet szintén a Coriolis-erő határoz meg. [A New York Times nytimes.com veblapjáról, 2017.09.19, NOAA/NASA GOES Project.]
6. Bevezetés a mechanika variációs elveibe 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE A variációszámítás matematikai módszerének segítségével a XVIII. században a newtoni mechanika olyan átfogalmazása vált lehetővé, amely számos problémát könnyebben megfogalmazhatóvá és megoldhatóbbá tett. A variációs elvek fizikai tartalma ugyanaz, mint a Newton-egyenleteké, technikailag azonban gyakran kezelhetőbb alakúak. A XX. században a klasszikus mechanika variációs megfogalmazása a kvantummechanika leírásában kulcsszerepet játszott. A számítógépek elterjedésével külön jelentőségre tesz szert klasszikus mechanikai problémák variációs optimumfeladatként való megfogalmazása, amely a mozgásegyenletek hatékonyabb numerikus megoldását teheti lehetővé. Az alábbiakban először a variációszámítás módszerét vezetjük be, majd rátérünk mechanikai alkalmazására. Noha első évfolyamon a variációszámítás egyes matematikai alapjai elhangoztak, az alábbi bevezetést önmagában is használhatónak szánjuk, ezért némi átfedés elkerülhetetlen. 6.1. A variációszámítás elemei 6.1.1. Funkcionálok () A legegyszerűbb funkcionál valós függvényekhez rendel valós számokat F : függvény szám, jelölése: F [y(x)]. (6.1) A funkcionál függvények terén értelmezett függvény. Funkcionálokat korábban is ismertünk, ilyenek az egy- vagy többszörös határozott integrálok, például F [y(x)] = b a y(x) dx; F [y(x)] = b y(x a x ) y 2 (x) e y(x ) dx dx ; F [y(x)] = b a f(y(x), x) dx. (6.2) Az utóbbi esetben a kétváltozós f függvény megadása definiálja az F funkcionált. E típust általánosíthatjuk oly 2018. január 24. 17:53:02 27
2018. január 24. 17:53:02 28 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE módon, hogy az f függhessen az y deriváltjaitól is, pl. F [y(x)] = b a f(y(x), y (x), y (x), x) dx. (6.3) A különféle deriváltak fellépése nem változtat azon, hogy a teljes kifejezés az y(x) függvény menetétől függ, ezért F argumentumába változatlanul y(x) írandó. A funkcionálban nem feltétlenül lép fel integrál, erre példa a Dirac-delta funkcionál Ezt integrálként átértelmezve vezetjük be a δ D (x) Dirac-delta függvényt F D [y(x)] = 6.1.2. A variációszámítás alapfeladata () F D [y(x)] = y(0) (6.4) b a δ D(x) y(x) dx, a < 0 < b. (6.5) Történetileg a variációszámítás problémáját először a következőképpen fogalmazták meg. Tekintsük az alábbi funkcionált S[y(x)] = x1 x 0 L (y(x), y (x), x) dx, (6.6) melyet egy adott L(u, v, w) háromváltozós függvény definiál. Az S, L jelölésekkel a későbbi mechanikai mennyiségekkel való összhang kedvéért vezettük be. Ezután azt kérdezzük, milyen y(x) mellett van S-nek szélsőértéke, minimuma vagy maximuma, amennyiben a végpontokban az y(x 0 ) = y 0, y(x 1 ) = y 1 (6.7)
2018. január 24. 17:53:02 29 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE értékeket rögzítjük. A kérdés általánosabban is megfogalmazható, éspedig S stacionárius pontját is kereshetjük, azaz olyan y(x) függvényt, amelytől való kicsiny eltérésektől S lineáris rendben nem függ ezt a tulajdonságot rövidesen közelebbről megvizsgáljuk. Az S funkcionál természetesen függ az integrálási tartománytól is, ezt nem mindig jelöljük. A határokat itt az egyszerűség kedvéért rögzítettük, más peremfeltételek (PF-ek) mellett is definiálhatók variációs problémák. 6.1.3. Jelölések, elnevezések Ha az olvasónak kétségei lennének afelől, miszerint a (6.6) kifejezésben az y és az y függvényektől való függés miképpen értendő, ezt könnyen megmagyarázhatjuk. A háromváltozós L(u, v, x), (6.8) függvényből az integrandust valamely x-nél az u = y(x) és v = y (x) helyettesítéssel kapjuk. Használni fogjuk az y és y szerinti parciális deriváltakat, melyek értelme L y = L(u, y (x), x), (6.9) u u=y(x) L L(y(x), v, x) = y. (6.10) v v=y (x) Ezek igen gyakran fordulnak elő, ezért rövidíteni fogjuk őket ily módon F (y, y, x) = L y, p(y, y, x) = L y. (6.11) A később a mechanikában használatos terminológiát az egyszerűség kedvéért a jelen bevezetőben is alkalmazzuk, éspedig az extremizálandó S funkcionált hatásnak, az L integrandust Lagrange-függvénynek, az F deriváltat kanonikus
2018. január 24. 17:53:02 30 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE erőnek, a p mennyiséget kanonikus impulzusnak nevezzük. Az L, F, p mennyiségek egy adott y(x) esetén az y és y függvényeken keresztül, továbbá közvetlenül is függnek x-től. A S funkcionál argumentumait, mint fent láttuk, szögletes zárójel keríti, melybe az integrálás végpontjait gyakran nem írjuk be. A funkcionálnak a stacionárius y(x) függvényen felvett értéke már csak a végpontok függvénye, melyet gömbölyű zárójellel írunk. Néha csupán a zárójelet írjuk ki az alábbi ekvivalens jelentésekkel. S[..] = S[y(x)] = S[y(x); x 0, y 0, x 1, y 1 ], (6.12) S(..) = S(x 0, y 0 ; x 1, y 1 ) = S[y(x); x 0, y 0, x 1, y 1 ] y(x)=stac.. (6.13) 6.1.1. Példa. Síkgörbe minimális hossza, mint variációs feladat. Természetesen tudjuk, hogy a minimális hosszú görbe az egyenes, de a példa jól illusztrálja a variációszámítást. Az elemi hossz a 13. ábráról leolvashatóan dl = dx cos ϕ = 1 + tg 2 ϕ dx = 1 + y 2 (x) dx, (6.14) Keressük azt az y(x) függvényt, amely minimalizálja a hosszt. Adott P 0 = (x 0, y 0 ) és P 1 = (x 1, y 1 ) kezdő- és végpontok között a hossz az y(x) függvény funkcionálja P1 x1 S[y(x)] = dl = 1 + y 2 (x) dx. (6.15) P 0 Tehát a Lagrange-függvény, a kanonikus erő ill. impulzus L(y, y, x) = L(y ) = 1 + y 2 (x) = 1 cos ϕ (6.16a) F = 0 (6.16b) y p = = sin ϕ. 1 + y 2 (x) (6.16c) x 0 ϕ 13. ábra. A dl infinitezimális ívhossz.
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2018. január 24. 17:53:02 31 6.1.4. Stacionaritás () a. Röviden Valamely funkcionál stacionárius pontja analóg az egyváltozós valós függvény zérus deriválttal jellemzett stacionárius pontjával. A stacionaritás a lokális szélsőértéknél tágabb fogalom, sima függvényeknek belső pontban azaz nem a határon felvett lokális szélsőértéke stacionárius, de nem minden stacionárius pont lokális szélsőérték. Hasonlóan, sima funkcionálok belső lokális extrémumai egyben stacionárius pontok, mely pontok itt természetesen függvények, de stacionárius pont nem feltétlenül lokális extrémum. b. Hosszan Az egyváltozós sima függvények példáját véve, egy pont stacionárius, ha a függvény deriváltja azon a helyen zérus. Eltűnő derivált jellemzi a lokális szélsőértéket is, s ezen felül inflexiós pontot is jelezhet. Miként azt jól tudjuk, valamely függvény deriváltja a megváltozása lineáris tagjának az együtthatója f(x 0 + δx) = f(x 0 ) + δf(x 0 ) f(x 0 ) + f (x 0 )δx. (6.17) Ha a függvénynek x 0 lokális minimuma vagy maximuma, azaz extrémuma, akkor a δx eltérésben lineáris tag eltűnik, f (x 0 ) = 0. (6.18) Ez csak belső x 0 lokális extrémum-pontra érvényes. Ha a függvény az értelmezési tartomány határán veszi fel lokális extrémumát, akkor a derivált ott nem feltétlenül tűnik el. A derivált eltűnéséből nem következik, hogy ott lokális extrémum található, az x 0 pont lehet inflexió is. Általában nevezhetjük a zérus deriváltú helyet stacionárius pontnak, ez arra utal, hogy a függvényérték eltérése a pont kis környezetében lineáris rendnél csekélyebb.
2018. január 24. 17:53:02 32 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Hasonlóan, valamely sima többváltozós f(x 1,.., x n ) f(x) függvény stacionárius pontjának nevezhetjük azt az x helyet, amelyben a függvény minden argumentuma szerinti parciális deriváltjai eltűnnek, f x j = 0, j = 1,.., n. (6.19) Lokális minimum és maximum ilyen, emellett nyeregpontok és inflexiós pontok is stacionáriusak. A variációszámítás 6.1.2 alapfeladatában, a szélsőértékhez nem ragaszkodva azt is kérdezhetjük, milyen y(x) mellett lesz S[y(x)] stacionárius, azaz mely y(x) függvény körüli kis változtatások mellett nem változik S[y(x)] értéke első rendben. A lokális extrémumok a stacionaritás speciális esetei. Annak vizsgálatához, hogy a stacionárius hely (azaz y(x) függvény) szélsőérték-e, s ha igen, maximum vagy minimum, másodredű számításokra van szükség, amelyek e kurzus kereteit túllépik. 6.1.5. Diszkretizáció, Euler Lagrange-egyenlet A 6.1.2-beli problémát diszkretizációval visszavezethetjük az ismert parciális deriválásra, majd folytonos határátmenettel kapjuk az eredeti, funkcionálokra vonatkozó probléma megoldását. Diszkretizáljuk az y(x) függvényt oly módon, hogy az x tengelyen bevezetjük az x (n) = x 0 + n x (6.20) osztópontokat, melyek valamely kicsiny x távolságra vannak egymástól (a végpont x 1 = x 0 + N x). A keresett y(x) függvény értékei y (n) = y(x (n) ), a határokon y 0 = y (0) és y 1 = y (N). Ekkor (6.6) közelítőleg [ ] N 1 S N y (0), y (1),.., y (N) ; x 0, x 1 = x 0 n=0 L ( S[y(x); x 0, x 1 ] = y (n), y(n+1) y (n) ), x (n) x x x1 N 1 n=0 L n x x 0 L (y(x), y (x), x) dx. (6.21)
2018. január 24. 17:53:02 33 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE A szumma n indexű tagjában az L n rövidített jelölést vezettük be. Vegyük észre, hogy az x 1 végpont nem szerepel a szumma utolsó, n = N 1 tagjában, mégis függ tőle S N, hiszen adott x 0 és N esetén x 1 állítja be a x értékét. Most jelöltük az S funkcionál függését a végpontoktól is. A stacionaritási feltétel minden egyes n = 1,.., N 1 belső függvényértékre csak a szumma n és n 1 indexű elemeit tartalmazza (most előre írjuk az n indexű járulékot) 0 = S N[..] y (n) = y (n) (L n + L n 1 ) x = ( L y 1 L n x y + 1 ) L n x y x, (6.22) n 1 ahol az y és y szerinti deriváltak argumentumait jelzi az n 1 ill. n alsó index, éspedig úgy, hogy a (6.21) szumma azon indexű tagjának argumentumait helyettesítjük be a deriváltakba. Ha az olvasónak meglepő, hogy a (6.22) formulában szerepel az y, noha ezt diszkrét módon közelítettük, akkor emlékeztetünk arra, hogy a L/ y jelölés az L második argumentuma szerinti deriváltját fedi, melyet természetesen a diszkretizáció esetén is használhatunk. A (6.22) egyenlet jobboldali formulájából a felbontás finomításával nyerjük az Euler Lagrange-egyenletet E(y, y, y, x) = L y d dx L = F (y, y, x) [p(y, y, x)] = 0, (6.23) y ahol az E az ún. Euler Lagrange-kifejezés, melyet az utána következő formula definiál, azaz a (6.11) kifejezéssel bevezetett F kanonikus erőnek és a p kanonikus impulzus deriváltjának a különbsége. Innen látható is az utóbbi elnevezések eredete, éspedig velük a stacionaritási feltétel Newton II. törvényéhez hasonló alakban áll elő. Jelöltük azt is, miszerint az E-ben általában második derivált is fellép. Ha tehát adott L esetén az y(x) megoldja az Euler Lagrange-egyenletet, az y(x) stacionárius pontja az S[y(x)] funkcionálnak. A fenti Euler Lagrange-egyenlet általában tartalmazza y (x)-et, ezért másodrendű differenciálegyenlet a stacionárius y(x)-re, melyet adott végpontokbeli y(x 0 ) = y 0, y(x 1 ) = y 1 (6.24)
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE értékek mellett kell megoldanunk. Ezek peremfeltételek (PF-ek), helyettük a differenciálegyenletnél szokásos kezdeti feltételek (KF-ek), például az x 0 pontban y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = v 0 is egyértelművé tehetik a megoldást. Megjegyzések: A stacionaritás lokális tulajdonság. Egy funkcionálnak több stacionárius függvénye létezhet, hasonlóan ahhoz, miként egy egyváltozós függvénynek több lokális minimuma, maximuma és vízszintes érintőjű inflexiós pontja lehet. Az alapfeladat csak azt követeli meg, hogy y(x) legyen egyszer differenciálható, az Euler Lagrange-egyenlet megoldása azonban kétszeresen az. Ez nem ellentmondás, az S[y(x)] funkcionál stacionárius helye simább, mint valamely általános argumentuma. 2017.09.19 2017.09.22 6.1. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, ha a (6.21)-beli szumma helyett a szebb, szimmetrikus ( N 1 y (n+1) + y (n) S N [..] = L, y(n+1) y (n), x(n+1) + x (n) ) x, (6.25) 2 x 2 n=0 formulát használjuk, akkor a folytonos határátmenetben szintén a (6.23) feltétel adódik. Ez a folytonos egyenletnek a diszkretizáció részleteitől való függetlenségét mutatja. [3] 6.1.6. A stacionárius érték mint a határok függvénye Ha a szóban forgó (6.6) funkcionál argumentumát egy stacionárius pontban vesszük, azaz behelyettesítjük a a (6.23) olyan y(x) megoldását, mely a végpontokban teljesíti a y(x 0 ) = y 0 és y(x 1 ) = y 1 feltételeket, akkor a funkcionál stacionárius értékét mint a végpontok függvényét kapjuk. Gyakran rövid jelölést használunk S(..) = S(y 1, x 1 ; y 0, x 0 ). (6.26) E függvénynek a határpontoktól való függésére az alábbi érdekes összefüggéseket állíthatjuk fel. 2018. január 24. 17:53:02 34
2018. január 24. 17:53:02 35 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE a. A végpontbeli y 1 értéke szerinti derivált A (6.21) kifejezésnek az y 1 = y (N) szerinti differenciálása adja, melyből a felbontás finomításával nyerjük S N [..] = 1 L y (N) x y x S(..) = p(x 1 ). (6.27) N 1 y 1 Tehát a végpont szerinti derivált éppen az ott számított azon kanonikus impulzus, amely a stacionárius y(x) megoldáshoz tartozik. b. A végpont x 1 helye szerinti derivált Ha az x 1 végpontot egy kicsiny x hosszal megnöveljük, akkor a hatásintegrál megváltozása vezető rendben S L x1 x. (6.28) Ugyanezen növekményt kell kapnunk, ha a (6.26) differenciálját képezzük a stacionárius y(x) megoldás mentén S S(..) y 1 A S két kifejezését egyenlővé téve nyerjük Érdemes bevezetnünk az y 1 + S(..) [ x p(x 1 ) y (x 1 ) + S(..) ] x. (6.29) x 1 x 1 S(..) x 1 = (L p y ) x1. (6.30) E = p y L (6.31)
2018. január 24. 17:53:02 36 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE mennyiséget, melynek a kanonikus energia nevet adjuk. Általában adott y(x) esetén, azaz nem feltétlenül a stacionárius y(x) függvény mellett ugyanezzel a kifejezéssel definiálható E, ilyenkor is az x adott függvénye. Az E-t Beltramifüggvénynek is nevezik, később látni fogjuk a fizikai energiával való kapcsolatát. Ezzel a jelöléssel a stacionárius funkcionálra nyerjük c. A hatás teljes differenciálja S(..) x 1 = E(x 1 ). (6.32) A fentiek alapján kapjuk a stacionárius funkcionál differenciálját az (x 1, y 1 ) végpontok függvényeként ds(..) = p(x 1 ) dy 1 E(x 1 ) dx 1. (6.33) 6.2. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy S(..)-nek az y 0 és x 0 kezdőértékek szerinti deriváltjait az ellentett előjelű formulák adják, azaz S(..) y 0 = p(x 0 ), S(..) x 0 = E(x 0 ). [2] Összefoglalásul, az S funkcionál stacionárius értékének teljes differenciálja a határpontok megváltoztatásával szemben ds(y 1, x 1 ; y 0, x 0 ) = p(x 1 ) dy 1 E(x 1 ) dx 1 p(x 0 ) dy 0 + E(x 0 ) dx 0. (6.34) E reláció a később tárgyalandó hamiltoni mechanikában játszik fontos szerepet. 6.1.7. Variációs probléma nem rögzített határpontok mellett A fenti összefüggések megengedik kiterjesztenünk a variációs feladatot olyan esetekre is, melyekben valamely végpont koordináta nincs rögzítve. Ilyenkor az S(y 1, x 1 ; y 0, x 0 ) függvényt még a szabad argumentuma szerint is stacionáriussá kell tennünk, azaz S deriváltjának el kell tűnnie, melyből az alábbi egyszerű feltételeket nyerjük.
2018. január 24. 17:53:02 37 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE a. Szabad a végpontbeli érték Ha például az x 0, x 1 és y 0 adott, de megengedjük, hogy az y 1 végpont tetszőleges legyen, akkor a végpont rögzítése helyett a stacionaritás feltételét alakban kell alkalmaznunk. p(x 1 ) = 0 (6.35) b. Szabad a végpont helye Másik példánkban csak az x 1 szabad, midőn x 0, y 0, y 1 rögzített. Ekkor a stacionaritás a E(x 1 ) = 0 (6.36) feltételt követeli meg. c. A végpont adott görbén fekszik Harmadszorra, ha a végpontokról csupán annyit tudunk, hogy valamely előírt y 1 = h(x 1 ) (6.37) görbén található, akkor a (6.33) kifejezést a stacionaritás követelménye szerint zérussal egyenlővé téve nyerjük h (x 1 ) = E(x 1) p(x 1 ). (6.38) Ez esetben tehát nem rögzíthettük a végpontot, hanem az x 1 -nek teljesítenie kell a (6.38) feltételt.
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.3. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy az utóbbi feltételnek az első kettő, azaz a szabad x 1, ill. a szabad y 1 feltételek a speciális esetei. [2] Hangsúlyozzuk, hogy a határfeltételek az olyan y(x) függvényekre vonatkoznak, amelyek a (6.23) Euler Lagrangeegyenletet megoldásai. Megjegyzés: A fentiek a stacionaritási feltétel kiterjesztései, tehát lokális tulajdonságok. Például előfordulhat, hogy a végpontra kényszerfeltételt előíró görbe érintőjére több helyen teljesül a (6.38), ilyenkor több stacionárius megoldás létezik. 6.1.8. A legrövidebb út a síkon Természetesen tudjuk a választ, egyenes szakasz, mindazonáltal a példával a variációszámítás módszerét jól illusztrálhatjuk. a. Rögzített végpontok között Az y(x) görbe menjen át a P 0 = (x 0, y 0 ) és P 1 = (x 1, y 1 ) rögzített végpontokon. Ekkor a minimalizálandó funkcionált (6.15) adja (itt feltesszük, hogy y(x) egyértékű) P1 x1 x1 S[y(x)] = dl = 1 + y 2 (x) dx L dx. (6.39) P 0 x 0 A (6.16)-beli erő zérus, tehát a (6.23) Euler Lagrange-egyenlet szerint F = p = 0 p = x 0 y 1 + y 2 = sin ϕ = áll. ϕ = áll.. (6.40) Tehát a vonal egyenes, y(x) = αx + β, ahol a konstansokat a határpontokhoz való illesztéssel kapjuk. 6.4. Gyakorló feladat. Végezzük el a határpontokhoz való illesztést, majd számítsuk ki a minimális hosszt (melyre természetesen az S(y 1, x 1 ; y 0, x 0 ) = (x 1 x 0 ) 2 + (y 1 y 0 ) 2 formulát kell kapnunk). [2] 2018. január 24. 17:53:02 38
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE b. Az ívhossz Euler Lagrange-kifejezése Noha a stacionaritási problémát megoldottuk, a példa kedvéért határozzuk meg E-t E = F p = p = d sin ϕ = cos ϕdϕ dx dx = dϕ dl = 1 κ, (6.41) R ahol az utolsó előtti egyenlőség az R a görbületi sugár, az utolsó a κ görbület definíciója. Nyilvánvaló, miszerint a stacionaritás a görbület eltűnését írja elő. Másrészről, ha a kanonikus impulzus (6.40)-beli formuláját deriváljuk, akkor p = azaz a görbületet az y(x) deriváltjaival fejeztük ki. A görbület előjele a függvény konvexitásától függ y 1 + y 2 y y 2 (1 + y 2 ) 3/2 = y (1 + y 2 ) 3/2 = 1 R = κ, (6.42) konvex: y, κ > 0; konkáv: y, κ < 0. (6.43) Megjegyzés: Magasabb dimenziós felületek stacionaritása a felületek ún. átlagos görbületének eltűnését írja elő. c. Ha a függvény végpontja nem rögzített: szabad y 1 Ekkor a P 1 pont egy, az y tengellyel párhuzamos egyenes mentén mozoghat, miközben P 0 fix. Minimalizálnunk kell az y 1 szerint is, tehát (6.35) alapján fennáll p(x 1 ) = sin ϕ x1 = 0. (6.44) Mivel ϕ végig állandó, ezért a megoldásgörbe az x tengellyel párhuzamos szakasz, mely nyilvánvaló tényt egy kisiskolás is felismerne. 6.5. Gyakorló feladat. Az előző gyakorló feladatban kérdezett S(y 1, x 1 ; y 0, x 0 ) deriváltja y 1 szerint valóban p(x 1 )? [1] 6.6. Gyakorló feladat. Legyen mindkét y 0, y 1 érték szabad. Ekkor mi a stacionaritás feltétele, s teljesíthető-e? [2] 2018. január 24. 17:53:02 39
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2018. január 24. 17:53:02 40 d. Ha az integrálási tartomány végpontja nem rögzített: szabad x 1 Ekkor a P 1 pont egy, az x tengellyel párhuzamos egyenes mentén mozoghat, miközben P 0 fix. Most minimalizálnunk kell az x 1 szerint, ehhez először meghatározzuk a (6.31) kanonikus energiát ahonnan (6.32) alapján kapjuk E(x) = p y L = sin ϕ tg ϕ 1/ cos ϕ = cos ϕ, (6.45) S(..) x 1 = E(x 1 ) = 0 ϕ = π/2. (6.46) Tehát a minimális úthosszt az y tengellyel párhuzamos szakaszon mérhetjük, miként azt előre ki is találhattuk. 6.7. Gyakorló feladat. Ellenőrizzük, hogy az (a) alatti gyakorló feladatban expliciten felírt L(y 1, x 1 ; y 0, x 0 ) deriváltja x 1 szerint valóban az (6.30) szerint az (6.46)-ban szereplő energia? [2] Megjegyzés Ezen az egyszerű példán könnyen átláthatjuk a teljesen szabad P 1 végpont esetét, éspedig a legrövidebb, zérus hosszat akkor kapjuk, amikor P 1 = P 0, azaz a határpontok egybeesnek. Másfelől, a határfeltételeket formálisan véve, a (b) és (c) feltételeknek egyszerre kellene fennállniuk, ez azonban nyilvánvalóan nem lehetséges. A stacionaritási feltételek az L = 0 körül nem teljesülhetnek, ugyanis a 6.4-ban szereplő formula nem analitikus P 1 = P 0 körül. Az L = 0 a globális minimum, de nem stacionárius, a koordináták kis kitéréseire nem másod-, hanem elsőrendűen kicsiny a növekménye. Ennek egydimenziós analógja az L(x) függvény minimuma az origóban, amely nyilvánvalóan nem stacionárius pont. Ezzel a megjegyzéssel a határfeltételek formális alkalmazásának veszélyeire kívántuk felhívni a figyelmet. e. Ha a P 1 végpont egy előírt y = h(x) görbén mozoghat
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2018. január 24. 17:53:02 41 A feladat most az, hogy egy pontnak egy görbétől számított távolságának stacionárius értékeit keressük meg. A (6.38) szerint a kényszerfeltétel görbéjének érintője h (x 1 ) = E(x 1) p(x 1 ) = 1 y (x 1 ). (6.47) Ha a görbe h(x 1 ) pontbeli érintőjének irányszögét ψ-vel jelöljük, akkor a fenti reláció szerint tg (ψ) = ctg ϕ ψ ϕ = π/2. (6.48) A szemléletünkkel egyezően azt az eredményt kaptuk, hogy adott pontból valamely görbéhez mért stacionárius hosszúságú y(x) egyenes éppen merőleges a végpontjában a görbére. Ilyen pont több lehet, mint azt a 14. ábrán láthatjuk, melyen szaggatottal a lokálisan maximális szalaszt jelöltük. 6.1.9. Az Euler Lagrange-egyenlet diszkretizáció nélkül () a. Funkcionálderivált 14. ábra. A P 0 pont és adott görbe közötti stacionárius hosszak: a szakaszok merőlegesek a helyi érintőre, ez szemléletből is nyilvánvaló. Az előzőekben a funkcionálok stacionaritási feltételét az x-beli diszkretizációval, parciális deriváltak eltűnésével, majd a folytonos limesz képzése révén állítottuk elő Az alábbiakban a szokásosabb, közvetlen módszert idézzük fel funkcionál stacionárius pontjának meghatározásához. A (6.6) kifejezéssel bevezetett S[y(x)] funkcionál stacionárius y(x) argumentum függvényét keressük: változtatjuk (variáljuk) az y(x)-et, s vizsgáljuk, mikor lesz az S[y(x)] funkcionál megváltozása vezető rendben zérus. Számítsuk ki az S funkcionál δs megváltozását, ha az argumentum függvényt módosítjuk ekképpen y(x) y(x) + δy(x). (6.49)
2018. január 24. 17:53:02 42 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE A δy(x)-et a függvény variációjának nevezzük, melyre az alapfeladat keretében az alábbi feltételeket rójuk ki: y(x)-től függetlenül választjuk, legyen kicsi a variációban első rendig fejtünk sorba, δy(x 0 ) = δy(x 1 ) = 0 a végpontok rögzítettek, ott a variáció zérus. Megjegyzés: A δy(x) variáció jelentése tetszőleges, kicsiny függvény. Szabatosabb lenne helyette bevezetnünk egy kis ɛ paramétert és egy tetszőleges, nem feltétlenül kicsiny h(x) függvényt ɛ h(x) δy(x). (6.50) Ekkor h "szokásos" függvény, s a kis ɛ paraméterben, szintén szokásos módon fejtenénk sorba. Mindazonáltal a δy(x) variáció "konyhamódszerként" igen jól használható, emellett maradunk. Nem szabad elfelejtenünk, hogy a δy(x) függvény, s a számításokhoz kellően sima, deriválni is fogjuk. A módosított funkcionál a (6.6) definíció alapján a következő S[y(x) + δy(x)] = S[y(x)] + δs[y(x)] S[y(x)] + x 1 x 0 [ ] L L δy + y y δy dx = S[y(x)] + x 1 x 0 [F δy + pδy ] dx, (6.51) ahol csak a variációban lineáris tagokat tartottuk meg, s a kanonikus erő és impulzus (6.11) jelölését használtuk. (Az y és δy függvények x argumentumát gyakran nem írjuk ki.) A δs megváltozásra parciális integrálással nyerjük x 1 δs[y(x)] = (F p x 1 ) δy dx + pδy. (6.52) x x 0 0
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2018. január 24. 17:53:02 43 Nevezzük funkcionális vagy variációs deriváltnak azt, ami az integrandusban δy-t szorozza azaz δs = x 1 x 0 δs δy δy dx + p δy x 1 x 0, (6.53) δs δy = F (y, y, x) [p(y, y, x)] = E(y, y, y, x) (6.54) éppen a (6.23)-ben definiált Euler Lagrange-kifejezés. Megjegyzés: A funkcionál (6.53) megváltozásában az argumentum-függvény δy(x) megváltozása integrál alatt szerepel, ennek szorzója az integrandusban a funkcionálderivált. b. A funkcionális és parciális deriváltak kapcsolata Emlékeztetünk arra, hogy a (6.22) szerint a diszkretizált formalizmusban az y (n) függvényértékek szerinti parciális deriváltak arányosak a megfelelő helyen vett Euler Lagrange-kifejezéssel, amely éppen a funcionális derivált 1 S N [..] x y (n) E δs δy. (6.55) Ezen arányosság alapján számos, a parciális deriváltakra érvényes szabály átvihető a funkcionálderiváltakra. 6.1.2. Példa. Közvetett függvény deriválási szabálya funkcionálokra Térjünk át az y(x) helyett egy másik függvényre, z(x)-re! Ha ismerjük: y = f(z) y(x) = f(z(x)), y (x) = f (z(x)) z (x). (6.56)
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2018. január 24. 17:53:02 44 A hatást most z(x) funkcionáljaként gondolhatjuk el, s ennek deriváltjára minden x helyen fennáll E z δs δz = δs δy δy δz = δs δy dy dz E y f (z). (6.57) A kétféle függvény szerinti Euler Lagrange-kifejezést is kiírtuk. 6.8. Gyakorló feladat. Mutassuk meg a fenti relációt konkrét számítással olymódon, hogy az S = L dx integrálalakot a z(x) funkcionáljává expliciten átírjuk. [3] A fentiek alapján leszűrhetjük azt a következtetést, miszerint a funkcionálderiváltakra a parciálisokéhoz hasonló "konyhaszabályok" alkalmazhatók. c. Stacionaritás A hatás stacionaritásának feltétele (6.53) eltűnése. Mivel az integrandusban a δy(x) függvény belső pontjait a határoktól függetlenül variáljuk, azért a stacionaritás megköveteli külön az integrál és külön a határtagok eltűnését. Az első feltételből δs δy = E = 0, (6.58) Euler Lagrange-egyenlet, megegyezően a diszkretizáció alapján kapott (6.23) feltétellel. A variáció alapfeladata szerint a határokon a függvény δy variációja eltűnik, ez esetben (6.53) jobboldalán a határtagok is zérusak, így lineáris rendben a funkcionál δs variációja zérus. Megjegyzés: Ha az y(x)-ről áttérünk egy másik z(x) függvényre, akkor a (6.57) alapján az új változó szerinti az E z = 0 feltétel maga után vonja E y eltűnését, amennyiben y (y) 0. A stacionaritás feltételének kiterjesztését nem rögzített határpontok esetére vizsgáltuk a 6.1.7 részben. Az egyik eredmény a fentiekből azonnal leolvasható, éspedig, ha az y(x) értékét valamely x j (j = 0 vagy j = 1) végpontban
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2018. január 24. 17:53:02 45 nem rögzítjük, akkor (6.54) mellett (6.53) megfelelő határtagját tetszőleges δy j mellett zérussá kell tennünk, amelyhez a feltételt szükséges kirónunk. Ez j = 1 mellett azonos a (6.35) előírással. p(x j ) = 0 (6.59) Azt, hogy a stacionárius y(x) vajon extrémum-e, s ha igen, maximum vagy minimum, globálisan vagy csak lokálisan, általában nem fogjuk vizsgálni. A kérdés megfordítottja is érdekes, éspedig vajon egy extrémum stacionáriuse, melyre ellenpéldát a végpont rögzítése nélküli minimális hossz problémájában láttunk. 6.1.10. Speciális esetek () 1. L(y, y, x) = L(y, x). Ekkor p = 0, és az Euler Lagrange-egyenlet alakja nem differenciálegyenlet, hanem implicit egyenlet y(x)-re. 2. L(y, y, x) = L(y, x). Most F = 0, ezért az Euler Lagrange-egyenlet ez általában elsőrendű differenciálegyenlet y(x)-re. E = F (y, x) = 0, (6.60) E = p = 0 p(y, x) = áll., (6.61) 3. L(y, y, x) = L(y, y ). Ekkor a stacionaritás feltétele elsőrendű differenciálegyenletként állítható elő. Tekintsük ugyanis az y(x) megoldás mentén az L-et mint x függvényét, melynek deriváltja [L(y(x), y (x))] = L y y + L y y = F y + py = p y + py = (p y ), (6.62)
2018. január 24. 17:53:02 46 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE ahol a harmadik egyenlőséghez felhasználtuk a stacionaritás F = p egyenletét. Mindkét szélső formula teljes derivált x szerint, ezért a különbségük integrálja, amely éppen a (6.31) formulával bevezetett kanonikus energia, független az x-től, azaz E(x) = p y L = áll. (6.63) Hangsúlyozzuk, hogy e reláció azt mondja ki, miszerint E a stacionárius függvény mentén állandó x-ben. Így előállt az Euler Lagrange-egyenlet egy integrálja, amely adott állandó E mellett y-ra elsőrendű differenciálegyenlethez vezet. Megjegyzés: Korábban a kanonikus energia formuláját a stacionárius helyen felvett funkcionál értékének az x 1 végpont szerinti deriváltjaként kaptuk, ld. (6.32). Ebből az az érdekes speciális reláció adódik, miszerint ha egyrészről az x 1 végpont határozatlan, másrészről az L integrandus nem függ expliciten az x-től, akkor a stacionaritási feltétel és a megmaradási tétel kombinációja a E(x) 0 azonosságot eredményezi. (Ez teljesült a határozatlan x 1 végpont melletti legrövidebb síkgörbére, amely természetesen egy, az y tengellyel párhuzamos szakasz.) 4. L(y, y, x) = [g(y, x)], azaz az L teljes derivált x-ben. Ezt (6.6)-ba helyettesítve kapjuk, hogy S nem függ az y(x)-től, azaz S = g(y(x), x) x 1 = áll. δs = E 0. (6.64) x 0 δy Ha tehát két függvény teljes deriváltban különbözik, akkor funkcionális deriváltjaik azonosak és ezért a stacionaritási feltételeik is azonosak, a megoldások pedig legfeljebb a különböző peremfeltételek miatt különbözhetnek. 6.9. Gyakorló feladat. Számítsuk ki a 4. esetben a funkcionálderiváltat a (6.54) formula alapján is! [3] 6.1.11. Példák 6.1.2. Példa. Újból a legrövidebb út a kanonikus energiával: Görbe ívhosszát a (6.15) funkcionál adja, melyből, mint már láttuk L(y, y, x) = 1 + y 2 = 1/ cos ϕ p = sin ϕ. (6.65)
2018. január 24. 17:53:02 47 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Mivel az L nem függ expliciten x-től, ezért az energiafüggvény x-ben állandó, melyből az egyenes következik, azaz E = p y L = cos ϕ = áll. ϕ = áll. (6.66) Megjegyzés: A (6.41) alapján az ívhossz funkcionálderiváltja mínusz a görbület δs δy = E = 1 R = κ. (6.67) 2017.09.22 2017.09.26 6.1.3. Példa. Minimális forgásfelület: Két koaxiális kör keret között hártyát feszítünk. Milyen alakú lesz a minimális forgásfelület? Előre tudjuk, hogy a gyűrűk kellő távolítása esetén a hártya elszakad, ezt a megoldásnak is mutatnia kell. A minimalizálandó funkcionál legyen a forgásfelület A területe per 2π, ahol x1 x1 A = 2π S[y] = 2π y dl = 2π y 1 + y 2 dx. (6.68) x 0 Vegyük észre, hogy az integrandus az előző példabeli (6.39) y-szorosa. A kanonikus energia ezért a (6.66) kifejezés y-szorosa x 0 y E = y cos ϕ = = áll., (6.69) 1 + y 2 y 0 y 1 x 0 x 1 15. ábra. Minimális felületű hártya melyből y -t kifejezve elsőrendű, szeparábilis differenciálegyenletet kapunk. (Mivel E < 0, a jelölést egyszerűsíti, ha E ezután az abszolút értéket jelenti: E E.) Megoldását közvetlenül előállíthatjuk, ha felidézzük, hogy sh x = ch x, 1 + ch 2 x = ch 2 x, (6.70)
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2018. január 24. 17:53:02 48 ezért y(x) = E ch x a E. (6.71) éppen a keresett függvény. Az állandókat az y(x 0 ) = y 0, y(x 1 ) = y 1 határfeltételre kell illesztenünk. 6.10. Gyakorló feladat. Oldjuk meg a (6.69) differenciálegyenletet integrálással! [3] Vizsgáljuk a szimmetrikus esetet, ekkor x 0 = x 1, y 0 = y 1 adott és a = 0 tehát y(x) = E ch x E y 1 x 1 = E x 1 ch x 1 E. (6.72) Tehát a z = x 1 /E értékére kell megoldanunk adott y 1 /x 1 mellett y 1 = ch z x 1 z = C(z), (6.73) mely a C(z)-t definiálja, ld. 16. ábra. Két megoldás közül a kisebb z a fizikai a következő értelemben. Közeli gyűrűk, azaz y 1 /x 1 1 esetén a minimális felület közel y 1 sugarú, 2x 1 hosszú hengerpalást. Ez (6.72) első egyenletéből y E-nek felel meg, innen z = x 1 /E 1, ezt nagy C(z) értékekre a baloldali ág inverzéből kapjuk. Csökkenő y 1 /x 1 mellett ezen az ágon haladva elérjük C(z) minimumát, amelynél kisebb y 1 /x 1 értékekre nincs összefüggő minimális felület. C(z) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 z 16. ábra. A C(z) függvény. Szemléletünkkel mindez összhangban van. Ha a gyűrűket eltávolítjuk egymástól, akkor a hártya nem közöttük feszül ki, hanem (ha óvatosan csináltuk) a gyűrűk határolta körlapokká ugrik össze, melyek területe A 0 = 2πy 2 1. Az összefüggő felület létezésének feltétele y 1 C(z )x 1, ahol z a C(z) minimumhelye.
2018. január 24. 17:53:02 49 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.11. Gyakorló feladat. Magyarázhatjuk-e az összefüggő hártya szétválását oly módon, hogy a legszűkebb kör keresztmetszet a tengelyre zsugorodott, s pontjai összeértek? Adjuk meg az összefüggő felület létezésének a feltételét numerikusan! (Ehhez transzcendens egyenletet szükséges megoldanunk.) [4] 6.12. Gyakorló feladat. Engedjük a jobb oldali gyűrű keretet szabadon csúszni, azaz legyen x 1 szabad, míg y 1 rögzített. Nyilvánvaló, hogy a szabadon mozgó keret az x 0 helyre csúszik, azaz a minimumot az x 1 = x 0 eset állítja elő. Hogyan kapjuk ezt meg képlettel a variációs feltételből? [2] 6.13. Gyakorló feladat. A gyakorlaton látott brahisztokron problémában két rögzített pont között valamely görbén sikló tömegpont menetidejét maximalizáljuk, mely az S = y 1/2 dl hatással arányos. Milyen feltételt jelent a pályára az, ha (a) a végpont x 1 koordinátáját rögzítjük, míg az y 1 szabad; (b) x 1 szabad, és y 1 rögzített. [2-1] 6.1.4. Példa. Fermat-elv: A fény változó törésmutatójú közegben adott végpontok között a minimális optikai úthosszhoz tartozó pályán terjed. Optikai úthossz (2D-ben az y(x) pálya egyértékű szakaszaira): S F [y(x)] = n(r) dl = n(x, y) 1 + y 2 (x) dx = L F (y, y, x) dx. (6.74) A kanonikus energia a Lagrange-függvény explicit x-függése esetén nem állandó! Az Euler Lagrange-egyenletek F F = L F y p F = L F y = = n 1 + y y 2 = n y ny 1 + y 2 1 cos ϕ, (6.75) = n sin ϕ, (6.76) E F = δs F δy = F F p F = 0. (6.77)
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2018. január 24. 17:53:02 50 Abban a speciális esetben, amidőn a törésmutató csak az egyik irányban változik, ebbe irányíthatjuk az x tengelyt, azaz n = n(x). A fényút érintőjének irányszögét ϕ-vel jelölve kapjuk n(x, y) = n(x) p F = ny 1 + y 2 = n sin ϕ = áll. (6.78) Ha a törésmutató szakaszonként állandó, akkor ez éppen a Snellius Descartes-törvény a határokon. A törvényt eredetileg Ibn Szál fedezte fel (Bagdad, 984). Megfordítva, infinitezimális szakaszokon állandó törésmutatóra a Snellius Descartes-törvényből a Fermat-elv következik az n = n(x) esetben. Végül az izotrópia alapján az elvet általánosíthatjuk tetszőleges helyfüggő n(r) törésmutatóra a (6.74) formában. A kanonikus energia E F = p F y L F = n sin ϕ tg ϕ n cos ϕ = n cos ϕ, (6.79) mely állandó, ha a törésmutató nem függ x-től, összhangban a Snellius Descartes-törvénnyel. 6.14. Gyakorló feladat. Írjuk ki általános n(x, y) törésmutató esetén a fényút Euler Lagrange-egyenletét. Milyen relációt kapunk a törésmutató gradiense és a fényút görbülete között? [3] Megjegyzés: mivel a fázissebesség v = c/n, a Fermat-elv azt a pályát jelöli ki, amelyre a fázis terjedéséhez szükséges idő minimális. 6.15. Gyakorló feladat. Lássuk be, hogy síktükrön történő visszaverődésnél a beesési és a visszaverődési szögek egyenlősége esetén lesz a legrövidebb az út, ha a kezdő- és végpontot rögzítjük! [3] Alexandriai Hérón megmutatta, hogy tükrök tetszőleges elrendezésében a fénysugár útvonala a lehetséges legrövidebb adott két végpont között.
2018. január 24. 17:53:02 51 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.1.12. Értelmezés A minimalizáló pályára másodrendű differenciálegyenletet kaptunk, amelynek megoldását adott határpontok mellett keressük. Az Euler Lagrange-egyenletet azonban adott KF mellett is megoldhatjuk. Ezek matematikailag különböző problémák, melyek adott fizikai kérdés esetén ekvivalensek lehetnek. Adott kezdőpont mellett, ha a végpont is adott, a kezdeti derivált meghatározott, ha azonban a KF-be ez utóbbit vesszük, s egyértelmű a megoldás, ugyanazon végpontba érkezünk: ekvivalens paraméterezések. Korábban filozófiai jelentőséget tulajdonítottak a különbségnek: 6.1.13. Kiterjesztések () a. Több függvény funkcionálja végpontok adottak teleologikus (céltételező) elv, KF adott kauzális (oksági) elv. A szélsőértéket több {y k (x)} N k=1 függvénytől függő funkcionál extremizálásával keressük S[y 1,.., y N ] = L (y 1,.., y N, y 1,.., y N, x) dx. (6.80) A határokat nem írjuk ki, de kikötjük, hogy ott az y k (x) függvények értéke adott, mint a 6.1.2 fejezetbeli alapfeladatban. Mindegyik függvény szerinti variáció eltűnik 0 = E k = δs = L ( ) L F δy k y k y k k p k, (6.81) melyben az utolsó formula a kanonikus erő és impulzus jelölését általánosítja több komponensre, s most az E k Euler Lagrange-kifejezés is többkomponensű mennyiség.
2018. január 24. 17:53:02 52 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE A kanonikus energia is általánosítható, az skalár értékű függvény marad, éspedig, ha az L nem függ expliciten az x-től, akkor A fentieket vektoriálisan is érdemes jelölnünk N E = p k y k L = áll.. (6.82) k=1 S = S[y], L = (y, y, x), F = y L, p = y L, E = F p, E = p y L. (6.83) 6.16. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy E-nek az x szerinti deriváltja a stacionárius pályákon valóban zérus! Útmutató: általánosítsuk a (6.62)-beli eljárást több y k (x) függvény esetére. [3] b. Magasabb deriváltak A funkcionálban az y [n] magasabb deriváltak is felléphetnek. A legegyszerűbb eset S = L(y, y, y, x) dx, (6.84) amikor is δs = [ L L δy + y y δy + L y δy ] dx = δy [ L y ( ) ( ) ] L L + dx + határtagok. (6.85) y y Ha a határon δy = 0 és δy = 0, akkor az Euler Lagrange-egyenlet általánosított alakját kapjuk E = δs δy = L y ( ) ( ) L L + = 0. (6.86) y y
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2018. január 24. 17:53:02 53 Ez általában negyedrendű differenciálegyenlet, melynek megoldásához négy peremfeltételre (PF-re) van szükség y(x 0 ) = y 0, y(x 1 ) = y 1, y (x 0 ) = v 0, y (x 1 ) = v 1. Ekvivalensen négy kezdeti feltételt (KF-et) használhatunk, pl. y, y, y, y a kezdőpontban. 6.17. Gyakorló feladat. Ha az x 1 végpontban y -t nem rögzítjük v 1 -re, hanem ezen érték szabad, akkor milyen feltételt kell kirónunk a stacionaritás teljesítéséhez? Útmutató: írjuk ki (6.85) határtagjait, melyekből a keresett feltételt kiolvashatjuk. [4] 6.1.14. Kényszerfeltételek és a Lagrange-féle multiplikátorok módszere () Tegyük fel, hogy (6.80) stacionárius argumentumait további feltételek, ún. kényszerfeltételek együttes teljesülése mellett keressünk. Álljon fenn a y 1,.., y N változó függvények között a következő kényszerfeltétel ϕ(x, y 1,.., y N ) = 0. (6.87) Lényeges, hogy itt a kényszer csak a variálandó y k függvények értékei, de nem a deriváltjai között ír elő megszorítást ez a holonom kényszer. A fenti egyenlet adott x mellett a függvényértékeket lényegében egy hiperfelületre korlátozza. A kényszerek kezelésére a Lagrange-féle multiplikátorok módszerét alkalmazzuk. a. Kétváltozós függvény stacionárius pontja kényszerfeltétel mellett Keressük f(x, y) stacionárius pontját az y = y(x) előírt görbe mentén (az y koordináta, az y(x) függvény kiírt argumentummal a mellékfeltétel), azaz d f f(x, y(x)) = dx x + f y y (x) = 0. (6.88) E reláció szemléletesen azt jelenti, hogy a szóban forgó f függvény leggyorsabb változásának iránya f = ( x f, y f) (6.89)
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE és az előírt y(x) görbe (1, y (x)) (6.90) érintővektora merőlegesek egymásra. Más szóval, az f a kényszer érintője mentén nem változik lineáris rendben, a kényszer betartása mellett stacionárius! Következésképpen f a görbe normálisának irányába mutat. Ha a mellékfeltételt a ϕ(x, y) = y(x) y = 0 (6.91) alakba írjuk, akkor a görbe normálisa ϕ(x, y) = (y (x), 1), végül a fentiek alapján f ϕ. (6.92) b. Lagrange-multiplikátor bevezetése A fentiekkel ekvivalens eredményre jutunk, ha az f λ (x, y, λ) = f(x, y) + λϕ(x, y) (6.93) által definiált függvény stacionaritási feltételét követeljük meg mindhárom változójában. Ekkor nyerjük melyek azonosak a (6.91,6.92) feltételekkel. A λ eliminálása után f x + λy (x) = 0, f + λ ϕ = 0, ϕ = 0, (6.94) f y λ = 0, f x + f y y (x) = 0 (6.95) éppen (6.88), az (i) pontban felírt feltétel adódott. A (6.93)-ben bevezetett λ-t Lagrange-féle multiplikátornak hívjuk, s a módszert is erről nevezték el. 2018. január 24. 17:53:02 54
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.18. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a Lagrange-multiplikátor módszere tetszőleges N-dimenziós változótól függő f(r) függvény stacionárius pontjának meghatározására is alkalmas valamely ϕ(r) = 0 mellékfeltétel előírása esetén. Útmutató: fejezzük ki a mellékfeltételből az egyik koordinátát. [3] 6.19. Gyakorló feladat. Írjunk elő több mellékfeltételt, ϕ m (r) = 0, 1 m M, ahol M < N, s ezzel demonstráljuk a Lagrange-multiplikátorok módszerét. [3] c. Lagrange-multiplikátor variációs problémáknál A fentiekkel analógiában, (6.80) típusú funkcionálok a (6.87) előírása melletti stacionárius pontjának meghatározásához a következő kiegészített funkcionált vezetjük be S λ = S + λϕ dx = (L + λϕ) dx = L λ dx, (6.96) ahol λ függhet az x-től, s az indexbe írt λ a kiegészített függvényt különbözteti meg. A stacionaritás feltételei δs λ δy k = (E λ ) k = δs + λ ϕ = F k p k + λ ϕ = 0 δy k y k y k E λ = F p + λ ϕ (6.97) δs λ = ϕ = 0, δλ (6.98) amelyek megoldandók az y 1 (x),.., y N (x), λ(x) függvényekre. Több kényszerfeltétel fennállásakor minden feltétel mellé egy-egy multiplikátort vezetünk be. Megjegyzés: A (6.97) egyenletben fellépő, λ-val arányos tag a (6.87) hiperfelület normálisának irányába mutat, nagyságát pedig az a λ adja meg, amelyet a (6.97) és a (6.98)) egyenletek megoldásával kapunk. Az eredeti S funcionális deriváltja tehát az előírt felület normálisával párhuzamos, másszóval zérus az felületet érintő síkra vett komponense, amelyet el is várunk a felületre korlátozott stacionárius pontban. Ez a kép konkrét fizikai jelentést nyer akkor, amikor a Lagrange-formalizmus keretében mozgásegyenleteket kényszerek jelenlétében fogalmazunk meg. 2018. január 24. 17:53:02 55
2018. január 24. 17:53:02 56 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Speciális eset: integrális mellékfeltétel Φ = ϕ dx = 0, (6.99) amikor is azaz λ nem függ x-től. S λ = L dx + λ ϕ dx, (6.100) 6.1.5. Példa. Láncgörbe: Milyen alakú a felfüggesztett lánc (kötél)? A potenciális energiát minimalizáljuk adott hossz mellett. Ha g a nehézségi gyorsulás és ν a hosszegységre eső tömeg (lineáris sűrűség), akkor V [y] = g y dm = νg y dl = νg y 1 + y 2 dx, (6.101) miközben rögzített a hossz l[y] = 1 + y 2 dx = l 0. (6.102) Ekkor a mellékfeltétel Φ[y] = l[y] l 0 = 0, azonban a konstanst elhagyhatjuk az y szerint variálandó funkcionálból, s így kapjuk a µ = νg jelöléssel S λ [y] =V [y] + λl[y] = L λ dx, (6.103) L λ =(µy + λ) 1 + y 2. (6.104)
2018. január 24. 17:53:02 57 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Bevezetve az ỹ(x) = y(x) + λ/µ jelölést nyerjük L λ = µỹ 1 + ỹ 2. (6.105) Ez éppen a minimális forgásfelület variációs problémájában megjelent (6.68) függvény, melyhez tartozó stacionaritási problémát már megoldottuk ỹ = y + λ/µ = C ch x a C. (6.106) Ez az általában aszimmetrikus láncgörbe. Három feltételünk van, a két végpont helye és a görbe hossza, melyekből a λ, a, C paraméterek meghatározandók l 0 = x1 x 0 y 0 =y(x 0 ), y 1 = y(x 1 ), (6.107) x1 1 + y 2 dx = ch x a x a x 1 dx = C sh. (6.108) x 0 C C x 0 Speciális eset a szimmetrikus felfüggesztés, amikor is y 0 = y 1, x 0 = x 1. Ekkor a = 0 és és bevezetve a z = x 1 /C jelölést kapjuk l 0 = 2 C sh x 1 C, (6.109) l 0 = 2x 1 sh z z = 2x 1 D(z). (6.110)
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2018. január 24. 17:53:02 58 A D(z) függvényt a 17. ábra mutatja. Mivel D(z) 1, azért a megoldhatóság feltétele L 0 2x 1. Ez nyilvánvaló, a lánc legyen hosszabb, mint a két végpont távolsága. Az l 0 és x 1 ismeretében tehát a C előáll a (6.109) transzcendens egyenlet megoldásaként. Végül a λ-t határozzuk meg a végpont magasságából. A (6.106) alapján D(z) 3 2 y 1 = C ch x 1 C λ/µ. (6.111) Megjegyzés: A korábban kiszámított minimális forgásfelület síkmetszete is láncgörbe. A felfüggesztett lánc esetén azonban a teljes hosszt mellékfeltétellel rögzítettük, a két probléma nem azonos variációs feladat! Ezt az is mutatja, hogy a forgásfelület kettő, a lánc három illesztési paramétert tartalmaz. 1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 z 17. ábra. A D(z) függvény. 6.20. Gyakorló feladat. Milyen alakú a lánc, ha az x 1 pontban nem rögzítjük y 1 -et, azaz a P 1 végpont függőleges sínen mozoghat. [3] 6.21. Gyakorló feladat. Milyen alakú a lánc, ha a P 1 végpont függőleges sínen mozoghat, amelyen rugó tartja. Ennek potenciális energiája legyen U(y 1 ) = k y 2 1/2. [6] 6.1.15. Láncgörbéhez vezető ekvivalens variációs problémák A Fermat-elv és a láncgörbe kapcsolata: A függő kötél, amelynek Lagrange- függvénye L = (µy + λ) 1 + y 2, (6.112)
2018. január 24. 17:53:02 59 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE formálisan hasonló az n = µy + λ (6.113) lineárisan változó törésmutatójú közegbeli fényterjedéssel, azzal a különbséggel, hogy a fény pályájának hossza nem rögzített, hanem λ adott). Ehhez hasonló a törésmutató forró felület fölötti levegőben, melyben a ferdén beeső fény láncgörbét leírva mutat délibábot. A láncgörbékhez vezető példák utolsójaként említjük a gyakorlaton vizsgált brahisztokron problémát, melyre könnyen megmutatható, miszerint a V (r) 1/y 2 potenciálban a pálya alakja szintén láncgörbe. 6.22. Gyakorló feladat. Lássuk be a fenti állítást. [2] Összefoglalva az eddig tárgyalt példákat, arra a figyelemre méltó eredményre jutunk, mely szerint gyűrűk között kifeszülő hártya síkmetszete, felfüggesztett lánc, délibábot mutató fénysugarak, brahisztokron pályája az 1/y 2 potenciálban alakja egyaránt láncgörbe. 6.23. Gyakorló feladat. Milyen alakú a forgatott ugrókötél? Az egyszerűség kedvéért a gravitációt hanyagoljuk el, s tekintsük a kötél két végpontjának helyét rögzítettnek. Ha egy integrált nem ismerünk, nézzünk utána az irodalomban. (Dávid Gyula feladata) [4] 6.24. Gyakorló feladat. Milyen alakú a Föld felszíne fölött felfüggesztett nagyon hosszú lánc? Útmutató: Vegyük a potenciált α/r-nek, majd írjuk fel az ívhosszat síkbeli polárkoordinátákkal. Az eredményt integrál alakban elég megadni, nem kötelező ismert függvénnyel kifejezni. [4] 6.25. Gyakorló feladat. Izoperimetrikus problémának nevezik azt, amely szerint adott hosszú kötéllel, különféle peremfeltételek mellett, a legnagyobb területet kívánunk elkeríteni. Ennek speciális esete Didó királynő problémája,
2018. január 24. 17:53:02 60 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE melyben egyenes part mentén szándékozzuk a maximális földterületet kialakítani. A feladatot lényegében az első éves Matematikai Módszerek kurzus során megoldották, a görbe körív. Most ugyanennek a problémának a különböző peremfeltételek melletti megoldásait fogjuk keresni a következőképpen. Maximalizráljuk az l 0 hosszú, y(x) alakú kötél és az x tengely közötti y(x) dx területet, s rögzítsük a kötél egyik végét az origóban. Adjuk meg az ilyen kötél egyenletét, ha (i) a másik vége az (x 1, y 1 ) pontban rögzített; (ii) az x 1 rögzített s az y 1 szabad; (iii) az x 1 szabad, s az y 1 rögzített; (iv) a végpont teljesen szabad; (v) a végpont adott y = h(x) görbén mozoghat. [2-1-1-1-1] 2017.09.26 2017.09.29 6.1.16. Általános potenciálban függő kötél, az általános potenciálbeli brahisztokron probléma, valamint a Fermat-elv ekvivalenciája (*) a. Kötél egyensúlyi alakja A homogén térben felfüggesztett kötél és a lineáris törésmutatójú közegbeli fénysugár analógiája továbbvihető. Tekintsünk egy általános V (r) potenciálban egyensúlyban levő ν homogén tömegeloszlású, l 0 hosszú kötelet, rögzített r 0 és r 1 végpontokkal. Ennek alakját valamely u paraméterrel az r(u) függvényként írjuk le az u = 0 és u = u 1 értékek között. Először az ívhosszal írjuk fel a hatást, mely legyen a ν-vel osztott potenciális energia és a hosszt rögzítő Lagrangemultiplikátoros tag összege (a multiplikátort jelölő indexet nem írjuk ki) S[r] = r1 r 0 V (r) dl + λ ( r1 ) dl l r 0. (6.114) 0 Az r(l) szerint naiv módon képzett variációs deriváltat zérussal egyenlővé téve nyilvánvalóan helytelen eredményt kapunk! Ez az oka annak, hogy áttérünk az általánosan paraméterezett r(u) függvényre. Felhasználva a dl = dr = r (u) du, (6.115)
2018. január 24. 17:53:02 61 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE relációt, kapjuk a hatásfunkcionált (az utolsó, állandó tag nem befolyásolja a mozgásegyenleteket) S[r] = u1 0 [V (r(u)) + λ] r (u) du λl 0 Az ehhez rendelhető erő és az impulzus, majd az Euler Lagrange-egyenlet u1 0 L u du λl 0. (6.116) F u = r L u = r V (r), p u = r L u = (V (r) + λ) r r, (6.117) E u = V (r) r d [ ] (V (r) + λ) r = 0. (6.118) du r Vegyük észre, hogy λ a potenciál additív állandója, mely az erőt nem befolyásolja, azonban szükséges az l 0 rögzített értékének beállításához. 6.26. Gyakorló feladat. Számítsuk ki az E u kanonikus energiát, és értelmezzük az eredményt. [1-2] Végül érdemes visszatérnünk az u-ról az l ívhosszra, mellyel a görbét az r(l) paraméteres alakban adjuk meg, s melyből (6.115) alapján deriválással az érintő egységvektort kapjuk dr(l) dl r (l) = 1. (6.119) A stacionaritási feltételből az l u helyettesítéssel a következő egyenletet kapjuk mely az r(l) függvényt meghatározó differenciálegyenlet. E l = V (r) d dl [(V (r) + λ) r (l)] = 0, (6.120)
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2018. január 24. 17:53:02 62 b. A stacionarizálandó funkcionál és a kényszerfeltétel felcserélhetősége Kis kitérőként felhívjuk a figyelmet arra a nyilvánvaló tényre, miszerint egy stacionarizálandó funkcionál és globális kényszerfeltétele szerepei felcserélhet ők. A fenti példában az energiát minimalizáltuk rögzített kötél-hossz mellett. Ha mármost előírjuk az energiát valamely rögzített értéknek s az ezt előállító legrövidebb kötél alakját kérdezzük, akkor a megfelelő hatás S[r] = r1 r 0 r1 dl + λ V (r) dl. (6.121) r 0 Ez ekvivalens a (6.114) hatással annyiban, hogy a λ 1/λ megfeleltetés mellett azonos Euler Lagrange-kifejezéshez vezetnek. Ha azonban most az energia értéke adott, s a hossz változhat, akkor a megoldás paramétereinek illesztése a két problémában különbözőképpen történik. A gravitációs potenciál esetében arra a következtetésre jutottunk, miszerint adott hosszú kötél minimális energiájú alakja azonos az ezen minimális értékre rögzített energiájú kötelek közül a legrövidebb alakjával. Tetszőleges potenciál ra csupán a kétféle stacionaritási probléma megfeleltetését jelenthetjük ki. Ezt általánosíthatjuk más variációs problémákra is, éspedig a stacionarizálandó funkcionál és a kényszerfeltétel szerepeinek felcserélése esetén az Euler Lagrange-kifejezés lényegében azonos marad. Most visszatérünk eredeti gondolatmenetünkhöz, nevezetesen az általános potenciálbeli láncgörbével formálisan ekvivalens, de fizikailag különböző eredetű problémák tárgyalására. c. Brahisztokron általános potenciálban Tömegpont súrlódásmentesen siklik két adott r 0, r 1 pontot összekötő görbe mentén V (r) potenciálban, s ekkor azt kérdezzük, milyen görbe mentén lesz a legrövidebb a menetidő. Általánosabban a stacionárius menetidőhöz tartozó görbék alakját is kereshetjük. A görbét az ívhosszával paraméterezve, a potenciál értékét a kezdőpontban és a
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2018. január 24. 17:53:02 63 kezdősebességet egyaránt zérusnak véve, a v sebességet az energiamegmaradás alapján számítva kapjuk a menetidőre T = S[r(l)] = r1 r 0 dl v = m 2 r1 r 0 dl V (r). (6.122) Ez a funkcionál a (6.114) kifejezéssel azonos típusú, ezért mindaz, ami a függő kötél egyensúlyára fennáll, analóg módon érvényes a brahisztokron problémára. 6.27. Gyakorló feladat. Milyen potenciál mellett lesz a leggyorsabb pálya láncgörbe alakú? [2] 6.28. Gyakorló feladat. Rögzítsük a pálya hosszát a hagyományos, V y potenciálban, s oldjuk meg a problémát. [4] d. Fényút A Fermat-elv a v = c/n közegbeli sebesség definíciójával az elérési idő ill. ennek c-szerese, az r1 dl S F [r] = c r 0 v = r1 n(r) dl (6.123) r 0 optikai úthossz stacionaritását mondja ki. Az első integrál a brahisztokron-problémában is fellépett, viszont most a sebesség helyfüggését az anyag polarizálhatósága adja meg, míg a mechanikai brahisztokron problémában a potenciál. Az eddigieket összefoglalva a Fermat-elv nyilvánvalóan ekvivalens a V (r) potenciálban egyensúlyban levő kötél, ill. a brahisztokron problémájával a kötél: V (r) + λ brahisztokron: 1/ V (r) Fermat: n(r) (6.124) megfeleltetés mellett. Vegyük észre, hogy sem a brahisztokron-pálya, sem a fényút hossza nem rögzített, ezért nem tartozik hozzájuk Lagrange-multiplikátor.
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.1.6. Példa. Mint ismeretes, a brahisztokron probléma, melyben a potenciál V (r) = mgy (itt y lefelé mutat), megoldása ciklois. Innen nyilvánvaló, hogy az n 1/ y törésmutatójú közegbeli fényút szintén ciklois. 6.29. Gyakorló feladat. Milyen potenciálban lesz a felfüggesztett kötél ciklois? [4] Részletesebben megvizsgálva az ívhosszal paraméterezett r(l) fényutat a E l = n(r) [n(r) r ] = 0, (6.125) differenciálegyenletnek tesz eleget. Mivel az n ívhossz szerinti deriváltja n = r n, azért a fényút egyenletének ekvivalens alakja Megjegyzés: Mivel azért az E l Euler Lagrange-kifejezés mindig merőleges az r érintőre E l = (1 r r ) n(r) n r = 0. (6.126) r 2 = 1 r r = 0, (6.127) E l r 0, (6.128) nemcsak a megvalósuló fényút mentén! Következésképpen E l = 0 a tér dimenziószámánál eggyel kevesebb független egyenletet jelent. Valóban, ezzel teljes összhangban, a síkbeli fényút alakjára korábban egyetlen skalár differenciálegyenletet írtunk fel, ld. (6.77), amely az y(x) függvényt határozta meg. 6.30. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy r(l) = κ = 1/R az abszolút görbület, és r pedig a simuló kör középpontja felé mutat. [3] 6.31. Gyakorló feladat. Válasszuk u-nak az x koordinátát a (6.116) hatásintegrálban. Síkprobléma esetén mutassuk meg, hogy E x mindkét komponense ekvivalens a korábban a fényút y(x) görbéjére kapott (6.77) egyenlettel az n = V + λ megfeleltetés mellett. Mekkora volt az energia az x használata mellett, s mekkora az u paraméterezéssel értelmezzük azt eredményt. [2-2] 2018. január 24. 17:53:02 64
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2018. január 24. 17:53:02 65 6.32. Gyakorló feladat. Az n 1/r sugárirányban lecsengő törésmutató esetén a Fermat-elv merész alkalmazása szerint minden, az origó köré írt főkört leíró fénysugár optikai úthossza azonos, ezért azok meg is valósulhatnak [333+ Furfangos feladat fizikából]. Ellenőrizzük, miszerint tetszőleges sugarú körpálya valóban megoldása a stacionaritás differenciálegyenletének. [3] 6.33. Gyakorló feladat. Igazoljuk, hogy n 1/ r törésmutató mellett minden fényút parabola. [5] 6.34. Gyakorló feladat. Lineáris törésmutató mellett, n y határozzuk meg a fényutat a síkban, mint az ívhossz függvényét (a könnyebbség kedvéért szimmetrikus elrendezésben)! Mutassuk meg, hogy éppen az ismert láncgörbének az ívhossz függvényében paraméterezett alakját állítottuk elő. [5] 6.35. Gyakorló feladat. Állítsuk elő a fényút Fermat-elv szerinti egyenletét variációszámítás nélkül! Útmutató: az általános potenciálbeli kötél alakjának egyenletét az erők egyensúlya alapján is megszerkeszthetjük. [5] 6.36. Gyakorló feladat. Vezessük le a fényút egyenletét oly módon, hogy az S F funkcionálban megtartjuk az ívhosszt integrálási változónak, azaz nem térünk át az u segédváltozóra. Útmutató: az S F -et ki kell egészítenünk olyan mellékfeltétellel, amely figyelembe veszi azt a tényt, hogy az integrálási változó éppen az ívhossz. [6] Ezzel a variációszámítás módszerébe történő bevezetés végére értünk. 6.2. Lagrange-féle mechanika Könnyen látható, hogy potenciálos erőknek kitett tömegpontok newtoni mozgásegyenletei az előző részben vizsgált variációs elv alakjába átfogalmazhatók. Az így nyert Hamilton-elvet később mellékfeltételek esetére is kiterjesztjük, s ezzel a klasszikus mechanikai számításokhoz legszélesebb körben használt variációs elvhez jutunk. Noha az elvet Hamiltonról nevezték el, a koncepciót első megfogalmazója után Lagrange-féle mechanikának hívjuk. 6.2.1. Potenciálos erők hatására mozgó tömegpontok a. Szabad részecske Először tekintsünk egy szabad tömegpontot, ez az eset a térben állandó potenciálnak felel meg. Tömegpontnak nevezzük a három koordinátával leírható, elhanyagolható méretű, adott tömeggel rendelkező részecskét. Mint jól tudjuk, ennek szabad, azaz erőmentes mozgását állandó sebesség jellemzi.
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Vezessük be a mechanikai hatás funkcionálját S[r(t)] = L(r(t), r(t)) dt = m 2 t1 t 0 r(t) 2 dt, (6.129) amelynek integrandusát a mechanikai Lagrange-függvénynek nevezzük. Írjuk elő, hogy S a fizikai r(t) pályán rögzített végpontok mellett legyen stacionári us! Ekkor az i = 1, 2, 3 komponensekre E i = d L dt r = m r i = 0, (6.130) i azaz a gyorsulás zérus. A variációs derivált eltűnése valóban állandó sebességű mozgást ír elő! b. 1D potenciálmozgás Tekintsünk egyenes mentén mozgó, 1D tömegpontot. Ez potenciálos erőtérben mozog, ha a reá ható erő előáll V (x, t) F (x, t) = x alakban. Külön jelöltük, hogy a potenciál függhet az időtől. Válasszuk a Lagrange-függvényt a következőképpen ahonnan a kanonikus erő és impulzus F = L x (6.131) L = m x 2 V (x, t), (6.132) 2 = V (x, t) x, p = L x = m x (6.133) 2018. január 24. 17:53:02 66
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE éppen a fizikai hasonnevű mennyiségek. A hatás stacionárius rögzített végpontok mellett, ha Ez éppen a Newton-egyenlet. E = F p = F m x = 0. (6.134) c. Több részecske 3D potenciálmozgása Álljon rendszerünk N tömegpontból, ekkor a potenciál általános alakja s a k-adik tömegpontra ható erő i-edik komponense Vegyük fel a Lagrange-függvényt a következő alakban L(r 1,.., r N, r 1,.., r N, t) = A kanonikus erők és impulzusok éppen a fizikaiak V (r 1,.., r N, t), (6.135) F ki = V r ki. (6.136) N k=1 m k 2 r k 2 V (r 1,.., r N, t). (6.137) F ki = L r ki, p ki = L r ki, (6.138) ahonnan a stacionaritás feltétele E ki = F ki p ki = V r ki m k r ki, (6.139) 2018. január 24. 17:53:02 67
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE valóban a k-adik részecskére vonatkozó Newton-egyenlet i-edik komponense. Tömörebb vektor jelöléssel a k-adik részecskére ható erő, ill. annak az impulzusa F k = V r k k V, p k = m r k, (6.140) amelyekkel (6.139) vektoriálisan is írható E k = δs δr k = F k p k = k V m k r k = 0. (6.141) A k = 1,.., N tömegpontokra végül a Newton-egyenletek vektoralakját kaptuk! Ezeket az egyenleteket régóta ismerjük, az újdonság most az, hogy értelmezhetők a fent bevezetett hatásfunkcionál stacionaritási feltételeként. 6.2.2. A Hamilton-elv Descartes-koordinátákkal Az előzőek alapján kimondjuk a potenciálmozgásokra érvényes Hamilton-elvet. Képezzük a Lagrange-függvényt a következő módon L = K V, (6.142) ahol K a kinetikus és V a potenciális energia. Változói általában a koordináták és a sebességek, mint az idő függvényei, és expliciten az idő Adott kezdő és végső időpont között definiáljuk a hatásfunkcionált L = L (r 1,.., r N, r 1,.., r N, t). (6.143) S [r 1 (t),.., r N (t)] = t1 t 0 L dt. (6.144) 2018. január 24. 17:53:02 68
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2018. január 24. 17:53:02 69 a. Rögzítettnek gondolt végpontok mellett Tekintsük először a pályák végpontjait rögzítettnek r k (t 0 ) = r k0, r k (t 1 ) = r k1. (6.145) A hatás természetesen függ a kezdő és végső időpontoktól, valamint az ott adott pozícióktól is ezt nem tüntettük fel (6.144) baloldalán. A Hamilton-elv azt mondja ki, hogy a fizikailag megvalósuló mozgás mentén a hatás stacionárius, azaz a hatásnak a pályák szerinti funkcionális deriváltja eltűnik E k δs δr k = F k p k = 0. (6.146) Egyelőre potenciálmozgásokra láttuk, hogy ez az elv ekvivalens a Newton-egyenletekkel, mellékfeltételekkel kiegészítve pedig a 6.2.3. fejezetben általánosítjuk. b. Tetszőleges végpontok esetén (*) Lemondhatunk a végpontok rögzítéséről, ekkor a parciális integráláskor fellépő határtagokat is figyelembe kell venni. Ilyenkor a következő feltétel δs független δr k variációk mellett valóban a (6.141) mozgásegyenleteket adja. N k=1 t 1 N p k δr k = E t 0 k δr k dt = 0 (6.147) k=1 Ha előírhatjuk a végpontokon a variációk eltűnését, akkor előnyös az eredeti δs = 0 megfogalmazás, hiszen így egyetlen skalár funkcionál stacionaritási feltétele állítja elő a mozgásegyenleteket.
2018. január 24. 17:53:02 70 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.2.3. Általános koordináták bevezetése holonom kényszerekhez Mechanikai rendszerünk helyzetét gyakran fölösleges a tömegpontok 3N Descartes-koordinátájával megadni, hanem ehhez elegendő kevesebb, célszerűen megválasztott koordináta. Ilyen helyzettel akkor állunk szemben, ha a 3N koordináta között kényszerek állnak fenn, melyek kifejezhetők M feltétellel, úgymint Φ l (r 1,.., r N, t) = 0, l = 1,.., M. (6.148) Az általánosság kedvéért megengedtük az időfüggést is. A rendszer szabadsági fokainak száma tehát f = 3N M. (6.149) A (6.148) hiperfelületeket határoz meg a 3N dimenziós térben, az ilyen kényszereket holonomnak nevezzük. Tegyük fel, hogy q 1,.., q f ún. általános koordinátákat választhatunk oly módon, hogy a (6.148) mellékfeltételek automatikusan teljesüljenek r k = r k (q 1,.., q f, t), k = 1,.., N. (6.150) Ez azt jelenti, hogy ha a Φ l -ek (6.148) formuláiba helyettesítjük a (6.150) függvényeket, akkor azok azonosan eltűnnek Ezt tekinthetjük az általános koordináták fő hasznának. Φ l (q 1,.., q f, t) 0, l = 1,.., M. (6.151) A következő lépés a Lagrange-függvény átírása az általános koordinátákra. A (6.150) függvényt idő szerint deriválva a descartes-i sebességeket kifejezhetjük az általános koordinátákkal és ezek időderiváltjaival, azaz az általános sebességekkel r k = f l=1 r k q l q l + r k, k = 1,.., N. (6.152) t
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Ezeket és a (6.150) kifejezéseket (6.143)-ba helyettesítve kapjuk L (r 1,.., r N, r 1,.., r N, t) = L (q 1,.., q f, q 1,.., q f, t), (6.153) azaz a Lagrange-függvényt, mint az általános koordináták és sebességek függvényét. (A jobb- és baloldalon nyilvánvalóan különböző függvények állnak, különböző számú argumentummal, de mivel fizikailag azonos mennyiségekről van szó, mindkettőt L-lel jelöltük.) 6.2.1. Példa. Síkinga: Általános iskolából ismert példával kezdjük. Egyelőre nem látszik, miért hasznos a Lagrangeformalizmus, ez bonyolultabb rendszerek esetén fog kiviláglani. A felfüggesztési ponttól mért descartes-i koordináták között fennáll az alábbi kényszer Ezt automatikusan teljesítjük a q 1 = ϕ választással Φ(r) = x 2 1 + x 2 2 l 2 = 0. (6.154) x 1 = l sin ϕ, x 2 = l cos ϕ Φ(ϕ) 0. (6.155) A descartes-i sebességkomponensek és a sebességnégyzet előáll x 1 = lϕ cos ϕ, x 2 = lϕ sin ϕ v 2 = x 2 1 + x 2 2 = l 2 ϕ 2. (6.156) A tömegpont kinetikus és potenciális energiája megadja a Lagrange-függvényt K = mv2 2 = ml2 2 ϕ 2, V = mgx 2 = mgl cos ϕ, (6.157) L = K V = ml2 ϕ 2 + mgl cos ϕ. (6.158) 2 Megjegyzés: Adott kényszer mellett az általános koordinátázás nem egyértelmű. 6.37. Gyakorló feladat. Ezt illusztráljuk azzal, hogy válasszuk az x 1 Descartes-koordinátát a q 1 általános koordinátának, és állítsuk elő vele a Lagrange-függvényt! [2] A lehetséges általános koordinátázás közül azt érdemes bevezetni, amellyel a számítások a legegyszerűbbek. 2018. január 24. 17:53:02 71
2018. január 24. 17:53:02 72 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.2.4. Hamilton-elv holonom mellékfeltételek mellett: mozgásegyenletek általános koordinátákkal Amennyiben a hatás minimuma állítja elő a mozgásegyenletet, akkor a kényszerek mellett is minimumot keresünk, s a feltételt az általános koordináták segítségével könnyen felírhatjuk: éppen a q j -kben előállított Euler Lagrangekifejezést kapjuk. Most megelőlegezzük azt a tényt, hogy, nemcsak a minimum, hanem általános stacionárius pontra is ugyanígy áll elő az általános koordináták mozgásegyenlete. q j (t) sebességek Írjuk fel a hatást az általános koordináták függvényeként. A q j (t) általános koordináták és függvényeként a (6.153)-ban előállt Lagrange-függvényt használva a hatás az általános koordináták trajektóriáinak funkcionálja (a koordináták időfüggését nem jelöltük az integrandusban) S[q 1 (t),.., q f (t)] = t1 t 0 L (q 1,.., q f, q 1,.., q f, t) dt. (6.159) Ez a hatás éppen az a funkcionál, amelyet úgy kapunk az r k (t) descartes-i trajektóriák funkcionáljából, hogy ezen trajektóriák között az M darab kényszert kirójuk. Először tegyük fel, hogy a hatás stacionaritása valójában extrémum. Szemléletesen nyilvánvaló, hogy a kényszerekkel megszorított r k (t) trajektóriákra a hatás extrémum feltétele megegyezik a kényszereknek automatikusan eleget tevő q j (t) trajektóriákon felvett extremummal. Ezt az utóbbiakra felírt Euler Lagrange-egyenletekkel fejezzük ki δs = L d δq j q j dt L q = 0, (6.160) j melyek a kényszereknek eleget tevő mozgás egyenletei. Miként a descartes-i koordináták variációit, az általános koordinátákéit is rögzített végpontok mellett értjük. A mechanikában a kanonikus mennyiségeket nevezik általános erőknek ill. impulzus oknak F j = L q j, p j = L q j, (6.161)
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE melyekkel a mozgásegyenletek a tömör p j = F j (6.162) alakban írhatók. Az általános koordinátákkal tehát hasonló formula adja a mozgásegyenletet, mint a descartes-iakkal, viszont az M kényszerfeltétel automatikus figyelembe vétele miatt kevesebb, 3N M = f számú komponensből áll. A (6.160), azaz ekvivalensen (6.162) másodrendű közönséges differenciálegyenlet-rendszer a q 1 (t),.., q f (t) trajektóriákra. A trajektóriát a variációs elv rögzített végpontok között határozza meg, azonban gyakran célszerűbb a mozgásegyenletet adott KF-ből kiindulva megoldani határfeltételek : q j (t 0 ), q j (t 1 ), kezdeti feltételek : q j (t 0 ), q j (t 0 ). A két módszer matematikailag különbözik, de fizikai tartalmuk ekvivalens, ha ugyanahhoz a pályához vezetnek. 6.2.2. Példa. Síkinga: A Lagrange-függvényt (6.157) adja, az általánosított impulzus és erő a következő A mozgásegyenlet L = ml2 ϕ 2 + mgl cos ϕ, (6.163) 2 p ϕ = L ϕ = ml2 ϕ, F ϕ = L = mgl sin ϕ. (6.164) ϕ p ϕ = F ϕ A kanonikus energia állandósága fejezi ki a fizikai energia megmaradását ml ϕ = mg sin ϕ. (6.165) E = ϕp ϕ L = ml2 ϕ 2 mgl cos ϕ = K + V = E. (6.166) 2 2018. január 24. 17:53:02 73
2018. január 24. 17:53:02 74 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Megjegyzés: A Newton-egyenletekből indulva fel kellett volna vennünk az inga rúdjában ébredő kényszererőt, s ennek eliminálása után jutottunk volna a ϕ-re vonatkozó mozgásegyenlethez. Ezt a Hamilton-elvből a kényszererő felírása nélkül megkaptuk! 6.38. Gyakorló feladat. Tekintsünk olyan ingát, amelynek rúdja időben változó hosszúságú. Más szóval, az inga rúdjába helyezett valamely szerkezettel, melynek súlya elhanyagolható, a rúd hosszát időben adott módon változtatjuk, azaz a rúd hossza l(t) expliciten ismert időfüggvény. Írjuk fel a mozgásegyenletet! [3] Összefoglalásul azt mondhatjuk, hogy a rendszert célszerűen leíró általános koordinátákat választottunk, ezekre változócserével áttértünk a hatásfunkcionálban, s végül így kerestük az extremumát. Itt kiviláglott a Hamilton-elv előnye, éspedig skaláris mennyiségekből ilyenek a hatás ill. a Lagrange-függvény indulva könnyebben térhettünk át az általános koordinátákra, mintha a descartes-i mozgásegyenleteket kellett volna átírnunk. Ez utóbbi eljárást a következő két alfejezetben mutatjuk be. 6.2.5. Hamilton-elv holonom mellékfeltételek mellett II: a Lagrange-multiplikátorok módszere Noha az általános koordinátáktól függő hatás stacionaritásának feltételét az (6.160) Euler Lagrange-egyenlet magától értetődően fejezi ki, ezt le is vezethetjük a descartes-i koordinátákról az általános koordinátákra való áttéréssel. Ezzel az eljárással egyrészt a kényszererők számítására is fényt vetünk, továbbá a nyert relációk segítségével a későbbiekben a variációs formalizmust kiterjeszthetjük disszipatív erőkre is. A Hamilton-elvet a mellékfeltételekkel együtt megfogalmazhatjuk oly módon, hogy a (6.143) Descartes-koordinátáktól függő L Lagrange-függvényt a (6.148) kényszerekkel kiegészítjük M L λ = L + λ l Φ l, (6.167) l=1 ahol λ l (t) az l-edik kényszerfeltételhez tartozó, az időtől általában függő multiplikátor. A kényszerekkel kiegészített L λ Lagrange-függvény argumentumai L λ = L λ (r 1.., r N, r 1,.., r N, λ 1,.., λ M, t), (6.168)
2018. január 24. 17:53:02 75 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE benne a multiplikátorok időderiváltjai nem lépnek fel. Az eredeti L és a kényszerekkel kiegészített L λ Lagrangefüggvények a megfelelő hatásfunkcionálokat definiálják S [r 1 (t),.., r N (t)] = L dt, (6.169) S λ [r 1 (t),.., r N (t), λ 1 (t),.., λ M (t)] = L λ dt, (6.170) ahol az argumentumokat csak a baloldalon jelöltük. A kényszerekkel kiegészített S λ hatás extrémumfeltétele a descartes-i koordináták és a multiplikátorok szerinti Euler Lagrange-egyenletek. Az előbbiek alakja δs λ = δs + δr k δr k M l=1 Φ l λ l = L d r k r k dt L M r + k l=1 A multiplikátorok szerinti variációs deriváltak eltűnése éppen a (6.148) kényszerekkel ekvivalens. λ l Φ l r k = 0. (6.171) 6.39. Gyakorló feladat. Írjuk fel a Hamilton-elvet síkingára Descartes-koordinátákkal úgy, hogy a kényszert multiplikátorral vesszük figyelembe. Adjuk meg a descartes-i mozgásegyenleteket, s mutassuk meg, hogy ezek ekvivalensek a szögre felírt mozgásegyenlettel. [3] Megjegyzés: A multiplikátoros tagok a (6.171) mozgásegyenletben a L/ r k potenciálos erőhöz adódnak, azaz maguk is erőknek foghatók fel, ezért nyilvánvalóan kényszererőként értelmezhetjük őket. Ezek teszik lehetővé a (6.148) feltételek betartását, s kézenfekvő az a feltevés, hogy az l indexű tag az l-edik kényszer által a k-adik tömegpontra kifejtett kényszererő. Mint alább megmutatjuk, az általános koordináták bevezetésével éppen a kényszererőket küszöbölhetjük ki s jutunk ezeket nem tartalmazó mozgásegyenletekhez. A kényszererők vizsgálatával később foglalkozunk. 6.2.6. A mozgásegyenlet transzformációja általános koordinátákra: a kényszererők eliminálása Tegyük fel, hogy bevezettük a q 1,.., q f általános koordinátákat az 6.2.3 fejezetben leírtak szerint, azaz velük a kényszerek automatikusan teljesülnek.
2018. január 24. 17:53:02 76 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Először is vegyük észre, hogy ha beszorozzuk a (6.171) egyenletet a r k q j (6.172) deriválttal és összegzünk k-ra, akkor a multiplikátorokat tartalmazó rész minden l-re kiesik. Ugyanis k Φ l r k r k q j = Φ l q j 0, (6.173) ahol felhasználtuk a (6.151) relációt, azaz a Φ l -ek azonosan zérus voltát. Fennmarad tehát k δs λ δr k r k q j = k L r k r k q j k ( ) d L rk dt r k q j = k δs δr k r k q j = 0. (6.174) Azt mondhatjuk, a r k / q j -vel való szorzással a kényszererőkre merőleges vetítést végeztünk, melynek révén ez utóbbiakat elimináltuk a mozgásegyenletekből. Ezért az eredeti S hatást is írhatjuk e variációs kifejezésbe. 6.2.7. Az általános koordináták szerinti stacionaritási feltétel éppen a mozgásegyenlet. Korábban, a funkcionálderiváltaknak diszkretizáció útján, parciális deriváltak limeszeként történt bevezetése nyomán azt találtuk, hogy változócsere esetén a funkcionálderiváltak a parciális deriváltakéhoz hasonló (6.57) láncszabályt követik. Vegyük észre, hogy a (6.174) egyenlet jobboldal án a láncszabály szerint éppen a q j koordináta szerinti variáció eltűnését kaptuk 0 = k δs δr k r k q j = δs = L d δq j q j dt L q. (6.175) j Ez a Lagrange-féle mechanika alapvető egyenlete.
2018. január 24. 17:53:02 77 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.2.8. Funkcionálderiválás láncszabályának közvetlen levezetése (*) Az alábbiakban közvetlen számítással is igazoljuk a láncszabályt a funkcionálder iváltakra. Ennek révén a diszkretizációra való hivatkozás nélkül mutathatjuk meg, hogy az általános koordináták szerinti stacionaritási feltétel valóban a kényszererők eliminálása után a fentiekben kapott (6.174) mozgásegyenletekkel ekvivalens. Fel fogjuk használni a (6.150,6.152) alapján adódó, következő relációkat r k q j = r k q j, r k q j = l 2 r k q l + 2 r k q j q l q j t = d r k, (6.176) dt q j ahol a q j ill. q j szerinti parciális deriváltakat úgy értjük, ahogyan azt a Lagrange-formalizmusban megszoktuk, azaz a másik mennyiséget, s az összes többi, nem j indexű függvényt és az időt állandónak hagyjuk. Vizsgáljuk most a hatás általános koordináták szerinti funkcionálderiváltját! Ebben nem szükséges felvennünk multiplikátorokkal a kényszereket, ugyanis ezeket az általános koordináták automatikusan kielégítik. A variációs derivált δs = L d δq j q j dt Ennek tagjait a derékszögű koordinátákon keresztül történő differenciálással fejezhetjük ki L q. (6.177) j L = [ L r k + L ] r q j k r k q j r k, (6.178) k q j d L dt q = d [ ] L r j dt k r k k q = d [ ] L r j dt k r k = [ ] d L rk k q j k dt r + L d r k q j k r k k dt q j = [ ] d L rk k dt r + L r k q j k r k, (6.179) k q j
2018. január 24. 17:53:02 78 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE amelyben több helyütt felhasználtuk a (6.176) relációkat. A hatás funkcionálderiváltja tehát δs = L d δq j q j dt L q = j k [ L d ] L rk r k dt r k q j = k δs δr k r k q j = 0, (6.180) a (6.174) egyenlet szerint eltűnik. Ezzel a descartes-i és általános koordináták szerinti variációs deriváltak közötti (6.175) összefüggést, azaz parciális deriválás láncszabályának analógját, közvetlen számítással igazoltuk. 6.2.9. Hamilton-elv általános koordinátákkal, tetszőleges végpontok mellett (*) Általános koordináták esetén is lemondhatunk a végpontok rögzítéséről, ekkor a parciális integráláskor fellépő határtagokat is figyelembe kell venni. A mozgásegyenletek általában a következő variációs feltétellel ekvivalensek δs f j=1 p j δq t 1 j = t 0 f j=1 ( Fj p j ) δqj dt = 0. (6.181) Csak akkor kapjuk egyetlen skalár funkcionál stacionaritási feltételét, ha a végpontokban az általános koordináták rögzíthetők. 6.2.10. Értelmezés Az általános koordináták bevezetése a Hamilton-elv alkalmazási körét lényegesen kiszélesíti. Az elv szerint ugyanis a hatás, mint a lehetséges pályák funcionálja stacionárius a fizikailag megvalósuló pálya mentén. E pályákat kényszerfeltételek esetén azonban jól választott, a descartes-iaknál kevesebb általános koordinátákkal meg lehet adni, s ekkor megmutatkozik annak előnye, hogy a Hamilton-elv egy skaláris mennyiség stacionaritását írja elő. Ha ugyanis a hatásfunkcionálba a Descartes-koordináták helyébe megfelelő változócserével az általános koordinátákat írjuk, akkor a hatásnak a kényszer melletti stacionárius pályán felvett értéke nem változik, de a funkcionált célszerűbben paraméterezett pályák szerint variálhatjuk.
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2018. január 24. 17:53:02 79 Megjegyzések: (1) Ha a Hamilton-elv minimum-feltétel, akkor a (6.160) mozgásegyenlet szemléletből következik, miként azt a 6.2.4 fejezetben említettük. Azt ugyanis nyilvánvalónak tekinthetjük, hogy a hatásfunkcionál minimumfeltétele koordinátacsere után is fennáll, azaz a descartes-i koordinátákról a kényszereket figyelembe vevő általános koordinátákra való áttérés után is extremumot keresünk, melynek feltétele szükségképpen Euler Lagrange-egyenletek alakjában áll elő. A fenti levezetés azt mutatja, hogy a kényszerek által szűkített altérben nemcsak a minimum-, hanem az általánosabb stacionaritási feltétel is érvényes marad az általános koordinátákkal kifejezve. (2) Hangsúlyozzuk, hogy a koordinátacsere expliciten időfüggő relációkat is megengedett a descartes-i és általános koordináták között. (3) A mellékfeltételek multiplikátorral való felvétele eredményeképpen a kényszererőkre is kaptunk formulákat, melyeket majd a kényszerek részletesebb vizsgálatakor használunk. (4) A Hamilton-elv disszipatív kiterjesztésében a variációs deriváltak átszámítása kulcsszerepet fog játszani. 6.2.11. A Hamilton-elv előnyei: A rendszer fizikai tulajdonságait egyetlen, skalár értékű függvénybe, a Lagrange-függvénybe foglaltuk. Ez szemben áll azzal, hogy a Newton-egyenletek felírásához az erők megfelelő komponenseit meg kell adni. Változócserével más, célszerűbb paraméterezésre térhetünk át a variációs elv megtartásával. A cserét egyszerűbb elvégezni a csak első időderiváltat tartalmazó Lagrange-függvényben, mint a mozgásegyenletekben, melyekben második deriváltak is szerepelnek. Kényszerek is figyelembe vehetők megfelelő változókra, azaz általános koordinátákra való áttéréssel. Kikerültük azon kényszererők számítását, amelyeket olyan kényszerek gyakoroltak, melyeket általános koordinátákkal vettünk figyelembe. További olyan kényszerek, amelyeket az általános koordinátákkal nem vettünk figyelembe, a multiplikátorok módszerével ezután is kiróhatók, s az általuk gyakorolt kényszererők számíthatók.
2018. január 24. 17:53:02 80 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE A Hamilton-elvet és abból a mozgásegyenlet levezetésének módszerét gyakran Lagrange-formalizmusnak, vagy Lagrange-mechanikának nevezik. 6.2.12. Megmaradási tételek 2017.09.29 2017.10.03 Korábban áttekintettük a Lagrange-függvény speciális eseteit, most ezekre visszatérünk, s fizikai jelentésüket is kiemeljük. a. Ciklikus koordináta: eltolásinvariancia a térben A q j -t ciklikus koordinátának nevezzük, ha a Lagrange-függvényben expliciten nem szerepel, azaz F j = L q j = 0 p j = d L dt q = 0 p j = áll. (6.182) j Ha a tér invariáns a q j koordináta eltolásával szemben, azaz homogén q j -ben, akkor ezen koordinátához tartozó kanonikus impulzus megmarad. b. Idő homogenitása Ha L expliciten nem függ az időtől, azaz a potenciál időfüggetlen, akkor a (6.82) kanonikus energia invariáns. Ennek jelentése most a mechanikai energia E = j L q j q L = j j q j p j L. (6.183)
2018. január 24. 17:53:02 81 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Ellenőrzésképpen végezzük el az idő szerinti deriválást tetszőleges q(t) pálya mentén, egyelőre megengedve a Lagrangefüggvény explicit időfüggését de dt = ( q j p j + q j p j ) ( L q j + L ) j j q j q q j L j t = ( p F ) q L = E q L t t. (6.184) Az eredmény megérdemel némi elemzést. Egyrészt, ha a Lagrange-függvény expliciten időfüggetlen L t = 0 E = E q, (6.185) azaz az energiaváltozás az Euler Lagrange-formula és az általános sebességvektor skaláris szorzata minden q(t) pályára, nemcsak a fizikaiakra. Innen is látható az energiamegmaradás a megvalósuló pályákra E = 0 E = áll. (6.186) Másrészről, ha a Lagrange-függvény expliciten függ az időtől, akkor a fizikai pálya mentén E = L t, (6.187) azaz az energia totális időderiváltja a Lagrange-függvény parciális időderiváltjának ellentettjével egyenlő. 6.2.3. Példa. Időfüggetlen potenciál: A Lagrange-függvény az impulzus L = N k=1 m k 2 r k 2 V (r 1,.., r N ), (6.188) p k = L r = m k r k, (6.189) k
2018. január 24. 17:53:02 82 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE s a kanonikus energia valóban a rendszer energiája. E = k p k r k L = 6.2.4. Példa. Kvadratikus kinetikus energia az általános sebességekben: N k=1 m k 2 r k 2 + V, (6.190) Ha a kényszerek időfüggetlenek, akkor a rendszert a q 1,.., q f általános koordinátá kkal jellemezhetjük ekképpen ahonnan a kinetikus energiát ekképp írhatjuk m k 2 r k 2 = k r k (q 1,.., q f ) r k (q) m k 2 r k (q) q i r k(q) q j r k = j r k (q) q j q j, (6.191) K = q i q j 1 m ij (q) q i q j = 1 q M(q) q. (6.192) k ij 2 i,j 2 Ez kvadratikus (pontosabban szólva bilineáris) a q j általános sebességekben, éspedig q-függő együtthatókkal, s egyben definiálja az M ún. tömegmátrixot. A Lagrange-függvényből tehát az energia L = K V (q, t) = 1 q M(q) q V (q, t) p = M(q) q, (6.193) 2 Ez időben állandó, ha a potenciál nem függ expliciten az időtől. 6.2.13. Példák a Lagrange-féle mechanikára 6.2.5. Példa. Egyenesen csúszó tömegpont rugóhoz rögzítve. E = p q L = K + V. (6.194)
2018. január 24. 17:53:02 83 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE A 18. ábra szerint rugó végén levő m tömeg egyenes sín mentén súrlódásmentesen mozoghat, melytől d távolságra rögzítjük a rugó másik végét. A k állandójú rugó feszítetlen hossza l d. A Lagrange-függvény A mozgásegyenlet L = K V = m 2 x 2 k ( x2 + d 2 2 l ) 2. (6.195) p = mx = F = L ( ) x = kx l 1. (6.196) x2 + d 2 d 00 11 00 11 00 11 01 01 x 18. ábra. Egyenesen mozgó tömegpont rugó végén. 6.40. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy F éppen a rugóerő x irányú vetülete. [2] 6.41. Gyakorló feladat. Fejtsük sorba az erőt vezető rendben kis x mellett, és adjuk meg a mozgásegyenletet az l < d és l = d esetekben. Mekkora a kis rezgések frekvenciája? [3] 6.42. Gyakorló feladat. Az l > d esetben határozzuk meg az egyensúlyi helyzeteket és azok körül a kis rezgések frekvenciáját. [3] 6.43. Gyakorló feladat. Bonyolítsuk el a feladatot azáltal, hogy általános koordinátaként a rugónak a függőlegessel (a d szakasszal) bezárt szögét vesszük fel. Írjuk fel a Lagrange-függvényt és a mozgásegyenletet! Ez a példa azt illusztrálja, hogy az általános koordináta választásában van szabadságunk, s rajtunk múlik, hogy olyat válasszunk, amellyel viszonylag egyszerű a mozgásegyenlet. [3] 6.2.6. Példa. Síkmozgás centrális potenciálban Használjunk polárkoordinátákat f = 2, q 1 = r, q 2 = ϕ, (6.197)
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE a potenciál centrális, ha csak az r rádiuszvektor r hosszától függ Sebességek átszámítása V (r) = V (r). (6.198) x =r cos ϕ, y = r sin ϕ, (6.199) x = r cos ϕ rϕ sin ϕ, (6.200) y = r sin ϕ + rϕ cos ϕ. (6.201) A Lagrange-formalizmus előnye, hogy elegendő a sebességeket átszámítani általános koordinátákra, a gyorsulásokat nem szükséges. A sebesség négyzete v 2 = x 2 + y 2 = r 2 + r 2 ϕ 2, (6.202) a Lagrange-függvény L = K V = m 2 ( r 2 + r 2 ϕ 2) V (r) = L (r, r, ϕ). (6.203) Mivel ϕ ciklikus koordináta ez az impulzusmomentum. F ϕ = L ϕ = 0 p ϕ = L ϕ = mr2 ϕ = J = áll., (6.204) Mivel L az időeltolásra invariáns, az energia megmarad. A kinetikus tag kvadratikus a sebességekben, azért E = K + V = m 2 ( r 2 + r 2 ϕ 2) + V (r) = m 2 r 2 + J 2 2mr + V (r) = m 2 2 r 2 + V eff (r), (6.205) 2018. január 24. 17:53:02 84
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2018. január 24. 17:53:02 85 amely szerint a radiális kinetikus energia mellett egy effektív potenciál jelenik meg. Visszavezettük a problémát effektív 1D rendszerre, s azonnal elsőrendű differenciálegyenletet kaptunk az r(t) pályára! Illusztrálásul még felírjuk a radiális Euler Lagrange-egyenletet F r = L r = V (r) + mr ϕ 2, L r = p r = mr, (6.206) ahonnan az impulzusmomentum behelyettesítésével p r = F r m r = V (r) + J 2 mr 3 = V eff(r). (6.207) Nem meglepő módon az energiában fellépő effektív potenciál jelenik meg a mozgásegyenletben is, melyet egyébként az energia idő szerinti deriválásával is előállíthatunk. 6.44. Gyakorló feladat. Írjuk fel a mozgásegyenleteket a V (r, ϕ) nem feltétlenül centrális potenciálra! [2] 6.2.7. Példa. Mozgásállandó visszahelyettesítése a Hamilton-elvbe. (*) Várakozás: Miután függvény extremizálása (általánosabban stacionárius pontja keresése) esetén a megoldás egy részét visszahelyettesíthetjük, majd a redukált probléma stacionárius pontját kereshetjük, hasonlót várunk funkcionáloknál is. Mindazonáltal a mechanikában csak akkor lesz a fizikai pálya stacionárius, ha a végpontjai rögzítettek, különben a mozgásegyenletet (6.181) adja. A következő példa megvilágítja azt, megmaradó mennyiség visszahelyettesítésével hogyan juthatunk az effektív Lagrange-függvényhez. Helyettesítsük be az impulzusmomentumot a Lagrange-függvénybe, ezzel ϕ-t elimináltuk L = K V = m 2 ( r 2 + J 2 ) V (r). (6.208) m 2 r 2
2018. január 24. 17:53:02 86 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Vizsgáljuk ϕ variációját ϕ = J δϕ = 2Jδr δϕ mr 2 mr 3 t 1 = dt δ ϕ = t 0 dt 2Jδr mr, 3 (6.209) tehát tetszőleges δr(t) variációk mellett a határokon a polárszög variációja általában nem zérus. Következésképpen a mozgásegyenlet (6.181) alakjához szükséges visszanyúlnunk, amely szerint δs p ϕ δϕ t 1 = δs + J dt 2Jδr [ ] J 2 t 0 mr = δs dt δ = 0. 3 mr 2 (6.210) Ez ekvivalens azzal, hogy az általánosított erőt kiegészítettük egy 2J 2 δr/mr 3 taggal, azaz a Lagrange-függvényhez hozzáadtuk a J 2 /mr 2 kifejezést. Eszerint az effektív Lagrange-függvény L eff = L J 2 mr = m ( r 2 J 2 ) V (r) = m r 2 V 2 2 m 2 r 2 eff, (6.211) 2 azaz végeredményben éppen azt az effektív potenciált kell levonni a kinetikus energiából, amelyet hozzá kellett adni az energia kifejezésében. A megmaradó mennyiséget, azaz a részleges megoldást nem helyettesíthetjük egyszerű módon vissza a Lagrange-függvénybe! 6.2.8. Példa. Kettős inga: Tömeges csuklóval megtört síkinga. A szabadsági fokok száma f = 2, az általános koordináták a 19. ábra szerint. Az m 1 kinetikus és potenciális energiája K 1 = m 1l 2 1 2 q 1 = ϕ 1, q 2 = ϕ 2 (6.212) ϕ 2 1, V 1 = m 1 gl 1 cos ϕ 1. (6.213)
2018. január 24. 17:53:02 87 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Az m 2 járulékához kifejezzük a descartes-i koordinátákat (y lefelé mutat) majd a sebességeket melyekkel az energiák x 2 =l 1 sin ϕ 1 + l 2 sin ϕ 2, (6.214) y 2 =l 1 cos ϕ 1 + l 2 cos ϕ 2, (6.215) x 2 =l 1 ϕ 1 cos ϕ 1 + l 2 ϕ 2 cos ϕ 2, (6.216) y 2 = l 1 ϕ 1 sin ϕ 1 l 2 ϕ 2 sin ϕ 2, (6.217) K 2 = m [ 2 l 2 2 1 ϕ 2 1 + l 2 2ϕ 2 ] 2 + 2l 1 l 2 ϕ 1 ϕ 2 (cos ϕ 1 cos ϕ 2 + sin ϕ 1 sin ϕ 2 ), }{{} cos(ϕ 1 ϕ 2 ) (6.218) V 2 = m 2 g (l 1 cos ϕ 1 + l 2 cos ϕ 2 ). (6.219) 19. ábra. Kettős inga. A Lagrange-függvény L = K V = K 1 + K 2 V 1 V 2 (6.220) a mozgásegyenleteket származtatja, melyek tömör alakja F j = L = d L ϕ j dt ϕ = p j. (6.221) j
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2018. január 24. 17:53:02 88 6.45. Gyakorló feladat. Vezessük le a mozgásegyenleteket! [1] (A pontszám nem elírás, a feladat beugró példának nem használható.) Energiamegmaradás: mivel L/ t = 0 és a K kvadratikus az általános sebességekben, azért E = p 1 ϕ 1 + p 2 ϕ 2 L = K + V = áll. (6.222) 6.46. Gyakorló feladat. Az energia kifejezése részletesen? [1] A mozgásegyenletek megoldása formulával (integrállal, kvadratúrával) általában nem adható meg. Numerikus megoldásuk azt mutatja, hogy a rendszerben létrejöhet kaotikus, azaz véletlenszerű mozgás. Általában két szabadsági fokú rendszer potenciálos kölcsönhatása kaotikus mozgáshoz vezet. A jelenség különlegessége abban áll, hogy expliciten adott, determinisztikus mozgásegyenletek vezérlik, ugyanakkor a trajektória véletlenszerűen viselkedik. Ez szemmel látható, valamint kvantitatív statisztikai vizsgálatokkal is kimutatható. Numerikus megoldást általunk beállítható KF mellett láthatunk a következő internet kötésen (a lejátszáshoz Java szükséges): http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html. Vegyük észre, hogy e lapon a mozgásegyenleteket a Newton-törvény alapján hosszas eljárással szerkesztik meg. A Lagrange-mechanika ennél lényegesen rövidebb módszert kínál! További numerikus demonstráció található itt: http://www.tapdancinggoats.com/double-pendulum. A Lagrange-formalizmust részletesen diszkutálja http://scienceworld.wolfram.com/physics/doublependulum. html. 6.47. Gyakorló feladat. Kísérjük figyelemmel valamelyik internetes oldal grafikus megoldását. Készítsünk statisztikát arról, hogy az inga végpontja milyen gyakran vált térfelet, azaz az x 2 koordináta előjelet. A térfél váltogatását hasonlítsuk össze a pénzfeldobás statisztikai tulajdonságaival, melyek számszerűsítésének részletei a megoldóra vannak bízva. A megoldás alaposságától függően a pontszám [0 7]. 6.2.9. Példa. Töltött részecske mozgása elektromágneses térben.
2018. január 24. 17:53:02 89 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Vizsgáljuk az alábbi Lagrange-függvénnyel leírható tömegpontot L(r, r, t) = m 2 r 2 + e A(r, t) r eφ(r, t), (6.223) c ahol A(r, t) és φ(r, t) adott függvények. A kanonikus erő és impulzus, majd a mozgásegyenletek p i = mr i + e c F i = L = r i j j j A i r j + e c ta i Nevezzük a mágneses indukció terének a e c ( ia j ) r j e i φ, m r i = e i φ + e c p i = L r = mr i + e i c A i, (6.224) j ( i A j j A i ) }{{} ε ijk B k r j e c ta i. (6.225) B = A (6.226) vektort, például homogén, z irányú mágneses tér esetén lehet A = 1 yb z xb z 1 A 2 2 A 1 = B z, B x = B y = 0. (6.227) 2 0 Ha mármost elektromos térerősségnek nevezzük az vektorteret, akkor a mozgásegyenlet alakja E = 1 c A t φ (6.228) mr = ee + e r B. (6.229) c
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2018. január 24. 17:53:02 90 Ez éppen a korábbi tanulmányaink során megismert Lorentz-erő, melyben B a mágneses indukció vektora. Konklúziónk tehát az, hogy a (6.223) kifejezéssel adott Lagrange.függvény a (6.226) ill. a (6.228) által definiált mágneses indukció ill. elektromos erőterekkel a Lorentz-erő által gyorsított töltés ismert mozgásegyenletéhez vezet. Utólagosan igazoltuk, hogy a helyes Lagrange-függvényből indultunk ki. 6.48. Gyakorló feladat. A mágneses és elektromos mező nem változik az ún. mértéktranszformáció bevezetésével, azaz ha az A térhez egy skalártér gradiensét adjuk, s a φ potenciált is megfelelően módosítjuk. (a) Adjuk meg az E és B tereket invariánsan hagyó transzformációt expliciten. (b) Mutassuk meg, hogy a Lagrange-függvény egy teljes időderivált hozzáadásával módosul. Ily módon is látható, hogy a mértéktranszformáció a mozgásegyenleten nem változtat. [2-2] 6.49. Gyakorló feladat. A fent kapott p kanonikus impulzus egy része a tömegpont mv mozgásmennyisége mellett egy további tagot tartalmaz. Mi lehet ennek a fizikai értelmezése, vajon ez minek az impulzusa? Vegyük észre, hogy az előző feladatbeli mértéktranszformáció megváltoztatja a kanonikus impulzust értelmezésünknek ezzel a ténnyel összhangban kell lennie. [3] (A feladat mély, messzire vezető fizikai problémát feszeget. A pontszámot úgy állítottuk be, hogy egyedül ne legyen elegendő beugró példaként benyújtani.) 6.50. Gyakorló feladat. Írjuk fel a 6.2.4 példában adott, tömegmátrixszal felírt kinetikus energiát tartalmazó rendszer mozgásegyenletét. [3] 2017.10.03 2017.10.06
2018. január 24. 17:53:02 91 7. Egydimenziós konzervatív rendszer 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER Tömegpont 1D potenciálmozgása. Legyen a potenciál időfüggetlen, nincs súrlódás (egy szabadsági fok, f = 1). 7.1. Mozgásegyenlet és energiamegmaradás () Ismétlés: Lagrange-függvény: L = K V = m x 2 V (x), (7.1) 2 kanonikus impulzus: p = L x = m x, erő: F = L x = V (x), (7.2) mozgásegyenlet: p = F mx = V (x), (7.3) energia: E = p x L = K + V = 1 2 m x 2 (t) + V (x(t)) = áll. (7.4) Az E V (x) mérhető, nem függ V (x) nullszintjétől. A mozgás megengedett tartománya x-ben: A KF x 0 = x(t 0 ), v 0 = x(t 0 ), amelyek meghatározzák az energiát E V (x) = 1 2 m x 2 0 (7.5) E = 1 2 mv2 0 + V (x 0 ). (7.6) A mozgás a 20. ábrán jelölt B és C szakaszok belsejében periodikus, az A és D tartományokon nem korlátos. Az energiamegmaradás 1D-ben ekvivalens a II. Newton-törvénnyel, lényegében annak az integrálja. Előnye, hogy elsőrendű differenciálegyenlet, ezért közvetlenül megoldható.
7.1 Mozgásegyenlet és energiamegmaradás () 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER V(x) E c2 E c1 A ] [ ] [ ] [ B C D x 20. ábra. Mozgás 1D potenciálban (az ábrán jelölt, a teljes B ill. C intervallumokra kiterjedő pályák periódusideje végtelen, a belső pályáké véges). Ha magasabb dimenziós mozgás visszavezethető 1D-ra, akkor effektív 1D mozgásról beszélünk. Ha azt időfüggetlen potenciál határozza meg, akkor a problémát a fentiekhez hasonlóan oldhatjuk meg. Ilyet láttunk a 6.2.6. példában, amelyben a centrális potenciálbeli mozgást visszavezettük a rádiusz effektíven 1D mozgására. 7.1. Gyakorló feladat. Az 1D potenciálmozgás egyenletéből integrálással állítsuk elő az energiamegmaradást. [2] 2018. január 24. 17:53:02 92
2018. január 24. 17:53:02 93 7.2 A mozgásegyenlet megoldása () 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.2. A mozgásegyenlet megoldása () Az energiatételből származó mozgásegyenlet a sebesség abszolút értékét adja meg E = 1 2 m x 2 (t) + V (x) x = Megjegyzés: Elsőrendű, közönséges, szeparábilis differenciálegyenlet Az x(t 0 ) = x 0 KF-hez illeszkedő megoldása implicit alakban t t 0 dt g(t) = 2 (E V (x)). (7.7) m x(t) = f(x(t)) g(t). (7.8) t dt x/f(x) = t 0 x x 0 dx/f(x). (7.9) Fizikai irodalomban elterjedt az a jelölés, melynél az integrálási változót a felső határral azonosnak vesszük, ha nem okoz félreértést. Továbbá az integrál dt mértéke itt rögtön az integráljel után került, az integrandust ilyenkor egyértelmű módon kell lezárni. A (7.9) megoldás a (7.7) mozgásegyenletre, g(t) 1 mellett alkalmazható, azzal a különbséggel, hogy most az x szerinti integrál csak növekedhet, amelyet dx jelez. Tehát a megoldás m t t 0 = 2 x x 0 dx m E V (x) 2 x x 0 ± dx E V (x). (7.10) A t mindenképpen növekszik, akkor is, ha x csökken (azaz dx < 0). Fordulópontnak nevezzük a legközelebb elért olyan x F helyet, melyre E = V (x F ) x xf = 0. (7.11)
7.2 A mozgásegyenlet megoldása () 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER Az x sebesség fordulópontban válthat előjelet, s ezután az x(t) pálya monoton a következő fordulópontig. A (7.10) integrál útvonalfüggő! A mozgás véges, ha az x 0 kiindulópont mindkét oldalán legalább egy-egy fordulópontot találunk, ezek legyenek növekvő sorrendben x ( ) F és x (+) F. A fordulópontokban E = V (x ( ) F ) = V (x (+) F ), (7.12) a mozgás ezek között periodikus. A periódusidő a két fordulópont között eltöltött idő kétszerese, ez (7.10) alapján T = 2m x (+) F x ( ) F dx V (x F ) V (x). (7.13) Ha nincs mindkét oldalon véges fordulópont, akkor a tömegpont a végtelenbe távozik. Ennek időtartama lehet véges vagy végtelen, attól függően, hogy ha a (7.10) jobboldalán a felső határ divergál, akkor az improprius integrál létezik-e. A B függelékben megvizsgáljuk a fordulópontok közelében történő mozgást. Két fő esetet különböztethetünk meg, éspedig ha a fordulópontban a potenciál közel lineáris parabolikus időfüggésű trajektória; kvadratikus maximumú exponenciális időfüggés. Hangsúlyozzuk, hogy a (7.7) mozgásegyenlet az abszolút érték miatt csak az x(t) monoton szakaszain tekinthető szokásos szeparábilis differenciálegyenletnek. Intuitíven értjük, hogy a fordulópontok között a mozgás periodikus, a B függelékben kissé precízebben megszerkesztjük a megoldást. A kvadratikus potenciálban mozgó részecskét nevezzük harmonikus oszcillátornak. Ilyen mozgás valósul meg lokális potenciálminimum közelében is. A B függelék a megoldásra kétféle módszert mutat: egyrészt az energiamegmaradás differenciálegyenletét oldjuk meg, másrészt exponenciális próbafüggvény alakjában keressük a megoldást. 2018. január 24. 17:53:02 94
7.3 Fázistér I.: pályák globális szemléltetése () 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.3. Fázistér I.: pályák globális szemléltetése () A fázistér a mozgás szemléltetése az (x, v) síkon. Eddig kerestük az x(t), v(t) függvényeket, most az (x(t), v(t)) paraméteres görbéket ábrázoljuk: ezek a fázistérbeli trajektóriák. Egyenletük 2 v = (E V (x)) (7.14) m tükörszimmetrikus az x tengelyre. Ugyanahhoz a görbéhez végtelen sok KF tartozik, a különböző görbéket E paraméterezi. 7.3.1. Harmonikus oszcillátor Ha a potenciál V (x) = 1 2 mω2 x 2, akkor E = 1 2 mv2 + 1 2 mω2 x 2 = 1 2 mω2 A 2 (7.15) Az x v összefüggés ellipszis: v 2 A 2 ω + x2 = 1. (7.16) 2 A2 A fázistérbeli pályát és az időbeli trajektóriákat a 21. ábra szemlélteti. Általában stabil x egyensúly közelében (V (x ) > 0) a pályák közel ellipszisek, ezért x elnevezése elliptikus fix pont! Ilyen a tipikus konzervatív stabil egyensúly, körülötte kis rezgéseket folytat a tömegpont, a fázistérben ellipsziseket jár be. Növekvő E energia növekvő átmérőjű pályákat határoz meg, ld. 22. ábra. Az E meghatározza az ellipszist, amelyen végtelen sok KF-ből indított mozgás történhet. 22. ábra. Fázistérbeli pályák különböző E energiák mellett. 2018. január 24. 17:53:02 95
7.3 Fázistér I.: pályák globális szemléltetése () 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 2018. január 24. 17:53:02 96 v v x x x x x t x t 21. ábra. Fázistér, és a hozzá tartozó v(t) és x(t) függvények az x(0) = 0, v(0) > 0 KF mellett. 7.3.2. Általános potenciál Különböző fázistérbeli trajektóriák különböző E energiákhoz tartoznak, ezért nem metszhetik egymást. A potenciált és a fázistérbeli trajektóriákat a 23. ábra szemlélteti. E 4 v E 4 E 3 E 3 E 2 E 1 E 1 E 2 x E>E 4 23. ábra. Általános potenciál és a fázistér. Szeparátrixok (E c ): E 2 (piros), E 4 (zöld).
7.3 Fázistér I.: pályák globális szemléltetése () 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 2018. január 24. 17:53:02 97 7.2. Gyakorló feladat. A 23. ábrán a potenciál és a fázistér rajza nem teljesen illik össze. Mi a hiba? [1] Ha az x lokális maximum, azaz V (x ) < 0, akkor instabil egyensúlyi helyzet, a fázistérben hiperbolikus fix pont. 7.3. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy instabil fix pont közelében a fázistérbeli pályák hiperbolák! [3] Szeparátrixnak nevezünk egy pályát (az ábrákon az energiáját E c -vel jelöltük), ha átmegy legalább egy hiperbolikus fix ponton, végtelen idő szükséges a bejárásához, kvalitatíven különböző pályákat választ el. 7.3.1. Példa. Másod-harmadfokú potenciál: V (x) = k 2 x2 + λx 3, ld. 24. ábra. V(x) v E c E c x x 24. ábra. Másod-harmadfokú potenciál λ < 0 mellett és fázistérbeli pályák. A piros vonal a szeparátrix. 7.3.2. Példa. Másod-negyedfokú potenciál: V (x) = k 2 x2 + λx 4. "Lágyuló" (λ < 0), ld. 25. ábra, ill. "keményedő" (λ > 0) rugó.
7.4 Inverz probléma 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 2018. január 24. 17:53:02 98 V(x) E c v E c x x 25. ábra. Másod-negyedfokú potenciál (λ < 0) és fázistérbeli pályák. A piros vonal a szeparátrix. Pályák kétféle szemléltetésének összehasonlítása: Időfüggvények Fázistér (t,x) illetve (t,v) (x,v) x(t),v(t) v(x) időbeli változás geometriai szerkezet egyedi pályák globális áttekintés 7.4. Inverz probléma: a periódusidőből visszakövetkeztetünk a potenciálra (*) Tekintsünk egy potenciálvölgyet a 26. ábra szerint, azaz legyen V (0) = 0, és V (x) monoton csökkenjen a negatív és nőjön a pozitív félegyenesen. A két inverz ág legyen x 1 (V ) 0 és x 2 (V ) 0, adott E energián a fordulópontok x 1 (E), x 2 (E) (a korábbitól eltérő jelöléssel). A (7.13) periódusidőt felbontjuk kétoldali járulékokra és az integrálban az x V változócserét hajtjuk végre
7.4 Inverz probléma 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 2018. január 24. 17:53:02 99 x 2 T (E) (E) 0 dx = 2m E V (x) = x dv E 1(V ) + x dv 2(V ) E V E V = x 1 (E) E 0 [x 2(V ) x 1(V )] E dv E V = E 0 0 x dv (V ), (7.17) E V ahol bevezettük az inverz ágak különbségfüggvényére a következő jelölést x(v ) = x 2 (V ) x 1 (V ). (7.18) A periódusidő tehát azonos olyan potenciálvölgyekre, melyeknek ugyanazon V energiákhoz tartozó x(v ) szélessége azonos. E V x 1 x 2 26. ábra. Két monoton szakaszból álló potenciál. Fordítsuk meg a kérdést! Feltéve, hogy ismerjük a periódusidőt, mint az energia függvényét, miképpen számíthatjuk vissza a potenciált, pontosabban ennek inverz ágainak a különbségét, amely a periódusidőt meghatározza? Először is vizsgáljuk a (7.17) formulában fellépő, F (V ) G(E) típusú, lineáris függvénytranszformációt x G(E) = E 0 F (V ) dv E V. (7.19) Ennek további, G(E) H(U) transzformáltja H(U) = U 0 G(E) de U E = U 0 de E U E 0 F (V )dv E V = U 0 dv F (V ) U V de (U E)(E V ), (7.20)
2018. január 24. 17:53:02 100 7.4 Inverz probléma 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER ahol a 0 < V < E < U egyenlőtlenségeket megtartva az integrálások sorrendjét felcseréltük. Az E szerinti integrálás tartományát a (0, 1) intervallumra képezhetjük a z változóra áttérve E = V + (U V ) z 2 U V de = 2(U V )z dz és 1 de (U E)(E V ) = 2 0 (U E)(E V ) = z(u V ) 1 z 2 dz U = π H(U) = π 1 z 2 0 dv F (V ). (7.21) Érdekes módon az E-re vett integrál a végpontoktól függetlennek adódott. Végezetül azt az egyszerű eredményt kaptuk, miszerint a kétszer alkalmazott (7.19) transzformáció az eredeti függvény integráljának π-szeresét adja F (V ) G(E) H(U) = π U 0 dv F (V ) (7.22) Ennek alapján egyetlen transzformációs lépést, azaz a (7.19) formulát, egy szorzó erejéig az integrálási művelet négyzetgyökének tekinthetjük. Mindezek alapján a fent vizsgált, egymást követő függvénytranszformáltak és a (7.17) formulában szereplő fizikai mennyiségek között a következő megfeleltetést tehetjük (itt H argumentumát V -nek választjuk) F (V ) = x (V ), G(E) = T (E)/ 2m, H(V ) = π x(v ). (7.23) Mivel az utóbbi két függvényt is a (7.19) reláció köti össze x(v ) = 1 π 2m V 0 T (E)dE V E. (7.24)
7.5 Anharmonikus oszcillátor perturbációszámítás 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 2018. január 24. 17:53:02 101 arra az eredményre jutottunk, hogy a T (E) periódusidő meghatározza az inverz ágak x(v ) különbségét, azaz a potenciálvölgy szélességét minden adott V energia mellett. Ha feltesszük, hogy a potenciál szimmetrikus, akkor azt a T (E) egyértelműen definiálja. Mindezzel arra adtunk példát, hogy egy fizikai rendszeren mérhető mennyiség, azaz esetünkben az 1D oszcillátor periódusideje alapján a mozgást meghatározó erőtérre következtethetünk. Megjegyzés: A fenti (7.24) eredmény Niels Henrik Abel norvég matematikus nevéhez fűződik. E fejezetben az [LL1] kötetbeli levezetést követtük, kissé bővítve. 7.4. Gyakorló feladat. Adjunk meg egy nem szimmetrikus, kvadratikusnál bonyolultabb V (x) potenciált expliciten, melyhez állandó periódusidő tartozik! [4] 7.5. Anharmonikus oszcillátor periódusideje: perturbációszámítás és dimenzióanalízis A perturbációszámítás az elméleti fizika legelterjedtebb módszerei közé tartozik. Elsőként a véges mozgások periódusidejének számításán keresztül mutatjuk be az eljárást. Ezen túl a periódusidő számítása a dimenzióanalízisre is jó példával szolgál. 7.5.1. Perturbált harmonikus potenciál A kvadratikus potenciálhoz kis perturbációt adunk V (x) = k 2 x2 + ɛv(x), (7.25) majd a periódusidőt ɛ szerint sorba fejtjük. Ehhez feltesszük, hogy a mozgás során V (x) ɛv(x), a sorfejtés kis paraméterét később, a számítás során azonosítjuk. A v(x)-et energia dimenziójúnak vesszük, ennélfogva ɛ dimenziótlan szám. Legyenek a fordulópontok most A + és A, melyekre teljesül E = V (A + ) = V ( A ), (7.26)
2018. január 24. 17:53:02 102 7.5 Anharmonikus oszcillátor perturbációszámítás 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER s melyek ɛ-tól függnek. A periódusidőt felbontjuk az x 0 tartományokban eltöltött, "féloldalas" időkre T (E) = T + (E) + T (E) = 2m A + 0 dx E V (x) + 2m A 0 dx E V ( x). (7.27) Észrevesszük, hogy a perturbáció az integrandusokban szereplő potenciálban és az integrálok felső határait képező amplitúdókban is megjelenik első lépésként az ɛ-t a felső határból kiküszöböljük. Vizsgáljuk a T + járulékot! Bevezetve az x = A + sin u [ dx = A + cos u du ], ω = k m, α = ɛ ka 2 + (7.28) jelöléseket nyerjük T + = 2m A + 0 dx (k/2)(a 2 + x 2 ) + ɛ[v(a + ) v(x)] = 2 ω π/2 0 cos u du cos 2 u + 2α[v(A + ) v(a + sin u)]. (7.29) Ha ɛ = 0, visszakapjuk a harmonikus oszcillátor fél periódusidejét, T + = π/ω = T/2. Első célunkat elértük, éspedig a fenti integrál felső határa rögzített. A perturbáció csak az integrandusban lép fel, melyet az alábbiakban fejtünk sorba vezető rendben. 7.5.2. Periódusidő sorfejtése - vezető korrekció Használjuk fel, hogy (1 + y) 1/2 = 1 y 2 + O(y2 ), ahonnan T + = 2 ω π/2 0 [ 1 α v(a +) v(a + sin u) cos 2 u ] du + O(α 2 ). (7.30)
2018. január 24. 17:53:02 103 7.5 Anharmonikus oszcillátor perturbációszámítás 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER A korrekcióban a kitérést közelíthetjük a perturbálatlan értékkel Tehát 2π ω + 2ɛ ωe E = k 2 A2 + + ɛv(a + ) A + = T = T + + T = 2π ω + 2α ω π/2 0 π/2 0 2E 2E k + O(ɛ) A + A A 0 = k. (7.31) v(a 0 sin u) v(a 0 ) + v( A 0 sin u) v( A 0 ) du + O(ɛ 2 ) cos 2 u v s (A 0 sin u) v s (A 0 ) du = 2π cos 2 u ω + 2ɛ ωe I(A 0) = 2π ω + 4ɛ ωka 2 0 I(A 0 ) = 2π ω ( 1 + 2ɛ ) I(A πka 2 0 ) 0 (7.32) ahol v s (x) = (v(x) + v( x))/2 a perturbáció szimmetrikus része, s I(A 0 ) az utolsó integrál szimbóluma, az amplitúdótól függ. Következésképpen a páratlan v(x) az ɛ-ban első rendben nem módosítja a periódusidőt. A "féloldalas" idők, T +, T változhatnak, de amennyivel a trajektória "siet" az egyik oldalon, annyival "késik" a másikon. 7.5. Gyakorló feladat. Köbös perturbáció: v(x) = b x 3, páratlan függvény. (a) Mutassuk meg, hogy T +/ = ( ) π ω 1 4ɛbA 0 πk + O(ɛ 2 )! [3] (b) Határozzuk meg T korrekcióját ɛ 2 rendig! [5] 7.6. Gyakorló feladat. Általános hatvány perturbációt tekintsünk a v(x) = b x β alakban, s írjuk fel a periódusidő vezető korrekciójának integrálformuláját. Találunk rá zárt kifejezést? [2-3] 2017.10.06 2017.10.10
7.5 Anharmonikus oszcillátor perturbációszámítás 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.5.1. Példa. Negyedfokú perturbáció: v(x) = b x 4 = v s (x). Az integrált el tudjuk végezni I(A 0 ) =b A 4 0 T = 2π ω π/2 0 ( du sin4 u 1 cos 2 u 1 3bA2 0ɛ 2k + O(ɛ 2 ) = b A 4 0 ) = 2π ω π/2 0 ( du (1 + sin 2 u) = b A 4 0 1 3bEɛ k 2 + O(ɛ 2 ) ) ( π 1 + 1 ) = 3π 2 2 4 ba40 = 3πbE2, (7.33) k 2. (7.34) A potenciál perturbációja a periódusidő energiafüggését eredményezi! A korrekció kicsiny, ha ɛbe/k 2 = ɛba 2 0/2k 1. (7.35) Ez éppen az a feltétel, hogy a legnagyobb kitérésnél is legyen a perturbáló potenciál jóval kisebb a harmonikusnál, azaz ka 2 0 ɛba 4 0. 7.7. Gyakorló feladat. Ellenőrizzük, hogy e kifejezések valóban dimenziótlanok! [1] 7.8. Gyakorló feladat. Lássuk be, hogy a fenti feltétel teljesülése esetén v(x) valóban sokkal kisebb a harmonikus potenciálnál a fordulópontok között! [2] 7.9. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a periódusidő valamely általános V 0 (x) potenciál ɛv 1 (x) perturbációja (V 1 a korábbi v-nek felel meg) esetén első rendig T 0 + ɛt 1, ahol T0 T 1 = dt V 1 (x 0 (t)), (7.36) E 0 melyben a perturbálatlan x 0 pályán kívül általános esetben a T 0 periódusidő is függhet az E energiától. Ellenőrizzük, hogy visszakapjuk-e a harmonikus V 0 (x) potenciálra a (7.32) eredményt? [7] Megjegyzés: A függelék B.4 fejezetében a potenciál negyedfokú perturbációja esetén a periódusidőt a lineáris közelítésen túlmenően vizsgáljuk. Továbbá a B.5 alfejezetben bemutatjuk az ún. optimalizált perturbációszámítást. Nevezetesen a vezető korrekció perturbatív számítását egy további paraméter bevezetése mellett végezzük, majd a perturbatív közelítés hibáját e paraméter függvényében minimalizáljuk. Mindezzel csak a vezető perturbáció számítását igénylő, pontosságban azonban ezt felülmúló eljárást nyertünk. 2018. január 24. 17:53:02 104
2018. január 24. 17:53:02 105 7.6 Fázistér II.: stabilitásvesztés, bifurkációk 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.5.3. Dimenzióanalízis: periódusidő a tiszta hatvány potenciálban Legyen a potenciál páros függvény, vonzó, pozitív kitevőjű, mellyel az energia (b, β > 0) A paramétereknek egyetlen idő dimenziójú kombinációja létezik hossz: β E/b, E = mv2 2 + b x β. (7.37) sebesség: E/m A periódusidő csak az utóbbi kifejezéssel lehet arányos, tehát idő: m/e β E/b. (7.38) T (E) m β b E 1 β 1 2. (7.39) β >/< 2 keményedő/lágyuló potenciál a harmonikushoz képest T (E) csökken/nő. 7.10. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy az m, E, b mennyiségekből dimenziótlan kombináció nem állítható elő! Ezt a tényt hallgatólagosan felhasználtuk, (7.39) jobboldalát függvény nem, csak numerikus állandó szorozhatja. [1] 7.11. Gyakorló feladat. Mit mondhatunk a b, β < 0 potenciálokra? [2] 7.12. Gyakorló feladat. Értelmezzük a β és β határeseteket. [1-3] 7.13. Gyakorló feladat. Milyen energiafüggés adódik a (7.13) integrálformulából? [3] 7.6. Fázistér II.: stabilitásvesztés, bifurkációk A potenciál valamely paraméterének változtatása esetén egy korábban stabil fix pont elvesztheti a stabilitását és új fix pontok jöhetnek létre.
2018. január 24. 17:53:02 106 7.6 Fázistér II.: stabilitásvesztés, bifurkációk 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.6.1. Másod-negyedfokú potenciál Vizsgáljuk a V (x) = µx 2 /2 + αx 4 /4 (7.40) potenciált, ahol α > 0 állandó és µ-t változtatjuk. A µ előjelétől függően kvalitatíven különböző trajektóriákat a 27. ábrán illusztráljuk. V(x) V(x) x v v x x (a) (b) 27. ábra. Másod-negyedfokú potenciál és fázistérbeli pályák, a: µ < 0, az origó stabil (elliptikus); b: µ > 0, az origó instabil (hiperbolikus), a szeparátrix energiája E c = 0.
2018. január 24. 17:53:02 107 7.6 Fázistér II.: stabilitásvesztés, bifurkációk 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.6.2. Vasvilla (pitchfork) bifurkáció x* µ Az egyensúlyi helyzetek a µ paraméter függvényében a 28. ábrán láthatók. A µ < 0 esetén stabil fix pont µ = 0-ban elveszti stabilitását és µ > 0 esetén további két stabil fix pont jelenik meg. A vasvilla művészi ábrázolását a 29. ábra illusztrálja. Megjegyzés: Stabil és instabil pontok egyszerre jelennek meg. Stabilitási index: { +1... stabil, s = (7.41) 1... instabil. 28. ábra. Bifurkációs diagram: fixpontok a paraméter függvényében. : stabil, - -: instabil. A 28. ábráról leolvasható, hogy az összes fix pontra vett összeg Nj s j =állandó: µ < 0 : N = 1, s 1 = 1, (7.42) µ > 0 : N = 3, s 1 = 1, s 2 = s 3 = 1. (7.43) 7.14. Gyakorló feladat. Adjuk meg a µ > 0 esetén megjelenő egyensúlyi helyzetek formuláját µ függvényében a (7.40) potenciálra! [2] 7.15. Gyakorló feladat. Határozzuk meg a másod-harmadfokú V (x) = k 2 x2 + α 3 x3 potenciálbeli stabil és instabil egyensúlyi helyzeteket az α függvényében! Találunk-e bifurkációt? A helyzetet tisztázhatja, ha az egyensúlyi helyzeteket az 1/α függvényében ábrázoljuk. [2] 7.6.3. Első-harmadfokú potenciál Másfajta bifurkációt találunk az első-harmadfokú potenciálban. Tekintsük rögzített α > 0 mellett a V (x) = kx + α 3 x3 (7.44)
7.6 Fázistér II.: stabilitásvesztés, bifurkációk 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 29. ábra. Vasvilla és hiperrealizmus [Wikipedia], bal: Grant Wood: American Gothic, 1930.; jobb: Ismeretlenek, napjainkban. potenciált, melynek egyensúlyi helyzetei ( 0 V (x ) = k + αx 2 =0 x = nincs k<0 q. k ± α k 0 (7.45) A k = 0-ban megjelenik két fixpont. Mivel V 00 (x ) = 2αx, azért a pozitív x stabil, a negatív instabil. 7.16. Gyakorló feladat. Ábrázoljuk a potenciált és a tipikus fázistérbeli trajektóriákat k <, =, > 0 esetén! [2] 2018. január 24. 17:53:02 108
2018. január 24. 17:53:02 109 7.6 Fázistér II.: stabilitásvesztés, bifurkációk 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER x* nincs N=2 a N=0 k 30. ábra. (a) Bifurkációs diagram: fix pontok a paraméter függvényében. Stabil:, instabil: - - -. (b) A fix pontok menete a komplex síkon, midőn k negatívról pozitívra vált. 7.6.4. Tangens bifurkáció Az egyensúlyi helyzetek a k függvényében a 30. ábrán láthatók. A stabilitási indexek minden k-ra N j s j = 0. Az x-et a komplex síkra kiterjesztve azt mondhatjuk, a k < 0 esetben imaginárius x = ± k/α fix pontok a k = 0-ban az origóban "találkoznak", majd a valós tengelyen maradva távolodnak onnan. Ilyen jelenséget nevezünk tangens bifurkációnak. 7.6.1. Példa. Vasvilla bifurkáció: centrifugális szabályozó adott szögsebességgel forgó, merev karú inga (ld. 31. ábra): L(ϕ, ϕ) = K V, K = m ( l 2 ϕ 2 + l 2 ω 2 sin 2 ϕ ), V = mgl cos ϕ. (7.46) 2 b x* A mozgásegyenlet p = ml 2 ϕ = mgl sin ϕ + ml 2 ω 2 sin ϕ cos ϕ = F. (7.47)
7.6 Fázistér II.: stabilitásvesztés, bifurkációk 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 2018. január 24. 17:53:02 110 ω ω ϕ l ϕ m a b 31. ábra. (a) Centrifugális szabályozó és (b) egyszerűsített modellje, a forgó felfüggesztésű inga; (c) James Watt szerkezete. c Megjegyzés: Együtt forgó koordinátarendszerből leírva ugyanezt kapjuk, a második tag a centrifugális erő érintő irányú vetülete. Automatikusan kiadódott a lagrange-i mechanikából! Egyensúlyi helyzetek (ld. 32. ábra) Kitérés (ϕ > 0) csak sin ϕ = 0 vagy cos ϕ = g lω 2. (7.48) g ω > ω c = l (7.49) esetén lehetséges. Megjegyzés: A mozgás az egyensúlyi helyzeten kívül a π/2 ϕ * 32. ábra. Centrifugális szabályozó bifurkációs diagramja. ω
2018. január 24. 17:53:02 111 7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER ϕ változóban effektíven 1D: V eff (ϕ) = mgl cos ϕ 1 2 ml2 ω 2 sin 2 ϕ, (7.50) E = 1 ml2ϕ 2 + V eff (ϕ) = állandó. (7.51) 2 7.17. Gyakorló feladat. Illusztráljuk a bifurkációt a potenciál görbéjével az ω <, =, > ω c esetekre! [1] 7.18. Gyakorló feladat. Az inga felfüggesztési pontját d sugarú körön forgatjuk függőleges tengely körül (az első éves emelt szintű mechanika kurzuson vizsgált példa). Írjuk fel a Lagrange-függvényt és a mozgásegyenletet, majd ábrázoljuk az egyensúlyi helyzeteket a szögsebesség függvényében. [5] 7.19. Gyakorló feladat. Tegyük fel, hogy egy könnyű, belső szerkezet az inga hosszát adott l(t) időfüggvény szerint változtatja. Adjuk meg a mozgásegyenletet! [3] 7.20. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a tehetetlenségi erők könnyedén meghatározhatók a Lagrangemechanika révén. Ehhez vegyük fel a kinetikus energiát az m r+ω r 2 /2 alakban, ahol ω(t) az explicit időfüggéssel adott szögsebesség, és r a forgó rendszerbeli helyvektor, amelyet válasszunk most általános koordinátának. [4] 7.7. Síkinga Súlytalan rúddal felfüggesztetett tömegpont síkmozgása. Az anharmonikus mozgás egyszerű példája, mozgásegyenletével már a középiskolában megismerkedtünk. Az alábbiakban néhány elemi tulajdonságát idézzük fel, azután a periódusidőt előállítjuk végtelen sorfejtés alakjában. 7.7.1. Mozgásegyenlet A Lagrange-függvény és az energia L = 1 ml2ϕ 2 + mgl cos ϕ, 2 E = 1 ml2ϕ 2 mgl cos ϕ = áll. (7.52) 2
2018. január 24. 17:53:02 112 7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER A szeparátrix energiája E c = mgl, E < E c leng, (7.53) E > E c körbe fordul. (7.54) E c V( ϕ) 7.7.2. Kis rezgések Ha ϕ 1 akkor cos ϕ 1 ϕ 2 /2, akkor közelítőleg (a potenciálbeli állandót elhagyva) π π ϕ L = 1 ml2ϕ 2 1 2 2 mglϕ2, ϕ = ω 2 ϕ, (7.55) E = 1 ml2ϕ 2 + 1 2 2 mglϕ2, (7.56) 33. ábra. Síkinga potenciálja. ahol ω = g/l, T = 2π l/g. (7.57) A ϕ-ben harmonikus oszcillátort kaptunk, ez a középiskolából ismert matematikai inga. A variációs mechanika előnye: a skalár Lagrange-függvény sorfejtése alapján megkapjuk a sorba fejtett mozgásegyenleteket, több szabadsági fok esetén is. 7.7.3. Fázistér szerkezete A fázistérbeli trajektóriák egyenlete az E energián (ld. 34. ábra) ϕ = 2/ml 2 E + mgl cos ϕ. (7.58)
2018. január 24. 17:53:02 113 7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER Ha a maximális kitérés ϕ 0 < π, akkor és E = mgl cos ϕ 0 < mgl = E c (7.59) ϕ = 2g/l (cos ϕ cos ϕ 0 ), (7.60) ϕ E>E c A szeparátrixon E = E c, az inga éppen nem fordul körbe, azaz ϕ 0 = π és ϕ g 2g = l (cos ϕ + 1) = l cos ϕ 2. (7.61) Ha E > E c, akkor az inga körbe fordul. Minden fizikai mennyiség periodikus ϕ-ben. Kétféle ekvivalens szemléltetés: Fázistérbeli cella ismétlődik, 35a. ábra, Hengeren értelmezzük, 35b. ábra. ϕ π Ec E<E c ϕ π 34. ábra. Síkinga fázistere. ϕ ϕ a b ϕ 35. ábra. (a) Periodikus (b) hengeres nézet.
7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.7.4. Időfüggés Implicit egyenlet ϕ(t)-re C = E E c = E mgl t t 0 = { < 1 leng C = cos ϕ0 > 1 körbefordul l ϕ 2g ϕ 0 Sorfejtések lehetségesek pl. az egyensúlyi helyzet körül C = 1 + ɛ, a szeparátrix körül C + cos ϕ = 2 cos 2 (ϕ/2) + C 1, C = 1 + ɛ. 7.7.5. Lengések periódusideje a. Az elliptikus integrál E < E c, C = cos ϕ 0 : l T = 4 2g ϕ 0 0 (7.62) dϕ C + cos ϕ. (7.63) dϕ. (7.64) cos ϕ cos ϕ0 Küszöböljük ki a fordulópont ϕ 0 szögét a felső határból! Vezessük be a k = sin ϕ 0 új paramétert, és végezzük el a 2 ϕ ψ változócserét sin ψ = 1 k sin ϕ cos ψ dψ = 1 2 2k cosϕ dϕ (7.65) 2 cos ϕ =1 2 sin 2 ϕ ( 2, cos ϕ cos ϕ 0 = 2 sin 2 ϕ 0 2 ϕ ) sin2 = 2 ( k 2 k 2 sin 2 ψ ) = 2k 2 cos 2 ψ. (7.66) 2 2018. január 24. 17:53:02 114
2018. január 24. 17:53:02 115 7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER Végül a periódusidő l T = 4 2g π/2 0 cos ψ dψ 1 2k cos ϕ 2 1 l = 4 2k cos ψ g π/2 0 dψ l 1 k 2 sin 2 ψ = 4 K(k), (7.67) g ahol K(k) az elsőfajú teljes elliptikus integrál. Kvalitatív menetét és a periódusidőt a 36. ábra szemlélteti. π/2 K(k) 1 k ¾ T Õ 1 k 36. ábra. (a) Az elliptikus integrál K(k); (b) k(ϕ 0 ); (c) a periódusidő. π ϕ 0 π ϕ 0 b. A periódusidő sora (*) Az elliptikus integrálok tulajdonságait speciális függvények jegyzékei ismertetik. Alább bemutatjuk, miképpen határozható meg a K(k) elliptikus integrál Taylor-sora. Hatványok kifejtése (n egész, a nem egész): (1 + x) n = n j=0 ( ) n x j ; (1 + x) a = j j=0 ( ) a x j, j 1 1 x = ( ) 1/2 ( x) j. (7.68) j=0 j
2018. január 24. 17:53:02 116 7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER Az utóbbi sorban fellépő együtthatót kiírjuk ( ) 1/2 = 1 ( 1 ) ( 1 ) j j! 2 2 1... ( 1 ) 2 j + 1 j (2j 1)!! = ( 1), (7.69) 2j!! melyet j = 0 esetén 1-nek értelmezünk. A periódusidő sora integrálokkal ( ) l 1/2 π/2 l T = 4 ( k 2 ) j sin 2j 2j (2j 1)!! ψ dψ = 4 k g j 0 g (2j)!! Kiszámítjuk az integrált j=0 I j = π/2 0 sin 2j ψ dψ = = cos ψ sin 2j 1 ψ π/2 0 π/2 0 j=0 cos ψ sin 2j 1 ψ dψ + (2j 1) π/2 0 π/2 cos 2 ψ sin 2j 2 ψ dψ 0 sin 2j ψ dψ. (7.70) =(2j 1) (I j 1 I j ) (7.71) I j = 2j 1 I j 1 =... = 2j (2j 1)!! π (2j)!! 2. (7.72) Végeredményképpen kapjuk a periódusidő Taylor-sorát ( ) l 2 (2j 1)!! T (ϕ 0 ) = 2π k 2j, (7.73) g j=0 (2j)!! ahova a k = sin(ϕ 0 /2)-t helyettesítjük be. A sor konvergens, ha k < 1, ez éppen a lengés feltétele. A vezető tagok ( l T (ϕ 0 ) = 2π 1 + 1 ϕ g 4 sin2 0 2 + 9 ϕ ) 64 sin4 0 2 +.... (7.74)
2018. január 24. 17:53:02 117 7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER A kitérésben O(ϕ 4 0) rendig: k = sin ϕ 0 2 = ϕ 0 2 1 ϕ 3 0 3! 8 + = ϕ 0 2 ϕ3 0 48 +..., (7.75) k 2 = ϕ2 0 4 ϕ4 0 48 +..., (7.76) k 4 = ϕ4 0 16 +..., (7.77) ( l T (ϕ 0 ) =2π 1 + ϕ2 0 g 16 + 11 ) 3072 ϕ4 0 +.... (7.78) A sorfejtés használhatóságát javítja az, hogy az együtthatók kicsik. Becslések: ϕ 0 <0, 4 (30 ) ϕ2 0 l < 0, 01 T 2π 1%-on belül (7.79) 16 g ϕ 0 <1, 3 (80 ) a vezető korrekció 10%-on belül. (7.80) 7.21. Gyakorló feladat. Ellenőrizzük a negyedfokú tag együtthatóját! [2] 7.22. Gyakorló feladat. Korábban kiszámítottuk az x 4 -es perturbáció hatását első rendig. Összhangban van a jelen eredménnyel? [2] 7.8. Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel Az alábbiakban a harmonikus oszcillátort vizsgáljuk időfüggő külső gerjesztő erő jelenlétében. L = 1 2 m x 2 1 2 mω2 0x 2 + mxf(t) x + ω 2 0x = f(t), (7.81)
7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER ez lineáris, inhomogén differenciálegyenlet. Az inhomogén és a homogén egyenlet egy-egy megoldásának összege az inhomogén egyenletet megoldása. Ezért az inhomogén egyenlet általános megoldása x(t) = x h (t) + x p (t), x h (t) = A sin(ω 0 t + δ) : x p (t) =? : a homogén egyenlet általános megoldása, az inhomogén egy "partikuláris" megoldása. (7.82) Adott külső gerjesztő erő esetén a feladat egy partikuláris megoldás meghatározása. A KF teljesíthető adott partikuláris megoldás mellett oly módon, hogy az ahhoz hozzáadandó homogén megoldás paramétereivel illesztjük a KF-t. Megjegyzés: Partikuláris megoldások egymástól csak a homogén egyenlet megoldásában különbözhetnek. 7.8.1. Harmonikus gerjesztés () A gerjesztő erő legyen tisztán koszinuszos Keressünk egy partikuláris megoldást a következő alakban mellyel x 0 ( Ω 2 + ω 2 0) cos Ωt = F 0 cos Ωt x 0 = f(t) = F 0 cos Ωt. (7.83) x p (t) = x 0 cos Ωt, (7.84) F 0 ω 2 0 Ω 2 x p (t) = F 0 cos Ωt. (7.85) ω0 2 Ω2 Fázistolás: ha Ω > ω 0, akkor az együttható negatív, ez a gerjesztő erőhöz képest π fázistolást jelent. Rezonancia: Ω = ω 0, ekkor az amplitúdó végtelen. 2018. január 24. 17:53:02 118
2018. január 24. 17:53:02 119 7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.8.2. Általános gerjesztés: megoldás Fourier-transzformációval a. Fourier-transzformáció néhány elemi tulajdonsága A Fourier-transzformációt (FT) a következő konvenció szerint alkalmazzuk x(t) = 1 2π Idézzük fel a Dirac-delta szimbólumot δ(t) = 1 2π x ωe iωt dω x ω = eiωt dω, x(t)e iωt dt (7.86) δ(t t 0) f(t) dt = f(t 0 ), (7.87) melynek segítségével látható (7.86) konzisztenciája. Például, a jobboldali formulából a baloldali következik 1 2π x ωe iωt dω = 1 2π eiωt dω x(t )e iωt dt = δ(t t ) x(t ) dt = x(t). (7.88) A FT hasznos eszköz differenciálegyenletek kezeléséhez, mivel a deriválás a FT révén szorzássá egyszerűsödik: x(t) iω x ω. (7.89) 7.23. Gyakorló feladat. Számítsuk ki a δ ɛ (t) = 1 2π eiωt ɛω2 dω függvényt, és mutassuk meg, hogy valóban δ ɛ(t t 0 ) f(t) dt f(t 0 ), ha ɛ 0! [3] 2017.10.10 2017.10.13 b. Gerjesztett oszcillátor megoldása Fourier-integrállal Egy partikuláris megoldás meghatározása céljából alkalmazzuk a FT-t az x(t) + ω 2 0x(t) = f(t) (7.90)
2018. január 24. 17:53:02 120 7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER mozgásegyenletre. Felhasználva, hogy a kétszeres időderivált FT-ja nyerjük ahonnan vissza-ft alkalmazásával egy partikuláris megoldás 7.8.1. Példa. Harmonikus gerjesztés f(t) = F 0 cos Ωt = F 0 2 x(t) [ x] ω = ω 2 x ω (7.91) (ω 2 0 ω 2 )x ω = f ω, (7.92) x(t) = 1 f ω 2π ω0 2 ω 2 eiωt dω. (7.93) ( e iωt + e iωt) f ω = πf 0 [δ(ω Ω) + δ(ω + Ω)], (7.94) x(t) = Valóban visszakaptuk a (7.85) rezgést, az oszcillátor felveszi a gerjesztő frekvenciát. 7.8.3. Általános gerjesztés: megoldás Green-függvénnyel a. Konvolúció Fourier-transzformáltak szorzatát vizsgáljuk F 0 cos Ωt (7.95) ω0 2 Ω2 C ω = A ω B ω. (7.96)
7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER Visszatranszformálva kapjuk C(t) = A(t )e iωt B(t )e iωt e iωt dt dt dω = 2π C(t) = A(t )B(t t )dt A(t )B(t )δ(t t t )dt dt (7.97) A(t t )B(t )dt [A B](t), (7.98) ez a konvolúció művelete, melyet -gal jelölünk. Az utolsó azonosságot az integrálási változó cseréjével kapjuk. Ezzel azt demonstráljuk, hogy miképpen A ω és B ω felcserélhetők voltak C ω definíciójában, a konvolúció formulájában is felcserélhető A(t) és B(t). b. Green-függvény: frekvencia- és időfüggő előállítás Ennek alapján az előző szakaszban FT-val kapott megoldás időfüggését is előállíthatjuk. A (7.92) szerint x ω = Vezessük be a harmonikus oszcillátor Green-függvényét G ω = 1 G(t) = 1 ω0 2 ω 2 2π f ω ω 2 0 ω 2. (7.99) e iωt dω. (7.100) ω0 2 ω2 A (7.93) formulával összevetve látható, hogy G(t) az f ω = 1, azaz az f(t) = δ(t) gerjesztésnek megfelelő megoldás. A keresett partikuláris megoldás végül konvolúció alakjában áll elő x ω = G ω f ω x(t) = dt G(t t )f(t ) = [G f](t). (7.101) A Green-függvény a Dirac-delta gerjesztéshez tartozó megoldás, amelynek segítségével a (7.101) képlet szerint az általános gerjesztéshez tartozó egy partikuláris megoldást állíthatunk elő. 2018. január 24. 17:53:02 121
2018. január 24. 17:53:02 122 7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER c. Harmonikus oszcillátor Green-függvénye Határozzuk meg G(t)-t közvetlenül a G(t)+ω 2 0G(t) = δ(t) (7.102) egyenletből! Keressünk olyan megoldást, amely a gerjesztés előtt zérus és mindenütt folytonos G(t) = { 0, ha t < 0, B sin ω 0 t, ha t > 0, (7.103) majd integráljuk a mozgásegyenletet / τ G+ω0G 2 = δ(t) dt, τ 0, (7.104) τ G(τ) G( τ) + ω02τg(0) 2 1 G(0 + ) = Bω 0 = 1. (7.105) A KF-hez illeszkedő megoldás tehát ahol bevezettük a Heaviside-függvényt G(t) = θ(t) ω 0 sin ω 0 t, (7.106) θ(t) = { 0, ha t < 0, 1, ha t > 0. (7.107) 7.24. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy G(t) a (7.100) FT formulával összhangban van! Útmutató: célszerű a θ(t) = (1/2πi) dω e iωt /ω integrálelőállítást használni. [3]
2018. január 24. 17:53:02 123 7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER A fentiek alapján a gerjeszett harmonikus oszcillátor egy partikuláris megoldása x(t) = ω 1 0 t sin ω 0(t t ) f(t ) dt. (7.108) Vegyük észre, hogy a Green-függvény a homogén általános megoldással kiegészítve változatlanul kielégíti a (7.102) egyenletet! A fenti Green-függvény a KF speciális választásának felel meg, amelyben a gerjesztés előtt az oszcillátor nyugalomban van, így a retardált Green-függvényt kaptuk. 7.25. Gyakorló feladat. Győződjünk meg arról, hogy (7.108) valóban megoldja a mozgásegyenletet! [1] 7.26. Gyakorló feladat. Tekintsük a G a (t) = ω0 1 θ( t) sin ω 0 t függvényt, és mutassuk meg, hogy ez is a δ(t) gerjesztéshez tartozó megoldás! Ez az avanzsált Green-függvény. [2] 7.27. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a retardált és az avanzsált Green-függvények különbsége a homogén egyenlet megoldása, ahogy annak lennie kell. [2] 7.8.4. Rezonáns gerjesztés Ha Ω = ω 0, akkor a (7.85) szinguláris. Ez azt jelenti, hogy tartósan ható rezonáns gerjesztés időben divergáló amplitúdójú rezgést hoz létre. Mindazonáltal véges időben véges megoldást kell kapnunk, ha a rezonáns gerjesztés f(t) = θ(t)f 0 cos ω 0 t, (7.109) azaz a t = 0 időpontban kapcsoljuk be, melyet megelőzően az oszcillátor nyugalomban volt. a. Állandó variálásának módszerével () Keressük az x(0) = 0, x(0) = v 0 (7.110)
7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER KF-nek megfelelő megoldást a következő alakban t > 0 mellett x(t) = a(t) sin ω 0 t. (7.111) Ez az állandó variálásának módszere. A mozgásegyenletbe helyettesítve x = a sin ω 0 t + ω 0 a cos ω 0 t, (7.112) x = a sin ω 0 t + 2aω 0 cos ω 0 t aω0 2 sin ω 0 t = aω0 2 sin ω 0 t + F 0 cos ω 0 t, (7.113) ahonnan az azonos szögfüggvények együtthatóit egyenlővé téve és a megoldást a KF-hez illesztve nyerjük a = F 0, a = 0 a(t) = F 0t + v ( 0 F0 t x(t) = + v ) 0 sin ω 0 t. (7.114) 2ω 0 2ω 0 ω 0 2ω 0 ω 0 A tisztán szinuszos tag a homogén egyenlet megoldása, mely a KF-hez illesztést tette lehetővé. A megoldás növekvő amplitúdójú rezgés, ez a fizikai tartalma a korábban a rezonanciánál fellépő végtelen amplitúdónak! 7.28. Gyakorló feladat. Van-e x(t) = b(t) cos ω 0 t alakú megoldás, ahol b(t) polinom? [2] b. Megoldás Green-függvénnyel Használjuk a Green-függvény (7.106) alakját x(t) = F 0 t ω sin ω 0(t t ) cos ω 0 t dt = F 0 t 0 0 ω 0 0 [ sin ω 0 t cos 2 ω 0 t cos ω }{{} 0 t sin ω 0 t cos ω 0 t }{{} 1 2 (1+cos 2ω 0t 1 ) 2 sin 2ω 0t ] dt (7.115) = F 0t sin ω 0 t + F 0 t 2ω 0 2ω sin ω 0(t 2t ) dt = F 0t sin ω 0 t. (7.116) 0 0 2ω 0 Mivel az integrál eltűnik, éppen megkaptuk a (7.114) partikuláris megoldást a v 0 = 0 esetben. Az itt kapott és a (7.114) partikuláris megoldások különbsége valóban a homogén egyenlet megoldása, mint azt el is vártuk. 2018. január 24. 17:53:02 124
7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.9. Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása Az eddigiekben a perturbációszámítást a periódusidő vizsgálatára alkalmaztuk. Ennél bonyolultabb feladat az időfüggő trajektóriák közelítő meghatározása, melyet alább ismertetünk. Az általános perturbáció tárgyalását megelőzően a köbös és a negyedfokú perturbáló potenciálok speciális eseteit mutatjuk be, lényegében [LL1] leírását követve. 7.9.1. Másod-harmadfokú potenciál Tekintsük az alábbi potenciált V (x) = k 2 x2 + ɛb 3 x3, (7.117) amelyben a köbös tag kis perturbáció, azaz ɛ 1, s a b -t éppen azért vettük fel, hogy ɛ dimenziótlan lehessen. A mozgásegyenlet A megoldást a következő alakban keressük x = ω0x 2 ɛbx 2, ahol b = b /m, ω 0 = k/m. (7.118) x(t) = x 0 (t) + ɛx 1 (t), ahol x 0 (t) = A cos ω 0 t. (7.119) Az egyszerűség kedvéért kihagytuk a cos alól a fázist, melyet a KF-hez való illesztéshez természetesen fel kell venni. A mozgásegyenletbe helyettesítve és csak az ɛ-ban lineáris tagokig menve kapjuk Az O(1) tagok kiesnek. Az ɛ-nal arányos tagok összehasonlításával x 0 + ɛx 1 = ω0x 2 0 ω0ɛx 2 1 ɛbx 2 0 + O(ɛ 2 ). (7.120) x 1 + ω 2 0x 1 = bx 2 0. (7.121) 2018. január 24. 17:53:02 125
7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER Tehát a pálya x 1 (t) korrekciója harmonikus oszcillátor, melyet az ismert perturbálatlan x 0 (t) megoldás külső gerjesztő erőként hajt meg. Felhasználva, hogy nyerjük cos 2 ω 0 t = 1 2 (1 + cos 2ω 0t) (7.122) x 1 + ω0x 2 1 = A2 b 2 (1 + cos 2ω 0t). (7.123) Ez egy konstans és egy harmonikus külső gerjesztő erő összegének kitett harmonikus oszcillátor. Egy partikuláris x 1 (t) megoldás az egyes gerjesztésekhez tartozó megoldások összege, melyeket a (7.85) megoldóképlet alapján írhatunk fel x 1 (t) = A2 b 2ω 2 0 A2 b 2 Végül (7.118) nyerjük a trajektóriát az ɛ-ben lineáris rendig x(t) = A cos ω 0 t + ɛa2 b 2ω 2 0 1 cos 2ω ω0 2 4ω0 2 0 t. (7.124) [ 1 3 cos 2ω 0t 1] + O(ɛ 2 ). (7.125) Az alapharmonikus mellett egy állandó és egy kétszeres frekvenciájú felharmonikus jelent meg, és kiadódott a közelítés érvényét meghatározó kis dimenziótlan paraméter ɛab ω 2 0 1. (7.126) A periódusidő nem változott ɛ rendig, összhangban a korábban a páratlan potenciálokra kapott eredményünkkel. 7.29. Gyakorló feladat. A fenti megoldás fogyatéka, hogy egy speciális KF-nek felel meg. Általánosítsuk az eredményt tetszőlegesen adott KF-re, azaz (x 0, v 0 ) értékekre. [4] 2018. január 24. 17:53:02 126
2018. január 24. 17:53:02 127 7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.9.2. Másod-negyedfokú potenciál (*) A potenciál legyen most melyben a mozgásegyenlet a következő V (x) = k 2 x2 + ɛb 4 x4, (7.127) x = ω 2 0x ɛbx 3, (7.128) ahol a (7.118) jelöléseit használtuk. A periódusidő ɛ rendben a (7.34) kifejezés szerint megváltozik. Keressük a megoldást a következő alakban melyet a mozgásegyenletbe helyettesítve kapjuk x(t) = x 0 (t) + ɛx 1 (t), ahol x 0 (t) = A cos ω 0 t, (7.129) x 0 + ɛx 1 = ω0x 2 0 ω0ɛx 2 1 ɛbx 3 0 + O(ɛ 2 ). (7.130) Az O(ɛ) tagok összege eltűnik x 1 + ω 2 0x 1 = bx 3 0 = ba 3 cos 3 ω 0 t. (7.131) Az x 1 (t) perturbáció itt is harmonikus oszcillátor, melyet külső gerjesztésként az x 0 (t) perturbálatlan trajektória hajt meg. A koszinuszt kifejtve kapjuk cos 3 ϕ = (eiϕ + e iϕ ) 3 8 = 1 ( e 3iϕ + 3e iϕ + 3e iϕ + e 3iϕ) = 1 8 4 cos 3ϕ + 3 cos ϕ, (7.132) 4
2018. január 24. 17:53:02 128 7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER ahonnan x 1 + ω 2 0x 1 = ba3 4 (3cos ω 0t + cos 3ω 0 t). (7.133) A megoldás a két, ω 0 és 3ω 0 harmonikus gerjesztéshez tartozó megoldások összege. Az alapfrekvenciával történő gerjesztés rezonáns! A megoldás (7.85) képletét alkalmazva x 1 (t) = 3bA3 t sin ω 0 t b1a3 8ω 0 4 1 ω 2 0 9ω 2 0 cos 3ω 0 t, (7.134) ahonnan x(t) = x 0 (t) + ɛx 1 (t) = A cos ω 0 t 3ɛbA3 t sin ω 0 t + ɛba3 cos 3ω 8ω 0 32ω0 2 0 t + O(ɛ 2 ). (7.135) Ezzel tehát megkaptuk a perturbációban lineáris rendig a trajektóriát. Noha korábban láttuk, hogy a periódusidő is módosult lineáris rendben, ez nem nyilvánvaló a fenti formulából. A periódusidő perturbációjának megvilágításához tekintsük az alábbi, perturbált frekvenciájú harmonikus rezgést cos [(ω 0 + ɛω 1 )t] = cos ω 0 t cos ɛω 1 t sin ω 0 t sin ɛω 1 t cos ω 0 t ɛω 1 t sin ω 0 t + O(ɛ 2 ). (7.136) A (7.135) első két tagja éppen ilyen, ahol ω 1 = 3A2 b 8ω 0. (7.137) 7.30. Gyakorló feladat. Győződjünk meg arról, hogy ez megfelel a periódusidőre vonatkozó korábbi direkt eredménynek! [1]
7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 2018. január 24. 17:53:02 129 Végül a megoldást írhatjuk a következő alakban x(t) A cos(ω 0 + ɛω 1 )t + ɛaω 1 12ω 0 cos 3ω 0 t. (7.138) A perturbált alapfrekvencia mellett egy harmadik felharmonikus is megjelent! Az A-t kiemelve kapjuk a korrekció dimenziótlan együtthatóját, melyre a közelítés érvényességének feltétele ɛω 1 12ω 0 = ɛba2 32ω 2 0 << 1. (7.139) 7.31. Gyakorló feladat. A perturbált trajektóriát egészítsük ki olymódon, hogy az a KF-et ne változtassa meg. [3] 7.32. Gyakorló feladat. Írjuk fel cos n ϕ függvényt szinusz és koszinusz függvények lineáris kombinációjaként! [3] Megjegyzés: A (7.135) közelítés csak ɛω 1 t 1 időkig jó, sokkal nagyobb időkre divergál, viszont a (7.138) formula korlátos, a hibája nagy időkre csupán a fázis elcsúszásából fog származni. Azáltal, hogy a trajektória egyik korrekcióját a perturbált frekvenciával sikerült kifejeznünk, megszüntettük a divergenciát! Az x(t) pálya sorfejtésének formuláját természetesen változatlanul csak ɛ rendig hihetjük el. Vegyük észre, hogy a koszinusszal ɛ-ban magasabb rendeket is generáltunk, mely rendekben a pálya korrekcióit egzatul nem ismerjük. Az így nyert elcsúszó fázis azonban fizikailag szemléletesebb. 7.9.3. Általános perturbáció: a szukcesszív approximáció módszere Green-függvénnyel (*) Tetszőleges perturbáló ɛv(x) potenciál esetén a mozgásegyenlet az x(t) trajektóriára x + ω 2 0x = ɛv (x) ɛf(x). (7.140) A gerjesztett harmonikus oszcillátor megoldása a harmonikus rezgéshez adódó, a gerjesztés által indukált partikuláris megoldás, amelyet a Green-függvénnyel állíthatunk elő. A homogén egyenlet megoldása a nulladrendű trajektória x 0 = A cos ω 0 t, (7.141)
7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 2018. január 24. 17:53:02 130 a gerjeszett egyenleté pedig x(t) = x 0 (t) + ɛ[g f(x)](t), (7.142) ahol a konvolúció jelölését és a harmonikus oszcillátor Green-függvényét használtuk. (A retardált Green-függvényt (7.106) adja, a KF-hez illesztés céljából a homogén oszcillátor általános megoldásának bevételével egyelőre nem foglalkozunk.) Ily módon az x(t) trajektóriára implicit egyenletet kaptunk, amelyből szukcesszív approximáció révén a pálya sorfejtését állíthatjuk elő. Az O(ɛ) közelítést akkor kapjuk, ha a jobboldalon x(t) helyébe x 0 (t)-t írunk x(t) = x 0 (t) + ɛx 1 (t) + O(ɛ 2 ) = x 0 (t) + ɛ[g f(x 0 )](t) + O(ɛ 2 ). (7.143) A jobboldalon fellépő G(t) és f(x 0 (t)) függvényeket expliciten ismerjük, tehát az elsőrendű x 1 (t) korrekciót előállítottuk. 7.33. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a köbös és negyedfokú perturbációkkal fent előállított közelítő megoldások ebből a formulából is megkaphatók. [2+2] A másodrendű közelítéshez a (7.142) egyenlet jobboldalán az x(t) megoldást ɛ rendű pontosságig visszahelyettesítjük (az idő argumentumot nem írjuk ki, x x(t), etc.) Összefoglalásképpen, a pálya x = x 0 + ɛg f(x 0 + ɛx 1 +... ) = x 0 + ɛg f(x 0 ) + ɛ 2 G [f (x 0 ) x 1 ] + O(ɛ 3 ). (7.144) sorfejtésében fellépő első három függvény x(t) = x 0 (t) + ɛx 1 (t) + ɛ 2 x 2 (t) +... (7.145) x 0 = A cos ω 0 t, x 1 = G f(x 0 ), x 2 = G {f (x 0 ) [G f(x 0 )]}. (7.146) Másodiknál magasabb rendben a pálya korrekciója több tag járulékainak összege.
2018. január 24. 17:53:02 131 7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.34. Gyakorló feladat. Állítsuk elő az ɛ 3 rendű x 3 (t) korrekciót! [4] 7.35. Gyakorló feladat. A KF-hez olymódon illeszthetünk, hogy az egyes rendekben x j (t)-hez a homogén egyenlet általános megoldását más-más paraméterekkel hozzáadjuk. Írjuk fel ɛ rendben az x(0) = x 0, x(0) = 0 KF melletti megoldást általános f(x) gerjesztésre. [4] Ebben a fejezetben megmutattuk, hogy szukcesszív approximáció révén a pálya tetszőleges rendű korrekcióját a Green-függvény segítségével előállíthatjuk. A harmonikus oszcillátor Green-függvénye ezáltal a perturbációszámításban különös jelentőségre tesz szert. Ennek fizikai háttere az, hogy a perturbáción keresztül a magasabb rendű korrekciókat az alacsonyabb rendű trajektóriák gerjesztik, éspedig oly módon, hogy ezek külső meghajtó erőként lépnek fel. Ez a mechanizmus a perturbációknak kitett fizikai mozgásokra általánosan, nemcsak a klasszikus mechanikában érvényes.
2018. január 24. 17:53:02 132 8. Csillapított mozgások 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 8.1. Súrlódási erő sűrű közegben () Noha tömegpontot tekintünk, kis véges kiterjedést megengedünk ahhoz, hogy rá közegellenállásból származó súrlódási erő hathasson, mely sűrű közegben kis sebességekre közel lineáris Ezért 1D potenciálmozgás esetén a mozgásegyenlet a következő A tömegpont energiájának csökkenése a disszipált teljesítmény E = d ( 1 dt 2 m x ) 2 + V (x) F s γv. (8.1) m x = γ x V (x). (8.2) = m x x + xv (x) = γ x 2 = F s x. (8.3) Mint azt várjuk, ez éppen a súrlódási erő által a tömegponton végzett teljesítmény. Ez negatív, ellentettje a test által a környezeten végzett munkának. Az energia mindaddig csökken, amíg x 0. 8.2. Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange Rayleigh-formalizmus 8.2.1. Disszipációs függvény descartes-i koordinátákkal Vegyük észre, hogy F s = R (v), ahol R(v) = 1 2 γv2. (8.4)
2018. január 24. 17:53:02 133 8.2 Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange Rayleigh-formalizmus 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK Formálisan tehát a disszipatív mozgásegyenletet ekképpen származtathatjuk d L dt x = L x R x Az R-et disszipációs vagy Rayleigh-féle függvénynek is hívják. m x = V (x) γ x. (8.5) Több 3D tömegpontra, Descartes-koordinátákban a közegellenállási erőt a következő disszipációs függvényből származtathatjuk R = 1 N γ j v j 2, (8.6) 2 j=1 ahol γ j a j-edik pontra érvényes súrlódási együttható (ezek között lehetnek azonosak). A képlet hasonló a kinetikus energiához, de a variációszámításbeli szerepe más, itt A teljes mozgásegyenletek tehát F sj = R v j = γ j v j. (8.7) E j = L d L r j dt r = F j p j = F sj = R j r. (8.8) j Az S = L dt hatást használva és bevezetve a D = R dt, (8.9)
2018. január 24. 17:53:02 134 8.2 Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange Rayleigh-formalizmus 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK disszipációs funkcionált, végül nyerjük amely a disszipatív mozgásegyenletek variációs alakja. δs = δd δr j δr, (8.10) j Ezzel az eredeti Hamilton-elven, a hatás stacionárius pontját kereső eljáráson túlmentünk, "kívülről" tettünk a mozgásegyenletekhez disszipatív erőket. Ezeket szintén egyetlen skalár funkcionál variációjából származtattuk, melyek azonban nem a trajektóriák, hanem a sebességek szerinti variációkkal állíthatók elő. Az így kapott mozgásegyenlet a Hamilton-elv disszipatív rendszerekre való kiterjesztése, amely mindazonáltal nem áll elő egyetlen funkcionál stacionaritási feltételeként. 2017.10.13 2017.10.17 8.2.2. Disszipációs függvény általános koordinátákkal (*) A variációszámítás disszipációs függvénnyel való kiegészítése eddig formális konstrukciónak tűnhetett, hiszen eleve feltettük a sebességgel ellentétes, vele arányos közegellenállási erőt. Ezért csupán esztétikai jelentősége volt annak, hogy variáció alakjában is fel tudtuk ugyanezt írni. Az R disszipációs függvény igazi előnye az általános koordináták bevezetésekor világlik ki. Mint alább bemutatjuk, R általános koordinátákkal való felírása után belőle variációval éppen az általánosított koordinátákra vonatkozó mozgásegyenletekben fellépő súrlódási erőket nyerjük. Az általános koordinátákra való áttérés a 6.2.6 fejezetben megadott eljárással történik. A hatást most Lagrangemultiplikátoros tagokkal egészítjük ki, melyek a kényszereket figyelembe veszik, s az így nyert S λ -t használva M L λ = L + λ l Φ l, S λ = L λ dt δs λ = δd δr j δr. (8.11) j l=1 A (6.176) szerint az r j (q 1, q 2,..., q f, t) Descartes-koordinátákra mint az általános koordináták függvényeire fennáll r j = f i=1 r j q i q i + r j t r j q i = r j q. (8.12) i
2018. január 24. 17:53:02 135 8.2 Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange Rayleigh-formalizmus 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK ahonnan (6.174) és (8.11) alapján kapjuk a λ-kat nem tartalmazó mozgásegyenletet j δs λ δr j r j q i = j δs M + λ l j Φ l r j = δr j l=1 q i j δs δr j r j q i = j δd r δr j j q. (8.13) i A variációs deriváltakra alkalmazzuk a láncszabályt. Egyrészről (6.175) szerint a baloldal S variációja q i szerint, másrészről a jobboldal D variációja q i szerint (változatlan q j -k mellett), mindezek alapján nyerjük δs = δd δq i δq R i q, (8.14) i ahol az azonosság azt fejezi ki, hogy az R disszipációs függvény a sebességek deriváltjaitól nem függ. Részletesebben E i = L d L q i dt q = F i p i = R i q. (8.15) i Általános koordinátákkal a disszipatív mozgásegyenletek variációs alakja a descartes-i koordinátás (8.8) formula analógiájaként adódott! Ezt a disszipációs függvény bevezetésének köszönhettük. Célszerűen definiálhatjuk az általános, vagy kanonikus súrlódási erőket Mindezután a csillapított rendszer mozgásegyenletei a alakban is írhatók. F sj = R q δd j δq. (8.16) j p j = F j + F sj (8.17)
2018. január 24. 17:53:02 136 8.2 Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange Rayleigh-formalizmus 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 8.2.3. A disszipatív mozgásegyenlet összefoglalása Összegzésképpen, a disszipatív mozgásegyenlet általános koordinátákkal felírt variációs alakja δs = E j = F j p j = F sj = δd δq j δq. (8.18) j A fentiekben kiviláglik a disszipációs függvény előnye, éspedig nagyban leegyszerűsíti az általános koordinátákra való áttérést. Amiként a mozgásegyenleteket általános koordinátákkal konzervatív esetben a Lagrange-függvényből egyszerűen megkaphattuk, azokat hasonlóan egyszerű módon egészíthetjük ki az általános koordinátákban felírható disszipatív erőkkel a disszipációs függvény felhasználásával. Ha a súrlódási erő nemlineáris a sebességben, amely effektus ritkább közegben ill. nagyobb sebességek mellett válhat lényegessé, akkor a descartes-i disszipációs függvény nem marad kvadratikus. Mindazonáltal a fenti eljárás használható, nevezetesen az általános koordinátákra való áttéréskor ekkor is a konzervatív Hamilton-elv disszipatív, a (8.14) formulával adott kiterjesztése alkalmazandó. 8.2.4. Az energia megváltozása Korábban az energia megmaradását mutattuk meg explicit időfüggést nem tartalmazó Lagrange-függvény esetében disszipáció nélkül. Most engedjük meg mindkettőt, ekkor a pálya mentén E = d p j q j L = p j q j + p j q j L dt j j j t F j q j p j q j j j = (F j + F sj ) q j L j t F j q j = L j t + F sj q j, (8.19) j ahol a harmadik egyenlőséghez felhasználtuk a (8.17) formulát. A L/ t tag a külső konzervatív erők által a rendszerbe táplált, míg j F sj q j a rendszer által a súrlódási erőkön keresztül végzett teljesítmény. Az energiaváltozást
8.2 Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange Rayleigh-formalizmus 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK a disszipációs függvénnyel tehát tömören kifejezhetjük E = L t j R q q j. (8.20) j Kvadratikus disszipációs függvény, azaz a sebességekben lineáris súrlódási erők esetén amely alapján R = 1 R ij (q 1,..., q f ) q i q j, (8.21) 2 i,j E = L 2R. (8.22) t A disszipációs függvény ezzel közvetlen fizikai jelentést nyert, éspedig a kétszerese éppen a pálya mentén leadott disszipációs teljesítmény. 8.1. Gyakorló feladat. Adjunk egyszerű példát olyan rendszerre, amelyben a disszipált teljesítmény arányos a kinetikus energiával! [1] 8.2.1. Példa. Síkinga közegben: Feltéve, hogy csak a tömegpontra kifejtett közegellenállás a disszipáció egyetlen forrása (vékony rúdon felfüggesztett tömegpont) L = 1 ml2ϕ 2 + mgl cos ϕ, 2 R = 1 γl2ϕ 2 2 ml 2 ϕ = mgl sin ϕ γl 2 ϕ. (8.23) A disszipációs teljesítmény E = 2R = γl 2 ϕ 2. (8.24) 2018. január 24. 17:53:02 137
2018. január 24. 17:53:02 138 8.2 Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange Rayleigh-formalizmus 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 8.2. Gyakorló feladat. Bizonyosodjunk meg arról, hogy a (8.23) súrlódási tagja éppen az F s = γv erőből származó járulék az inga mozgásegyenletéhez. [1] 8.2.2. Példa. Rugóval összekötött tömegpontok 1D-ban: Ha nincs közegellenállás, viszont a rugót a megnyúlási sebességének és az η belső súrlódási együtthatónak a szorzataként előálló belső súrlódási erő fékezi, akkor a mozgásegyenletek a következő Lagrange- és Rayleigh-függvényből származtathatók L = 1 2 m 1x 2 1 + 1 2 m 2x 2 2 1 2 k(x 1 x 2 ) 2, R = 1 η( x 1 x 2 ) 2. (8.25) 2 Tanulság: a Rayleigh-függvény belső súrlódás esetén is használható. 8.3. Gyakorló feladat. Írjuk fel a mozgásegyenleteket! [2] 8.4. Gyakorló feladat. Módosítsuk a Rayleigh-függvényt oly módon, hogy vegye figyelembe a tömegpontokra ható közegellenállást γ 1 éa γ 2 súrlódási együtthatókkal! [2] 8.5. Gyakorló feladat. Rugóval egy ponthoz rögzített, vízszintesen mozgó felfüggesztésű inga csillapított mozgása: írjuk fel a disszipációs függvényt és a mozgásegyenletet, ha az inga végén a tömegpont súrlódó közegben mozog (súrlódási együttható: γ) és a rugót a megnyúlási sebességével arányos belső súrlódási erő fékezi (belső súrlódási együttható: η). [4] 8.6. Gyakorló feladat. A 6.2.5 példában szereplő elrendezésben vegyük figyelembe a rugó belső súrlódását η együtthatóval. Írjuk fel a Rayleigh-függvényt, majd ennek segítségével a mozgásegyenletet! Linearizáljuk a mozgásegyenletet kis kitérésekre, s diszkutáljuk az l = d ill. l < d eseteket. [4] 8.7. Gyakorló feladat. Határozzuk meg a disszipatív közegben mozgó kettős inga disszipációs függvényét és írjuk fel a mozgásegyenleteket! (Csak az egyes tömegpontok súrlódnak, a felfüggesztő rudak közegellenállását hanyagoljuk el, s a tömegpontokat jellemző γ 1, γ 2 súrlódási együtthatók különbözhetnek.) [4] 8.8. Gyakorló feladat. A Lagrange Rayleigh-formalizmus alkalmazható nemlineáris súrlódási erőkre is. Adjuk meg a Rayleigh-függvényt 3D tömegpontra, ha a súrlódási erő a sebességgel ellentétes irányú és a: állandó nagyságú (Coulomb súrlódás); b: a sebesség négyzetével arányos (ritka közegre jellemző ellenállás). Az a esetben vegyünk fel tapadási és csúszási súrlódási erőket az általános iskolában megismert módon és diszkutáljuk a problémát. [3-2]
2018. január 24. 17:53:02 139 8.3 Csillapított harmonikus oszcillátor () 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 8.3. Csillapított harmonikus oszcillátor () Az alábbiak az egyensúly kis környezetében, itt kvadratikus minimummal rendelkező, általános potenciálra is érvényesek. A Lagrange- és a sűrű közegbeli disszipációs függvény L = m 2 x 2 k 2 x2, R = 1 2 γ x 2, (8.26) a mozgásegyenlet pedig m x = kx γ x x = ω0x 2 αx, ahol α = γ/m. (8.27) A mozgásegyenlet állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenlet, ezért keressük a megoldást x e λt (8.28) alakban, amelynek behelyettesítésével nyerjük λ 2 + αλ + ω0 2 = 0 λ ± = α α 2 ± 2 4 ω2 0 (8.29) A λ ± ráták a paraméterektől függően lehetnek komplexek vagy valósak, velük az általános megoldás x(t) = A + e λ +t + A e λ t. (8.30) 8.3.1. Gyenge csillapítás (2ω 0 > α) A két ráta komplex, egymásnak konjugáltjai λ ± = α 2 ± iω, ahol ω = ω 2 0 α2 4 < ω 0, (8.31)
8.3 Csillapított harmonikus oszcillátor () 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK tehát az általános megoldás x(t) = A + e λ +t + A e λ t = e α 2 t (A 1 cos ωt + A 2 sin ωt). (8.32) Megjegyzés: A relaxációs ráta α/2, nem pedig α! A relaxációs idő τ = 2/α, amely elteltével az amplitúdó e-ad részére csökken. Jósági tényező: a mozgás frekvenciájának és a csillapítási tényező viszonya Q = Im λ 2 Re λ = ω α. (8.33) 8.9. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy Q az amplitúdó e π 0, 043-ad részére csökkenésének ideje alatt végzett oszcillációk száma. [1] A súrlódási erő teljesítménye arányos a kinetikus energiával. E = 2R = γx 2 = 2γ K, (8.34) m 8.10. Gyakorló feladat. Hányad részére csökken az energia a T periódusidő Q-szorosának elteltével? [2] A trajektóriát az x(0) = x 0 és az x(0) = v 0 KF-hez illesztve kapjuk x(t) = e α 2 t x 0 cos ωt + e α 2 t ω 1 ( v 0 + αx 0 2 ) sin ωt. (8.35) 8.11. Gyakorló feladat. Adjuk meg a disszipált teljesítmény képletét a (8.35) általános megoldás alapján! [2] Az energia tipikus időbeli változását a 37/a. ábra mutatja. Fázistér: A mozgás az (x = 0, v = 0) egyensúlyi helyzethez tart, ez tehát vonzó határhalmaz, azaz attraktor, ld. 37/b. ábra. A konzervatív rendszerbeli elliptikus fix pontot vonzó fix pont váltja fel. Általában disszipatív rendszerekben bonyolultabb attraktorok is megjelenhetnek, kaotikus mozgás különös attraktorhoz tart. 2018. január 24. 17:53:02 140
8.3 Csillapított harmonikus oszcillátor () 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 2018. január 24. 17:53:02 141 E (a) T t (b) 37. ábra. (a) Az energia lefutása az időben és (b) tipikus fázistérbeli pálya gyenge csillapítás mellett. 8.12. Gyakorló feladat. Vegyük észre a 37/b. fázistérbeli ábrán elkövetett kis hibát! [1] Megjegyzés: Már Galilei észrevette, hogy a csillapodás alatt állandó a periódusidő, éspedig számértékében hosszabb, mint csillapodás nélkül. 8.3.2. Erős csillapítás (2ω 0 < α) A két ráta valós λ ± = α 2 ± β, ahol β = α 2 4 ω2 0 (8.36)
8.3 Csillapított harmonikus oszcillátor () 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK A KF-hez illesztett formulát a (8.35) alapján közvetlenül megkaphatjuk az behelyettesítéssel iβ = ω, cos iβ = ch β, sin iβ = i sh β (8.37) ( x(t) = e α 2 t x 0 ch βt + e α 2 t β 1 v 0 + αx ) 0 sh βt. (8.38) 2 Mivel β < α/2, azért mindkét tag lecseng nagy időkre. A mozgást a 38. ábrán illusztráljuk. 8.3.3. Anharmonikus határeset (2ω 0 = α) Ekkor β = ω = 0, és az egyetlen ráta λ ± = α/2. Így nem kapunk automatikusan két lineárisan független megoldást. a. Állandó variálásának módszerével Innen Induljunk ki a következő próbafüggvényből A mozgásegyenlet, s megoldása tehát x = ae α 2 t α α 2 ae 2 t, x(t) = a(t)e α 2 t. (8.39) ( x = a αa ) + α2 4 a e α 2 t. (8.40) x + αx + α2 4 x = 0 a aα + α2 4 a + α a α2 2 a + α2 4 a = 0 a = 0 a(t) = a 0 + a 1 t. (8.41) 8.13. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy dn dt n [g(t)h(t)] = n k=0 ( n k ) g [k] (t)h [n k] (t)! [4] 2018. január 24. 17:53:02 142
8.3 Csillapított harmonikus oszcillátor () 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 2018. január 24. 17:53:02 143 (a) 38. ábra. (a) Fázistér és (b) időbeli lefutás erős csillapítás esetén x 0 = 0 és v 0 > 0 mellett. (b) b. Határátmenettel A (8.35) megoldásból az ω 0 limeszben kapjuk ( x(t) = e α 2 t x 0 + te α 2 t v 0 + αx ) 0, (8.42) 2 mely a KF-hez illesztett. Ugyanezt nyerjük az erős csillapítás melletti trajektóriából a β 0 limeszben.
2018. január 24. 17:53:02 144 8.4 Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor () 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 8.4. Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor () Gerjesszük mf(t) külső erővel a csillapított oszcillátort L = 1 2 m x 2 1 2 mω2 0x 2 + xmf(t), R = 1 mαx 2 x + αx + ω 2 2 0x = f(t). (8.43) 8.4.1. Harmonikus gerjesztés a. Általános frekvenciával Vizsgáljunk külön egy tagot s egy hozzá tartozó partikuláris x megoldást f(t) = F 0 cos(ωt) = F 0 (e iωt + e iωt )/2. (8.44) f(t) = F 0 e iωt x(t) = Xe iωt x(t) = ( x(t) + x (t))/2 = Re x(t). (8.45) A mozgásegyenletbe helyettesítés után kapjuk a komplex amplitúdót Magától értetődő jelöléssel írhatjuk XΩ 2 + iαωx + ω 2 0X = F 0 X = X = 1 a + ib = Ae iδ A = F 0 ω 2 0 Ω 2 + iαω. (8.46) 1 a2 + b 2 = F 0 (ω 2 0 Ω 2 ) 2 + α 2 Ω 2, (8.47) a + ib = eiδ A tg δ = b a = αω ω 2 0 Ω 2 x(t) = Xe iωt = Ae i(ωt δ). (8.48)
8.4 Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor () 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK δ A α=0.2 ω 0 α=0.5 ω 0 α=ω 0 π α 1 α 0=0 α 2 π/2 α 3 F 0 /ω 0 2 Ω 0 (a) A rezonanciagörbe. Ω ω 0 (b) A fázistolás α 0 = 0 < α 1 < α 2 < ω 0 < α 3 mellett. Ω 39. ábra. Csillapított harmonikus oszcillátor. A valós gerjesztéshez tartozó partikuláris megoldás x(t) = Re x(t) = Re Ae i(ωt δ) = A cos(ωt δ). (8.49) Az A valós amplitúdót és a δ fázistolást különböző α-k mellett a 39. ábra mutatja. Megjegyzés: Mivel az arctg értékkészlete konvenció szerint a ( π/2, π/2) intervallum, azért Ω-ban folytonos függvényt a következő alakban írhatunk A fázistolás δ = π/2, ha Ω = ω 0. δ = arctg αω ω 2 0 Ω 2 + πθ(ω ω 0). (8.50) 2018. január 24. 17:53:02 145
8.4 Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor () 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 2018. január 24. 17:53:02 146 (a) 40. ábra. Gerjesztett csillapított oszcillátor. (a) Trajektóriák a fázistérben határciklushoz tartanak. (b) A rendszer energiájának időbeli változása: energiafelvétel és -leadás. (b) Az inhomogén mozgásegyenlet általános megoldását a homogén egyenlet (8.32) általános megoldásának hozzáadásával nyerjük, például gyenge csillapítás mellett x(t) = A cos(ωt δ) + e α 2 t (B cos ωt + C sin ωt). (8.51) Nagy időkre csak az első tag marad meg. A formula csillapítás nélkül is érvényes. Ha a külső és a saját frekvencia hányadosa irracionális (azaz a két frekvencia inkommenzurábilis), a trajektória nem periodikus, hanem ún. kváziperiodikus. A csillapított oszcillátor fázistérbeli tipikus pályájáit ill. ezeken az energia időfüggését a 40. a-b ábra mutatja.
2018. január 24. 17:53:02 147 8.4 Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor () 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 8.14. Gyakorló feladat. Illesszük a t = 0-ban felvett KF-hez az általános megoldást! (Ez formális kérdés, ugyanis tartósan ható külső gerjesztés esetén általában nem bír jelentőséggel a KF.) [3] 8.15. Gyakorló feladat. Adjuk meg s ábrázoljuk az energia időbeli változását a kezdetben nyugalomban levő tömegpont esetén az alul- ill. túlcsillapított, valamint az anharmonikus határesetben. [4] 2017.10.17 2017.10.20 b. Rezonáns gerjesztés Milyen Ω = Ω 0 gerjesztő frekvencia mellett maximális az amplitúdó? A (8.47) gyök alatti kifejezése ekkor minimális [ (ω 2 Ω 2 0 Ω 2 ) 2 + α 2 Ω 2] = 2(Ω 2 0 ω0) 2 + α 2 = 0 Ω 0 = Ω0 Maximum csak az ω 0 α/ 2 esetben található. Az amplitúdó maximuma ω 2 0 α 2 /2. (8.52) A(Ω 0 ) = F 0 α ω0 2 α 2 /4 = F 0 αω. (8.53) Összefoglalásul, három féle jellegzetes frekvenciát találtunk ω 0 a csillapítás nélküli sajátfrekvencia, itt δ = π/2, ω = ω0 2 α 2 /4 a gyengén csillapított oszcillátor sajátfrekvenciája, Ω 0 = ω0 2 α 2 /2 itt maximális az amplitúdó. (8.54) 8.16. Gyakorló feladat. Számítsuk ki a félértékszélességet, azaz annak az intervallumnak a hosszát, amelynek széleit a csúcs értékének fele jelöli ki. Mivel közelíthetjük kicsiny α mellett, s ez a jósági tényezővel milyen kapcsolatban áll? [4]
8.4 Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor () 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 8.4.2. Általános gerjesztés A Green-függvény módszerével oldjuk meg x(t) = [G f](t) = G(t t )f(t )dt, (8.55) ahol a retardált Green-függvény G(t) a Dirac-delta gerjesztéshez tartozó (folytonos) megoldás G + αg + ω0g 2 = δ(t), G(t < 0) 0. (8.56) Az egyenletet τ és τ között integrálva és a τ 0 limeszt véve kapjuk A KF most is G(0) = 0 és G(t) +τ τ +O(τ) = 1 G(0 + ) = 1. (8.57) G(0 + ) = 1. A (8.35) és (8.38) általános megoldást a KF-hez illesztve kapjuk G(t) = θ(t)e α 2 t { 1 /ω sin ωt, ha ω 0 > α /2, 1/β sh βt, ha ω 0 < α /2. (8.58) A Green-függvény behelyettesítésével (8.55) tetszőleges gerjesztésre előállítja a trajektóriát. 8.17. Gyakorló feladat. Adjuk meg a Green-függvényt az anharmonikus határesetben (ω 0 = α /2)! [1] 8.18. Gyakorló feladat. A kezdetben nyugalomban levő csillapított oszcillátorra hassunk a t = 0-ban bekapcsolt gerjesztő erővel, f(t) = θ(t)f 0 cos Ωt. Határozzuk meg a trajektóriát! [3] Megjegyzés: A mozgásegyenlet Fourier-transzformációjával is felírhatjuk a Green-függvényt ( ω 2 + iαω + ω 2 0 ) xω = f ω, (8.59) 2018. január 24. 17:53:02 148
8.4 Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor () 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 2018. január 24. 17:53:02 149 ahonnan G ω = A G(t)-nek a (8.58)-ben adott kifejezése éppen ezen G ω Fourier-transzformáltja. 1 ω 2 0 ω 2 + iαω. (8.60) 8.19. Gyakorló feladat. Írjuk fel az avanzsált Green-függvényt, vagyis azt, amely a δ(t) erőhatást követően azonosan zérus! Ennek van-e, s ha igen, mi a Fourier-transzformáltja? [2-2] Megjegyzés: A trajektóriák perturbációszámítására a 7.9.3 fejezetben leírt szukcesszív approximáció módszere a csillapított mozgásra is alkalmazható a perturbált harmonikus potenciál esetén a (8.58) Green-függvénnyel.
9. Síkmozgások 2D 9 SÍKMOZGÁSOK 2D 9.1. Potenciálmozgás csillapítással E fejezetben tömegpont 2D potenciálmozgását vizsgáljuk. Először súrlódási erőt is figyelembe veszünk, később ezt elhagyjuk s a konzervatív rendszerre szorítkozunk. A következő Lagrange- és disszipációs függvényekből indulunk ki L = m 2 r 2 V (r), R = mα 2 r 2. (9.1) A mozgásegyenlet δs δr = δd δr m r = V (r) mα r. (9.2) Egyensúlyi helyzet: r, ha V r = 0. Potenciálgödör mélyén (r stabil egyensúlyi helyzet) α = 0 oszcillál r körül, α > 0 relaxál r -hoz. Válasszuk r = 0-nak és fejtsük sorba a potenciált ahol a következő jelölést használtuk V (r) V (0) + 1 2 V ij = 2 V (r) x i x j A V ij mátrix szimmetrikus, ezért ortogonális transzformációval diagonalizálható. ( V11 x 2 + 2V 12 xy + V 22 y 2), (9.3) (x 1 = x, x 2 = y). (9.4) 0 2018. január 24. 17:53:02 150
9.2 Lissajous-görbék 9 SÍKMOZGÁSOK 2D 2018. január 24. 17:53:02 151 9.1. Gyakorló feladat. Fejezzük ki a sajátértékeket és a sajátvektorokat két dimenzióban a V ij mátrixelemekkel! [2] Tekintsük a harmonikus potenciált a diagonalizáló koordinátákkal V (r) = m 2 (ω2 1x 2 + ω2y 2 2 ). (9.5) A mozgásegyenletek x = ω1x 2 αx, y = ω2y 2 αy. (9.6) A csillapítást hagyjuk el (α = 0), ekkor a megoldást írhatjuk a következő alakban amelynek energiája x(t) = A 1 sin(ω 1 t + δ), y(t) = A 2 sin ω 2 t, (9.7) E = m 2 ( x 2 + y 2 ) + V (r) = m 2 (ω2 1A 2 1 + ω 2 2A 2 2). (9.8) 9.2. Lissajous-görbék A fázistér 4D, a pályákat szemléltethetjük metszetben. Legyen és egy A 1 sugarú henger palástjára rajzoljuk fel az ϕ = ω 1 t, (9.9) y(ϕ) = A 2 sin ω 2 t = A 2 sin ω 2 ω 1 ϕ (9.10)
2018. január 24. 17:53:02 152 9.2 Lissajous-görbék 9 SÍKMOZGÁSOK 2D görbét folytonosan növekvő ϕ mellett a 41.a. ábra szerint. Ha a görbét a ϕ = 0 pozícióhoz képest δ szöggel visszafelé forgatott függőleges síkra vetítjük, akkor a vízszintes koordináta vetülete éppen x(ϕ) = A 1 sin(ϕ + δ). (9.11) A síkvetület az (x, y) síkbeli pálya, ezt nevezzük Lissajous-görbének, ld. 42. ábra. A fenti kifejezések a pályát ϕ-vel paraméterezik. A pályák a hengeren záródnak, azaz a Lissajous-görbék zártak, ha ω 2 /ω1 = p /q racionális. Ha ω 2 /ω1 irracionális, akkor a pálya nem zárt, idővel lefedi a hengert. A Lissajous-görbék érzékenyek a hangolásra: kis racionális frekvencia hányadosok jól detektálhatók. (A digitális grafika előtti analóg eljárás.) (a) Az y(ϕ)a hengeren. (b) Felülnézet: vetítés függőleges síkra. 41. ábra. Lissajous-görbe szerkesztése. A henger elfordításával különböző δ-kat állíthatunk be.
9.3 Anharmonikus potenciálok 9 SÍKMOZGÁSOK 2D 2018. január 24. 17:53:02 153 42. ábra. Lissajous-görbék. Felső sor: ω 1 = ω 2 (az amplitúdók egyenlők), rendre δ = 0, 0 < δ < π 2, δ = π 2 ; alsó sor: 2ω 1 = ω 2, rendre δ = 0, δ = π 8, δ = π 4. 9.2. Gyakorló feladat. Adjuk meg a pálya egyenletét az (x,y) síkban ω 1 = ω 2 mellett különböző δ-kra! [2] 9.3. Anharmonikus potenciálok Centrális potenciál: V (r) = V (r) alább tárgyaljuk. Általános V (r) potenciálban a mozgás tipikusan kaotikus.