STNA211, STNB610 segédlet a PTE PMMK építész és építészmérnök hallgatói részére

EURÓPAI UNIÓ STRUKTURÁLIS ALAPOK V A S B E T O N S Z E R K E Z E T E K STNA11, STNB610 segédlet a PTE PMMK építész és építészmérnök hallgatói részére Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése HEFOP/004/3.3.1/0001.01

VASBETONSZERKEZETEK Verzió: 007. december OKTATÁSI SEGÉDLET SZERKESZTETTE: ORBÁN ZOLTÁN SZILÁRDSÁGTAN ÉS TARTÓSZERKEZETEK TANSZÉK <orbanz@witch.pmmf.hu> BALOGH TAMÁS ANYAGTAN, GEOTECHNIKA ÉS KÖZLEKEDÉSÉPÍTÉSI TANSZÉK <baloghtamas@witch.pmmf.hu> 007

STNA11, STNB610 Vasbetonszerkezetek Részletes tantárgyprogram: Hét Ea/Gyak./Lab. Témakör 1. A tartószerkezetek méretezésének alapjai. óra előadás Legfontosabb terhek, tehercsoportosítások és biztonsági tényezők. óra gyakorlat Tartók mértékadó leterhelése.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 1. 13. 14. óra előadás óra gyakorlat óra előadás óra gyakorlat óra előadás óra gyakorlat óra előadás óra gyakorlat óra előadás óra gyakorlat óra előadás óra gyakorlat óra előadás óra gyakorlat óra előadás óra gyakorlat óra előadás óra gyakorlat óra előadás óra gyakorlat óra előadás óra gyakorlat óra előadás óra gyakorlat óra előadás óra gyakorlat A vasbeton feszültségi állapotairól. Hajlított keresztmetszetek ellenőrzése I. A vasbeton feszültségi állapotairól. Hajlított keresztmetszetek ellenőrzése II. Hajlított keresztmetszetek méretezése I. Hajlított keresztmetszetek méretezése II. Hajlított keresztmetszetek méretezése III. 1. ZÁRTHELYI DOLGOZAT TERVFELADAT KIADÁSA Ellenőrzés és méretezés nyírásra I. Ellenőrzés és méretezés nyírásra II. Nyomott elemek vizsgálata. Tervfeladat ismertetése Összetett igénybevételek Tervfeladat ismertetése Szerkesztési szabályok, vasalás tervezés Tervfeladat ismertetése. ZÁRTHELYI DOLGOZAT Tervfeladat ismertetése, konzultáció PÓTLÁSOK Tervfeladat beadása, konzultáció

Tartalom Az oktatási segédlet célja...4 1. Általános ismertetés...4 1.1. A tartószerkezetek méretezésének alapjai...4 1.. Az EC szerinti legfontosabb tehercsoportosítások és biztonsági tényezők...5. Hajlított keresztmetszetek méretezése, ellenőrzése...6.1. I. feszültségi állapot...6 1. Példa: Vasbeton keresztmetszet ellenőrzése I. feszültségi állapotban.. II. feszültségi állapot...8. Példa: Vasbeton keresztmetszet ellenőrzése II. feszültségi állapotban.3. III. feszültségi állapot...10.3.1. Ellenőrzés.3.. Szabad méretezés.3.3. Kötött méretezés 3. Példa: Vasbeton gerenda ellenőrzése hajlításra 4. Példa: Határozzuk meg az alábbi keresztmetszet határnyomatékát 5. Példa: Hajlított keresztmetszet szabad tervezése 6. Példa: Ellenőrizzük az adott "T" keresztmetszetet 7. Példa: T keresztmetszetű tartó szabad tervezése 8. Példa: Lemez szabad tervezése 9. Példa: Vasbeton keresztmetszet kötött tervezése I. 10. Példa: Vasbeton keresztmetszet kötött tervezése II. 3. Vasbeton tartók nyírásvizsgálata...5 11. Példa: Megoszló teherrel terhelt kéttámaszú tartó ellenőrzése nyírásra 4. Melléklet...33 4.1. Vasbetonszerkezetek számításánál alkalmazott jelölések és elnevezések..33 4.. Betonok és betonacélok jellemzői...34 4..1. Betonok jellemzői...34 4... Betonacélok jellemzői...35 4..3. Betonacélok keresztmetszeti területe és fajlagos tömege...35 4.3. Az elméleti támaszköz...36 4.4. Vasbetonszerkezetek szerkesztési szabályai az Eurocode alapján...37 Betonfedés...37 Betonacélok közötti távolság...37 Betonacélok lehorgonyzása, kampók kialakítása...37 Betonacélok toldása...39 Gerendákra vonatkozó szabályok...39 Lemezekre vonatkozó szabályok...41 Oszlopokra vonatkozó szabályok...4 4.5. Közelítő méretfelvétel...43 Felhasznált irodalom...44 3

Az oktatási segédlet célja Az alábbi oktatási segédlet célja, hogy építész és építészmérnök hallgatók számára röviden összefoglalja a vasbetonszerkezetek méretezésének alapjait az EUROCODE szabvány szerint. A segédlet jelen verziója elsősorban hajlított tartók méretezéséhez és ellenőrzéséhez nyújt segítséget. A rövid elméleti összefoglalók mellett mintapéldákon keresztül mutatja be a számítások fő lépéseit és a tervezéskor alkalmazandó szerkesztési szabályokat. 1. Általános ismertetés 1.1. A tartószerkezetek méretezésének alapjai A tartószerkezeteket úgy kell megtervezni és a megvalósítani, hogy a gazdaságosság követelményeit is kielégítve, előirányzott élettartamuk alatt kellő megbízhatósággal feleljenek meg a megvalósítás és használat során fellépő minden hatásra, valamint alkalmasak legyenek a rendeltetésszerű használatra. A tartószerkezetek méretezésével szemben támasztott alapvető követelmények: hatásokkal szembeni ellenálló képesség használhatóság tartósság Az EUROCODE (továbbiakban EC) szerint a megbízhatóság a parciális (biztonsági) tényezők módszerének alkalmazásával biztosítható. A tervezés keretében igazolni kell, hogy a hatások (terhek) a határállapotokat egyetlen lehetséges tervezési helyzetben sem lépik túl. Határállapot: a tartószerkezetnek azon állapota, amikor még épen megfelel a tervezési követelménynek. A határállapotoknak alapvetően két csoportját különböztetjük meg: teherbírási határállapotok használhatósági határállapotok Teherbírási határállapotban vizsgálatot igénylő állapotok: helyzeti állékonyság elvesztése szilárdsági vagy alaki stabilitási tönkremenetel fáradási tönkremenetel aljtalaj törése Használhatósági határállapotban vizsgálatot igénylő jellemzők: alakváltozások rezgések, lengések repedések feszültségek 4

1.. Az EC szerinti legfontosabb tehercsoportosítások és biztonsági tényezők Az Eurocode 0 szerinti legfontosabb tehercsoportosítások vasbeton szerkezetek méretezéséhez a következők: A teherbírási határállapotok ellenőrzéséhez: Tartós és átmeneti tervezési helyzet (a leggyakoribb teherkombináció): i γ Szeizmikus tervezési helyzet: G, i G k, i " + " γ Q, j Qk, j " + " γ Q, i ψ 0, i Qk, i i j i G k, i " + " AEd " + " ψ, i Qk, i i A lehajlás és repedéstágasság vizsgálatához (használhatósági határállapotok): Kvázi-állandó teherkombináció: + Q k, i " " ψ, i i G k, i i G k az állandó teher (önsúly) karakterisztikus (várható) értéke Az állandó teher lehet: g k megoszló állandó teher (önsúly) G koncentrált állandó teher k Q k az esetleges teher karakterisztikus értéke Az esetleges teher lehet: q k megoszló esetleges teher (szél, hó) Q koncentrált esetleges teher k γ a teher biztonsági tényezője ψ 0 az egyidejűségi tényező ψ a terhek tartósságát figyelembe vevő tényező A a szeizmikus teher Ed A "+" és a Σ jelek nem összeadást jelentenek, hanem azt, hogy a terheket egyszerre kell működtetni. Épületek terheinek biztonsági tényezői teherbírási vizsgálatoknál: Terhek biztonsági tényezői A teher fajtája A teher hatása kedvező kedvezőtlen Állandó teher, g k Szilárdsági és stabilitási vizsgálatokhoz γ G, inf = 1, 0 γ G, sup = 1, 35 Helyzeti állékonyság vizsgálatához γ G, inf = 0, 9 γ G, sup = 1, 1 Esetleges teher, q k hasznos teher, szélteher, hóteher - γ = 1, 5 Q 5

. Hajlított keresztmetszetek méretezése, ellenőrzése.1. I. feszültségi állapot A mértékadó teherből számított hajlító igénybevétel hatására a beton húzott szélső szálában számítjuk ki a keletkező feszültség értékét. Repedésmentes a keresztmetszet I. feszültségi állapotban van, ha a számított beton húzófeszültség kisebb vagy egyenlő, mint a beton húzószilárdságának várható értéke ( σ ct f ctm ). Az ellenőrzés történhet a nyomatékok összehasonlításával is. Ekkor a keresztmetszet repesztő határnyomatéka egyenlő, vagy nagyobb legyen, mint a terhelésből számított mértékadó nyomaték( M M ). I. feszültségi állapotban a keresztmetszet repedésmentes, a teljes keresztmetszetet figyelembe vesszük. Az I. rugalmas feszültségi állapotban végzett számításokkal a repedésmentesség követelményének igazolása történik. I. feszültségi állapotban a vasbeton keresztmetszetben a beton és a betonacél is rugalmasan viselkedik és a betonnak van húzószilárdsága. Hajlított keresztmetszetek ellenőrzése I. feszültségi állapotban: Nyomott acélbetét nélküli keresztmetszet: Inercianyomaték a semleges tengelyre: I cr Ed 3 ( h x ) 3 3 b xi, I b i, I i. I = + + α e 1 3 3 A beton (feszültség megnyúlás) diagramja I. feszültségi állapotban Ideális keresztmetszeti terület: Ai, I = b h + ( α e 1) As Statikai nyomaték a nyomott szélső szálra: h Si, I = b h + ( α e 1) As d A semleges tengely helye a nyomott Si, I szélső száltól: xi, I = A i, I ( ) A ( d x ) s i, I Nyomott acélbetétet tartalmazó keresztmetszet: Ideális keresztmetszeti terület: A = b h + α 1 A + α ( e ) s ( e 1) A' s i, I Inercianyomaték a semleges tengelyre: 3 3 3 b xi, I b ( h xi, I ) I i I = + + α e 1 As d xi, I + α e 1 A' 3 3 A repedésmentesség feltétele: σ c, t f ctm vagy M Ed M cr M Ed Feszültségellenőrzés: σ c, t = ( h xi, I ) I ( ) ( ) ( ) ( x d ). s i, I ' Repesztőnyomaték számítás: M cr = f i, I ctm I i, I ( h x ) i, I Statikai nyomaték a nyomott szélső szálra: h Si I = bh + αe 1 As d + αe 1 A semleges tengely helye a nyomott Si, I szélső száltól: xi, I = A ( ) ( ) A' ', s d i, I 6

1. Példa: Vasbeton keresztmetszet ellenőrzése I. feszültségi állapotban Anyagjellemzők: Beton: C5/30 f ck := 5 N mm γ c := 1.5 Betonacél: f yk := 500 N mm B60.50 γ s := 1.15 f ck f f cd 16.7 N cd := = γ c mm f ctm :=.56 N mm E c.eff := 9.83 kn mm f yk f yd := γ s E s := 00 kn mm f yd = 435 N mm Kengyel: B38.4 Igénybevétel: M Ed := 50kNm Geometriai jellemzők: b := 50mm h := 350mm c := 0mm A s := 4 φ h π 4 keresztmetszet szélessége keresztmetszet magassága betonfedés A s = 157 mm φ h := 0mm φ ny := 0mm φ k := 10mm δ := 10mm Húzott acélbetétek keresztmetszeti területe húzott acélbetét átmérője nyomott acélbetét átmérője kengyel átmérője acélbetétek kedvezőtlen elmozdulása φ ny π A' s := 4 A számítás menete: A' s = 68 mm Hasznos magasságok kiszámítása: Nyomott acélbetétek keresztmetszeti területe φ h d := h c φ k δ d = 300 mm hasznos magasság a húzott szélső száltól Hogyan kezeljük az inhomogenitást: A beton keresztmetszeti területe: Ideális keresztmetszeti terület: Ideális keresztmetszet súlypontja: A beton húzott szélső szálában keletkező feszültség: φ h d' := c + φ k + + δ E s α e := E c.eff A c := x i.i := bh A i.i := A c + α e 1 Ideális keresztmetszet inerciája: (a súlyponti tengelyre) M Ed σ ct := h x I i.i i.i ( ) Számítsuk ki a keresztmetszet repesztőnyomatékát: M cr f ctm I i.i f ctm = h x -> M cr := I ( i.i) i.i ( h x i.i ) α e = 0.35 d' = 50 mm A c = 87500 mm ( ) ( A s + A' s) ( ) 3 bx i.i b ( h x i.i) 3 I i.i := + + ( α 3 3 e 1) A s ( d x i.i) + ( α' e 1) A' s x i.i d' σ ct = 5.634 N mm M cr =.7 knm ( ) hasznos magasság a nyomott szélső száltól α' e := α e 1 b h + A s α e 1 d + A' s α' e 1 d' M Ed = 50 knm α' e = 0.35 A repesztő nyomaték összehasonlítása a tervezési nyomatékkal is mutatja, hogy a beton megreped, nincs I. feszültségi állapotban. 7 A i.i A i.i = 13966.15 mm < ( ) σ ct > f ctm x i.i = 187.57 mm I i.i = 1.444 10 9 mm 4 megreped, nincs I. feszültségi állapotban

.. II. feszültségi állapot Az üzemi terhet a teher alapértékét a normál (nem feszített) vasbeton szerkezetek esetén legfőképpen ebben a stádiumban hordja a tartó, ezért a repedéskorlátozási, tartóssági és merevségi előírásokat ezen feszültségi állapotban ellenőrizzük. A fenti vizsgálatok elvégzéséhez az ideális keresztmetszeti adatokra és a húzott acélszálban fellépő feszültségre lehet szükségünk, ezért II. feszültségi állapotban csak feszültségek meghatározásával foglalkozunk. A II. feszültségi állapotban a vasbeton keresztmetszetben a beton és a betonacél is rugalmasan viselkedik és a húzott beton bereped, így a beton húzószilárdságával nem számolunk. Hajlított keresztmetszetek ellenőrzése II. feszültségi állapotban: Nyomott acélbetét nélküli keresztmetszet: A beton (feszültség megnyúlás) diagramja I. feszültségi állapotban Vetületi egyenlet II. feszültségi állapotban (nyomott betonöv magasságának (x c ) meghatározásához): xi, II Fc Fs = Ec, eff κ b xi, II α e As ( d xi, II ) = 0 Nyomatéki egyenlet II. feszültségi állapotban (nyomatéki teherbírás kiszámításához): 1 M Rd = κ Ec, eff b xi, II + As α e ( d xi, II ) 3 Berepedt keresztmetszet inercianyomatéka: 3 b xi, II I ( ) i, II = + α e As d xi, II 3 Nyomott acélbetétet tartalmazó keresztmetszet: Vetületi egyenlet II. feszültségi állapotban (nyomott betonöv magasságának (x c ) meghatározásához): xi, II Fc Fs = Ec, eff κ b xi, II α e As ( d xi, II ) + ( α' e 1) A' s ( xi, II d' ) = 0 Nyomatéki egyenlet II. feszültségi állapotban (nyomatéki teherbírás kiszámításához): 1 M Rd = κ Ec, eff b xi, II + As α e ( d xi, II ) + A' s ( α' e 1) ( xi, II d' ) 3 Berepedt keresztmetszet inercianyomatéka: 3 b xi, II I ( ) ( ) ( ) i, II = + α e As d xi, II + α' e 1 A' s xi, II d' 3 8

. Példa: Vasbeton keresztmetszet ellenőrzése II. feszültségi állapotban Anyagjellemzők: Beton: C5/30 f ck := 5 N mm γ c := 1.5 Betonacél: f yk := 500 N mm B60.50 γ s := 1.15 f ck f f cd 16.7 N cd := = γ c mm f ctm :=.56 N mm E c.eff := 9.83 kn mm f yk f yd := γ s E s := 00 kn mm f yd = 435 N mm Kengyel: B38.4 Igénybevétel: M Ed := 50kNm Geometriai jellemzők: b := 50mm h := 350mm c := 0mm A s := 4 φ h π 4 keresztmetszet szélessége keresztmetszet magassága betonfedés A s = 157 mm φ h := 0mm φ ny := 0mm φ k := 10mm δ := 10mm Húzott acélbetétek keresztmetszeti területe húzott acélbetét átmérője nyomott acélbetét átmérője kengyel átmérője acélbetétek kedvezőtlen elmozdulása φ ny π A' s := 4 A számítás menete: A' s = 68 mm Hasznos magasságok kiszámítása: Nyomott acélbetétek keresztmetszeti területe φ h d := h c φ k δ d = 300 mm hasznos magasság a húzott szélső száltól Hogyan kezeljük az inhomogenitást: φ h d' := c + φ k + + δ E s α e := E c.eff d' = 50 mm α e = 0.35 hasznos magasság a nyomott szélső száltól α' e := α e α' e = 0.35 Vetületi egyensúlyi egyenlet felírása: bx E c.eff κ ( α' e 1) A' s ( x d' ) + α e A s ( d x) := 0 a zárójelben található összefüggés a statikai bx ( α' e 1) A' s ( x d' ) + α e A s ( d x) nyomatéki egyenlet x-re 1 b x + ( A' s α' e A' s + α e A s ) x A' s α' e d' + A' s d' α e A s d := 0 Az egyenlet megoldása a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával. Kapott eredmények: x 1 = 147.4 mm x = 449. mm nem megoldás! Tehát: Berepedt keresztmetszet inercianyomatéka 3 bx i.ii I i.ii := + ( α' 3 e 1) A' s ( x i.ii d' ) + α e A s ( d x i.ii) M Ed Húzott acélban ébredő feszültség σ s.ii := α e d x I ( i.ii) i.ii Beton nyomott szélső szálában ébredő feszültség M Ed σ c := x I i.ii i.ii x i.ii := x 1 I i.ii = 9.776 10 8 mm 4 σ s.ii = 158.8 N mm σ c = 7.54 N mm x i.ii = 147.4 mm 9

.3. III. feszültségi állapot Az építmények vasbetonszerkezeteit teherbírásra a tartóra ható mértékadó terhelésből számított legnagyobb hajlító nyomatékra III. feszültségi állapotban méretezzük és ellenőrizzük. A III. feszültségi állapotban a nyomott öv magassága mentén fellépő betonfeszültségek értéke a számítás szerint minden esetben a beton nyomószilárdságának tervezési értéke ( f cd ) fellépő feszültség pedig általában az acél folyáshatárának tervezési értéke ( ) yd, a betonacélban f, ezért itt feszültségszámításról nem lehet beszélni. A nyomott betonöv magasságának határhelyzetéből ( x 0 ) következik, hogy x > x0, azaz ξ > ξ 0 esetében az acél folyáshatárának tervezési értékével történő számítás hiba lenne, ezért ilyen esetben redukált acélfeszültséggel kell számolni a húzott acélbetétek esetén. Hasonlóan, ha ξ < ξ`0, a nyomott acélbetéteknél szükséges redukált acélfeszültség számítása. A gyakorlatban nagyon ritkán fordul elő a redukált acélfeszültségekkel való számolás, mert igyekszünk ilyen eseteket elkerülni (pl. a kiindulási adatok kedvező változtatásával), ugyanis ezen esetek igen gazdaságtalan méretezést eredményeznek. A III. feszültségi állapotban végzett számítások lényegében három fő csoportba sorolhatók: Ellenőrzés Szabad méretezés Kötött méretezés Egyensúlyi egyenletek: Nyomott acélbetét nélküli keresztmetszet: Vetületi egyenlet: F c F = 0 = b x s Nyomatéki egyenlet: M Rd = b x c f cd c f cd xc d A s f yd Nyomott acélbetétes keresztmetszet: Vetületi egyenlet: F c Fs + F' s = 0 = b xc f Nyomatéki egyenlet: xc M Rd = b xc f cd d cd + A f s A' f ' s yd yd + A' s f ' ( d d' ) yd 10

.3.1. Ellenőrzés Ellenőrzés esetén adott a mértékadó nyomaték (M Ed ), a vasbeton tartó méretei a vasalással és az anyagminőségek. Feladatunk kiszámítani a keresztmetszet M Rd értékét. Az ellenőrzésre azért lehet szükség, mert a tartószerkezet terhelése megváltozik például az épület, helység funkció változása miatt. A meglévő tervekből a felsorolt adatok rendelkezésre állhatnak és helyszíni ellenőrző mérésekkel kiegészülhetnek. Az új terhelésből az M Ed értéke kiszámítható. Megfelel a tartó ha M Rd > M Ed. Minden esetben fontos az x c < x 0 összehasonlítás. Abban az esetben, ha x c > x 0 (ξ > ξ 0 ) adódik redukálni kell a húzott betonacél feszültségét. Kétszeresen vasalt tartó esetén ha ξ < ξ 0 a nyomott betonacélnál szükséges redukált acélfeszültség számítás..3.. Szabad méretezés Szabad méretezés esetén a cél az, hogy adott nyomatékhoz megtervezzük a leggazdaságosabb vasbeton keresztmetszetet, azaz minimális betonméretekre törekszünk nyomott acélbetét nélkül. Az anyagminőségek a kivitelezési körülményektől függően szintén adottak. Célszerűen a keresztmetszet szélességét felvesszük a (csatlakozó szerkezettől függően) és olyan h min magasságot számolunk, mely esetén a betonkeresztmetszet teljesen kihasznált, azaz x c = x co.3.3. Kötött méretezés Kötött méretezés esetén adott nyomaték, betonméretek (keresztmetszet) és anyagminőségek mellett keressük a szükséges acélbetétek mennyiségéi. A feladat megoldása során három eset lehetséges: A feladat nyomott acélbetét nélkül megoldható, egyszeresen vasalt tartó A feladat csak nyomott acélbetéttel oldható meg, kétszeresen vasalt tartó A feladat nem oldható meg a kiindulási adatokkal. N s > N c A fenti megoldási lehetőségek a számítás menetét is meghatározzák. Ennek megfelelően az első lépés mindig annak megállapítása, hogy a feladat nyomott acélbetét nélkül megoldható-e. 11

3. Példa: Vasbeton gerenda ellenőrzése hajlításra Anyagjellemzők: Beton: C40/50 f ck := 40 N mm γ c := 1.5 Betonacél: f yk := 500 N mm B60.50 γ s := 1.15 f ck f cd := γ c Kengyel: f cd = 6.7 N mm B38.4 f yd := f yk γ s f yd = 435 N mm Terhek: g := 3.75 kn m önsúly Geometriai adatok: L := 6.0m t := 30cm b := 300mm h := 500mm A s := 10 φ h π 4 szabad nyílás feltámaszkodás hossza gerenda szélessége gerenda magassága A s = 314 mm q := 50 kn m c := 0mm φ h := 0mm φ ny := 16mm φ k := 10mm δ := 10mm húzott acélbetétek keresztmetszeti területe hasznos teher betonfedés húzott acélbetét átmérője nyomott acélbetét átmérője kengyel átmérője acélbetétek kedvezõtlen elmozdulása A' s := 3 φ ny π 4 A' s = 603 mm a 1 min h t Elméleti támaszköz: :=, Mértékadó igénybevétel kiszámítása: nyomott acélbetétek keresztmetszeti területe a 1 = 15 cm γ G := 1.5 γ Q := 1.5 a := a 1 L eff := L + a 1 + a állandó teher biztonsági tényezője esetleges teher biztonsági tényezője L eff = 6.3 m Hasznos magasság: M Ed := γ G g γ Q ( + q) L eff 8 M Ed = 400 knm Több sorban elhelyezett acélbetétek esetén az acélbetétek súlyvonala és a húzott szélső szál közötti távolságot kell kivonni a teljes magasságból, így kapható meg a hasznos magasság. Acélbetétek súlyvonalának távolsága a húzott szélső száltól: s φh := φ h 5φ h c + φ k + + δ φ h + 5φ h c + φ k + φ h + φ h + φ k + + δ 5φ h + 5φ h d := h s φh φ ny d' := c + φ k + + 10mm d = 45 mm d' = 48 mm 1

Vetületi egyenlet felírása - nyomott betonöv magasságának meghatározása: F c + F' s := F s bx c f cd + A' s f yd := A s f yd ( ) f yd A s A' s x c := bf cd x c = 138 mm Ellenõrzés, hogy az acél megfolyik-e: Húzott acél Nyomott acél x c ξ c := d 560 ξ co := 700 + f yd ξ c = 0.35 ξ co = 0.493 x c ξ' c := d' 560 ξ' co := 700 f yd ξ' c =.874 ξ' co =.111 ξ c < ξ co a húzott acél megfolyik ξ' c > ξ' co a nyomott acél megfolyik Határnyomaték kiszámítása: M Rd := F c z + F' s z' Ellenőrzés x c z := d z' := d d' x c M Rd := bx c f cd d z = 356 mm z' = 377 mm + A' s f yd ( d d' ) M Rd = 491.8 knm M Ed = 0.813 M Rd M Ed < 1 M Rd Tehát megfelel. 13

4. Példa: Határozzuk meg az alábbi keresztmetszet határnyomatékát: Anyagjellemzők: Beton: C5/30 f ck := 5 N mm γ c := 1.5 Betonacél: f yk := 500 N mm B60.50 γ s := 1.15 f ck f cd := γ c Kengyel: f cd = 16.7 N mm B38.4 f yd := f yk γ s f yd = 435 N mm Geometriai jellemzők: b := 50mm h := 350mm c := 0mm A s := 6 A' s := 0 φ h π 4 keresztmetszet szélessége keresztmetszet magassága betonfedés A s = 1885 mm csak szerelő vas van φ h := 0mm φ sz := 8mm φ k := 10mm δ := 10mm húzott acélbetét átmérője szerelő vas átmérője kengyel átmérője acélbetétek kedvezőtlen elmozdulása Húzott acélbetétek keresztmetszeti területe Acélbetétel súlyvonalának távolsága a húzott szélső száltól: φ h 4φ h c + φ k + + δ s φh := d := h s φh d = 86.7 mm Vetületi egyensúly (feltételezve, hogy a húzott acélok megfolynak) F c := F s -> x c b f cd := A s f yd φ h + φ h c + φ k + φ h + φ h + + δ 6φ h x c := A s f yd bf cd s φh = 63.3 mm x c = 196.7 mm Ellenőrzés, hogy az acélok megfolynak-e: x c ξ c := ξ c = 0.686 d Módosított vetületi egyenlet: σ s.red f yd ξ c > ξ c0 felhasználva, hogy x c := Határnyomaték számítása: az acél nem folyik meg, rugalmas állapotban van, ezért a vetületi egyenletet módosítani kell. 560 σ s.red := d 700 x c ξ c d 560 ξ c0 := mm f yd + 700 N 560 ξ c d b α f cd := A s 700 ξ c A másodfokú egyenlet megoldóképletének felhasználásával: -> x c bf cd f yd := A s -> ξ c1 = 0.538 x c := -> ξ c + ξ c1 d ξ c0 = 0.493 560 x c b α f cd := A s d 700 x c 700 A s 560 A s ξ c := 0 bd α f cd bd α f cd ξ c = 1.643 nem megoldás x c = 154. mm M Rd := x c bf cd d x c M Rd = 134.7 knm 14

5. Példa: Hajlított négyszög keresztmetszet szabad tervezése: Anyagjellemzők: Beton: C5/30 Betonacél: B38.4 f ck := 5 N mm γ c := 1.5 f yk := 40 N mm γ s := 1.15 Keressük: b, d, A s, x c Feltevések: ξ c := 0.4 ξ c < ξ c0 Nyomatéki egyenletből kefejezhető "d": 3 ηm Ed d := d = 750 mm ξ c f cd ξ c 1 Vetületi egyenletből meghatározható A s : d -> b := b = 500 mm b 1.5 alk := 500mm x c := ξ c d x c = 300 mm x c bf cd A s := A f s = 11979 mm yd φ a π Alkalmazott vasalás: 1 db φ36 φ a := 36mm A s := 1 A 4 s = 115 mm A 1 szál betonacélt két sorban helyezzük el: 1 sorban elfér-e 6 db? f ck f cd := f cd 16.7 N f yk = γ c mm f yd := f yd = 09 N γ s mm Kengyel: B38.4 Igénybevétel: M Ed := 1500kNm φ k := 10mm Betonfedés: c := 0mm ( ) η b := η := 1.5 d 636 mm + 536mm + 1 mm + 0 mm = 460 mm < 500mm Tehát elfér. "d" újraszámolva: Acélbetétek súlypontjának kiszámítása: δ := 10mm φ a φ a 6φ a c + φ k + + δ + φ a c + φ k + φ a + φ a + φ k + + δ s φh := s φh = 104.7 mm 6φ a Szükséges "h" magasság kiszámítása: h szüks := d + s φh h szüks = 854.7 mm h alk := 860mm A kerekítést célszerű 10 mm-re pontosan elvégezni. A keresztmetszet felrajzolása: 1 1 860 10 kengyel 1 36 500 15

6. Példa: Ellenõrizzük az adott "T" keresztmetszetet: Anyagjellemzők: Beton: C5/30 Betonacél: B60.50 f ck := 5 N mm γ c := 1.5 f yk := 500 N mm γ s := 1.15 Geometriai jellemzők: b g := 00mm b := 500mm t := 140mm δ := 10mm borda szélessége fejlemez szélessége fejlemez vastagsága f ck f cd := γ c Kengyel: kedvezõtlen elmozdulás B38.4 f cd = 16.7 N mm Mértékadó igénybevétel: h := 600mm c := 0mm φ h := 8mm φ k := 8mm f yk f yd := γ s ξ c0 := 0.49 M Ed := 400kNm 560 ξ' c0 := 700 f yd tartó magassága betonfedés húzott acélbetét átmérője kengyel átmérője f yd = 435 N mm ξ' c0 =.11 A s := 4 A' s := 0 φ h π 4 A s = 463 mm csak szerelő vasalás van Húzott acélbetétek keresztmetszeti területe d := h c φ k φ h A számítás menete: φ h + δ d = 540 mm x c meghatározása: két eset jöhet szóba: ha a nyomott öv a bordába metsz, a számítás a következő: I. a nyomott öv nem metsz bele a bordába (fejlemezbe metsz) II. a nyomott öv a bordába metsz A számítás során először feltételezzük, hogy a fejlemezbe metsz. Vetületi egyenlet: F c := F s -> bx c f cd := A s f yd -> x c := A s f yd bf cd x c = 19 mm Egyenlet újra felírása: Ellenőrzés: x c ξ c := d ( ) t b b g x c > t := 140mm + b g x c f cd ξ c = 0.1 := A s f yd < A feltételezés nem volt helyes, tehát a bordába metsz. -> ξ c0 = 0.49 x c := A s f yd b g f cd ( ) t b b g b g x c = 111 mm Tehát az acélbetétek folyási állapotban vannak. 16

Határnyomaték számítása: t x M Rd ( b b g ) tf cd d c := + b g x c f cd d M Rd = 508.6 knm Ellenőrzés: M Ed = 0.786 Tehát a keresztmetszet megfelel. M Rd 17

7. Példa: T keresztmetszetű tartó szabad tervezése Anyagjellemzők: Beton: C4/30 Betonacél: B60.50 f ck := 4 N mm γ c := 1.5 f yk := 500 N mm γ s := 1.15 f ck f cd := f cd 16 N f yk = γ c mm f yd := f yd = 435 N γ s mm Igénybevétel: M Ed := 400kNm Geometriai jellemzők: b v := 500mm fejlemez szélessége b g := 00mm borda szélessége := 140mm fejlemez vastagsága c := 0mm betonfedés Tervezési feltevések: ξ c := 0. A nyomott öv a fejlemezben van. Számítás menete: M Ed d := d = 57.046 mm ξ c bf cd ξ c 1 x c := ξ c d x c = 105.4 mm x c < v a nyomott öv a fejlemezben marad, a feltételezés helyes volt. x c bf cd A s := A f s = 1940 mm yd Alkalmazott vasalás: 4 db φ5 φ h.alk := 5mm φ k.alk := 10mm φ h.alk π A s.eff := 4 A 4 s.eff = 1963 mm A vasalás elfér-e egy sorban? c + φ k.alk 4φ h.alk + + 4φ h.alk = 60 mm > b g = 00 mm Tehát egy sorban nem fér el. Hasznos magasság újraszámítása: A vasalást kér sorban kell elhelyezni, soronként - acélbetéttel. φ h.alk h := d + c + φ k.alk + φ h.alk + h = 595 mm Alkalmazott tartómagasság: h alk := 600mm A felrajzolt keresztmetszet: 18

8. Példa: Lemez szabad tervezése Anyagjellemzők: Beton: C5/30 f ck := 5 N mm γ c := 1.5 Betonacél: f yk := 500 N mm f yk f yd := γ s E s := 00 kn mm B60.50 γ s := 1.15 f yd = 435 N mm A lemez 1 m - es szakaszát vizsgáljuk: b := 1000mm Hasznos magasság és vasmennyiség meghatározása: f ck f cd := γ c f ctm :=.56 N mm Betonfedés: Igénybevétel: f cd = 16.7 N mm E c.eff := 9.83 kn mm c := 0mm M Ed := 38kNm A nyomaték a lemez 1 méterére vonatkozik (M Ed = 38 knm/m). M Ed = ξ c := 0. M Rd ξ c = bξ c dαf cd d (feltételezés) Ne legyen a keresztmetszet teljesen kihasználva. d := x c := ξ c d M Ed bf cd ξ c 1 ξ c x c =.5 mm d = 11.5 mm A s := x c bf cd f yd A s = 86.9 mm Alkalmazott vasalás: (érdemes megnézni többféle vasalási sémát is) 1. típus:. típus: φ1/100 φ14/140 A s.1 := A s. := 1131 mm m 1100 mm m 3. típus: φ16/180 Alkalmazzuk a. típust. A lemez szükséges vastagsága: alkalmazott "h" magasság: Elosztó vasalás: A s.3 := 1117 mm m φ alk := 14mm δ := 10mm acélbetétek kedvezőtlen elmozdulása φ alk a := c + + 10mm a = 37mm h := a + d h = 150 mm h alk := 150mm A s := A s. 0.A s = Ellenőrzés: 0 mm m A tervezett elosztó vasalás: φ8/00 A s.elosztó := 51.5 mm m A s.elosztó = 51.5 mm m > 0 mm m Tehát megfelel. 19

9. Példa: Vasbeton keresztmetszet kötött tervezése I. Anyagjellemzők: Beton: C0/5 f ck := 0 N mm γ c := 1.5 Betonacél: f yk := 500 N mm B60.50 γ s := 1.15 f ck f cd := γ c f ctm :=. N mm f cd = 13.3 N mm f yk f yd := γ s 560 ξ co := 700 + f yd f yd = 435 N mm ξ co = 0.493 Geometriai adatok: b := 50mm h := 400mm c := 0mm Mértékadó nyomaték: Keressük: A s, (A' s ) Feltételek: A számítás menete: Vasalás adatainak felvétele (ez késõbb a kapott eredmények szemléletében módosítandó): φ h d := h c + φ k + + δ Nyomatéki egyenletbõl x c meghatározása: M Rd := M Ed x c := ξ c d -> -> M Rd = bx c f cd bξ c d bξ c d f cd f cd keresztmetszet szélessége keresztmetszet magassága betonfedés M Ed := 10kNm d M Rd = bξ c df cd d M Rd = 0 d = 350 mm x c ξ c d φ h := 0mm φ k := 10mm δ := 10mm A húzott acélt szilárdságilag használjuk ki. Akkor tudjuk kihasználni, ha húzott acélok átmérője kengyel átmérője acélbetétek kedvezőtlen elmozdulása ξ c ξ co M Rd ξ c ξ c + bd = 0 f cd ξ c := x c := Find( ξ c ) ξ c d ξ c = 0.358 x c = 15.78 mm ξ c = 0.75 ξ co ξ c < ξ co Tehát a húzott acél megfolyik. Vetületi egyenletből a szükséges acélmennyiség kiszámítása: x c bf cd F c := F s -> x c b f cd := A s f yd A s := f yd A s = 960 mm A vasalást a megfelelõ szerkesztési szabályok betartásával kell kiosztani. Szerkesztési szabályok teljesülésének ellenőrzése: Minimális vasalás: Maximális vasalás: f ctm A s.min := max 0.6 bd, 0.0013bd f yk A c := bh A c = 100000 mm A s.max := A s.min = 113.75 mm 0.04A c A s.max = 4000 mm 0

Alkalmazott vasalás: 4 db φ18 φ h.alk := 18mm φ k.alk := 10mm Elfér-e a tervezett vasalás egy sorban? A vetületi egyenletből kifejezzük x c - t: d alk = 351 mm A s.alk f yd f cd x c b = A s f yd -> x c := x bf c = 13.8 mm cd x c 560 = 0.378 ξ d co := ξ alk 700 + f co = 0.493 A húzott acél folyási állapotban van. yd A nyomatéki egyenlet felhasználásával meghatározzuk a nyomatéki teherbírást: x c M Rd := f cd bx c d alk M Rd = 16 knm M Ed = 10 knm A keresztmetszet felrajzolása: φ h.alk π A s.alk := 4 A 4 s.alk = 1018 mm Acélbetétek minimális távolsága: a min := max φ h.alk, 0mm a min = 0 mm ( ) c + φ k.alk + φ h.alk 4 + 3a min = 19 mm < b = 50 mm a vasak egy sorban elhelyezhetõk. Ellenõrzés: φ h.alk = 18 mm φ k.alk = 10 mm Változott adatok kiszámítása a tervezett keresztmetszet alapján: φ h.alk d alk := h c + φ k.alk + + 10mm M Ed = 0.953 Tehát megfelel. M Rd 1

10. Példa: Vasbeton keresztmetszet kötött tervezése II. Anyagjellemzők: Beton: C0/5 f ck := 0 N mm γ c := 1.5 Betonacél: f yk := 500 N mm B60.50 γ s := 1.15 f ck f cd := γ c f ctm :=. N mm f cd = 13.3 N mm f yk f f yd 435 N yd := = γ s mm 560 ξ co := ξ 700 + f co = 0.493 yd Geometriai adatok: b := 50mm h := 400mm c := 0mm Mértékadó nyomaték: Keressük: A s, (A' s ) Feltételek: A húzott acélt szilárdságilag használjuk ki. Akkor tudjuk kihasználni, ha A számítás menete: Vasalás adatainak felvétele (ez késõbb a kapott eredmények szemléletében módosítandó): φ h d := h c + φ k + + δ φ ny d' := c + φ k + + δ Nyomatéki egyenletbõl x c meghatározása: M Rd := M Ed x c := ξ c d ξ c := x c := x co := ξ c d ξ co d -> -> Find( ξ c ) M 0 nyomaték bevezetése: M Rd = bx c f cd bξ c d bξ c d f cd f cd x co M 0 := bx co f cd d d = 350 mm d' = 48 mm d M Rd = bξ c df cd d M Rd ξ c ξ c + bd = 0 f cd keresztmetszet szélessége keresztmetszet magassága betonfedés M Ed := 180kNm ξ c = 0.656 x c = 30 mm x co = 173 mm M Rd = 0 x c ξ c d ξ c = 1.39 ξ co M 0 = 151.8 knm φ h := 0mm φ ny := 16mm φ k := 10mm δ := 10mm ξ c < ξ co húzott acélok átmérője nyomott acélok átmérője kengyel átmérője acélbetétek kedvezőtlen elmozdulása ξ c ξ co Tehát a húzott acél nem folyik meg, nyomott acélbetétet is kell alkalmazni. Az M 0 nyomaték az a maximális nyomaték, melyet a keresztmetszet nyomott vasalás nélkül elvisel úgy, hogy a húzott acél megfolyik. x co Az M 0 az x c = x co - hoz tartozó nyomaték M 0 := bx co f cd d ξ co = 0.493

M Rd = 1.186 M 0 Ha M Rd > 1 M 0 nyomott acélbetétet is kell alkalmazni. M Rd := M 0 + ΔM M Rd := M Ed x co M 0 := bx co f cd d ΔM := A' s f yd ( d d' ) Ha Nyomatéki teherbírás számítása: M Rd 1 M 0 Tehát nyomott acélbetétet is kell alkalmazni, mert ΔM - a nyomott acélbetéthez tartozó nyomaték -> nem kell nyomott acélbetétet alkalmazni. M 0 = 151.8 knm M Rd M 0 A' s := f yd ( d d' ) M Rd = 1.186 M 0 A' s = 15 mm A húzott acélok szükséges keresztmetszeti területe a vetületi egyenletből: bx c αf cd A' s f yd bx c αf cd A s f yd + A' s f yd = 0 -> A s := f yd Alkalmazott vasmennyiségek: A' s = 15 mm A s = 1545 mm A vasmennyiségekre vonatkozó szerklesztési szabályok ellenőrzése: A húzott vasalás minimális mennyisége: f ctm A s.min := max 0.6 bd, 0.0013bd f yk A' s.alk := 40mm A s.alk := 1571mm A s.min = 113.75 mm Az összes hosszvasalás megengedett legnagyobb mennyisége: A A s.max = 4000 mm s.max := 0.04bh φ16 5 φ0 φ ny.alk := 16mm φ h.alk := 0mm A s > A s.min A s = 1545 mm Tehát megfelel. A s + A' s = 1760 mm A s + A' s < A s.max Tehát megfelel. Vasak közti minimális távolság: a min := ( ) max φ h, 0mm Elfér - e egy sorban a húzott vasalás? a min = 0 mm c + φ k + 5φ h.alk + 4a min + φ k + c = 40 mm A vasbeton keresztmetszet ellenőrzése: Hasznos magasság újraszámolása: φ h.alk d alk := h c φ k δ φ ny.alk d' alk := c + φ k + + δ x c kifejezése a vetületi egyenletből: b = 50 mm d = 350 mm d' alk = 48 mm Tehát elfér. bx c αf cd A s.alk f yd + A' s.alk f yd = 0 ξ c := x c := x c d alk Find( x c ) ξ c = 0.436 x c = 15.478 mm 560 ξ co := 700 + f yd ξ co = 0.493 ξ c < ξ co Tehát a húzott acélok folyási állapotban vannak. 3

x c 560 ξ' c := ξ' d' c = 3.177 ξ' co := ξ' alk 700 f co =.11 ξ' c > ξ' co yd Tehát a nyomott acélok folyási állapotban vannak. A nyomatéki egyenlettel meghatározzuk a nyomatéki teherbírást: x c M Rd.alk := bx c αf cd d alk + A' s.alk f yd ( d alk d' alk) M Rd.alk = 191.9 knm M Ed = 0.938 Tehát megfelel. M Rd.alk A keresztmetszet felrajzolása: 4

3. Vasbeton tartók nyírásvizsgálata A nyírási teherbírás megfelelő, ha a következő követelmények mindegyike egyidejűleg teljesül: A keresztmetszet nyírási teherbírására vonatkozóan: min( V Ed, VEd, red ) VRd, s A beton (nyírásból származó) ferde nyomási teherbírására vonatkozóan: V < Ed V Rd,max A fenti összefüggésekben: V Ed a külső terhekből és terhelő hatásokból a statikai vázon létrejött nyíróerő tervezési értéke V Ed, red a külső terhekből és terhelő hatásokból meghatározott nyíróerő tervezési értéke, mely tartalmazza: Az axiális igénybevételek tangenciális összetevőinek nyíróerőt módosító hatását A tartószerkezet ellentétes oldalán működő terhelés és megtámasztás közötti ívhatást. V Rd, s a méretezett nyírási vasalással ellátott keresztmetszet nyírási teherbírása V Rd,max a beton ferde nyomási teherbírása alapján számított nyírási teherbírás A keresztmetszetben csak minimális (nem méretezett) nyírási vasalást kell elhelyezni, ha: min(, V V V Ed Ed, red ) Rd, c Ahol: V, a méretezett nyírási vasalás nélküli keresztmetszet nyírási teherbírása Rd c A megtámasztás közvetlen környezetében kialakuló közvetlen teherátadás (redukció) a v < d szakaszon belül csak megoszló xxx ábra: az teher működik Amennyiben a teher a szerkezetnek az alátámasztással ellentétes oldalán működik (pl. konzol), továbbá a támasz szélétől a v d távolságon belül csak megoszló teher hat, akkor megengedett, hogy a támasz tengelyétől d távolságon belül a V Ed, red redukált nyíróerő diagramját az xxx ábra szerint vegyük fel. Ez az eljárás akkor alkalmazható, ha a vizsgált keresztmetszetben lévő hosszvasalás a támasz mögött megfelelően le van horgonyozva. A méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó keresztmetszetek nyírási teherbírása A méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírását ( ) V, a nyomott zóna nyírási teherbírása biztosítja. A keresztmetszet nyírási teherbírása ha hajlítási repedések lépnek fel a következőképpen számítható: Rd c V Rd, c 0,18 k = max γ min ( 100 ρ f ) + 0,15 σ b d c ( ) ν + 0,15σ b d cp λ w ck 1 3 cp w Ahol: f ck beton karakterisztikus szilárdsága [N/mm ] 5

00 1 + k = min d melyben d mm ben értendő,0 Asl = min b w d 0,0 A ρ λ sl a vizsgált keresztmetszetben megfelelően lehorgonyzott hosszvasalás keresztmetszeti területe, melybe a tapadásos feszítőbetét is beszámítható a keresztmetszet legkisebb szélessége a húzott zónában b w N Ed = min Ac 0, f cd σ cp cp Ed σ értékét N/mm ben kell beírni N a vizsgált keresztmetszetben a külső terhekből és a feszítésből származó normálerő tervezési értéke (nyomás esetén pozitív). A terhelő mozgásokból származó normálerő figyelmen kívül hagyható. a betonkeresztmetszet területe A ν c 3 1 min = 0, 035 k f ck A méretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszetek nyírási teherbírása A méretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszetek nyírási teherbírásának számítását a rácsostartó modellen alapuló, változó dőlésű rácsrúd módszere alapján kell elvégezni az alábbi ábrán látható modell alapján: xxxxx. ábra: a változó dőlésű rácsrúd-módszer modellje A ferde nyomott betonrudaknak a tartó hossztengelyével bezárt θ szögét a következő korlátok betartásával úgy célszerű felvenni, hogy a vasalás kialakítása optimális legyen. 1,0 cotθ,5 A beton ferde nyomási teherbírása a következő összefüggéssel számítható: V Rd,max cotθ + cotα α cw bw z ν f 1+ cot α = cd Ahol: α cw értéke: 1,0 feszítés nélküli szerkezetek esetén σ cp 1 + ha 0 < σ cp 0, 5 f cd f cd 6

1, 5 ha 0,5 f cd < σ cp 0, 5 f cd σ cp,5 1 ha 0,5 f cd < σ cp < f cd f cd σ cp átlagos nyomófeszültség az ideális keresztmetszeten meghatározva. A támasz szélétől b w 0,5 d cotθ távolságon belül értékét zérusnak lehet tekinteni. a húzott és a nyomott öv közötti legkisebb keresztmetszeti szélesség z a belső kar, normálerő (feszítés) nélküli elemek esetén általános esetben z =, 9 d alkalmazható 0 érték ν hatékonysági tényező, általában: ν = 0,6 1 50 α a nyírási vasalás síkjának a tar hossztengelyével bezárt szöge. (kengyel esetén = 90 felhajlítás esetén α = 45.) f cd α, A méretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírása általános esetben a következő összefüggéssel határozható meg: V Rd A ( cotθ + cotα ) sinα sw = VRd, s = z f ywd s Ahol: A sw a nyírási vasalás keresztmetszeti területe f ywd a nyírási vasalás szilárdságának tervezési értéke s kengyeltávolság a tartó hossztengelye mentén mérve Feszítés illetve normálerő nélküli esetekben a θ = 45 felvétele javasolt. Ha a keresztmetszetben normálerő is működik, akkor a tapasztalatok szerint a nyírási repedések (nyomott rácsrudak) hajlása kisebb. Ha a keresztmetszetben egy N normálerő is működik, akkor javasolható például az alábbi megoldás: ha N = 0, akkor cot θ = 1 N Rl 1 N A f A f, akkor cot θ =, 5 ha = ( + ) > c cd s yd 1 0 N < A f + A f, akkor a két szélső érték között a cot θ értékét az N < c cd s yd ha ( ) függvényében lineáris interpolációval határozhatjuk meg. 7

11. Példa: Megoszló teherrel terhelt kéttámaszú tartó ellenőrzése nyírásra Anyagjellemzők: Beton: C0/5 f ck := 0 N mm γ c := 1.5 Betonacél: f yk := 500 N mm B 60.50 γ s := 1.15 f cd := f ck γ c f cd = 13.3 N mm f yd := f yk γ s f yd = 435 N mm Betonfedés: c := 5mm Kengyel: B 38.4 φ10 f ywk := 40 N mm f ywd := f ywk γ s Terhek: Önsúly: g := 80 kn m γ G := 1.35 f ywd = 09 N mm Hasznos teher: q := 100 kn m Geometriai jellemzők: b := 450mm h := 600mm φ h := 0mm φ ny := 0 A c := bh γ Q := 1.5 gerenda szélessége gerenda magassága a := 0.3m l net := 3.8m húzott vas átmérője φ k := 10mm nincs nyomott vasalás, δ := 10mm csak szerelő A c = 700 cm beton keresztmetszeti területe felfekvési hossz szabad nyílás kengyel átmérője acélbetétek kedvezőtlen elmozdulása A s := 9 A' s := 0 φ h π 4 A s = 87 mm húzott acélbetétek keresztmetszeti területe nyomott acélbetétek keresztmetszeti területe φ k π A A sw = 157 mm sw := 4 Elméleti támaszköz kiszámítása: a l eff := min 1.05l net, l net + l eff = 3.99 m Hasznos magasság kiszámítása: φ h d := h c φ k δ d = 545 mm Mértékadó nyíróerő kiszámítása: ( g1.35 + q1.5) l eff V Ed.max := V Ed.max = 514.71 kn A támasz szélétől d távolságban csak megoszló terhelés hat, ezért a nyíróerő redukált értéke: l eff d V Ed.red := V Ed.max V Ed.red = 374.1 kn l eff kengyelek keresztmetszeti területe 8

A beton által felvehető nyíróerő meghatározása: V Rd.c := max 1 0.18 k 100 ρ λ γ 3 ( f ck ) + 0.15σ cp b w d c ( ν min + 0.15 σ cp ) b w d 00 Ahol: k := min 1 +,.0 k = 1.606 d V Rd.c := max V Rd.c A s ρ λ := min, 0.0 ρ bd λ = 0.01 σ cp := 0 mert N Ed := 0kN 3 1 ν min := 0.035k f ck ν min = 0.319 1 0.18 k 100 ρ λ γ 3 ( f ck ) + 0.15σ cp bd, ( ν min + 0.15σ cp ) bd N c = 134.5 kn < V Ed.red = 374.1 kn szükség van nyírási vasalásra A nyomott beton tönkremenetele nélkül felvehető legnagyobb nyíróerő meghatározása: cotθ + cotα V Rd.max := α cw b w zνf cd z := 0.9d f ck ν := 0.6 1 ν = 0.55 50 α := 90fok Mivel a tartót nem terheli normálerő: θ := 45fok cot θ ( ) cot( α) ( ) = 1 cot θ + V Rd.max := α cw bzνf cd 1 + ( cot( θ) ) V Rd.max = 81.68 kn V Rd.max 1 + ( cotθ) α cw := 1 feszítés valamint nyomóerő nélküli keresztmetszet esetén = 81.3 kn > V Ed.max = 514.71 kn a beton keresztmetszeti méretei megfelelőek, így a gerenda nyírásra bevasalható A szükséges kengyeltávolságok meghatározása: A nyírásra vasalandó szakasz hosszának meghatározása: Ott szükséges nyírási vasalás, ahol: V Rd.c < V Ed.red l eff t n := ( V Ed.max V Rd.c ) t V n = 1.474 m Ed.max 9

Kengyeltávolságok számítása: A - A' szakaszon: A sw f ywd 0.9d s AA := s V AA = 4.98 mm Ed.red Az meghatározott kengyelkiosztást kitoljuk B pontig. Ha nem tolnánk ki, az A' - B szakaszon meghatározott kengyeltávolság közel azonos lenne az A - A' szakaszon meghatározottal és ez kivitelezési szempontból előnytelen lenne. s AB := 40mm C - D szakaszon: A C-D szakaszon V Rd.c > V Ed, ezért itt nem szükséges méretezett nyírási vasalás, a kegyelkiosztást a szerkesztési szabályok határozzák meg. A kengyelek legnagyobb távolsága: ( ( )) s max := 0.75d 1 + cot α s max = 408.75 mm s CD := 0mm A kengyeltávolság választása azért esett 0 mm - re, mert ez fölötti érték a szerkesztési szabályoknak nem felelt meg (lásd később). B - C szakaszon: l eff 1135mm V Ed.B := V Ed.max V l Ed.B = 1.88 kn eff s BC := A sw f ywd 0.9d V Ed.B s BC = 7.469 mm s BC := 70mm Alkalmazandó kengyeltávolságok φ10 kengyel esetén: s AB = 40 mm s BC = 70 mm s CD = 0 mm Az A - B szakaszon az alkalmazandó kengyeltávolság túl kicsi, ezért a kegyeltávolság növelése érdekében a kengyelátmérőt ajánlott módosítani φ10 - ről φ14 - re. Kengyeltávolságok számítása 14 - es kengyelátmérőhöz: φ h φ k := 14mm d := h c φ k φ k π A sw := A 4 sw = 308 mm δ A - A' szakaszon: A sw f ywd 0.9d s AA := s V AA = 83.66 mm Ed.red Az meghatározott kengyelkiosztást kitoljuk B pontig. Ha nem tolnánk ki, az A' - B szakaszon meghatározott kengyeltávolság közel azonos lenne az A - A' szakaszon meghatározottal és ez kivitelezési szempontból előnytelen lenne. s AB := 80mm 30

C - D szakaszon: A C-D szakaszon V Rd.c > V Ed, ezért itt nem szükséges méretezett nyírási vasalás, a kegyelkiosztást a szerkesztési szabályok határozzák meg. A kengyelek legnagyobb távolsága: ( ( )) s max := 0.75d 1 + cot α s max = 405.75 mm s CD := 0mm A kengyeltávolság választása azért esett 0 mm - re, mert ez fölötti érték a szerkesztési szabályoknak nem felelt meg (lásd később). B - C szakaszon: l eff 1135mm V Ed.B := V Ed.max V l Ed.B = 1.88 kn eff Szerkesztési szabályok ellenőrzése: s BC := A sw f ywd 0.9d V Ed.B s BC = 140.997 mm s BC := 140mm Alkalmazandó kengyeltávolságok φ10 kengyel esetén: s AB = 80 mm s BC = 140 mm s CD = 0 mm A szerkesztési szabályok ellenőrzése, határnyíróerő ábra meghatározása: A - B szakasz: A sw f ywd A határnyíróerő értéke: V Rd.AB := 0.9d V s Rd.AB = 391.06 kn AB V Ed.red = 374.1 kn V Ed.red < V Rd.AB Tehát megfelel. A sw A nyírási vasalás fajlagos mennyisége: ρ w.ab := s AB bsin( α) ρ w.ab = 0.86 % A fajlagos mennyiség minimális értéke: 0.08 f ck ρ w.min := ρ f w.min = 0.07 % yk A fajlagos mennyiség maximális értéke: ρ w.min < ρ w.ab Tehát megfelel. 1 α cw νf cd 1 ρ w.max := ρ 1 cos( α) f w.max = 0.85 % yd ( ( )) A kengyelek maximális távolsága: s max := 0.75d 1 + cot α s max = 405.75 mm s max > s AB s AB = 80 mm Tehát megfelel. B - C szakasz: A sw f ywd A határnyíróerő értéke: V Rd.BC := 0.9d V s Rd.BC = 3.46 kn BC V Ed.B = 1.88 kn V Ed.B < V Rd.BC Tehát megfelel. 31

Szerkesztési szabályok ellenőrzése: A sw A nyírási vasalás fajlagos mennyisége: ρ w.bc := s BC bsin( α) ρ w.bc = 0.49 % A fajlagos mennyiség minimális értéke: 0.08 f ck ρ w.min := ρ f w.min = 0.07 % yk ρ w.min < ρ w.bc Tehát megfelel. A fajlagos mennyiség maximális értéke: 1 α cw νf cd 1 ρ w.max := ρ 1 cos( α) f w.max = 0.85 % yd A kengyelek maximális távolsága: s max := 0.75d 1 + cot α s max = 405.75 mm C - D szakasz: Szerkesztési szabályok ellenőrzése: s max ( ( )) > s BC s BC = 140 mm Tehát megfelel. A sw A nyírási vasalás fajlagos mennyisége: ρ w.cd := s CD bsin( α) ρ w.cd = 0.31 % A fajlagos mennyiség minimális értéke: A fajlagos mennyiség maximális értéke: 0.08 f ck ρ w.min := ρ f w.min = 0.07 % yk ρ w.min < ρ w.cd Tehát megfelel. 1 α cw νf cd 1 ρ w.max := ρ 1 cos( α) f w.max = 0.85 % yd ( ( )) A kengyelek maximális távolsága: s max := 0.75d 1 + cot α s max = 405.75 mm Határnyíróerő ábra és kengyelkiosztási vázlat: s max > s CD s CD = 0 mm Tehát megfelel. 110 40 880 40 110 s = 80 mm s = 0 mm s = 80 mm s = 140 mm s = 140 mm 3,80 3,99 1,135 0,4 0,88 0,4 1,135 V VEd.red VEd VRd.BC VRd.AB VRd.c 3

4. Melléklet 4.1. Vasbetonszerkezetek számításánál alkalmazott jelölések és elnevezések Latin nagybetűk A c A s A s,prov A s,req E cm E c,eff E s M cr M Ed M Rd N a beton keresztmetszeti területe az acél keresztmetszeti területe a betonacél keresztmetszeti területe, amelyet ténylegesen elhelyezünk a keresztmetszetben a betonacél keresztmetszeti területe, amelyre a teherbírás szempontjából szükség van a beton húrmodulusa a beton effektív rugalmassági modulusa acél rugalmassági modulusa repesztőnyomaték a hajlítónyomaték tervezési értéke (vagy mértékadó nyomaték) a nyomatéki teherbírás tervezési értéke (vagy határnyomaték) normálerő N c beton feszültségek eredője N Ed a normálerő tervezési értéke (vagy mértékadó normálerő) N Rd a nyomási teherbírás tervezési értéke (vagy határnormálerő) N s acélokban keletkező erő V Ed a nyíróerő tervezési értéke (vagy a mértékadó nyíróerő) V Rd a nyírási teherbírás tervezési értéke (vagy határnyíróerő) V Rd,c méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírása V Rd,max a keresztmetszet nyírási teherbírásának maximuma V Rd,s méretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírása Latin kisbetűk a a s b b eff b w d 1, d d f bd f cd f ck f ctd f ctm f yk f yd g g d g k h l b l bd l c a feltámaszkodás széle és az elméleti támasz közti távolság 1m széles sávra jutó betonacél keresztmetszeti területe keresztmetszet szélessége együttdolgozó szélesség keresztmetszet gerincének szélessége az 1 ill. a jelű betonacélok távolsága a betonkeresztmetszet szélétől. Általában a (jobban) nyomott szélső száltól mérjük és a húzott acél jele az 1. hatásos (hatékony) magasság (húzott acélbetét távolsága a (jobban) nyomott szélső száltól, azaz megegyezik d 1 -gyel) beton és acél közötti kapcsolati szilárdság beton nyomószilárdság tervezési értéke beton nyomószilárdságának karakterisztikus értéke beton húzószilárdság tervezési értéke beton húzószilárdság várható értéke acél folyáshatárának karakterisztikus értéke acél folyáshatárának tervezési értéke fajlagos tömeg, vagy önsúly állandó teher tervezési értéke állandó teher karakterisztikus értéke keresztmetszet vagy lemez teljes magassága lehorgonyzási hossz alapértéke lehorgonyzási hossz tervezési értéke konzolkinyúlás l n l eff l o szabad nyílás elméleti támaszköz nyomatéki zéruspontok távolsága vagy kihajlási hossz m x, m y lemez fajlagos hajlítónyomatékai p Ed terhek tartós és átmeneti teherkombinációja (mértékadó teher, tervezési teher) pqp qd qk terhek kvázi állandó kominációja esetleges teher tervezési értéke esetleges teher karakterisztikus értéke s acélok egymástól mért távolsága t feltámaszkodás hossza t w falvastagság u keresztmetszet területe x c betonzóna magasság, amelyben nyomás ébred téglalap alakú diagram esetén x co nyomott betonzóna magasság határhelyzete (a húzott acélok a képlékeny állapot határán vannak) w lehajlás w k a repedéstágasság karakterisztikus értéke w I, w II lehajlás első és második feszültségi állapotot feltételezve z a betonban ébredő nyomóerő és a húzott acélban ébredő erő egymástól mért távolsága z s a húzott és a nyomott acélban ébredő erők egymástól mért távolsága Görög betűk αe Es/Ec εcu beton összenyomódásának tervezési értéke 33

εuk εud φ γg γq acél megnyúlásának karakterisztikus értéke acél megnyúlásának tervezési értéke acélbetét átmérője állandó teher parciális (biztonsági) tényezője esetleges teher parciális (biztonsági) tényezője κ ξc ξco ξ`co görbület nyomott betonzóna relatív magassága relatív nyomott betonzóna magasság határhelyzete a húzott acélokhoz relatív nyomott betonzóna magasság határhelyzete a nyomott acélokhoz Indexek I,II első ill. második feszültségállapot b tapadás (bond) c beton (concrete) cr repesztő (crack) cs beton zsugorodása (concrete shrinkage) d tervezési értéke (design) eng megengedett E teherből keletkező hatás (effect) ef, eff hatékony, effektív eq egyenértékű (equivalent) f öv (flange) G állandó teher k pl prov qp Q r R requ rug s u w y karakterisztikus képlékeny (plastic) tervezett (provided) kvázi állandó (quasi permanent) esetleges teher sugár(irányú) ellenállás (resistance) szükséges (required) rugalmas acél (steel) határ (ultimate) gerinc (web) folyás (yield) 4.. Betonok és betonacélok jellemzői 4..1. Betonok jellemzői A betonszilárdság biztonsági tényezője teherbírási határállapotban: γ c = 1,5 f ck a hengerszilárdságának karakterisztikus értéke (φ150/300 mm- es hengeren mérve) f cd a beton nyomószilárdságának tervezési értéke (f cd = f ck /γ c ) f ctd a beton húzószilárdságának tervezési értéke (f cm = f ck +8) f ctm a beton húzószilárdságának várható értéke f bd a beton és az acél közti kapcsolati szilárdság általános esetben (jó tapadás esetén), bordás betonacéloknál ϕ(,8) a kúszási tényező átlagos végértéke a következő feltételek mellett: állandó ill. tartós terhelés, 70% relatív páratartalom, 8 napos szilárdság megterheléskor, képlékeny konzisztencia betonozáskor, 100 mm egyenértékű lemezvastagság E cm a beton rugalmassági modulusa (E cm = (f cm /10) 0,3 ) E c,eff a beton hatásos alakváltozási tényezője a kúszás végértékével (E c,eff = E cm /(1+ϕ(,8)) 34

ε cs, α t a beton zsugorodásának végértéke (feltételek, mint a kúszási tényezőnél) a beton hőtágulási együtthatója 4... Betonacélok jellemzői A betonacél szilárdságának biztonsági tényezője teherbírási határállapotban: γ s = 1,15 * - a B60.40 régebben használatos, ma már nem használt betonacél. f yk f yd ε uk φ E s a betonacél folyáshatárának karakterisztikus értéke a betonacél folyáshatárának tervezési értéke (tervezési szilárdság) (f yd = f yk /γ s az acél határnyúlásának karakterisztikus értéke a betonacél névleges átmérője (bordás acéloknál az azonos tömegű, kör keresztmetszetű rúd átmérője) a betonacél rugalmassági modulusa Hegeszthetőségi kategóriák: a kézi ívhegesztésre előmelegítés nélkül, ponthegesztésre utókezelés nélkül is alkalmas b ponthegesztésre utókezelés nélkül, valamint leolvasztó tompa hegesztésre is alkalmas c nem hegeszthető! 4..3. Betonacélok keresztmetszeti területe és fajlagos tömege Betonacélok keresztmetszeti területe As (mm), φ a betonacél névleges átmérője (mm): 35

Betonacélok folyóméterének tömege g (kg/m): 1 méter széles sávra jutó acélbetétek keresztmetszeti területe as (mm/m), ha az acélok távolsága s (mm): 4.3. Az elméleti támaszköz Az elméleti támaszköz: leff = ln + a 1 + a l n a szabad nyílás h a i a = i min t a i (i=1 ; ) a bal és jobb oldalon az elméleti támaszvonal és a feltámaszkodás széle közti távolság, h a tartó (gerenda vagy lemez) magassága, t a feltámaszkodás hossza. 36

4.4. Vasbetonszerkezetek szerkesztési szabályai az Eurocode alapján Betonfedés A megfelelő betonfedés célja a tartóssági követelmények kielégítése, a betonacél korrózió és tűz elleni védelme és a kapcsolati erők biztonságos átadása. A betonfedés értékét az épület/építmény környezete határozza meg. Pl.: Általános esetben, mérsékelt nedvességtartalom mellett nedves, ritkán száraz környezetben: c dur 5 mm min, = Más esetekben a szerkezetet érő környezeti hatások figyelembe vételével növelendő. A betonacélok (pl. hosszvasak, kengyelek) betonfedése elégítse ki az alábbi feltételt: c nom cmin, b mm + max c dur 10 mm 10 min, c min, b a tapadáshoz szükséges elméleti minimális betonfedés. Ez általában egyenlő az acélbetét átmérőjével. c min, dur a szerkezet jellemzőitől és a környezeti feltételtől függ. A terveken mindig a felülethez közelebb lévő acélbetétre vonatkozóan tüntetjük fel a betonfedést. Betonacélok közötti távolság A betonacélok közötti legkisebb távolság (a kibetonozhatóság és az átrepedés elkerülése érdekében): a min φ = max 0 mm d g + 5 mm φ betonacél névleges átmérője d g az adalékanyag legnagyobb szemnagysága A vasak közti legnagyobb távolság: amax = 400 mm Betonacélok lehorgonyzása, kampók kialakítása Az acélbetéteket végeiken az erőátadás céljából le kell horgonyozni. Húzásra illetve nyomásra kihasznált egyenes acélbetét lehorgonyzási hosszának l b alapértéke (φ 3 mm esetén) φ f yd lb = = c φ 4 f bd f bd a tapadófeszültség alapértéke c értékeit a következő táblázat adja meg: 37

300 mm magas vagy annál magasabb gerendák felső acélbetéteinél c értékét a rossz tapadási feltételek miatt 43% - kal növelni kell. A lehorgonyzási hossz tervezési értéke: As, req lb, eq l = max A bd s, prov lb,min l b, eq a húzásra kihasznált betonacél lehorgonyzási hossza lb, eq = α a lb α a a lehorgonyzás módját figyelembe vevő szorzó, értéke: egyenes vasvég esetén: α = 1, 0 kampós vagy hurkos acélbetét esetén: α = 0, 7 l b a lehorgonyzási hossz alapértéke A, a lehorgonyzandó szükséges vaskeresztmetszeti terület s req A, a tényleges vaskeresztmetszeti terület s prov l b,min a minimális lehorgonyzási hossz a 10 φ l b,min = max 100 mm Betonacélok jellemző lehorgonyzási módjai és a hozzájuk tartozó a α a értékek: : Példák kengyelek, nyírási vasak végeinek kialakítására: 38

Betonacélok toldása: A toldási hossz általában megegyezik a lehorgonyzási hosszal, de ha az acélbetétek több mint a negyedét toldjuk egy keresztmetszetben, a toldási hosszat α 6 szorzóval növelni kell. A toldási hossz: α 6 lbd lo = max lo,min α 6 értéke az átfogásos toldás tengelyétől 0 acélok arányától függ az alábbi táblázat szerint: arány: 5% 50% α 1,0 1,5 6 0,65 l távolságon belül toldott l o,min a toldási hossz minimális értéke 15φ l o,min = max 00 mm Gerendákra vonatkozó szabályok Vasbeton gerendákon hajlított-, nyírt, rúdszerű elemeket értünk. Hajlítási vasalás A húzott vasalás legkisebb előírt mennyisége: Négyszög keresztmetszet esetén: A ρ min a minimális húzott vashányad s, min = ρ min b t a húzott zóna átlagos szélessége d a keresztmetszet hatékony magassága ρ min b d t f 0,6 = max f 0,0013 T szelvény esetén, ha a fejlemez nyomott, csak a gerinc szélességét kell bt számításánál figyelembe venni, ha a fejlemez húzott, bt a nyomott borda szélességének kétszerese. ctm yk 39

Az összes hosszvasalás megengedett legnagyobb mennyisége egy keresztmetszetben: As, max = 0, 04 A c A c a teljes betonkeresztmetszet területe Átfogásos toldásoknál ennek kétszerese megengedett. Tartóvégek részleges befogása: Monolit gerendák részlegesen befogott végeit a befogási nyomatékra méretezni kell. A figyelembe vett befogási nyomaték nem lehet kisebb, mint a maximális mezőnyomaték 15%-a. Alsó hosszvasalás lehorgonyzása támasz fölött: A mezővasalás legalább 1/3 át mindkét irányban az elméleti támaszon túl kell vezetni. M Ed Szélső támasznál a vasalást az FEd = húzóerőre kell lehorgonyozni (z a belső erők karja), a z lehorgonyzást a támasz belső síkjától kell számítani. Közbenső támasznál az alábbi változatok valamelyike alkalmazható: Nyírási vasalás Méretezett nyírási vasalás alkalmazása esetén a nyíróerőnek legalább a felét kengyelekkel kell felvenni. A 0,08 f sw ck Nyírási vashányad: ρ w = s b sinα f w A sw az s hosszúságú szakaszon elhelyezett nyírási vasalás keresztmetszeti területe s a nyírási acélbetétek távolsága a gerenda hossztengelyén mérve b w gerincszélesség α a nyírási vasalás és a gerenda hossztengelye által bezárt szög 0,08 f ck = ρ w,min f a minimális nyírási vashányad yk Nyírási vasalási elemek legnagyobb távolsága Kengyelek maximális távolsága a hossztengely mentén mérve: s max = 0,75 d (1 + cotα) Felhajlított acélbetétek maximális távolsága a hossztengely mentén mérve: s max = 0,6 d (1 + cotα) Kengyelszárak maximális keresztirányú távolsága: yk 40