Dr. Csereg Sols, Trsol Péter HIBAELMÉLET Sékesehérvár, 8
Trtlojegék. A MÉRÉSI HIBÁK ÉS CSOPORTOSÍTÁSK... 3.. A DRVA HIBA ÉS AZ ÁLHIBA... 3.. SZABÁLYOS ÉS SZABÁLYTALAN HIBA... 4.3. HIBAELMÉLETI KÖVETKEZTETÉSEK:... 6.4. A KÖZÉP-TELJESHIBA ÉS A KÖZÉP-VÉLETLENHIBA... 6. A PONTOSSÁG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG MEGÁLLAPÍTÁSÁRA SZOLGÁLÓ MENNYISÉGEK... 7.. A PONTOSSÁG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG FOGALMA... 9.. MEGBÍZHATÓSÁGI MÉRİSZÁMOK....3. A SÚLY FOGALMA....4. KÖZELÍTİ SÚLYOK FELVÉTELE A GYAKORLATBAN GYAKRABBAN ELİFORDLÓ MÉRÉSEKHEZ... 3.5. KÉT VÁLTOZÓ KAPCSOLATÁNAK JELLEMZÉSE... 5 3. A HIBATERJEDÉS FOGALMA... 5 3.. HIBATERJEDÉS ADOTT SZÁMMAL VALÓ SZORZÁS ESETÉN... 6 3.. HIBATERJEDÉS ÖSSZEG ÉS KÜLÖNBSÉG ESETÉN... 7 3.3. HIBATERJEDÉS ÁLTALÁNOS ESETBEN... 9 3.4. KÖVETKEZTETÉSEK A HIBATERJEDÉS ÁLTALÁNOS KÉPLETÉBİL... 3.5. PÉLDÁK A HIBATERJEDÉS ALKALMAZÁSÁRA... 3 4. A KIEGYENLÍTİ SZÁMÍTÁS ALAPELVE ÉS A LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE... 7 4. A GASS-FÉLE HIBATÖRVÉNY... 8 4.. EGY ISMERETLENRE VÉGZETT KÖZVETLEN MÉRÉSEK KIEGYENLÍTÉSE... 8 4... A kegelítés végrehjtás egelı egíhtóságú érés eredéekkel... 8 4... A kegelítés végrehjtás külööı egíhtóságú érés eredéekkel... 3 4.3. ODA-VISSZA MÉRÉSEK KIEGYENLÍTÉSE... 3 4.4. SZÁMPÉLDÁK AZ EGY ISMERETLENRE VÉGZETT KÖZVETLEN MÉRÉSEK KIEGYENLÍTÉSÉRE... 3 4.4.. Egségsúlú érések kegelítése... 3 4.4.. Külööı súlú érések kegelítése... 34 4.4.3. Od-vss érések kegelítése... 35 5. ZÁRÓHIBÁK ELOSZTÁSA... 36 6. A MÉRÉSEK MEGBÍZHATÓSÁGA ÉS A KÖZÉPHIBA MINT A MEGFIGYELÉSEK SZÁMÁNAK FÜGGVÉNYE... 39 6.. A MÉRÉSEK ISMÉTLÉSÉNEK HATÁSA ÖSSZEFÜGGÉSEK A SÚLY ÉS A KÖZÉPHIBA KÖZÖTT... 4 6.. SZÁMOLÁSI PÉLDÁK... 4 7. FELHASZNÁLT IRODALOM... 43
. A érés hák és soortosításuk A érés eredée áltlá e egek éredı eség vlód, hátl érısáávl. A érés sorá ol érés eredét kuk, el töé-kevésé hás. H ltt eghtárodó eség ért és vlód értékéek külöségét értjük. A érés hák léteésérıl ölös érések végésével gııdhetük eg. Fölös érés kkor keletkek, h tö dtot érük eg, t e egold kívát eldt tetklg egértelő eghtároásáho eltétleül sükséges. A ölös érés eleveésıl ehog élreértés sárék. Eeket egáltlá e elesleges egér. Jeletıségük - t késıeke lát ogjuk - ıleg otosság övelı sereüke v. Fölös éréseket két, egástól jól elkülöíthetı ódo állíthtuk elı. A egk ód ugk eségek tösör egérése. Egetle eg eség eghtároásár elvleg elegedı t egser egér. A esete, h eg eséget egástól üggetleül -ser érük eg, kkor - ölös érés keletkek. H éréseket ol ódo végetük, hog érıeskö leolvsó kéességét teljese khsáltuk, t ogjuk tstl, hog eges érés eredéek érés hák követketée áltlá külööek egástól. A ölös érések végéséek ásk ódj, hog egássl össeüggése lévı eségek köül töet érük eg, t e össeüggést redsert geoetr eltételt kejeı egelet, lletve egeletredser egértelő egoldásáho sükséges. Ee esete t ogjuk tstl ugsk érés hák jeleléte tt -, hog érés eredéek e elégítk k elletodásetese egeletet, lletve egeleteket. Pl. eg síkhárosög elsı sögeek eghtároásáho elegedı két söget o egér, hrdk sög érısá β ϕ 8 egeletıl sáíthtó. H d háro elsı söget egérjük, kkor eg ölös érés keletkek. At ogjuk tstl, hog háro érés eredé össege érés hák tt eltér 8 októl. A érés hák érıesköök tökéletleségéıl és éslelı háól, vlt érés külsı körüléeek és eek dıel váltoásák htásáól sárk. A érés hákt terésetük sert tö soort sorolhtjuk. A külöéle terésető hák ás ódo htk érés eredéekre, és htásukt ás ódo kell gelee ve és sökkete. A érés hákt vsgálv, elısör durv hákr kell ráuttuk, hog eutá tová tárglásokól krekesthessük okt... A durv h és álh Durv hák eveük t hát, elk léegese elülúlj lklott érıesköel és ódserrel végrehjtott érése ég eltőrhetı leggo hértéket. Durv hát követük el kkor, h tévese olvssuk le éter értékét, vg h sögérı őserél rossul olvssuk le okokt, vg e t otot érjük, elk sükséges. 3
A durv h ok legtösör éslelı geletlesége, ésleléshe sükséges koetrálás há. A durv hávl terhelt érés eredét e hsálhtjuk el, le érést eg kell sétel. A durv hák elle védekeésül, éréseket dg leggodos kell végrehjt. Godos uk ellett s elkövethetük véletleül durv hát. Eért éréseket élserő körüléektıl üggıe dg úg végrehjt, hog durv hák eledehetık legeek. Erre egséges, de esete gdságos lklhtó végrehjtás ódot egd e lehet, de egelíthetjük, hog eg le gkr hsált ód ölös érések végése. A éréseke és eldolgoás sté durv eltérést okok u. álhák. Álh ol h, el érés eredéekıl leveetett értékeke hás kéletekek eredéekée jeletkek. Ok lehet érést vg sáítást végı seél geletlesége s, de lehet e egelelı érés vg sáítás ódser lklás s. A álhák elle védekeésül éréseket és sáításokt dg lehetı leggodos, egelelıe átgodolt kell végeük. A durv hákt krekestve tová tárgláskól, össes egé érés hát két lvetı soort: sálos és sáltl hák soortjá sorolhtjuk... Sálos és sáltl h Sálos hák okt hákt eveük, elekek sáértéke érések egsétlése lklávl vg álldó rd, vg váltok, de ee egoldlú tede uttkok. Ee soort redkívül sokéle érés h trtok. Mgukkl eges érés eljárások sálos horrásvl érés eljárásokt sertetı ejeete ogllkouk. A sálos hák éhá jellegetes tíus sorolhtók.. Aelek sálosság lvául eg, hog értékük érések sétlése sorá e váltok, álldó rd. Eeket álldó hák eveük. Ile jellegő sálos h k távérık össedó álldój, steı léek tlot háj, gsság sögérés deháj, st.. Aelek htás ügg éredı eség gságától: Pl. érıslgok, steıléek korálás háj. Fk távérık rekve háj, érıslgok eghúásáál húóerı álldó háják htás. Más esete h éredı eséggel ksolt lévı ás eségtıl ügg. Pl. kolláó h, ekvıtegel erdeség h htás, el gsság sögtıl ügg. Steésél őser gítás háják htás hátr és elıre ráás távolságkülöségével ráos. 3. Aelekek htásár ég ugk eségek sételt egérésekor s váltok eges érés eredéeke jutó sálos h sáértéke, de eges hák elıjele ég dg álldó. Eek hák ok steésél lé e üggıleges volták erdeségéek htás. A érés eredé értéke váltoht ug ttól üggıe, hog eges érésekél le értékő érıslg végeek egeeshe vsoított ktérése, de dg télegesél go érısáot kuk. Íg érés h elıjele dg ug. Htáresetkét elkéelhetı érus értékő h, kor véletleül de érıslg vég ráesk egeesre, de elletétes elıjelő h e léhet el. 4
4. Végül vk ol tíusú sálos horrások, elekek htásár eges érés eredéek háj esk sáértékre váltok, he elıjelre s. A eges sálos hák elıjeléek váltoás o ol, hog elıjelük túloó oos. Eekre tíusú sálos hákr sk jelleı, hog össegük és íg sát köéértékük s érustól külööı sá. Pl. steésél steés sksok áróháják össege áltlá otív lésülledés követketée. Véletle, vg sáltl hákk okt hákt eveük, elek érés egsétlése lklávl d elıjelre, d oos htárok köött gságr éve s véletle sert jeletkeek. A sáltl hák keletkeése go sok, túloó seretle horrásr veethetı vss. Eekek horrásokk ok ok ele állotváltoások, elek érés ltt ősere, éslelıe és érés köegée vége eek. Gdságosság seotól gkr sert sálos hákt e küsöölük k, ert e eldt ıségét e eolásolj. Pl. hossérésél érıslgot gkr kéel húuk eg és íg esítıerı e álldó. Thetráál sk eg távsıállás érük. Steésél gkr elegedı sk lééssel kér távolságot. Íg eekıl eredı hákt s sáltl hák köé redeljük eekél érésekél, k elleére, hog go jól serjük eek kküsöölés ódjt. A elııeke egserkedtük sálos és sáltl hávl; érés eredée lévı vlód h jel: e vg áltlá eıl két hjtáól tevıdk össe, Vlód h sálos h sáltl h A sálos hák oos redserességgel, eghtároott elıjellel eolásolják érés eredéeket. A sálos hák kküsöölésére vg htásuk sökketésére töreksük. A sálos hák kívül állk kegelítı sáítás köré; elıordulht o, hog vlle sálos hát ée kegelítés ódserével htárouk eg. A sáltl vg véletle hák értéküket d elıjelre, d oos htároko elül gságr s redserteleül váltottják. Mvel vlósíőség sert de érés sorot egelıe lehetek oos gságú otív és egtív elıjelő véletle sáltl hák, go sáú érés eseté eltehetjük, hog érés sorot véletle hák köéértéke és íg össege s érus. A eltevés helessége ál vlósíő, él tö érésıl áll érés sorot. Eges eseteke külöséget tesük sáltl és véletle h köött. A véletle hák körét sáltl hák köré elül érteleük úg, hog sáltl hákól levojuk k e küsöölt sálos hák htását, és véletle h ltt sk íg egrdó hrést értjük. A véletle hák elkerülhetetleek, érés eredéeket dg terhelk. A kegelítı sáítás véletle hákkl terhelt érés eredéekkel ogllkok. A vlód h vlel eség vlód értékéek és ért vg érés eredéıl leveetett értékéek külösége. A vlód értéket áltlá e serjük, íg vlód h ká sk elélet oglo. Vlód érték l. eg hárosög sögeek össege, és h sögeket egértük, össegükre vlód h ug egállíthtó, de eges érés eredéek vlód háj égs eghtárohttl rd. 5
A helélete elıorduló leveetések és kéletek köe egértése végett továk tárglás elıtt élserőe egserősítı jelöléseket veetük e. A össegés egserősítı jelölése: [ ]... H htárok gától érthetıdıek: [ ] A köéérték kéés egserősítı jelölése:....3. Helélet követketetések: A érés eredéeke lévı vlód h áltláosság de esete eg sálos és eg sáltl résıl tevıdk össe: sálos sáltl A sálos h köéértéke e ull, he vlle sáérték; h sálos háól levojuk k köéértékét, rdék sáltl háho hsoló ull köéértékő les. Bárel érés háj: v, hol -» sálos h köéértékéek és álldó gságú hák össege, álldó h -v» véletle h, el össetevıdk sáltl háól és ól résıl, sálos háól vssrd, h elıle k köéértékét levojuk, véletle h köéértéke érus hsoló sáltl háho.4. A köé-teljesh és köé-véletleh H érés eredé hál álldó és véletle rést s trtl, kkor köéhák s les álldó és véletle rése. v v... v égetre eelve v v v v... össegeve v v [ ] [ ] [ ] ostv -el [ ] [ v] [ ] v v v [ ] [ v] [ ] ; v ; v v» köé-teljesh v» köé-véletleh» h álldó rése 6
. A otosság és egíhtóság egállításár solgáló eségek Vlósíőség váltoók eveük okt eségeket, elek értékét véletle eolásolj. Eg vlósíőség váltoó dskrét, h egsáálhtó sok értéke lehet, és oltoos h e egsálálhtó sok értéke lehet. A érés eredéek oltoos vlósíőség váltoók, k elleére, hog értéküket sk korlátoott élességgel htárouk eg, ert ee értékek végtele sok lehetséges érték kerekítéséıl sárk. A oltoos vlósíőség váltoókt két tuljdoságuk vsgáltávl jelleehetjük: eloslásüggvéel és sőrőségüggvéel. A eloslásüggvé deíój: Vlel ξ oltoos vlósíőség váltoó F eloslásüggvée eξ< eseé vlósíőségét írj le, tehát F. Mooto e sökkeı, tehát F F, h. Ak vlósíősége, hog ξ, d trtoá esk: Fd-F. A sőrőségüggvé deíój: A sőrőségüggvé eloslásüggvé dervált üggvée,, végtele htárok köött tegrálj -el egelı. Ak vlósíősége, hog ξ, d trtoá esk: d d. 7
A eloslások egke Guss áltl eghtároott, geodéá hsált oráls eloslás. H vlósíőség váltoó értékét gsáú egástól üggetle véletle téeı eolásolj úg, hog téeık külö-külö sk ge ks értéke érvéesülek és htások össedódk, kkor vlósőség váltoó oráls eloslású. A oráls eloslás sőrőségüggvée: e σ π σ Ahol - várhtó érték - σ sórás - e terésetes logrtus e lják sögletes árójele egdott ktevıjő htvá. A oráls eloslás sőrőségüggvééek kée hrggöre vg áséve Guss-göre. heletét várhtó érték htáro eg lkját sórás htáro eg leós otj hol göre görületet vált várhtó értékhe kéest setrkus és ttól σ távolságr helekedk el kse sórású eloslás hrggöréje eredeke, go sórásúé los. Ak vlósíősége, hog ξ oráls eloslású vlósíőség váltoó értéke várhtó érték körül és sórás eg-, két-, hárosorosák egelelı sélességő tervllu esk: P σ ξ σ.687 P σ ξ σ.9545 P 3σ ξ 3σ.9973. Tehát 99.7% vlósíőségő, hog oráls eloslású vlósíőség váltoó értéke várhtó érték körül /-3σ trtoá esk. A et eveett tételt geodéá háro sg sálkét sokták eve, és séleskörőe lklák kegelítı sáítások. Grkus követkeı árá lehet seléltet: kerekítve 68% esél rr, hog vlósíőség váltoó értéke kék sáv og es sórás egseres tervlluá, 8
kerekítve 95% eséle hog llávl jelölt sáv sórás kétseres tervlluá, és 99% hog rossl jelölt sáv. sórás hárosoros tervllu.. A otosság és egíhtóság ogl Jelöljük -vl érés tárgát kéeı eség hátl értékét, L-el érés eredét, -l vlód hát. Ekkor L lletve L- Vlód hhás érték hátl érték. A otosság vlód h solút értéke. go érés eredéek köül otos, elk háj solút értékre éve kse. Mvel vlód h seretle, eért vlód otosság s seretle, de esete sk köelítıleg lehet eghtáro. Megíhtóság: érés eredéek egásho vló vsoát eje k, t uttj eg, hog tervllu, ele elül érés eredéek sóródk. A otosság és egíhtóság köött össeüggéseket követkeı árá lehet seléltet: 9
Vgs:. A legvlósíő érték ál köele v hátl értékhe, él otos érés. Aál eredeke hrggöre, él egíhtók érések... Megíhtóság érısáok Vlel eség eghtároásár tö érés sorotot érhetük. Mdegk érés sorotho trtok eg hsorot. A érés sorot egíhtó, elkek hsorot sőke htárok köött oog, és elke kse go értékő hák sá. A eges érés sorotok és eges sorotok trtoó érések egíhtóságák egítélésére erkus érısáok solgálk. Eeket érısáokt gkorlt és elélet egotolások ljá ökéese vették el. Eek érısáok sk egíhtóságot jellek, de jvító htásuk s, tehát érés értékek vg végeredé egjvításár e hsálhtó el. Vlósíőség-sáítás és tetk sttstká s hsoló érısáokt hsálk. A tt hsált eleveéseket s egdjuk árójele. Lle egíhtóság érısáául átlgos hát köéeltérés, vg átlgos solút eltérés veette e. E hák solút értékéek sát köéértéke: ϑ Σ,hol érés sorot ogllt érések sá, sorot eges érésehe trtoó vlód hát jelöl, ϑ edg érés sorot degk érésére jelleı átlgos h. Guss össegés jelölésére [ ] jelet hsált. A kegelítı sáítások e jelölés sokásos. A ú. köéhát Guss veette e és kegelítı sáítások áltlá et hsáljuk. A köéh sórás, Stdrd deváó égetét vrák evek vlód hák égetéek köéértékéıl vot égetgök: jelölésére geodéá és hsáltos, tetká σ, vg s ető sokásos. [ ] [ ],hol érés sorot ogllt érések sá, sorot eges érésehe trtoó vlód hát jelöl, edg érés sorot degk érésére egorá jelleı köéh eg érés eredé köéháj. A gökvoásól sáró ± kettıs elıjel s geletet rr, hog érısák jvító htás s.
A köéh sokkl érékee, t átlgos h. Össehsolításul éük eg sáserő éldát. Lege két hsorot: 4, -7, -3, 7, -4 ; -5, 4, -,, 5 5 5 ϑ 5,; ϑ 5,; 5 5 39 67 ± 5,7; ± 7,3; 5 5 A átlgos h két sorotot egelı egíhtóságúk ısít, köéh ellee eguttj, hog elsı sorot egíhtó, t ásodk. A köéhát redsert votkoó eség utá írjuk ± elıjellel. Pl.: t 33,6 ±,4 Eges ukáltok ld. steéshe, stroó érésekhe egíhtóság érısáául ú. vlósíő hát s hsálják. Eek lgodolt, hog eghtároott eség vlód háj vlósíőség sert gság sorredjée sedett hsorot köeé ogll helet. Értékét köéháól átlgos vso ljá sokták sáít:...,674,8498 A - kéletekkel dott egíhtóság érısáok és ért eség gságák hádosát reltív hák eveük. H l. vlel t 54, hossúság köéháj: t ±,, kkor reltív köéh: u t t, : 5357 54, A jooldl rásáot egserőe úg kjuk eg, h köésı rés eveıjét elostjuk sálálóvl. R.3. A súl ogl A köéh ordítv ráos egíhtósággl. A gkorlt sáításokho élserő volt eg ol érısáot s eveet, el egíhtósággl egees rá áll. E egíhtóság érısá súl. A súl ordítv ráos köéh égetével:
,hol eg dg otív, deó élkül tst sá. A otív elıjelet ásodokú htváktevı tosítj. A súl eek egelelıe köéh égetéek rerok értékével oos deójú otív eség, tehát, h l. köéh llétere dott, kkor súl deój. H súl egséggel egelı, kkor sáérték sáérték Vgs érték egségsúlú eség köéháják sáértéke. A értéket súlegség köéháják eveük. A súlegség köéháj és egségsúlú eség köéháj köött tehát külöség, hog súlegség köéháj deó élkül, egségsúlú eség köéháj edg deós érték. H serjük súlegség köéháját, kkor érés sorottl ksoltos árel eség köéháját eltételeve, hog súlát serjük 6 ljá kélettel sáíthtjuk. E kélet hsáítás egk legotos kélete, el végg kísér kegelítı sáítások egésé. A körülé, hog súlegség köéháj deó élkül, súl edg deós, lehetıvé tes, hog eg, vg tö seretleek kegelítéssel vló eghtároásá külööı jt éréseket l. sög- és hosséréseket s evohssuk és eghtárohssuk vle érés eredé köéháját s. A súl deíój és 7 értelée érés sorottl ksoltos két tetsıleges eség köéhájár és súlár követkeı rá áll e: : : A súlok öguk suá eges eségek egíhtóságák ráát uttják. Ahho, hog elılük egíhtóság sáserő értékére követketethessük, leglá egk eség, vg súlegség köéháják serete sükséges. A érés eredéek htását kegelítéssel eghtárodó eségek értékéek klkulásár, gértéke eolásolj érés eredéek súlák egásho vsoított rá, súlrá. A kegelítése tuljdokée e s súlok sáserő értékéek, he egásho vsoított ráukk v jeletısége. Eél ogv sdo válsthtjuk eg t eséget, elet eg kegelítése elül súlegségek kíváuk tekte; súlegség köéháják sáértéke lvávló k köéhák sáértékével les egelı, el elvett súlegséghe trtok. H l. érés eredéek köéhá: ± ±3 3 ±4
és elsı érést tektjük súlegségek, kkor súlok 4 4 ; 4 4 ; 3 ; 9 6 H edg ásodk érést válstjuk súlegségek, kkor és íg 9 4 3 tt 9 9 3 9 6 A súlok rá t látjuk váltotl rd. Gkr érés sorot elı se orduló eséget válstuk súlegségek l. ól élól, hog súlokr kerek értékeket vg edg egségtıl lehetıleg e go eltérı értékeket kjuk. Íg l. h elı dtokho súlegségek köéhájú eséget válstjuk, kkor tt 44 36 ; 4 44 6 9 44 6 3 9 A ráok ost s váltotlul ugok, t elıeke. A s gától értetıdk, hog 7 kéletet lklv vlel eség köéhájár üggetleül súlegség egválstásától dg ugt értéket kjuk. Pl.. érés eredére háro váltotk egelelıe kélet ljá / 3 ± 3; ± 3; ± 3 4 9 44 9 9 9.4. Köelítı súlok elvétele gkorlt gkr elıorduló érésekhe Hossérés eredéek köéháját távolság üggvéée sokás elve úg, hog hossérés köéháj távolság égetgökével egees rá öveksk egség távolság éréséek köéháj: t t e A súlok ráát e : t: t : t t : t 3
Hosséréshe súlegséget éredı távolságk egelelıe ; ; vg éteres távolság élserő elve. H legutó távolságot vessük súlegségek, kkor értéket kloéteres köéhák eveük és -rel jelöljük. e Otk távérés eseté s érıslggl vló hosséréshe hsoló járuk el. Fk távérésél áltlá oos köéhájúk és súlúk tektük de érést távolságtól üggetleül. Steés vol köéh értékét távolság égetgökével egees rá övekedıek tektjük. s t e k Eek egelelıe súlok ráát e : s : s t e : t : t 3 A súlegséget ; k, esetleg k egsége sokás elve. Trgooetr gsságérésél h sáított gsságkülöségeket tektjük érés eredéek, eghtároott gsságkülöség egíhtóság: súlok rá: t e : : 3 t : t 3 A teodolttl vló ráás, ráérés ráértéket vg egelı súlúk vessük, vg edg ráhossk ráá súlouk. A utó esete élserő súlegségek k hossú rát válst. H sáítás külöéle deójú eségek egütt ordulk elı, kkor eek súlát kélet ljá sáítjuk úg, hog össes érés eredéél ugt értéket válstjuk, értékét edg deó helettesítjük e, e hoá trtoó jvításokt s ogjuk sáít. 4
.5. Két váltoó ksolták jelleése Geodé érések eseté sok esete e egetle sáértékkel jelleeük érés eredéeket, he gkr két esetleg tö egássl ksoltos eséget érük. Pl. stos hossérések eseté érjük hıérsékletet s. Éület sülledések eseté érjük éülete lévı sok sülledését és eekhe ge soros ksolódk érés dıotj. Két váltoó ksolták jelleésére tetkáól egsert kovr és korreláós egütthtók értékét hsáljuk. Eek sáértékek köéh sórás sáértékével ksoltosk. A kovr értékét és érés eredéek köött [ ] kejeés jelöl, hol és eség vlód háj. A kovr értéke tetsıleges sá lehet. A deós sá íg ügg hák gságától s, eért ksolt eslésére követleül e hsálhtó. H kovr értékét redukáljuk és eség köéháják sortávl, kkor korreláós egütthtó értékéhe jutuk. s és s r s s A r korreláós egütthtó értéke és - köött deó élkül sá. H és köött leárs ksolt áll e, kkor r ; -. H r értéke, kkor két eség e korrelált egásho vsoítv. A r érték e jelet üggetleséget, ert lehet, hog egk váltoó övekedésével ásk váltoó köéháj öveksk. A ksolt jelleésére hsáltos ég regressós egees; et sk gkorlt lklás seotjáól ogjuk tárgl eg külö ejeete. 3. A hterjedés ogl A hterjedés törvée t eje k, h hávl terhelt eségekıl vlle sert üggvé vg üggvéek segítségével új eségeket htárouk eg, kkor ok s hávl terheltek. A hterjedés törvée t eje k, hog eghtároó dtok egíhtóság érısák seretée hog htárohtjuk eg eghtároott eségek egíhtóság érısát. A geodé érés eredéek vlósíőség váltoók tekthetıek egástól üggetleek és sk sáltl hák terhelk, tehát érés eredéek üggvée s vlósíőség váltoók. A hterjedés törvée lehetıséget d, hog üggvéek egíhtóság érısát eghtárouk. 5
6 A ért eségek jelleésére geodéá köéh értékét hsáljuk, íg hterjedés eseté s eghtároott eség köéháját htárouk eg. 3.. Hterjedés dott sál vló sorás eseté Tétel: Eg álldó sál vló sorás eseté sort köéháját úg kjuk, hog ért eség köéháját egsorouk egdott álldó sál. A üggvéksolt: * A eségre végett érések eredée:,,... Helettesítsük e érés eredéeket eredet üggvéksolt: A eges értékek vlód há:,,... A érés eredéek vlód há:,,... Ekkor: Négetre eelve, jd össegeve:... vgs de......... [ ] [ ] :... össegeve
7 Jo és l oldlt ostv -el: De Guss-éle köéh kélete tt: Eel eítottuk, hog eg álldó sál vló sorás eseté sort köéháját úg kjuk, hog ért eség köéháját egsorouk egdott álldó sál. 3.. Hterjedés össeg és külöség eseté Tétel: össeg vg külöség köéháják égete egelı eges tgok köéháják égetössegével. Lege üggvéük: A érés eredéek:,,,,..., A eges értékek vlód há:,,... A érés eredéek vlód hák:,,,,..., Ekkor: [ ] [ ] [ ] [ ] tehát de és............
8 Négetre eelve: Mvel és ugol vlósíőséggel lehet otív vg egtív, eért h végtele elé trt: Ekkor: A tetsıleges leárs üggvé köéháj, h üggvé lkj ±± ± ±... ±ost: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] össegeve... [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ; ; tehát de ±......... ± ± h
3.3. Hterjedés áltláos esete Ne leárs üggvéek köéháj: legegserőe vlle leárs üggvére veetjük vss Tlor-sor ejtéssel; sk leárs tgokt trtjuk eg, és eekre lkluk et egsert törvéserőségeket. A hterjedés tehát lklhtó de ol üggvére, el oltoos, dereálhtó és Tlor-sor ejthetı. A sk leárs tgok egtrtás és össes tö elsıredő tg elhgolás egegedhetı köelítést jelet. Lege seretle eség egért,,... eségek tetsıleges üggvée, eek vlód há,,,..., köéhá,,,...,,... A,,... eségek eghtároásár áltlá sáú érést végük, íg eredéek,,...,,,...,,,..., eek vlód há,,...,,,...,,,....h eeket ehelettesítjük üggvée, értékére külööı eredéeket oguk k. Rgdjuk k -dk értéket:,......,,,...,,,,...,,,...,... hol,,,...,,,,...,,,,,...,...,,,... A üggvét sor ejtve és sk leárs tgokt trtv eg:,,,.........,,,... 9
Eeljük égetre, és írjuk el -tıl -g: A vlód hák elıjele ée úg lehet otív, t egtív, eért kettıs sortok elıjele s rése otív, rése egtív, íg ok össege h tgok sá végtele elé trt, érus elé kovergál. ostv -el: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ].................................... össegeve [ ] [ ] [ ] [ ]... [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]...... ;... ; ; ;... ± vg de
H súlokt serjük, kkor sáított érték súl sert u u kejeések elhsálásávl: u... lk dhtó eg. Vlel üggvé egelelı köéháját követkeı lééseke htárohtjuk eg:. Kéeük eghtárodó eség ráls dereálhádost sor de érés eredé sert és ksáítjuk eek értékét érés eredéek ehelettesítésével.. Sorouk ráls dereál hádosok értékét egelelı köéhávl és égetre eeljük ıket. 3. A sortokt össegeük és égetgököt vouk, íg kjuk eghtároott eség köéháját. A sáítás sorá vgá kell, hog hosséréseket és hoss-köéhákt ug értékegsége helettesítsük e l. det e. A sög-egségeket és sög-köéhákt rdá kell ehelettesíte. A hterjedés törvééek elhsálás geodé gkorlt két esete válht sükségessé. A elsı eset, kor eglévı érés eredéek és sert köéhák ljá esül kívájuk sáított érték köéháját. Másodk esete, h eg eghtároott köéhájú eghtároás érdekée eg kívájuk terve, hog le ódo és le egíhtósággl végeük el éréseket.
3.4. Követketetések hterjedés áltláos kéletéıl A lá követketetéseket leveetések ellıe élkül ogluk eg. sát köéérték köéháj egség súlú érés eseté sát köéérték súl egség súlú érés eseté kkor érés eredé tösöröse üggvé köéháj érés eredé tösöröse üggvé súl... kkor...... össeg üggvé köéháj össeg üggvé súl
3.5. Példák hterjedés lklásár. Eg AC hossúságot két dr tuduk sk egér, AB és BC dr, kor ABBCAC. A kott értékek:ab,±,5 és BC8,4 ±.5. Mekkor AC köéháj? AC,8,4,4 AC ± AB AC ±,5,5 ±, 5 Vgs AC,4 ±.5. Eg állásotról egértük két rásöget la-t és lb-t. Sáítsuk k kötük lévı söget, és k köéháját! la34-48-5 ± ; lb-35- ± ; SlB-lA87-46-9 S l ± S B S ; l A S la S A lb B ± " Vgs S87-46-9 ± 3. Megértük eg tégll lkú öldréslet hossát és sélességét. Me terület és k köéháj? ±5; 8 ± T*6 T T 8; T T T ± ± ± 5,7 Vgs: T6 ±5,7 Tulság: A egk érés eredé dg ásk köéhájávl sereel, tehát kse éret dg godos éredı, t go! 3
4. Adott eg kör sugr, ekkor kerületéek és területéek köéháj? r,±.5 K*Π*r75.398 Tr*Π45.39 K π r K π T π r r ± T ± ±.34 r π r ±.377 Vgs: K75.398 ±.34; T45.39 ±.377 r 5. Megértük eg hárosög két sögét és eg oldlát, sáítsuk k oldlt és htárouk eg köéháját! 3-43-5± ; β59-3- ±5 ; 3,4 ±?;? s β s s β s β s s s s β os s β os tg s s s s β os β s β os β tgβ β s s s β s β 5 ± β ±. 896 β s ρ" ρ" tg tgβ ±. Vgs: 495.4 ±.9 4
5 6. Eg hárosögek egértük háro oldlát, htárouk eg söget és k köéháját! 56.35±.5; 843. ±.5; 6.45 ±.5 s s s os s os os 57 45 ros T ert T vel eért de γ os s s s s s 4 s 4 4 s 4 4 s 4 s 3 3 3 T
6 [ ] β os s s s 4 s 4 4 s 4 s 3 3 T 5.99" ".98.98.5..5.735.5.395 ± ± ± ± ± ρ de Vgs: -45-57±5.99
4. A kegelítı sáítás lelve és legkse égetek ódsere A elııeke ár láttuk, hog érés eredéek dg terheltek hákkl. A érés hák követketée, h ugt eséget úg htárouk eg, hog érések sá tö, t eghtároásho sükséges érések sá tehát ölös éréseket s végük, kkor külööı érésekıl sáítv eghtárodó értéket, külööı eredéeket kuk. A ölös érések végésére gkorlt dg sükség v ért, hog eghtároásukr elleırésük lege. Íg eghtároott eségekre dg töéle értéket sáíthtuk. Másrést lvetı követelé, hog eghtároásokt egértelőe hjtsuk végre. Például tektsük eg ráérésekkel eghtároott lotot, elet ég külööı külsı otól htárotuk eg. Két-két rát kválstv, elvégehetjük ot koordáták sáítását elıetséssel. Két külööı hárosögıl sáítv, két külööı koordát értéket kuk ugrr otr. Eek értékek e térek el ug léegese, de eltétleül sükséges ot elhsálhtóság érdekée, - hog koordát értéke egértelő lege. Ile elletodássl egserő eseteke s tlálkohtuk. Pl. eg sks tösör egérése utá egásk elletodó érés eredéek ljá egértelőe kell egduk sks hossát. A le jellegő eldtokkl kegelítı sáítás ogllkok. A kegelítı sáítás eldt egértelő. Ol ódo kell egváltottuk, egjvítuk eges érés eredéeket, hog ok elletodás élkül kelégítsék kötük eálló tetk eltételeket. E egetle kkötés o ég végtele sok lehetıséget hg elletodások egsütetésére. Eért ég tová eltétel sükséges jvítások végrehjtásár. Ile eltétel töéle ódo elvehetı; eek eltételek olok, hog jvítások vlle üggvéét lálják. Eek eltételek elvétele de esete ökées. Et eltételt Krl Fredrh Guss elgodolás ljá követkeı orá sokás elve. [ vv] Tehát jvítások súloott égetössege u lege. Et eveük legkse égetek ódseréek A eltétel elvehetı ás orá s. Cseüsev solút értéke leggo jvítás lálását kötötte k. / v / A és eltételeke kívül ás eltételeket s elvehetük és ok degke ás-ás jvítás értékredet jvítások sorotát jelet. A eltétel ljá eghtároott értékredsert legvlósíő jvítás értékredserek eveük. A íg eghtároott érték legvlósíő, vg legegíhtó érték. A eltétel ljá eghtároott értékeket legkedveı értékekek eveük. 7
A geodé gkorlt jde kárólg legkse éget-össeg-ek ódserét lkluk. A legkse égetek ódseréek leírását elısör Legedre r tetkus köölte 86-. Guss elsı kölése 89-e jelet eg errıl téáról. K. ugee dıe erk Adr s köl tılük üggetleül legkse égetek ódserét 88. A legkse égetek ódsere e ugsk eltétleül vtthttl loko, de gkorlt t eg hsos elvet, eljárást áltláos lkl. 4. A Guss-éle htörvé A éréseket terhelı hákr Guss követkeı htörvét állított el:. Egelı gságú otív és egtív hák elıordulásák vlósíősége egelı. V V. A hák elıordulásák vlósíősége hák gságák övekedésével sökke. Ng hák rtká, ks hák gkr ordulk elı. V 3. A ásodk ot ltt kejeés sélsı értékekre érteleve: / Végtele gságú h elıordulás vlósíősége V V / Leggo vlósíősége gságú h elkövetéséek v. V 4.. Eg seretlere végett követle érések kegelítése 4... A kegelítés végrehjtás egelı egíhtóságú érés eredéekkel Követleek eveük érést, h gát eghtárodó eséget érjük eg: Pl. h két ot távolságát kívájuk ser és eért egérjük két otot össekötı legrövde voldr síko egees dr hossát. H érést egsételjük, vgs tösör érjük eg eghtárodó eséget, kkor érés elkerülhetetle véletle há tt áltlá egástól eltérı érés eredéeket kuk. H vle érés egelı egíhtóságú, kkor eghtáro kívát eség legvlósíő értéke érés eredéek sát köee. E legkse égetek 8
ódseréek ltétele. A ost követkeı leveetés eért ká sk éldáj kívá le k, két lehet áltláos esete s legvlósíő értéket eghtáro; egúttl edg rr s solgálht, hog teg elleırése lege k, hog kdulásul elvett sát köéérték téleg egelel vv. eltételek. A vv kejeés vv áltláos kejeésıl úg sárk, hog egelı egíhtóságú érés eredéek köös súlértékét vessük el súlegségek, tehát vle érésre votkoó. Legeek egelı egíhtóságú érés eredéek: L... L L hol érés eredéek sá:.a legvlósíő jvítások és égetük ég egelıre seretle legvlósíő érték ljá, vlt [ vv ] érték: v L v L.. v L v L L v v L L L L [ vv ] [ L] [ LL] A [ vv ] üggvéek ott v sélsı értéke, hol sert elsı dereálhádos érus: [ vv] d d Eıl egeletıl legvlósíő érték: köéértéke. [ ] L [ L] vgs érés eredéek sát d A[ vv ] üggvé sert ásodk dereálhádos dg otív sá d érések sá, tehát üggvéek téleg u v. Ne sd eleledke rról, hog [ vv ] érték vlójá deó élkül eség, ert egelı egíhtóságú érések súlát -ek vessük el. A de sorolhtó eldtok egoldáskor követkeı lééseke kell kegelítést elvége:. A érés eredéek elírás L, L,... L [ L]. A legvlósíő érték kéése 3. A jvítások sáítás v L. v L 4. Elleırés [ v ] 5. A jvítások égetössegéek sáítás [ vv ] [ vv] 9
6. A súlegség köéháj deó élkül o [ vv] eg érés eredé köéháj deós eség 7. A legvlósíő érték súl deós eség [ ] 8. A legvlósíő érték köéháj [ vv] / / A eg seretlere végett, egelı egíhtóságú érések kegelítését sáserőe 533. éld uttj e. 4... A kegelítés végrehjtás külööı egíhtóságú érés eredéekkel H vlel eség eghtároásár külööı egíhtóságú éréseket végetük, kkor [ vv ] üggvé uát kell keresük. Legeek keresett eség eghtároásár követleül végett érések eredée: L L,..., L A érések súl:,..., Sáítsuk k legvlósíő jvításokt és [ vv ] össeg kejeést. A eghtárodó eség legvlósíő értékét -el jelölve: v L v L... v L v L L v L L... v L L [ vv ] [ ] [ L] [ LL] A üggvé sélsı értékéek helét sert elsı dereálhádosól sáítjuk: [ vv] d d [ ] [ ] L Eıl legvlósíő érték: L P,vgs érés eredéek súloott sát köee. A ásodk dereálhádos: 3
d d [ vv] [ ] dg otív sá, tehát üggvéek u v. Vsgáljuk ég [ v ] értéket: v [ L] [ ] L [ L] v L [ L] v L [ L] v L [ L] v L. [ L] v L L [ v ] [ ] [ ] [ L] H tehát érés eredéek külööı egíhtóságúk külööı súlúk, kkor súlll sorott jvítások össege érus. A kegelítés léése:. A érés eredéek elírás L, L,... L. A súlok elírás,,... [ L] 3. A legvlósíő érték sáítás 4. A jvítások sáítás v L,... v L 5. Elleırés [ v ] 6. A égetösseg sáítás [ vv ] 7. A súlegség köéháj 8. A legvlósíő érték súl [ ] 9. A legvlósíő érték köéháj. A eges érés eredéek köéháj [ vv] [ vv] [ ] A. léése eghtároott értékek, ég k e egelített érés eredéek köéhá. Mvel kegelített érés eredéek, L v eségek d egelık 3
egért eség legvlósíő értékével, eért érés eredéek kegelített értékéek köéháj egegek legvlósíő érték köéhájávl, -el. 4.3. Od-vss érések kegelítése Eg eség eghtároásár két egelı egíhtóságú érést végetük l. eg távolságot egértük od-vss rá. A érés eredéek: L, L. A kegelítés léése: d L L d L d d éslelés dere legvlósíő érték érés eredé köéháj legvlósíő érték köéháj 4.4. Sáéldák eg seretlere végett követle érések kegelítésére 4.4.. Egségsúlú érések kegelítése gt távolságot htsor egértük. Htárouk eg távolság legvlósíő értékét és kegelített érték köéháját: A érés eredéek: 59,34 59,4 59,36 59,3 59,7 59,6 A sáításokt lá tálát végeük: Sorsá Mérés eredé v v vv L, L d.élk.. 59,34,34 -,6,36. 59,36,36 -,8 64 3. 59,7,7, 4. 59,4,4,4 6 5. 59,3,3 -,3 9 3
6. 59,6,6, 4 Öss.:,68,,5 Kegelített érték [ L] Kegelített érték súl [ ] Súlegség köéháj Kegelített érték köéháj Eges érés eredéek köéháj egségsúlú érés eredé köéháj,68 59, 59, 8 6 6 [ ] vv,5 5,7 ±,3 6 ± ±, 7,7 Tehát kegelített távolság és köéháj 59,8 ±,3 E sáítás sesáológé segítségével s köe elvégehetı. A eges érés eredéeket kjelı regstere vssük e, jd llető leoásávl sáológé ké egelelı tárolók : érés eredéek sá eges érés eredéek össege érés eredéek égetéek össege A llető utá kjel eddg evtt érés eredéek sáát. A érés eredéek evtele utá llető leoásár sáítj kegelített értéket Σ kéletek egelelıe. A köéh értékét s llető leoás utá kjuk. s Σ Σ össeüggés segítségével. E elııek ljá súlegség köéháják elel eg. 33
4.4.. Külööı súlú érések kegelítése Két ot gsságkülöségét htárotuk eg háro külööı útvolo végett steéssel, degk skso od-vss rá s elvégeve érést. A érés eredéek: L,43 L,48 t 6 k L3,589 L4,57 t 5 k L5,3 L6,77 t 7,5 k Steésél érés eredéek súlát távolsággl ordított rá sokás elve: /t A sáláló helett árle ás sáot s sereeltethetük ttól üggıe, hog le távolságr végett steést tektük egségsúlú steések. A követkeıke válssuk 3 k távolság steését egségsúlúk, ekkor degk steés súl egés sá les. 3 3 3 5 3 4 6 5 6 4 6 5 7,5 A sáítások sorá de érés eredét deó hsáluk el úg, hog -t de érés eredéıl elhguk. A súlok deój les. A sáítások lá tálát követhetık: Sorsá L L v L v vv / d.élk.. 4,5 5 6,5 3,9 9,5 76,6. 4,8 5 4,,4, 9,6 3. 58,9 6 353,4-3,7 8, 6,5 4. 57, 6 34,6 -,9-7,4 85,5 5. 3, 4 8,8 3, 5, 676 4, 6. 7,7 4,8 7,5 7, 5 4, Össese: 3 356, -, 398 356,,45,3,45 kegelített érték. 3 Elleırés: [ v ] A sáéldá,-et ktuk, sáítás élességéek egelelıe -k tekthetı, ert o 34
[ v],,,3 utolsó értékes tedesjeg ele 3 [ vv] 398 8, súlegség köéháj 5 3 kegelített érték súl [ ] 8, 5, kegelített érték köéháj 3 A sáítás ljá két ot gsságkülösége és köéháj:,45 ±5, Végeetül htárouk eg érés eredéek ljá steés k-es köéháját. Elısör sáítsuk k hossú steés súlát k 3 3 Eutá steés k-es köéháj k k 8, 5, 3 A sáéldá súlok össege és elvett egségsúlú steés távolság sk véletleül egek eg. 4.4.3. Od-vss érések kegelítése Eg távolságot od-vss egértük. A egelı egíhtóságú érés eredéek: L.3, L.9 d L L.4 d L. d ±.8 d ±. Tehát legvlósíő érték és köéháj:.±. 35
5. Záróhák elostás Geodé gkorlt ge gkor eldt, hog érés eredéek össegéek eg egdott sáértékek kell le. Ile eldt, kor kétserese tájékoott soksögvolkál sögáró-hát,vg vols áróh Y és X ráú vetületét elostjuk töréssögekre,lletve oldlvetületekre. Felerül e steés, vg trgooetr gsság volk kegelítése eseté s. ge helet, kor eg hárosöge dháro söget egérjük és áróh értékét elostjuk eges töréssögekre. Eekél eldtokál eg eltétel egeletet írhtuk el: L v L v L v... L, hol L, L, L3 érés eredéek v, v, v3 érés eredéek jvítás L érés eredéek össegéek hátl értéke,vg hátlk tekthetı értéke A sert L, L, L3... érés eredéeket, vlt sert L hátl értéket vojuk össe egetle értékké. Et értéket áróhák eveük. L L L L... 3 E ljá eltétel egelet követkeıkée írhtó el: v v... v3 3 3 [ L] L A jvítások értékét úg kell eghtáro, hog ok súloott égetössege u lege. A eges érés eredéek súl legeek redre... 3 A eges jvításokk érés eredéhe trtoó súlll ordított rá kell le. Tehát go súlú, egíhtó érés eredéhe trtoó jvítás kse lege, t kevésé egíhtó kse súlú éréshe trtoó jvítás. E ljá v k ; v k v 3 k 3,hol k egelıre seretle sáérték. Írjuk e súlok rerok értéket: q ; v q k; v qk; v 3 q3k A 5 egeletet eírv 3 egelete, követkeıt kjuk: 36
q k q k q k... l 3 ıl k értéke: k l [ q] Eutá ár sáíthtók eges érések jvítás 39. kéletek ljá. A jvítások égetössege: ıl: [ vv] [. qk. qk] [ qk ] [ q ] [ ] [ vv] l [ q] l q A súlegség köéháj: [ vv],hol ölös érések sá. Eutá sáíthtjuk eg érés eredé köéháját: Végül egjegeük, hog gkorlt súl kejeést le eseteke gkr súlok rerok értékére s hsálják e teljese stos. A súl deíóját lásd 3. ejeete. Sáéldák áróhák elostásár A ot eve, vg sá Távolság t k q t Mért gsságkülöség O d V s s K ö é Kegelített gsságkülöség Mgsság SZINTEZÉSI VONAL KIEGYENLÍTÉSE 64 8,948,5,348 -,35,35 3,99,349, -,848,856 4 -,848 9,45 -,85 3,,4 -,46 8,4 9,7,43 4,5 -,38,49 6 -,44 -,38 8,34 37
85,7,468 -,46 3,467 3,3,464 5,7,35 -,3,33,353 3 TRIGONOMETRIAI MAGASSÁGI VONAL KIEGYENLÍTÉSE 96 qt 67,37 76,6,6,36 -,4 -,37 77,74,39 77,, -5,5 5,3 - -5,9 6,45-5,8 78,8 7,8-6,5 6,38-6 -6,5 55,95-6,44 79, 4,4,95 -,9-3,89 58,84,9 8,8 3,,63 -,68 -,64 59,48,66 93,5 6, -5,48 5,58-4 -5,57 53,9-5,53 5, -3,9 3,7-3,8-3,46-8 38
6. A érések egíhtóság és köéh t eggelések sáák üggvée A egíhtóság ál go, él kse köéh, vgs él kse htárérték, ellel solút heles értéket egköelítettük. Lege vlósíőleg heles érték egíhtóság H, eges érések egíhtóság h: H h vel eért H h legvlósíő érték egíhtóság eges érések egíhtóság A vlósíőleg heles érték egíhtóság dg go, t eges érések egíhtóság vlósíőleg heles érték köéháj eggelések sáák égetgöke ráá sökke A üggvé: h kkor értékéek váltoás sk üggıleges rá tolá el üggvét 39
4 Követketetések:. A köéh elsı öt sétlésg gors sökke. -4 sétlés utá lg sökke 3. A otosság övelésére sk 5-, legelje -5 sétlést élserő vége, eél go sétléssáot sk tudoáos vsgáltok dokolk 6.. A érések sétléséek htás össeüggések súl és köéh köött Tételeük el ugk eségek eghtároásár két érés sorotot ugl őserrel, ugol körüléek köött. ; Mvel és e egelı, eért és se egelı, és és külööı súlúk. A súl eggelések sáától ügg. ; ; áltlá tehát két egelet l oldl egelı egássl
4 6.. Sáolás éldák. Eg érésük köéháj ±, súl, ekkor les súl k háro érések, elekek köéháj 8, 7, és 6?. Eg sögérésél súlegség köéháj ±4.5. Hásor kell egérük ugt söget eg ol őserrel, elél egser érés köéháj ±., hog súl sté lege? 3. Eg hárosög elsı söget háro külööı őserrel értük. A söget eg ol őserrel, elek köéháj ±, β söget oll, elek köéháj ±3, γ söget oll, elek köéháj ±5. Hásor kell eges sögeket egérük eges őserekkel, h t krjuk, hog dháro sögek súl lege, h súlegség köéháj?.8 ; 6. ; 7.6 ; 8 6 6.5 ;.6 ;.6 ; 4.5. ; 5 9 4 γ γ β β tehát,,
H tehát söget 4-ser, β söget 9-ser, γ söget 5-sör ére eg, kkor köéhák -el lesek egelıek, súlok edg -el. A eredé ol, th ugl őserrel végete vol érést, égedg eg oll, elek köéháj. 4. Eg hárosöge söget hárosor, β söget égser értük. A súlok sétlés sál ráosk, ekkor les γ sög súl, és ekkor eges sögek köéháj? γ 3 4 " ± 5.77" 3 " β ± 5." 4 " γ ± 7.64".74 β γ.74 7 és 7 4
7. Felhsált rodlo Olt Károl, 96: Geodé, Tkövkdó-Budest, 3-56 old. Séor Jáos, 953: Geodé I., Meıgdság Kdó, 7-8 old. Geodé Kéköv, 956: I. kötet, Kögdság és Jog Kövkdó, serk.: H Istvá, 45-65 old. Geodé sáítások, 959, Kögdság és Jog Kövkdó, serk.: Dr. Ve Vlos, 379-384 old 43