Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1
A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival körülírt alapfogalomnak tekintjük. A halmaz bizonyos jól meghatározott, különböző objektumoknak az összességét jelenti. A halmazt alkotó objektumok a halmaz elemei, az elem fogalmát is alapfogalomnak tekintjük. A halmazokat általában latin nagybetűkkel (H,K,L,...), elemeit pedig latin kisbetűkkel (h,k,l,...) jelöljük. Egy halmazban annak mindegyik eleme csak egyszer fordul elő, és az elemek sorrendje tetszőleges. Egy halmaz akkor tekinthető adottnak, ha minden elemről egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy benne van-e az adott halmazban vagy sem. Halmazelmélet p. 2/1
Halmazok megadása A halmaz megadása az elemeinek megadását jelenti, amely az alábbi módon történhet: Elemeinek megadásával, felsorolással: G := {4, 6, 8, 10} H := {1, 2, 3, 4, 5, 6} K := {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} Elemeit valamely rájuk jellemző pontos tulajdonsággal írjuk le: L := {páratlan számok} M := {n 20 n természetes szám és páros} N := {x x R, 0 x 10} Halmazelmélet p. 3/1
Halmazok elemszáma Ha egy halmaznak véges sok eleme van, akkor véges halmazról beszélünk. Pl.: H, K és az M. Ennek ellentétes esete a végtelen halmaz. Pl.: L, N. Van olyan halmaz is, aminek egy eleme sincs, ez az üres halmaz. Jele:, {}. Definíció. Két halmaz egyenlő, ha elemeik megegyeznek. Például: K = M,deK L. Halmazelmélet p. 4/1
Részhalmaz Definíció. A H halmaz a K halmaz részhalmaza, haah minden eleme benne van a K halmazban is. Ennek jelölése: H K. Ha a H halmaz a K halmaznak részhalmaza, de H K, akkor a H valódi részhalmaza a K-nak. Ennek jelölése: H K. Megjegyzés. Az üres halmaz része minden halmaznak, és minden halmaz része önmagának: H, H H. Ezeket a részhalmazokat triviális részhalmazoknak nevezzük. Példa. G M, M K, K M. Tétel. A H és K halmazok pontosan akkor egyenlőek, ha H K és K H tartalmazás egyidejűleg fennáll. Halmazelmélet p. 5/1
Hatványhalmaz Definíció. Egy adott H halmaz összes részhalmazainak halmazát a H hatványhalmazának nevezzük. Jele: P (H), vagy 2 H. Példa. Ha H = {a, b, c}, akkor P (H) ={, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Tétel. Ha egy H halmaznak n darab eleme van, akkor a P (H) halmaznak 2 n eleme van. Halmazelmélet p. 6/1
Halmazműveletek Unióképzés, metszetképzés, két halmaz különbsége, egy halmaz alaphalmazra vonatkozó komplementere. Halmazelmélet p. 7/1
Unió Definíció. Két (vagy több) halmaz uniója (egyesítése) azoknak az elemeknek a halmaza, melyek a megadott halmazok közül legalább az egyikben benne vannak. Jele:. Szimbólumokkal: H K = {x U x H vagy x K}. Minden H, K, L U halmaz esetén az unióképzésre teljesülnek a következő tulajdonságok: H K = K H, azaz kommutatív; H (K L) =(H K) L, azaz asszociatív; H H = H, azaz idempotens; H U = U; H = H. Halmazelmélet p. 8/1
Metszet Definíció. Két (vagy több) halmaz metszete (közös része) azoknak az elemeknek a halmaza, melyek a megadott halmazok mindegyikében benne vannak. Jele:. Szimbólumokkal: H K = {x U x H és x K}. Minden H, K, L U halmaz esetén a metszetképzésre teljesülnek a következő tulajdonságok: H K = K H, azaz kommutatív; H (K L) =(H K) L, azaz asszociatív; H H = H, azaz idempotens; H U = H; H =. Definíció. Azt mondjuk, hogy két halmaz diszjunkt (idegen), ha metszetük az üres halmaz, vagyis ha H K =. Halmazelmélet p. 9/1
Unió és metszet kapcsolata Az unió- és metszeteképzésre H, K, L U halmaz esetén teljesülnek az alábbi állítások: abszorbciós tulajdonság: disztributivitás: H (H K) =H, H (H K) =H. (H K) L =(H L) (K L), (H K) L =(H L) (K L). Halmazelmélet p. 10/1
Különbség Definíció. A H és K halmaz különbségén a H összes olyan elemének halmazát értjük, melyek nincsenek benne a K halmazban. Jele: H \ K. Szimbólumokkal: H \ K = {x H x / K}. Halmazelmélet p. 11/1
Komplementer képzés Definíció. A H halmaznak az alaphalmazra vonatkozó komplementere (kiegészítő halmaza) az U \ H halmaz. Jele: H c vagy H. Szimbólumokkal: H c = {x U x / H}. Tetszőleges H, K, L U halmazra teljesülnek a következők: U c =, c = U; (K c ) c = K: K K c = U, K K c = ; ha K = H, akkor K c = H c ; K H, akkor H c K c ; De Morgan-azonosságok: (K H) c = K c H c, (K H) c = K c H c ; H \ K = akkor és csak akkor, ha H K. Halmazelmélet p. 12/1
A természetes számok halmaza Definíció. Az N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...} halmazt a természetes számok halmazának nevezzük. Ebben a halmazban két műveletet értelmezünk, az összeadás és a szorzás műveletét: n, m N esetén n + m N és n m N. Halmazelmélet p. 13/1
Az egész számok halmaza Definíció. A Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} halmazt az egész számok halmazának nevezzük. Ebben a halmazban három műveletet értelmezünk: az összeadás, a kivonás és a szorzás műveletét. x, y Z esetén x + y Z, x y Z és x y Z. Látható, hogy N Z. Halmazelmélet p. 14/1
A racionális számok halmaza Definíció. A Q = { p q } p, q Z, q 0 halmazt a racionális számok halmazának nevezzük. A p kifejezést közönséges törtnek q mondjuk, melynek p a számlálója, q anevezője. Ebben a halmazban négy műveletet értelmezünk: az összeadás, a kivonás, a szorzás és az osztás műveletét. x, y Q esetén x+y Q, x y Q, x y Q és x y Q (y 0) Látható, hogy ebben a halmazban már a szorzás inverz művelete, az osztás is elvégezhető, valamint az, hogy N Z Q. A racionális szám tizedestört alakja vagy véges, vagy szakaszosan ismétlődő végtelen tizedestört. Halmazelmélet p. 15/1
A valós számok halmaza Definíció. Léteznek olyan számok, amelyek tizedestört kifejezése végtelen, de nem szakaszosan ismétlődő. Ezeket irracionális számoknak mondjuk. Ilyen számok például a 2 és a π. Definíció. A racionális és az irracionális számok halmazának unióját a valós számok halmazának nevezzük és R-rel jelöljük. R Q Z Q N Halmazelmélet p. 16/1
A valós számok kiterjesztése Definíció. Az R b := R {, + } halmazt a valós számok kibővített halmazának nevezzük. Ebben a halmazban < + és minden x R-re teljesül, hogy <x<. Megjegyzés.Az R + halmaz a pozitív valós számokat tartalmazza, azaz R + = { x R x>0 }. Definíció. Legyen x R. Ekkor és x +(+ ) =+ + x =+, x +( ) = + x = x + = x =0 Halmazelmélet p. 17/1
ha x>0, akkor x (+ ) =(+ ) x =+, x ( ) =( ) x = ha x<0, akkor x (+ ) =(+ ) x =, x ( ) =( ) x =+ (+ )+(+ ) =+, ( )+( ) =, (+ ) =, ( ) =+, (+ ) (+ ) =+, ( ) ( ) =+, (+ ) ( ) =, ( ) (+ ) = Halmazelmélet p. 18/1
Megjegyzés. Az alábbi szimbólumokat nem értelmezzük: (1) (+ )+( ), (2) ( )+(+ ), (3) 0 (+ ), (4) 0 ( ), (5) (+ ) 0, (6) ( ) 0, (7) (9) + +, (8) +, +, (10) Halmazelmélet p. 19/1