ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK KINEMTIK ÉS DINMIKÁBÓL nyagi pon kinemaikája: Mi a definíciója a kövekező alapfogalmaknak: - pálya: mozgásörvény grafikonja a érben, valamilyen görbe (érgörbe), de fonos speciális eseek az egyenes és a körív. - mozgásörvény: z anyagi pon helyének válozásá írja le, azaz a helyvekor az idő paraméer függvényében. mozgásörvény álalában 3 skalárfüggvény írja le egyérelműen. - sebességvekor: z a vekor, melynek nagysága arányos a sebesség nagyságával, iránya pedig a sebesség irányába mua. sebességvekor időfüggvényé úgy kaphajuk meg, ha a mozgásörvény idő szerini első deriváljá képezzük: v() = d r() = r& () d - pályasebesség: befuási örvény s () idő szerini első deriválja: s& (). pályasebesség a sebességvekor abszolú érékével egyezik meg. z ívhossz szerin is paraméerezhejük a pályá: r( s ) az s helyére a befuási örvény formálisan behelyeesíve és a láncszabály szerini deriválás elvégezve: d dr ds dr ( s) v() = r( s() ) = = e & s() ( e = az érinőirányú egységvekor d ds d ds (differenciálgeomeriából )). - gyorsulásvekor: z a vekor, melynek nagysága arányos a gyorsulás nagyságával, iránya pedig annak irányába mua. gyorsulásvekor időfüggvényé úgy kaphajuk meg, ha a mozgásörvény idő szerini d második deriváljá képezzük: a() = r () = && r() d - pályagyorsulás: angenciális irányú gyorsulás. - (fő)normális irányú gyorsulás: z a gyorsulás, amely a sebesség irányára merőleges irányíoságú. - hodográf: sebességvekor időbeli válozása álal meghaározo pálya. - foronómiai görbék: foronómiai görbék a mozgáshoz kapcsolódó mennyiségek grafikus ábrázolásai az idő függvényében: s-; v-; a - grafikonok. (a n - ez nem arozik hozzá szigorúan véve a foronómiai görbékhez, mer nem érvényes rá a differenciális kapcsola). Ezek egymásból deriválással vagy inegrálással állíhaók elő. Merev es kinemaikája: Mi nevezünk merev esnek?: Olyan, álalában folyonos anyagi ponrendszer, ahol a ponok egymásól mér ávolsága az időben állandó.
Mikor ismer egy merev es pillananyi sebességállapoa?: Egy merev es sebességi állapoa ismer, ha ismer a érben egy eszőleges ponjának a sebessége, valamin szögsebessége. (ez a érben 6 ismerelen jelen). Ennek ismereében a sebesség bármely ponban számíhaó a sebességredukciós képleel: vb = v + ω rb. Hogyan oszályozzuk a pillananyi mozgásoka?: 1. Pillananyi nyugalom: ω = 0; _ v = 0. Elemi haladó mozgás: ω = 0; _ v 0 (Ebben az eseben minden pon sebessége azonos!) 3. Elemi forgó mozgás: Találhaó olyan pon hogy: ω 0; _ v = 0, vagy: ω 0; _ v 0, de ω v (Ez így valahogy nem jó, mer a szögsebesség sose egyenlő a sebességgel, szerinem i merőleges jelnek kéne lenni, de ez az első eseből kövekezik.) 4. Pillananyi csavarmozgás: Van olyan pon melyben:v II ω Mi érünk pillananyi forgásengelyen?: Pillananyi forgásengely az a képzelebeli engely, amelyre igaz az, hogy a es sebességállapoa abban az időpillanaban olyan, minha a es ekörül a engely körül forogna. Mi jellemzi a pillananyi csavarmozgás?: Találhaó olyan pon melyre igaz, hogy:v II ω Hogyan kereshejük meg a pillananyi csavarmozgás engelyé?: Pillananyi csavarmozgás engelye mindig a szögsebesség vekorral párhuzamos. engely azon P ponjá kereshejük meg egy pon sebességének ismereében, melyre eljesül, hogy az ponból a kerese ponba muaó vekor merőleges a szögsebesség vekorra, ugyanis: v = v + ω r Tudjuk, hogy v párhuzamos ω vekorral. P P P z egyenle mindké oldalá ω -val megszorozva: v ω = v ω+ ω r ω P P 0 = v ω+ ω rp ( ω rp) ω Tudjuk, hogy ω merőleges rp-re, ( ω rp) = 0 0 = v ω+ ω rp ω rp = v ω ω rp = ω v ω v rp = ω Tehá ismer a cenrális egyenes egy ponja és az iránya, ezér ismer maga az egyenes is! Mikor ismer egy merev es pillananyi gyorsulásállapoa?: Egy merev es gyorsulás állapoa ismer, ha ismer a érben a mozgásának szögsebessége, valamin szöggyorsulása, és egy eszőleges ponjának (normális- és angenciális) gyorsulásvekora. Ennek ismereében a gyorsulás bármely ponban számíhaó a gyorsulásredukciós képleel: a = a + ε r + ω ω r B B B
Mi érünk egy merev es véges mozgásán?: véges mozgások olyan mozgások, amelyek elemi mozgások végelen kombinációiból adódnak. Milyen véges mozgásoka ismer?: Például: Haladó mozgás, álló engely körüli forgás, gömbi mozgás, síkmozgás, csavarmozgás. Mely véges mozgás eseén beszélheünk pillananyi sebességpólusról, illeve gyorsuláspólusról?: Síkmozgás eseén. Mi a sebességpólus? Hogyan kereshejük meg a helyé?: cenrális egyenes (pillananyi forgásengely) P ponja a mozgás síkjában, melyre eljesül, hogy : ω v v P = 0. helyének képlee: r =. P ω Hogyan számíhajuk ki a pólusvándorlás sebességé? Melyik pólusra vonakozik ez?: z u pólusvándorlás sebessége a P geomeriai pon, min mérani hely (nem anyagi pon) ω a P sebessége. Kiszámíásának módja: =. u ω Mi érünk álló, illeve mozgó pólusgörbe ala? Milyen kapcsolaban állnak egymással?: pólusgörbék arra szolgálnak, hogy a merev esek álalános síkbeli mozgásá esek egymáson való legördülésekén szemlélesse. ω v merev eshez képes a P sebességpólus helye az időben válozik, ez az r () = vekor írja le, és ez nevezzük mozgó pólusgörbének. Egy álló, rögzíe merev eshez képes () helye ezzel az álló rendszerben r () () P P ( ) ( ) ω () r vekor írja le az pon mozgásörvényé. P pon ω( ) v ( ) = r +. Ez nevezzük álló pólusgörbének. ω merev es mozgása megfelel a mozgó pólusgörbe álló pólusgörbén való legördülésének. () Mi a gyorsuláspólus? Hogyan kereshejük meg a helyé?: a = gyorsulás pólus az a G pon, amelyre eljesül, hogy 0 G r G = ε a + ω a 4 ε + ω képleel örénik. Mi a sebességábra és milyen jellemzői ismeri?:. Helyének meghaározása a sebességábra a síkmozgás végző es vizsgál ponjainak sebességvekorai aralmazza egy közös kezdőponból felmérve. sebességábra ponjai megkaphaók az eredei es ponjainak a sebességpólus körüli, a szögsebesség irányába örénő 90 -os elforgaással, és a ponok ávolságának omega - szorosra nagyíásával.
Mi a gyorsulásábra és milyen jellemzői ismeri?: gyorsulásábra a síkmozgás végző es vizsgál ponjainak gyorsulásvekorai aralmazza egy közös kezdőponból felmérve. gyorsulásábra ponjai megkaphaók az eredei es ponjainak a gyorsuláspólus körüli, a szöggyorsulás irányába örénő α = arcg ε elforgaással, és a ponok ω 4 ávolságának ε + ω -szeresére nagyíásával. Mozgások leírása egymáshoz képes mozgó koordináa-rendszerekben ( relaív kinemaika): Mi a szállíó sebesség?: Ké es egymáshoz képesi mozgása eseén a szállíósebesség az a sebesség, amellyel az a es mozog, amely szállíja a másika, vagyis amelyikhez rögzíeük a relaív koordináarendszer. Helyesebben: nnak a ponnak a sebessége, amely a vizsgál ponal egybeesik, de ahhoz a eshez arozik, amelyhez a relaív mozgás leírására használ koordináarendszer kööük. Másképp: mozgó koordináarendszer azon ponjának abszolú sebessége, amelyben a vizsgál pon arózkodik. Mi a szállíó gyorsulás?: Ké es egymáshoz képesi mozgása eseén a szállíógyorsulás az a gyorsulás, amellyel az a es gyorsul, amely szállíja a másika, vagyis amelyikhez rögzíeük az relaív koordináarendszer. Helyesebben: nnak a ponnak a gyorsulása, amely a vizsgál ponal egybeesik, de ahhoz a eshez arozik, amelyhez a relaív mozgás leírására használ koordináarendszer kööük. Másképp: mozgó koordináarendszer azon ponjának abszolú gyorsulása, amelyben a vizsgál pon arózkodik. Milyen összefüggés írhaó fel egy vekor - skalár függvény egymáshoz képes mozgó koordináa-rendszerekben képze idő szerini első deriváljai közö?: Egy vekor (vekor-skalár függvény pl.: a relaív szögsebesség) amely a relaív (mozgó forgó) koordináarendszerben mind irány, mind nagyság szemponjából időben állandó, az abszolú koordináarendszerből nézve válozaja irányá, de nagyságá nem. z irányválozás mia az idő szerini derivál nem lesz 0, hanem ponosan az irányválozás okozó vekorral ve kereszszorzaa lesz az eredei (mozgó koordináarendszer - ben állandó) vekornak. Pl.: a relaív szögsebesség állandó. És kiköjük, hogy a mozgó koordináarendszer szöggyorsulása 0, akkor: a vizsgál es szöggyorsulása: ε = & ω = ω ω = ω ω 0 10 1 1 Mely eseekben lesz zérus a Coriolis gyorsulás?: a = ω β. Ez a kifejezés akkor nulla, ha vagy a szögsebesség Coriolis gyorsulás képlee: PCor 10 P nulla, vagy a relaív sebesség zérus, vagy a ké vekor egymással párhuzamos. nyagi ponok dinamikája: Írja fel a dinamika alapörvényé anyagi ponra és érelmezze a benne szereplő mennyiségeke!: & ID ; ] = FM ; ]. Álló ponra: & I; π& 0] = FM ; 0]
- z I & az impulzus derivál, vagy kineikai mennyiség. (& d I= ( m v) ). d - z impulzus nyomaéka az ponra a perdüle. ( π = rp I). - π& a perdüle derivál. - D a kineikai nyomaék, az impulzusderivál nyomaéka az ponra. ( D = & rp I ) D = π&. dinamika alapörvényé célszerű álló ponra felírni. Álló pon eseén: Írja fel az impulzus éel anyagi ponra és érelmezze a benne szereplő mennyiségeke!: & Id = 1 1 Fd, ahol a baloldal az impulzus megválozása, a jobboldal pedig definíciószerűen az erőimpulzus. Ha a jobb oldal zérus, akkor az impulzus állandó marad. (Üközések számíásánál hasznos) Írja fel a perdüle éel anyagi ponra és érelmezze a benne szereplő mennyiségeke!: 1 1 π& d = M d, ahol a baloldal a perdüle megválozása, a jobboldal pedig a nyomaékimpulzus. Írja fel a eljesímény éel anyagi ponra és érelmezze a benne szereplő mennyiségeke!: T& = P, ahol T& a kineikus energia deriválja, a P pedig a eljesímény. Írja fel a munkaéel anyagi ponra és érelmezze a benne szereplő mennyiségeke!: munkaéel a eljesíményéel inegrálja: Td & = 1 1 Pd az erő álal végze munka., ahol a baloldal a kineikus energia megválozása, a jobboldal pedig definíciószerűen Definiálja a kineikai nyomaék vekor anyagi ponra! Soroljon fel olyan eseeke, amikor az álalános kifejezés alakja leegyszerűsödik!: D = π& + v I kineikai nyomaék definíciószerűen: - az O pon álló pon: D0 = π& 0, - P., ahol a kifejezés egyszerűsíheő, ha: v II I, ilyenkor D = π & = 0 (Ez alán elírás, a második egyenlőség helye valószínű + jel kell, mer a kereszszorza lesz 0. nyagi ponrendszerek dinamikája: P P Írja fel a dinamika alapörvényé anyagi ponrendszerre és érelmezze a benne szereplő mennyiségeke!: ] = FM] ] = FM] ] = FMs] & ID ; ; & I; π& 0 ; álló ponra, 0 & I; π& s ; s súlyponra. mennyiségek ugyanazok, min fen. s
Írja fel az impulzus éel anyagi ponrendszerre és érelmezze a benne szereplő mennyiségeke!: & Id = 1 1 Fd, ahol a baloldal az impulzus megválozása, a jobboldal a külső erők összege. Írja fel a perdüle éel anyagi ponrendszerre és érelmezze a benne szereplő mennyiségeke!: 1 1 π& d = M d, ahol a baloldal a perdüle megválozása, a jobboldal pedig a nyomaékimpulzus. Írja fel a eljesímény éel anyagi ponrendszerre és érelmezze a benne szereplő mennyiségeke!: T& = PF + P B, ahol P F a külső erők eljesíménye, P B a belső erők eljesíménye. P B =0 is lehe rudak és köelek eseén. Írja fel a munkaéel anyagi ponrendszerre és érelmezze a benne szereplő mennyiségeke!: munkaéel a eljesíményéel inegrál alakja. T( 1 ) - T( ) = W 01F + W 01B Definiálja a kineikai nyomaék vekor anyagi ponrendszerre! Soroljon fel olyan eseeke, amikor az álalános kifejezés alakja leegyszerűsödik!: n i= 1 r i m a i i, az egyszerűsödés feléele ugyanaz, min anyagi pon eseén. Merev esek dinamikája: Írja fel a eheelenségi nyomaék márixának álalános alakjá és adja meg az egyes elemek kiszámíási szabályá! djon példáka olyan szimmeriákra, amikor a eheelenségi nyomaék márixa egyszerűbb alakú!: Ez egy szimmerikus márix: z egyes érékek számíása: Θ D D ξ ξη ξζ Θ = D D S Θ ηξ η ηζ. D D Θ ζξ ζη ζ - - - Θ = ( η + ζ ) dm ξ η Θ = ( ξ + ζ ) dm ζ Θ = ( ξ + η ) dm deviációs eheelenségi nyomaékok: - D ξη = ( ξηdm )
- - D D ξζ ηζ = ( ξζdm ) = ( ηζdm ) mikor a eheelenségi főengelyek egyben szimmeriaengelyek is akkor a eheelenségi nyomaéki márix diagonálissá válik, a deviációs nyomaékok zérus érékűek. Helyesebben: eheelenségi főengelyek koordináarendszerében felír másodrendű nyomaéki márix diagonális. Mi mond ki a párhuzamos engelyek éele?: párhuzamos engelyek éele szerin a eheelenségi nyomaékok ászámolhaók egy engelyről (ez súlyponi engely kell, hogy legyen) egy eszőleges ezen engellyel párhuzamos másik engelyre az alábbi képle szerin: Θ =Θ + mr, ahol S S Θ, a súlyponi engelyre számío eheelenségi nyomaék, m a ömeg, r pedig a ké engely ávolsága. Álalánosabban: Θ =Θ +Θ, ahol S S y + z x y x z Θ = m y x x z y z S + z x z y x + y S S S S S S S S S S S S S S S S S S dja meg a perdüle derivál számíására vonakozó Euler-formulá!: π& S =Θ ε+ ω ( Θ ω), ahol ( Θ ω) = π S S S S, súlyponra vonakozava. Írja fel a dinamika alapörvényé merev esre és érelmezze a benne szereplő mennyiségeke! & ID ; ] = FM ; ]. Álló ponra: & I; π& 0] = FM ; 0] 0 0 - z I& az impulzus derivál, vagy kineikai mennyiség. ( & d I= ( m v ) ) d ( I & = ma fonos a súlypon!). S - z impulzus nyomaéka az ponra a perdüle. ( π = r P I). - π& a perdüle derivál. - D a kineikai nyomaék, az impulzusderivál nyomaéka az ponra. ( D = rp i) Álló pon eseén: D0 = π& 0. dinamika alapörvényé célszerű súlyponra, vagy álló ponra felírni. Írja fel az impulzus éel merev esre és érelmezze a benne szereplő mennyiségeke!:. 1 1 & Id = erőimpulzus. Fd, ahol a baloldal az impulzus megválozása, a jobboldal pedig definíciószerűen az
Írja fel a perdüle éel merev esre és érelmezze a benne szereplő mennyiségeke!: 1 1 π d = M d, ahol a baloldal a perdüle megválozása, a jobboldal pedig a nyomaékimpulzus. (O álló pon eseén). Írja fel a eljesímény éel merev esre és érelmezze a benne szereplő mennyiségeke!: T& = P, ahol T& a kineikus energia deriválja, P pedig a eljesímény. Írja fel a munkaéel merev esre és érelmezze a benne szereplő mennyiségeke!: T T = W, aholt 1 1 1 T 0, a kineikus energia megválozása, W pedig a végze munka. 01 Definiálja a kineikai nyomaék vekor merev esre! Soroljon fel olyan eseeke, amikor az álalános kifejezés alakja leegyszerűsödik!: Álalános ponra: ε ω ( ω) D = Θ + Θ + r m a S D = π& =Θ ε+ ω π, súlyponra, illeve o indexeléssel álló ponra. S S S S Hogyan számíjuk ki egy merev es kineikus energiájá? Soroljon fel olyan eseeke, amikor az álalános kifejezés alakja leegyszerűsödik!: 1 1 T T= m v + ω Θ ω S S 1 Egyszerűbb álló ponra: = T T ω Θ ω O Mi a gördülés kinemaikai illeve dinamikai feléele?: vs Kinemaikai: z érinkezési ponban a sebesség 0 legyen, ez akkor eljesül, ha ω =. r Dinamikai: súrlódási ényező kellően nagy legyen ahhoz, hogy a dinamika alapéeléből számíhaó gördüléshez szükséges súrlódóerő ki udjon alakulni. ( Szemléleesen: a súrlódóerő forgaja a gördülő kereke, ha nem lenne, vagy nem lenne elegendően nagy megcsúszna ). Mikor nevezünk egy forgórész saikailag kiegyensúlyozalannak?: Saikailag kiegyensúlyozalan egy forgórész, ha nincs excenriciás, a súlypon a forgásengelyen belül van. Mikor nevezünk egy forgórész dinamikailag kiegyensúlyozalannak?: forgórész eheelenségi főengelye párhuzamos a forgásengellyel.
Álalános kérdések: Fogalmazza meg Newon I., II., illeve III. axiómájá!: 1. axióma: Egy anyagi pon nyugalomban van, vagy egyenes vonalú egyenlees mozgás végez, ha rá erő nem ha.. axióma: esre haó erők vekori erdője megegyezik az impulzusderiválal!: & I= F, ahol, n F= F, az anyagi ponra haó erők vekori eredője. ( dinamika alapéele!) k= 1 k 3. axióma: Ké anyagi pon kölcsönhaása (erő/ellenerő)egyenlő nagyságú, egymással ellenées érelmű. Mi nevezünk inerciarendszernek?: Inerciarendszerek azok a vonakozaási rendszerek, amelyekben az 1. axióma igaz. (Például ilyen lehe a föld felszíne, a nap, sb.) Mikor nevezünk egy erő poenciálosnak? djon példáka poenciálos és nem poenciálos erőkre!: Poenciálos egy erő, ha léezik U(r) poenciálfüggvény, amelyből negaív gradienskén számolhaó. F = -gradu(r) Poenciálos erők például: Nehézségi erő, rugóerő. Nem poenciálos erő például a csúszó súrlódó erő. Mi jellemzi a konzervaív erőereke?: konzervaív erőerek ulajdonságai: 1. konzervaív erőér örvénymenes. konzervaív erőérben az erő munkája az úól függelenül számolhaó 3. z erő az F= - grad(u) képleel számíhaó. Mi nevezünk kényszermozgásnak?: Kényszermozgásról beszélünk akkor, ha az anyagi pon álalunk előre ismerelen, a kialakuló mozgásól függő kényszererők haására előír kényszerpályán (kényszerfelüleen) mozog. (pl.: robokar működő egysége, vagy ablakiszíáskor egy ado felülere van kényszeríve a mozgás.) Mi nevezünk ideális kényszernek?: Egy kényszer ideális, ha a kényszererő eljesíménye zérus. Mi üneünk fel a szabad es ábrán?: Szabades ábrán a geomeriai kényszereke kényszererőkkel helyeesíjük. Csak a ese ragadjuk ki és a ráhaó erőke, valamin az egyéb vekorokkal megadhaó mennyiségeke rajzoljuk rá.
Gyorsuló koordináarendszerek: Írja fel a dinamika alapörvényé gyorsuló koordináarendszerben és érelmezze a benne szereplő mennyiségeke!: m α = F r, ahol: - m a ömeg - α a relaív gyorsulás - F r a relaív erő relaív erő ké részből evődik össze. valóban haó (kölcsönhaásból származó) és a nem kölcsönhaásból származó erőkből. nem kölcsönhaásból származó erőke is úgy ekinjük, minha kölcsönhaásból származnának. Fr = F+ Fszáll. + FCor., ahol: - F a valóban haó erők összessége, - Fszáll. = m aszáll. a szállíó erő, - FCor. = m acor. a Coriolis erő. Milyen nem valódi (járulékos) erők léphenek fel gyorsuló koordináarendszerekben?: Szállíóerő, Coriolis erő, (cenrifugális erő), sb.